Ergebnisse der theorie schallnaher strömungen

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ERGEBNISSE DER THEORIE SCHALLNAHER STR(3MUNGEN

I. TEIPEL

Institut fiir Theoretische Gasdynamik, D.V.L.

Aachen, Deutschland

x, y, z

r

t

C

U, V

Cp

CD

F M Y q~

T

HAUFIGE BEZEICHNUNGEN

Kartesische Koordinaten Radiale Koordinate Zeit Schallgeschwindigkeit Geschwindigkeitskomponenten in x- und y-Richtung Druckkoeffizient Widerstandskoeffizient Querschnittsfl/iche eines Rotationsk6rpers Machzahl Verh/iltnis der spezifischen W/irmen StSrpotentialfunktion Dickenverh/iltnis

EINLEITUNG

Der Zweck dieses Artikels ist es, einen l~berblick iiber die Vortriige zu geben, die auf dem Symposium Transsonicum im September 1962 in Aachen gehalten wurden. Ein Teil der Ergebnisse, iiber die in t3bersichts- vortr/igen berichtet wurde, war bekannt und wurde daher yon den Autoren unter den verschiedensten Gesichtspunkten nochmals kritisch betrachtet. In den Originalbeitdigen wurden neue Berechnungsmethoden fiir verschiedene Probleme angegeben. Hier wird nicht auf alle Darstellungen im einzelnen eingegangen werden. Fiir Spezialfragen und genaueres Studium sei auf die Proceedings (8~ der Tagung hingewiesen, in denen die Vortr/ige vollst/indig verSffentlicht werden.

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ERGEBNISSE DER THEORIE SCHALLNAHER STR()MUNGEN 105

1. GRUNDLEGENDE OBERLEGUNGEN

Die Linearisiertmgen der Potentialgleichung, die im Unter- und tJber- schallgebiet angewendet werden, fiihren in dem Falle, dab die AnstrSmung die Machzahl 1 besitzt, bei vielen Problernen zu sinnlosen Ergebnissen. Urn dennoch physikalisch brauchbare Resultate zu erhalten, ist man dann ge- zwungen, nichtlineare Glieder in der Ausgangsdifferentialgleichung zu beriicksichtigen. Beschr~inkt man sich auf kleine St/Srungen, so braucht man nicht alle Terme, die die allgemeine nichtlineare Theorie vorschreibt, mit- zunehmen. Es 1/iBt sich weiterhin zeigen, dab man das Geschwindigkeits- potential tp (x, y, z) beibehalten kann, obwohl auch Verdichtungsst/51Be ein- bezogen werden. Dabei handelt es sich um schwache StoBwellen, so dab erst eine Entropie~inderung in hiSherer Genauigkeit eingeht. Die grundlegende Differentialgleichung ftir die schaUnahe StriSmung lautet unter den genannten Voraussetzungen (siehe z. B.(vs)):

(1 - M2) ~0xx + tpy r + tpzz = 0. (1.1a)

Anstelle von Moo der linearen Theorie tritt jetzt die ~rtliche Machzahl auf. Fiir achsensymmetrische StrSmungen ergibt sich:

1 (1 - M~) 9~xx + %, + ffgr = 0. ( l . lb)

Der Machzahlfaktor 1 - M s kann noch in verschiedene Formen entwickelt werden (l°s). Es wird verwendet

(y + 1).gx; 2M~[1 + ~ - - L M~] ~px; M~0, + 1) ~0x

und andere. Grunds~itzlich kann keiner tier Ausdriicke generell einem anderen vorgezogen werden. Die Wahl h~ingt yon der jeweiligen Problemstellung ab. ~77) Daher soil bei den einzelnen L~Ssungsmethoden auf die bevorzugte Form hingewiesen werden.

Als Randbedingungen werden die 9y-Verteilung auf tier Fliigelgrund- ril3fl~tche y = 0 bzw. die r . %-Verteilung auf tier RotationskOrperachse vorgeschrieben. Man erhalt also entsprechend den Vernaehl~issigungen, die in den Differentialgleichungen vorgenommen wurden, die folgenden Be: dingungen: ~ h

y = 0: % = ax (1.2a)

oder 1 dE

r = 0: r . % = 2~ d x " (1.2b)

h(x, y) bedeutet die Oberfl~tche des Fliigels, F die Querschnittsfl/iche eines RotationskiSrpers.

Fiir den Druckkoeffizienten cp erh/ilt man im dreidimensionalen Fall:

cp = - 2 ~ x . (1.3 a)

4 a PAS

106 r. ~E1P~L

Ftir die Umstr6mung um achsensymmetrische K6rper lautet die Beziehung:

cp = - 2~x - %2. (1.3b)

Weiterhin miissen an einer Stol3wellenfront gewisse Bindungen erftillt werden. Unter Beriicksichtigung, dal3 die Geschwindigkeit vor und hinter dem Stol3 nahe der Schallgeschwindigkeit ist, kann die Gleichung der Stol3polaren nach kleinen St6rungen entwickelt werden. Mit c* als kritische Schallge- schwindigkeit erh/ilt man n~iherungsweise :~75)

c,---r=--5-- ~ - I - ~ - 1 - ~ - 1 -

( 5 +.-- und g sind die Geschwindigkeitskomponenten in x- und y-Richtung hinter

tier Stol3welle. Eine der charakteristischen Eigenschaften von GI. (1.1) besteht darin, dab

diese beim [Jbergang von Unter- zur OberschallstriSmung vom elliptischen zum hyperbolischen Typ wechselt. Ein wesentlicher Unterschied zwischen den beiden Typen besteht in der sachgem~iBen Formulierung der Rand- bedingungen. Bei einem reinen 1Dberschallproblem diirfen die Randwerte nicht l~ings einer geschlossenen Kurve vorgegeben werden. Betrachtet man z. B. das Umstr6mungsproblem um ein Profil, so hat man auf der Kopfwelte die Stol3polare zu erftillen. Davor herrscht ungest~Srte Str6mung. Auf der Profilachse wird die v-Komponente vorgeschrieben. Damit ist die L6sung eindeutig festgelegt. Man kann das gesamte Str6mungsfeld mit Charakteris- tikenverfahren berechnen. Wesentlich schwieriger ist die Behandlung des reinen Unterschallproblems. Dort mtissen die Randwerte auf einer ge- sehlossenen Kurve vorgegeben werden. Ftir die UmstrOmung um ein Profil mul3 das Feld selbst stromaufw~irts bis ins Unendliche verfolgt werden. Man kann auch hier mit einem Differenzenverfahren vorgehen. Jedoch ist der Aufwand ungleich grtil3er als bei den Charakteristikenverfahren, eben weil man bis in grol3e Entfernung vom KSrper rechnen muB.

Die typischen transsonischen Probleme sind durch das gleichzeitige Auf- treten von elliptischen und hyperbolischen Gebieten gekennzeichnet. Es kann sowohl ein Crberschallgebiet in eine Unterschallstr6mung eingebettet sein, wenn die Anstr6mung fiber der kritischen Machzahl dabei noch im Unterschallbereich liegt, als auch ein lokales Unterschallgebiet in einer lrJberschallstr6mung, wie bei der 1]berschallanstrOmung eines stumpfen K6r- pers zwischen Kopfwelle und K6rpernase. Die Schallanstr6mung bildet den Obergang zwischen diesen beiden Typen, in dem die ganze StrOmungsebene durch eine Schallinie in ein stromaufwarts gelegenes Unterschallgebiet und ein stromabw/irts gelegenes f0berschallgebiet geteilt wird. Bei dieser letzten LiSsung spielen St613e keine wesentliche Rolle.

ERGEBNISSE DER THEOR1E SCHALLNAHER STROMUNGEN 107

Trotz der entscheidenden Bedeutung, die das nichtlineare Glied in G1. (1.1) besitzt, k6nnen F~ille auftreten, in denen die lineare Theorie durchaus brauchbare Resultate liefert. So l~iBt sich die instation~ire, schallnahe StrO- mung bei geniigend grol3en Beschleunigungen oder Flatterfrequenzen durchaus linear behandeln. Ebenso kann das Auftriebsproblem des Rotations- kSrpers und bei Fliigeln kleiner Streckung an Hand der linearen Theorie studiert werden, wobei dann das erste Glied in G1. (1.1 a) von h6herer Ord- nung klein ist.

2 . . ~ H N L I C H K E I T S G E S E T Z E

Den L~sungsversuchen sollen ,~danlichkeitsgesetze vorangestellt werden, durch die man in der Lage ist, die Anzahl der freien Parameter zu reduzieren. So verkniipft das ,~danlichkeitsgesetz fiir ebene Str~mung, das in verschiedenen Formen fast gleichzeitig von Guderley, t25) von v. Karman t4s) und von Oswatitsch tT~) gefunden wurde, affin verzerrte Profile mit gleichem transsonischen Parameter:

1 - M ~ (2 .1) ~ oo - z2/a

z bedeutet das Dickenverh~iltnis. Die Druckkoeffizienten iindern sich dann wie z ~/a. Bei affin verzerrten Fliigeln endlicher Spannweite muB sich auBer- dem das Seitenverh~iltnis wie z -1/a verhalten. Der auf die Projektionsfl~iche bezogene Widerstandsbeiwert ergibt sich als proportional zu z ~/a. Da nur bei gleichem Parameter ~oo verglichen werden darf, folgt, dab nut Vorg~inge bei Moo = 1 bei gleicher Machzahl in Beziehung gesetzt werden diirfen.

Fiir die Umstr/Smung um achsensymmetrische K~Srper kSnnen analog aufgebaute Regeln angegeben werden, taa~ Man kann den Druckkoeffizienten in Punkten der K~Srperoberfl~iche bei gleichem transsonischen Parameter miteinander in Beziehung bringen:

1 [ l ~ l l n ( M o o T e ) ] 1 [ 1 d2F~ ] z-~ Cpl +~- = - ~ cp~ + ~r- dx 2 ln(Mo~r]) . (2.2)

Neben % tritt ein logarithmisches Glied auf, in dem die Querschnittsver- teilung und die Machzahl eingehen.

In Abb. 1 sind die Druckmessungen yon Drougge t13) fiir zwei Spindeln aufgetreten. Die Anstr6mmachzahl betr/igt Moo = 1. Die Dickenverh/iltnisse betragen ~ = 1/6 und r = 1/12 V2. Zur ~berpriifung yon GI. (2.2) wurde nicht der Druckkoeffizient allein aufgezeichnet, sondern der gesamte Aus- druck auf der linken Seite. Man sieht, dab sich die beiden Kurven sehr gut iJberdecken.

Es gibt zahlreiche Varianten der schallnahen ~hnlichkeitsgesetze. <79) Sie unterscheiden sich alle durch Glieder h~Sherer Ordnung in der Entwicklung nach Moo - 1 oder M~ - 1, was gleichbedeutend ist. Das Einbeziehen yon y in die ~hnlichkeitsgesetze ist insbesondere bei ebener Str6mung mit Riicksicht auf Versuche mit der Wasserwellenanalogie (y = 2) sinnvoll. 4a *

108 [. TEIPEL

Ein sehr h/iufig verwendetes .~hnlichkeitsgesetz ist jenes yon Spreiter "0~' mit dem Ahnlichkeitsparameter

~ = M L - 1 [(), + 1)mL.r]2/3 • (2.3)

Der Druckkoeffizient ftir die Profiloberflfiche wird dann reduziert zu:

[(y + 1)ML11/3 Cpred ~- T2/3 Cp. (2.4)

Mit dieser Formulierung ergeben sich sehr gute 1Dbereinstimmungen mit Experimenten.

l lcF ' + I dd~-~F~ tn (N®'ta ~ r'

013 (3 " -

0.2 . . . . x

0,1 Q

0 1~

e o q -0,1 ~ ,,

4 0,25 0,50 0,75 ~ 1,0

ABB. 1. Versuchsergebnisse fiir zwei Spindeln bei Moo - 1.aa, 7o) 1 1

X T1 = " ~ ' ; ~ T 2 = ' - ~ V 2 -

Wiihrend allen erw~ihnten Varianten kartesische Koordinaten, die entsprechenden Geschwindigkeitskomponenten und eine vereinzelfachte gas- dynamische Gleiehung, wie z. B. G1. (1.1 a) zugrundeliegen, kann man auch yon einer exakten Gleichung im Hodographen ausgehen, z. B. von G1. (4.5). C. Ferrari zeigte auf dem Symposium auf diesem Wege neue Varianten und ihre Zusammenh~inge mit den h6heren N~iherungen in Untersehallstr/Smung.

