Empfangsleistung in Abhangigkeit von der Zielentfernungbei optischen Kurzstrecken-RadargeratenJohannes Riegi und Manfred Bernhard

The dependence of the received optical power on the range in optical short-distance radar range finders iscalculated by means of the methods of geometrical optics. The calculations are based on a constant in-tensity of the transmitter-beam cross section and on an ideal thin lens for the receiver optics. The re-sults are confirmed by measurements. Even measurements using a nonideal thick lens system for thereceiver optics are in reasonable agreement with the calculations.

1. Einleitung

Optische Kurzstrecken-Entfernungsmessgerate miteinem Messbereich von Null bis zu einigen zehnMetern knnen heute unter Verwendung vonHalbleiterlasern als Impuls-Laufzeitmessystem oderunter Verwendung von Halbleiter-Luminiszenzdi-oden z.B. als Dauerstrich-Phasenmessystem aufge-baut werden.

Um Aussagen fiber die Wahrscheinlichkeit derZielerkennung, die erreichbare Messgenauigkeitsowie den erforderlichen Aussteuerungsbereich desEmpfangers treffen zu konnen, muss man die Gr6sseder Empfangsleistung in Abhangigkeit von derZielentfernung R kennen. Diese ergibt sich unterder Annahme eines voll auf das Ziel auftreffendenSendestrahl als proportional 1/R 2 , wenn sich derbestrahlte Teil des Zielobjektes vollstandig innerhalbdes Empfangeroffnungswinkels befindet.1 Das istaber erst ab einer gewissen Mindestentfernung vomRadargerat erfullt, denn der Empfanger6ff-nungswinkel wird klein gehalten, damit wenig Hin-tergrundstrahlung aufgenommen wird und damiteine kleinflachige (kapazitatsarme) Fotodiode alsEmpfangselement Anwendung finden kann. Manbehilft sich vielfach so, dass man das 1/R 2 -Gesetznoch mit einem Korrekturfaktor multipliziert, dersich aus der Geometrie Sendestrahl-Zielfla-che-Empfangerblickfeld ergibt.2 '3 Dieser Formalis-mus mit dem selbst von der Entfernung abhangigenFaktor stellt jedoch keine befriedigende Losung dar,wenn die Empfangsleistung fur einen grosseren Ent-fernungsbereich angegeben werden soll.

The authors were with the Institute for Space Research of theAustrian Academy of Sciences, Vienna 1 when this work wasdone. J. Riegl is now with the Institut fur Hochfrequenztechnikder Technischen Hochschule, Vienna IV, and M. Bernhard iswith the Firm IBM, Vienna.

Received 17 August 1973.

In der vorliegenden Arbeit wird, ausgehend vonder vereinfachenden Annahme einer konstanten Sen-destrahl-Intensitatsverteilung und einer fehlerfreiendiinnen Linse als Empfangsoptik, mit Hilfe dergeometrischen Optik der Verlauf der Empfangs-leistung in Abhangigkeit von der ZielentfernungR berechnet, und zwar sowohl fr koaxiale Anord-nung von Sendestrahl und Empfangsoptik alsauch fr nicht koaxiale Anordnung, wenn Senderund Empfanger nebeneinander angeordnet sind.Die Rechenergebnisse werden durch gut uberein-stimmende Messungen bestatigt.

II. Das optische Sende- und Empfangssystem

A. Der Sendestrahl

Das typische Sendeelement fr optische Impuls-radar-Kurzstreckengerate 4 ist der Halbleiterlaser, frDauerstrichsysteme werden Halbleiter-Luminiszenz-dioden verwendet. Die Sendeoptik besteht i.a. ein-fach aus einem sammelnden Linsensystem mit gros-sem Offnungsverhaltnis, in dessen Brennebene diestrahlende Senderflache angeordnet ist. Der resultie-rende Sendestrahl kann in grober Naherung durchkonstante Intensitat fiber den Querschnitt und kon-stante Divergenz s beschrieben werden.

