Existenzbeweise in aver Tbeorie permanenter Scbwerewellen

einer inkompressiblen Fliissigkeit lit'ngs eines Kanals

HERBERT BECKERT .

Fiir die Existenz permanenter, wirbelfreier Wellen einer inkompressiblen F!iissigkeit, die l~ings eines Kanals fortschreiten, sind nach LEvI-CIVlTAs grund- legenden Abhandiungen [2] yon mehreren Autoren Beweise ver6ffentlicht worden.

Wenn ich nochmals auf diesen Gegenstand zuriickkomme, so deshalb, weil die hier ge~ebenen Beweise ftir permanente, wirbelfreie WeUen in einem Kanal end- licher und unendiicher Tiefe besonders "durchsichtig zu sein scheinen. Das Wesen der Beweisidee liegt darin, dab ohne weitere Zwischentransformationen auf die in der Levi-Civitaschen Theorie auftretende nichtllneare Differentialrelation l~ings

�9 der freien Kui've direkt der Schaudersche Fixpunktsatz angewandt wird. Dadurch ergibt sich eine Vereinfachuhg gegentiber friiheren Beweisen. Sie ist noch deshalb

. bemerkenswert, well unser Ansatz auch fiir an.dere Probleme mit freien Strahl- grenzen yon Bedeutung ist 1. Ein weiterer Vorteil besteht in un~erem Fall darin, dab die in unserer L6sungsschar vorkommenden Parameter relativ leicht zu itbet~ehen sind.

Wir stellen zun~ichst einige wohlbekannte Tatsachen zusammen.

A. Fall eines Kanals unendlicher Tiefe Wir betrachten mif LEvI-CIVITA station/ire, symmetrische 0berfl~ichenweUen

der Wellenl~inge "~. Die Bewegung sei wirbelfrei. Der EinfluB" der Kanalwiinde auf di~ Strfmung werde vernachliissigt, so dab es zur voUst~indigen Beschreibung gent~gt, den Str6mungsveriauf in einem Vertikalschnitt parallel zu den W~_nden zu kennen. Die Bewegung der Oberfl~chenweUen erfolge mit der Geschwindig- keit c beziiglich der. ruhenden Wgnd. Wie schon RAYLEIGH bemerkt hat, kann man das Koordinatensystem so wLh_len: dab hierin die WeUenbewegung station~ir erscheint. Zu diesem Zweck legt man den Ursprung 0 des x , y-Systems etwa auf einem Wellenberg und 1/iBt es mitwandern. Die positive y-Achse zeige nach unten, der Geschwindigkeitsvektor der Wellenbewegung in die negative x-Rich- tung. Dann scheint yore mitbewegten Punkt 0 aus gesehen, die Wellenoberfl/iche zu ruhen, w~hrend ein fester Punkt auf den Kanalw~inden sich mit der Geschwin- digkeif c in Richtun'g der positiven Abscissenachse bewegt.

�9 1 Vgl. z .B. die anschlieBende No te des V e r f a s s e r s : P o t e n t i a l s t r 6 m u n g e n l~ing~ eines Kanals mit weUiger Kanalsohle.

380 HERBERT BECKERT :

Es bezeichne W(z) = q~ (x, y) + i ~(x, y) ; z = x + i y das komplexe Strfmungs- potential, W(0)----0. Das Geschwindigkeitsfeld u(x, y), v(x, y) ergibt sictf aus:

dW dz - - 9 x + i v p ~ = u - - i v - - ~ = u + iv"

-- a = (u -- c) + i v ist tier Vektor der absoluten Geschwindigkeit. Die Gleichung der WeUenlinie ~, welche das Fltlssigkeitsgebiet upendlicher Tiefe begrenzt, sei y = yo(x) mit

yo(X+n~)=yo(X ) und Yo( x ) = y e ( - x ) -

sei die Stromlinie ~0 ~-0.

Indem wir die Dichte O = t setzen, laxitet die Bernoullische Gleichung

#-gy+i l~l '=K. Die Konstante K wird wegen der Stetigkeit des Drucks p an der Grenzfliiche durch den vorgegebenen A~tBendruck Po bestimmt. Auf dem Boden sou die Fltissigkeit in Ruhe seiia, d.h...

u = c , v = 0 fiir y = o o .

Wir nehmen an, der FIuB durch eine beliebige beztiglich der KanalwiLnde ruhende Vertikale bleibe endiich, d.h.

Y

f ( u , c ) dy=~o-- c y + C y o < K t < oo. Ys

I-Iieraus folgt tp--~ oo ftir y--~oo.

Die Potentialfunktion ~# ~ c y ist beschriir~kt, ihre Randwerte auf ~ sind gleich - - c Yo. Dies fiihrt auf den ldassischen Schlug der Zeitunabhiingigkeit von tp im mi t~wegten Koordin~tensystem x, y. Das gleiche trifft ftir die Potentialfunktion 9 0 - c x zu und daher auch auf W(z). Indem man die Symmetriebedingung Yo (x) = Yo (-- x) sowie eine sich auf das Spiegelungsprinzip sttit.zende hit folgenden noch 6fters zu verwendende SchluBweise beachtet, wird ersichtlich, dab 90ix, y)

~ konstant ist. Ferner bleibt die Funktion fiir x = + ~-

H ( , ) = W(z) - - c z

irn gesamten " Str6mungsgebiet beschr~kt . Sie hat die Eigenschaft:

O) w(z+ ~) = wO) + c ~.

Denn H ' ( z ) = w - c nat offenbar die Periode 2, also H(~+ 2 ) - H(z)=c'= konst. Die. Beschr~kthe i t v o n H(z) liefert c ' = 0 oder 0) .

