Fragen

FragenFragen

(1)(1) Kraft (Boden) im EinbeinstandKraft (Boden) im Einbeinstand

(2)(2) Kraft (Sprunggelenk) im Zehenstand auf Kraft (Sprunggelenk) im Zehenstand auf einem Beineinem Bein

(3)(3) Kraft (Achillessehne) im Zehenstand auf Kraft (Achillessehne) im Zehenstand auf einem Beineinem Bein

(4)(4) Kraft (HKraft (Hüftgelenk) im Einbeinstandüftgelenk) im Einbeinstand

(5)(5) Kraft (Ellbogen) beim horizontalen Halten Kraft (Ellbogen) beim horizontalen Halten eine Masse von 10 kg eine Masse von 10 kg

Benno M. NiggBenno M. Nigg

University of CalgaryUniversity of Calgary

20062006

Allgemeine BiomechanikAllgemeine Biomechanik

Force System AnalysisForce System Analysis

StudiertStudiert

a)a) Kräfte am und im menschlichen Kräfte am und im menschlichen

Körper undKörper und

b)b) Effekte, die durch diese Kräfte Effekte, die durch diese Kräfte

erzeugt werdenerzeugt werden

BiomechanikBiomechanik

Reaktionen biologischer SystemeReaktionen biologischer Systeme

biologischbiologisch

z.B. stärkere Fasern und Materialienz.B. stärkere Fasern und Materialien

mechanischmechanisch

BeschleunigungBeschleunigung F = m · aF = m · a

DeformationDeformation F = k · F = k · xx

Bruch / RissBruch / Riss

Viele MViele Möglichkeiten, öglichkeiten,

mechanische Probleme zu lösen. mechanische Probleme zu lösen.

FSA ist eine Möglichkeit. FSA ist eine Möglichkeit.

•• systematischsystematisch

•• allgemein anwendbarallgemein anwendbar

Force System Analysis FSAForce System Analysis FSA

Ziel:Ziel: das mechanische Verhalten eines das mechanische Verhalten eines

biologischen Systems zu verstehenbiologischen Systems zu verstehen

Prozess:Prozess: (1)(1) DefiniereDefiniere das System das System

(2)(2) AnnahmenAnnahmen

(3)(3) Free Body DiagramFree Body Diagram

(Freik(Freikörperdiagramm)örperdiagramm)

(4)(4) BewegungsgleichungenBewegungsgleichungen

(5)(5) Berechnung der Berechnung der

UnbekanntenUnbekannten

Force System Analysis FSAForce System Analysis FSA

Mechanisches SystemMechanisches System

für biomechanische für biomechanische

AnwendungenAnwendungen

Struktur and welcher Struktur and welcher

die gesuchte Kraft als die gesuchte Kraft als

äussere Kraftäussere Kraft wirktwirkt

Das System (system of interest)Das System (system of interest)

VorgehenVorgehen

(1)(1) SketchSketch

(2)(2) Aufteilen in zwei Aufteilen in zwei TeileTeile

(3)(3) Teilen wo Kraft Teilen wo Kraft gesucht istgesucht ist

(4)(4) System ist einer der System ist einer der beiden Teilebeiden Teile

(a)(a) (b)(b) (c)(c) (d)(d)

BeispielBeispiel

Gesucht:Gesucht:Kraft im rechten Hüftgelenk beim LaufenKraft im rechten Hüftgelenk beim Laufen

Verschiedene MVerschiedene Möglichkeitenöglichkeiten

1-dim, 2-dim oder 3-dim1-dim, 2-dim oder 3-dim

KrKräfte die eingeschlossen werdenäfte die eingeschlossen werden

GrGrösse und Richtung der Kräfteösse und Richtung der Kräfte

MaterialeigenschaftenMaterialeigenschaften

StrukturdatenStrukturdaten

Andere wichtige AnnahmenAndere wichtige Annahmen

AnnahmenAnnahmen

Das Free Body Diagram, FBD, besteht aus:Das Free Body Diagram, FBD, besteht aus:

•• Sketch des SystemsSketch des Systems

•• Alle Alle äusseren Kräfte und Momente, die am äusseren Kräfte und Momente, die am System angreifenSystem angreifen

•• KoordinatensystemKoordinatensystem

Free Body DiagramFree Body Diagram

SketchSketch

Zeichne schematisch das SystemZeichne schematisch das System

Nichts anderes!!!!Nichts anderes!!!!