B. Die Empfangsoptik

Die Empfangsoptik soll einen moglichst grossenTeil der rckgestreuten Strahlung auf die aktiveFlache des fotoelektrischen Wandlers (Fotomulti-plier, Halbleiter-Fotodiode) konzentrieren. Gleich-zeitig soll mglichst wenig Hintergrundstrahlungaufgenommen werden. Daraus ergeben sich die For-derungen nach einer Anpassung des Empfangs6ff-nungswinkels an die Sendestrahldivergenz und nachschmalbandiger Filterung der Wellenlange des Send-ers.

Bei Vorliegen einer verhaltnismassig grossen akti-ven Flache, etwa bei Verwendung eines Fotomulti-pliers, bevorzugt man die teleskopische Anordnung5

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Of FN _FOTODIODEN-

WINKEL_

FILTRBRNWTb)

Bild 1. Prinzipaufbau einer Empfangeroptik: (a) teleskopischesSystem, (b) sammelndes System.

[Bild 1(a)]: Der Offnungswinkel des Teleskops wirddurch eine Blende in der Brennebene auf das ge-wuinschte Mass begrenzt. Das optische Schmal-bandfilter lasst sich leicht in den parallelenStrahlengang zwischen Teleskop und Fotokathodeeinfuigen.

Bei Vorliegen der verhaltnismassig kleinen aktivenFlache einer Halbleiter-Fotodiode bietet sich ein ein-faches sammelndes System als Empfangsoptik an[Bild 1(b)]: Die in der Brennebene (gleich derBildebene fuir grosse Zielentfernung) angeordnete ak-tive Flache bewirkt selbst die Begrenzung des Off-nungswinkels. Wegen des konvergierenden Strah-lenganges in diesem System bereitet allerdings dieAnbringung des optischen SchmalbandfiltersSchwierigkeiten, wenn es nicht, wie in Bild 1(b) ge-zeichnet, einfach vor die Empfangsoptik gesetzt wer-den kann.

Hinsichtlich der insgesamt aufgenommenen op-tischen Empfangsleistung sind die beiden Systemegleichwertig, wenn bei sonst gleichen Parametern dieFlache der Blendenoffnung gleich der aktiven Flacheder Fotodiode ist. Es genlgt daher, im folgendender Einfachheit halber nur auf das sammelnde Sys-tem Bezug zu nehmen.

C. Das optische Sende/Empfangssystem

Bei der Zusammenfigung von Sende- und Emp-fangsoptik zu einem Radarsystem kann man prinzip-iell zwei Aufbaumoglichkeiten unterscheiden: diekoaxiale Anordnung [Bild 2(a)] mit gemeinsamer op-tischer Achse, wobei im allgemeinen die Sendeoff-nung innerhalb der Empfangsoffnung angebrachtwird, und die parallele Anordnung [Bild 2(b)], beider die optischen Achsen der beiden Systeme neben-einander zu liegen kommen. Beiden gemeinsam istdie nur teilweise Uberlappung von Sendestrahl undEmpfangerblickfeld bei kurzen Entfernungen [Bild2(a) und (b)]. Daraus folgen wesentliche Abwei-

chungen vom /R 2 Abstandsgesetz, die im folgendenauf geometrisch-optischer Basis rechnerisch erfasstwerden.

111. Berechnung der aufgenommenen optischenEmpfangsleistung in Abhangigkeit von derEntfernung

Fuir die Berechnung der optischen Emp-fangsleistung in Abhangigkeit von der Zielentfernungwerden folgende Voraussetzungen getroffen: Der op-tische Sender strahlt ber die Sendeoptik der FlacheAs den Sendestrahl konstanter Intensitat uber denQuerschnitt mit der Leistung Ps ab, der sich mit der(kleinen) Strahldivergenz Os aufweitet. Der Strahltrifft voll auf das Ziel auf (naherungsweise senk-recht), die bestrahlte Zielflache ist daher gleich derQuerschnittsfldche des Sendestrahls am Ziel, Asz.