Durch die Funktion W(z) = q~+ i ~ wird das Str6mungsgebiet auf die W-Halb- ebene abgebildet. Die WeUenlinie ~ geht in die 9-Achse fiber, und die unendlich-

�9 femen Punkte entsprechen sich.- Wegen der Periodizititt ge~tigt es, sich auf den Streifen

< ~ < + a . 2 -- -- ~-' Y ~ y

zu beschriinken. Wegen (t) und W(0)=0 entspricht dieser dem Streifen ~ :

Existenz permanenter Schwerewellen 381

in der W-Ebene. (Die positive ~v-Achse zeige wie die y-Achse in der z-Ebene nach unten.) Die Funktion w (z) wird auf den Streifen.~ verpflanzt- w (z) = w (W). Mit LEvI-CIVlTA werden noch zwei Transformationen eingeschalt'et. Einmal setzen wir .w=ce -~°, o~-----O+iT.; zum anderen bilden wir den ,Halbstreifen ~ durch die Transformation:

2 n i W

= ¢--~- = ~ e i °

Q = e c~. • O ' ~ . . . . . ' c 2

auf den Einheitskreis E: ~[=< 1, der liings der negativen reellen Achse aufge-

schnitten ist, ab. Dabei geht' W = ~ in~=0, und der Abschnitt -- =< q)--_<-t- ~ - ,

~o=0 der Wellenlinie in die Kreisperipherie l~l = t fiber. Die l~tngs der Wellen- linie differenzierte Bernoultische Relation-lautet nach Umrechnung auf die neuen Variablen :

dr g2 e-3~sin 0 (2) ~b- = 2 . c2 •

Aus Grtinden der Symmetrie der Welle ergibt sich leicht

~ ( - ~,~) = ~(~,~); 0 ( - ~,~)-= = o(~,~)

und ebenso liings der Kreisperipherie yon E

(3) ~ 0 , ~ ) = ~ ( t , - o ) ; 0 0 , o ) - - 0 0 , - o ) .

Da die Fltissigkeit am B0defi ruht, ist oJ(0)=0 und hieraus folgt wegen (3) nach dem Spiegelungsprinzip 0----0 auf der reellen Achse dec ~-Ebene.

Wir.gelangen also mit LEVI-CIVlTA zu dem Randwertproblem (R) tiber E:

(R) Es wir.d eine in ¢ = 0 verschwindende, in E analytische Funktion o =0+. i t mit den folgenden Eigenschaften gesucht: a) sie ist im abgeschlossenen Kreis stetig differenzierbar und gentigt 1Angs der Kreisperipherie der Relation (2), b) sie ist rein imaginAr auf der reellen Aclise~ d.h. 0--=0 ftir Ira(C)=0, c) tier

sowie 0 > 0 fiir 0_<a<~; Realteil t9 erftillt die Ungleicl/ungen: 1,91 ~ < ~ - 0 < 0 ftir ,O_~a> " ~ .

Aus der Bedeutung von 0 als Winkel, den der Str6mungsvektor mit der positiven Abscissenachse einschlieBt, erkennt man leicht die Sachgem~13heit der Forde- rungen ¢).

'Ist o (¢) eine L6sung yon (R), so definiert

(4) z = ~ _ 7 - 1

eine Abbildung des l~ings der negativen reeUen Aehse aufgeschnittenen Einheits-

~ - - < x < + ~ eines kreises E auf einen halbstreifenf0rmigen Abschnitt F: ---~-

m0glichen Str6mungsgebiets in der z-Ebene. Dabei entsprechen die beiden

Schnittufer der Geraden x = J-' :~2 bzw. x = - . 2-'1 Die Gleichung der zugeh6rigen

3 8 2 H E R B E R T B E C K E R T :

Wellenlinie ~: y----yo(x) lautet in Parameterdarstellung cr

f e - ' c o s O a . : y0= ~ f e - ' s i n 9 a 6 . (4 ' ) x = 2 - ~

0 " 0

Nach diesen der Vollstiindlg~keit dienenden Vorbereitungen wenden wir uns der L6sung des Randwertproblems (R) zu.

Wir geben uns llings S: 1r = t eine beliebige, h61derstetige, den Forderungen (R) c) gentigende Funktion t9 ((r) vor. Die in E dutch diese Randwerte bestimmte Potentialfunktion verschwindet auf der reellen Achse nach dem Spiegelungs- prinzip. Wit setzen ,9((r) in die Differentialrelation (2) ein und fasseri diese als Differentialgleichung ftir T = Z (~) auf. Wit erhalten:

ea'(~ = e.a'(~ + 3P f sin ~9 (a) da o

p _ ga 2 n c 2

mit einer Willktirlichen Integrationskonstanten a - - e 8" (0). Wegen 0 (~)= -- # (-- o) gilt sin *9 (~) = -- sin O (o), woraus T (o) ----- �9 (-- o) folgt. Die Integrationskonstante wiire aus der Bedingung

(,) fr(~) ao = 0 0

zu errechnen wegen to (0) = 0. Wir stellen jedoch das Problem allgemeiner, indem wir zun/ichgt yon dieser Bedingung absehen und die positive Konstante a beliebig ansetzen; es gilt also

a

(o) = �89 In (a + F(o)) ; F(a) ' 3 P f sin O (o) do o

(5) dT p sin'0 d ~ = ~ + F ( o ) "

Wir Itihren den Existenzbeweis mit einer festen Konstanten a durch und korri- gieren lffnterher in einfaeher. Weise die Abweiehung von (,). Sei ~(0, o) d i e dureh die Randwerte (5) bestimmte Potentialfunktion tiber E. Sie ist der Imagi- n~rteil einer in E an.alytisehen Funktion to* = 0 " + i X. Der Realteil 0*(0, o) hat die folgenden Eigensehaften: Er ist in E + S h61derstetig differenzierba.r und versehwindet longs der reeUen Aehse; die Funktionswerte iiber dem oberen Halb- kreis gehen also dureh Spiegelung an cIer reeUen Aehse aus denen tiber dem unteren Halbkreis hervor. Bezeichrren O*(#)=0"( t , o) die h61derstetig differen- zierbaren Randwerte yon 0*(0, o), so gilt 0* (a )~ 0 ftir 0 ~ o ~ ~r, O*(o)~ 0. ftir 0 > o > --zr wie nach (R) c) ftir 0(o).

