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Formelsammlung zur Kreisgleichung
Julia Wolters
6. Oktober 2008
Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeine Kreisgleichung 21.1 Berechnung des Mittelpunktes und Radius am Beispiel . . . . . 3
2 Kreis und Gerade 42.1 Sekanten, Tangenten, Passanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Berechnung von Schnittpunkt . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Kurzeste Entfernung zwischen Gerade und Kreis . . . . . . . . . 62.3 Bestimmen der Tangentengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Zwei Kreise 10
4 Zusammenfassung 114.1 Allgemeine Kreisgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Kreis und Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2.1 Bestimmung von Gerade und Lot . . . . . . . . . . . . . 114.2.2 Tangentengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
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NachhilfeMathe Klasse 11
Formelsammlung1 Allgemeine Kreisgleichung 2008/2009
1 Allgemeine Kreisgleichung
Die Gleichung(x− xM)2 + (y − yM)2 = r2 (1)
nennt man die allgemeine Kreisgleichung.
Die Koordinaten (xM |yM) sind die Koordinaten des Mittelpunktes. Die Va-riable r ist der Radius des Kreises. Setzt man nun einen Punkt P (x|y) ein,uberpruft man, ob der Punkt auf dem Kreis liegt. Dabei gilt
(x− xM)2 + (y − yM)2
> r2,liegt außerhalb des Kreises
= r2,liegt genau auf dem Kreis
< r2,liegt innerhalb des Kreises
(2)
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Formelsammlung1 Allgemeine Kreisgleichung 2008/2009
1.1 Berechnung des Mittelpunktes und Radius am Bei-spiel
Gegeben sei die Gleichung
x2 + y2 + 4x + 8y = 5
Zunachst bringen wir die Gleichung in die Form der allgemeinen Kreisglei-chung.Wir sortieren zunachst die Formel nach den einzelnen Variablen. Des Weite-ren wissen wir, dass sich die allgemeine Kreisgleichung als Summe zwei Bi-nomischer Formeln zweiter Art zusammen setzt. Diese erhalten wir durch dieQuadratische Erganzung.
x2 + y2 + 4x + 8y = 5 | sortieren
x2 + 4x + y2 + 8y = 5 | Quadratische Erganzung: + 4 + 16
x2 + 4x + y2 + 8y + 4 + 16 = 5 + 4 + 16 | sortieren(x2 + 4x + 4
)+(y2 + 8y + 16
)= 25 | Binomische Formel anweden
(x + 2)2 + (y + 4)2 = 25 | fertig
Aus dieser Gleichung lasst sich nun der Mittelpunkt und der Radius des Kreisesablesen:
M(−2| − 4), r = 5
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Formelsammlung2 Kreis und Gerade 2008/2009
2 Kreis und Gerade
2.1 Sekanten, Tangenten, Passanten
Gegeben sei ein Kreis und eine Gerade. Nun ist die Frage, wie diese zueinanderliegen.Dies hangt davon ab, welchen Abstand die Gerade zum Kreismittelpunkt hat.
Ist der Abstand
< r, dann gibt es 2 Schnittpunkte, somit ider Ge-rade eine Sekante
= r, dann gibt es genau einen Schnittpunkt unddie Gerade heißt Tangente
> r, dann gibt es keinen Schnittpunkt. Diese Ge-rade nennt man Passante
Um den Abstand zu berechnen, nimmt man den Schnittpunkt vom der Geradenund einer Geraden, die durch den Mittpunkt geht und senkrecht zur Geradenist.
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Formelsammlung2 Kreis und Gerade 2008/2009
2.1.1 Berechnung von Schnittpunkt
Gegeben sei ein Kreis k1 und eine Gerade g1. Es wird der Schnittpunkt vonder Geraden mit dem Kreis gesucht. Diesen erhalt man durchs Einsetzten. Eskann passieren, dass einer oberen drei Falle eintritt. So ist es also auch moglich,dass die Gerade und der Kreis keine gemeinsammen Schnittpunkte haben undsomit die Gerade eine Passante ist.
2.1.2 Beispiel
Gegeben seien ein Kreis k1und eine Gerade g1
k1 : (x + 2)2 + (y + 4)2 = 25
g1 : y = 3x− 3
Durch das Einsetzten von g1 in k1, berechnet man den Schnittpunkt:
(x + 2)2 + (3x− 3 + 4)2 = 25 |vereinfachen
(x + 2)2 + (3x + 1)2 = 25 |ausmultiplizieren
x2 + 4x + 4 + 9x2 + 6x + 1 = 25 |zusammenfassen, − 25
10x2 + 10x + 5− 25 = 0
∣∣∣∣· 1
10
x2 + x− 2 = 0 |pq-Formel
−1
2±
√(1
2
)2
− (−2) = x1,2
−1
2±√
1
4+
8
4= x1,2
−1
2±√
9
2= x1,2
−1
2± 3
2= x1,2
x1 = 1
x2 = −2
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Formelsammlung2 Kreis und Gerade 2008/2009
x1,2 in g1 oder k1 einsetzten:
x1 in g1 : y =3 · 1− 3
=3− 3
=0
x2 in g1 : y =3 · (−2)− 3
=− 6− 3
=− 9
Die Gerade hat zwei Schnittpunkte
im Kreis. Diese heißen S1(1|0) und
S2(−2| − 9)
2.2 Kurzeste Entfernung zwischen Gerade und Kreis
Wieder ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt M(xM |yM) und Radius r und eineGerade g gegeben. Die kurzste Entfernung zwischen einem Kreis und einerGeraden erhalt man, indem man den Beruhpunkt berechnet.Zunachst uberpruft man, ob die Gerade eine Tangenten, Passante oder Sekanteist. Bei der Tangente ist der Fall klar. Die kurzste Entfernung zwischen demKreis und der Geraden liegt im Schnittpunkt.Erhalt man jedoch eine Passante oder Sekante, so muss man den Schnittpunktvon der Geraden und dem Lot von der Geraden und dem Kreismittelpunktbestimmen. Dieser Punkt hat dann die kurzeste Entfernung.
