FESTIGKEITSLEHRE - moroder.it Festigkeitslehre.pdf · Moroder Daniel Konstruktionslehre Klasse 4e B - 3 - Trägheitsmoment I (momento d´inerzia) Trägheitsmomente sind Flächenmomente

Moroder Daniel Konstruktionslehre Klasse 4eB

- 1 -

FFEESSTTIIGGKKEEIITTSSLLEEHHRREE Schwerpunkte (baricentro) Der Schwerpunkt ist der Durchgangspunkte der Resultierenden aller Massenkräfte einer Linie, einer Fläche oder eines Körpers. Im Schwerpunkt eines Körpers kann man sich das Gewicht desselben konzentriert vorstellen. Ein im Schwerpunkt unterstützter Körper (Fläche, Linie) befindet sich im indifferenten Gleichgewicht. Alle Linien durch den Schwerpunkt nennt man Schwerlinien. Der Schwerpunkt kann rechnerisch oder graphisch ermittelt werden. Schwerpunkt von Linien

21

2211s

21

2211s

LLzLzLz

LLyLyLy

+⋅+⋅

=

+⋅+⋅

=

Allgemein:

( )

( )∑

∑∑

∑

⋅=

⋅=

i

iis

i

iis

LzL

z

LyL

y

S1

y1 yS y2

zS

z1 z2

y

z

S2

S

S

G

S


- 2 -

Schwerpunkt von Flächen

321

332211s

321

332211s

AAAzAzAzAz

AAAyAyAyAy

++⋅+⋅+⋅=

++⋅+⋅+⋅=

Allgemein:

( )

( )∑

∑∑

∑

⋅=

⋅=

i

iis

i

iis

AzAz

AyA

y

Beispiel:

cm20zcm15y

cm12004030A

1

1

21

==

=⋅=

cm50zcm35y

cm14007020A

2

2

22

==

=⋅=

=+

⋅+⋅=+

⋅+⋅=14001200

351400151200AA

yAyAy21

2211s 25,77 cm

=+

⋅+⋅=+

⋅+⋅=14001200

351400201200AA

zAzAz21

2211s 36,15 cm

50

60

10

20

30

40

50 60 10 20 30 40 70

S

S2

A2

A1

S1

yS

zS

z

y

S1

y1 yS y2

zS

z1

z2

y

z

S2

S

S3

y3

z3


- 3 -

Trägheitsmoment I (momento d´inerzia) Trägheitsmomente sind Flächenmomente zweiten Grades und ergeben sich aus dem Produkt von Flächen und dem Quadrat von Längen:

422 cmcmcm =⋅ Trägheitsmomente sind rein mathematische Begriffe und nur von der Form und Größe einer Fläche anhängig. Man unterscheidet zwischen: - axialem Trägheitsmoment - polarem Trägheitsmoment - zentrifugalem Trägheitsmoment Das axiale Trägheitsmoment

...yAyAyAI

...zAzAzAI2

332

222

11z

233

222

211y

⋅∆+⋅∆+⋅∆=

⋅∆+⋅∆+⋅∆=

Allgemein:

( )( )∑

∑⋅∆=

⋅∆=2

iiz

2iiy

yAI

zAI

Das axiale Trägheitsmoment ergibt sich aus dem Produkt der Fläche und dem Quadrat der Abstände zu den Achsen x bzw. y. Durch den Schwerpunkt einer Fläche lassen sich unendlich viele Schwerachsen legen und damit erhält man ebensoviele verschiedene Trägheitsmomente (Ausnahme: Kreis und Kreisring).

