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Nr. 14

Förderverein Mathematik in Wirtschaft, Universität und Schule an der Ludwig-Maximilians-Universität München e.V.

Elitestudiengang TMP - Seite 21Sind Wahlen undemokratisch? - Seite 26

Juni 2006

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Liebe Leserinnen und Leser,

Impressum mathe-lmu.de Herausgeber Förderverein Mathematik in Wirtschaft, Universität und Schule an der Ludwig-Maximilians-Universität München e.V., Mathematisches Institut, Universität München, Theresienstr. 39, 80333 München fmwus@mathematik.uni-muenchen.de Konto: 1267532, Bankleitzahl 700 500 00, Bayerische LandesbankViSdP Heinrich Steinlein, Mathematisches Institut, Universität München, Theresienstr. 39 80333 München, Tel. 2180-4448 steinl@mathematik.uni-muenchen.de

Redaktion Bernhard Emmer, Daniel Rost, Ingrid Schehrer, Erwin Schörner, Katharina Schüller, Heinrich Steinlein, Helmut ZöschingerAuflage 5500 Layout Gerhard Koehler, München kws@kws-koehler.de Druck Siller Offsetdruck, Künzelsau

Die Redaktion bedankt sich bei den Firmen, die mit ihren Anzeigen die Herausgabe dieser Zeitung ermöglichten. Wir bitten die Leser um freundliche Beachtung der Anzeigen.

Liebes Vereinsmitglied,

die Öffentlichkeit sieht uns Mathematiker vielfach als Einsiedler, die sich in der Stu-dierstube oder der Bibliothek hinter ihren Büchern vergraben. Tatsächlich gibt es Bei-spiele, die dieses Klischee stützen, man denke nur an Andrew Wiles bei der Lösung der Fer-matschen Vermutung.In der Ausbildung unserer Studentinnen und Studenten orientieren wir uns aber keines-wegs an diesem Mathematiker-Bild. Viel-mehr freut es uns, wenn unsere Studieren-den so wie auf dem Titelbid die Sitzgelegen-heiten auf den Fluren nutzen und miteinan-der mathematische Fragen oder die Übungs-aufgaben diskutieren. Richtig verstandenes Mathematikstudium fördert die Teamfähig-keit und den fachlichen Dialog.Teamarbeit ist auch gefragt bei der Öffent-lichkeitsarbeit für unser Institut, und das nicht nur beschränkt auf die Mitarbeiter. Vielmehr kommen wir z.B. beim Tag der Mathematik ohne die tatkräftige und finanzielle Unter-stützung von außen nicht aus. Für derartige Hilfe dürfen wir uns herzlich bedanken und auch weiterhin um großzügige Unterstützung bitten, lässt doch die personelle wie auch finanzielle Ausstattung des Instituts keiner-lei Spielräume. Hoffen wir, dass wir diese wichtige Arbeit weiterführen können.

Heinrich Steinlein

auch wenn in den letzten Monaten Fuß-ballvereine eher im Mittelpunkt der Auf-merksamkeit standen als ein mathematischer Förderverein, so konnten wir doch einige neue Mitglieder gewinnen. Dass ein Bedarf an einem Mathematik-Netzwerk besteht, das den gegenseitigen Austausch über Fachthe-men genauso wie Karrierefragen ermöglicht, steht außer Frage – dazu muss man nur ein wenig im Internet stöbern und findet bei-spielsweise ein entsprechendes Forum unter openBC, das rapide wächst.Schön wäre es, wenn auch wir eine intensi-vere Vernetzung schaffen würden; schließ-lich verbindet die meisten von uns neben der Mathematik auch ein früheres Studi-um an der LMU. Ein wenig von dieser Studi-enatmosphäre mag anklingen, wenn wir uns am 11. Juli ab 18:30 Uhr auf unserer jährli-chen Mitgliederversammlung treffen. Neben einem sicherlich wieder höchst spannenden und anregenden Vortrag besteht dort die Möglichkeit zum zwanglosen Austausch bei einem kleinen Buffet.Wir freuen uns, möglichst vielen von Ihnen dort zu begegnen – und vielleicht sogar für ein aktives Engagement in unserem Verein zu gewinnen.

Katharina Schüller

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Berichte aus dem Mathematischen Institut

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Studentenzahlen Das Angebot eines sinn-vollen Studienbeginns auch im Sommerse-mester (mit einem im Sommer beginnenden Zyklus Analysis I - III) hat sich seit dem Start im Jahre 2002 zu einem wahren Erfolgs-modell entwickelt. So haben wir in diesem Semester für die Diplomstudiengänge etwa gleich viele bzw. zum Teil sogar mehr Anfän-ger als jeweils in den kompletten Studienjah-ren 1996/97 bis 2000/01. Leider ist es sehr fraglich, ob wir angesichts der Umstellung auf Bachelor-/Masterstudiengänge ab 2007 und des Wirksamwerdens weiterer Stelleneinzüge dieses Angebot auch in Zukunft aufrechter-halten können.Die (noch vorläufigen) Anfängerzahlen im Einzelnen (Vorjahreszahlen in Klammern):

Diplom Mathematik 46 (27)

Diplom Wirtschaftsmathematik 25 (19)

Lehramt an Gymnasien 10 (13)

Mathematik als Unterrichtsfach 13 (16)

Internationaler Masterstudiengang 1 (4)

Die Gesamtzahl der Studienanfänger in den genannten Studiengängen im Studienjahr 2005/06 lag mit 479 nur minimal unter dem Höchstwert von 484 im Studienjahr 1990/91. Die Gesamtzahl der Studierenden in diesen Studiengängen liegt ziemlich genau bei 1400.

Berufungen Für die in Algebraischer Geo-metrie, Zahlentheorie und Komplexer Geo-metrie neu ausgeschriebene W2-Professur (Nachfolge Schuster) wurde die Berufungslis-te vom Fachbereichsrat verabschiedet.Mit der Bewilligung des Elitestudienganges TMP (siehe unten sowie Seite 21) erhielt unser Institut je eine befristete W2-Professur

und W1-Juniorprofessur. Das Institut wird die W2-Professur dennoch unbefristet ausschrei-ben (in Analysis) und zum Auslauf der Befris-tung eine bis dahin frei werdende C3-Stelle als Ersatz abgeben.

Elitestudiengang TMP Einen besonderen Erfolg stellt die Bewilligung des Elite-Master-studienganges „Theoretische und Mathemati-sche Physik (TMP)“ im Rahmen des Elitenetz-werkes Bayern dar. Wir stellen diesen neuen Studiengang ausführlich auf Seite 21 vor.

MMSC – Graduate School of Mathemati-cal Sciences Der im Rahmen der Exzel-lenzinitiative des Bundes gemeinsam von unserem Institut, dem Institut für Statistik der LMU und der Fakultät für Mathematik der TUM formulierte Antrag für eine Gra-duiertenschule hat es bis in die Endrunde geschafft. Am 20. Juni 2006 werden die ein-gereichten Anträge in Bad Honnef begutach-tet werden, die Entscheidung, welche Anträ-

InternationalerMasterstudiengangMathematik alsUnterrichtsfachLehramt an Gymnasien

DiplomWirtschaftsmathematikDiplom Mathematik

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ge zum Zuge kommen, wird im Oktober ver-kündet werden.

LMUinnovativ – Zukunft in Forschung Das gemeinsam mit der Statistik, BWL, VWL und Psychologie der LMU beantragte Kompe-tenzzentrum „Quantitative Finance and Insu-rance“ wurde als „mit hoher Priorität förde-rungswürdig“ eingestuft. Nach einer neuerli-chen Evaluierung der Projekte wird im Okto-ber 2006 die Entscheidung über die Aus-stattung fallen.

Bachelor- und Masterstudiengänge Seit Januar liegt die für alle Bachelorstudiengänge an der LMU verbindliche (Rahmen-)Studien- und Prüfungsordnung vor. Was die Mathema-tik betrifft, wird neben Bachelorstudiengän-gen für Mathematik und Wirtschaftsmathe-matik voraussichtlich auch ein Didaktikstudi-engang in den Fächern Mathematik, Informa-tik und eventuell Physik beantragt werden.Die mathematischen Bachelorstudiengänge werden erst zum Wintersemester 2007/08 eingeführt werden, d.h. diesen Herbst bleibt es noch beim bisherigen Diplom.

Studiengebühren Das Konzept zur Ver-wendung der ab Sommersemester fälligen Studiengebühren (wir berichteten im letzten Heft) wurde bei der Hochschulleitung einge-reicht. Im nächsten Heft werden wir darüber ausführlich berichten.

Kooperation TUM – LMU Die gemeinsa-me Strukturkommission der beiden Mathe-matischen Institute hat in Kürze einen Struk-turplan für die Mathematik an TUM und LMU für den Zeitraum von 5 Jahren zu er-stellen. Ihr gehören jeweils der Dekan und Studiendekan an, dazu kommt von Seiten unseres Mathematischen Instituts Herr Pro-fessor B. Leeb und von Seiten des Mathe-matischen Instituts der TUM Herr Professor P. Gritzmann.

Festkolloquium Am 14. Juli 2006 feiert das Mathematische Institut im Rahmen eines Festkolloquiums Herrn Prof. Dr. Friedrich Kasch anlässlich seines 85. Geburtstages. Herr Kasch war von 1963 bis 1987 Inha-ber eines Algebra-Lehrstuhls und bekleide-te von 1969 bis 1972 das Amt eines Kon-rektors unserer Universität. Die Festvorträ-ge werden Frau Prof. Dr. Lidia Angeleri Hügel (Varese) und Herr Prof. Dr. Ulrich Oberst (Innsbruck) halten.

Tag der Fakultät Der diesjährige Tag der Fakultät mit der Ehrung unserer Absolventen findet am Freitag, 28. Juli statt.

Personalien Zum Ende dieses Semesters werden Herr Prof. Dr. Horst Osswald und Herr Prof. Dr. Helmut Zöschinger pensioniert werden. Die Stelle von Herrn Osswald wird eingezogen werden, die von Herrn Zöschin-ger wird in eine Assistentenstelle umgewan-delt.Zum 31. August wird Frau Maria Ketnath nach knapp 20 Jahren Tätigkeit als Dekanats-sekretärin in Rente gehen.

Öffentlichkeitsarbeit Angesichts der Not-wendigkeit einer teilweisen Neukonzeption und einer gerechteren Verteilung der erheb-lichen Arbeitsbelastung hat der Vorstand des Mathematischen Instituts eine Kommis-sion für Öffentlichkeitsarbeit eingesetzt. Die Kommission wird einen Vorschlag erarbeiten, welche der öffentlich wirksamen Veranstal-tungen wie z.B. „Mathematik am Samstag“, „Probestudium“ und „Tag der Mathematik“ in welcher Form und mit welchen Ressourcen weitergeführt werden sollen.Während einerseits der Besuch der vier Ver-anstaltungen der Mathematik am Samstag in diesem Jahr nicht voll befriedigte, kann der Ansturm zum Tag der Mathematik – dieses Jahr am 8. Juli – räumlich wie auch organisa-torisch kaum noch bewältigt werden.

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Mit dem Zufall rechnenWahrscheinlichkeitstheorie und Anwendungen

Leiter: Prof. Dr. Francesca Biagini, Dr. Daniel Rost, Dr. Edgardo Stockmeyer

Was bietet mir der LMU-Mathe-Sommer?* Der LMU-Mathe-Sommer bietet Ihnen die Gelegenheit, ein

spannendes Gebiet der Mathematik näher kennen zu lernen und zusammen mit anderen Teilnehmerinnen und Teilneh-mern interessante Problemstellungen selbstständig zu lösen.

* Die Teilnahme am LMU-Mathe-Sommer wird Ihnen den Ein-stieg ins Mathematik-Studium und auch in naturwissenschaft-liche, technische sowie wirtschafts- und sozialwissenschaftli-che Studiengänge erleichtern.

4. bis 8. September 2006

Probestudium Mathematik –LMU-Mathe-Sommer 2006

Mit dem Zufall rechnenWahrscheinlichkeitstheorie und Anwendungen

Leiter: Prof. Dr. Francesca Biagini, Dr. Daniel Rost, Dr. Edgardo Stockmeyer

Was bietet mir der LMU-Mathe-Sommer?* Der LMU-Mathe-Sommer bietet Ihnen die Gelegenheit, ein

spannendes Gebiet der Mathematik näher kennen zu lernen und zusammen mit anderen Teilnehmerinnen und Teilneh-mern interessante Problemstellungen selbstständig zu lösen.

