2. angew. Math. Mech. Bd. 34 Nr. 819 Aug./Sept. 1954 C. Mechanik

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Ersatz der Lochrandbelastung einer elliptisch gelochten Scheibe durch eine Belastung d er ungelochten Scheibe

Von G. Sonntag in Miinchen An einem Beispiel soll auf eine Beziehung aufmerksam gemacht werden mit deren Hilfe sich

vielleicht neue Losungen der ebenen Elastizitatstheorie finden lassen. In einer unendlich ausgedehnten Scheibe herrsche der gleichrnaI3ige Spannungszustand

p,, p,. Wenn in diese Vollscheibe ein elliptisches Loch geschnitten wird, deren Hauptachsen a, b in Richtung der Hauptspannungen p, , p , , der Vollscheibe liegen (s. Bild l), andert sich der urspriingliche gleichmal3ige Spannungszustand in bekannter Weisel). Die durch das Loch her- vorgerufene Storfunktion entsteht aus der gedachten Belastung des Lochrandes, die den ge- schnittenen Spannungen der gleichma'ljig beanspruchten Vollscheibe entgegengesetzt gerichtet ist, und damit einen lastfreien Lochrand erzielt.

Es wurde untersucht ob diese, durch das elliptische Loch in der Scheihe hervorgerufene Storfunktion erzeugt werden kann durch eine Belastung der Vollscheibe innerhalb der Lochkon- tur. Mathematisch gesehen handelt es sich um die analytische Fortsetzbarkeit der Storfunktion; die gefundene Losung soll hier aber anschaulich beschrieben werden.

Durch eine Belastung der Vollscheibe innerhalb der elliptischen Lochkontur durch einfache Krafte, deren Spannungen mit l / r vom Lastangriffspunkt abklingen, 1aBt sich das Ziel nicht erreichen. Die erforderlichen ,, Grundtypen der Belastung ergeben sich wie folgt : ,

I / I

PY I I I I \

t t t l t t t t t t - , ,

- , , , '. ,' -- -_____- ---/ .. -

+ 6 s +!- arhsensymrnetrische Drurkpde

c= +- antimetrische po/e

c

c

c P x

- &

Bild 1 Bild 2

Nahern sich zwei entgegengerichtete Krafte auf ihrer Wirkungslinie und nehmen dabei in einer Weise zu, daB sich bei unendlich kleinem Abstand noch ein endlicher resultierender Wert ergibt, dann erhalt man eine gerichtete Belastung deren Spannungen mit l / r2 vom Angriffspunkt abklingen. Durch Uberlagerung der gleichen Belastung, jedoch um 90" verdreht, resultiert der achsensymmetrische Druck- (oder Zug-)Pol, dessen Spannungsfunktion F, lautetz) :

F , = - C, In r . Hat die um 90" verdreht uberlagerte Belastung entgegengesetztesvorzeichens, dann resultiert ein antimetrischer Pol F , :

Nahern sich zwei achsensymmetrische Pole Fl entgegengesetzten Vbrzeichen in der oben fur zwei Krafte beschriebenen Weise, dann folgt die Spannungsfunktion F, der Belastung deren Span- nungen mit l / r 3 abklingen :

F, = C , C O S ~ P , .

Es laflt sich nun nachweisen, daB der Spannungszustand, der durch das elliptische Loch erzeugt wird, ebenso entsteht, durch eine Belastung der Vollscheibe langs der Verbindungslinie der Brennpunkte des gedachten elliptischen Loches, wie folgt (s. Bild 2) :

1. Belastung durch achsensymmetrische Druckpole PI der Intensitat

l ) S. z. B. L. F 6 p p 1 , ,,Drang und Zwang" 3. Bd., S. 124 f f . . R. Oldenbourg, Miinchen 1947. 2 ) S. L. F 6 p p 1 , ,,Drang und Zwang" Bd. I, 3. Aufl. (1941) S. 275 f f . Verlag R. Oldenbourg, Miinchen.