A ∆A1

∆A3

∆A2

y3 y2 y3

z3

z2

z1

y

z

y

y´

z z´

Hauptträgheitsachsen → Extremwerte

∞ Hauptsymmetrieachsen

y

y´

z z´


- 4 -

Jede Querschnittsfläche hat aber zwei Schwerachsen um die das Trägheitsmoment einmal ein Maximum und einmal ein Minimum aufweist. Es sind dies die Hauptachsen um die dazugehörigen Hauptträgheitsmomente. Diese Hauptachsen haben folgende Eigenschaften: - sie stehen senkrecht zueinander - jede Symmetrieachse ist auch Hauptachse Trägheitsmomente wichtiger Querschnitte

1) Rechteck 12

hbI3

y⋅=

12

hbI3

z⋅=

2) Quadrat 12bII

4

zy ==

3) Vollkreis 4

rII4

zyπ⋅==

4) Kreisring ( )

4rRII

44

zyπ⋅−==

y

z

h

b

S

y

z

b

b

S

y

z

S r

y

z

S r R


- 5 -

Der Satz von Steiner Mit dem Satz von Steiner kann das Trägheitsmoment für eine zur Schwerachse parallele Achse berechnet werden. Das Trägheitsmoment einer Fläche A für eine zur Schwerachse parallele Achse ist gleich der Summe aus Eigenträgheitsmoment und dem Produkt aus Fläche A und dem Quadrat des Abstands beider Achsen. Übung

2S

S

cm6003020Acm30zcm35y

cm30hcm20b

=⋅=

==

==

423

2S

32

Szz

423

2S

32

Syy

cm000.56030302012

3020yhb12

hbyAII

cm000.78035302012

3020zhb12

hbzAII

=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=⋅+′=

=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=⋅+′=

Der Trägheitsradius i (raggio d´inerzia) Er ist eine Größe bei der Bemessung von knickgefährdeten Druckstäben. Der Trägheitsradius hängt vom Trägheitsmoment und der Querschnittsfläche A ab.

AIi

AI

i

zz

yy

=

=

50

60

10

20

30

40

50 60 10 20 30 40 70

A yS

zS

z

y

z´

y´

A

F

y

z

h

b

A

iy

iz


- 6 -

im Fall eines Rechtecks

hbA12

hbI3

y ⋅=⋅=

=⋅⋅

⋅=⇒hb12

hbi3

y h ⋅⋅⋅⋅ 0,289

hbA12

hbI3

z ⋅=⋅=

=⋅⋅

⋅=⇒hb12

hbi3

z b ⋅⋅⋅⋅ 0,289

Da ein knickgefährdeter Druckstab stets um die Achse mit dem kleineren Trägheitsmoment ausknickt, ist für diesen Stabilitätsnachweis der kleinste Trägheitsradius maßgebend imin.

minz

zminz iAIiII ==⇒= ⇒ Ausknicken in y-Richtung

Zeichnen wir die Trägheitsradien auf den Hauptachsen ein, erhalten wir die Trägheitsellipse. Das Widerstandsmoment W (momento di restistenza) Er ist eine wichtige Größe für die Bemessung von Biegeträgern und für die Ermittlung von Biegespannungen im Querschnitt. Das Widerstandsmoment ist ein Maß für die Biegefestigkeit eines Trägers und ist vom Trägheitsmoment, sowie vom größten Faserabstand von der Spannungslinie aus abhängig.

ndFaserabstaomentTrägheitsm

aIW == [ ] 3cm1w =

bIW

aI

W zz

yy ==

im Fall eines Rechtecks

6hb

2b12

hbW2ba

12hbI

6hb

2h12

hbW2ha

12hbI

23

z

3

z

23

y

3

y

⋅=⋅

⋅=⇒=⋅=

⋅=⋅

⋅=⇒=⋅=

y

z

a

b

S

b

a

Spannungslinie

y

z

h

b


- 7 -

Beanspruchung von Bauteilen Bauteile müssen auf ihre Beanspruchung hin untersucht werden. Wirken auf ein Tragwerk äußere Kräfte, so ergeben sich Auflagerkräfte und innere Kräfte, welche den äußeren Kräften das Gleichgewicht halten. Die Größe der Beanspruchung eines Bauteils ist von den Schnittkräften (N, Q, M) und von Querschnittsabmessungen abhängig. Ein Maß für die Beanspruchungen ist die Spannung. Spannung Sie ist die innere Kraft bezogen auf die Querschnittfläche A.