* Die Teilnahme am LMU-Mathe-Sommer wird Ihnen den Ein-stieg ins Mathematik-Studium und auch in naturwissenschaft-liche, technische sowie wirtschafts- und sozialwissenschaftli-che Studiengänge erleichtern.

4. bis 8. September 2006

Probestudium Mathematik –LMU-Mathe-Sommer 2006

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Wie läuft der LMU-Mathe-Sommer ab?Der LMU-Mathe-Sommer (täglich von ca. 10-17 Uhr) bietet einen Einblick ins Studium mit seinen typischen Veranstaltungen:* vormittags Vorlesung* anschließend gemeinsamer Mensabesuch* nachmittags Workshops/Übungen in kleinen GruppenDarüber hinaus beinhaltet der LMU-Mathe-Sommer:* Informationen über die Mathematik-Studiengänge* Präsentation interessanter Berufsbilder durch Mathematiker

aus der Praxis* Exkursion „Mathematik in der Anwendung“* Abschlussfeier zum Ausklang des LMU-Mathe-Sommers

Welche Vorkenntnisse sind nötig?* Vorausgesetzt werden die Lerninhalte der Jahrgangsstufe 10

in Mathematik.* Sollten Sie die 10. Jahrgangsstufe noch nicht abgeschlossen

haben und Interesse haben, setzen Sie sich bitte mit uns in Verbindung.

Was kostet die Teilnahme?* Eine Teilnahmegebühr wird nicht erhoben,

die Arbeitsmaterialien für die Workshops werden gestellt.* Die mittägliche Verpflegung in der Mensa (freiwillig) kostet

ca. 3 Euro pro Tag.* Anreise- und Übernachtungskosten müssen Sie leider selbst

tragen; auf Wunsch informieren wir Sie aber gerne über günstige Übernachtungsmöglichkeiten.

Wo bekomme ich weitere Infos?* Unter www.probestudium.de oder www.lmu-mathe-sommer.de* Mathematisches Institut, LMU München, Kontaktbüro Probe-

studium, Theresienstr. 39, 80333 München; Tel. 2180-4427* e-mail: probestudium@mathematik.uni-muenchen.de

Wie läuft der LMU-Mathe-Sommer ab?Der LMU-Mathe-Sommer (täglich von ca. 10-17 Uhr) bietet einen Einblick ins Studium mit seinen typischen Veranstaltungen:* vormittags Vorlesung* anschließend gemeinsamer Mensabesuch* nachmittags Workshops/Übungen in kleinen GruppenDarüber hinaus beinhaltet der LMU-Mathe-Sommer:* Informationen über die Mathematik-Studiengänge* Präsentation interessanter Berufsbilder durch Mathematiker

aus der Praxis* Exkursion „Mathematik in der Anwendung“* Abschlussfeier zum Ausklang des LMU-Mathe-Sommers

Welche Vorkenntnisse sind nötig?* Vorausgesetzt werden die Lerninhalte der Jahrgangsstufe 10

in Mathematik.* Sollten Sie die 10. Jahrgangsstufe noch nicht abgeschlossen

haben und Interesse haben, setzen Sie sich bitte mit uns in Verbindung.

Was kostet die Teilnahme?* Eine Teilnahmegebühr wird nicht erhoben,

die Arbeitsmaterialien für die Workshops werden gestellt.* Die mittägliche Verpflegung in der Mensa (freiwillig) kostet

ca. 3 Euro pro Tag.* Anreise- und Übernachtungskosten müssen Sie leider selbst

tragen; auf Wunsch informieren wir Sie aber gerne über günstige Übernachtungsmöglichkeiten.

Wo bekomme ich weitere Infos?* Unter www.probestudium.de oder www.lmu-mathe-sommer.de* Mathematisches Institut, LMU München, Kontaktbüro Probe-

studium, Theresienstr. 39, 80333 München; Tel. 2180-4427* e-mail: probestudium@mathematik.uni-muenchen.de

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Begründen und Beweisen

Begründen und Beweisen in der Geome-

trie bei Schülerinnen und Schülern der

achten Jahrgangsstufe – Ein Forschungs-

schwerpunkt der Mathematikdidaktik in

München

Als eine Reaktion auf das schlechte Abschnei-den der deutschen Schülerinnen und Schüler in der TIMS- als auch der PISA-Studie hat die Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) das Schwerpunktprogramm „Bildungsqualität von Schule“ (BiQua) initiiert.

Schülerinnen und Schülern zu beschreiben. Darüber hinaus sollen Vorschläge erarbeitet und evaluiert werden, wie das anspruchsvolle Thema „Beweisen“ schülergerecht, aber trotz-dem inhaltlich ausführlich und mathematisch exakt im Unterricht behandelt werden kann.

Die erste Projektphase: Beobachtung des UnterrichtsIn der ersten Phase des Projekts wurden Unterrichtsstunden videographiert und ana-lysiert. Es zeigte sich hier, dass Beweisen im

Ansichten eines Schülers über Beweise

In diesem Programm wird am Lehrstuhl für Mathematikdidaktik der LMU München zum Beweisen und Begründen in der Geomet-rie der Jahrgangsstufe 8 geforscht. In dem interdisziplinär angelegten Projekt kooperie-ren wir insbesondere mit der Lernpsycholo-gie und natürlich auch mit Lehrerinnen und Lehrern.Ziel des Projekts ist es zunächst, die Beweis-kompetenzen und die Schwierigkeiten von

Unterricht fast vollständig im fragend-entwi-ckelnden Stil behandelt wird. Meist wird den Schülerinnen und Schülern kaum Zeit gelas-sen, eigenständig einen Beweis zu führen.Für die Evaluation wurde ein Test entwickelt, mit dem die Beweiskompetenz der Schüle-rinnen und Schüler erhoben werden kann. Den Aufgaben liegt ein dreistufiges Kom-petenzmodell zugrunde. Dabei umfasst die Kompetenzstufe I Aufgaben, die ein einfa-

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ches Anwenden von Regeln und elementares Schlussfolgern erfordern. Den Kompetenz-stufen II und III sind Aufgaben zugeordnet, die eine ein- bzw. mehrschrittige Begründung verlangen. Die folgende Abbildung zeigt eine Beispielaufgabe mit einer Schülerlösung:

Das Beispiel wäre der Kompetenzstufe III zuzuordnen, da für die Begründung zwei Argumente miteinander verknüpft werden müssen (ein gestreckter Winkel hat 180° und Wechselwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß).Es ist nicht sehr erstaunlich, dass der Test bei Schülerinnen und Schülern erhebliche Schwierigkeiten im Beweisen zeigte. Mathe-matisches Beweisen ist selbst dann schwie-rig, wenn das nötige Fachwissen vorhanden ist. Die reine Reproduktion von Fachwissen bereitet dabei wenig Probleme. Auch erken-nen die Schülerinnen und Schüler häufig die Beweisbedürftigkeit nicht, wie man an der oben angeführten Schülerlösung sehen kann.

Die zweite Projektphase: Entwicklung einer LernumgebungUm diesen Problemen gerecht zu werden, wurde in der zweiten Projektphase eine Lern-umgebung für den Unterricht zum Bewei-sen und Begründen entwickelt. Dabei wird

dem so genann-ten „Expertenan-satz“ gefolgt, bei dem de r Aus-gangspunkt die Analyse der Vor-g e h e n s w e i s e eines Exper ten beim Beweisen ist. Anschließend wird dieser Pro-zess in ein Modell umgesetzt. Doch wie geht ein Mathemati-ker beim Bewei-sen vor?Die Berichte von Mathemat ikern s i nd z wa r f ü r

jeden anderen Mathematiker leicht nach-vollziehbar, lassen aber nicht unbedingt darauf schließen, wie ein Anfänger vorgehen sollte. So zitiert van der Waerden (1954) den Kollegen Poincaré bei der Entdeckung der „Fuchs'schen Funktionen“:„Ich hatte schwarzen Kaffee getrunken und konnte nicht schlafen. Vorstellungen kamen mir haufenweise. Ich merkte, wie sie zusam-menstießen, bis einzelne Paare sich sozusa-gen einhängten, um eine stabile Verbindung einzugehen.“Auch Pólya (1967) beschreibt den Prozess bei der Lösung von Aufgaben eher in Form der plötzlichen Eingebung: „Wir brüten lange ohne sichtbare Fortschritte über einer Auf-gabe. Dann plötzlich kommt uns eine gute Idee, es wird hell, wir haben blitzartig eine Eingebung.“

Begründe, dass die Winkelsumme der Innenwinkel im Dreieck 180° beträgt!

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Unklar bleibt, welche einzelnen Schritte gemacht werden, bis ein Beweis vollstän-dig ist. Boreo (1999) hat dazu ein Modell erstellt. Seine Vorgehensweise umfasst meh-rere Schritte, die von uns auf Schulniveau transformiert worden sind. Zum Beweisen gehören die

(1) Exploration des Problems

(2) Formulierung der Behauptung

(3) Sammlung von Fakten

(4) Generierung von Beweisideen

(5) Bildung einer Faktenkette (Beweis)

Diesen Phasen folgend wurde eine Lern-umgebung zum Beweisen entwickelt, die so genannten „Heuristischen Lösungsbeispie-le“. In einem der heuristischen Lösungsbei-spiele diskutieren beispielsweise zunächst zwei Schüler, ob die gegenüberliegenden Seiten und Winkel in einem Parallelogramm immer gleich groß sind. Danach formulieren sie gemeinsam die Behauptung in mathemati-scher Schreibweise. Anschließend überlegen sie sich, was sie alles über Parallelogramme und Vierecke wissen und entwickeln daraus eine Beweisidee, die sodann mit einer An-einanderreihung von Argumenten zu einer Faktenkette, also mit dem fertigen Beweis, abgeschlossen wird. Dabei werden die Mittel und Methoden der Beweisführung explizit gemacht und die Schülerinnen und Schüler aktiv eingebunden. So sind sie dazu aufge-fordert, sich die Prinzipien hinter dem Bewei-sen selbst zu erklären, bevor sie eigenstän-dig einen Beweis finden sollen. In Partnerar-beit helfen sich die Schülerinnen und Schü-ler gegenseitig bei auftretenden Fragen. Der Lehrer oder die Lehrerin tritt dabei in den Hintergrund und unterstützt so die Eigentä-tigkeit. Inzwischen haben über 1500 Schü-lerinnen und Schüler in ca. 50 Schulklassen in Augsburg, München und Umgebung an

unserer Studie teilgenommen. Die Klassen wurden in zwei Gruppen, eine Experimental- und eine Kontrollgruppe aufgeteilt. Während in der Kontrollgruppe das Thema „Bewei-sen und Begründen“ herkömmlich unterrich-tet wurde, arbeiteten die Schülerinnen und Schüler in der Experimentalgruppe mit den heuristischen Lösungsbeispielen. Der schon vorher angesprochene Geometrietest misst dabei vor und nach der jeweiligen Unter-richtseinheit den Leistungsstand der Teilneh-merinnen und Teilnehmer.Die Ergebnisse zeigen, dass die Lösungsbei-spielklassen bei Beweisaufgaben im Nach-test signifikant höhere Leistungen (p<0,001) erzielten als die Kontrollgruppenklassen. Während die Schülerinnen und Schüler der Lösungsbeispielklassen die Aufgaben der Kompetenzstufe III im Durchschnitt zu 29 % richtig lösten, waren es in den Kontrollgrup-penklassen nur 17 %. Die Werte weisen auf einen mittleren Effekt hin (d=0,57). Heuris-tische Lösungsbeispiele stellen daher eine gute Alternative zum herkömmlichen Unter-richt dar.

Die dritte Projektphase: Optimierung des Konzepts im Rahmen von LehrerfortbildungenIn der gerade laufenden dritten Projektpha-se wurden die heuristischen Lösungsbei-spiele, eingebettet in eine Lehrerfortbildung, weiter getestet und mit Hilfe des Feedbacks der teilnehmenden Lehrerinnen und Lehrer optimiert. Das Konzept der heuristischen Lösungsbei-spiele wird nun im neuesten Projekt des Lehr-stuhls für Mathematikdidaktik („KOMMA“, Kompendium Mathematik) aufgegriffen und im Rahmen einer computerbasierten Lernum-gebung eingesetzt.