3. N ,~HERUNGSMETHODEN IN DER STROMUNGSEBENE

Zunfichst soil ~iber die Verfahren berichtet werden, die das gestellte Pro- blem direkt in der Str/Smungsebene behande!n. Es liegen sowohl fiir den ebenen wie fiir den achsensymmetrischen Fall einige N~iherungsmethoden vor, die teilweise eine ausgezeichnete Obereinstimmung mit Experimenten zeigen.

ERGEBNISSE DER THEORIE SCHALLNAHER STROMUNGEN 109

3.1. D i e I n t e g r a l g l e i c h u n g s m e t h o d e

An Stelle der nichtlinearen Str0mungsdifferentialgleichung kann man auch yon einer nichtlinearen Integralgleichung ausgehen, tTa,7~) Dutch An- wendung des Greensehen Satzes kann man die eine in die andere tiberfiihren. Ergebnisse sind bisher nur ftir den ebenen Fall angegeben worden, doch l~il3t sich diese Methode grunds/itzlieh aueh auf achsensymmetrisehe Probleme anwenden. Mit Hilfe der folgenden Reduktionen bei Unterschallanstr0- mung:

= x ; t~ = f l y ; {fl = V(1 - M~)} (3.1)

U = u - u o o . V - v c* - u ~ ' f l ( e* - uoo)

liiBt sieh G1. (1.1 a) tiberftihren in:

A U - ~ \--~--] = 0. (3~2)

Dabei wird ftir diesen speziellen Fall die Besehr~tnkung aufebene Str0mung gemaeht. A U bedeutet also den ebenen Laplace-Operator. Als Integral- gleiehung ergibt sich ftir symrnetrisehe, nichtangestellte Profile:

_ U.__~ ~ - 1 . _ _ ~ _ f f U 2 U1, = 2 z ~ . ] J u ( ~ , ~) 0 u ( ~ , ~1) r I t~ d ~ d~ 7 .

~,7 (~ - ~)~ + (~ - ~)~

(3.3)

Unter Up ist die LiSsung des linearen Problems zu verstehen. Der jeweilige Integrationsbereich ~ h~ingt vonder AnstrSmmachzahl entseheidend ab. U - (U~/2) kann als die Stromdichte in Schalln~ihe gedeutet werden, die tiber einen Verdiehtungsstol3 hinweg stetig ist. Daher effaBt die obige Glei- chung ebenso den Stol3. Zur L0sung yon G1. (3.3) wurde neuerdings ein Integralreihenansatz versucht. ~ss) Die Gesehwindigkeitsausdrtieke in dem Doppelintegral werden dadurch auf die Geschwindigkeitsverteilung auf der Profilaehse zuriickgeftihrt. Nach Ausftihrung verschiedener Integrationen ergibt sieh eine eindimensionale Integralgleichung, in tier eine unendliche Reihe yon Doppelintegralen auftritt. Schon in dem ersten Term zeigt sich, dab die Quellst/irke noch yon der gesuchten Geschwindigkeit abh~ingt. L~ber die Konvergenz kann man nur indirekt einige Aussagen machen. An Hand yon Beispielen ergab sieh, dab der Beitrag der Glieder hiSherer Ordnung im Vergleieh zu dem ersten Integralausdruck sehr gering war. Die Integral- gleiehung wurde iterativ geliSst. Ergebnisse liegen vor ftir die Untersehall- anstrOmung eines Keils, ebenfalls ftir die unterkritische UmstrOmung um ein Parabelbogenzweieck, bei der also kein 10kales Oberschallgebiet auftritt, und ftir dessen iiberkritische, stoBfreie UmstrOmung.

In Abb. 2 sind fiir einen Keil die Machzahlverteilungen aufgetragen, ~s') fiir AnstrOmmaehzahlen Moo = 0,7 und Moo = 0,8. Gleichzeitig sind

110 [. TEIPEL

Versuchsergebnisse mit eingezeichnet. Mit Ausnahme vonder Umgebung des Staupunktes und der Schulter erh/ilt man recht gute l~bereinstimmung.

Fiir den Fall, dab ein Verdichtungsstol3 am Ende eines lokalen Oberschall- gebietes auftritt, kann man dasselbe Verfahren benutzen. Allerdings mul3 man als ersten Schritt eine stol3behaftete Ausgangsl6sung verwenden. Bei jedem Iterationsschritt kann sich dabei die Stol31age/indern. Auch bier liegen schon verschiedene Berechnungen um Parabelbogenzweiecke vor.

1,/, N 1 ,2 l

1,0

o,s 4M.--o,7 .......

! i i I !

0,2 -- -- ..... ! ...... ~ '~ . . . . . . . i i /'~

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x 1,2

Ann. 2. Machzab.lverteihmg auf der Keiloberfl~he mit c~ = 10°. (aS) × Versuchsergebnisse. (55)

Im Zuge einer Ausweitung der Integralgleichungsmethode wurde das Verfahren bei reiner Unterschallstrt~mung angewendet <24). Es ergab sich eine Bestfitigung der Ergebnisse der Theorie zweiter Ordnung, die friiher auf ganz verschiedenen Wegen erhalten wurden. <45,11s)

Verbesserungen und Erweiterungen der urspriinglichen Integralgleichungs- methode(74> wurden von T. Gullstrand t81, 33, ss, s4> sowie von Spreiter und Alksne t1°4) unternommen. Die einschl~igigen neueren Arbeiten und Ans~itze, wie sie auf dem Symposium yon J. Zierep vorgetragen wurden, bringen dagegen zun~ichst keine Vereinfachung. Erst bei Hinzufiigen mehrerer Glieder werden sie eine numerische Verbesserung darstellen. Der exaktere Aufbau ihrer N/iherungen 1/iBt aber eine korrektere Verfolgung der Fehler zu.

Verschiedene Male sind auch Untersuchungen fiir die StoBumgebung angestellt worden. In diesem Zusammenhang sei nur kurz auf die Arbeit


yon Oswatitsch und Zierep t87) hingewiesen. In der Nachbarschaft des Auf- setzpunktes des StoBes wird die Geschwindigkeit nach Potenzen und Log- arithmen des Abstandes entwickelt. Es zeigt sich, dab die reibungsfreie Str6mung hinter einem senkrechten StoB an einer konvex gekriimmten Wand eine logarithmisch unendliche Beschleunigung aufweist. Die gleiche Methode wurde auch zur Behandlung von Gabelst6Ben in Schalln/ihe in einem Vortrag von D. Rues tg~) angewendet.

3.2. Die parabolische Methode

An Hand der Differentialgleichung fiir achsensymmetrische StrSmung sollen kurz die charakterisfischen Schritte aufgezeichnet werden, die zu der parabolischen Differentialgleichung fiihrten. Um die Schwierigkeit der Nichtlinearit/it in G1. (1.1 b) zu umgehen, haben Oswatitsch und Ket/net8% die Beschleunigung q0xx bei der AnstrSmmachzahl 1 konstant gesetzt. Dureh geeignete Entwicklung des ersten Terms in G1. (1.I b) erh~ilt man:

1 [1 - M ~ - (~ + 1) M ~ o ~ ] ~x~ + %r + r ~v, = 0 . (3 .4)

Mit der AnstrSmmachzahl Moo = 1 und mit der Abkiirzung

2v =(~, + 1 ) ~ = konst. (3.5)

ergibt sich eine lineare, parabolische Differentialgleichung:

1 %" + r ~r - '~P" ~0~ = 0. (3.6)

Die Bestimmung yon 2e ist noch frei. Die L~Ssung von G1. (3.6), die im wesentlichen eine W/irmeleitungsgleichung darstellt, kann in einfacher Weise angegeben werden. Voraussetzung fiir diese Vereinfachung ist, dab ~x~ im ganzen zu betrachtenden Gebiete positive Werte besitzt: anderenfaUs erhidt man keine brauchbaren LSsungen von G1. (3.6). Zur Bestimmung yon 2r wird das Verhalten des gesamten StrSmungsfeldes herangezogen. Auf der Schallinie kann man einmal v" r mit dieser N/iherungsmethode berechnen, dabei geht der Wert von 2e nicht ein. v ist die Geschwindigkeitskomponente in radialer Richtung. Die zweite MSglichkeit ergibt sich durch das Charakteristikenverfahren, welches in Abh/ingigkeit von 2e bei vor- gegebenem q0x die v-r-Verteilung ebenfalls liefert. Stimmen beide Ver- teilungen geniigend genau iiberein, dann hat man das richtige ;re gefunden. Das Charakteristikenverfahren <77) wird abet sowieso fiir die Berechnung der Druckverteilung am Heck benutzt. Hinter dem Geschwindigkeits- • maximum besitzt 2e keine positiven Werte, so dab damit eine wesentliche Bedingung hinf/illig wird.

112 L TEIPEL

Aus der Vereinfachung der gasdynamischen Gleichung auf eine parabolische Form folgt zwangsl~iufig: Es k/Snnen sich keine St6rungen stromaufw~irts des K~Srpers bemerkbar machen. Trotz dieser Folgerung, die eigentlich die Brauchbarkeit dieser Methode sehr einschr~inken miil3te, zeigen die Resultate tiberraschend gute l~bereinstimmung mit Experi- menten. Aufbauend auf diesen Vereinfachungen haben Maeder und Thommen ~el) diese Theorie auf den ganzen schaUnahen Bereich erweitert, und zwar sowohl fiJr den ganzen achsensymmetrischen K6rper als auch ffir Profile. P.F. Maeder gab auf dem Symposium eine Zusammenfassung iiber den gegenw~irtigen Stand dieser Arbeiten. H.U. Thommen trug tiber Verfeinerungen vor. Fiir den dreidimensionalen Fall kann G1. (1.1a) mit G1. (3.5) etwas umgeformt werden :

qJyy + q~z: = (MR - 1) ~xx + 2j,. ~x. (3.7)

Zur Bestimmung von 2p wird nun das Verhalten am K6rper selbst benutzt. Es wird angenommen, dal3 ftir den Wert von 2e die Be- schleunigung cpxx yon der Stelle eingesetzt werden kann, an der das Ge- schwindigkeitsmaximum in der inkompressiblen Strtimung liegt. Man entgeht damit der Schwierigkeit, eventuell negative Beschleunigungen beriicksichtigen zu mtissen. Durch diese Vereinfachung gelangt man schliel31ich zu geschlossenen, analytischen Ausdrticken. Auf den L/Ssungs- weg soll nicht weiter eingegangen werden. Mit Hilfe der Fouriertransfor- mation kann man unter Beriicksichtigung der Randbedingungen die Be- ziehungen fiJr das Potential angeben. Ein Vorteil dieser Darstellung liegt darin, dal3 man den ~bergang zur linearisierten Theorie sehr leicht er- kennen kann. Ergebnisse fiJr verschiedene Beispiele sind in ~62,88,n3) zu finden.

