Freiformarchitektur und MathematikHelmut Pottmann und Johannes Wallner

Einer der herausragenden Trends in der modernen Ar-chitektur ist das Streben nach der Realisierung von freienFormen, die den Anschein erwecken, als seien nicht nurdie traditionellen Einschränkungen der Baubarkeit, son-dern auch die der Gravitation nicht länger gültig. In derTat stoßen solche Projekte nicht selten an die Grenzenwenn schon nicht des physisch Möglichen, so doch desmit vertretbarem Zeitaufwand und finanziellem EinsatzMachbaren. Es ist nicht verwunderlich, dass eine erfolg-reiche Kommunikation von Entwurf, Detailplanung undRealisierung sowie Finanzierung von allen drei Partnern –Architekten, Ingenieuren und Bauherr – Bereitschaft zumgegenseitigen Verstehen verlangt. Störfaktoren in diesemdelikaten Verhältnis können eine Finanzkrise genauso seinwie mangelnde Flexibilität bei kleinen Änderungen. DerMathematik und besonders der Geometrie und Optimie-rung kommt in diesem Prozess immer öfter die Rolle ei-ner Problemlöserin zu.

Zur großen Überraschung der Beteiligten hat sich her-ausgestellt, dass dieses Gebiet nicht nur ein gänzlich neu-es Anwendungsfeld der Mathematik eröffnet, sonderndass Fragestellungen, die ihren Ursprung in geometri-schen Details von Freiformarchitektur haben, auch um-gekehrt befruchtend auf die mathematische Forschungwirken. Teilweise ergeben sich Zusammenhänge mit sehraktuellen Gebieten. Wir möchten auf die folgenden The-men eingehen:

– Die Realisierung von Freiformflächen als Stahl-Glas-Konstruktionen mit ,torsionsfreier‘ Tragstruktur hateinen direkten Bezug zur diskrete Differentialgeome-trie und den Krümmungen von Flächen, genauso wiezu den Geometrien von Möbius, Laguerre und Lie.

– Das Bauen von glatten Freiformflächen und die dazunotwendige Zerlegung in möglichst einfache und repe-titive Elemente führt auf komplexe gemischt kontinu-ierlich-diskrete Optimierungsprobleme.

– Tragstrukturen aus gekrümmten Trägern stehen imZusammenhang mit Mustern aus geodätischen Linienund Blaschkes Geometrie der Gewebe.

– Kreis- und Kugelpackungen auf Flächen zeigen eineAnalogie zu Uniformisierung und der konformen Geo-metrie der Flächen analog zur bekannten Approximati-on von konformen Abbildungen durch Kreispackungenin der Ebene.

Trotz des jungen Datums dieser Entwicklungen gibt esbereits einzelne realisierte Projekte, in denen die obigenAspekte eine Rolle spielen.

1 Mehrschichtenkonstruktionen –Krümmungen diskreter Flächen

Es ist einfach, eine beliebige Form durch ein Dreiecks-netz zu ersetzen und als Stahl-Glas-Konstruktion zu rea-lisieren. Dasselbe mit einem Vierecksnetz mit ebenen Fa-cetten zu tun ist schwieriger. Dass man es überhauptversucht, ist neben der Ästhetik und dem geringerenGewicht einer solchen Konstruktion darin begegründet,dass es für Dreiecksnetze im Wesentlichen unmöglichist, eine sogenannte torsionsfreie Tragstruktur zu errei-chen: Das sind Träger, die in einem Knoten so zusam-menstoßen, dass ihre Symmetrieebenen einander in ei-ner gemeinsamen Knotenachse schneiden. Das folgendeBild zeigt einen Knoten, bei dem das Gegenteil der Fall istund dessen Fertigung entsprechend umständlich ausfällt.