Beweis. Aus der h61derstefigen Differenzierbarkeit yon ~(0, o) in E + S folgt zuniichst nach den S/itzen yon FATou-PeawLOW dasselbe auch ftir 0*(0, o). Um das Verschwinden auf der reeUen Achse einzusehen, gentigt es zu zeigen, dab

- ' . . " 0 T " die Ablel.tung ~ - dort den Wert Null annimmt. Aus der Poissonschen Integral-

formel erkennt man wegen z (a) = r (-- o) sofort , (x, y) = T (x~ -- y) und hieraus

O~ (x, 0 )=0 . Nun zur Eigenschaft (R)c). Aus (2) folgt ftir nicht identisch 0 y

verschwinden(te der~" Voraussetzungen in (R) gentigende Funktionen 0(o) die

Existenz permanenter Schwerewellen 383

Ungleichung d T ( t , a ) > O ftir O<_a<:~ ( 6 ) ~ t , ; -

analog d ~ ( l , a ) < O f~r O ~ a ~ - - ~ . da -- --

Unsere Behauptung ergibt sich nunmehr aus dem einfachen Hilfssatz: Er/allt der Imagin~rteil T(Q, a) einer im abges~hlossenen Einheitskreis stetig differenzier- baren ira Kmisinnern analytischen Funktion o J* =,9" + i ~ liings der Kreisperipherie S die Ungleichungen (6) und verschwindet t~* liings der redlen Achse, "dann gilt."

0 * ( e , a ) > 0 /at O < a < ~ , 0___0<t

O*(e,a)~_o tar O > a > - - n , 0 g _ o < t .

Beweis. Es gentigt die Funktionswerte yon 0"(0, a) ]m oberen Halbkreis zu betrachten. Wir bezeichnen mit n die iiul3ere Normale an S, dann folgt aus den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

0O* Or 00" ~T On Oa' Oa On '

(7) ~o* - - ~ 0 ft~r 0 ~ a < : ~ . On

Ist entgegen unserer Behauptung in einem Punkte des 0beren Halbkreises 0*(Q, a ) < 0 , und D die Gebietskomponente, welche durch diese Ungleiehung bestimmt ist, dann versehwindet offenbar ~*(0, a) auf dem Teil des Randes R yon D, der im Kreisinnern verl~tuft. Auf dem auf S liegenden Teil ,Con R gilt 0* ~ 0. Die Anwendung der Greenschen Formel fiihrt sogleich auf einen Wider- spruch; denn ersiehtlich gilt

f f "* ' -a-"* ' d x d y = ~ O * Oo* _ ~ , ~ a a < O D R

wegen ~7), also 0* =cons t tiber D, woraus 0"-----0 folgte, entgegen unserer An- nahme (6).

Es bereitet keine Schwierigkeiten, die Gtiltigkeit der Greenschen Formel ftir das Gebiet D einzusehen. Unser Hilfssatz ist bewiesen.

Das Maximumprinzip lehrt weiter, dab die Potentialfunktion O*(e, a) in keinem v o n d e r reellen Achse verschiedenen Punkte des Kreisinnern verschwindet und sicher, auch nicht in Punkten der Kreisperipherie, wo in (6) das Ungleichheits- zeichen gilt.

Sei ftir , 0 < ~ < t ~ , der Banach-Raum aller tiber S nach dem Exponenten v hSlderstetigen Funktionen*, und Q diejenige konvexe Menge in ~ , , deren Ele- mente 0 (a) die Bedingungen in (R) erfiillen. Wit studieren im folgenden die Funktionaltransformation

Tp0 (.) = o*(.)

ftir 0 (a)( Q. Es wird sich datum handeln, in Q eine geeignete konvexe Menge ausfindig zu machen, die dutch Tp stetig und vollstetig in sich abgebildet wird.

2 ~, ist der bekannte Banach-Raum mit der Normdefinition:

UO(-r)ll,=Max Io(o>l +n, (o) ; n,,(e) =H61der-Konstante von/~.

384 HEaBERr BECKERr:

Dann liefert der Schaudersche Fixpunktsatz einen Fixpunkt 0o (a) : Tt, O o {a) = 0o (a). Diese Fixpunktl6sung bestimmt die Randwerte des Realteils einer tiber E ana- lytischen Funktion ~oo(()=0o+izo, fiir die l/ings S die Differentialrelation (2) mit 0 = 0 o und z = z 0, erfiillt wird. Man kann solort einen Fixpunkt yon Tp angeben: 0 ~ 0. Zu diesem geh6rt co-------' 0, die triviale L6sung einer wellenfreien ParaUelstr6mung. Dieset: Umstand zwingt tins, die oben erw~hnte~konvexe Menge i n Q so zu w~ililen, dab der NuUpunkt nicht dazu geh6rt.