Eine andere Verfeinerung der parabolischen Methode wurde yon Hosokawa ~4x) unternommen. Auch sein Vortrag auf dem Symposium geht in gleicher Richtung. Dabei wird das Hauptgewicht darauf gelegt, den Ein- flul3, der vom nichttinearen Obergang des eUiptischen zum hyperbolischen Typ herrtihrt, genauer zu beriicksiehtigen. Es wird eine Aufspaltung des gesamten Potentials ~ in einen Ausdruck ~b, der analog der Methode von Oswatitsch und Maeder ermittelt wird, und einen zweiten Korrekturterm g vorgenommen :

q~ = q) + g. (3.8)

Setzt man diesen Ansatz in G1. (1.1 a) ein, so ergibt sich ftir g eine nichtlineare Differentialgleichung, in die ebenfalls die Glieder mit qJ~ . ~ eingehen. Um eine L6sung angeben zu k6nnen, werden Absch~itzungen der einzelnen Terme vorgenommen. Die Unterlagen dazu findet man bei Guderley.C2a) Daraus resuttiert fiir die Umgebung des Profils eine Beziehung, aus der man recht einfach die Funktion g~ berechnen kann; fiir die Druck- verteilung ist nut sie von Interesse. Es kann weiterhin gezeigt werden, dab

ERGEBNISSE DER THEORIE S C H A L L N A H E R STR(JMUNGEN 113

selbst in dieser Verfeinerung der urspriinglichen Theorie der Schalldurch- gangspunkt am KiSrper seine Lage nicht/indert. Deshalb ist es auch am giinstigsten fiir die lineare Theorie, einen Wert yon ~0x~ in der Nfihe dieses Punktes zur Berechnung von 2p zu w/ihlen. Mit dieser Theorie erh/ilt man ebenfaUs einen kontinuierlichen L~bergang zur Prandtl-Glauert-Theorie. AuBerdem ist es m~Sglich, sto6behaftete, lokale Oberschallgebiete zu

-q,0 ~ l .........

- 0 , 7 5

-o,5o

- o , 2 5 - -

I i !

I °~/ ~ 2 5 i . . . . . . . . I . . . . I~ - - ~

0,5 0,25 0,50 0,75 ~ 1,0

ABB. 3. D r u c k v e r t e i l u n g f 'gr e ine Sp inde l mit , • = 0,10. ~42~

(~) Versuchsergebniss¢ C6o - - Theor ie nach ~41) . . . . . Theor ie nach (61~ Theor ie nach ~1°5

erhalten. In Abb. 3 ist die Druckverteilung an einem Parabolbogenprofil mit dem Dickenverhgltnis z = 0,10 bei Schallanstr6mung aufgetragen. Als Vergleich sind Ergebnisse nach der Theorie yon Maeder und yon Spreiter ~1°~ eingezeichnet. Es ergeben sich sehr gute Obereinstimmungen, auch mit den vorhandenen Experimenten/*e~

3.3. Die Methode der Lokallinearisierung

Unter Lokallinearisierung versteht J. R. Spreiter ein Verfahren, bei dem in die bekannten linearen" Methoden Prandtl-Glauert-Linearisierung bei UnterschaU, parabolische Methode in Schallnghe usw.----die Koef- fizienten der linearen Gleichungen entsprechend den lokalen Verhtiltnissen

114 I. TrIPEL

yon Ort zu Ort verschieden gew/ihlt werden. Der Vortrag Spreiters auf diesem Symposium betraf dieses Verfahren. Die folgenden Ausffihrungen beziehen sich jedoch speziell auf die Lokallinearisierung in Schalln~ihe, also auf das Zusammenwirken mit einer parabolischen Methode. Dabei ergibt sich ein neuer Weg zur Bestimmung yon 2e. (l°5) Die wesentlichen Merkmale seien ffir den ebenen Fall bei Schallanstr6rnung skizziert, Als Ausgangs- gleichung dient jetzt GI. (3.7) in einer speziellen Form:

(/~.y - 21, 'q'x = 0. (3.9)

Die L~Ssung fiir cA~ 1/iBt sich direkt hinschreiben: x

9x(x, 0) = I d [ Oh d~ (3.10) f(~ ~p) T~-~jTx f (x -- ~)"

O

Diese Verteilung ist direkt fiir die KiSrperoberfl~iehe spezialisiert worden. Zu der Bereehnung von 2j, wird in G1. (3.10) wieder 9~,x eingesetzt, so dab sich eine gew6hnfiche Differentialgleichung ftir ~vx ergibt. Auch dafiir 1/iBt sich die Ltisung ohne jede Schwierigkeit angeben. Eine weitere Annahme muBte fiir die Bestimmung der Konstanten hinzugefiigt werden. Schon G1. (3.10) soll den richtigen Ort des Schalldurchganges wiedergeben. Die Druckverteilung auf dem K6rper ist dem ~-Wer t direkt proportional, so dab damit die Hauptfrage beantwortet ist. Als Resultat erh~Ut man:

.x- x 1

= - dxj (3.11) ~o~(x, o) ~(~, + l) -~x ~ ~ l/x~ - ~' x * o

mit x *

d f 0h d~: ax* j 3 T V~-7-sU- ~) = 0. (3.12)

O

Vergleiche rnit exakten Rechnungen und mit Experimenten ergeben wieder eine ausgezeichnete t0bereinstimmung. Sie ist so gut, dab es wenig sinnvoll erseheint, eine Verbesserung durch eine andere Bestimmung von 2j, herbei- fiihren zu wollen. In Abb. 4 ist der Druckkoeffizient ftir die Str6mung urn einen Keil aufgetragen. Die gestrichelte Kurve ergibt sich aus exakten Rechnungen ~a°). Gleichzeitig sind Versuchsergebnisse (35) eingezeiehnet worden. Jedoch vom mathematischen Standpunkt ist sehr schwer einzusehen, warum man beim Schritt von GI. (3.9) zu GI. (3.10) die Gr613e 2p konstant halten kann, ffir alle weiteren Berechnungen aber wieder ver- iinderlich sein l~il3t.

Man kann diese Methode auch aufachsensymrnetrische K6rper erweitern. Ebenso gestattet sie eine Ausdehnung auf den ganzen schaUnahen Bereich. Wegen der guten Oberseinstimmung sowohl mit Experirnenten als auch mit exakten theoretischen Rechnungen und auch wegen der Einfachheit, besonders im ebenen Fall, wird diese Theorie sehr h~tufig angewendet.


Diese Gedankeng~inge k~nnen auch auf die n~iherungsweise Berechnung des Druckes um dicke Profile im normalen Unter- und Oberschallgebiet iibertragen werden. Es wird dann q0x zun~ichst konstant gesetzt. Bei Ober- sehaUanstrtimung zeigt sich so gut wie kein Unterschied gegeniiber der exakten Theorie. Im ~Unterschallgebiet sind /ihnliche Kontrollen mit exakten Resultaten schwierig.

Bei alien Varianten der ,,parabolischen Methode", also auch bei den Formen yon 3.2. und 3.3. handelt es sich zun/ichst um ,,Arbeitsverfahren".

0

Cp

4 0 0,I Q2 0,3

ABB. 4. Druckver te i l tmg f'0r e inen Kei l bei Moo = 1 °°5).

Q c~ = 0,10 und I-q c~ = 0,06 sind Versuehsergebnisse (3s).

Ihr Erfolg und die Breite ihres Anwendungsgebietes beruhen iiberwiegend auf der iiberraschend guten Obereinstimmung mit VergleichsfiiUen, welche die exakte Theorie oder der Versuch liefern. Die theoretische Fundierung dagegen ist weir schlechter als bei mehreren welt weniger beliebten Ver- fahren. Der Hauptmangel liegt dabei im Zwang, dab bei Moo = 1 die AnstrSmbedingung in die Ebene der KSrpernase verlegt werden mull Eine Losl/Ssung yon dieser Bedingung wiirde einen entscheidenden Fort° schritt dieser Theorie bedeuten.

3.4. Numerische Methoden

Zur Berechnung einer schallnahen Str/Smung liegen auch verschiedene numerische Verfahren vor. Im einfachsten Falle, wenn bei ~berschali- anstr/Smung der VerdichtungsstoB am KOrper anliegt, kann die Charak- teristikenmethode angewendet werden. Bei ebener Str/Smung ktinnen die Gleichungen direkt integriert werden; fiir das achsensymmetrische StriS- mungsfeld wurde ein Verfahren yon Oswatitsch angegeben. ~77) Liegt ein eUiptisches Problem vor, so kann die Relaxationsmethode herangezogen werden. Allerdings steigt der Aufwand erheblich an, da unter Umst/inden gewisse Randbedingungen im Unendlichen erfiillt werden miissen.

116 i. TEIPEL

Eine andere Aufgabe, die gerade in jiingster Zeit durch das Wieder- eintrittsproblem sehr aktuell geworden ist, stellt die Berechnung des Feldes um einen stumpfen K6rper dar. Durch den abgel6sten Stol3 existiert dort ein lokales Unterschallgebiet. Es hat sich gezeigt, dab die gew/3hnlichen numerischen Verfahren, selbst bei Vorgabe der Stol31age, instabil werden. Um dies zu umgehen, formte Garabedian (2°, 31) das elliptische Gleichungs- system in ein hyperbolisches urn, indem er eine komplexe Variable einfiihrte. Die Anzahl der Variablen wird also erh/Sht. Die analytische Fort- setzbarkeit in das komplexe Gebiet vorausgesetzt, erh~ilt man ein gewt~hn- fiches Cauchy-Problem, dessen Differenzenverfahren stabil ist. An der Schall- linie tritt eine Singularitlit auf. Sowohl die St/irke des Stol3es als auch seine Lage werden vorgegeben. Als Resultat findet man dann die Form des

0 , . .

K6rpers. Ferner mul3 man beriickslchUgen, ob durch die Stol3kriimmung eine Entropie~inderung auftritt. Bei dem Hyperschallproblern, bei dem ein starker Stol3 vorgelagert ist, mul3 man die Stromfunktion verwenden und kann nicht mehr mit dem Potential rechnen. Vergleiche mit Druck- messungen zeigen sehr gute l~bereinstimmung. Auch Garabedians Vortrag auf dem Symposium gait diesem Problem. Wesentlich schwieriger ist das direkte Problem zu l~Ssen, wenn also der K6rper gegeben ist. Man kann dabei iterativ mit der oben skizzierten Methode vorgehen, indem man jeweils die Stol3bedingungen ab~indert.

Um allgemein Differentialgleichungen vom gemischten Typ zu 16sen, ist eine andere Methode bekannt geworden, die auf Dorodnicyn al) zuriickgeht. Sie griJndet sich auf dem Gedanken, ein System yon partiellen Dif- ferentialgleichungen n~iherungsweise auf ein System yon gewtihnlichen Differentialgleichungen zuriickzufiihren. Dieses Verfahren kann direkt auf das Problem des stumpfen Kt~rpers mit einem abgelSsten StoB angewendet werden.

Zur Verdeutlichung sei ein System der folgenden Form betrachtet:

P, (x, y, ~1 . . . . ~.) ,~ Q, (xx y. ~1 . . . . ~.) + = F~(x,y, i f1 , - . -u , )

~x Oy (i = 1, 2, 3 . . . . n) (3.13)

u a , . . , u, sind die gesuchten Funktionen, Pl, Ql und Fl sind gegebene Ausdriicke. Die LOsung sei fiir ein rechteckiges Gebiet gesucht. Zun~ichst wird das Gebiet in N Streifen gleicher Breite parallel der x-Achse geteilt. Alsdann kann man l~ings x = const integrieren. Es ergibt sich als Resultat ein System yon Integralbeziehungen:

Yk + l .vk + l

d~x/e, ay +a,.,+l-Q,.,=/F, dy (3.14) Yk Yx.

mit i = 1, 2 . . . . n; k = 0, 1, 2 . . . . N - 1. Fiir die Ziihlung der Streifen wird k benutzt. Yk mit k = 0 und Yk + 1 mit k = N - I bedeuten die R~inder.


Qt.k und Q~.k +1 sind die Werte von Q~ auf y = Yk und y = Yk + 1. Die Inte- gtanden in G1. (3.14) werden n~iherungsweise durch Interpolationspolynome dargestellt. Damit erh~ilt man ein System gew~Shnlicher Difterentialgleichun- gen. Die nun folgende numerische Integration dieses Systems kann auf elektronischen Rechenmaschinen vorgenommen werden.

Damit ist in einfachen Ztigen das Verfahren aufgezeigt worden. In <12) sind Ergebnisse mitgeteilt worden. Ausgehend yon der K~Srperform kann jetzt die Stol31age berechnet werden. Sie stimmt erstaunfich gut mit Experi- menten tiberein, obwohl man nut eine Einteilung in 2 oder 3 Streifen vorgenommen hatte.