Das von der als diffus reflektierend vorausgesetz-ten Zielflache zuruckgestrahlte Echosignal wird zu-sammengesetzt aus Parallelstrahlbindeln in alleRichtungen des vorderen Halbraumes mit dem Quer-schnitt der bestrahlten Zielflache, Asz. Der Teiljedes dieser Strahlbfndel, der auf die Flache AE derEmpfangsoptik autrifft (porportional zur Durch-schneidungsflache AD des Strahlquerschnittes Aszmit der Empfangsflache AE) wird auf einen Punkt inder Empfanger-Brennebene fokussiert (geometrisch-optische Betrachtungsweise, Voraussetzung einerfehlerfreien Optik). Durch Integration ber diegesamte Brennebene ergibt sich das von der Emp-fangsoptik insgesamt aufgenommene EmpfangssignalPE,o. Wenn die Integration beschrankt wird auf diein der Brennebene angeordnete Fotodiodenflacheerhalt man das von der Fotodiode aufgenommeneEmpfangssignal PE,DiQ

Wie im Anhang abgeleitet, errechnet man die vonder Fotodiode aufgenommene optische Emp-fangsleistung PE,Dio aus der Beziehung

EMPFANGS- / EMPFANGS-

-- SENDEKEULE . . SENDEOPTIK

.._..._ \ OPTIKKEULE \ I

a)

SENDEKEULE ** -SENDEOPTIK

EMPFANGS-OPTIK

b)

Bild 2. Sende/Empfangssystem eines optischen Radargerates(schematisch). Die schraffierten Bereiche deuten die Uberlap-pung von Sende- und Empfangskeule an: (a) koaxiale Anord-

nung, (b) parallele Anordnung.

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PEDio(R) _ PPSnE cosr fXT @(R,fE,Dio) w(R,fE,Dio)

[AD(O,Ep)/Asz] sinOdOd~p, (1)

mit den Gr6ssenp = Reflexionsfaktor der Zielflache, Ps = optischeSendeleistung, flE = Wirkungsgrad der Empfangsop-tik, = Winkel zwischen OberfIachennormale derZielfiache und der mittleren Richtung zum Radar-gerat, R = Entfernung zwischen Radargerat undZiel, 0,p = Polarkoordinaten der reflektiertenStrahlbundel, bezogen auf die Richtung b zur Ober-flachennormale der Zielflache, Asz = bestrahlte Ziel-flache, naherungsweise gleich der Querschnittsflacheder in die Richtungen (0,sp) reflektierten Strahl-buindel, AD(O,0 = Durchschnitt von Empfanger-flache AE und Querschnittsflache Asz des Strahl-buindels mit den Winkel koordinaten (a, ).

Die allgemein angeschriebenen Integrationsgren-zen werden durch Lage und Berandung der Foto-diode sowie durch Zielentfernung R und Empfan-gerbrennweite fE festgelegt. Einfache Verhaltnisseergeben sich bei Vorliegen von Rotationssymmetrie,also gemeinsamer optischer Achsen (koaxialerAufbau) und kreisf6rmiger Berandung von Sendeop-tik und Sendestrahl sowie Empfangsoptik und Foto-diode, man erhalt (siehe Anhang)

PE.Di(R) PPs71E CoA) 2f'ma.[A ()/[R +

(Os/2)R] 2 ] sinOdO, (2)

6max = Min([RE + RS + (/2)R]/R, RDio/fE)

mit den Gr6ssenR = Radius des Sendestrahls an der Sendeoptik, Os= Sendestrahldivergenz, RE = Ausserer Radius derEmpfangsoptik, RDio = Radius der aktiven Flacheder (kreisrunden) Fotodiode, fE = Brennweite derEmpfangsoptik.