Nach den vorangegangenen Uberlegungen bfldet Tp Q .in sich ab. Es gilt die Abschiitzung

(8) d a < i a i - - a -----/*"

Wir unterwerfen fiir das Folgende das Verh/iltnis/, der Ungleichung

(9) ~ > 2 "

Nach den Si~tzen von FAToU-PRIVALOW geniigt die ~'unktlon 0"(~) stets einer H-Bedingung nach jedem Exponenten v, 0<~ I; genauer, es existiert eine von und :z abh~ngige positive Konstante K(v, ~), so daft die Randwerte der Bild-

funktion ganz im Innern der Funktionalkugel

(9') ~K: IIOl~ _ K(, ,~)

liegen. Wit fiihren jetzt in Q eine yon einem Parameter s > 0 abh~lgige Schar konvexer Mengen Qs ein. Die Funktionen in Q, sind durch Vorgabe ihres ersten Fourier-Koeffizienten nach (t0) gek.ennzeichnet

00) ~ f O(a)sinada=s, ftir O(a)EQs. 0

Den Durchschnitt yon Qs mit der Funktionalkugel ~tc bezeichnen wit mit ~1~,. Wir werden ftir noch n/iher zu charakterisierende Werte s Fixpunkte von Tp in ~lJ~ s nachweisen" Zu diesem Zweck gehen wir von einem festen Verhiiltnis/z. nach (9) aus und bestimmen hierzu die Schranke K(v, t*) und damit ~tr Offenbar kann man bei festern # eine positive Zahl r/v so bestimmen, daft ftlr alle s mit -0 s~r/~ die Funktionen 0(a) yon ~ die Ungleichung (~tt) erftillen

2" Unsere Funktionaltransformation Tp bildet jedes Element yon ~s in die Kugel ,~x ab und zwar so, dab dm Bllder zu den soeben emgeitihrten konvex~ Mengen ~0~s geh6ren, doch Andert sich im allgemeinen s yon Element zu Element. Der n/ichste Schritt "besteht darin zu zeigen, dab unsere Transformationen T~, von einer

�9 t

bestimmten Stelle P>=Po an, die Elemente von ~ , mit 0<s<~/~_~h, s~ntlich in die Mengen vom Typus ~IR~, mit s'>= s abbfkIen.

Beweis, Wir vergleichen Tp mit einer oinfacheren Transformation T;, indem wir start (2) die Differentialrelation

(t2) a , ' d~ = ~ 0(,r) ftir ~9 ( 9X, verlangen.

Existenz permanenter Sehwerewellen a85

Eg s~en O*'(a) die Randwerte derjenigen Potentialfunktion tiber E, die als Realteil der analyfischen Funktion to* ' =O* '(e, a)q-iT'(Q, a) auftritt, wenn die Randwerte yon ~'(~, a) sich dutch Integration yon (t2) ergeben. Ferner gelte O*'(O, 0)==0. T~ ist dann durch die Zuordnung

T; ,a (,,') = O* '(o')

definiert. Wir fragen nach dem Werte s des ersten Fourier-Koeffizienten von O*'(a) | In

0

Der Zusammenhang zwischen s und s' ergibt sich sogleich aus der Fourier- Darstellung yon Real- und Imagin~teil der analytischen Funktionen

to = O + i~; 'to*' = # * ' + i.T'

l~ngs S. Man beachte 0 (a) (~tc , also I n

o o

OCar = ~ a, sin h a ; s = a t = ~ f0(a) sin a ao. m = l

0

0 (e, a) = E a..e" s i n n a .

Aus (t2) folgt:

~'(~) ---- -- ~, ~a~ c o s . a ~ const ~ 1

und ttir die Ranclwerte 0* '(~) yon 0* '(0, ~)

(14)

Daraus: 2 ~

' sin a da = s' = aa.p = s p. (t 5) ~- 0

Die Transformation T t' l~iBt mithin fiir ab= t das Integral 2 n

0

invariant, flir ~ > 1 gilt stets: s ' = a x p > a~ = s .

Aus den weiteren Eigenschaften yon Tp' Iolgt, dab die Elemente ,con ~Rs flir p > t in die Mengen vom Typus Q,, m i t s ' > s abgebildet w~rden. Wir libertragen jetzt dieses Resultat auf Tp. Zu diesem Zweck vergleichen wir die Differential- relationen (2)und (t2) und beachten dabei die bekannten Ungleichungen

~ 0 ~ s i n 0 ~ 0 " fiir 0 ~ 0 ~ --n - - - - 2 '

# < s i n 0 ~ - - z 0 "ftir 0 ~ 0 > - - - - n . z~ 2

386 H E R B E R T B E C K E R T :

Wir fiihren die Abkiirzung

t = f sin *9 (a) da 0

ein, offenbar gelten ffir aUe 0 (o) ( ~ ; 0 ~_ s N ~. und 0_--< a_~ ~ die Ungleichungen

2

(t6) -P-*9(a)a =/t*9(a) = ~ _ a q - 3 p t do

ebenso ffir 0 ~ . 9 ~ - -~:

a~' _ / , * . 9 ( o ) > d~ > ~ * 9 ( a )

mit 2

-P , p*- ~P l a - - a a + 3 p t "

..Seien mi t den frtiheren Bezeictmungen *9*(a), ,9* '(a) durch

Tp*9 =0. ; z;,.o=*9*" definiert. Wir wenden unseren Hilfssatz auf S. 383 auf die in E analytischen Funktionen oJ*-----*9* + i r, r ' = . 9 " + i ~' an. Ftir

erhalten wir

07)

co" = c o * ' - o3" = (*9*'-*9*) + i ( r ' - r) =.9"+i~"

tiT" tiT' dT g 0 ftir O g o g . z r

d~" dr ' d r :>0 ftir - - ~ r " : a < O "dO--- do do ~ - '

.9" verschwindet l~tngs der reelhn Achse, daher hat man

O."(e, o) = *9*'(e, o) - O*(e, a) ~ o far o _~ a _ ~r

08) o~_q___~

O"(o, o ) = .9"(0, a) -- *9*(0, a) ~_ 0 ftir 0~_~o~1,

folglich

-~ f *9*'(a)sinoao'<{ f o*(.)si..a.. 0 0

Nun geh6rt bei ib*~t 0*'(a) zu Q,. mit s " ~ s > O , also auch *9*(a)(~s,, mit s"_~ s'_~ s. Dies fiihrt auf eine Bedingung ftir t:

2 --p (t9) ~*= ~ > t - ~ t = ~ ( ~ - t ) > t .

a-+3pt - - 3 k ~ # - -

Wegen (9) ist / > 0 . Bisher unterlag auf Grund yon (t t) der Parameter s der Einschr~inkung: O ~ s ~ r l , . Offensichtlich existiert bei fest vorgegebenem

g tl >~ - eine positive Zahl s . , so dab ftir alle s '<s . alle Funktionen in ~ , die

Bedingung (t9) befriedigen. Die Mengen 9J/, O< s ~ Mix (rli,, s,) werden also durch

Existenz permanenter Schwerewellen 387

�9 die Transformation TO, welche zu dem ins Auge gefagten y-Wert gehort, auf einen Funktionenbereich abgebildet, der zur Vereinigung aUer Parametermengen ~,, , mit s " ~ s geh6rt. Unsere B.ehauptung ist bewiesen.