Kristina ReissFranziska Rudolph-Albert

Stephan Kessler

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Tag der Mathematik 2006

Spaß

Wettbewerbe

Wor

ksho

ps Vorträge

Münchener Bezirksfachgruppe Mathematik im Bayerischen PhilologenverbandMathematisches Institut der Universität München

Information und Anmeldung: www.mathematik.uni-muenchen.de/~didaktik/TdM2006.html

Samstag8. Juli2006

Theresienstr. 39ab 8.30 Uhr

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Auslandsstudium

England

Nur drei mal acht Wochen dauert in Oxford das Studienjahr; nur bis zwei Uhr nachts darf Party-musik laufen und nur ein Jahr war ich dort – trotzdem habe ich viel erlebt, denn in Oxford läuft, lernt und lebt man schnell. Symptomatisch für diese Schnell-lebigkeit ist die hohe Schrittfrequenz, mit der Studenten zu Vorlesungen, Speisesälen, Vor-trägen, Meetings, Pubs, Tutorials oder Partys jagen. Schritt für Schritt wurden auch meine Schritte schneller und bald kaufte ich ein gebrauchtes und schließlich ein neues Fahr-rad. Jetzt war ich voll im Rennen – ein hek-tisches Rennen vor ruhiger Kulisse, vor Jahr-hunderte alten Colleges, Bibliotheken und Kirchen. Und dieses Rennen machte rich-tig Spaß!Schon vor Vorlesungsbeginn findet in der so genannten Nought Week ein soziales Warm-up statt: Die eingesessenen Studenten begrü-ßen die Freshers ihres Colleges – jeder Stu-dent gehört neben der Universität einem von neununddreißig Colleges an – mit Pubtou-ren, Bingoabenden und allem Erdenklichen, wobei man sich treffen und trinken kann. Und auch im weiteren Verlauf des Studien-jahres steht das College, in meinem Fall Balli-ol College, mit Bar, Speisesaal, formellen Din-ners, Karriereabenden und Partys im Zentrum des sozialen Lebens. Hier lernt man Studen-ten verschiedenster Fächer und Nationalitä-ten kennen und kann, wenn es gelingt über den allgegenwärtigen Smalltalk hinauszukom-men, interessante Freundschaften schließen. Das Erleben der Mentalitäten, Umgangsfor-men und Weltsichten von Briten, Franzosen,

Iren, Nord- und Südamerikanern, Indern, Chinesen und Austra-liern hat mich zu einem besse-ren Verständnis anderer Kultu-ren und zu einer reflektierteren Sicht meiner eigenen geführt. Auch die Societies – neben den Colleges ein weiterer Pfeiler des sozialen Lebens in Oxford – umwerben die Neuangekomme-nen schon in der nullten Woche.

In einer Atmosphäre zwischen Flohmarkt und Wahlkampfveranstaltung findet man sich beim Freshers’ Fair von Studenten umringt, die erklären, man müsse doch Go spielen, segelfliegen, per Anhalter durch die Gala-xis etc. pp. – da findet jeder Freak was! Eher konservativ habe ich mich für Brettspiele, Klettern, Trampolinspringen und Leichtath-letik entschieden. Womit wir bei der viel-leicht wichtigsten sozialen Beschäftigung der Oxforder Studenten wären: dem Sport. Eigentlich müsste man natürlich im Winter Rugby spielen, im Sommer Kricket und das ganze Jahr über rudern. Da man sich aber beim Rugby zu schnell was bricht, beim Kri-cket zu leicht langweilt und beim Rudern zu früh aufstehen muss, bin ich mit der Moun-taineering Society in den Peak District gefah-ren, habe in der Turnhalle Salti gedreht und konnte auf dem Sportplatz gegen Cam-bridge Kugelstoßen und Diskuswerfen, sowie Hoch- und Stabhochspringen. Dieses Varsi-ty Match, bei dem traditionsgemäß ehrgei-ziges Wettkämpfen, formales Dinieren, sport-liches Trinken, legeres Tanzen und schließ-lich der Nacktstaffellauf aufeinander folgen, bleibt unvergessen. Doch wie bei meinem Oxforder Tagesablauf muss ich auch in diesem Artikel vom Werfen, Springen, Laufen und Saufen jetzt schnell

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zum Lernen übergehen. Als Visiting Student konnte ich meine Veranstaltungen völlig frei wählen. Da in Oxford nahezu jedes Fach auf hohem Niveau betrieben wird, entschied ich mich, auch akademisch einen Mehrkampf zu bestreiten: Mathematik, Philosophie und Ökonomie. Eine größere Rolle als in der Mathematik spielen die für Oxford typischen Tutorials in meinen beiden anderen Fächern. Hier schreibt man, vom Professor mit einer Literaturliste ausgestattet, Aufsätze, die man dann, allein oder in einer Gruppe von zwei bis drei Studenten, mit dem Professor disku-tiert. Entwickelt man einen guten Draht zum Professor, so können diese ein- oder zweiwö-chentlichen Treffen höchst motivierend und lehrreich sein. In der Mathematik kommen in der Regel jedoch nur die Studenten im ersten Studienjahr in den Genuss von Tuto-rials. Danach werden die Vorlesungen, die pro Woche nur zweimal eine knappe Stunde dauern, von Übungs-g ruppen beg le i t e t . Diese unterscheiden sich von den Übungen an der LMU durch die folgenden, für die Uni teilweise kostspieli-gen Details: Mindestens eine Übungsgrup-pe wird vom Professor selbst geleitet; das gemeinsame Einreichen von Lösungen ist nicht möglich; die Anzahl der Studenten pro Gruppe ist auf zwölf beschränkt; Übungsblät-ter werden circa einen Tag vor dem Übungs-termin abgegeben und liegen den Studenten schon korrigiert vor, wenn sie besprochen werden; außerdem nehmen die Korrektoren an der Übungsgruppe teil und stehen dort für Fragen zu den Korrekturen zur Verfügung. Da die Oxforder Problem Sheets in Umfang und Schwierigkeit ungefähr den Münchner Übungsblättern entsprechen und außerdem die Vorlesungen noch etwas schneller voran-

schreiten, kann man in Oxford trotz kürze-rer Vorlesungen nicht mehr Veranstaltungen absolvieren.Bei meiner Auswahl aus dem zwar sehr brei-ten, aber wenig tiefen Vorlesungsangebot, ging es mir vor allem darum, mit der Spezia-lisierung auf Stochastik und Finanzmathema-tik zu beginnen. Ich besuchte Martingales through Measure Theory, Applied Probabili-ty, Brownian Motion and Stochastic Analy-sis sowie Financial Mathematics. Diese acht-wöchigen Vorlesungen sind Kompaktversi-onen von Wahrscheinlichkeitstheorie, Sto-chastische Prozesse, Stochastische Integrati-on und Finanzmathematik. Direkt nach dem Vordiplom eignen sie sich sehr gut, um einen ersten intensiven Eindruck von den jeweili-gen Gebieten zu erlangen. Anschließend hat

man dann drei Mög-lichkeiten: Erstens, man beschäftigt sich mit dem Gebiet nicht weiter und betrach-te t den Oxforder Kurs als Erweiterung des mathematischen Horizonts. Zweitens, man holt das zum Umfang der entspre-

chenden Münchner Veranstaltungen Fehlen-de autodidaktisch nach und steigt anschlie-ßend gleich höher ein bzw. lässt sich im Diplom darüber prüfen. Oder drittens, man besucht die ausführlichere Münchner Veran-staltung und rollt das entsprechende Gebiet so noch mal gründlich von vorne auf.Neben der Stochastik sind mir innerhalb der Mathematik vor allem die Vorträge der Inva-riants Society und die Vorlesung Topology and Groups in guter Erinnerung. Wöchent-lich lädt die studentische Mathematikgesell-schaft Oxfords zu Vorträgen von oft berühm-ten Professoren wie Penrose oder Atiyah ein. Mit viel Intuition und wenig Formalis-mus gelingt es diesen Mathematikern meist,

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ItalienDa ich zu Beginn meines Auslandssemesters noch kein Wort Italienisch sprach, reiste ich im August erstmal nach Perugia, um dort an einem einmonatigen Sprachkurs teilzunehmen. Die Universi-tät in Perugia ist berühmt für ihre Sprachkurse, und so war es ein Leichtes, alles im Vornherein zu organisieren. 22 Stun-den Intensivsprachkurs in der Woche mach-ten sich auch bald bemerkbar, und so konn-ten wir uns einigermaßen gut verständigen. Es waren Studenten aus Spanien, Frankreich, Polen, Ungarn, Finnland und Deutschland, die anschließend ein Auslandssemester in Italien belegten. Außerdem veranstaltete die Universität Kinoabende, Konzerte und Aus-flüge (z.B. Führungen durch die Altstadt Peru-gias, Exkursionen nach Assisi und andere Städte Umbriens, Besichtigung der Schoko-

ladenfabrik,…). Ende August hieß es dann schon wieder Abschied nehmen und Adres-

sen austauschen, um sich gegenseitig in Italien zu besu-chen.Anfang Oktober begann dann mein eigentliches Auslands-semester in Como, an der Uni-versità degli Studi dell’Insubria. Como liegt im Norden von

Italien, an der Schweizer Grenze. Die Uni-versität vermittelte mir ein Zimmer in einem Wohnheim und übernahm auch noch einen monatlichen Zuschuss zur Miete. Alle Aus-tauschstudenten wohnten im selben Haus, so lernten wir uns schnell kennen. Um unser Italienisch aufzubessern, bezahlte die Uni einen Italienischkurs für alle Erasmusstuden-ten. An der Fakultät wurde ich herzlich auf-genommen und Prof. Setti organisierte ein Empfangsessen, an dem ich alle Professo-ren kennen lernen konnte. Mit der Organi-sation des Stundenplanes hatte ich Proble-

selbst junge Semester für fortgeschrittene Themen zu begeistern. Noch größeres didak-tisches Geschick bewies jedoch der junge Dozent Marc Lackenby bei seinen einführen-den Vorlesungen zur Algebraischen Topolo-gie. Indem er das in Oxford genauso übli-che Tafelbeschreiben durch Austeilen und An-die-Wand-Projizieren des Vorlesungs-skripts ersetzte, schaffte er sich Freiraum, den er gekonnt für Rückbezüge und Ausblicke, Konkretisierungen und Verallgemeinerungen, sowie Überblicke und Detailanalysen nutzte. Statt Mathematik gemeinsam nachzubeten, hatte man hier das Gefühl, sie gemeinsam zu entdecken.Aber auch in Oxford ist eine so brillante Ver-anstaltung eine Ausnahme. Meiner Erfahrung nach ist der Niveauunterschied zwischen Oxford und guten deutschen Universitäten in der Breite und nicht so sehr in der Spitze

zu erkennen: Für Lehrende und Lernende gilt gleichermaßen, dass es in Oxford zwar nie-manden gibt, der es sich erlaubt so unmoti-viert zu arbeiten wie mancher hier, anderer-seits gibt es hier aber einige, die so gut sind wie die Besten dort. Nicht zuletzt hat mir mein Auslandsjahr somit gezeigt, dass meine Heimatuni im Vergleich besser abschnei-det als ich dachte. Am Beispiel Oxford habe ich außerdem erfahren, wie motivierend die Überzeugung ist, an einer guten Uni zu stu-dieren. Wir studieren an einer guten Uni und sollten davon auch überzeugt sein. Ins Ausland zu gehen lohnt sich aber trotz-dem: Bleibt nicht, weil hier alles ganz gut ist, aber geht auch nicht in der Hoffnung, alles würde viel besser. Sondern geht, weil wäh-rend eines Auslandsstudiums vieles einfach ganz anders ist und diese Erfahrung euch bereichern wird.

Johannes Brumm

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me, da zu Beginn des Semesters nicht genau feststand, welche Fortgeschrittenenvorlesun-gen stattfinden werden. So belegte ich eine Statistikvorlesung, die weniger Stoff behan-delte als in München, dafür aber viele Übun-gen. Dazu kam eine Vorlesung über mathe-matische und numerische Methoden in den angewandten Wissenschaften. Da nur wenige italienische Studenten die Fortgeschrittenen-vorlesungen belegen, war ich hier die einzi-ge Hörerin. Durch einige Programmierprojek-te und Übungen ergänzte diese Vorlesung meinen Wissensstand von München sehr gut. Auf meine Bitte organisierte Prof. Setti einen Lesekurs in Funktionalanalysis. Hier traf man sich einmal in der Woche, um die gelesenen

Kapitel zu diskutieren. Insgesamt umfassen die Vorlesungen weniger Stoff als in Mün-chen, dafür konnte ich positive Erfahrungen durch die persönliche Betreuung machen.In meiner Freizeit ging ich oft mit meinen Freunden zum Snowboarden oder zum Wan-dern, und bei schönem Wetter gab’s auch Picknick am See. Auch abends wurde uns Erasmusstudenten nicht langweilig, denn wir machten die Discos und Bars unsicher. Gemeinsam besuchten wir auch Lugano, Mailand und die bekannten Orte rund um den Comer See. Zum Abschied gab es viele Tränen, und derzeit plane ich meinen Urlaub dort zu verbringen, um meine Freunde wie-derzutreffen.