IV. Numerische Berechnungen und Vergleiche mitMessungen

Es soll die von der Fotodiode aufgenommene op-tische Empfangsleistung PE,Dio (R) nach Gl. (1) oderGl. (2) berechnet werden. Da der Ausdruck PPS7Ecosb fr einen betrachteten Anwendungsfall kon-stant bleibt, wird statt PE,DiO besser die normierteGrosse

mal einige zehn Quadratzentimeter und Fotodioden-flache maximal etwa ein Quadratmillimeter. Beiden Messungen wurde der den Berechnungen zu-grundegelegte Sendestrahl konstanter Leistungs-dichte in guter Naherung durch einen mit einem Tele-skop aufgeweiteten und mit einer Blende begrenztenHe-Ne-Laserstrahl realisiert.

Die scharfste und damit kleinste Abbildung derbestrahlten Zielfiache auf die in der Empfanger-brennebene angeordnete aktive Flache der Fotodiodeerfolgt bei gr6sster Zielentfernung. Es wurde dem-entsprechend der jeweilige Massstab fr die Ab-bildung der Messergebnisse dadurch festgelegt, dassder bei maximaler Entfernung (R = 15 m) und je-weils kleinster Fotodiode gewonnene Messwert demzugehorigen Rechenwert gleichgesetzt wurde.

A. Koaxiales System

Bild 3 zeigt Rechen- und Messwerte des Emp-findlichkeitsverlaufes E(R). Die Sende/Empfangs-optik ist dabei als rotationssymmetrisches Koaxial-system ausgefiuhrt, bei dem die Sendeoptik innerhalbder Empfangsflache angeordnet ist, diese also teil-weise abgedeckt wird. Parameter ist der Radius deraktiven Flache der Fotodiode. Man sieht sehr guteUbereinstimmung zwischen Berechnung undMessung fr grosse und mittlere Entfernungen. Beikurzen Entfernungen sind zwar deutliche Abwei-chungen festzustellen, nichtsdestoweniger ist geradehier die Brauchbarkeit der Berechnungen im Ver-gleich zu der primitiven 1/R2-Naherung am augen-falligsten. Wie leicht einzusehen ist, erfolgt bei

E(R)

2

0V2 4 6 8 10 12 14m

R

E(R) = [PE,DO(R)](PPSnE CoS4) (3)

berechnet, wofuir im folgenden der Ausdruck "op-tische Empfindlichkeit des Empfangers" (in Ab-hangigkeit von der Zielentfernung) gebraucht wird.

Diese Empfindlichkeit E(R) wurde berechnet undgemessen fur optische Sende/Empfangssysteme, wiesie typisch sind fr Kurzstreckenentfernungsmess-gerate mit Galliumarsenid-Laserdioden als Senderund Silizium-Fotodioden als Empfanger. 4 Die op-tischen Parameter haben in diesem Fall etwa die fol-genden Werte: Sendestrahldurchmessermaximal einige Zentimeter, Empfangsflache maxi-

Bild 3. Empfindlichkeitsverlauf E(R) eines optischenKurzstreckenradargerates mit koaxial aufgebauter, kreisrunderSende- und Empfangsoptik sowie kreisrunder Fotodiodenflache.Die ausgezogenen Kurven geben die zugehorigen Rechenergeb-

nisse an.

Parameter: RS = 1,2 cm;RE = 4,8 cm;fE = 16 cm;Os = 4,7-10-3 rad.

Messwerte: 0 RDiO = 1,5 mm;o RD10 = 1 mm;A RDio = 0,5 mm.

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(R)

0 i4 i i : i i 6 OR2 4 6 8 10 12 14 16m

Bild 4. Empfindlichkeitsverlauf E(R) eines optischenKurzstreckenradargerates mit parallel angeordneter kreisrunderSende- und Empfangsoptik sowie rechteckiger Fotodiodenflache.Messwerte: Diodenlangsseite normal zur Ebene der Opt. Ach-sen, Diodenlangsseite parallel zur Eben der Opt. Achsen. Dieausgezogenen Kurven geben die zugehorigen Rechenergebnisse an.