Wit gehen jetzt von den linken Seiten. der Ungieichungen (t6) aus .und be-

trachten die Vergleichstransformationen T u' mit P - - = y < t . Indem wir ithnlich a wie vorhin schlieBen, erkennen wir, dab flir

(20) p ~ a

die Transformationen T o die Elemente der friiher definierten Mengen ~ s in solche .abbilden, welche jeweils zu Parametermengen ~0~s, mit s ' ~ s geh6ren. Zusammen- fassend ergibt sich:

Es sd Pt = a p vorgegeben, und hack S. 383 ~t~ bestimml. Die Transformationen . TO sollen #tzt nickt bei /estem p sondern bei variablem noch yon 0 (a) abkiingigem po betracktet werden. Dann gib.t es zu #dem Parametemevt s, O<s~Min(~h, , su) eine Trans/ormatio n

,nit > #o > a > O,

die #wells ~ in sick abbildet.

Als niichstes zeigen wir, die Transformationen TOo sind stetig und vollstetig. Beide Aussagen sind einfache Folgerungen der S/itze von FATou-PRIVALOW.

Vollstetigkeit. FOr alle O ( a ) ( ~ , sind die durch (5) mit po .statt p definierten Randfunktionen T(a) hSlderstetig differenzierbar, es gilt:

m i t einer festen nur von den bezeichneten Gr6Ben abhiingigen Konstanten C. Aus den genannten S/itzen resultiert eine zu (2t) analoge Ungleichung ftir die Randwerte der konjugierten Potentialfunktion O*(a). Die behauptete Vollstetig- keit erschlieBt man jetzt sofort aus einem wohlbekannten Auswahlsatz.

Stetigkeit. Aus Oi (a) E ~O~, nebst 0i (a) --~0 (a) 'soil folgen

TOo, (.) 0 (.) beztiglich der in ~IR, gtiltigen Norm. Wit zeigerl zuniichst: Pe~-+Pe. Sei andern- falls dann eventuell flit eine Teilfolge p~--* p gifltig,

und Tp. O(.) =

TO; ,O, ( . ) = Wir zeigen, dab die durch

definierte Funktion zu einer Menge ~I~ mit ~ :~ s geh6rt. In der Tat ergibt sich aus

d T p sin 0 (a)

a+ 3p f sin O(a) da 0

Arch. Rational Mech. Anal., Vol. 9 27

3 8 8 H E R B E R T B E C K E R T "

bei festem ,9 (a)( ~ doch variablem p ffir

(~+ 3p/~i~ oao) ~in O-- 3p ~in Of%n odo 0 T o _ _ 0 ' 0

op (a+3p fsinOda)" (22) o

= asinO(a). > 0 ; O _ ~ a ~ . o

(a+ 3p f sin dg(a) do)'

Aus (22) und Tp*,9(a) E~rd,; pe=~ p gchlieBt man leieht auf Grund unseres Hilfs-

satzes, wie behauptet, auf

Daraus resultiert sofort ein Widerspruch. Mit Hilfe der SiRze yon FATOU- PRIVALOW ergibt sich aus po,---~ p, .9i (a)--->*9 (a) ngtmlich die Stetigkeit

Tp,*9, (o) ~ ~ .9 (o).

T~,9(o) geh6rte also zu ~l~s entgegen unserem letzten Ergebnls; po,--~po ist be- wiesen. Die eingangs behauptete Stetigkeit unserer Transformation Tpo beweist man nun leicht, indem man die vorhergehende Scfiluflweise nochmals auf die Folge Tpo ,.9i (a) unter Beachtung yon po,-+p~ anwendet.

Nunmehr sind alle Voraussetzungen fiir den Schauderschen Fixpunktsatz sichergestellt. Die durch Tpo vermittelte Selbstabbildung yon ~)~s besitzt Fix-

punkte. Etne derartige Fixpunktl6sung ,9o(a) liefert die Randwerte des Real- teils einer in E analytischen Funktion too----0o+ i r 0, die liings S die Randrelation (2) mit dem Parameterwert Po. ; Px--~ Po. >= a > 0 befriedigt. Ferner sind alle Sym- mettle- und Besch#inktheitsbedingungen eritillt. Das Integral

(*) f To (~) a , /= mo 0

wird im allgemeinen nieht verschwinden. Wir korrigieren dies hinterher und setzen

(23) ,o, = ,90 + i (to - too).

Die in E analytische Funktion (23) erftillt offenbar alle Bedingungen unseres Randwertproblems (R) und zwar ftir einen Parameterwert

ko = Poo e-S"'. Sie definiert eine einparametrische Schar permanenter Wellen in dem vorge- gebenen Kanal unendlicher Tiefe, wobe~ zwischen der Wellenl~nge ~ und der Fortpflanzungsgeschwindigkeit c der Zusammenhang

(24) g/t -- ko = Po. e-a~u 2 .,-.g c s

besteht. Den Ubergang zum Str6mungsgebiet der z-Ebene bestimmt (4), die WellenlAnge 2 kann beliebig vorgeschrieben werden, dann liefert (24) die Fort- pflanzungsgeschwindigkeit c.