BeispielBeispiel

System = FussSystem = Fuss

Zeichne nur den Fuss (ohne Boden und Bein)Zeichne nur den Fuss (ohne Boden und Bein)

Wichtigste Aspekte Wichtigste Aspekte

Äussere Kräfte und MomenteÄussere Kräfte und Momente

DistanzkrDistanzkräfteäfte

Gravitation Gravitation

ElektrischeElektrische

MagnetischeMagnetische

KontaktkrKontaktkräfteäfte

GelenkskraftGelenkskraft

SehnenkraftSehnenkraft

BandkraftBandkraft

Kontakt mit UmweltKontakt mit Umwelt

LuftwiederstandLuftwiederstand

Resultierende KrResultierende Kräfteäfte

Resultierende Kraft Resultierende Kraft

Summe von verschiedenen Summe von verschiedenen KrKräftenäften

Beispiele:Beispiele:

•• KKörpergewichtörpergewicht

•• BodenreaktionskraftBodenreaktionskraft

FFresres

KoordinatensystemKoordinatensystem

Ein Koordinatensystem Ein Koordinatensystem

muss eingeschlossen muss eingeschlossen

werden um die positiven werden um die positiven

Achsenrichtungen zu Achsenrichtungen zu

definierendefinieren xx

yy

BeispieleBeispiele

1.1. Zeichne das FBD, welches gebraucht werden Zeichne das FBD, welches gebraucht werden kann um die Kraft in der Achillessehen beim kann um die Kraft in der Achillessehen beim einbeinigen Zehenstand zu bestimmeneinbeinigen Zehenstand zu bestimmen

2.2. FBD um die Kraft im Ellbogengelenk beim Halten FBD um die Kraft im Ellbogengelenk beim Halten einer Masse in der Handeiner Masse in der Hand

• • System System • Annahmen• Annahmen• Sketch• Sketch• Koordinatensystem• Koordinatensystem

Newton (angepasst)Newton (angepasst)

Die Summe aller KrDie Summe aller Kräfte, die an einem äfte, die an einem System angreifen (System angreifen (= resultierende Kraft) = resultierende Kraft) ist gleich dem Produkt von Masse und ist gleich dem Produkt von Masse und Beschleunigung des Schwerpunktes des Beschleunigung des Schwerpunktes des SystemsSystems

FFii = F = Fres res = m · a = m · aKSPKSP

Die Summe aller Momente, die an einem Die Summe aller Momente, die an einem

System wirken (= resultierendes Moment) ist System wirken (= resultierendes Moment) ist

gleich dem Produkt des Trgleich dem Produkt des Trägheitsmomentes ägheitsmomentes

und der Winkelbeschleunigung bezüglich und der Winkelbeschleunigung bezüglich

einer Achse durch den KSP.einer Achse durch den KSP.

MMiCMiCM = M = MresCM resCM = I = Izzzz · · CMCM

Newton (angepasst)Newton (angepasst)

Bewegungsgleichungen 2-dBewegungsgleichungen 2-d

Mit Mit Änderung des Änderung des BewegungszustandesBewegungszustandes

FFxx = m= mSISI · a · aSIxSIx

FFyy = m= mSISI · a · aSIySIy

MMCMzCMz = I= Izzzz · · zz

Ohne Änderung des Ohne Änderung des Bewegungszustandes Bewegungszustandes

FFxx = 0 = 0

FFyy = 0 = 0

MMCMzCMz = 0 = 0

mmSISI == Masse des SystemsMasse des Systems

FFxx == Kraft in x-AchsenrichtungKraft in x-Achsenrichtung

aaSIxSIx == Beschleuningung des Beschleuningung des

Schwerpunktes des Systems in x-Schwerpunktes des Systems in x-AchsenrichtungAchsenrichtung