Gegeben sind:
g : y = mg · x + ng
k : r2 = (x− xM)2 + (y − yM)2
Nun bestimmen wir das Lot l (= orthogonal zur Geraden und verlauft durchden Punkt M(xM |yM)).Durch die Gerade g erhalten wir die Steigung des Lots.
ml = − 1
mg
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Formelsammlung2 Kreis und Gerade 2008/2009
Mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form (→ Formelsammlung zur Geradenglei-chung) bestimmt man nun die Gleichung des Lots l.
l : y = ml · x + (yM −ml · xM)︸ ︷︷ ︸=nl
(3)
Durch das Gleichsetzten der beiden Geraden g und l erhalt man den Schnitt-punkt und somit den Punkt der kurzesten Entfernung zwischen Kreis undGeraden g.
mg · x + ng = ml · x + nl |−mk · x− ng
mg · x−ml · x = nl − ng | ausklammern
(mg −ml) x = nl − ng
∣∣∣∣· 1
ml −mg
x =nl − ng
ml −mg
(4)
Durch das Einsetzten von x in g oder l berechnet man die y-Koordinate desSchnittpunktes.
y = ml ·nl − ng
ml −mg
+ nl | auf einen Nenner bringen
=ml · nl −ml · ng
ml −mg
+ nl ·ml −mg
ml −mg
=ml · nl −ml · ng + nl ·ml − nl ·mg
ml −mg
=2ml · nl −ml · ng −mg · nl
ml −mg
(5)
Somit erhalt man den Schnittpunkt
S
(nl − ng
ml −mg
∣∣∣∣2ml · nl −ml · ng −mg · nl
ml −mg
)(6)
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Formelsammlung2 Kreis und Gerade 2008/2009
2.3 Bestimmen der Tangentengleichung
Ein Kreis k und ein Beruhrpunkt B(xB|yB) sind geben. Es soll die Tangente tbestimmt werden, die den Kreis k im Punkt B beruhrt.Wir wissen, dass eine Gerade g, die durch den Beruhrpunkt B und den Kreis-mittelpunkt M(xM |yM) lauft, orthogonal zur Tangente t lauft. Deswegen be-stimmen wir zunachst die Steigung der Geraden g.
mg =yB − yM
xB − xB
Mit dieser Steiung konnen wir nun die Steigung der Tangente bestimmen.
mg ·mt = −1
∣∣∣∣· 1
mg
mt = −1 · 1
mg
mt = − 1
mg
|mg einsetzten
mt = − 1yB−yM
xB−xB
mt = −xB − xM
yB − yB
Nun haben wir die Steigung der Tangente t bestimmt. Des Weiteren wissenwir, dass die Tangente durch den Beruhrpunkt B verlauft. Also konnen wirmit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form konnen wir nun die Tangentengleichungbestimmen.
y =mt · x + (yB −mt · xB) |mt einsetzten
=− xB − xM
yB − yB
· x +
(yB −
(−xB − xM
yB − yB
)· xB
)=− xB − xM
yB − yB
· x +
(yB +
xB − xM
yB − yB
· xB
)
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Formelsammlung3 Zwei Kreise 2008/2009
3 Zwei Kreise
Gegeben seien zwei Kreise. Auch hier ist wieder die Frage, wie diese beidenzueinander stehen. Wieder ist der Abstand zwischen den Kreismittelpunktengefragt.
k1 : M1 (xM1 |yM1 ) r1
k2 : M2 (xM2 |yM2 ) r2
d > r1 + r2 kein Schnittpunkt
d = r1 + r2 einen Schnittpunkt
d < r1 + r2 zwei Schnitpunkte,bzw. die Kreise liegenineinander
Den Schnittpunkt berechnet man, indem man die eine Kreisgleichung von deranderen abzieht:
k1 − k2 = r21 − r2
2 (7)
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Formelsammlung4 Zusammenfassung 2008/2009
4 Zusammenfassung
4.1 Allgemeine Kreisgleichung
(x− xM)2 + (y − yM)2 = r2
4.2 Kreis und Gerade
4.2.1 Bestimmung von Gerade und Lot
Gesucht wird der Punkt S mit der kurzesten Entfernung zwischen Gerade gund Kreismittelpunkt M :Lot:
l : y = − 1
mg
· x +
(yM +
1
mg
· xM
)Schnittpunkt zwischen Gerade und Lot:
S
(nl − ng
ml −mg
∣∣∣∣2ml · nl −ml · ng −mg · nl
ml −mg
)4.2.2 Tangentengleichung
Gegeben ist ein Kreis K mit Mittelpunkt M und ein Beruhrpunkt B. Gesuchtwird die Tangengleichung t:
y = −xB − xM
yB − yB
· x +
(yB +
xB − xM
yB − yB
· xB
)
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