Claudia Zeilhofer

Wales Wir wussten beide, dass wir einen Auslandsaufenthalt – am liebsten in einem englisch-sprachigen Land – in unser Studium einbauen wollten. Doch nur wohin? Auf der Ins-tituts-Homepage fanden sich Birmingham (USA) und Car-diff, die Hauptstadt von Wales. Wir haben uns für Cardiff ent-schieden, da durch das Eras-musprogramm der Aufenthalt dort bezahlbar wurde. Ganz billig ist es natürlich nicht, man muss ja auch irgendwo wohnen und essen. Dabei sind wir gleich beim Thema „Unter-kunft in Cardiff“ und der Frage: Privat oder Studentenwohnheim? Aus eigener Erfahrung ist zu empfehlen, sich eine private Unter-kunft zu suchen. Diese ist in der Regel billi-ger, größer, besser möbliert, näher an der City und der Uni, und man hat auch einen Garten zum Draußensitzen. Und im Gegensatz zu München ist es nicht wirklich schwer, eine private Unterkunft zu bekommen. Wenn man

nicht gerade luxuriöse Ansprüche hat, findet man im Normalfall in 2 bis 5 Tagen etwas

Adäquates. Uns ist das auch gesagt worden, aber wir haben es nicht geglaubt. Jetzt sitze ich (B. K.) in einem Studen-tenwohnheim und habe noch echtes Glück, weil es sehr zen-tral liegt , aber das Zimmer ist extrem klein, besteht aus einem Bett, Schreibtisch und Schrank, das Fenster lässt sich nicht richtig öffnen und man hört alles von den Nachbar-

zimmern mit. Dazu kommen die ständigen Health & Safety Controls sowie Feueralarme, bei denen man seine Mitbewohner nachts um 5 Uhr vor dem Haus im Schlafanzug antreffen kann.Aber Schlafanzüge sind nicht nur das richti-ge Outfit für Feueralarme und Schlafen, son-dern man kann damit auch ausgehen. Damit sind wir bei anscheinend einer der Lieblings-beschäftigungen der Briten: Pubcrawls. Man zieht von Pub zu Pub und hat eine Liste an Getränken abzutrinken, und das Ganze steht dann auch noch unter einem Motto, wie z.B.

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Pyjamas und man erscheint dementspre-chend gekleidet. Nicht jeder Pubcrawl hat eine Liste oder ein Motto – nicht abschre-cken lassen und auf jeden Fall mal mitma-chen. Natürlich gibt es nicht nur Pubcrawls. Man geht auch weg. Ganz oben auf der Liste in Cardiff steht Mittwoch abends Rubber Duck in der Students Union. Bessere Loca-tions findet man auf der St. Mary Street, wie z.B. das Philharmonic. Auch wenn es gerade so klingt, als ob wir nur Party gemacht hätten, nein wir waren auch in der Uni und haben sechs Vorlesungen pro Semester besucht. Eine Vorlesung dauert pro Woche zweimal 50 Minuten und alle zwei Wochen findet noch eine 50-minütige Übung mit in der Regel freiwilliger Übungs-blattabgabe statt. Was die Ausrichtung und das Niveau der Vorlesungen betrifft, ist Car-diff nicht mit München zu vergleichen, was aber vielleicht an den unterschiedlichen Stu-diensystemen liegt. Unser Diplomstudien-gang ist mehr auf Theorie ausgelegt, und im Bachelor/Mastersystem liegt der Schwer-punkt auf Verständnis und Anwendung, d.h. das Augenmerk liegt eher darauf, „Koch-rezepte“ auswendig zu lernen, als darauf, die Mathematik wirklich tiefer zu durchdrin-gen. Wenn man zwei Beweise in einer Vor-lesung sieht, ist das viel, und man darf auch nicht erwarten, dass man sich mit mehr als zweidimensionalen Problemen beschäftigt, wenn man eine PDE-Vorlesung hört. Ähn-lich verhält es sich in den anderen Vorlesun-gen. Vielleicht entsteht dieser Eindruck auch dadurch, dass wir relativ spät im Studium (nach dem 6. bzw. 8. Semester) nach Cardiff gegangen sind. Direkt nach dem Vordiplom wäre auf jeden Fall die bessere Wahl, dann kann man sehr gut in verschiedene Gebiete der Mathematik reinschnuppern, bevor man, zurück in München, entscheidet, in welcher Richtung man sich vertiefen will. Und man hat noch die Möglichkeit, auf relativ einfache Art und Weise Scheine zu machen.

Zu erwähnen ist auch, dass in Cardiff zum Teil andere Vorlesungen angeboten werden als in München; so gibt es eine große Anzahl von Statistikvorlesungen, die man auch als Nicht-Statistiker sehr gut versteht. Höheren Semes-tern kann man raten, sich vorher (z.B. bei Herrn Hinz oder im Internet) zu informieren, ob in Cardiff geeignete Dozenten vorhan-den sind, die in interessanten Spezialgebie-ten tätig sind. Zum Beispiel lehrt und forscht mit Karl Michael Schmidt ein ehemaliges Mitglied unseres Instituts in Cardiff, und es wurden bereits Spezialvorlesungen für Gast-studenten aus mehreren Austauschprogram-men angeboten. Die Tatsache, dass man am Computer Sci-ence Department eingeschrieben ist und man daher etwa 40 % seiner Lehrveranstaltungen dort besuchen soll, ist nicht unbedingt eine Belastung, denn man kann dort die Grund-lagen der Informatik erlernen und Scheine erwerben. Wir können also von einem Studienaufenthalt in Cardiff auf keinen Fall abraten, das (halbe) Jahr bringt zudem auch super Sprachkennt-nisse und man lernt Land und Leute kennen. Ausflugsmäßig ist Wales auch hervorragend mit wunderschönen Küsten und National-parks (ein Auto wäre allerdings von Vor-teil). Langweilig wird einem eigentlich nie, denn neben Vorlesungen, Weggehen und Ausflügen kann man noch in eine der „tau-send“ Societies wie z.B. Badminton, Rambling, Canoeing, Caving, Chess, Theater… eintre-ten und an deren Programm teilnehmen.Alles in allem können wir sagen, dass der Aufenthalt in Cardiff auf jeden Fall Spaß gemacht hat und wir viel gelernt haben, auch wenn unsere Erwartungen zu den Mathema-tikveranstaltungen nicht ganz erfüllt wurden. Wer Interesse an einem Aufenthalt in Car-diff hat, findet auf der Instituts-Homepage alle Informationen zu diesem Austauschpro-gramm.

Birgit Kremnitz, Steffi Bayer

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Karrieren Vom Nutzen der Mathematik für

die Karriere

Ja glauben Sie denn, dass ich in den anderthalb Jahren schon Karriere gemacht habe? Das war mein erster Gedanke, als mich Prof. Zöschinger fragte, ob ich in mathe-lmu.de über meine Karriere berichten möchte. Zu bieten habe ich aber zumindest einen Bericht über meinen Berufseinstieg bei der Münchener Rück.Bevor ich im Oktober 2004 bei der Mün-chener Rück als Aktuarin anfing, hatte ich mich an der Universität neun Jahre lang mit Mathematik beschäftigt, und zwar fast aus-schließlich mit reiner Mathematik. Nach dem Vordiplom führte mich mein Weg zur Algebra, der ich in Gestalt von Hopfalgebren bis zu meiner Promotion bei Prof. Pareigis treu blieb.Über die Relevanz von Hopfalgebren in der freien Wirtschaft machte ich mir damals rela-tiv wenig Gedanken. So habe ich in meinem Studium zwar sehr viele Scheine gemacht, aber davon nur einen einzigen angewand-ten Schein, und zwar eher zufällig in Finanz-mathematik. Auch eins von den heutzutage so wichtigen Praktika habe ich nie absolviert, da die Semesterferien entweder für die Vor-bereitung von Seminaren, meine Diplomar-beit oder mein Auslandsstudium an der New Mexico State University ausgebucht waren. Nach dem Diplom begann ich meine Promo-tion am Graduiertenkolleg Mathematik im Bereich ihrer Wechselwirkung mit der Physik und war später wissenschaftliche Mitarbeite-rin am Mathematischen Institut. Besonders viel Spaß hatte ich stets an der Leitung von Übungsgruppen und als Assistentin für die Algebra-Vorlesung von Prof. Schneider. Da mir die Aussicht, auch nach der Promotion in

der Wissenschaft zu bleiben, nicht allzu rosig und hoffnungsvoll erschien, führte mein Weg aber schließlich doch noch in die „freie Wirt-schaft”. Schon ein paar Wochen vor meinem

Rigorosum begann ich Bewerbun-gen zu schreiben. Die erste Adres-se war die Münchener Rück, von der ich durch meine Kommilitonen schon während des Studiums nur Gutes gehört hatte. Beim Vorstel-lungsgespräch war weder mein fun-diertes Wissen über Algebra noch mein Doktortitel ausschlaggebend,

sondern eher mein Nebenfach Statistik und der besagte Schein in Finanzmathematik. Damit hatte ich natürlich schon gerechnet, denn schließlich soll man als Mathematiker bzw. Aktuar bei einer Rückversicherung Risi-ken einschätzen. Dabei sind Hopfalgebren leider nicht von großem Nutzen.Ich hatte zuvor gehört, man würde als Mathe-matiker im Beruf nur noch Prozente rechnen und Excel-Tabellen umformatieren. Obwohl dies wirklich zu einem Teil meiner Arbeit bei der Münchener Rück zählt, besteht der andere Teil aus ebenso vielen komplexen und viel-seitigen Aufgaben. Die Münchener Rück ver-dient als Versicherer von Versicherungen ihr Geld, indem sie einen Teil der Risiken deckt, die von Versicherern gezeichnet werden. Um die Preise für solche Rückversicherungsde-ckungen zu berechnen, stehen mathemati-sche Modelle zur Verfügung, die in Pricing-Tools realisiert sind. Sowohl die Methoden als auch die Programme werden laufend wei-terentwickelt und bieten interessante Betä-tigungsfelder für Mathematiker. Aber auch kommunikative Fähigkeiten sind gefragt, da Aktuare eng mit Underwritern zusammenar-beiten, die Rückversicherungsverträge zeich-nen und mit den Kunden verhandeln. Hier-bei ist es nützlich, wenn man sein mathema-tisches Wissen gut vermitteln kann. Meine Erfahrung aus zahlreichen Übungsgruppen und meine Fremdsprachenkenntnisse kamen

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mir hierbei sehr zugute. Mittlerweile bin ich – man könnte es auch einen Karriereschritt nennen – selbst ein Underwriter geworden. In meiner neuen Abteilung wird retrospektive Rückversicherung gezeichnet. Damit bezeich-net man die Beteiligung an Risiken, die in der Vergangenheit gezeichnet wurden aber noch Schadenpotential in der Zukunft tragen. Da es sich hierbei meist um Spezialfälle han-delt, stellt die mathematische Einschätzung des erwarteten Schadens bei jedem Projekt erneut eine Herausforderung dar.Insgesamt hat mir meine erste Zeit im Berufs-leben viel Interessantes und Neues gebracht. Mit der Tatsache, dass ich jetzt eine andere

Art von Mathematik mache, habe ich mich ganz gut abgefunden. Kürzlich sagte mir ein Absolvent der Mathematik, das meiste, was man im Studium lerne, sei später im Beruf wertlos. Diese Aussage kann ich nicht bestä-tigen. Ich bin sehr wohl der Meinung, dass das Studium der reinen Mathematik für mich wertvoll war, auch wenn es sich nicht unmit-telbar in meiner „Karriere” niedergeschlagen hat. Als wirklich nützlich hat sich aber einmal mehr der zufällig entstandene Finanzmathe-matik-Schein erwiesen, denn er ist mir sogar für die Aktuarsprüfung bei der DAV aner-kannt worden.