3.5. Andere Niiherungsverfahren

Um den Aufwand, der zur Ermittlung des Druckes an einem Profil mit einem lokalen ~Iberschallgebiet notwendig ist, herabzusetzen, hat man verschiedentlich versucht, empirische Aussagen in die Theorie einzubauen. Aus einer ganzen Anzahl yon MeBergebnissen hat man gewisse allgemeine Erscheinungen auf weitere Berechnungen zu tibertragen versucht. So gibt Sinnott t1°8) Kurven bestimmter Druckdifferenzen tiber einer Gr~SBe, die dutch verschiedene Machzahlen gebildet wird, an. Ebenfalls ftir die Stol3- polare wird eine empirische Beziehung benutzt. An Hand dieser Diagramme kann dann im wesentlichen der Druckkoeffizient im transsonischen Bereich bestimmt werden.

Zur Bestimmung der Stol~lage gab Tayler cu°) auf dem Symposium einen anderen L~Ssungsweg an. Die Beziehung zwischen Stromdichte und Ge- schwindigkeit wird dutch Einfiihrung neuer Variablen in eine Form gebracht, die unabh~tngig von den Anfangswerten ist. Es bleibt die Wahl eines Parameters n often. Bei geeigueter Wahl von n, das zwischen 0 und 1 liegen son, kann Lage und St[irke des Stol3es n~iherungsweise festgelegt werden. Es ergeben sich gute Obereinstimmung mit den Resultaten von Sinnott.~ loa)

Rotta C9~) ermittelte die StoBlage aus Widerstandsberechnungen. Der Widerstand kann einmal aus der Druckverteilung abgeleitet werden. Zum anderen ergibt sich ein Widerstand dutch die Entropie~inderung tiber den Verdichtungsstol3. Nach beiden Methoden wurden ftir mehrere StoBlagen Rechnungen durchgefiihrt. Der Schnittpunkt beider K, urven ergab den Oft des Stol3es. Ftir das erste Verfahren mul3te der Druckverlauf bekannt

o

sein; er wurde n~therungsweise aus anderen Arbeiten tibernommen. Wie schon gezeigt, kann der Verlauf der lokalen Machzahl vor dem StoB gleich jenem bei der Anstr~mung mit M~ = 1 gesetzt werden. Der Druckverlauf hinter dem lokalen OberschaUgebiet dagegen ist eigenttimlicherweise sehr nahe jenem gleich, den man aus einer bereits unzul[issigen Anwendung der Prandtl-Glauertschen Analogie auf die reine Unterschallstr~Smung ge- winnt.

118 L TEIPEL

4. DIE HODOGRAPHENMETHODE

Eine vollkommen andere und wohl die filteste Methode besteht darin, dab man abh~ingige und unabh~ngige Variabeln vertauscht. Man gelangt so zur Hodographendarstellung. AUerdings erh~lt man nur fiir den zweidimensionalen Fall eine lineare Ausgangsgleichung. Bei achsensymmetrische und dreidimensionalen Problemen wiirde dagegen die Schwierigkeit der Nichttinearitfit nur in einer anderen Form auftreten.

Die Geschwindigkeitskomponenten in x-Richtung und y-Richtung seien mit u und v bezeichnet. Die Machzahl M in GI. (1.1) sei wie bei Spreiter ~1~5~ entwickelt. Nach einer durchgefiihrten Transformation ergibt sich:

(1 -- ML)qs,,,, + q),,, = (7 + 1) MLuqS~v. (4.1)

Weiterhin besteht die Bedingung:

x = q~, ; y = ~b. (4.2)

An Stelle des Legendreschen Potentials ~b kann auch eine Legendre-Strom- funktion eingefiihrt werden. Es kann aber auch das urspriingliche Potential oder die urspriingliche Stromfunktion im Hodographen dargestellt werden, was dann zur Molenbroek-Transformation ffihrt. Mit der Stromfunktion zu rechnen, empfiehlt sich besonders dann, wenn man Verdiehtungsst613e berticksichtigen will.

Eine besondere Schwierigkeit liegt aber weiterhin in der Erfiillung der Randbedingungen, die bis auf einzelne Spezialfglle immer noch zusiitzlich angen~ihert werden mfissen. Besondere Bedeutung kommt der Jakobischen Determinante zu. Verschwindet sie oder nimmt sie unendlieh grol3e Werte an, dann treten in der Hodographenebene Singularit~iten auf.

Ftihrt man in G1. (4. I) folgende neue Substitutionen ein(l°s):

M • - 1 + ( 7 + 1) MLu a = [(7 + 1) M 2 12/a ; O Q J

~ = v; (4.3)

= ~b v

so ergibt sich die Trieomisehe Gleiehung

%° - - a ~ o ~ = 0 . ( 4 . 4 )

Dies ist wohl die Differentialgleichung vom gemischten Typ, die am ein- gehendsten studiert wurde m " (siehe auch Referenz 22). Wie Inan leicht einsieht, hat sie ffir a < 0 elliptischen, fiir a > 0 hyperbolischen Charakter. Fiir diese Gleichung sind Eindeutigkeits- und Existenzs~itze erbracht worden. {a) So bestehen fiir das folgende Problem eindeutige L6sungen (Abb. 5). Auf der Kurve A B, die ganz im Unterschallbereich liegt, wird 7, vorgegeben. Die Kurven A C und B C steUen zwei Charakterisfiken des Oberscha]lbereiches dar. Wenn auf einer yon beiden, z. B. auf A C eben-


falls noch ~p vorgeschrieben wird, dann ist die L/Ssung im Bereich ABC eindeutig bestimmt. FrankF xs) erweiterte die Aufgabenstellung, indem er die Randwerte an Stelle auf der Charakteristik auf einer anderen Kurve vor- gab, die aber jeweils die Charakteristiken der anderen Schar in h6chstens

A C

ABB. 5. Das Tricomische Randwertproblem.

\L ////"c / j f / /

ABB. 6. Das Franklsche Randwertproblem.

einem Punkte treffen darf (Abb. 6). Ftir beide Probleme sind auch die Existenzbeweise gegeben worden. (xS, u~)

Zur Erliiuterung der Hodographenmethode sei die Str~Smung durch eine Lavaldtise studiert. (zS) Man erhiilt dabei die Tricomische Gleichung, GI. (4.4).

I Y

D-E

i I \ i i I BI - J c

I / . t

I ' , /

~ / / / / /

A

-B C

ABB. 7. Str6mung durck eine Lavaldtise. t~s)

Im UnterschaUteil muB man Aussagen machen: I. tiber die Wandbindungen (Stromlinie ~p,, = const.) und 2. tiber den Ausgangsquerschnitt. EventueUe besondere geometrische Eigenschaften, z. B. Symmetrieeigenschaften, kann man sich zunutze machen. In Abb. 7 sind die Vorg/inge in der Str6mungs- ebene und daneben in der Hodographenebene dargestellt. Vom Punkte C in der Str/Smungsebene gehen zwei besondere Linien aus, die beide in D = E mtinden. Das ist einmal die Schallinie (im Hodographen durch tr = 0 gekennzeichnet) und einmal die Charakteristik. GemiiB der richtigen

120 I. TEIPEL

Formulierung des Tricomischen Problems darf W langs D E vorgeschrieben werden. Von D geht ein Expansionsf~icher aus. Man kann sich also auf diesem Wege einen Einblick in die Str~Smungsvorg~inge verschaffen. Es wirkt sich giinstig aus, wenn die Randbedingungen einfache Konturen im Hodographen ergeben. Als Beispiele k6nnte man u.a. anftihren(28): Der AusfluB aus einem GefaB, die Eckenstr6mung, die Oberschallstr6mung um einen Keil mit und ohne antiegendem Verdichtungsstol3.

Bisher wurden die Eindeutigkeits- und Existenzfragen von L6sungen ftir den Fail angeschnitten, dab immer einheitliche Gebiete auftraten. Wesentlich schwieriger wird deren Beantwortung, wenn bei Unterschall- anstr6mung ein lokales l~berschallgebiet sich aufbaut. Existiert dann eine stetige Potentialstr6mung oder muB das Gebiet eine Unstetigkeit enthalten? Eine strenge mathematische K1/irung aller dabei auftretenden Fragen steht bisher noch aus. Buseman (4' 5), Guderley(~e. 27) und Frankl (xg) vertreten die Ansicht, dab ein solches l~lberschallgebiet im allgemeinen nicht stetig in die Unterschallstr6mung tibergehen kann. Gewisse Nichtexistenzs~itze sind auch von C. Morawetz (sg) gegeben worden. Andere Autoren, z. B. Schfifer, (97, 98.99) sind gegenteiliger Meinung. Interessante Beitr~ige dazu wurden in neuerer Zeit yon E. Schincke (~°°) und E. Koppe (5°) geliefert. Geht man von der exakten, zweidimensionalen Potentialgleichung aus und ftihrt dort die Hodographentransformation durch, so erhfilt man nach l/ingerer Rechnung:

%, - k ( r ) ~Pn n = 0 ( 4 . 5 )

worin

k('r) = --O-- (M 2 - 1) (4.6)

bedeutet, p* ist die kritische Dichte, z eine reduzierte Geschwindigkeit. Es l~iBt sich nun sehr einfach zeigen, dab man aueh ausgehend von G1. (4.5) die Tricomische Gleichung findet. Entwickelt man K(x) nach T an der Stelle des Schalldurchganges, so ergibt sich

k(z) = 0' + 1)3. (4.7)

Dieses sei in G1. (4.5) eingefiihrt. Gleichzeitig sollen die Variabeln ver~indert werden:

~r = (y + 1)1/3.3. (4.8)

Man erh~lt dann die Tricomische Gleichung. Eine andere N~.herung haben Tomotika und Tamada (ns) eingefiihrt. Dabei wurde ein Gasgesetz eingefiihrt, das die Beziehungen des Gases konstanter spezifischer W/irme in den betrachteten Bereichen geniigend genau wiedergibt. An Stelle yon G1. (4.4) bzw. GI. (4.5) k/Jnnen auch Gleichungen vom zweiten gemisehten Typ hergeleitet werden. Da gewisse allgemeine Untersuchungen fiber die


Gleichung O~z g~z

x~-~-~ + ~ = 0 (4.9)

vorliegen, kann man versuchen, tiber diese Beziehungen gewisse Aussagen tiber transsonische StrSmungen zu machen. So kann man unter anderem neue PartikularRisungen angeben. Dieses Problem wurde von F. Tricomi selbst auf dem Symposium behandelt3 m)

Eine weitere MiSglichkeit, um zu L~Ssungen der schallnahem Strtimung zu gelangen, besteht darin, dab man Partikularl6sungen tiberlagert. Man finder dadurch ein sehr interessantes Ergebnis: Die Str~Smung ist recht un-

4

J o ct-10* - - 2 I

- z -1 0 2

ABs. 8. Widers tandsbe iwer t fiir e inen Keil31°6) l"t ~lJ 2 ql /3 [(7 + " J ~--~o j

G [] ~ Versuchsergebnisse ~35) CDred = -f513 CD;

M 2 -- 1

[(~/ --~ 1) M 2 ~]2 /3 "

empfindlich gegeniiber einer ~.nderung der Anstr6mmachzahl. Dieses sogenannte Einfrieren der Str6mung kann auch anschaulich gedeutet werden35°

In seinem Vortrag ging G. Guderley auf die Anwendungen der Hodo- grapheumethode ein. An Hand einzelner charakteristischer Beispiele wurde die Problematik dargestellt. Die mathematischen Einzelheiten der Methode waren in der Zusammenfassung yon P. Germain enthalten.