Spannung tsflächeQuerschnit

Kraft Innere=σ [ ] 2cmkN1=σ

Je nach Art der Schnittkraft unterscheiden wir zwischen: Normalspannung

AF=σ z.B. Zugspannung, Druckspannung

Tangentialspannung

AF−=σ z.B. Scherspannung, Schubspannung

Formänderung Unter dem Einfluß von Spannungen entstehen an einem Tragwerk Formänderungen. Diese können zum Beispiel Verlängerungen (infolge von Zugspannungen) oder Verkürzungen (infolge von Druckspannungen) sein. Formänderungen können elastischer oder plastischer Natur sein. Dehnung: Unter der Dehnung versteht man die Verlängerung ∆l eines Stabes bezogen auf die ursprüngliche Länge l0.

0lLänge cheursprünglilngVerlängeru ∆=ε

Durch Verkürzungen entstehen negative Dehnungen, sogenannte Stauchungen. Beispiel geg: l1 = 10 m l2 = 10,20 m

%202,0m10m2,0

ll

m2,0lll

0

21

≡==∆=ε

=−=∆

F

F


- 8 -

Das Hook´sche Gesetz Aus der Spannungs-Dehnungslinie des Stahls erkennt man, dass der erste Bereich der Linie geradlinig verläuft. Es ist dies der elastische Bereich des Werkstoffs. Für diesen Bereich gilt das Hook´sche Gesetz, welches folgendes besagt: die Dehnungen ε verhalten sich proportional zu den Spannungen σ im elastischen Bereich.

E3

3

2

2

1

1 =εσ=

εσ=

εσ

E…Elastizitätsmodul

2

2

2

2

mmN

Faser) zur (senkrecht Holz

mmN

Faser) zur (parallel Holz

mmN

Beton

mmN

Stahl

300E000.10E

000.30E000.210E

=

===

Längsdehnung

lAlFE

ll

AF

0

0

∆⋅⋅

=εσ=

∆=ε=σ

AElFl 0

⋅⋅

=∆

2 x 35 x 5 Stäbe Berechne die Verlängerung der Stäbe!

cm38,0cm6,6101,2cm350N000.150

AElFl 2

cmN7

0

2

=⋅⋅⋅=

⋅⋅

=∆

Querdehnung εεεεq Wird ein Stab gedehnt (z.B. in Folge von Zug) so wird er in der Querrichtung dünner. Wird er gestaucht (in Folge von Druck) so wird er in Querrichtung dicker. Die Querdehnzahl η gibt das Verhältnis zwischen Querdehnung (Querstauchung) und Längsdehnung (Längsstauchung) an.

ε

σ

ε1 ε2 ε3

σ1

σ2

σ3

F = 150 kN

3,5 m


- 9 -

ddll

q

0

⋅ε=∆⋅ε=∆

konstantq =εε

=η

Beton: 125,01,0Zug −=η

20,016,0Druk −=η Stahl: 35,03,0 −=η Wärmedehnzahl ααααT Infolge Erwärmung dehnt sich ein Körper aus. Die Wärmedehnzahl gibt die Längenänderung eines 1 m langen Stabes bei einer Temperaturänderung von 1°C an.