Daniela Hobst

Karrieren Mit dem Hamburger Michel auf

Augenhöhe

Von meinem Arbeitsplatz im 16. Stock der Hauptverwaltung der Versicherungsgruppe Deutscher Ring kann ich die schönste Stadt Deutschlands täglich von oben betrachten – wenn die Zeit es erlaubt. Unsere Gäste genießen den Blick über Hamburg; dem „Michel“ auf Augenhöhe zu begegnen, ist schon etwas Besonderes.Und dies ermöglicht die Mathematik?! Nun, bei mir ist es so. Aufgewachsen in einem 300-Seelendorf im tiefsten Sauerland mit einer hervorragen-den Zwergschul(aus)bildung zeigte sich bei mir schon früh eine gewisse mathematische Begabung. Die 8-jährige Gymnasialzeit – ich war Nutznießer der Kurzschuljahre – in der von Franziskanerinnen geleiteten reinen Mädchenschule änderte daran nichts. So entschied ich mich dann, nach dem Abitur im Sommer 1967 Mathematik zu studieren und mit 18 Jahren nach München zu ziehen.Von einem kleinen Dorf im Sauerland in die Millionenstadt München, mit der mathe-

matischen Vorbildung eines neusprachli-chen Mädchengymnasiums zum Studium der Mathematik an der LMU in München – der Anfangsschock der Umstellung war sehr groß. Und des Öfteren hegte ich im ersten Jahr Überlegungen, mit der Mathematik wieder aufzuhören und wieder gen Westen in eine kleinere Studienstadt zu gehen. Aber Gott sei Dank zeichnete mich schon damals ein enormer Durchhaltewillen aus, der mir auch in der weiteren Zukunft als treuer Begleiter oft von Nutzen war. Nachdem ich die Anfän-gervorlesungen bei Professor Stein und bei Professor Kerner und auch das Vordiplom gut überstanden hatte, habe ich mir schon frühzeitig Gedanken gemacht, ob ich mich zukünftig mehr der reinen Lehre widmen oder doch besser der Praxis zuwenden sollte. Mathematik allein im Mittelpunkt des Seins erschien mir nicht so erstrebenswert, und so entschied ich mich schon bald für letz-teres – für die Praxisorientierung. Nun war das seinerzeit nicht so einfach, da Mathema-tik und Praxis an der LMU doch viele noch sehr befremdete. Auch war das Angebot an finanz- oder wirtschaftsbezogenen Vor-lesungen im Mathematikbereich noch sehr spärlich. Für mich war es ein Gewinn, auf zwei Honorarprofessoren der Versicherungs-

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mathematik zu stoßen, denen es ein Anlie-gen war, den Studenten der Mathematik die Versicherungspraxis aus erster Hand nahe zu bringen.Sowohl Professor Robert Brückner – ehe-mals Vorstandsmitglied der Gisela Kranken – als auch Professor Hasso Härlen – ehemals Vorstandsmitglied der Bayerischen Rückver-sicherung – haben uns nicht nur mit Begeis-terung die Versicherungsmathematik näher gebracht, sondern auch die Anwendungs-gebiete in der Praxis erschlossen. Herr Pro-fessor Brückner ging sogar soweit, all seinen Studenten einen Arbeitsplatz in der Versiche-rungswirtschaft zu besorgen.So kam ich nach dem Diplom 1974 ohne jegliche Bewerbung zur damaligen Eos Le-bensversicherung AG (der späteren Vereinten Lebensversicherung). Mein Tätigkeitsbereich umfasste zunächst die Betriebliche Alters-versorgung, später kamen andere Bereiche der Lebens-, Kranken- und auch Sachversi-cherung hinzu. Ich hatte das große Glück, in Herrn Dr. Hans Karl Jäkel, dem späteren Vorstandsvorsitzenden der Vereinten Versi-cherungen einen Förderer und Mentor gehabt zu haben, der mich bereits nach knapp zwei Jahren unerbittlich in die Führungslaufbahn schob. Seine Anforderungen waren hoch, seine Ratschläge und seine Erfahrung von großem Nutzen für mich. So habe ich es nicht zuletzt Herrn Dr. Jäkel zu verdanken, dass ich die mir dann zahlreich gebotenen Möglich-keiten, andere Aufgabenfelder und Führungs-bereiche im Hause der Vereinten (später der Allianz) zu übernehmen, stets ergriffen habe. Zuletzt war ich Vorstandsmitglied der Ver-einten Leben und gleichzeitig als Niederlas-sungsleiter München der Allianz Leben tätig.Die reine Mathematik selbst war hier nicht eigentlich nutzvoll; die mathematische Aus-bildung – das strukturierte, methodische Vorgehen, das notwendige analytische Denk-vermögen, das logische Ausrichten und Handeln, das unbedingte „Dranbleiben“ am

Thema – war jedoch von enormem Vorteil. Auch die in den ersten Studiensemestern notwendigerweise erlernte resp. geschärfte Frustrationstoleranz war für meinen weiteren Berufsweg von großem Wert . Neben den „normalen“ Anforderungen des Arbeitsle-bens hatten wir im Bereich der Vereinten Ver-sicherungen mehrere Fusionen zu bewältigen, zuletzt die Integration in die Allianz-Gruppe. Alle Fusionen habe ich – sicher auch dank der guten Schule des Lebens durch die Math-ematik – gut überstanden. Warum ich dann schließlich nach mehr als 30 Jahren München verlassen habe? Im Jahr 2000 bekam ich das Angebot, als Vorstandsmitglied zum Deutschen Ring nach Hamburg zu wechseln und dort das Ressort Krankenversicherung zu übernehmen. Als mittelgroße Unternehmensgruppe mit einer vielfältigen, sehr interessanten Vertriebsstruk-tur bietet der Deutsche Ring Möglichkei-ten des persönlichen Einsatzes, Entschei-dens und Handelns, die ein Großkonzern nicht gewährt . Und als kommunikations- und gestaltungsfreudiger Mensch mit großer Freude am Vertrieb habe ich diese Chance kurzerhand ergriffen – und bis heute nicht bereut. Der Deutsche Ring Krankenversiche-rungsverein wurde gerade von der Rating Agentur Assekurata mit A+ (sehr gut) aus-gezeichnet.Ob mein beruflicher Weg wegen oder trotz der Mathematik so weit/hoch geführt hat? Eine mathematische Vor- resp. Ausbildung ist sicher von großem Wert. Wer aber in der Praxis bestehen will, muss vor allem eins mitbringen: Respekt vor der Arbeit – auch außerhalb der reinen Lehre.Was die Höhe anbelangt: Gäste sind nach vorheriger Anmeldung im 16. Stock des Hochhauses des Deutschen Ring in Ham-burg gern willkommen – „Michel auf Augen-höhe“ inklusive.

Marlies Hirschberg-TafelMitglied des Vorstandes der

Versicherungsunternehmen Deutscher Ring

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Ab dem Wintersemes-ter 2007/08 wird im Rahmen des Elitenetz-werks Bayern ein Elite-Mas te r s tudiengang „Theore t i s che und Mathematische Physik (TMP)” gemeinsam von der LMU und der TUM mit der LMU als Träger-universität eingerich-tet. Der TMP-Elitestudiengang wird gemeinsam von den Departments für Physik und Mathe-matik an der LMU getragen; außerdem sind Wissenschaftler der TU München und der Max-Planck-Institute für Physik und Quan-tenoptik daran beteiligt.

Zulassung und StudienverlaufBewerberinnen und Bewerber mit einem sehr guten Bachelorabschluss in Mathematik oder Physik (oder einem äquivalenten Studienab-schluss) können sich für die Zulassung zu dem Elitestudiengang bewerben. Als Eingangsvoraussetzung werden sowohl Kenntnisse der Mathematik als auch der The-oretischen Physik erwartet.Praktisch bedeutet das, dass das jeweils andere Fach (Theoretische Physik oder Mathe-matik) das Nebenfach sein sollte. Über die Zulassung wird unter anderem aufgrund von mündlichen Zulassungsprüfungen entschie-den. Für die Zeit, in der es noch keine Bache-lorabschlüsse der LMU in Physik und Mathe-matik gibt, wird eine Übergangsregelung erarbeitet werden. Voraussichtlich wird auch Bewerbern nach dem Vordiplom der Zugang zum Elitestudiengang ermöglicht, wenn der Bachelorabschluss noch nachträglich erwor-ben wird. Der TMP-Elitestudiengang führt

mit einer Regelstudi-enzeit von zwei Jahren zu einem Masterab-schluss. Ein Ziel ist es, den Studierenden eine ebenso tiefe wie breite Ausbildung in theore-tischer und mathema-tischer Physik anzu-bieten und ihnen so möglichst zügig einen Einstieg in diese faszi-

nierenden und auch anspruchsvollen Gebie-te zu ermöglichen. Das Lehrangebot setzt sich aus Vorlesungen, Seminaren, Projekttheoreti-ka, Wochenendkursen sowie Blockveranstal-tungen und Sommer- und Frühjahrsakademi-en zusammen.

GrundkenntnisseFolgende Grundkenntnisse werden voraus-gesetzt:• Studierende mit Physik-Bachelor:

Klassische Mechanik und Elektro-dynamik, Quantenmechanik I, Statistische Mechanik.

• Studierende mit Mathematik-Bachelor:Funktionalanalysis und Komplexe Analysis, Partielle Differentialgleichungen, Mannigfaltigkeiten und Differential-formen, Stochastik.

Noch unvollständige Grundkenntnisse aus dem jeweils komplementären Bereich (Mathe-matik bzw. Physik) können auch im Rahmen des TMP-Elitestudiums ergänzt werden.

Inter- und TransdisziplinaritätBesonderer Wert wird auf die Interdisziplina-rität zwischen der modernen theoretischen Physik und der Mathematik gelegt; es wird aufgezeigt, dass es in der Physik und in der

Der Elitestudiengang TMP

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Mein Name ist Maja und ich komme aus

Maribor in Slowenien. Ich war die erste

Erasmus-Studentin aus Maribor an der

Fakultät für Mathematik, Informatik und

Statistik der LMU und jetzt will ich mit

euch meine Gefühle teilen und möchte

auch versuchen euch zu überzeugen, für

ein oder zwei Semester nach Maribor zum

Studieren zu kommen.

Ich lebte für drei Monate in München, um meine Diplom-Arbeit zu schreiben, aber jetzt denke ich, dass drei Monate nicht genug waren und ich noch länger bleiben wollte, wenn es möglich gewesen wäre. Ich glaube, dass jeder Student den Erasmus-Austausch ausprobieren sollte. Diese Zeit war eine der

Maribor schönsten in meinem Leben und ich muss sagen, dass ich sehr viel Erfahrungen erwarb. Und so ist es nicht nur bei mir. Ich kenne keinen Ex-Erasmus-Studenten, der es bereu-te. Für mich war es etwas Neues, weil ich bis dahin noch nie mehr als drei Wochen im Ausland gelebt hatte. Ich lernte viele gute Freunde aus Deutschland und anderen Län-dern kennen und mit vielen bin ich noch immer in Kontakt. Ich besuchte sie schon einmal für ein paar Tage, und es war so schön, wieder in München zu sein. Ein sehr großer Gewinn für mich waren auch bessere Deutschkenntnisse. Wenngleich ich Deutsch schon seit 8 Jahren gelernt hatte, konnte ich es nicht so gut sprechen. Obwohl ich mit anderen Erasmus-Studenten viel Englisch gesprochen habe, wurde mein Deutsch viel, viel besser. Außerdem kann man auch eine

Mathematik viele gemeinsame Fragestellun-gen im Grenzbereich beider Wissenschaf-ten gibt. Ebenso steht die Transdisziplinari-tät, also der Wissenstransfer von einem Fach-gebiet in das benachbarte, im Vordergrund. Mathematische Methoden werden für die Physik nutzbar gemacht, und Mathematiker werden an aktuelle physikalische Fragestel-lungen herangeführt.

Internationale AusrichtungDas Studienprogramm ist auf die Forschung ausgerichtet und ermöglicht einen beschleu-nigten Einstieg in ein Promotionsstudium. Die Internationalität des Studiengangs wird durch internationale Rekrutierung, Auslands-semester und Einbindung internationaler Gastwissenschaftler, z.B. in kurzen Vorle-sungsreihen, erzielt. Die Lehrveranstaltungen werden normalerweise in englischer Sprache abgehalten.

Gemeinsames LehrangebotDas TMP-Lehrangebot ist in die folgenden fünf TMP-spezifischen Kurse gegliedert:

• Fortgeschrittene und angewandte Quan-tenmechanik

• Quantenfeldtheorie und Eichtheorien• Kosmologie, Allgemeine Relativitätstheo-

rie und Differentialgeometrie• Stringtheorie und Geometrie• Statistische Physik und Stochastik

Spezifisch für diesen Studiengang werden gemeinsam von je einem Dozenten aus der Mathematik und aus der Physik angebotene Lehrveranstaltungen eingerichtet.