MMCMzCMz == Moment bezMoment bezüglich der z-Achse durch üglich der z-Achse durch

den Schwerpunkt des Systemsden Schwerpunkt des Systems

IIzzzz == TrTrägheitsmoment bezüglich der z-ägheitsmoment bezüglich der z-

Achse durch den Schwerpunkt des SystemsAchse durch den Schwerpunkt des Systems

zz == Winkelbeschleuningung bezüglich Winkelbeschleuningung bezüglich

der z-Achse durch den Schwerpunkt des der z-Achse durch den Schwerpunkt des SystemsSystems

Bewegungsgleichungen 2-dBewegungsgleichungen 2-d

BeispielBeispiel

Frage:Frage:Bestimme die Kraft in der Bestimme die Kraft in der

Achillessehne wenn eine Person auf Achillessehne wenn eine Person auf einem Bein im Zehenstand stehteinem Bein im Zehenstand steht

System:System:FussFuss

Kraft in AchillessehneKraft in Achillessehne

Annahmen:Annahmen:

• • 2-dim2-dim

• Fuss starr• Fuss starr

• Gewicht Fuss vernachl• Gewicht Fuss vernachlässigtässigt

• • Äussere KräfteÄussere Kräfte::

BodenreaktionskraftBodenreaktionskraft

Kraft im SprunggelenkKraft im Sprunggelenk


• Alle Kr• Alle Kräfte in vertikaler Richtungäfte in vertikaler Richtung

Free Body DiagramFree Body Diagramyy

xx

FFJJ

FFAA

FFGG

bbaa


AnnahmenAnnahmen

aa == Distanz FDistanz FAA - Gelenk - Gelenk

aa == 5 cm5 cm

bb == Distanz FDistanz FGG - Gelenk - Gelenk

bb == 20 cm20 cm

FFGG == 1000 N1000 N

Bewegungsgleichungen:Bewegungsgleichungen:

TranslationTranslation FFAA + F + FGG + F + FJJ = 0 = 0 (1)(1)

RotationRotation - b · F- b · FGG + a · F + a · FAA = 0= 0 (2)(2)

FFAA = ( ) · F = ( ) · FGG

bb––––aa


LLösung (von Gleichung 2):ösung (von Gleichung 2):

Numerische LNumerische Lösungösung

FFAA = 4 · F = 4 · FGG = 4 · K = 4 · Körpergewichtörpergewicht = 4000 N = 4000 N

Kraft im GelenkKraft im Gelenk

Bewegungsgleichungen:Bewegungsgleichungen:

TranslationTranslation FFAA + F + FGG + F + FJJ = 0 = 0 (1)(1)

RotationRotation b · Fb · FGG - a · F - a · FAA = 0= 0 (2)(2)

FFAA = ( ) · F = ( ) · FGG

bb––––aa

Negatives Vorzeichen:Negatives Vorzeichen:Kraft in entgegengesetzter Kraft in entgegengesetzter Richtung als gezeichnetRichtung als gezeichnet

FFJJ = - F = - FAA - F - FGG

a + ba + bFFJJ = - F = - FG G = - 5 F= - 5 FGG = - 5000 N = - 5 BW = - 5000 N = - 5 BW

aa

Kraft im EllbogengelenkKraft im Ellbogengelenk

Frage:Frage: Kraft im Ellbogengelenk. Kraft im Ellbogengelenk. Oberarm vertikal. Unterarm Oberarm vertikal. Unterarm und Hand horizontal. Masse und Hand horizontal. Masse von 10 kg in Handvon 10 kg in Hand

System:System: Unterarm und HandUnterarm und Hand

Annahmen:Annahmen:• • 2-dim2-dim• Unterarm und Hand ein starrer K• Unterarm und Hand ein starrer Körperörper• Masse Unterarm • Masse Unterarm mmAA = 2 kg = 2 kg

• Masse in Hand • Masse in Hand mmWW = 10 kg= 10 kg

• • äussere Kräfteäussere KräfteFFWW == Gewicht der Masse in der HandGewicht der Masse in der Hand

FFAA == Gewicht Unterarm und HandGewicht Unterarm und Hand

FFMM = = Muskelkraft BizepsMuskelkraft Bizeps

FFJJ = = Kraft EllbogengelenkKraft Ellbogengelenk



Annahmen:Annahmen:

• • Alle KrAlle Kräfte in vertikaler Richtungäfte in vertikaler Richtung

• • a a == Distanz Bizepskraft und Distanz Bizepskraft und

GelenkskraftGelenkskraft

• • a a = = 10 cm10 cm

• • bb == Distanz Gewicht Arm und Distanz Gewicht Arm und

BizepskraftBizepskraft

• • b b == 10 cm10 cm

• • cc == Distanz Gewicht Hand und Distanz Gewicht Hand und

BizepskraftBizepskraft

• • c c = = 20 cm20 cm

Annahmen:Annahmen:

• • FFAA == ( 0 N, - 20 N, 0 N )( 0 N, - 20 N, 0 N )

• • FFWW == ( 0 N, - 100 N, 0 N )( 0 N, - 100 N, 0 N )


Free body diagramFree body diagram

yy

xx

FFJJ FFMM FFWW

FFAA

aa bbcc

AA MM CC DD


BewegungsgleichungenBewegungsgleichungen

TranslationTranslation

FFyy: F: FJJ + F + FMM + F + FAA + F + FWW = 0 = 0 (1)(1)

FFJJ FFMM FFGG

FFAA

aa bb cc

AA MM CC DDEllbogengelenkEllbogengelenk

TranslationTranslation

FFyy: F: FJJ + F + FMM + F + FAA + F + FWW = 0 = 0 (1)(1)

Rotation (Momente bezgl. Punkt M)Rotation (Momente bezgl. Punkt M)

MMMM: + c · F: + c · FWW + b · F + b · FAA - a · F - a · FJJ = 0 = 0 (2)(2)

FFJJ FFMM FFWW

FFAA

aa bb cc

AA MM CC DD

Punkt M Punkt M

unbekannte Muskelkraft wird eliminiertunbekannte Muskelkraft wird eliminiert

BewegungsgleichungenBewegungsgleichungen

EllbogengelenkEllbogengelenk


Gleichungssystem mit Gleichungssystem mit

2 Gleichungen2 Gleichungen 1 f1 füür Translationr Translation

1 f1 füür Rotationr Rotation

2 Unbekannte2 Unbekannte FFJJ

FFMM

EllbogengelenkEllbogengelenkLLösungösung

Gleichung (2)Gleichung (2)

a · Fa · FJJ = c · F = c · FWW + b · F + b · FAA

11––––aa

FFJJ = ( ) [ c · F = ( ) [ c · FWW + b · F + b · FA A ] (3)] (3)



FFJJ + F + FMM + F + FAA + F + FWW = 0 = 0

FFMM = - F = - FAA - F - FWW - F - FJJ

(3) in (4)(3) in (4)

FFMM = - F = - FAA - F - FWW - ( ) [ c · F - ( ) [ c · FWW + b · F + b · FAA ] ]

FFMM = [ 1 + ( ) F = [ 1 + ( ) FWW + [ 1 + ( ) ] F + [ 1 + ( ) ] FAA

cc––––aa

11––––aa

bb––––aa


Numerische LNumerische Lösungösung

FFJJ = { } · {0.2m · (-100N)+0.1m · (-20N)} = { } · {0.2m · (-100N)+0.1m · (-20N)}

FFJJ = - 220 N = - 220 N

11––––––––0.1m0.1m


•• Die Kraft im Ellbogengelenk ist 220 N.Die Kraft im Ellbogengelenk ist 220 N.

•• Das Minuszeichen bedeutet dass die Das Minuszeichen bedeutet dass die Kraft in entgegengesetzter Richtung Kraft in entgegengesetzter Richtung zur eingezeichneten Kraft wirkt zur eingezeichneten Kraft wirkt (negative (negative y y Richtung) Richtung)

Allgemeine RegelAllgemeine Regel

Das Vorzeichen zeigt an, ob die Das Vorzeichen zeigt an, ob die

eingezeichnete Kraft in der richtigen eingezeichnete Kraft in der richtigen

Richtung gezeichnet wurdeRichtung gezeichnet wurde

yy

xx


wirkliche Krwirkliche Kräfteäfte

yy

xx

MMresres

i(i+1)i(i+1)

FFresres

i(i+1)i(i+1)

MMresres

i(i-1)i(i-1)FFresres

i(i-1)i(i-1)