Parameter: RS = 1 cm,RE = 2,23 cm,fE = 20 cm,Os = 810-3 rad,d =5cm,d1 = 0,066 cm,Diodenflache: 0,128 X 0,256 cm2 .

gr6sserer Diodenflache die U1berdeckung des Sende-strahls und damit die Anschmiegung der Empfind-lichkeitskurve an den 1/R2-Verlauf bereits bei kr-zerer Entfernung, es wird dann auch ein grosseresEmpfangssignal aufgenommen.

Die Empfangsoptik bestand bei den Messungeneinfach aus zwei hintereinander angeordneten plan-konvexen Linsen ohne jede Korrekturmassnahme,wahrend andererseits die Berechnungen unter derAnnahme einer ideal fehlerfreien Empfangsoptikdurchgeffuhrt wurden. Daher werden die Abwei-chungen zwischen Berechnung und Messung bei kur-zen Entfernungen vermutlich durch die Linsenfehlerverursacht.

B. Parallelsystem

Rechenergebnisse und Messwerte fr Parallelsys-teme zeigen die Bilder 4 bis 6. Die Achsen vonSende- und Empfangsoptik liegen im Abstand dvoneinander entfernt in einer Ebene, sind aber nichtexakt parallel, sondern auf Uberkreuzung bei dervorgegebenen Maximalreichweite R = 15 m justiertdamit bei dieser Entfernung das grosstmogliche op-tische Empfangssignal auf die Fotodiode auftrifft.Fur die Berechnungen wird dazu die Achse derEmpfangsoptik ausgelenkt, indem die Lage der Fo-todiode um eine Strecke d verschoben wird. Eswurde ein kreisrunder Sendestrahl (naherungsweise)konstanter Intensitat wie in A. zugrundegelegt, als(kreisrunde) Empfangsoptik dienten weitgehend ab-bildungsfreie Fotokameraobjektive.

Die Bilder 4 und 5 geben den Empfindlichkeitsver-lauf E(R) fr verschiedene Brennweiten der Emp-fangsoptik an, wenn die Langsseite der rechteck-formigen aktiven Flache der Fotodiode normal oderparallel auf die von Sender- und Empfangerachse ge-bildete Ebene steht. Bild 6 zeigt weiters den Emp-findlichkeitsverlauf bei Verwendung einer Emp-fangsoptik sehr kurzer Brennweite und entsprechendkleiner (in diesem Falle rechteckf6rmiger) Fotodi-odenflachen.

Die verschiedenen Kurvenverlaufe kbnnen aus derjeweiligen Uberlappung von Sende- und Emp-fangskeule (vergleiche die schematische Darstellungin Bild 2) verifiziert werden. Die Ubereinstimmungzwischen den Berechnungen und den Messungen istsehr gut, wie aufgrund der verwendeten hochwerti-gen Empfangsoptiken zu erwarten und bestatigtdamit die Richtigkeit des Berechnungsverfahrens.

V. Anwendung der Rechenmethode

In Anbetracht der Ubereinstimmung zwischenRechnung und Messung ist die beschriebeneBerechnungsmethode offenbar gut geeignet fur die Di-mensionierung bzw. Optimierung eines optischenRadar-Sende/Empfangssystem mit Hilfe des Com-puters und bietet gegenuiber experimentellen Unter-suchungen den Vorteil des Wegfalls komplizierterVersuchsaufbauten.

Wenn die zur Vereinfachung angenommene kon-stante Intensitat uber den Sendestrahlquerschnittkeine brauchbare Naherung fr den tatsachlichen

E(R)

6

2,<

2-

o . . .2 4 6 8 10 12 14 16m

Bild 5. Empfindlichkeitsverlauf E(R) eines optischenKurzstreckenradargerates mit parallel angeordneter kreisrunderSende- und Empfangsoptik sowie rechteckiger FotodiodenflacheMesswerte: 0 Diodenlangsseite normal zur Ebene der Opt. Ach-sen, A Diodenlangsseite parallel zur Ebene der Opt. Achsen. Dieausgezogenen Kurven geben die zugehorigen Rechenergebnisse an.