2. angew. Math. Meeh. C. Mechanik 331 Bd. 34 Nr. 8/9 Aug./Sept. 1954

2. Belastung durch antimetrische Pole F, der Intensitat

3. Belastung durch Pole F3 der Intensitat

u ____- - . - f1- (u/e)z . du . b 2

n(a/b- 1) e

Durch Integration und Berechnung der Spannungen wurde im Vergleich rnit der bekannten Lo- sung fur das elliptische Loch die Richtigkeit dieser Ersatzbelastung der Vollscheibe nachgewiesen.

Beachtung verdient der Sonderfall, in dem sich p,/p, wie a/b verhalt. Ih diesem Fall ver- schwinden C, und C3 und es verbleibt nur die Belastung durch achsensymmetrische Druckpole.

Fiir das Kreisloch vom Radius a lautet die Spadnungsfunktion der Storung, wenn p , = 0

-1nr -+ c o s 2 p - 2 r2

In diesem Ausdruck ist keine dem Pol F3 entsprechende Spannungsfunktion, deren Spannungen mit l / r 3 abklingen, enthalten, dafur klingen die Spannungen des dritten Gliedes in der Klammer

P x * p . cos 2 p = F4 mit l / r4 ab.

Der Pol F, entsteht aus Polen F3 entgegengesetzten Vorzeichens bei dem oben beschriebenen Grenziibergang.

Diese Untersuchung stellt einen Anfang dar ; es ware die weitere Aufgabe Zusammenhange aufzuspiiren, die einer Verallgemeinerung den Weg zeigen, um damit noch unbekannte Losungen zu finden.

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Die Plattentheorie als asymptotisches Integrationsproblem der Elastomechanik

Von E. Weilzel in Jena Die K i r c h h o f f sche Plattentheorie, auch in der von E. R e i IJ n e rl) und M. S c h a -

f e r2) erweiterten Gestalt, ist theoretisch immer noch unbefriedigend, weil in ihr rnit Spannungs- verteilungen und Verzerrungszustanden gearbeitet wird, die rnit den Vertraglichkeitsgleichungen im Widerspruch stehen und somit in einem ideal-elastischen Korper eigentlich gar nicht moglich sind. Die unbestreitbare Bedeutung der R e i 13 n e r - S c h a f e r schen Entwicklung besteht darin, daIJ d r e i Randbedingungen erfiillt werden konnen, wie es der Natur des elastizitats- theoretischen Problems entspricht. Die strengen Losungen des Plattenproblems von M i c h e 1 13), L o v e4), N e u b e r5) genugen zwar den Grundgleichungen der Elastizitatstheorie, sind aher so speziell, da13 nur z w e i Randbedingungen vorgeschrieben werden konnen.

Das im Vortrag entwickelte asymptotische Integrationsverfahren rnit Hilfe des E u 1 e r - M a c 1 a u r i n schen Entwicklungssatzes hat sich bei naherem Zusehen als ein Weg zur stren- gen Losung des dreidimensionalen Plattenproblems zu erkennen gegeben. Aus den im all- gemeinen divergenten Entwicklungen nach B e r n o u 11 i schen Polynomen kann leicht die allgemeine und konvergente Losung des dreidimensionalen Plattenproblems gewonnen werden.

Als ein erstes einfaches Resultat ergibt sich unmittelbar eine Einsicht in den Zusammenhang zwischen den Losungen von M i c h e 11 - L o v e - N e u b e r einerseits und dem Vorgehen von R e i 13 n e r - S c h a f e r andrerseits.

1st namlich das Verschiebungssystem

UO(% y, z), ~ o ( 5 , y, 4, WO(% y, 2) l) E. R e i s s n e r , On bending of elastic Plates. Quart. Math. 7. (1949) S. 223-228. 2) M. S c h a f e r , uber eine Verfeinerung der klassischen Theorie dunner schwach gebogener Platten.

3, Mi c h e 11 , On the direct Determination of Stress in a elastic solid. London Math. SOC. Proc. 31. (1899)

4, L o v e , Lehrbuch der Elastizitat. (1906) J 299 und folgende. 6, N e u b e r , uber das Kerbproblem in der Plattentheorie. Z. angew. Math. Mech. 20. (1940) S. 199

Z. angew. Math. Mech. 32. (1952) S. 161-171.

s. 100.

bis 209. 23"