Tll 0TT ∆⋅⋅α=∆

Kmm102,1 5

Stahl °⋅=α −

Beispiel: Berechne die Längenänderung eines 12 m langen Stahlstütze bei folgenden T: Montage: 20°C am Bau: -20°C

( )mm6m006,0K40m12

Kmm102,1Tll

K402020T5

0TT ==°⋅⋅°

⋅=∆⋅⋅α=∆

°=°−−°=∆

−

Spannungsarten Bei den Spannungen unterscheidet man zwischen Normal- und Tangentialspannungen. 1. Normalspannungen σσσσ

Sie werden erzeugt durch Schnittkräfte die senkrecht zur Querschnittsfläche wirken, z.B. Normalkräfte, Biegemomente, Temperatureinwirkungen. Als Normalspannungen gelten: Zug-, Druck-, Knick- und Temperaturspannungen. Sie verursachen eine Hauptverformung der Querschnittsteilchen in Richtung der Stabachse. 1.1 Zugspannung σσσσZ

Wirken auf einen Stab Zugkräfte ein, so kommt es im Querschnitt zu Zugspannungen. Zugspannungen erhalten ein positives Vorzeichen.

σ2 > σ2

eNettoflächKraft

AF

nZ ==σ

∆l d

∆d

2 1

2 1

2

2 1

1

F

σ1 σ2


- 10 -

Bei der Bemessung von Zugstäben, z.B. bei Holz oder Stahl muss nachgewiesen werden, dass die auftretende Zugspannung Zσ ≤ der zulässigen Zugspannung Zσ ist. Die zulässige Zugspannung ist die um den Sicherheitsfaktor Sf reduzierte Zugfestigkeit und darf von den vorhandenen Zugspannungen nicht überschritten werden.

ZvorhZ σ≤σ Fe 360 (St 37) → 2cm

kNZ 16=σ

I 140 → 2cm2,18A =

22 cmkN

cmkN

nZ 1633,20

AF >==σ

Bedingung:

2

cmkN

Zn

Zn

Z

cm13,2316

kN370FA

AF

2

==σ

≥⇒

σ≤=σ

aus Tabelle: I 180 2cm9,27A = Nachweis:

22 cmkN

ZcmkN

2effektiv

vorhandenZ 1626,13cm9,27kN370

AF =σ<===σ

1.2 Druckspannung σσσσD

Wirken auf einen Stab Druckkräfte ein, so entstehen im Querschnitt Druckspannungen, sie erhalten ein negatives Vorzeichen. Als Fläche wird die Nettofläche eingesetzt (Querschnitt - Löcher), es sei denn, die Löcher sind mit mindestens gleich festen Stoffen ausgefüllt.

nD A

F−=σ

Bei der Bemessung von einfachen Druckelementen (keine Knickgefahr) muss nachgewiesen werden, dass die auftretende Druckspannung Dσ ≤ der zulässigen

Druckspannung Dσ ist.

DvorhD σ≤σ

F = 370 kN

I 140

1

1

1

F

-

1


- 11 -

1.3 Temperaturspannungen σσσσT

Ist ein Tragwerk Temperaturschwankungen ausgesetzt so erfährt es, wenn die Lagerung es zulässt, eine bestimmte Längenänderung.

Tll 0T ∆⋅⋅α±=∆ Wird dieses Tragwerk an der Längsänderung gehindert (festes Auflager oder Einspannung), so entstehen im Querschnitt Spannungen. Es sind dies Temperaturspannungen und entsprechen einer inneren Längskräft.

0

0T

0 lTlE

llEEE ∆⋅⋅α⋅=∆⋅=ε⋅=σ⇒

εσ=

TE TT ∆⋅α⋅=σ Die auftretenden Temperaturspannungen sind somit entweder Zug- oder Druckspannungen und werden durch die Temperaturänderungen ∆T verursacht. Beispiel

Montage: 20°C später: 40°C

222

2

cmkN

cmkN

mmN

TT

Kmm5

StahlT

mmkN5

Stahl

1604,54,50TE102,1

101,2EK20T

≤==∆⋅α⋅=σ

⋅=α

⋅=°=∆

°−

1.4 Knickspannung σσσσK

Bei sehr schlanken Druckstäben kann es bereits im Bereich unterhalb der zulässigen Druckspannung infolge übermäßiger Verformung zum Versagen des Tragwerkes kommen, obwohl Dσ noch gar nicht erreicht ist.