Parameter: RS = 1 cm,RE = 1,67 cm,fE = 15 cm,Os = 810- 3 rad,d =5cm,di = 0,05 cm,Diodenflache: 0,128 X 0,256 cm2 .

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E(R)A

5.

4.

3.

2 -

1

/AA A

A 4~~I I i

2 4 6 8 10 12 14 16m

Bild 6. Empfindlichkeitsverlauf E(R) eines optischenKurzstreckenradargerates mit parallel angeordneter kreisrunderSende- und Empfangeroptik sowie kreisrunder FotodiodenflacheDie ausgezogenen Kurven geben die zugehorigen Rechenergeb-

nisse an.

Parameter: RS = 1 cm,RE = 1,53 cm,JE = 5,5 cm,Os = 8-10-3 rad,d =5cm,d, = 0,0186 cm,

Messwerte: 0 RDi0 = 0,043 cm,A RDi0 = 0,025 cm.

Sendestrahl darstellt, kann man die vorliegende Re-chenmethode dahingehend erweitern, dass man einetreppenformige Naherung an die gewulnschte Strahl-intensitat durch Superposition von Sende-Teil-strahlen mit verschiedenem Durchmesser und jeweilskonstanter Intensitat vornimmt. Durch Superposi-tion verschieden ausgerichteter Sende-Teilstrahlenlassen sich auch die Verhaltnisse erfassen, die beiVerwendung eines Laser-Diodenarrays als Sendeele-ment vorliegen.

Die Anregung zur genauen Behandlung des op-tischen Sende/Empfangssystems von Kurzstrecken-radargeraten folgte aus der Zusammenarbeit deserstgenannten Verfassers mit der sterreichischenFirma Eumig. Der Osterreichischen Akademie derWissenschaften, Institut fr Weltraumforschung, istdie Ermoglichung der Arbeiten zu verdanken. DasInstitut fr numerische Mathematik der Technisch-en Hochschule Wien stellte die benotigte Rechenzeitzur Verffugung.

Die Verfasser danken G. Schiffner fr wertvolleHinweise zum Aufbau des Manuskriptes sowie G.Koepf und W. Leeb fur die kritische Durchsicht des-selben.

References1. P. W. Wyman, NRL Report 6971 (Naval Research Laboratory,

Washington, D.C., 1969).2. Electro-Optics Handbook (RCA Commercial Engineering,

Harrison, N.J., 1968), p. 13-4.3. P. Hermet, Appl. Opt. 11, 273 (1972).4. J. Riegl, Nachrichtentech. Z. 26, 481 (1973).

5. M. Ross, Laser Receivers (Wiley, New York, 1966), pp.300-305.

Anhang: Berechnung der optischenEmpfangsleistung in Abhangigkeit von derZielentfernung

Ausgangspunkt ist das Lambertsche Gesetz: Aufeinen diffus reflektierenden Schirm mit dem Re-flexionsfaktor p trifft ein optischer Sendestrahl derLeistung Ps aus beliebiger Richtung und bestrahltdie Flache Asz. Die in Richtung 4) zur Oberfla-chennormale des Reflektors in den differentiell klein-en Raumwinkelbereich dQ rckgestrahlte optischeLeistung hat dann den Wert

dPE(4)) = (pPs/r) cos4)dQ.

