Framework zur Modalanalyse - TU Dresden · 2010-02-01 · - isotrop/anisotrop FEM-Modell Daniel Höhne Technische Universität Dresden Framework zur Modalanalyse. Motivation Theorie

Motivation Theorie Implementation Zusammenfassung

Framework zur Modalanalyse

Daniel Höhne

Fakultät InformatikInstitut für Software- und Multimediatechnik

Professur für Computergrafik und Visualisierung

Belegverteidigung, 02.07.2008 - 09:00hDresden

Daniel Höhne Technische Universität Dresden



Gliederung

1 Motivation

2 Theorie

3 Implementation

4 Zusammenfassung




Gliederung

1 Motivation

2 Theorie

3 Implementation

4 Zusammenfassung




Elastische Deformation

Modalanalyse wird angewendet bei. . .

elastischer Verformung z.B.

• Analyse der Schwingung von Maschinen• Softbody bzw. Softtissue Simulation• Soundsynthese





Modalanalyse wird angewendet bei. . .elastischer Verformung z.B.


aus [de Silva, 1989]







aus [Pentland, 1989]







aus [James, 2000]







aus [O’Brien, 2002]




Das Problem

Prinzipiell wohluntersucht. . .

Thinglab/Thingworld [Pentland, 1989]DyRT Framework [Doug L. James, 2002]Simulationsframework für PS2TM [Kris K. Hauser, 2003]Impl. mit Vertex und Pixel-Shadern [Che Yinghui, 2006]

erweiterter Ansatz: Real-Time Subspace Integration[Jernej Barbic, 2005]




Das Problem







Das Problem







Das Problem







Das Problem







Das Problem


aber...

ProblemLösungen häufig propritär bzw. kein Source-CodeNur Simulationsframworks, das Erzeugen der Modelle wirdvernachlässigtEs existiert kein ganzheitlicher Ansatz, außerExtrem teure CAD/FEM Software




Das Problem


aber...





Das Problem


aber...





Das Problem


aber...





Gliederung

1 Motivation

2 Theorie

3 Implementation

4 Zusammenfassung




Modelle

Modell-Erzeugung I - GrundlagenErzeugung von Modellen mit den. . .

EigenschaftenVerschiebungen u = x0 − xt

Masse(n)

Fm = mu

(Drehmoment(e)

J = Iω

)Dämpfunge(en)

Fc = cu

Steifigkeit(en)

Fk = ku

Dafür kommen verschiedene Modelle in Frage




Modelle



Masse(n)

Fm = mu

(Drehmoment(e)

J = Iω

)Dämpfunge(en)

Fc = cu

Steifigkeit(en)

Fk = ku





Modelle



Masse(n)

Fm = mu

(Drehmoment(e)

J = Iω

)Dämpfunge(en)

Fc = cu

Steifigkeit(en)

Fk = ku





Modelle



Masse(n) Fm = mu(Drehmoment(e) J = Iω)Dämpfunge(en)

Fc = cu

Steifigkeit(en)

Fk = ku





Modelle




Fc = cu

Steifigkeit(en)

Fk = ku





Modelle




Fc = cu

Steifigkeit(en) Fk = ku





Modelle




Fc = cu

Steifigkeit(en) Fk = ku





Modelle



Masse(n) Fm = mu(Drehmoment(e) J = Iω)Dämpfunge(en) Fc = cuSteifigkeit(en) Fk = ku





Modelle



Masse(n) Fm = mu(Drehmoment(e) J = Iω)Dämpfunge(en) Fc = cuSteifigkeit(en) Fk = ku





Modelle

Modell-Erzeugung II - Partikelmodell

z.B. mittels Feder-(Dämpfer)-Masse Modellbekannt aus z.B. der Textilsimulation,Softbodysimulation

Elementm1 m2

u1

u2

u3




Modelle

Modell-Erzeugung II - Partikelmodell

z.B. mittels Feder-(Dämpfer)-Masse Modellbekannt aus z.B. der Textilsimulation,Softbodysimulation

Elementm1 m2

u1

u2

u3




Modelle

Modell-Erzeugung II - Partikelmodellz.B. mittels Feder-(Dämpfer)-Masse Modellbekannt aus z.B. der Textilsimulation,Softbodysimulation

Elementm1 m2

u1

u2

u3

Beispiel Modell




Modelle

Modell-Erzeugung III - Finite Elemente Methode

Oder z.B. mithilfe finiter (Tetraeder) Elemente...