AF

K ⋅ω=σ

Die Gefahr des Ausknicknes hängt ab von: - Material des Stabes - Querschnittsfläche - Länge des Stabes - Lagerung des Stabes

4 m

I 100

F

F

zusätzliches Moment


- 12 -

Die Knicklänge sK

Die Knicklänge ist die Länge des Stabes, die bei der Druckbelastung frei Ausknicken kann. Von Euler (1744) wurde die Knicklänge von 4 verschiedenen Lagerungsfällen hergeleitet. 1. Eulerfall

einseitige Einspannung + freies Lager

l2sK ⋅=

2. Eulerfall 2 feste Auflager

lsK =

3. Eulerfall

1 festes Auflager + 1 Eingespanntes

l7,0sK ⋅=

4. Eulerfall

2 eingespannte Auflager

l5,0sK ⋅=

Die Schlankheit λλλλ Der Schlankheitsgrad λ gibt de Knickempfindlichkeit eines Druckstabes in Abhängigkeit von Stablänge, Lagerungsart und Querschnitt.

F F

l

l

F

F

l

F

l


- 13 -

adiusTrägheitsrKnicklänge

isK ==λ

Das Ausknicken eines Druckstabes erfolgt immer entlang des kleinsten Trägheitsradiuses.

min

K

is=λ

Ausschlaggebend für den Knicknachweis ist der kleinste Trägheistradius (iy), daraus folgt nämlich der größte Schlankheitgrad λmax. Die Knickzahl ωωωω Über den Schlankheitsgrad λ kann in Abhängigkeit zum Werkstoff die Knickzahl ω aus Tabellen entnommen werden. Die Knickzahl drückt das Verhältnis der einfachen zulässigen Druckspannung zur zulässigen Knickspannung aus.

zulK

zulD

σσ

=ω

Beispiel:

Stahlstütze Fe 360 HE-B 200

→ 2. Eulerfall cm400lsK == → 7990,78

cm07,5cm400

ismin

Kmax ≈===λ

→ Tabelle 53,1=ω

→ 22 cm

kNcm

kN2K 1653,3

cm1,78kN18053,1

AF <=⋅=⋅ω=σ

1.5 Biegespannung

Werden Bauteile auf Biegung beansprucht, entstehen im Querschnitt Biegespannungen. Infolge von Belastung erfährt ein Biegeträger eine Durchbiegung, die im oberen Teil zu Stauchungen und im unteren Teil zu Dehnungen führt. Wo Dehnungen auftreten herrschen Zugspannungen, wo Stauchungen auftreten herrschen Druckspannungen. Wo Dehnungen in Stauchungen übergehen hat man eine spannungsfreie Faser, die sogenannten Spannungsnulllinie. Diese fällt bei Biegeträgern mit der Schwerachse des Querschnitts zusammen, die Zug- bzw. Druckspannung nimmt zu den Rändern hin linear zu.

Träger unbelastet

F = 180 kN

4,0 m

iy

iz

y

z

iy

iz

2 1

1

l

gerade Stabachse

2


- 14 -

Träger belastet

Kraft Z bzw. D = Volumenkeil

4hb

21

2hbZ Z

Z⋅⋅σ

=⋅⋅⋅σ=⇒

6hbh

32

4hbzZM

2

ZZ⋅⋅σ=⋅⋅⋅⋅σ=⋅=

uZ WM ⋅σ=⇒ bzw. u

Z WM=σ

FlächeSpannungKraftFlächeKraftSpannung ⋅=⇒=

Merke: äußere Kräfte bewirken eine Durchbiegung, daraus ergibt sich ein äußeres maximales Moment M (→ Stoff der 3. Klasse). Die inneren Kräfte müssen durch das Kräftepaar Zug- und Druckkraft ein mindestens gleich großes inneres Moment aufbringen.