AnsprechpartnerInteressierten Studierenden stehen die Pro-fessoren van Delft (Physik), Lüst (Physik), Merkl (Mathematik), Siedentop (Mathema-tik) und Spohn (Mathematik TUM) für weite-re Fragen zur Verfügung.

Franz Merkl

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neue Kultur kennen lernen, obwohl es keinen großen Unterschied zwischen deutscher und slowenischer Kultur gibt. Die einzige Sache, die ich in München nicht mochte, war, dass es so viele Italiener, Spani-er und Franzosen gab, die immer zusammen blieben und sich immer in ihrer Mutterspra-

che unterhalten haben. In Maribor ist das ganz anders. Jedes Semester gibt es etwa 100 Erasmus-Studenten, und in der ersten Woche ist für sie eine Welcome Woche organisiert in der sich alle kennen lernen. Jeder bekommt auch einen Studenten aus Maribor zugeteilt; wir nennen ihn den Mentor und er hilft in der ersten Woche in Maribor. Er wartet auf seinen Erasmus-Studenten auf dem Bahnhof, fährt ihn in das Studentenheim, hilft ihm wenn er Probleme hat, geht mit ihm zur Einschrei-bung usw. Dieses Semester bin ich auch ein Mentor, deswegen verbringe ich viel Zeit mit den Erasmus-Studenten und ich kann sagen, dass sie in Maribor sehr zufrieden sind.Maribor ist eine kleine Stadt mit 150.000 Einwohnern und trotzdem ist es die zweit-größte Stadt in Slowenien. Von Maribor ist es nur 15 km bis zur österreichischen Grenze, 60 km bis Ungarn, 50 km bis Kroatien und 200 km bis Italien. Ja, es stimmt, dass Slowe-nien sehr klein ist, aber hier kann man alles finden was man will: das Meer, die Alpen, schöne Seen und Flüsse, weite Ebenen – und das beste ist, dass alles nicht weit von Mari-bor entfernt ist. Die Universität von Maribor wird von etwa 11.000 Studenten besucht.

Alle Studentenheime und Fakultäten sind in der Nähe und man kann überall zu Fuß oder mit dem Fahrrad hinkommen. Für viele Studenten, die gern skifahren oder snow-boarden ist Maribor eine Traumstadt, weil man mit dem Auto nur 5 Minuten von der Stadtmitte fährt und schon ist man auf der Skipiste, auf der jedes Jahr der Weltcup im Damen-Slalom und Riesenslalom stattfin-det. Wochentags können dort alle Studenten einen Rabatt von 50 bis 60 Prozent für eine Tageskarte nutzen. Natürlich war das Leben in München für mich viel einfacher als das Leben in Maribor für deutsche Studenten, die kein Slowenisch sprechen, aber auch das ist doch kein großes Hindernis, weil viele Leute in Maribor ganz gut Englisch sprechen können und manche auch mit Deutsch keine Probleme haben. Die einzige Schwierigkeit könnten nur die Vorle-sungen und Übungen an der Fakultät sein, die alle auf Slowenisch sind. Aber wenn ein fremder Student hier studieren möchte, kann er die Literatur selbst studieren und dann mit den Professoren und Assistenten Termi-ne ausmachen.Ich weiß, dass Maribor für die meisten deut-schen Studenten nicht so interessant ist, aber das ist nur, weil sie es nicht so gut kennen. Manchmal hat das Leben in einer kleinen Stadt viele Vorteile gegenüber dem Leben in einer großen Stadt wie München. Alle Erasmus-Studenten, die in Maribor studiert haben, waren sehr glücklich und sehr zufrie-den, dass sie sich für Maribor entschieden hatten.

Maja Repnik

Im Zuge des Erasmus-Abkommens fand auch ein Dozentenaustausch statt, in dessen Rahmen Herr Professor Hinz in Maribor war und im Gegenzug Herr Professor Sandi Klavžar am Mathematischen Institut der LMU Vorlesungen und Vorträge gehalten hat.

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Rätselecke

?Max und Ludwig kaufen sich zusammen 120 Bonbons, wobei sich

jeder für seine Lieblingssorte entscheidet, und geben dafür ins-gesamt gleich viel Geld aus. Max sagt „Hätte ich genauso viele Bonbons gekauft wie Du, so hätte ich 5 Euro bezahlt.“, worauf Ludwig meint „Und hätte ich genauso viele Bonbons gekauft wie Du, so hätte ich 9,80 Euro bezahlt.“. Wie viel Geld hat nun

jeder der beiden ausgegeben?

Wie das Beispiel 2½ = √2 zeigt, ist es nicht schwer, zwei positive rati-onale Zahlen, hier a = 2 und b = ½, zu finden, deren Potenz ab irrational

ist, hier ab = √2. Gibt es aber auch zwei positive irrationale Zahlen a und b, deren Potenz ab rational ist?

Viele Fußballfans fiebern schon seit langem dem großen Ereignis entgegen: die sieben Vereine von Kickershausen tragen wieder ihr alljährliches Turnier aus. Der Modus sieht vor, dass jeder Verein genau einmal gegen jeden anderen Verein spielt. An jedem der sieben Spieltage werden drei Partien ausgetragen, eine Mannschaft ist spielfrei; jede Mannschaft muss nach einem Heimspiel ein

Auswärtsspiel austragen und genießt dafür nach einer Partie auf gegnerischem Platz im darauf folgenden Spiel Heimrecht. Dabei kommt es unter anderem zu

den folgenden Begegnungen:

1. Spieltag: SpVgg Kickershausen – VfL Kickershausen2. Spieltag: TuS Kickershausen – FC Kickershausen3. Spieltag: SpVgg Kickershausen – SV Kickershausen4. Spieltag: SV Kickershausen – VfL Kickershausen5. Spieltag: SG Kickershausen – SV Kickershausen6. Spieltag: TSV Kickershausen – SpVgg Kickershausen7. Spieltag: SV Kickershausen – TuS Kickershausen

Wie lautet der restliche Spielplan?

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!Rätselecke

Lösungen zu den Rätseln von Ausgabe 13 (Wintersemester 2005/06)

An einer dreitägigen Konferenz nehmen sieben Personen teil, wobei an jedem Tag ein gemeinsa-mes Essen an einem runden Tisch eingenommen wird. Ist es möglich, die drei Sitzordnungen so zu wählen, dass je zwei Teilnehmer einmal nebeneinander sitzen sowie einmal eine Person und einmal zwei Personen zwischen sich haben?

Nennen wir die sieben Konferenzteilnehmer A, B, C, D, E, F und G, so besitzen die folgenden drei Sitzordnungen die gewünschten Eigenschaften.

Beim Jahreswechsel 2005/06 stellt sich Max die Frage, welche der beiden Potenzen 20052006 und

20062005 wohl die größere sei; sein Taschenrechner kann ihm dabei nicht wirklich weiterhelfen.

Die beiden Potenzen 20052006 und 20062005 sind nämlich viel zu groß. Stattdes-sen betrachten wir die Funktion f : + → , f(x) = lnx/x; diese ist differenzier-bar mit f’(x) = (1 - lnx) /x2 für alle x > 0. Wegen f’(x) < 0 für alle x > e ist nun f auf [e; +∞[ streng monoton fallend, insbesondere gilt also f(2005) > f(2006); damit erhält man zunächst ln2005/2005 > ln2006/2006, also 2006 · ln2005 > 2005 · ln2006, und schließlich ln20052006 > ln20062005, also 20052006 > 20062005.

Steht ein Springer auf dem Feld d4 eines Schachbrettes, so kann er in einem Zug eines der acht Felder f5, e6, c6, b5, b3, c2, e2 und f3 erreichen. Kann er, ausgehend vom Feld d4, zunächst alle 32 Felder der Reihen 1 bis 4 und dann alle 32 Felder der Reihen 5 bis 8 durchstreifen, ohne dabei ein Felder mehrmals zu betreten, und schließlich wieder auf das Feld d4 ziehen?

In der Abbildung ist die auf Leonhard Euler zurück-gehende Lösung des Problems dargestellt.

Ausgehend von dem mit dem Sternchen versehenen Feld d4 durchstreift der Springer zunächst die restli-chen 31 Felder der Reihen 1 bis 4 und anschließend die 32 Felder der Reihen 5 bis 8; die Zahlen in den Feldern geben dabei die Reihenfolge der Züge an. Schließlich kann der Springer von dem letzten Feld f5 mit der Zahl 63 auf das Ausgangsfeld d4 zurück-kehren.

57 42 59 36 51 40 61 34

48 45 56 41 60 35 52 39

43 58 47 50 37 54 33 62

46 49 44 55 32 63 38 53

21 6 31 ∗ 23 12 17 14

30 1 22 5 18 15 26 11

7 20 3 28 9 24 13 16

2 29 8 19 4 27 10 25

F G E C A

B D

B C G D A

E F

E D C F A

G B

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Sind Wahlenundemokratisch?

Bodo Pareigis

Einleitung

Etwa ein Jahr nachdem George W. Bushzum amerikanischen Prasidenten gewahltworden war, fiel mir in einem mathemati-schen Buchladen zufallig das Buch Chao-tic Elections! mit dem Untertitel A Ma-thematician Looks at Voting von DonaldG. Saari [S2001] (Chief Editor des Bulletinof the AMS) in die Hand. Noch stand manmit unglaubigem Staunen vor der Tatsache,dass juristische Intervention die Wahl ent-schieden hatte und dass, was ich eigent-lich fur interessanter hielt, George W. mit540.000 Stimmen Ruckstand die Wahlengewonnen hatte.

Und da lag plotzlich eine wunderschonemathematische Auseinandersetzung mitden verschiedenen Paradoxien des Wahl-rechts vor mir. Nach einigen Studien, Wahl-recht ist ja eigentlich nicht mein Fachge-biet, erfuhr ich dann, dass wir in Deutsch-land im Wahlrecht auch eine Menge vonKnallern haben und dass sich die Verfas-sungsgerichte immer wieder mit Anfech-tungen des Wahlrechts und der Wahlvor-schriften auseinandersetzen mussen. Unddas nicht etwa, weil die Politiker, wie manleicht vermuten konnte, Streithahne sind,sondern weil etwas fundamental Mathema-tisches beim Wahlrecht im Argen liegt.

Ich kann an dieser Stelle leider nur wenigeHinweise zu den mathematischen Resulta-ten geben und mochte auch die juristischenAnsichten und methodischen Verfahren zuWahlen nicht ganz zu kurz kommen las-sen. All das rankt sich um eine Vielzahl vonschonen Paradoxien, die man mit ein wenigGeduld leicht nachvollziehen kann.

One man, one vote

Beginnen wir mit den Grundanforderungenan ein gerechtes Wahlsystem. Wir wissendoch eigentlich alle, dass verschiedeneParteien durch allgemeine, unmittelbare,freie, gleiche und geheime Wahlen vonden Wahlern gewahlt werden sollen. Dabeiheißt die Wahl–allgemein, wenn grundsatzlich jederStaatsburger an ihr teilnehmen kann,–unmittelbar, wenn der Wahlerwille direktdas Wahlergebnis bestimmt,–frei, wenn der Staat den Burger nicht zueiner bestimmten inhaltlichen Wahlent-scheidung verpflichtet,–gleich, wenn jeder Wahler grundsatzlichdas gleiche Stimmgewicht besitzt,–geheim, wenn die Entscheidung einesWahlers keinem anderen bekannt ist.Die Bedingung der Gleichheit ist diemathematisch relevanteste Bedingung.Wir werden zunachst annehmen, dass jederWahler nur eine Stimme hat.

Die Probleme mathematischer, politischerund juristischer Art beginnen mit der Frage,was man denn eigentlich mit einem Wahler-gebnis anfangt, das den einzelnen Parteiengewisse Zahlen von Wahlstimmen bescherthat. Eine Moglichkeit ist sicherlich, dassdas amtierende Parlament sich gar nichtum das Ergebnis kummert und einfach imAmt bleibt.

Wir mussen also deutlich ausdrucken, wasnach der Auszahlung der Stimmzettel ge-schehen soll. Das machen wir hier auf knap-pe mathematische Weise.

Angenommen wir habenp Parteien 1, . . . , p undS gultige abgegebene Stimmen.

Fur die einzelnen p Parteien seiens1, . . . , sp Stimmen abgegeben worden.

Wir bezeichnen mit

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M die Gesamtzahl der Mandate (Sitze)und mit

m1, . . . ,mp die Anzahl der Mandate, dieauf die einzelnen Parteien entfallen. Danngilt zunachst (*)

s1 + . . . + sp = S und m1 + . . . + mp = M

Man bestimme die Mandatssitze mi fur dieeinzelnen Parteien. Dabei ist zu beachten,dass die si und vor allem die mi nur ganz-zahlig sein konnen.