Element




Modelle



Element

k0

k1

k2

k3




Modelle



Element

k0

k1

k2

k3




Modelle



Element

k0

k1

k2

k3

u1

u2

u3




Modelle


...wird aus einem Oberflächenmodell, ein FEM-Modellerstellt:

Oberflächen-Modell

Element-Modell

Material-Parameter- Dichte- E-Modul- Querkontraktionszahl

- linear elastisch- isotrop/anisotrop

FEM-Modell




Modelle



Oberflächen-Modell

Element-Modell



FEM-Modell




Modelle



Oberflächen-Modell

Element-Modell



FEM-Modell




Modelle



Oberflächen-Modell

Element-Modell



FEM-Modell




Schwingungen

Schwingungsgleichung IMathematische Beschreibung der Modelle führt auf

M u+ C u+ K u = f

Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konst.Koeffizienten-Matrizen M,C,KM ~ Matrix der Massen / MomenteC ~ Matrix der (viskosen) DämpfungenK ~ Matrix der Steifigkeitenf ~ Vektor der Erregerkräfte




Schwingungen


M u+ C u+ K u = f





Schwingungen


M u+ C u+ K u = f





Schwingungen


M u+ C u+ K u = f





Schwingungen


M u+ C u+ K u = f





Schwingungen


M u+ C u+ K u = f





Schwingungen

Schwingungsgleichung II

„Gekoppelte“ Schwingungen, schwierig aufzulösen, z.B.:

m 0 0 00 J 0 00 0 m 00 0 0 m

u0

u1

u2

u3

+ Cu +

k00 k1 k2 k3

k1 k11 k4 k5

k2 k4 k22 0k3 k5 0 k33

u0

u1

u2

u3

= f

m ~Mass, J ~Drehmoment, k ~Federsteifigkeit

Lösungsverfahren sind z.B.numerisch, (Integrations) Verfahren

exakt, Matrizen-DifferentialgleichungenModalanalyse

(auch exakt)




Schwingungen



m 0 0 00 J 0 00 0 m 00 0 0 m

u0

u1

u2

u3

+ Cu +

k00 k1 k2 k3

k1 k11 k4 k5

k2 k4 k22 0k3 k5 0 k33

u0

u1

u2

u3

= f


Lösungsverfahren sind z.B.numerisch, (Integrations) Verfahren

exakt, Matrizen-DifferentialgleichungenModalanalyse

(auch exakt)




Schwingungen



m 0 0 00 J 0 00 0 m 00 0 0 m

u0

u1

u2

u3

+ Cu +

k00 k1 k2 k3

k1 k11 k4 k5

k2 k4 k22 0k3 k5 0 k33

u0

u1

u2

u3

= f


Lösungsverfahren sind z.B.numerisch, (Integrations) Verfahrenexakt, Matrizen-Differentialgleichungen

Modalanalyse

(auch exakt)




Schwingungen



m 0 0 00 J 0 00 0 m 00 0 0 m

u0

u1

u2

u3

+ Cu +

k00 k1 k2 k3

k1 k11 k4 k5

k2 k4 k22 0k3 k5 0 k33

u0

u1

u2

u3

= f


Lösungsverfahren sind z.B.numerisch, (Integrations) Verfahrenexakt, Matrizen-DifferentialgleichungenModalanalyse

(auch exakt)




Schwingungen



m 0 0 00 J 0 00 0 m 00 0 0 m

u0

u1

u2

u3

+ Cu +

k00 k1 k2 k3

k1 k11 k4 k5

k2 k4 k22 0k3 k5 0 k33

u0

u1

u2

u3

= f


Lösungsverfahren sind z.B.numerisch, (Integrations) Verfahrenexakt, Matrizen-DifferentialgleichungenModalanalyse (auch exakt)




Modalanalyse

Ansatz - HauptachsentransformationWenn A ∈ Rn,n, symmetrisch :

A = ΦΦΦΛΛΛΦΦΦT =⇒ ΛΛΛ = ΦΦΦT AΦΦΦ [E1]

mit

ΦΦΦ ∈ Rn,n ist orthogonalΛΛΛ ∈ Rn,n ist Diagonalmatrix

ABER: M u + (C u) + K uBei Linearkombination muss auf das allgemeineEigenwertproblem zurückgegriffen werden, mitunterschiedlichen Eigenschaften [E1] für M,C,K !