Sehr eingehend ist die UmstriSmung um einen Keil untersucht worden. Fiir die UnterschallanstriSmung liegen Ergebnisse von Cole ~s) und Yoshi- harm 1~4) vor~. Das Problem bei Schallanstr6mung wurde yon Guderley und Yoshihara (a°) gel~Sst. Die besondere Schwierigkeit besteht darin, durch die tiberlagerten Ausdrticke die Randbedingungen zu erfiillen. Mit Hilfe des Relaxationsverfahrens ~x19) sind Ergebnisse erhalten worden, wenn die Anstr6mmachzahl grSBer als 1 ist. In einer Arbeit yon Spreiter (t°6) sind diese Resultate zusammengetragen und mit Experimenten yon Liepmann und Bryson ~sS) verglichen worden. In Abb. 8 ist der reduzierte Widerstands- beiwert CD,~d fiber dem/~hnlichkeitsparameter ~ , deren Definitionen in der

122 i. TEIPEL

Abbildung angegeben sind, aufgetragen. Die Resultate aus ~8~ sind ge- strichelt eingetragen worden. Die L~bereinstimmung zwischen Experiment und Theorie ist sehr gut.

Die Schwierigkeit mit der Randbedingung an der Schulter umging Imai, (44~ indem er die Umstr6mung so betrachtete, als ob yon dort aus eine freie Stromlinie ausging. Es wurde die Kirchhoffsche Theorie vonder Umstr6- mung um K6rper auf kompressible Vorg/inge erweitert. Damit ist man in der Lage, L~Ssungen in Form yon Besselfunktionen anzugeben. Die be- rechneten Widerstandskoeffizienten stimmen recht gut mit den exakten Werten yon ~0) iiberein. Der Grund daftir dtirfte darin liegen, dab der Einfluf3 der Str6mung stromabw~irts der Schulter auf die Druckverteilung des Keils sehr gering ist. Helliwell und Mackie (38) haben diese Modell- vorstellung ausgebaut. Dabei wurden auch Profilformen betrachtet, die nur wenig von der Geometrie eines Keiles abweichen.

H/iufig war bisher die Ansicht vertreten worden, dab das Auftreten yon Grenzlinien in einer kompressiblen Str6mung die analytische L6sung stromabw~irts davon nutzlos machen w/Jrde. (lx~) In einem Vortrag von J. W. Reyn auf dem Symposium Transsonicum wurde diese Behauptung n/iher diskutiert und ihre Richtigkeit in Frage gestellt. Ftir n/ihere Einzel- heiten sei auf die Originalarbeit (9°) verwiesen.

Ein weiterer strittiger Punkt betrifft jene kritische Machzahl, bei der erstmalig bei Unterschallanstr/Smung Unstetigkeiten auftreten. W/ihrend u. a. Busemann ~) die Ansicht vertritt, dab eine solche Machzahl nicht auftritt, wurde yon E. Laitone die gegenteilige Meinung vertreten. ~s2~

Zusammenfassend kann also gesagt werden, dab noch eine ganze Reihe von Fragen offenstehen, die wegen der mathematischen Schwierigkeiten bisher nicht eindeutig gekl/irt werden konnten.

5. DIE METHODE DER VARIATIONSRECHNUNG

Auch die Methode der Variationsrechnung gestattet die Behandlung von nichtlinearen Differentialgleichungen. In c120) hat Wang die Variations- integrale ftir die Umstr6mung eines kompressiblen Mediums um beliebige Profile aufgestellt. Schwierigkeiten treten durch die Randbedingungen auf. Es mtissen verschiedene Bedingungen im Unendlichen erftillt werden. Dadurch kann das Variationsintegral tiber alle Grenzen wachsen, womit die Bestimmung eines Extremwertes sinnlos w/ire; ebenfalls kann dadurch eine Nebenbedingung nicht erftillt werden. Wang hat einen Weg angegeben, wie man diese Schwierigkeit umgeht. Zur Bestimmung des Variationsinte- grales wird das Ritzsche Verfahren angesetzt. Dadurch erh~ilt man Resultate, die n/iherungsweise das gesteltte Randwertproblem 16sen. Die mit dieser Methode erhaltenen numerischen Ergebnisse tin) liegen in guter lr~lberein - stimmung mit Werten anderer N/iherungstheorien.

Auch fftir Probleme der schallnahen StrOmung wurde diese Methode herangezogen. Normalerweise kann man das Ritzsche Verfahren nur zur

ERGEBNISSE DER THEORIE SCHALLNAHER STR()MUNGEN 123

LiSsung von Variationsintegralen, die ein Extremum ergeben, benutzen. Aber nur bei der Unterschallstr/Smung lfiBt sieh dieses Extremum beweisen. Trotzdem 1/iBt sich diese Methode unter gewissen Umst/tnden, wie sich zeigen 1/iBt, aueh im transsonischen Gebiet anwenden.

Durch numerische Rechnungen tm~ hat man festgestellt, dab sich nur bis zu einer bestimmten Machzahl L~Ssungen angeben lassen, die eindeutig sind. Oberhalb dieser Grenze k/Snnen keine physikalisch sinnvollen Resul- rate mehr gefunden werden. Die Deutung dieser Erscheinung ist wohl darin zu suchen, dab yon da ab ein StoB auftritt. Bei genauerer Rechnung stimmt die Grenzmachzahl mit den Werten iiberein, die dureh andere N/iherungsmethoden erhalten wurden.

Wie gut diese Methode der Variationsrechnung ist, k~innten erst eine Reihe yon Beispielen zeigen; bisher sind in der Literatur nur wenige Pro- bleme numeriseh durehgefiihrt worden. Eine ~bersicht fiber die einschl/l- gigen Entwicklungen wurde von W. Fiszdon auf dem Symposium gegeben.

6. DREIDIMENSIONALE, STATION.~,RE STROMUNGSPROBLEME

In tier dreidimensionalen Theorie gibt es versehiedene Probleme, die selbst im schallnahen Bereieh dureh eine lineare Differentialgleiehung beschrieben werden. Als eines der bekanntesten Probleme ist wohl das des Fliigels kleiner Streckung zu nennen. Nach der Darstellung, die auf Munk t~°~ und R. T. Jones t46~ zuriickgeht, kann die Quersehnittsstr6mung als in- kompressibel angesehen werden. Far sie gilt die Laplaee-Gleiehung, die unabhiingig yon der Maehzahl ist. Unter Beriieksiehtigung der endlichen Dieke muB man noch einen Term hinzufiigen, der sieh auf den Raumein- fluB und den MaehzahleinfluB bezieht. Zur Bestimmung dieses Gliedes entwiekelte Keune ~49~ die Quell-Senkenintegrale derart, dab die StSrungen in L~ingsrichtung groB gegeniiber denjenigen in der Querrichtung sein sollen. Die Resultate stimmen grunds/itzlich mit denen yon Adams und Sears u) iiberein.

6.1. Der A'quivalenzsatz

Oswatitsch and Keune cs4) haben die oben beschriebenen Ergebnisse im Linearisierungsbereich der gasdynamisehen Gleichung mit der Umstr~mung um Rotationsk6rper in Beziehung gebracht. Damit kam man zu der Fest- stellung, dab die Str6mung um einen diinnen Fliigel kleiner Streekung auf die StrSmung um einen RotationskSrper mit derselben Quersehnittsver- teilung zuriiekgefiihrt werden kann. Mathematisch formuliert, lautet dieser ~quivalenzsatz:

~0vL -- ~0RK = (qgVr. -- qgRK)l~k. (6.1)

Die Differenz der Potentiale fiir den schlanken Fliigel cpv,~ und den ~qui- valenten RotationskSrper ~0Rx ist dureh die gleiche Differenz in der inkompressiblen StrSmung gegeben. Ftir den ~3bersehallwiderstand eines

124 L TE1PEL

KOrpers wurde die ~quivalenz schon frtiher von W. D. Hayes ~3" und vor~ G. N. Ward ~2~) ausgesprochen.

Die A.quivalenzregel wurde yon K. Oswatitsch ~7n) in einem Vortrag auf dem VIII. Internationalen Kongrel3 fiJr Angewandte Mechanik in Istambul 1952 auf den schallnahen Bereich ausgedehnt. Schon aus den Betrachtungen der linearen Theorie ergibt sich, dab der Fehler, der bei der Anwendung dieser Beziehung gemacht wird, mit Ann~iherung an die Machzahl 1 abnimmt, und bei Moo = 1 verschwindet. Daher ist auch anschaulich einzusehen, warum diese Regel im schallnahen Bereich ihre Gfiltigkeit behatten kann.

Alle diese Ergebnisse setzen reibungsfreie Str6mung voraus, AuBerdem diirfen die Verdichtungsst6fSe nicht zu groBe Drucksprtinge aufweisen, damit MeBergebnisse das Verhalten qualitativ wiedergeben.

6.2. Die Fliichenregel

Aussagen fiber die gegenseitige Beeinflussung von Flfigel und Rumpf macht die sogenannte Fl~ichenregel (area rule). Versuche, die von Whit- comb t123) angestellt wurden, hatten zum Ziel, K~Srperformen zu finden, die im schaUnahen Gebiet geringeren Widerstand ergeben sollen. Qualitativ ergab sich, dal3 der Widerstand in erster Linie yon der Querschnittsver- teilung senkrecht zur Anstr6mung abh~ingt. Hayes tsn hatte schon vorher gezeigt, dab man in grol3er Entfernung die t2berschallstr6mung um Flfigel kleiner Streckung so behandeln kann, als ob die Quellen auf der Achse liegen, ~ihnlich wie beim Rotationsktirper. Damit konnte man sich auf die Untersuchung eines ~iquivalenten Rotationsk/Srpers beschr~nken. Die Gestalt eines solchen K6rpers mit dem geringsten Widerstand ist aber bekannt. Man hat daher die Flfigel-Rumpf-Kombinafion so auszulegen, dab die neue Querschnittsverteilung der des ~iquivalenten Drehk5rpers gleich- kommt. Am Fliigelansatz muB also der Rumpf eingezogen werden.

Interessante Versuchsergebnisse wurden yon Drougge txs) auf dem IX. Internationalen Kongrel3 ftir Angewandte Mechanik vorgetragen, die die Genauigkeit der Fl~ichenregel priifen sollten. Es wurde der Widerstands- koeffizient co zweier Rotationsk6rper mit gleichem Dickenverh~iltnis

= 1/12 1/2 bei verschiedenem gegenseitigen Abstand gernessen (Abb. 9). Bei grol3er Entfernung ergab sich nur der Widerstand eines einzelnen KSr- pers. Durch das Heranriicken stieg CO an, bis man sehliel31ich einen Wert erreichte, als wenn wiederum nut ein K/Srper vorhanden w~ire, jetzt allerdings mit -r = 1/6.

Eine zusammenfassende Darstellung fiber den ~.quivalenzsatz und die Fl~ichenregel ist in tTS) gegeben worden. Auf dem Symposium wurde das Gebiet in keinem gesonderten Vortrag behandelt. Spreiter zeigte im Rahmen seines Vortrages, dab der ~.quivalenzsatz am Bug und Heck yon Rechteck- fliigeln sehr kleiner Streckung versagt. Dies ist zu erwarten, weil der ~iqui- valente Rotationsk6rper eines solchen Rechteckflfigels am vorderen und


hinteren Ende stumpf ist. Ktichemann CSx) wies in seinem Vortrag auf Messungen an einer Reihe von schlanken Fltigeln hin, bei denen der Wider- stand wesentlich kleinere Werte hatte, als nach der Regel zu erwarten wiire. Diese Diskrepanz kann mit Hilfe einer genaueren, den dreidimensionalen Charakter der StrSmung beriicksichtigenden Theorie erkl/irt werden.

0,3

%

o,1

y -ffA2

I

0,5

Moa'-- 1

0 1,0 Y/t 1,5 ABB. 9. Gegenseitiger EinfluB zweier Spindeln auf den

Widerstandskoeftizienten cD (aS).

6.3. Allgemeine, dreidimensionale Str6mungserscheinungen

Da es bisher nicht m~bglich war, die verschiedenen Erscheinungen in der r~tumlichen StrSmung, z.B. das Auftreten eines VerdichtungsstoBes, das AblSsen der StrSmung, die Verh~tltnisse an der Hinterkante usw. mathematisch zu erfassen, kann man zun~ichst so vorgehen, dab man die StrSmung auf experimentellem Wege studiert, um damit einen gewissen AufschluB tiber die Vorg[inge zu bekommen. Das ist aber auch mit Schwierigkeiten verbunden, da der EinfluB der Kanalw~tnde in den Ergebnissen ebenfalls enthalten ist.