Man strebt zudem an, dass die Pro-zentsatze der auf die einzelnen Partei-en entfallenden Stimmen si/S und Man-date mi/M moglichst gleich sind, wasdie Grundlage des Verhaltniswahlrechts ist.Man nennt die ungerundete Mandatszahlsi

S · M = si

S/M die Idealquote.

Wir mochten jedoch ganze Zahlen haben:

mi = { siS

· M} = { siS/M

},

und fragen, wie die Rundung { } vorzuneh-men ist?

Bevor wir diese Frage beantworten, fragenwir, ob die Wahl zum Deutschen Bundestagam 19. September 1965 zu einer gerechtenVerteilung der Sitze gefuhrt hat.

Partei si Ideal- mi

quote Endergebnis

SPD 12.813.186 202, 18 202CDU 12.387.562 195,46 196CSU 3.136.506 49,49 49FDP 3.096.739 48, 86 49

mit S = 31 433 993 und M = 496. Manwird vielleicht sagen, dass die unterschiedli-che Rundung und die endgultige Sitzzuwei-sung an CDU und CSU nicht so wichtig ist,jedoch gibt die unterschiedliche Rundungzu denken. Wie ist hier eigentlich gerundetworden?

Bei der Berechnung von si

S/M dividiert man

die Stimmen si, die auf eine Partei ent-fallen, durch eine Zahl, die die Anzahl der

fur ein Mandat benotigten Stimmen angibt.Rundet man dann die Idealquote nach un-ten ab, so werden im Allgemeinen zu weni-ge Mandate verteilt.

Das Zahlverfahren nach d’Hondt fordertnun, den Divisor, der hier S/M war, solan-ge zu Werten d zu verkleinern, bis

∑� si

d �(Gaußklammer) die Anzahl der Mandate er-gibt. Bei der obigen Bundestagswahl liegtdann d zwischen 63.120 und 63.198.

Das Verfahren nach d’Hondt (auchJefferson-Verfahren)

Man bestimme einen Divisor d und

mi = � sid� = Int( si

d)

(großte ganze Zahl ≤ si

d ) so, dass die Glei-chungen (*) erfullt sind.

Das Verfahren kann in Form funf ma-thematisch aquivalenter Algorithmen, diestets dieselbe Mandatszuteilung ergeben,verwendet werden: als Zweischrittverfah-ren, als Hochstzahlverfahren, als Rangmaß-zahlverfahren, als Paarweiser-Vergleich-Verfahren oder als Quasi-Quotenverfahren(Hagenbach-Bischoff-Verfahren).

Das Hochstzahlverfahren ist ein hubschesAuszahlverfahren, das in der juristischenLiteratur (z.B. Gesetzestexte) beschriebenwird als:

”(1) Die Mandate werden auf die Parteien

in der Weise verteilt, dass die Gesamtstim-menzahlen, die fur die Parteien festgestelltworden sind, nacheinander durch 1, 2, 3,4 usw. so lange geteilt werden, bis so vie-le Hochstzahlen ermittelt sind, als Mandatezu vergeben sind.

(2) Jeder Partei wird dabei der Reihe nachso oft ein Sitz zugeteilt, als sie jeweils diehochste Teilungszahl aufzuweisen hat. DieTeilung muss so lange fortgesetzt werden,bis nach Verteilung aller Mandate bei jeder

28

Partei noch eine nicht berucksichtigte Tei-lungszahl ubrig bleibt, damit feststeht, dasskeine Partei eine hohere Teilungszahl auf-zuweisen hat, als bei Vergebung des letztenMandates berucksichtigt worden ist.“oder kurzer

”Man teilt die Zahl der erhaltenen Stimmen

jeder Partei nacheinander durch die naturli-chen Zahlen 1, 2, 3, ... ,n. Die dabei erhalte-nen Bruchzahlen werden als Hochstzahlenbezeichnet.Die Hochstzahlen werden absteigend nachihrer Große geordnet. Die so ermittelte Rei-henfolge gibt die Vergabereihenfolge derMandate an. Es finden so viele Hochstzah-len Berucksichtigung, wie Mandate im Gre-mium zu vergeben sind.“

Das Hagenbach-Bischoff-Verfahren ermit-telt zunachst die Sitzverteilung als

mi =

⌊si⌊

SM+1+1

⌋⌋

.

Verbleibende Mandate werden nach denHochstzahlen vergeben, die berechnet wer-den als si/Int(mi + 1).

An einem Beispiel (nachste Spalte) siehtman, wie bei der Suche nach einem geeig-neten Divisor die starken Parteien bevor-zugt werden. In diesem Falle uberspringtdie Partei A ausgehend von dem Divi-sor S/M = 5.137 zweimal die Hurde zurnachsten ganzen Zahl fur die geplante Ab-rundung und erhalt damit zwei Mandate,von denen eines besser der Partei C zu-gesprechen worden ware. Die großen Par-teien werden vom d’hondtschen Verfah-ren grundsatzlich bevorzugt. Die Partei Aerhalt bei einer Idealquote von 37,64 (=sA/q mit q = S/M) tatsachlich 39 Sitze.

Man sucht daher ein Verfahren, bei demdie Anzahl der Mandate fur jede Parteinicht kleiner als ihre nach unten gerundeteIdealquote und nicht großer als ihre nach

oben gerundete Idealquote ist (Quotenkri-terium), eine in der juristischen Literaturoft aufzufindende Forderung.

Entwicklung einer Mandatsverteilung nachd’Hondt bei Anpassung des Divisors:

A B C D Man-date

si: 193.357 87.740 29.640 23.168Ideal: 37,64 17,08 5,77 4,51 65

d5.137 37,64 17,08 5,77 4,51 635.090 37,99 17,24 5,82 4,55 635.080 38,06 17,27 5,83 4,56 644.960 38,98 17,69 5,98 4,67 644.950 39,06 17,73 5,99 4,68 65Ergeb. 39 17 5 4 65

In den ersten zehn Wahlen zum Deut-schen Bundestag bis einschließlich 1983wurden die Mandate mit der Methode vond’Hondt zugeteilt, seither mit der Metho-de von Hare-Niemeyer. Der bayerische Ver-fassungsgerichtshof hat die Anwendung desd’hondtschen Verfahrens unter dem gelten-den Landeswahlrecht (getrennte Sitzver-teilung in den sieben Regierungsbezirken)1992 fur verfassungswidrig erklart.

Das Verfahren nach Hare-Niemeyer(auch Hamilton-Verfahren)

Man wahle als Divisor q = S/M und bildemi = �si/q�. Es bleiben Mandate ubrig.Diese werden auf die großten verbleibendenReste verteilt. Es ergibt sich

mi =

{�si/q� fur kleine Reste,

�si/q� + 1 fur große Reste.

Ganz offensichtlich erfullt dieses Verfahrendas Quotenkriterium. Jedoch treten jetztandere Ungereimtheiten oder Paradoxienauf.

Das Parteienzuwachs-Paradox: (12. Bun-destag – Haushaltsausschuss) Im 12. Bun-destag besaß die Partei D zunachst kei-nen Fraktionsstatus und wurde bei derBesetzung des Haushaltsausschusses nicht

29

berucksichtigt. Als man ihr jedoch denFraktionsstatus zubilligte und die Anzahlder Sitze im Haushaltsausschuss um 1 ver-großerte (auf jeden Sitz im Ausschuss ent-fallen ca. 17 Bundestagssitze), verlor diePartei C im einen Ausschusssitz an die Par-tei A.

A B C DFraktionsstarken: 320 238 79 17

Ausschusssitze ohne Partei D18 14 5 –

Ausschusssitze mit Partei D19 14 4 1

Schließlich erhielt A aber nur 319 Bundes-tagssitze und gab einen Bundestagssitz andie Partei B ab. Daraufhin musste A aucheinen Haushaltsausschusssitz wieder abge-ben, jedoch an die Partei C.

A B C DFraktionsstarken: 319 239 79 17

Ausschuss 18 14 5 1

Das Stimmenzuwachs-Paradox: Die Man-date der Parteien wurden nach demvorlaufigen Wahlergebnis und dann nachder endgultigen Auszahlung bestimmt:

vorl. vorl. Ande- End- endg.Ergeb. Mand. rung ergeb. Mand.

A 17.140.354 260 +26.000 17.166.354 259B 16.082.960 243 +24.000 16.106.960 243C 3.427.196 52 +25.000 3.452.196 52D 3.424.315 52 +30.000 3.452.196 52E 3.265.407 49 -5.000 3.260.407 50

eine bemerkenswerte Verschiebung einesMandats von A nach E trotz gegenteiligenTrends bei der Stimmenauszahlung!

Das Mandatszuwachs-Paradox (fehlendeHausmonotonie): Bei einem Zensus im Jah-re 1870 in den USA stellte sich heraus, dassbei einer Große des Reprasentantenhausesvon 270 der Staat Rhode Island 2 Sitze er-halten wurde, in einem Haus mit 280 Sitzenwurde Rhode Island jedoch nur einen Sitzerhalten. Zehn Jahre spater 1880 berech-nete man die Zuweisung von Mandaten im

amerikanischen Reprasentatenhaus neu un-ter der Annahme, dass eine gesamte Man-datsanzahl zwischen 275 und 350 festgelegtwurde. Es stellte sich heraus, dass der StaatAlabama bei insgesamt 299 Sitzen 8 Sit-ze, bei 300 Sitzen jedoch nur 7 Sitze erhal-ten wurde (das Alabama-Paradoxon). 1882wurde das Reprasentantenhaus auf 325 Sit-ze festgelegt und Alabama behielt seine 8Sitze. Das wiederholte sich nach dem Zen-sus 1900 in verstarktem Maße fur die Ver-treter des Staates Maine und fuhrte zur fol-genden Aufstellung

Sitzzahl Maine350-382 3383-385 4

386 3387-388 4389-390 3391-400 4

und zu folgendem Ausspruch:

”It does seem as though mathematics and

science have combined to make a shuttle-cock and battledore (Federballspiel) of theState of Maine. God help Maine when ma-thematics reach for her!“Schockiert unterließ man dann die per Ver-fassung festgelegte Neuverteilung des Re-prasentantenhauses im Jahre 1920 und gingdanach zum Webster-Verfahren uber.

Wir geben noch zwei weitere Paradoxienzum Hare-Niemeyer-Verfahren an.

Ein Bauer vererbt seinen Sohnen A und Bseine Kuhe zu je 42,5%, die restlichen Kuhegehen an den Sohn C. Bei seinem Tode be-sitzt der Bauer 10 Kuhe. Die Aufteilung ge-schieht wie folgt

Erben A B C ges.

Erbanteil 42,5 42,5 15 100Kuhe 4,25 4,25 1,5 10ganz 4 4 1 9Bruch 0,25 0,25 0,5 1

Zuweisung 4 4 2 10

Die beiden Sohne A und B spendieren nun

30

eine weitere Kuh in das zu verteilende Erbe.Dann ergibt sich

Erben A B C ges.

Erbanteil 42,5 42,5 15 100Kuhe 4,675 4,675 1,65 10ganz 4 4 1 9Bruch 0,675 0,675 0,65 2

Zuweisung 5 5 1 11

Nach der Kreistagswahl im Wetteraukreisam 12. Marz 1989 war der Kreisausschussmit 9 Sitzen vom Kreistag neu zu besetzen.

Partei SPD CDU Grune Rep. ges.Mandate 38 29 7 5 79

Sitze 4,33 3,30 0,80 0,57 9ganz 4 3 0 0 7Bruch 0,33 0,30 0,80 0,57 2

Zuweisung 4 3 1 1 9

Der Kreistag beschloss, den Kreisausschussum einen Sitz auf 10 zu vergroßern.

Partei SPD CDU Grune Rep. ges.Mandate 38 29 7 5 79

Sitze 4,81 3,67 0,89 0,63 10ganz 4 3 0 0 7Bruch 0,81 0,67 0,89 0,63 3

Zuweisung 5 4 1 0 10

Das Verfahren nach Sainte-Lague (auch Webster-Verfahren)

Man bestimme einen Divisor d und die

mi = 〈 si

d 〉

(= standard-gerundete Zahl) so, dass dieGleichungen (*) erfullt sind.

Diese Methode ist weitgehend resistent ge-gen Paradoxien, kann aber das Quotenkri-terium ebenfalls verletzen. Weitere Metho-den gehen auf Hill-Huntington, Dean oderAdams zuruck.