Modalanalyse



mitΦΦΦ ∈ Rn,n ist orthogonalΛΛΛ ∈ Rn,n ist Diagonalmatrix





Modalanalyse








Modalanalyse








Modalanalyse



mitΦΦΦ ∈ Rn,n ist orthogonal ←− Eigenvektoren φφφi von AΛΛΛ ∈ Rn,n ist Diagonalmatrix

←− Eigenwerte λi von A





Modalanalyse



mitΦΦΦ ∈ Rn,n ist orthogonal ←− Eigenvektoren φφφi von AΛΛΛ ∈ Rn,n ist Diagonalmatrix ←− Eigenwerte λi von A





Modalanalyse



mitΦΦΦ ∈ Rn,n ist orthogonal ←− Eigenvektoren φφφi von AΛΛΛ ∈ Rn,n ist Diagonalmatrix ←− Eigenwerte λi von A





Modalanalyse

Modalanalyse IEinführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq

M u + C u + K u = f

ΦΦΦT

M

ΦΦΦ q

+

ΦΦΦT

C

ΦΦΦ q

+

ΦΦΦT

K

ΦΦΦ q

=

ΦΦΦT

f

[E1]

I q + ? q + ΛΛΛ q

=

g

ΦΦΦT

(αM + βK)

ΦΦΦ

=:

ΦΦΦT

C

ΦΦΦ

(αI + βΛΛΛ) = ΦΦΦT CΦΦΦ




Modalanalyse


M u + C u + K u = f

ΦΦΦT

M

ΦΦΦ q

+

ΦΦΦT

C

ΦΦΦ q

+

ΦΦΦT

K

ΦΦΦ q

=

ΦΦΦT

f

[E1]


=

g

ΦΦΦT

(αM + βK)

ΦΦΦ

=:

ΦΦΦT

C

ΦΦΦ





Modalanalyse


M u + C u + K u = f

ΦΦΦT

MΦΦΦ q +

ΦΦΦT

CΦΦΦ q +

ΦΦΦT

KΦΦΦ q =

ΦΦΦT

f

[E1]


=

g

ΦΦΦT

(αM + βK)

ΦΦΦ

=:

ΦΦΦT

C

ΦΦΦ





Modalanalyse


M u + C u + K u = fΦΦΦT MΦΦΦ q + ΦΦΦT CΦΦΦ q + ΦΦΦT KΦΦΦ q = ΦΦΦT f

[E1]


=

g

ΦΦΦT

(αM + βK)

ΦΦΦ

=:

ΦΦΦT

C

ΦΦΦ





Modalanalyse


M u + C u + K u = fΦΦΦT MΦΦΦ q + ΦΦΦT CΦΦΦ q + ΦΦΦT KΦΦΦ q = ΦΦΦT f [E1]

I q +

? q + ΛΛΛ q

=

g

ΦΦΦT

(αM + βK)

ΦΦΦ

=:

ΦΦΦT

C

ΦΦΦ





Modalanalyse



I q +

? q +

ΛΛΛ q =

g

ΦΦΦT

(αM + βK)

ΦΦΦ

=:

ΦΦΦT

C

ΦΦΦ





Modalanalyse



I q +

? q +

ΛΛΛ q = g

ΦΦΦT

(αM + βK)

ΦΦΦ

=:

ΦΦΦT

C

ΦΦΦ





Modalanalyse



[E1]

I q + ? q + ΛΛΛ q = g

ΦΦΦT

(αM + βK)

ΦΦΦ

=:

ΦΦΦT

C

ΦΦΦ





Modalanalyse



[E1]

I q + ? q + ΛΛΛ q = g

ΦΦΦT

(αM + βK)

ΦΦΦ

=:

ΦΦΦT

C

ΦΦΦ





Modalanalyse



[E1]

I q + ? q + ΛΛΛ q = g

ΦΦΦT (αM + βK)ΦΦΦ =: ΦΦΦT CΦΦΦ





Modalanalyse



[E1]

I q + ? q + ΛΛΛ q = g






Modalanalyse



[E1]

I q + (αI + βΛΛΛ) q + ΛΛΛ q = g






Modalanalyse

Modalanalyse I

Einführung neuer Koordinaten qi im Hauptachsensystem, mitu = ΦΦΦq

I q + (αI + βΛΛΛ) q + ΛΛΛ q = g1 0 0

0. . .

...0 . . . 1

q +

α + βλ0 0 0

0. . .

...0 . . . α+ βλn−1

q +

λ0 0 0

0. . .

...0 . . . λn−1

q = g

n Gleichungen: qi + (α + βλi )qi + λqi = gi

n Lösungen: qi (t) = ai · ebi [ri cos(ωt) + si sin(ωt)] + fi (t)




Modalanalyse

Modalanalyse I


I q + (αI + βΛΛΛ) q + ΛΛΛ q = g1 0 0

0. . .