WW ii


resultierende Kräfteresultierende Kräfte

wirkliche & resultierende Krwirkliche & resultierende Kräfteäfte

Wirkliche KraftWirkliche Kraft

FBDFBDFFaJaJ

FFaGaG

FFaAaAyy

xxzz

AnnahmenAnnahmen

2-d2-d

Muskelkraft nur AchillessehneMuskelkraft nur Achillessehne

Alle KrAlle Kräfte in vertikaler Richtungäfte in vertikaler Richtung

Gewicht des Fusses vernachlGewicht des Fusses vernachlässigtässigt

aa == 20 cm =20 cm = Distanz Zehe bis GelenkDistanz Zehe bis Gelenk

b b == 5 cm = 5 cm = Distanz Achilles bis GelenkDistanz Achilles bis Gelenk

Keine Reibung zwischen Schuh und BodenKeine Reibung zwischen Schuh und Boden

FFGG== ( 0N , BW , 0N ) ( 0N , BW , 0N )

Bewegungsgleichungen (wirklich)Bewegungsgleichungen (wirklich)

FFayay == 00 FFaGaG + F + FaJaJ + F + FaAaA == 00

MMaAaA == 00 +(a + b) F+(a + b) FaGaG + b F + b FaJaJ == 00


FFaJaJ == - · F- · FaGaG

FFaJaJ == - · F- · FaGaG = - 5 F= - 5 FaGaG

FFaJaJ == - 5 BW- 5 BW

FFaJaJ == (0N, - 5 BW, 0N)(0N, - 5 BW, 0N)

a+ba+b––––––––

bb

2525(–––)(–––)

55

Resultierende KraftResultierende Kraft

FBDFBD FFrJyrJy

yy

xxzz

FFrJxrJx

MMrJrJ

FFrGxrGx

FFrGyrGy

MMrGrG

BewegungsgleichungBewegungsgleichung

Nur vertikale Komponente der Nur vertikale Komponente der SprunggelenkskraftSprunggelenkskraft

FFryry == 00 FFrGyrGy + F + FrJyrJy = 0 = 0

FFrGyrGy == - F- FrJyrJy

mitmit

FFrGrG == ( 0N, BW, 0N )( 0N, BW, 0N )

folglichfolglich

FFrJrJ == ( 0N, - BW, 0N )( 0N, - BW, 0N )

Wirkliche und resultierende KraftWirkliche und resultierende Kraft

Kraft im SpunggelenkKraft im Spunggelenk

Wirkliche KraftWirkliche Kraft FFaJaJ = - 5 BW= - 5 BW

Resultierende KraftResultierende KraftFFrJrJ = - 1 BW= - 1 BW

Welche Kraft wWelche Kraft würde in ürde in Wirklichkeit gemessen?Wirklichkeit gemessen?

Resultierender AnsatzResultierender Ansatz

Berechnung von KrBerechnung von Kräften in äften in Gelenken, die weit weg vom Gelenken, die weit weg vom Boden sindBoden sind (z.B. H (z.B. Hüfte, Knie, üfte, Knie, ….)….)

(1)(1) unten anfangenunten anfangen

(2)(2) Segment um SegmentSegment um Segment

(3)(3) am interessierten am interessierten Gelenk KrGelenk Kräfte und äfte und Momente verteilen.Momente verteilen.

yy

xxzzMM

rr

2323

FFrr

2323

WW 22 MMrr

2121

FFrr

2121

WW 11

FFrr

1212

MMrr

1212

FFrr

1010

MMrr

1010

Neue KentnisseNeue Kentnisse

(1)(1) Force system analysisForce system analysis

(2)(2) Innere KrInnere Kräfte >> Äussere äfte >> Äussere KrKräfteäfte

(3)(3) Innere Innere KrKräfte = f (Hebelarme)äfte = f (Hebelarme)

(4)(4) KKAchilles(stehen)Achilles(stehen) 4 Körpergewicht 4 Körpergewicht

(5)(5) KKSprunggelenk(stehen)Sprunggelenk(stehen) 5 Körpergewicht 5 Körpergewicht

(6)(6) KKGelenk-FersenlandungGelenk-Fersenlandung << K << KGelenk-VorfusslandungGelenk-Vorfusslandung

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