zDzZM ⋅=⋅=

WM=σ

äußeres Moment

innere Zugkraft

innere Druckkraft

fhj

2h

32 ⋅

fhj

2h

32 ⋅

D

Z

h neutrale Faser

+

- fhj

zh32 =

weil Stauchung

weil Dehnung

σD

σZ

Vorderansicht Seitenansicht anfallende Spannungen

b

Mmax

b σu

σo

2h

D

Z

2 1

2 1 l

Druck

Zug

gekrümmte Stabachse


- 15 -

Beispiel 1:

Überprüfe, ob im betreffenden Fall die Biegespannungen im Holzträger noch zulässig ist. 1) Berechnen des maximalen Feldmomentes

kNm10m22FMmax =⋅=

2) Berechnung des Widerstandmomentes 3

22

cm30006

cm30cm206hbW =⋅=⋅=

3) 22 cmkN

cmkN

B 133,0cm3000

cm100kN10WM ≤=⋅==σ

Beispiel 2: Wählen sie die richtige Balkenhöhe und berechnen sie die vorhandenen Biegespannung

1) Berechnen des maximalen Feldmomentes

kNm10m22FMmax =⋅=

2) BWM σ≤=σ

3

cmkN

B

cm10001

kNcm1000MW2

==σ

≥⇒

cm18hcm32,17cm20

6cm1000b

6Wh3

=≈=⋅≥⋅≥⇒

32

vorhanden cm10806hbW =⋅=

22 cmkN

BcmkN

3.vorh

vorhandenB 193,0cm1080

kNcm1000W

M =σ<===σ

Spannung bei Längskraft und Biegung Häufig treten im Querschnitt Zug- bzw. Druckspannungen und Biegespannungen gleichzeitig auf, da es sich bei beiden Spannungsarten um Normalspannungen handelt, können diese addiert werden.

BV AV

F = 10 kN

4 m

30 cm

20 cm

BV AV

F = 10 kN

4 m

h = ?

20 cm


- 16 -

AN

WM

N,M ±=σ

Während bei einfachen Biegungen die Spannungsnulllinie mit der Spannungsachse zusammenfällt, verschiebt sich bei Spannungsüberlagerung die Spannungsnulllinie.

Beispiel:

Überprüfe die Spannung für eine HE-B 220

kN100NA

kN352

lqBA

H

VV

==

=⋅==

kNm25,618lqM2

max =⋅=

HE-B: 2cm91A = 3

y cm736W =

2

2

cmkN

3M,B

cmkN

2N,Z

32,8cm736kNcm6125

WM

1,1cm91

kN100AN

±===σ

===σ

→→→→ gefährlichste Faser →→→→ Mitte des Trägers

Spannung in Faser unten

ZcmkN

cmkN

cmkN

M,ZN,ZgesZ 222 42,932,81,1 σ≤=+=σ+σ=σ

Spannung in Faser oben Zcm

kNcm

kNcm

kNM,DN,DgesD 222 22,732,81,1 σ≤−=−=σ−σ=σ

2cm

kNN,Z 1,1=σ 2cm

kNM,D 32,8=σ 2cm

kNN,ZM,DD 22,7−=σ−σ=σ

2cmkN

N,Z 1,1=σ 2cmkN

M,Z 32,8=σ 2cmkN

M,ZM,ZZ 42,9=σ+σ=σ

F

N

F

N +

+ =

WM

M,D =σ

WM

M,Z =σAN

N,Z =σ

AN

N,Z =σ N,DM,D σ−σ

N,ZM,Z σ−σ

Spannungsnulllinie

7 m AV BV

q = 10 kN/m

N AH

+

+-

+

M

Q

N

100 kN

-35 kN

35 kN

61,25 kNm


- 17 -

2. Tangentialspannungen ττττ Sie werden erzeugt durch Schnittkräfte, die in Richtung der Querschnittsfläche wirken, wie z.B. die Querkraft. Tangentialspannungen entstehen bei der Verschiebung, dem Abscheren und dem Verdrehen der Querschnittsteilchen gegeneinander. Zu den Tangentialspannungen zählen:

