-デジタル画像と定量化- · ©wikipedia Shin Yoshizawa: [email protected] その他の変換フーリエ変換以外にも、様々な基底を用いた関数展開が幅広く周波数解析に用いられている.-KL展開：データの共分散行列の固有ベク

1

吉澤信[email protected], 非常勤講師

-デジタル画像と定量化-その3：周波数分解・多重解像度解析

九州大学大学院

生命情報学特別講義

第３回講義

2011年8月3日～4日

伊都新キャンパス

Shin Yoshizawa: [email protected]

フーリエ級数

フーリエ級数:［－Ｌ、Ｌ］のパターンを繰り返す周期関数を、ｓｉｎ（ｘ）とｃｏｓ（ｘ）の和で表す.

1

0

321

3210

sincos2

3sin

2sinsin

3cos

2coscos

2

nnn L

xnb

L

xna

aL

xb

L

xb

L

xb

L

xa

L

xa

L

xa

axf

L

Ln

L

Ln

dxL

xnxf

Lb

dxL

xnxf

La

sin1

cos1

ａｎとｂｎの決め方は、ｆ（ｘ）にｃｏｓ、ｓｉｎをかけて積分.

ｆ（ｘ）

ｘ

－ＬＬ

ｘ

ｘ

＋

＋・・・

©H. Suzuki, U. Tokyo


フーリエ級数(複素数)

フーリエ級数:［－Ｌ、Ｌ］のパターンを繰り返す周期関数を、ｅｘｐ（ｉｘ）の和で表す.

n

xL

ni

necxf

nn

L

L

xL

ni

nn ibadxexfL

cc

2

1

2

1*

和が－∞からとなっている点に注意.

これはｓｉｎ、ｃｏｓを使った展開と同じ式変形で得られる.

２個の係数（ａｎ，ｂｎ）を１個の係数ｃｎで表せる. ただしｃｎ

は一般に複素数なので、実数２個の組を含んでいる.



オイラーの公式による導出

1

0 sincos2 n

nn L

xnb

L

xna

axf

sincos iei

ii

ii

eei

ee

2

1sin

2

1cos

1

0 )exp(2

1)exp(

2

1

2 nnnnn L

xniiba

L

xniiba

axf

110

)exp(2

1)exp(

2

1)exp(

2

1

nnn

nnn

nnn L

xniiba

L

xniiba

L

xniiba

n

n L

xnic )exp(

12

1

02

1

2

1

12

1

*

000

nciba

naiba

niba

c

nnn

nn

n

オイラーの式

代入

nn



パルス関数のフーリエ級数

パルス関数:– 短い区間εだけ有限の値を持

ち、その他は０.

パルス関数のフーリエ級数:– ｓｉｎｃ関数形となる.

ｎに対してａｎを図示:– εが小さいほど、ｎが大きい級

数ａｎまで値がある.

– εが大きい場合、ｎが少し大きくなると級数ａｎはすぐに０に近づく.

other

xxf

0

2,2 1

Lnzz

z

L

L

n

na

L

xn

L

n

nLxf

nn

n

n

n

2/ sin1

2sin

2

cos2

sin2

2

1

1

Ｌ－Ｌｘ

０

１／ε

ｎ

ａｎ

狭いパルスを級数展開すると大きなｎの級数が現れる

これをｓｉｎｃ関数という

ｎε／２Ｌ＝１ｎε／２Ｌ＝２©H. Suzuki, U. Tokyo


フーリエ変換

もとの関数ｆ（ｘ）から、別の関数Ｆ（ｋ）への変換:

ある関数ｆ（ｘ）をＦ（ｋ）の積分（～和）.

Ｆ（ｋ）はｆ（ｘ）から積分によって計算.

ｆ（ｘ）とＦ（ｋ）の式は対称.