Der Parameter a > 0 unterlag keiner weiteren Beschr~nkung. Ob wit indessen bei festem se ine zweiparametrische L6sungsschar in 2 und a erhalten, ist zu verneinen; denn jede FixpunktlOsung, die man nach unserer Methode ftir einen

Existenz permanenter Schwerewellen 389

festen W~rt yon a ermittelt, tritt auch far jeden anderen Wert dieses Pararneters auf. Ist namlicl~ 0o (~)E ~l~, L6sung ffir a = a o, p = Po, also

f sin 0 o(~) d -- rao; f re (or) d~ = 0 ~o(~) = �89 % + 3peo o

die Randwerte der zugeh6rigen konjugierten Potentialfunktion in E. Setz t man

�9 i (~)=�89 a l + 3 ~ t f s i n O o ( o ) d e --rot; " f lq (o)da=O, 0 �9

so gilt dann und nur dann *x (o)= ~o (O), wenn

dae-S-,--_aoe-3,,,,_--_b; pae-8-,=Poe-a,e.o=ko.

Wir gelangen daher za einer einheitliehen Darstellung for *i(~r), wenn wit setzen ( ~ ) Ti (u) = �9 (a) = �89 b + 3 ko f sin 0o (0) d~ �9

0 A u s a < i 0 e <a /~ ergibt sich b~ko~_bl~, und (,) liefert sogleich 0 < b < t .

�9 Zusammenfassend erhalten wit das Resultat: Wir geben uns / , = P-- nach (9)

vor, bestimmen ~'K nach (9') und s~, 171 , um (19), (1t) zu erffiUen, dann erhalten wir zu .jedem Wert von s im Intervall 0<s~Min(~/a , sv) eine einparametrische Schar von permanenten Wellenbewegungen, fiir welche zwischen Wellenliinge und Fortpflanzungsgesehwindigkeit die Relation (24) besteht.

B. Fall eines Kanals endlicher Tiefe

Wie D. J. STRUIK gezeigt hat, ist die Methode yon ~.EvI-CIvITA auch zu einem Existenzbeweis permanenter Wellen zu x~erwenden, wenn dieselben sich l~ngs eines Kanals endlicher Tiefe ausbreiten [1], [3], [4], [5]. Es bereitet keine Schwie- rigkeiten, unsere Methode auf diesen Fall zu fibertragen. Wir legen die x, y-Ebene in ein~n Ebenenschnitt parallel zur Fortpflanzungsrichtung, so daft der Null- tmrikt 'auf der Kanalsoh!e liegt; die positive y-Achse zeigt nach oben und gehe durch die Spitze eines Wellenbergs. Wie im Faile (A) kann man die Bewegung der Teilchen ira x, y-System Ms stationer ansehen, wenn dieses sich bezfiglich der ruhenden Kanalwande mit der Geschwindigkeit c in Richtung tier negat~ven Abscissenachse bewegt. W(z) = qJ (x, y) + i ~0 (x, y) sei das komplexe Str6mungs- potential, W ( 0 ) = 0 . Die Stromlinie ~o=0 vefliiuft dann llings der Kanalsohle; tp.= q sei der Wellenllnie zugeordnet. Durch die" Transformation

' 2 ~ i W

wird ein Ausschnitt des Str6mungsgebiets, der yon der Wellenlinie y=yo(x )

2 ~ x ~ + 22~ der Kanaisohle begrenzt wird, auf einen sowie dem Abschnitt - - - ~ _ _

Kreisring K der komplexen ~-Ebene abgebildet. Hierbei entsprechen den Kreisen 2nq _~_

S: 1r = 1 bzw. Sv: 1~ = R = e ca < 1 dem Abschnitt - - a - - < x < + limgs

der Sohle bzw. dem dartiberliegelxden Teil der Wellenlinie. Beachten wit die Symmetrieeigenschaften (3) fiir die wie in (A) definierte Funktion o~(0, a)---- # (e, a)+ i7: (0, a), so werden wit au/fotgendes Randwertproblem tiber K geft~hrt :

27*

390 H E R B E R T B E C K E R T :

(28)

Ferner gi R noch:

Es ist eine in K analytische Funktion o)(0, a ) = 0 (0, a ) + i r (Q, a) zu finden, deren Realteil 0(0, a) im abgeschlossenen Ring K stetig differenzierbar ist, 1/ings S verschwindet und l~ings Sq der Differentialrelation

(2') d~ _ p e _ , ~ s i n O ; p _ ~ g2 da 9~c 2

genfigt. Ferner sind noch die Symmetriebedingungen

(25) O ( R , a ) = - - O ( R , - - a ) , r (R,a) = r ( R , - - a ) sowie

n O(R,a)-<-O ffir 0--<a--<~ Io(~)l <t~< ~;

zu erffillen. Das negative Vorzeichen in (2') folgt daraus, weil jetzt die positive y-Achse nach oben zeigt, wodurch in der Bernoullischen Gleichung ein Vorzeichen- wechsel auftritt.

Sei o ~ = O + i r eine L6sung dieses Randwertproblems, dann definieren die Formeln (4), (4') eine konforme Abbildung des l~tngs der negativen reellen Achse aufgeschnittenen Kreisrings K auf einen Ausschnitt eines Wellengebiets, wobei S so auf das Teilstfick --Qx~ x ~ + Pt der x-Achse bezogen wird, dab der Bogen 0 ~ a--< ~ der Strecke 0--< x < &, der Bogen -- ~_< a ~ 0 der Strecke -- 0~ ~ x ~_ 0 umkehrbar eindeutig entspricht. . Die Zahl & wird hierbei durch "(26) definiert.

~t

(26) 0t = -2~ e-~lL"~da"

0

2 liefert die Relation: Die Bedingung 01 = 2

(27) n = .f e - '0'~ da 0

ffir die Randwerte r (t, a) = ~ (a). Ist (27) erffillt, dann definiert o) (p, a) fiber (4) eine permanente Wellenbewegung der Wellenl/inge 2 und der Fortschreitungs- geschwindigkeit c, welche sich aus dem Wert ffir p errechnet.