Bei all den hier zu besprechenden Phiinomenen ist es nicht notwendig, dab die AnstriSmmachzahl nahe bei 1 liegt. AUein das Auftreten yon Schall- kanten l~il3t die Kompliziertheit der Str~mung deutlich werden. Die Glei- ¢hungen, die die Vorg~tnge an diesen Schallkanten bei dtinnen, konischen Fltigeln beschreiben, wurden yon Fraenkel und Watson (m angegeben. W~thrend man bei ebenen Problemen nur eine MSglichkeit hat, die den Crbergang vom elliptischen zum hyperbolischen Gebiet hervorrufen kann, gibt es deren jetzt zwei. Man kann sowohl durch ,~nderung der Geschwindig- keit ~0x als auch bei konstantem ~x an verschiedenen Orten einen Typen- wechsel erreichen.

126 ~. TEIPEL

Andere Erscheinungen bei konischen FliJgeln, aber mehr vonder experi- mentellen Seite betrachtet und belegt, wurden yon D. KiJchemann <a~> behandelt. Es wurde gezeigt, dab gerade bei den praktisch interessanten Fltigeln mit Anstellung fiJr den Flug bei h6heren Machzahlen und im Hyperschallbereich eine Anzahl von ungeRisten Problemen des Typen- wechsels der Gleichungen auftreten.

In diesem Zusammenhang mug auBerdem die gegenseitige Beeinfiussung von StoB und Grenzschicht erw/ihnt werden.

Ftir den Entwurf von PfeilfliJgeln wurde von Lock und Rogers <6°} ein Verfahren entwickelt, bei dem die St/irke der Singularit/it an der Vorder- kante in einem Bereich konstant gehalten wurde. Zur Oberprtifung dieser Methode wurden Versuche durchgefiihrt (59}. Es ergibt sich eine gute Be- st/itigung. Spezielle Ausftihrungen fiber ein lokales t2berschallgebiet, das sich auf der Fliigelflgche aufbaut, werden von H. H. Pearcy (89> gemacht. Je nach dem Grad der Pfeilung k6nnen solche Gebiete in einem weiten Bereich von Unter- und Oberschallmachzahlen auftreten. Die behandelten Entwurfsmethoden far Pfeilfliigel zielen darauf hinaus, gemischte StrSmun- gen vom transsonischen Typ zu vermeiden, so daB die daftir char-lk- teristischen Erscheinungen gar nicht erst auftreten. Auch bei hohen Ober- schallstr6mungen um dreidimensionale K~rper mit starken St~gen kann es gelingen, diese Str6mungstypen zu vermeiden <m

7. KANALSTROMUNGEN

Als Hauptanwendungsm6gliehkeit bietet sich bier die Windkanaltechnik mit all ihren Problemen der verschiedensten Art. Um den Rahmen abet abzugrenzen, sei hier auf die Besprechung der praktischen Fragen gan: verzichtet. Eine ausfiihrliche Besprechung diesbeziiglich ist in der Mono. graphie yon G/Sthert <zs> zu finden. Von der theoretischen SeRe betrachtet, ergibt sich die Berechnung der Kanalinterferenzen als eines der gr6Bten Probleme bei den durchgeftihIten Messungen. Da die Druckermittlung an Modellen hiutig in mehr oder weniger begrenzten MeBquerschnitten vorgenommen wird, muB der EinfluB der Winde beriicksichtigt werden. Man mSchte die Geschwindigkeitsverteilung in Freiflug kennen.

7.1. Kanalkorrekturen

In schallnaher StrOmung k6nnen diese Einfliisse so stark werden, dab die Messungen erheblich verf/ilscht werden. Daher befassen sich eine sehr groBe Anzahl yon Arbeiten mit der Berechnung dieser Korrekturformeln. Im Gegensatz zum Freiflug ist jetzt eine neue Randbedingung an der Kanal- wand einzuftihren. Die Str6mung wird dadurch schon in einiger Entfernung vom Modell gefiihrt; die Stromlinien ktinnen sich nicht so weit ausbauchen.


Die Folge davon ist, dab bei UnterschaUanstrSmung eine hiShere Geschwin- digkeit im Raum zwischen Modell und Wand auftritt. Beim Ansteigen der Anstr6mmachzahl ergibt sich schlieBlich ein Wert (Blockierungsmachzahl), bei dem/Srtlich die Machzahl im ganzen Querschnitt erreicht wird. Es ist nun nicht mehr ohne weiteres m6glich, die Testgeschwindigkeit zu er- h/Shen.

Bei dem Gegenstfick, dem Fleistrahlwindkanal, werden die Stromlinien zu weit ausgebaucht. Da der geschlossene Kanal gerade das Entgegen- gesetzte bewirkt, wurde ein Kanal mit geschlitzten W/inden entwickelt, der die Nachteile der beiden Kanalarten kompensieren soil.

Die Vorg/inge im blockierten Kanal wurden ffir ebene Profile yon Marsch- ner c64) studiert. Mit Hilfe der Hodographenmethode wurde die Druck- verteilung berechnet, die ein Doppelkeil in einem blockierten Kanal und in einem Freistrahl mit SchaUgeschwindigkeit besitzt. Die Abweichungen yon den Verh/iltnissen im Freiflug sind bei beiden Anordnungen ann/ihernd die gleichen, wenn auch yon entgegengesetztem Vorzeichen. Ein wichtiges Ergebnis betrifft den Unterschied zv, ischen der Kanalstr~Smung und der freien StrSmung. Es zeigt sich, dab er relativ gering ist, wenn das Verh/iltnis ProfiU/inge zur Kanalh/She klein ist. Weiterhin ergibt sich, dab Messungen an besonders di~nnen Profilen sehr viel schwieriger durchzuffihren sind als an weniger diinnen.

Eine/ihnliche Abhandlung mittels des Hodographenverfahrens 1/iBt sich ffir achsensymmetrische K~Srper nicht durchfiihren. Aus diesem Grunde wurde dieses Problem von Romberg c~2) fiber die parabolische Methode gel/Sst. Fiir die Str~Smung des vorderen Teiles des K6rpers bis in die Um- gebung der SchaUinie wird die Beschleunigung ~xx konstant gesetzt. Der freie Parameter wird analog ~s6) wieder durch ein Charakteristikenverfahren bestimmt, so dab die globalen Eigenschaften der gemischt eUiptisch-hyperbolischen Kanalstr~Smung wiedergegeben werden, Die Ergebnisse best/itigen wieder die Aussage, die Marschner c64) auch fiJr die ebenen Profile fand. Vergleicht man zwei Modelle mit unterschiedlichem Dickenverh/iltnis in einem Kanal gleicher Weite, so ergeben die cp-Verteilungen yon dfinneren K~Srpern gegeniiber den Freiflugwerten gr/SBere Abweichungen als diejenigen yon dickeren K6rpern. Dieses Resultat folgt auch aus dem ~.hnlichkeitsgesetz. Die Methode der Lokallinearisierung wurde ebenfaUs zur Berech- nungder Kanalkorrekturen ffir ebene Probleme yon R. Sandeman verwendet und vorgetragen c~) mit ganz entsprechenden Ergebnissen wie in c9~). Die Bloekierungsmachzahl entspricht dabei stets einer Anstr/Smung mit Moo = 1.

Wesentlich komplizierter liegen die Vorg~inge bei Kan~ilen mit geschlitzten, perforierten oder por/Ssen W~inden. W~ihrend man bei dem geschlossenen und bei dem offenen Kanal die Randbedingungen genau festlegen kann, wird das Problem bei den abge~inderten Wiinden recht verschwommen. Dabei ist man zum Teil auf experimentelle Faktoren angewiesen. Eine

128 I. TEIPEL

exakte Berechnung dieses nichtlinearen Problems ist natfirlich auch noch nicht m6glich gewesen. Daher soil zun~chst wieder auf ~hnlichkeitsregeln eingegangen werden. Man kann dann Versuche auf verschiedene andere K~Srper iibertragen.

Da das ~quivalenzgesetz auch ffir den schaUnahen Bereich gilt, kann man sich auf die Ausmessung von Rotationsk6rpern beschr~inken. Die not- wendigen Voraussetzungen zur Anwendung dieser Regel sind meistens gegeben. Es hat sich herausgestellt, dal3 gerade im Transschallgebiet die Grenzschichteffekte eine sehr grol3e Rolle spielen ktinnen. Die Rand- bedingungen werden dadurch abge/indert. Durch das Konstanthalten der einzelnen Parameter wird die Grenzschichtdicke variiert.

Auf Grund dieser .~hnlichkeitsbetrachtungen kann man die Maximal- l~inge eines Modells bestimmen. Es ergibt sich nach Bernd(2), der eine l~bersicht fiber den Gesamtkomplex gab, dal3 diese L~inge proportional zu z 4 ist.

Um die Grtil3e der Schlitze festzulegen, kann man das asymptotische Verhalten der Str/Smung nach Guderley und Yoshihara (29) heranziehen. Durch ganz analoge Ans~itze land Berndt (2) sowohl die Schtitzbreite als auch die Machzahlkorrektur. Versuchsergebnisse zur Best~itigung dieser Formeln sind sehr schwer zu erhalten, da nur wenige Experimente mit systematischer Ver~inderung der Schlitzgeometrie und der Modellgr613e vorgenommen wurden.

Urn zuverl~issige Aussagen machen zu kt~nnen, mfissen unbedingt die nichtlinearen Grundgleichungen gel6st werden. Von theoretischer Seite liegen aber hier his heute kaum Ergebnisse vor.

7.2. Diisenstr6mungen

Die Berechnung der ebenen, rotationsfreien Dfisenstr6mung kann Fin- zipiell dutch die Hodographenmethode gelOst werden. In diesem Zusammen- hang sei z. B. auf die Arbeiten yon LighthilP 7) und Cherry (6) hingewiesen. Da die Hodographenmethode, auf rotationssymmetrische Str~Smungen angewendet, nicht auf eine lineare Gleichung fiihrt und somit einen der Haupt- vorteile verliert, wurden ffir diesen Fall Verfahren in der Str6mungsebene selbst angegeben. Meyer (6n) und Taylor ~m) haben Potenzreihenentwick- lungen in x und y angesetzt, bei denen besonders der Schalldurchgang und seine Umgebung betrachtet wurden. Oswatitseh und Rothstein (Sn) haben die eindimensionalen Ergebnisse als Ausgangsbasis benutzt. Schliel31ich sei auf die Arbeit ~ls) aufmerksam gemacht, in der mittels der Relaxations- methode die StrSmung berechnet wird.

Eine Verbesserung der Reihenentwicklung wurde kiirzlich yon Halt (Be) gegeben. Es wird eine Entwieklung nach 1/R angesetzt, wobei R der Krfim- mungsradius der Dfisenwand im engsten Querschnitt ist. Vergleiche mit den Ergebnissen von (86) zeigen, dab die Werte erster Ordnung iibereinstimmen.

ERGEBNISSE DER THEORIE SCHALLNAHER STR~MUNGEN 129

In den h~Sheren Ordnungen treten Abweichungen auf. Es ware zu kliiren, ob die Voraussetzungen fiir beide Rechnungen die gleichen sind.

Fiir die Berechnung der Diisenstrt~mung benutzte Holt "°) die Methode yon Dorodnicyn. tm Schwierigkeiten bereitet dabei die Umgebung der SchaUinie. Indem Holt die Lage dieser Sattelpunkte niiherungsweise fest- legt, kann er yon da aus die Integralbeziehungen ansetzen. Die Beispiele, die durchgefiihrt wurden, zeigen zufriedenstellende f3bereinstimmung mit exakten Werten.