Die Intensitat eines Strahlbulndels in Richtung )mit dem Querschnitt naherungsweise gleich der be-strahlten Flache Asz des Ziels ergibt sich demnach.zu

dI(4) = (pPs/Asz7r) cos4)dQoder nach Einffhrung von Polarkoordinaten 0, inbezug auf die Richtung 4)

dI(4)) = (pPs/Aszr) cos4) sindOdso.Der gleiche Ausdruck gilt naherungsweise auch fUrStrahlbulndel, deren Ausrichtung (0,so) nur wenigvon der Richtung 4) abweicht.

Die von einer Empfangsoptik der Flache AE mitdem Transmissionswirkungsgrad 10E aus dem differ-entiell kleinen Raumwinkelbereich um die Richtung(0,(,) aufgenommene optische Leistung errechnetsich einfach als Intensitat des Strahlbuindels mal derDurchschneidungsflache AD(0,0) von Strahlquer-schnitt Asz mit Empfangsflache AE ZU

dPE(O,(P) = [(PPS71E cosb))rAsz]AD(0A0) sinOdOdo.

Die von der Empfangsoptik insgesamt aufgenom-mene optische Leistung PE,O in Abhangigkeit vonder Zielentfernung R ergibt sich daraus durch Inte-gration uber 0 and so bis zu den Grenzen (R) undsp(R), fr die AD(, ) gleich Null wird, zu

PEO(R) = PPS77E Cos4b x7r (Rj (R)[AD(O,so)/AsZ] sinOdOdp.

Die endliche Ausdehnung der aktiven Flache derFotodiode bewirkt eine Beschrankung des Off-nungswinkels des Empfangers, fr die von der Foto-diode aufgenommene optische EmpfangsleistungPE,Dio gilt daher

PE,DJOR) = PPS?7E C0s4b ('PE DiO(R = 19(RfEDio)j;(RjEDio)

[AD(O,Xp)/Asz] sinOdOdo, (Al)

die Integrationsgrenzen werden durgh Lage undBerandung der Fotodiode sowie durch Zielentfer-nung R und Brennweite fE der Empfangsoptik be-stimmt.

Bei Vorliegen von Rotationssymmetrie, alsogemeinsamer optischer Achsen (koaxialer Aufbau

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des optischen Systems) und kreisf6rmiger Berandungvon Sendeoptik und Sendestrahl sowie Empfangsop-tik und Fotodiode ergeben sich wesentliche Vereinfa-chungen: Der Radius des SendestrahIs am Ziel er-gibt sich unter der Voraussetzung kleiner Strahldi-vergenz naherungsweise zu

RSZi RS + (/2)R

und fur die Durchschneidungsflache AD(0, 0) gilt

AD(O,sO) AD(9)

als Durchschnitt der Kreisflache Asz mit der Kreis-ringflache AE. Fr die Integrationsgrenzen folgt

Omin = O, tanOma = Omax = [RE + R + (2)R]IR

(Pmin = 0 ( = 27r.Die von der Empfangsoptik insgesamt aufgenom-mene optische Leistung PE,O in Abhangigkeit vonder Zielentfernung R lautet daher fr den Fall derRotationssymmetrie

PEo(R) = PS7E COs4) 2f[RE + Rs + (/2)RYIR

[AD(O)/[Rs + (s/2)R] 2 ] sinOdO.

Der Radius RDiO der in der Empfangerbrennebenekoaxial angeordneten kreisf6rmigen Fotodiode be-wirkt eine Beschrankung des Offnungswinkels unddamit eine Beschrankung der oberen Integrations-grenze auf

Omax i RDio/fE,

wenn RDio kleiner ist als der fr die Aufnahme dergesamten optischen Eingangsleistung erforderlicheWert

RDi0 = (fE/R)[RE + R + (sl2)R].

Es gilt daher fur die von der kreisf6rmigen Fotodiodeaufgenommene optische Empfangsleistung im Fallvon Rotationssymmetrie des gesamten optischenSystems

PE, D(R) PPS E COS4) 2f 1"'[A(0)/[R +

(0s/2)R2] sinOdO, (A2)

mitOmax = Min([RE + R + (/2)R]/R, RDiolfE)

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