ｆ（ｘ）が実数の関数でも、Ｆ（ｋ）は一般に複素関数:ｆ（ｘ）が偶関数の場合にはＦ（ｋ）は実関数（ｃｏｓのみ）

dkekFxf

dxexfkF

ikx

ikx

2

12

1

21 は規格化係数なので、

あまり気にしなくて良い

２組の式でフーリエ変換対をなす。フーリエ変換・逆変換という用語を使うこともある.

フーリエ変換をｆ→Ｆ→ｆと２回行えば、元の関数に戻る.

フーリエ変換の性質

kaFxafkGkFxgxf ,

©CG-ARTS協会


2


フーリエ変換２

振幅スペクトル

- パワースペクトル

位相スペクトル

22 ),(Im),(Re),( vuFvuFvuF

),(Re

),(Imtan),(arg 1

vuF

vuFvuF

2),( vuF

u,v＝横方向と縦方向の空間周波数.

F(u,v) ＝空間周波数(u,v)における周波数成分の振幅.


フーリエ変換３

縦方向に太い縞（低い周波数成分）

2次元の基本波

)cos(),( vyuxAyxf 横方向に細い縞（高い周波数成分）

©CG-ARTS協会


フーリエ変換４

©CG-ARTS協会


離散フーリエ変換

デジタル画像– フーリエ変換の式は連続関数に対するもの.

– デジタル画像はサンプリングされて、飛び飛び（離散データ）.

離散フーリエ変換・逆変換:– 離散データに対するフーリエ変換・逆変換.

– 変換の結果のフーリエスペクトルも離散的に求まる.

– 1024ｘ1024の画像→1024ｘ1024のフーリエスペクトル:

高速フーリエ変換(FFT):

– サンプリング数が2のべき乗（例：512や1,024）の時に高速に計算する方法(Nのべき乗の方法もある).

1

0

2( ) ( )exp( )

( 0,1,..., 1)

N

i

j ikF k f s

N

k N


周波数フィルタリング

Hで周波数特性を操作.

画像のフーリエ変換：

- 空間領域から周波数領域へ.

- フーリエ逆変換すれば、画像になる.

フーリエ変換して、画像を周波数領域に変換してしまえば、フィルタリングは、二つの関数を単純に掛け算するだけ.

©CG-ARTS協会

©H. Suzuki, U. Tokyo),(),(),( vuHvuFvuG


ローパスフィルタ

-u0から、u0までの低周波数成分だけ残す.

周波数の高い横方向の波（縦縞）を消す.

©CG-ARTS協会

3


ローパスフィルタ2

©CG-ARTS協会

(u,v)=(0,0)のフィルタの値が1なので、(u,v)=(0,0)の成分が保存される→画像の平均的な明るさが保持される.


ハイパスフィルタ

©CG-ARTS協会

-u0から、u0までの高周波数成分だけ残す.

),(1),( vuHvuH lowhigh

１からロウハスを引く：

バンドパスフィルタ：特定周波数成分の抽出.


高域強調フィルタ

ハイパスフィルタから作る事が出来る.

),(1),( vukHvuH highemphh エッジ強調！

©CG-ARTS協会


ギプス現象・Overshooting

ローパスフィルタ＝高周波成分の切り捨てはデータにエッジがあった場合に不連続なデータを連続関数で近似するためエッジ周辺での誤差が非常に大きくなる事：画像ではリングアーティファクトと呼ばれている：圧縮や補間等でのカーネルの打ち切り誤差.

©www.ajronline.org ©MathWorld©wikipedia


その他の変換

フーリエ変換以外にも、様々な基底を用いた関数展開が幅広く周波数解析に用いられている.

- KL展開：データの共分散行列の固有ベクトルを基底とする. 最小二乗的に最もデータを近似出来る展開.

- 球面調和関数:超球面上の関数空間の正規直交基底(円や球への離散化で回転非依存にしやすい).

- Zernike関数、固有関数展開、etc.