1. Schubspannungen

2. Scherspannungen

3. Torsionsspannungen

2.1 Schubspannung ττττV = ττττH Infolge Belastung eines Trägers, quer zur Stabachse, entstehen außer den Biegemomenten auch Querkräfte, diese verursachen eine Verschiebung nebeneinanderliegender Querschnitte und es entstehen in der Querschnittsfläche Querschubsspannungen τV. Da sich der Träger unter der Belastung durchbiegt, die oberen Fasern gedrückt und die unteren Fasern gezogen werden, kommt es auch zur Verschiebung übereinanderliegender Querschnitte. Es entstehen Längsschubspannungen τH in Richtung zur Stabachse. In jeder Stelle des Trägers gilt τV = τH.

Schubspannung

Schubspannung

τV = 0 weil Q = 0

τH = 0 weil keine gegenseitige Verschiebung

Querschubspannung

ττττV = ττττH Längsschubspannung


- 18 -

Diese Schubspannungen sind weder über die Trägerhöhe noch über die Trägerlänge gleichmäßig verteilt. Die größten Schubspannungen treten in der Spannungsnulllinie auf; am unteren und oberen Trägerrand sind sie gleich null.

IbSQ

HV ⋅⋅=τ=τ

im Fall eines Rechtecks:

( )

AQ5,1

hbQ

bbQ

IbSQ 2

3

12hb

4h

2h

3

⋅=

=⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅=τ

⋅

Beispiel:

2

2

2

cmkN33

33

cmkN22

22

cmkN11

11

0Ib

SQ

037,0Ib

SQ

049,0Ib

SQ

=⋅

⋅=τ

=⋅

⋅=τ

=⋅

⋅=τ

−−

−−

−−

Q… Querkraft S… statisches Moment des unterhalb der

untersuchten Faser liegenden Trägerteils bezogen auf die Nullfaser (Fläche unterhalb der Faser x dem Abstand der Schwerpunkt der Fläche und der Faser)

I… gesamte Trägheitsmoment b… Breite der untersuchten Faser τ… Schubspannung in der untersuchten Faser

y

z

h

b

AV BV

q = 6 kN/m

-12 kN

12 kN

Q

1 1

3 3

2 2

14

26

0,037

0,037

0,049

43

33

22

213

11

cm2050512

hbI

cm14b0S

³cm88775,95,614S³cm11831314S

kN12Q

=⋅=

==

=⋅⋅==⋅⋅=

=

−

−

−


- 19 -

2.1 Scherspannung ττττA Sie treten in der Querschnittsfläche zwischen 2 Stabteilen auf, die auf Abscherung beansprucht werden. Es darf angenommen werden, dass Scherspannungen gleichmäßig über den Querschnitt verteilt sind.

AA AZ τ≤=τ

Die Biegelinie

1. Träger auf zwei Stützen Die Winkeländerung der Biegelinie eines Trägers auf zwei Stützen kann nach dem Moohr’schen Satz ermittelt werden.

Winkeländerungen: Winkeländerungen α und β sind die Winkel zwischen den Tangenten zur Biegelinie und der Stabachse. Der Winkel α (β) ist gleich der Auflagerreaktion A (B) die sich aus dem mit der Momentenlinie belasteten Träger ergibt, dividiert durch E ⋅ I.

IE ⋅

=β B

Durchbiegung: Die Durchbiegung an irgend einer Stelle des Trägers auf zwei Stützen erhält man, wenn man den Träger mit seiner Momentenlinie belastet und für die betreffenden Stelle das Biegemoment M berechnet und durch E ⋅ I dividiert.