...0 . . . 1

q +

α + βλ0 0 0

0. . .

...0 . . . α+ βλn−1

q +

λ0 0 0

0. . .

...0 . . . λn−1

q = g






Modalanalyse

Modalanalyse I


I q + (αI + βΛΛΛ) q + ΛΛΛ q = g1 0 0

0. . .

...0 . . . 1

q +

α + βλ0 0 0

0. . .

...0 . . . α+ βλn−1

q +

λ0 0 0

0. . .

...0 . . . λn−1

q = g






Modalanalyse

Modalanalyse I


I q + (αI + βΛΛΛ) q + ΛΛΛ q = g1 0 0

0. . .

...0 . . . 1

q +

α + βλ0 0 0

0. . .

...0 . . . α+ βλn−1

q +

λ0 0 0

0. . .

...0 . . . λn−1

q = g






Modalanalyse

Modalanalyse II - Näherungslösung

Mit zunehmender Größe, nimmt der Einfluss einesEigenwertes λi auf das Modell abλ0 < λk < λn−1 :

ΦΦΦ =

... . . .

...φφφ0 . . . φφφn−1... . . .

...

→ ΦΦΦ :=

... . . .

...φφφ0 . . . φφφk... . . .

...

Mit u ≈ ΦΦΦq : ΦΦΦT

MΦΦΦ q + ΦΦΦT

CΦΦΦ q + ΦΦΦT

KΦΦΦ q = ΦΦΦT

fk Gleichungen: qi + (α + βλi )qi + λqi = gik Lösungen: qi (t) = ai · ebi [ri cos(ωt) + si sin(ωt)] + fi (t)




Modalanalyse



ΦΦΦ =

... . . .

...φφφ0 . . . φφφn−1... . . .

...

→ ΦΦΦ :=

... . . .

...φφφ0 . . . φφφk... . . .

...

Mit u ≈ ΦΦΦq : ΦΦΦT

MΦΦΦ q + ΦΦΦT

CΦΦΦ q + ΦΦΦT

KΦΦΦ q = ΦΦΦT

fk Gleichungen: qi + (α + βλi )qi + λqi = gik Lösungen: qi (t) = ai · ebi [ri cos(ωt) + si sin(ωt)] + fi (t)




Modalanalyse



ΦΦΦ =

... . . .

...φφφ0 . . . φφφn−1... . . .

...

→ ΦΦΦ :=

... . . .

...φφφ0 . . . φφφk... . . .

...

Mit u ≈ ΦΦΦq : ΦΦΦ

TMΦΦΦ q + ΦΦΦ

TCΦΦΦ q + ΦΦΦ

TKΦΦΦ q = ΦΦΦ

Tf

k Gleichungen: qi + (α + βλi )qi + λqi = gik Lösungen: qi (t) = ai · ebi [ri cos(ωt) + si sin(ωt)] + fi (t)




Modalanalyse



ΦΦΦ =

... . . .

...φφφ0 . . . φφφn−1... . . .

...

→ ΦΦΦ :=

... . . .

...φφφ0 . . . φφφk... . . .

...


TMΦΦΦ q + ΦΦΦ

TCΦΦΦ q + ΦΦΦ

TKΦΦΦ q = ΦΦΦ

Tf





Modalanalyse



ΦΦΦ =

... . . .

...φφφ0 . . . φφφn−1... . . .

...

→ ΦΦΦ :=

... . . .

...φφφ0 . . . φφφk... . . .

...


TMΦΦΦ q + ΦΦΦ

TCΦΦΦ q + ΦΦΦ

TKΦΦΦ q = ΦΦΦ

Tf





Modalanalyse



ΦΦΦ =

... . . .

...φφφ0 . . . φφφn−1... . . .

...

→ ΦΦΦ :=

... . . .

...φφφ0 . . . φφφk... . . .

...


TMΦΦΦ q + ΦΦΦ

TCΦΦΦ q + ΦΦΦ

TKΦΦΦ q = ΦΦΦ

Tf





Gliederung

1 Motivation

2 Theorie

3 Implementation

4 Zusammenfassung




Programmvorführung

Programmvorführung




Gliederung

1 Motivation

2 Theorie

3 Implementation

4 Zusammenfassung




ZusammenfassungAnwendung

Bei der Modalanalyse wird eine komplex gekoppelte Schwingung in einfacheSchwingungen (Eigenformen) zerlegt. Umgekehrt genügt die Kombinationweniger, ausgesuchter Eigenformen um den Verlauf der komplex gekoppeltenSchwingung zu approximieren.