8. INSTATION.~RE, SCHALLNAHE S T R O M U N G E N

Genau wie bei dreidimensionalen, station~iren Problemen die linearisierte Theorie in gewissen F~illen brauchbare Ergebnisse lieferte, ebenso kann man bei instation~iren Str6mungen ein ~ihnliches Verhalten erwarten. Fiir gewisse Aufgaben ist es durchaus erlaubt, die linearisierte Theorie zu verwenden. Als asymptotischer Grenzfall fiir Verschwindende reduzierte Frequenz oder verschwindende Beschleunigung aber miissen sich die nichtlinearen, statio- n~iren Gleichungen ergeben.

Als Ausgangsgleichung dient jetzt eine Potentialgleichung, die gegen- fiber G1. (1.1a) um Terme, die zeitliche Differentiationen aufweisen, erweitert ist. In diesem Abschnitt seien nur schlanke Fliigel betrachtet. Man kann sich leicht die entsprechenden Beziehungen fiir achsensymmetrische StrSmungen aufstellen. In der Theorie kleiner StrSmungen lautet die Grund- gleichung:

[1 - M ~ - 0 , + 1) M ~ x ] ~ + % y + ~ - 2M°° 1 c ~ c fx t - - ~"~cFttcoo = O.

(8.1)

Beziiglich der Ableitung von G1. (8.1) sei auf das Buch yon LandahF s4) hingewiesen, der auch einen der Obersichtsvortriige tiber das Gebiet hielt. Einen zweiten Vortrag hielt R. Timmann. Fiir die Randbedingungen miissen auch die Formeln erweitert werden. In erster Niiherung diirfen sie wieder auf der Achse erfiillt werden. Es ergibt sich:

Oh 1 Oh y = 0 : ~ y = ~ + o o v , - - O~-" (8.2)

Fiir den Druckkoeffizient erhiUt man schlieBlich:

2 cp = - 2~x - -77-- %- (8.3)

t J o o

Solange man sich auf die lineare Theorie beschriinkt, ist es nicht notwendig, Formeln fiir die Stol3polare anzugeben. 5 ]?AS

130 I. TEIPEL

8.1. Lineare Theorien

Lin, Reissner und Tsien t59) haben untersucht, wann man die lineare Theorie iiberhaupt anwenden kann. Als Resultat ergab sich, dab bei geniigend groBen Beschleunigungen selbst in Schatln[ihe auf die nichtlinearen Gleichungen verzichtet werden kann. Natiirlich miissen die KOrper schlank sein. Dieses Ergebnis wurde auch fiir dreidimensionale Probleme gezeigt. (Sa) Handelt es sich um schwingende Fliigel, so bedeutet es, dab die reduzierte Frequenz k, die aus der AnstrSmgeschwindigkeit U~ und einer charakteristischen L/inge l gebildet wird,

fO k = ~ l (8.4)

groBe Werte annehmen muB. Das Problem des schwingenden Profils bei M~ = 1 wurde zuerst von

Rott (ga) behandelt. Die Potentialgleichung (8.1) vereinfacht sich zu:

2 1

Mit dem Ansatz: q~(x, y, t) = ~p(x, y) e I ,,t (8.6)

ergibt sich eine parabolische Differentialgleichung. Die L~isung fftihrt auf Fresnelsehe Integrale. Die gefundene Druckverteilung bleibt endlieb mit Ausnahme an der Spitze des Profils, immer vorausgesetzt, dab die reduzierte Frequenz nicht verschwindet. Ausfiihrliche Tabellen fiir die aerodynamischen Luftkr~te sind in (n) berechnet worden.'

Beim Bestimmen von Grenzwerten vonder tJberschall- oder vonder Unterschalltheorie muB man sehr vorsichtig sein. Es hat sich gezeigt, (47) dab z. B. die asymptotischen Werte ftir den Druckkoeffizienten, der aus der linearen t0berschalltheorie bekannt ist, bei Moo ~ 1 unendlieh werden. Von der Unterschalltheorie aus liegen die Grenzwerte besser3 u) Da die zweidimensionale Theorie fiir die praktischen Rechnungen yon nicht allzu groBer Bedeutung ist, wurden die dreidimensionalen Effekte eingehend untersucht. Die Ergebnisse, die auf Landahl zuriickgehen, sind in (54) zusammengetragen. Wie in Abschnitt 6 erw/ihnt wurde, gilt bei Fliigeln kleiner Streckung fiir die Querschnittsstr6mung die Laplace-Gleichung. Beschr/inkt man sich auch in der instation~iren Theorie auf 5.hnliche Fliigel- formen, so kann man die Berechnungsmethoden der station[iren Str6mung auf diese Probleme iibertragen. Mit dieser Begriindung kann der erste Term in GI. (8.1) vernachl~tssigt werden. Durch Fouriertransformation kann man eine L6sung in Form eines QueU-Senken-Integrales angeben. Unter Beriicksichtigung der Randbedingungen erh~lt man eine Integral- gleiehung. Betrachtet man nur die Hauptglieder und vernachl[issigt Aus-


driicke h6herer Ordnung beziiglich der Halbspannweite, so findet man das Gegenstiick zur Theorie yon R. T. Jones (4e) Fiir die LSsung der Integral- gleichung wird dieselbe Iterationsmethode benutzt, die Adams land Sears (x) f'fir die entsprechenden station~en Probleme verwenden. Mit dieser Theorie wurden ftir den Deltafliigel die aerodynamischen Beiwerte bzw. deren Ableitungen berechnet. Vergleiche mit Experimenten sind zufrieden- stellend. Allerdings zeigen die Versuchsergebnisse einen steilen Abfall bei wenig steigender Machzahl oberhalb 1, den die Theorie nicht wiedergibt.

Um den Rechteckfliigel zu betrachten, kann die Iterationsmethode nach Adams und Sears <1) nicht benutzt werden, da sie zugespitzte Fliigel- formen voraussetzt. Mile¢ e" 16ste dieses Problem speziell ftir den Recht- eckfliigel kleiner Spannweite, indem er elliptische Koordinaten einffihrte. Die L~sung ergab sich in Form yon Mathieuschen Funktionen. Fiir die Berechnung der StabilitiRsbeiwerte entwickelte Miles nach Frequenzen und nach der Halbspannweite. Einen anderen Weg benutzte Landahl. (so Da das gesteUte Problem analog dem der akustischen Berechnung an einem Schlitz ist, konnte die Methode angewendet werden, die Schwarzschild (1°1) daftir benutzt hat. Zuniichst wird das Problem abge~indert, indem man die L6sung sucht, bei tier das Potential an den Seiten des Fliigels nicht verschwindet. Die erste Niherung stellt sich als LSsung fiir Fltigel unendlicber Spannweite dar. Um den Fehler wieder rtickgiingig zu machen, wird eine LSsung addiert, die die Werte des Potentials in Spannweitenrichtung zu Null macht, die Ableitungen auf dem Fliigel aber unver~indert liil3t. Dieses Verfahren wird ftir beide Hitlften des Fltigels getrennt durchgefiihrt. Die Summe beider Ausdriicke ergibt die zweite Niiherung. Durch diese t)berlagerung wird aber die Randbedingung, dab das Potential verschwinden soll, wieder ver- letzt. Es ist eine neue Iteration notwendig. Ergebnisse haben gezeigt, dab man schon in der dritten N~iherung die Randbedingungen geniigend genau erfiillen kann. Die Konvergenzeigenschaften sind offenbar sehr gut.

Mit dieser Methode sind sowohl der kompakte Rechteckfliigel als auch Fliigel mit Klappen untersucht worden. In Abb. 10 ist die Auftriebs- verteilung in Spannweitenrichtung fiir einen Rechteekfliigel mit dem Seitenverhiiltnis A = 2 aufgetragen. ~ ) Die reduzierte Frequenz betriigt k = 0,3. Der Fliigel fiihrt Drehsehwingung um die Vorderkante aus. In Abb. 10a ist der Betrag und Abb. 10b der Phasenwinkel dargestellt. Die Ergebnisse zeigen gegeniiber der Streifentheorie (zweidimensionale Theorie) grol3e Abweiehungen. Es ist daher bei Entwiirfen erforderlich, die dreidimensionale Theorie heranzuziehen. Das gilt selbst fiir Fliigel, deren Seiten- verhiiltnis relativ groB ist. Bei den Rechnungen fiir Fltigel mit Klappen ist Vorsieht geboten, da man an die Grenze der Giiltigkeit der linearen Theorie gelangt; die reduzierte Frequenz ist zu klein. Hiiufig treten aueb Stol3wellen am Ansatz tier Klappe auf.

Kiirzlieh sind Versuehsergebnisse <t°) fiir den Rechteekfliigel bekannt geworden. Bei einem Vergleieh mit der Theorie yon Landahl ist die

6*

132 I. TEIPEL

~)bereinstimmung sehr gut mit einer Ausnahme. Der Imagin/irteil des Luft- kraftbeiwertes bei Drehschwingungen f/illt gegeniiber den experimentetlen Werten entschieden zu klein aus. Es kann ein Rechenfehler vorliegen. Auch hier best/itigt sich wieder der groSe Einflu8 der dreidimensionalen Str6mung.

Eine andere M6glichkeit, die instation/iren Luftkr/ifte um Fltigel endlicher Spannweite zu berechnen liegt in der numerischen Behandlung der

7[- ~ 4 . . . . ~ . . . . . / I I L._._~_.__.: .... J .... " ....

81 ~, i ! ILl , ,

.. !

' \ \ t ~

[ ..... Streif~ntheorie \\ i 2 ~i---2. N~iherung x~'~._ 1

3. N~herung , \~1 i ........ ; ............... ! .......... . . . .

0 0,5 y 1,0

228°~--~f~ 1 ! ] e ; i

F ! i 180~ ~ ....... ? 4 ....... [ ....... i

160"

1/"0°0 0,5 y 1,0

AnB, 10. Auftricbsverteilung L fiir einen Reehteckfliigel bei M~ = 1 (Drehschwingungen um die Vorderkante). (ha)

A = 2; k = 0,3. (a) Betrag ILl der Auftriebsverteilung (b) Phasenwinkel 0 der Auf- triebsverteilung.

Differentialgleichungen. Zu diesem Zweck wird das Problem durch eine lntegralgleichung dargestellt. Indem man den Kern niiherungsweise vorgibt, k a n n man L6sungen angeben. Durch Erfolge im Unterschallgebiet wurde Stark c1°7) ermutigt, diese Methode auch au f den schaUnahen Bereich aus- zudehnen. Es wurden die Lu f tk r~ t e fiir den Rechteckfli igel mit dem Seitenverh/iltnis 2 berechnet. Gute ( )bereinst immung mit den Werten aus den analytischen Methoden nach L a n d a h P 4) war gegeben.


8.2. Nichtlineare Theorien

Bisher sind nur wenige Versuche bekannt geworden, das nichtlineare Problem zu l~Ssen. Meistens geht man davon aus, der station/iren Str6mung instation/ire Effekte in erster Ordnung zu fiberlagern. Man erh~ilt dann eine lineare Potentialgleichung mit variablen Koeffizienten, in die GrSBen des station/iren Feldes eingehen. Dadurch ist man in der Lage, den EinfluB des Dickenverh~iltnisses eines Profiles zu studieren. Als Randbedingung muB jetzt auch die Stoppolare eingeffihrt werden. Coupry und Piazzoli ~°) ver- wendeten das Geschwindigkeitspotential. Das station/ire Str~Smungsfeld wurde auf sehr einfache Weise vorgegeben. Vor und hinter dem Verdich- tungsstoB, der ein lokales ~berschallgebiet abschlieBen soll, setzte man die station/ire Geschwindigkeit % konstant. AuBerdem wurde zur Vereinfachung der StoB als gerade und senkrecht zur Anstr~Smung angenommen. Ffir die L~sung der Differentialgleichung wurde ein Differenzenverfahren benutzt. Eckhaus tm behandelt das gleiche Problem, indem er das Beschleunigungs- potential einffihrte. Zun/ichst wurde das Problem unter Vernachl/issigung der Randbedingungen im Nachlauf untersucht. Mit dieser L~Ssung und den Bedingungen im Nachlauf wird eine neue Integralgleichung aufgestellt, in die als Unbekannte die Abwindverteilung hinter dem Profil eingeht. Durch Entwicklung nach einem Frequenzparameter konnten n/iherungsweise auch davon L~Ssungen angegeben werden. FiJr das Problem der schwingenden Flfigelklappe mit aufgesetztem StoB sind kfirzlich auch spezielle Resultate vert~ffentlicht worden ~15).