←PCA(主成分分析の一般化)

Wavelet: 入力信号を小さな波形の拡大縮小と平行移動の重ね合わせで表現. - フーリエ変換は時間軸上で常に一定のパタ

ーンを持ったデータ解析に有用だが、時刻によってパターンが変化するデータ解析には不向きである. ウェーブレット変換では局所的な波を平行移動と拡大縮小で波を表現するため、有限の区間内にあるデータの特性を解析するには三角関数より適している.

- 多重解像度解析(Multiresolution Analysis)：パターンを周波数分解する作業を繰り返し行い特徴を解析.


その他の変換２

4


周波数分解

フーリエ変換、Wavelet変換、KL展開等の関

数展開

入力画像周波数・係数列


Pyramid表現

©IIPImage

平滑化(Gaussian, Wavelet等)をdown sampling (Reduce操作)しながら行う多重解像度表現の一種：upsamplingはExpand操作.


Gaussian Pyramid

Gaussian平滑化をdown sampling (Reduce操作)しながら行う多重解像度表現の一種： upsamplingはExpand操作.

Gaussian Pyramid

)](*[ 1 kGff kk


Laplacian Pyramid

Difference of Gaussian (DoG)をGaussian Pyramidの各階層で一つ下の階層をExpandした画像と行う.

][ 1kkk ffL

LaplacianPyramid

1

1

N

iN i

Lff


Gaussian & Laplacian Pyramid

LaplacianPyramid

Gaussian Pyramid


Gaussian MRI Pyramid

)](*[ 1 kGff kk

5


Laplacian MRI Pyramid

][ 1kkk ffL

1

1

N

iN i

Lff


Median Pyramid

Resize+Median+Upsampling

V. Melink et al.

IEEE ICIP’99.

Block Median Pyramidal Transform: Cartoonish：

- ResizeとUpsamplingは３次補間などを使う.

- DownsamplingはMedianフィルタを使う.

- エッジをある程度保存.


Orientation フィルタ

方向特徴フィルタ(log Gabor).

))cos())(sin(()exp( iGiG tx

Imaginary

Real

4方向の例

2/12imaginary

2real )( ff

角度：0 45 90 135

Quadrature Filter Set Kternels:

Real and Imaginary


Orientation フィルタ２

方向特徴フィルタ(log Gabor).

Quadrature Filter Set Kternels:

Real and Imaginary)),(exp( iGrot

3D:極座標による13方向の例

方向特徴フィルタ(log Gabor)によるOrientation Pyramid.


Steerable Pyramid

+


Steerable Pyramid

©www.filiprooms.be

6


研究・応用：インスリン分泌画像

の強調

インスリン顆粒の分泌

データ：群馬大：泉先生

インスリン分泌：

観察元画像ではなく

不可逆圧縮の情報が劣化ビデオデータ

xy-t 3次元画像：Time→Z-Slice:1537枚

分泌が激しい3次元部分画像：1231-1330までの100枚


Case Study


左：入力、右：Non-Local Means繰り返し３


x

x)(I

Time

入力画像

Denoise画像


Case Study


左：入力、中：Non-Local Mean、右：３クラス抽出(Mean Shift)


x

x)(I

入力画像

Denoise画像Time


Temporal 方向フィルタによる強調

インスリン分泌：分泌が激しい3次元部分画像：1231-1330までの100枚

Imaginary

Real

Time

Quadrature Filter2/12

imaginary2

real )( ff


インスリン分泌：分泌が激しい3次元部分画像：1231-1330までの100枚

Temporal 方向フィルタによる強調

Quadrature Temporal log Gabor Filter Set


2/12imaginary

2real )( ff

7


まとめ

関数展開により画像を周波数分解：- 畳み込みは周波数領域での掛け算となる.- ローパス、ハイパス、バンドパスフィルタ.- フーリエ変換、KL展開、Wavelet変換.

- Log Gabor方向フィルタ.- Pyramid表現: Gaussian, Laplacian, Median, Steerable.

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