Das Prinzip der Modalanalyse kann auf alle Gleichungen der FormMu + Cu + Ku = f angewendet werden.

ABER: Nicht anwendbar bei z.B. ...nicht-linearen Koeffizientenmatrizen M(t), C(t), K(t)

(also nicht-linearem Materialverhalten)

sich verändernder Modell-Konfiguration

großen Verschiebungen⇔ nicht-lineares Problem !




ZusammenfassungAnwendung

Bei der Modalanalyse wird eine komplex gekoppelte Schwingung in einfacheSchwingungen (Eigenformen) zerlegt. Umgekehrt genügt die Kombinationweniger, ausgesuchter Eigenformen um den Verlauf der komplex gekoppeltenSchwingung zu approximieren.

Das Prinzip der Modalanalyse kann auf alle Gleichungen der FormMu + Cu + Ku = f angewendet werden.

ABER: Nicht anwendbar bei z.B. ...nicht-linearen Koeffizientenmatrizen M(t), C(t), K(t)

(also nicht-linearem Materialverhalten)

sich verändernder Modell-Konfiguration

großen Verschiebungen⇔ nicht-lineares Problem !




Danke !



Anhang

Weiterführende Literatur

Weiterführende Literatur I

PENTLAND, A. ; WILLIAMS, J.:Good vibrations: modal dynamics for graphics andanimation.In: SIGGRAPH Comput. Graph.23 (1989), Nr. 3, S. 207–214. –ISSN 0097–8930

JAMES, Doug L. ; PAI, Dinesh K.DyRT: Dynamic Response Textures for Real TimeDeformation Simulation with Graphics Hardware.ACM SIGGRAPH ’02 conference proceedings.



Anhang


Weiterführende Literatur II

O’BRIEN, James F. ; SHEN, Chen ; GATCHALIAN,Christine M.:Synthesizing sounds from rigid-body simulations.In: SCA ’02: Proceedings of the 2002 ACMSIGGRAPH/Eurographics symposium on Computeranimation.New York, NY, USA : ACM, 2002. –ISBN 1–58113–573–4, S. 175–181



Anhang


Weiterführende Literatur III

HAUSER, KRIS,SHEN,O’BRIEN:Interactive deformation using modal analysis withconstraints/ EECS, CS Division, University of California, Berkeley.2003.– Forschungsbericht

YINGHUI, Che ; JING, Wang ; XIAOHUI, Liang:Real-time deformation using modal analysis on graphicshardware.In: GRAPHITE ’06: Proceedings of the 4th internationalconference on Computer graphics and interactivetechniques in Australasia and Southeast Asia.



Anhang


Weiterführende Literatur IV

New York, NY, USA : ACM, 2006. –ISBN 1–59593–564–9, S. 173–176

BARBIC, Jernej ; JAMES, Doug L. :Real-Time Subspace Integration for St.Venant-KirchhoffDeformable ModelsACM SIGGRAPH ’05 conference proceedings.

DE SILVA, Clarence W.:Vibration : fundamentals and practiceCRC Press, 2000ISBN 0-8493-1808-4 (alk. paper)



Anhang

Backup Slides

Backup I - Simulation

1 Festköper Simulation durchführen2 Kollisionen erkennen und auflösen3 Kollisionantwort auf das Mesh interpolieren4 Impulsvektoren an den Vertices ermitteln: p = f∆t5 1 Kraft-/Impulsbektor transformieren: g = ΦΦΦ

Tp

2 Verschiebungen der k Einzelschwinger berechnen:q+

i = qi (t + ∆t ,pi )

3 Rücktransformation der Verschiebungen: u+ = ΦΦΦq+

6 Update der Mesh-Vertices: x+ = x0 + u+



Anhang

Backup Slides

Backup II - Anfangswerte

x0 = ΦΦΦq0

ΦΦΦ−1

x0 = q0

besser:

x0 = ΦΦΦq0, ΦΦΦT

MΦΦΦ = I

x0 = ΦΦΦq0

ΦΦΦT

Mx0 = ΦΦΦT

MΦΦΦq0

ΦΦΦT

Mx0 = Iq0



Anhang

Backup Slides

Backup III - Schwinger revisited

q(t + ∆t) = aeb[r cos(ω(t + ∆t)) + s sin(ω(t + ∆t))]

oder:

q(t + ∆t) = es1ω(t+∆t) + es2ω(t+∆t)

q(t + ∆t) = es1ωt · es1ω∆t + es2ωt · es2ω∆t

q(t + ∆t) = es1ωt · A(∆t) + es2ωt · A(∆t)



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