Bei all diesen Methoden stoßen wir auf dasProblem der Rundung. Betrachten wir deneinfachsten Fall mit zwei Parteien X undY . Ihr Stimmenverhaltnis sei (pX ; pY ) mit

pX + pY = 1 und pX ≥ 0, pY ≥ 0. DieSitzzuweisung ist z = t · (pX ; pY ). Dabeiist t die Gesamtzahl der Sitze.

Ein Beispiel: pX = 0, 375, pY = 0, 625und t = 5 ergeben eine Zuweisung z =5 · (0, 375; 0, 625) = (1, 875; 3, 125), also1,875 Sitze fur die Partei X und 3,125 Sitzefur die Partei Y . Hier ist die Standardrun-dung einfach. Die 0,875 Sitze werden aufeinen Sitz fur X aufgerundet, Y bekommtkeinen weiteren Sitz.

Diese Aufteilung fur verschiedene t fuhrtzu Punkten auf einer Geraden wie in derAbbildung.

�

�

���������

��

��

���

�

�

�

�

�

�

�

�

1

1

X

Y

Fur t = 5, den Beispielfall, erhalt man einenSchnittpunkt der Geraden z = t · (pX ; pY ),die gezeichneten Punkte, mit der Geradenx + y = 5. Die Rundung fuhrt auf (2; 3).

Eigentlich interessiert fur die Rundung derBruchteile nur das 1x1 Quadrat, in demder Schnittpunkt liegt. Wir legen alle die-se Quadrate aufeinander und erhalten dasfolgende Einheitsquadrat.

�������

�

1

�����

�

2

����

3

�������

�

4

����

5

�������

�

6

�����

�

7

X

Y

��

��

��

�

Die Abschnitte der Geraden in diesemEinheitsquadrat und die entsprechendenSchittpunkte fur verschiedene t sind hier

31

dargestellt. Die Rundung erfolgt nach linksoben fur Y und nach rechts unten fur X.Die Gerade verlauft jetzt auf einem Torusder Dimension 2.

Das ergibt ein endliches dynamisches Sys-tem langs der punktierten Menge. Das Ver-halten ist chaotisch. Bei mehr als zwei Par-teien wird das System hoherdimensionalund befindet sich auf einem hoherdimen-sionalen Torus.

Wer hat die Macht?

Um allen Zweifeln zu begegnen, ob es dennwirklich auf die eine Stimme ankommt, umdie wir bei der Rundung gerungen haben,sei hier ein Beispiel gegeben mit drei Partei-en und mit der Frage, wer bei dieser Stim-menverteilung die Macht hat. Wir nehmenan, dass die absolute Mehrheit bei Abstim-mungen erreicht werden muss.

Partei Sitze Machtindex

CSU 10 100 %SPD 5 0 %Grune 4 0 %

Bei der gegeben Konstellation konnen dieSPD und die Grunen gleich zu Hause blei-ben, weil die CSU die absolute Mehrheithat. Daher auch der Machtindex.

Verliert die CSU jetzt aber einen Sitz andie SPD, dann hat jede Partei die gleicheMacht, denn fur jede Entscheidung mussenzwei oder mehr Parteien zustimmen.

Partei Sitze Machtindex

CSU 9 33, 3 %SPD 6 33, 3 %Grune 4 33, 3 %

Die Verzerrung durch das d’hondtsche Ver-fahren und die ungewohnliche Koalitions-bildung wird auch deutlich an der Hoch-rechnung der Landtagswahlen in Schleswig-Holstein am 20.2.2005 gegen 21:00 (unter

Berucksichtigung der 5%-Sperrklausel):

Partei % SitzePartei Koal. Partei Koal.

SPD 38, 5 28Grune 6, 2 48, 3 4 34SSW 3, 6 2CDU 40, 2 30FDP 6, 7

46,95

35

andere 4, 8 − − −Ein lesenswerter Artikel uber die Berech-nung des Machtindex unter Berucksichti-gung von Koalitionen [K2001] stellt denverlorenen Kampf der deutschen Delegati-on beim EU-Gipfel in Nizza dar. Deutsch-land erhielt dort nach langem Kampf wegenseines durch die Wiedervereinigung hochs-ten Bevolkerungsanteils in der EU insge-samt 0,0000084% mehr Macht zugebilligt–7,71453637% gegenuber 7,71452797 % furFrankreich, Großbritannien und Italien.

Polyphonie

Bei der Wahl fur nur ein Mandat, z.B. zumStaatsprasidenten von Frankreich, werdenzum Erreichen der absoluten Mehrheitmehrere Wahlgange, z.T. unter nur zweiKandidaten, ausgetragen. Bei Wettkamp-fen werden Ausscheidungskampfe zwischenjeweils zwei Kandidaten ausgetragen, allesMethoden, die voller Paradoxien sind undtiefe mathematische Untersuchungen erfor-dern. Zur Erlauterung ein Beispiel einerLehrbuchauswahl, bei der Lehrbucher nach-einander gegenubergestellt werden und sodas von den meisten im Kollegium bevor-zugte Buch (�) bestimmt wird:

B � A C � B D � C E � D F � E100 % 100 % 66 % 66 % 66 %

Damit war das Lehrbuch F ausgewahlt.Tatsachlich war die Meinung der Lehrer imKollegium ganz anders:

Stimmen Praferenz

10 E � D � C � B � A � F

10 D � C � B � A � F � E

10 C � B � A � F � E � D

32

Es lage naher, hier die Wahl C zu treffen.

Bei der Wahl des Vorsitzenden des Ka-ninchenzuchtervereins, seines Stellvertre-ters und des 2. Stellvertreters stehen nurdrei Kandidaten zur Verfugung. Jedes der11 Vereinsmitglieder gibt eine Stimme ab.Das Ergebnis ist

Einfache Mehrheit

Muller 5Wagner 4Schmidt 2

Weil ja aber auch der Stellvertreter gewahltwird, meint man, eine Wahl mit jeweils2 Stimmen (ohne Haufelung) abhalten zumussen und erhalt

Je zwei Stimmen

Schmidt 9Wagner 8Muller 5

Um zwischen dem Vorsitzenden und demStellvertreter unterscheiden zu konnen,erhalt nun jeder 3 Stimmen, 2 fur den Vor-sitzenden und 1 fur den Stellvertreter:

Stimmen 2 – 1 – 0

Wagner 12Schmidt 11Muller 10

Hier sind die Praferenzen der einzelnen Ver-einsmitglieder zum Nachrechnen:

Stimmen Praferenz

3 Muller � Schmidt � Wagner2 Muller � Wagner � Schmidt2 Schmidt � Wagner � Muller4 Wagner � Schmidt � Muller

Ahnliches passiert laufend bei der Erstel-lung von Berufungslisten. Auch dazu einBeispiel. Es gibt 4 Kandidaten fur eine Drei-erliste. Die Abstimmung ergibt

Appel 9 Bauer 8 Clemens 7 (Dehm) 6

Der 4. Kandidat hat abgesagt, und es wirdneu abgestimmt:

Clemens 11 Bauer 10 Appel 9

Alternativ: die Verhandlungen mit dem 1.Kandidaten sind nicht erfolgreich, und eswird neu abgestimmt:

Dehm 12 Clemens 10 Bauer 8

Hier sind wieder die Praferenzen der Mit-glieder der Berufungskommission (Profil):

St. Praferenz

3 Appel � Clemens � Dehm � Bauer6 Appel � Dehm � Clemens � Bauer3 Bauer � Clemens � Dehm � Appel5 Bauer � Dehm � Clemens � Appel2 Clemens � Bauer � Dehm � Appel5 Clemens � Dehm � Bauer � Appel2 Dehm � Bauer � Clemens � Appel4 Dehm � Clemens � Bauer � Appel

Wie ware die Wahl ausgegangen, wenn mandas Profil gewichtet hatte mit der Stim-menzahl 3 – 2 – 1 – 0?

Dehm 58 Clemens 48 Bauer 41 Appel 33

Werden Wahlen gerechter, wenn mandem Wahler gestattet, seine Praferenzenvollstandig anzugeben? Welches Gewichtsollten die Stimmen fur die einzelnen Platzehaben?

Ein mogliches mathematisches Modellhierfur ist das folgende:1. Es sollen N Kandidaten in eine transitiveGesellschafts-Reihung R = (K1 � K2 �. . . � Kn) gebracht werden. (Gleichstandesind zulassig.) Das ist der Wahlausgang.2. Die Menge aller moglichen Gesellschafts-Reihungen sei R. Es soll also ein R ∈ Rgefunden werden.3. Jeder Wahler soll bei der Wahl eine Rei-hung der Kandidaten (totale Ordnung) ab-geben.4. Ein Profil ist eine Liste der Reihungender Kandidaten durch alle Wahler. Das istdas Wahlergebnis.5. Die Menge aller Profile (aller moglichenWahlergebnisse) sei P. Durch eine Wahlwird ein P ∈ P festgelegt.6. Ein Wahlverfahren ist eine Abbildung

33

w : P → R, die die folgende Bedingungerfullt:wenn in einem Profil P alle Wahler zweiKandidaten A und B in dieselbe Reihen-folge gestellt haben (z. B. A � B), dannstehen die beiden Kandidaten auch in derGesellschafts-Reihung w(P ) in derselbenReihenfolge.

Um Diskrepanzen wie im Parteienzuwachs-Paradox oder bei der Berufungsliste zu ver-meiden, konnte man noch fordern:(A) Die Reihenfolge zweier Kandidaten Aund B in der Gesellschafts-Reihung hangtnicht von dem Votum fur einen anderenKandidaten C ab.

Dann gilt jedoch der Satz von Arrow(Nobelpreis fur Wirtschaftswissenschaften1972):

Satz (Arrow [A1963]): Sei ein Wahlverfah-ren w : P → R gegeben, das die Bedin-gung (A) erfullt. Dann gibt es einen Wahler(Diktator), dessen Reihung in allen ProfilenP mit der Gesellschaft-Reihung w(P ) uber-einstimmt.

”Die einzig gerechte Demokratie ist eine

Diktatur.“

Wir wollen die Hoffnung noch nichtganz aufgeben. Wir definieren ein Posi-tionswahlverfahren als ein Wahlverfahren(w1 – w2 – . . . – wn) mit ganzen Zahlenwi und w1 ≥ w2 ≥ . . . ≥ wn undw1 > wn. Damit sollen jedem Kandidatenwi Punkte gutschrieben werden fur jedenWahler, bei dem der Kandidat an der i-tenStelle steht.

Die schon oben verwendeten Positionswahl-verfahren (2 – 1 – 0) und (3 – 2 – 1 – 0)sind Spezialfalle des Positionswahlver-fahrens ((n - 1) – (n - 2) – . . . – 1 – 0),genannt Borda-Zahlung. Unser ubli-

ches Mehrheits-Wahlverfahren furein Mandat ist ein (1 – 0 – . . . – 0)-Verfahren. Eine Ausscheidungswahl ist ein(1 – 1 – . . . – 1 – 0)-Verfahren. Bei ihrwird jeweils ein Kandidat ausgeschieden.

Satz (Saari [S2000]): Sei ein Positions-Wahlverfahren w : P → R gegeben, dasfolgende Bedingung erfullt.(S) Die Reihenfolge zweier Kandidaten A,B in der Gesellschafts-Reihung hangt alleinvon den Voten fur A und B und der An-zahl der Kandidaten zwischen A und B beijedem Wahler ab.Dann ist w die Borda-Zahlung.

Es bliebe jetzt nachzuweisen, dass dieBorda-Zahlung tatsachlich eine Reihe vonwunschenswerten Eigenschaften hat. Wirsind jedoch wieder weit von einer Diktatur(i.S. von Arrow) entfernt.

Literatur[A1963] Arrow, K.J.: Social Choice and In-

dividual Values. 2nd ed., Wiley, NewYork 1963.

[K2001] Kirsch, W.: Die Formeln derMacht. Die Zeit 12 S. 45, 2001

[S2000] Saari, D.G.: Mathematical struc-ture of voting paradoxes I. EconomicTheory 15 2000 1–53.

[S2001] Saari, D.G.: Chaotic Elections!AMS 2001 ISBN 0-8218-2847-9

[VE2002] Special Issue on Voting andElections. Statistical Science 17 (4)2002.

[Wi] Wikipedia: Sitzzuteilungsverfahren.http://de.wikipedia.org/wiki/Sitzzu-teilungsverfahren.

[ZFC] Zicht, W., Fehndrich, M., Cantow,M.: Wahlen, Wahlrecht und Wahlsys-teme. http://www.wahlrecht.de.

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