Aus dem Spiegelungspfinzip el*kennt man sogleich, dab unser Randwert- problem durch das folgende ffir den Kreisfing KI : R -1 => [r ~ R ersetzt werden kann :

(R) Es ist eine in K 1 analytische Funktion co (Q, a )=0(~ , a ) + i ~(0, a) mit den Eigenschaften (25) zu bestimmen, ffir die l~ings der Randkreise Sq: Ir = R und Sq: [~[ =R-1 die Relationen (28) bestehen

d r _ p e-3 ~ sin v ~ l~ings Sq da d l r d,r -- P e-3~ sin O l~ings Sq.

t9 (R, a) = -- 0 (R-l) o') ; '[" (R, a) = r (R-1 o').

Offenbar verschwindet der Realteil einer L6sung yon (R) ~9(~, a) nieht nur l~ngs S sondern auch l~ngs der reellen Achsenabschnitte. Wir k6nnen das Randwert- problem (R) naeh derselben Methode behandeln wie das Problem (R) im Falle (A).

Existenz permanenter Schwerewellen 39t

Wir greifen hierbei auf die S/itze vom F .ou-Privalowschen Typus ffir den Kreisring zurfi~k, vgl. [6], sowie auf unseren Hilfssatz S. 383. Die Mengen ~s sind in analoger Weise zu definieren. Man erh/ilt wie in (A) die Funktional- transformation Tpo yon ~/, in sich. Anstelle der Normierung (,) t r i t t (27). In-

dessen lassen wit wieder den Parameter a in (5) unbestimmt. Die Symmetrie- bedingungen (28) stellen die Eindeutigkeit der sich unter Tpo ergebenden ana-

lytisehen Funktion v~*(r o) in K t sicher. Zur Konstruktion yon Tpo bentitzen

WiT die wie in (A) definierten Hilfstransformationen T~, auf die man geffihrt wird, wenn man im Randwertproblem (R) die Diiferentialrelationen (28) ersetzt dutch

d T " -- ]~ 0 (~) liings Sq d~

(28') d~' d o -- -4- P 0 (0) l~ings S'g

und die iibrigen Bedingungen beibehtilt. DaB die Symmetriebedingungen (25), (28) unter Tp und Tp' erhalten bleiben, also insbesondere die nach (28) zu ~(0, o) geh6rige konjugierte POtentialfunktion langs S verschwindet, ist eine leichte Folgerung des Spiegelungsprinzips; denn aus 0 (R, o) = -- 0 CR -1, o) Iolgt fiber (28) lr (R, o ) = ~; (R -1, 0). Man kann letzteres natiirlich auch aus tier bekannten nach Potenzen yon 0 fortschreitenden Reihenentwicklung von Potentialfunktionen fiber K 1 entnehmen, die wit ohnehin zur Herleitung der Schranken ffir i0~ zu - Rate ziehen mtissen. Wir wenden uns jetzt dieser Diskussion zu.

Ist 0 (0, o) und r (Q, o) der Real- und Imagin~irteil einer in K x analytischen Funktion und s ind die entsprechenden Stetigkeits- und Symmetriebedingungen ira Sinne yon (28) erfiillt, dann gelten die Entwicldungen

O f O f

0 ( e , o ) = Z - ' ' - . a,(o --.O ") eosvo - - . ~ a;'(O" -- 0- ' ) s inva ,

( 0 , ~ ) = ~ a, C o ' + O - ' ) s i n ~ , ~ + ~ " " - - ' a, (e + ~- ') cos v o + eonst

mit 2~

' f o (R, o) c o s . = ( _ Re + R L.) a.' = o , O

2 ~

f " t 0 (R, o) s i n . # e d o = ( R - ~ ' - - R ~') %. -~-

0

Wegen ,9 (R, a) = -- 0 (R, - - o) hat man also sehliel31ich o o .

(29a) 0 (0, o) = ~, 7- a'/(p" - - ~ - ' ) sin v o,

(29b) T (p] o) = ~, a~'(~o" + O-') cos v o + const.

Setzt man (29a) in (28') ein, "erhalten wir c o t t

"t (R -l, o) = -- ~ , p .a, (R" -- R - ' ) cos v ~ + const

----- ~ p b, (R" + R- ' ) cos v a + const

3 9 2 H E R B E R T B E C K E R T :

mit --a; ' (R'--R. ' ) .

b , - - , ( / e + R - ' ) '

der zugeh6rige Realteil besitzt wegen O*(t, a ) = 0 , d i e DarsteHung

O*(R -1, a) = ~. p b. (R" -- R - ' ) sin v a

(30) "=~

=2 �9 f f i t - R ' + R - " (R ' - - R - ' ) sin~a.

Wir erhaltenhieraus ffir die die Mengen ~l~. definierenden ersten Fourier-Koef- fizienten yon O(R -1, a) und O*(R -1, a)

i n

(3ta) -~.f O(R-La)sinada=a;'(R--R-X)=s, 0

f ,, ( k - R-,)= s,. (31 b) O*(R -1, a) sin a da = p al

0

Die Transformation Tp' 0 = ~ * hat Offenbar wegen (29), (30) einen Fixpunkt, wenn

,, " ,, R - P - - R~' . It at, = p a, R~-R-~-~=t, p = t , 2 . . . .

r gilt, oder im Fall a, = 0 fiir p ~ 2 , al~=0, ffir

R+R-I (32) P -- -~x~-~ �9

Die Fixpunkte ftir a . =t = 0,/t ~ 2 k6nnen wir beiseite lassen, Weil sie der Bedingung (25) widersprechen. Allgemein resultiert aus (3t a) und (3t b) der foI~gende Zu- sammenhang zwischen den Parametern s und s t

$

�9 R - I - - R s l = p ~ s (33) d.h.

s x ~ s ftir p ~ R-I + R R*+t 2=q - - �9 - - i - ~ - - C o t g ~ = 7

(34) - -R+R- I -- 2~q s l ~ s fiir p ~ C o t g - ~ - = y . -

Nunmehr ilbersehen wir, wie wir die Parameter in unseremFall zu.w~lden.haben, um die SchluBweise von (A) zu tibertragen.