IEMf x

x ⋅=

Z

Z Scherfläche A

IE ⋅=α A

ba

F

α β

…Tangenten


- 20 -

Beispiel:

kNm104

lFM

kN5BA

max

VV

=⋅=

==

Bemessung:

BB WM σ≤=σ 3

B

cm5,62MW =σ

≥⇒

gewählt: IPE-Profil 140 → Wy = 77,3 cm3 Iy = 541 cm4 Nachweise:

²cmkN

²cmkN

3

²cmkN

B²cmkN

3B

2,987,0cm541cm47,0

cm2,44kN5IbSQ

1694,12cm3,77kNcm1000

WM

=τ≤=⋅

⋅=⋅⋅=τ

=σ≤===σ

°=⇒

=⋅

==

− 5,0009,0tan

009,0cm54121000

kNm10

1

4cm

kN

2

2

BA

( )

( ) cm17,1cm54121000

cm10kN3,13IE

f

kNm3,13

4cm

kN

36

3

32

l

2l

=⋅

⋅=⋅

=

=

M

M

Alternative aus Tabellenbuch (Wenderhorst S. 327)

cm174,1lba

IEF

31f

22

=⋅⋅⋅

⋅=

2. Kragträger

Es gilt: der Winkel α ist gleich dem Inhalt der Momentenfläche dividiert durch E ⋅ I.

( )

IEFM

⋅=α

10 kNm

-5 kN

5 kN

AV BV

F = 10 kN

Q

M

BV AV

10 kNm

M = 13,3 kNm

f

F

α


- 21 -

Die Durchbiegung f an der Spitze des Kragträgers ist gleich dem Moment des mit der Momentenfläche belasteten Trägers in Bezug auf das freie Trägerende dividiert durch E ⋅ I.

IEf S

⋅=

M

Beispiel:

kNm70MkN30A

A

V

==

BB WM σ≤=σ 3

B

cm5,437MW =σ

≥⇒

gewählt: I-Profil 260 → Wy = 442 cm3 Iy = 5740 cm4

S = 257 cm3 s = b = 9,4 mm

Nachweise:

²cmkN

²cmkN

3

²cmkN

B²cmkN

3B

2,943,1cm5740cm94,0

cm257kN30IbSQ

1684,15cm442kNcm7000

WM

=τ≤=⋅

⋅=⋅⋅=τ

=σ≤===σ

Winkeländerung:

( )

( ) °=⋅

=α

=⋅+⋅⋅=

−

+

04,0IE

Ftan

kNm85m2m1kNm10F

M1

22

kNm10kNm7021

M

Durchbiegung:

cm52,1cm574021000

cm10kN33,183E

f

kNm33,183

4cm

kN

36S

2S

2

=⋅⋅=

⋅=

=

IM

M

2 m 1 m

F = 20 kN F = 10 kN

MS

AV

MA

10 kN

30 kN

-10 kNm

-70 kNm

Q

M

OBERSCHULE FÜR GEOMETER „PETER ANICH“, BOZEN

- Fachrichtung Baubetrieb -

Skripte aus 5 Jahren Oberschule

Diese Arbeit soll als didaktische Unterlage für den Schulunterricht oder als Nachschlagewerk dienen.

Diese Arbeit erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Ich weise jegliche Verantwortung in Bezug auf Inhaltsfehler und Fehlen von Textteilen von mir. Ich bitte aber darum, mir alle Fehler mitzuteilen, damit ich die Unterlagen verbessern und erweitern kann. Die Vervielfältigung ist mit Quellenangabe erlaubt. Die Dokumente dürfen ohne Erlaubnis meinerseits nicht verändert werden. Moroder Daniel Tinderlaweg 13A 39046 St. Ulrich [email protected]

St. Ulrich, September 2001

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FESTIGKEITSLEHRE - moroder.it Festigkeitslehre.pdf · Moroder Daniel Konstruktionslehre Klasse 4e B - 3 - Trägheitsmoment I (momento d´inerzia) Trägheitsmomente sind Flächenmomente