Da die parabolische Methode fiir die station/iren Probleme so ausgezeichnete Ergebnisse liefert, erscheint es sinnvoll, sie auch ffir instation~ire Str~Smungen zu entwickeln. So hat Hosokawa ~48) sein Verfahren auf Flatter- probleme fibertragen. Es zeigten sich gute Obereinstimmungen mit Experi- menten. Ein anderer Versuch m~) ging in der Richtung, die ursprfingliche parabolische Methode in abgewandelter Form auf diesen Problemkreis zu erweitern. Die Ergebnisse zeigten sehr deutlich die Grenzlagen; einmal, daB bei niedrigen Frequenzen k die station/iren Werte erreicht werden, zum anderen, dab man bei hohen k die linearisierte Theorie verwenden darf.

AbschlieBend kann gesagt werden, dab in diesem Bereich noch recht wenige Ergebnisse vorliegen.

8.3. Wellenausbreitungsvorgiinge

Es ist bekannt, dab die akustische Theorie zur Berechnung yon Wellen- ausbreitungsvorg/ingen in groBer Entfernung vom StSrzentrum falsche Er- gebnisse liefert. Aus diesem Grunde muB man daffir nichtlineare Gleichun- gen in der StrOmungsebene heranziehen. Einmal besteht die MSglichkeit, numerisch fiber die Charakteristikentheorie den Vorgang zu studieren. Eine analytische Methode wurde von Oswatitsch ~8°) gegeben. Dabei benutzt man

134 I. TEIPEL

an Stelle der kartesischen Koordinaten die Charakteristiken. Der StrOmungs- zustand sowie die Koordinaten werden in Abh~ingigkeit dieser neuen Variab- len geschrieben. Bei der Betrachtung kleiner St6rungen k/Snnen die ab- h~ingigen Gr6Ben nach einem St6rparameter entwickelt werden. Schon in der ersten N/iherung dieser Entwicklung gibt es einen grol3en Unterschied gegeniiber der Akustik. Es wird bereits die richtige Darstellung schwacher Verdichtungsst6Be erhalten.

Diese Methode wurde in einem Vortrag von K. Oswatitsch auf Vorg/inge erweitert, bei denen die Anstr6mmachzahl in der N/ihe yon 1 liegt. (s~) Dabei kann man vonder Tatsache Gebrauch machen, dab die Neigung der charakteristischen Fl~ichen nur wenig yon denen in der ungest/Srten Str6mung abweichen. Als Beispiel wurden die Ausbreitungsvorg~inge betrachtet, die von einer konstanten Quellbelegung auf einem Abschnitt der x-Achse von der Zeit t = 0 ab ausgehen.

9. SCHALLNAHE STROMUNGEN IN DER MAGNETOGASDYNAMIK

Noch komplizierter werden die Differentialgleichungen, wenn man solche Oberg~inge vonder Unterschall- zur Oberschallstr6mung unter dem EinfluB von Magnetfeldern untersuchen will. Die elektrische Leitf~ihigkeit soll

g//,.'~, " / / ~ I E '/';'""" ;" ;

I P

0 1 M . . . . . . .

ABB. ! I. EIlipti~he (E) und hyl~rboliscb© C, cbicte (H) fiit ma&m©togasd)mamischm Str6mungen.

iiberaU unendlich gesetzt werdcn. Weiterhin son angenommen werden, dab alas Magneffeld tibcraU parallel der Str~mungsrichtung ist. In diescan Fall h[ingt das Verhalten der Grundgleichung, ob elliptisch oder hyperbotisch, nicht nur von tier Machzahl allein ab. Es tritt die Alfv6nzahl A hinzu, die das Verhaltnis der StrOmungsgeschwindigkeit der Alfv6nw¢llen zur Sehall- gcschwindigkeit darstcllt. Di¢ vcrschiedenen ObcrgangsmOglichk¢iten sind in Abb. 11 veranschaulicht. Man erhalt ein solches Diagramm, wenn man


die Koefflzienten der Charakteristikenbedingung diskutiert. Dieses Dia- gramm wurde zuerst von Taniuti tl°°) aufgezeichnet. Wenn sowohl die Alfv6n- zahl als auch die Machzahl Werte fiber 1 haben, dann sind die Gleichungen vom hyperbolischen Typ. Es gibt weiterhin ein hyperbolisches Gebiet, in dem die Machzahl und die Alfv6nzahl kleiner als 1 sind. Die untere Ab- grenzung ergibt sich dabei, wenn ihre Quadratsumme A2+ M s gerade gleich 1 ist. In allen anderen Gebieten liegen eUiptische Differentialgleichun- gen vor. Zeichnet man sich nun in Abb. 11 Kurven mit konstanter Entropie ein, so sieht man, dab im allgemeinen dreimal ein Typenwechsel stattfindet, es sei denn, die Isentrope verlaufe gerade durch den Punkt Q. In diesem SonderfaU ergibt sich nur ein f0bergang vom eUiptischen zu einem hyperbolischen Gebiet.

Bei all diesen Untersuchungen kann eine Potentialfunktion eingeftihrt werden. Es 1/il3t sich auf einfache Weise zeigen, tl°~ dab

( l/ rot 1 - - - ~ - to = 0. (9.1)

Daher ist man in tier Lage, eine einzige Grundgleichung entweder Ftir die Potentialfunktion oder ftir die Stromfunktion aufzustellen. Unterwirff man diese Beziehungen einer Hodographentransformation analog der in Ab- schnitt 4, so erh~ilt man jetzt ebenfalls eine lineare Differentialgleichung. Ftir die Stromfunktion ~p ergibt sichtl°s):

W~(A s 1) (M ~ + A ~ 1" ~ ~ - - ) ~ + W{(M z + l ) ( A i - 1) s -

- M 4 [ y ( A - 1) + 1-3A2]} oW M ~ s3aW +(1 - M ~)(a m + - 1 ) ~ = 0 .

(9.2)

W ist der Geschwindigkeitsbetrag, 0 der Winkel des Geschwidnigkeitsvek- tors mit der x-Achse. Ftir A - , oo, wenn also das Magnetfeld verschwindet, geht sie tiber in die Tschapligin-Gleichung. Die Jakobische Determinante, die bei der Transformation auftritt, verschwindet nur in den hyperbolischen Gebieten; daher ktinnen nur dort Grenzlinien auftreten.

Elementarl/Ssungen yon G1. (9.2) sind von Seebass °°~) und yon Hida c39) angegeben worden. Es sind dies die ,,magnetische QuellstrSmung", bei der die Stromfunktion eine Funktion des Winkels allein ist, und die ,,magnetische WirbelstrSmung", bei der die Potentialfunktion proportional zu 0 ist. Die Quellstrtimung endet auch jetzt bie M = 1. Aber der Potentialwirbel besitzt ebenfalls eine Grenzlinie bei A s + M 2 = 1.

Um allgemeinere LSsungen von G1. (9.2) zu finden, kann man einen Separationsansatz machen ooz):

W = f(O) F(W/Wmax). (9.3)

Unter der Voraussetzung, dab 7, = 2, erhfilt man eine gewShnliche

136 I. TEIPEL

Differentialgleichung, von der man gewisse L6sungen in Analogie zur Ringleb-Str6mung t91) bringen kann.

Ahnlich wie in der gew6hnlichen Gasdynamik kann man auch jetzt eine Theorie kleiner St6rungen entwickeln. ~1°8) Zun/ichst wurden die Unter- suchungen darauf beschr/inkt, dab die lokale Machzahl nahe bei I liegen soll. Nach einigen Rechnungen ergibt sich wieder eine Tricomische Glei- chung, bei der die abge/inderte Stromfunktion Faktoren enth/ilt, in denen die Alfv6nzahl eingeht. Es gelingt, die Grundgleichungen auf die der gewShn- lichen Gasdynamik zuriickzuffihren. Die Bedeutung der verschiedenen Gr6gen mul3 allerdings erweitert werden. So ergibt sich als ~hnlichkeitsparameter:

M~ - 1 (9.4) / 1 ]1/3"

[(y + 1)~]2/,~l -

Man kann weiterhin folgern, dab das ~hnlichkeitsgesetz fiir schallnahe StrGmung in einer erweiterten Form gelten mug. Es zeigt sich, daB, wenn man die LSsung fiir die schallnahe UmstrSmung um einen K6rper mit bestimmten $~ kennt, man eine ganze Gruppe gasdynamischer und magneto- gasdynamischer Str6mungen um geometrisch ~ihnliche K6rper bei verschiedenen Werten von A~, M~ und Y hat. Hida (ag) hatte ein analoges Er- gebnis auf anderem Wege erhalten. Dadurch, dab man die magnetogasdyna- mischen Gleichungen ffir diesen Fall auf die Beziehungen der normalen Gasdynamik zuriJckfiihren kann, sind die Umstr6mung um einen Keil bei M~ = 1 einfach zu berechnen. Dabei muf5 weiter vorausgesetzt werden, dal3 die Alfv6nzahl gr613er als 1 ist. Es hat sich n~imlich gezeigt, dab die Str6mung bei A~o < 1 sich umkehrt. Fiir diesen Fall miil3te man den nichtmagnetischen Str6mungsvorgang kennen.

Ist also Moo = 1 und A~ > 1, so kann man die Ergebnisse yon Guderley- Yoshihara <8°) direkt iibertragen. Beschr~inkt man sich auf die Ermittlung des Widerstandsbeiwertes, so kann man auch den Fall A~ < 1 aufeinfache Weise 15sen. (:°8) Es ergeben sich die beiden Formeln:

~/~ ( 12_~1/~" A~ > 1: co,,,d = 3,52 (y + 1)a/3 1 - A ~ ] ' (9.5)

z ~,'~ ( 1 ~1/3 A o~ < 1: COred = 7,35 (7 + 1)X/z_I - - ~ - } . (9.6)

In Abb. 12 sind die reduzierten Widerstandsbeiwerte nach G1, (9,5) und G1. (9.6) in Abh/ingigkeit von A~o 2 aufgetragen. Es gibt im ganzen Bereich einen Widerstand. Aus GI. (9.6) berechnen sich zwar negative Werte fiir COr~d aber man mug ebenfalls beriicksichtigen, dal3 die Str6mungsrichtung umgekehrt verl/iuft. Im Gebiet, in dem A~ > 1, nimmt auch CD,ed mit abnehmendem Ao~ ab, w/ihrend bei A~ < 1 die umgekehrte Tendenz erscheint.

ERGEBNISSE DER THEORIE SCHALLNAHER STR~MUNGEN 137

Die Dtisenstr~Smung unter dem Einflul3 eines Magnetfeldes wurde von Chu ~7) untersucht. Als Ausgangspunkt wurde die Geschwindigkeitsver- teilung auf tier Symmetrieachse vorgegeben. Es wurden LSsungen der Aus- gangsgleichungen in Form yon Reihenentwicklungen gesucht. Die Strom- linien stellen dann die Diisenkontur dar. In erster N~iherung ergab sich keine .~nderung der Diisenwand unter dem EinfluB des parallelen Magnetfeldes.

2

I

/ /

0 0,5 1,0 1,5 ~ . 2#

Ann. 12. Widerstandskoeffizient CDred bci verschiedenen Alfv6nzahlen (Moo = 1,0) tl°s).

Erst in der n~ichsten Approximation machte sich dessen Wirkung bemerkbar. Nati~rlich muBten die drei ObergangsmSglichkeiten berticksichtigt werden. Dieses neueste Gebiet elliptisch-hyperbolischer Problematik war durch Vortdige yon Seebass und Tamada auf dem Symposium vertreten und bildete dessen Abschlul3.

Fiir einige kritische Bemerkungen bei der Abfassung dieses Artikels m~Schte ich reich bei Herrn Dr. D. Kiichemann bedanken.

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Ergebnisse der theorie schallnaher strömungen