Die -Ungleichung(9) zur Definition y o n / t == P__t ist durch a

(9') ~ t, > ~ y = ~- C0tg(ln R )

zu ersetzen. Beim Vergleich yon Tp mit T; l~ings S~ statt S na.ch (A) bekommen; wit ltir p* und p/a die Ungleichungen

2 P yt

P*-- d + 3 p t ;>7~ P-'~-Ya

Existenz permanenter Schwerewel! u 393

u n d daher statt (19)

09') l -- ~ ~

Indem wir jetzt wie in (A) weiterschliel3en, gelangen wir wie auf S. 386 zu folgen- dem Resaltat:

Es sei # nach (9') vorgegeben, und danach 92~ s 3estimmt, dann gibt es zu iedem Parameterwert s, 0 <-- s < Min (~/~, sv)

eine Trans/ormation Tp~ O(a) -+O*(a) rail a 7 <--_ 19o < a#

die ieweils ~[J~s in sich abbildet.

Stetigkeit und Vollstetigkeit yon Tpo ergeben sich wie in (A). Wir k6nnen daher wieder .den Fixpunktsatz yon SCnAmmR anwenden; Tp~ besitzt in ~ ,

mindestens einen Fixpunkt t9 0 (a). Dieser bestimmt die Randwerte des Realteils einer in K 1 analytischen Funktion COo=Oo(0, a ) + i To(O, a), welehe l~ings Sq und

g Sq die Randbedingungen (28) mit dem Parameterwert Pa a 7 < P0~ <-- a/z befriedigt und die Symmetrie- und BeschrRlaktheitsbe.dingungen yon (R) erfiillt. Wit miissen nur!noch (27) beachten. Hierzu ersetzt man wieder 0% (0, a) dutch c%(O, a) - - imo und bestimmt m o so, dab der Imaginiirteil to--mo (27) geniigt. Den Zusammen- hang zwischen W-ellenliinge 2 und Fortschreitnngsgeschwindigkeit c. stellt wie in (A) (24) her. Insgesamt erhalten wit eine yon den Paralnetern 2, s, a und q abhiingige L6sungsschar permanenter Wellen. Auf die Wesentlichkeit des Para- meters a treffen die gleichen Bemerkungen wie in (A) zu.

Der VoUstiindigkeit geben .wit noch'die Formeln ffir die Abst~inde des WeUen- grates A und Wellentalpunktes B yon der Sohle an. A und B sind im Kreisring die Punkte ~-----R und ~ = - - , R zugeordnet.. Die A und B entsprechenden Lot- punkte auf der Kanalsohle sind 0 und der Punkt C oder in der ~-Ebene ~ = + t rind ~ = - - i. Wir erhalten:

R

"°a'-I' I ~ - ~ e i a - , + . ,

l

1

R ! -

1 2c /'" t d r

Ebenso: R

t ' 2c f I d r l n l ~ t d ~ . "o(CB)--q [wlt~ i n . twit d~

- - 1

Da 0(O, a) im Halbring R < } ~ I ~ t . 0<=a<~ nicht positiv ist. gilt liings der reelten Achsenabschnitte dO <_ 0 oder d. . > -- d~ = 0. Der Integrand im obigen Integral a ~ ist daher negativ oder hSchstens Kleich Null. Dies fiihrt auf. die Abschiitzungen

q-- > 0,(0.A) > o ( c B ) > q ~lwla ,. [wlB'

q >o(O.Aj>o~(cB)> ; q - • . .

394 HERBERT BECKERT: Ex i s t enz permanenter Schwerewel len

mit

und

F (~) = -- 3 ko f sinO (R, a) da = )ho t 0

ko ' g~ : .. O < b = a e - a , , , . < l 2;~CT.,

Die H6hendifferenz a v o n Wellengrat und Wellentalpunkt bercchnet man nach (4')

0

_ _ ,~ f f sin 0 (R, a) do,

o 3ko f s in O(R, o) do 0

hieraus erhalten wir sogleich die Absch~itzung

--). / " d~2 - - ~ sm~9(R,~)d~- - .;tt

0

d t (:t5) -i------ 3 , ~ ' ~ "

N~henmgsberechnungen [7] legen indessen die Vermutung nahe, da,~ permanente Wellentypen existieren, die noch steiler verlaufen, als es (39), (t9') angibt.

L i t e r a t u r

[1] GERBER, R. : Sur l'existence des 6coulements irrotationels, plans, periodiques d'un liquide incompressible. C.R. 223, 1261--t263 (t95t).

[2] LEvI-CIVITA, T. : D6termination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie. Math. Ann. 93, 264--3t3 (t925).

[3] LITTMAN, W. : On the existence of periodic waves near critical speed. Comm. Pure App1. Math. 10, 241--269 (t957) ~.

[4 i STOKER, J.: Water Waves. New York: Intersience 1957. [5] STRUIK, D. J.: D6termination rigoureuse des ondes permanentes irrotat4onelles

p6riodiques darts un canal a profondeur finie. Math. Ann. 95, 595--634 (t926). [~[] VILLAT, HENRI: Sur la r6solution de certaines 6quations int~grales, et sur quel-

ques probl~mes qui s 'y rattachent. Acta Mathematica 40, 10t--178 (t916). [7] Y~ADA, H. : Highest waves of permanent type on the surface of deep water.

Reports of Research for AppI. Mech. Kyushu University Japan 5, No. 18, 37--53 0957)-

Mathematisches Institut der Universit~t

Leipzig

(Eingegangen am 4. Dezember 1961)