Abbildung 1. Knoten „mit Torsion“ für eine Stahlkonstruktion

In der Wüste ist Schutz vor Regen nicht so wichtig, undman kann darauf verzichten, die Facetten eines Vierecks-netzes mit Glas ganz auszufüllen: Die Abbildungen 2 und3 zeigen ein Beispiel, bei dem ein Vierecksnetz nur aufTorsionsfreiheit der Tragstruktur und Schönheit (mit Hil-fe eines Regularisierungsterms in der Zielfunktion derOptimierung, der die 2. Differenzen der Knoten enthält)hin optimiert wurde. In den gemäßigten Breiten hat manjedoch gerne die ebenen Facetten. Bereits R. Sauer [8]hat darauf hingewiesen, dass solche Netze diskrete Ana-loga von glatten Flächen f (u, v) darstellen, bei denendet(∂uf , ∂v f , ∂uv f ) = 0 gilt (konjugierte Parametrisie-rung einer Fläche). In jüngerer Zeit wurde dieses Themaz. B. in [15] aufgegriffen. Die numerische Optimierungeines Netzes auf Planarität der Facetten wird in [10] dis-kutiert, dort werden auch Designmethoden mittels Un-terteilungsalgorithmen vorgeschlagen. Wegen der Nicht-

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Abbildung 2. Das Yas Island Hotel in Abu Dhabi, eröffnet 2009,durch welches die Formel 1-Rennstrecke führt (Asymptote Architec-ture; Computermodell).

Abbildung 3. Details zu Abbildung 2.Links: Testaufbau am Werksgelände von Waagner-Biro Stahlbau,Wien. Rechts: Montage. Deutlich ist zu erkennen, dass die Facet-ten nicht eben sind und dass die Tragstruktur fast torsionsfrei ist.

linearität und Nichtkonvexität dieses Optimierungspro-blems sind das Wissen um eine geeignete Initialisierungder Optimierung und der Zusammenhang zur Differenti-algeometrie wichtig.

Eine Krümmungstheorie für polyhedrale Flächen

Wie durch Abbildung 4 motiviert, betrachten wir Net-ze M , M ′(d) mit Knoten mi und m′

i = mi + d · si , die

Abbildung 4. Ein Netz M mit ebenen Facetten und torsionsfreierTragstruktur kann als ein Paar von eng beieinander liegenden, kan-tenweise parallelen Netzen M , M′ im Abstand d interpretiert wer-den, die diese Tragstruktur aufspannen: Sind mi und m′

i einanderentsprechende Knoten, so bilden si = (m′

i − mi )/d ein Netz aus„normierten“ Normalvektoren von M (rechts). Hier ist der Abstandd zwischen entsprechenden Kanten von M und M′ konstant, alsoist das Netz S = (M′−M)/d kantenweise tangential der Einheits-kugel umschrieben [12].

kombinatorisch äquivalent sind, ebene Facetten besitzen,und bei denen entsprechende Kanten zueinander parallelsind. Es ist oft sinnvoll, si als Normalvektor der diskretenFläche M im Punkt mi zu betrachten. Die Oberfläche vonM ′ als Funktion von d lautet

A`M ′(d)

´=

Xentsprechende

Facetten f , f ∗ in M und S

`A(f ) + 2dA(f , f ∗) + d2A(f ∗)´,

(1)

wobei A(f , f ∗) = 12 (A(f +f ∗)−A(f )−A(f ∗)) den ori-

entierten gemischten Flächeninhalt der kantenweise par-allelen Facetten f , f ∗ bedeutet. Für glatte Flächen M wirddie Oberfläche von Parallelflächen M ′(d) im Abstand ddurch die Steiner-Formel

A(M ′(d)) =Z

M(1 − 2dH + d2K ) dσM (2)

ausgedrückt, wobei H und K mittlere und GaußscheKrümmung von M darstellen. Die Analogie zwischen (1)und (2) führt zur Definition einer mittleren KrümmungHf und einer Gaußschen Krümmung Kf für jede Facettef des Netzes M :

Hf = − 1A(f )A(f , f ∗), Kf = 1

A(f )A(f ∗) .

Die aus der glatten Theorie bekannte Relation H2 ≥ Kist nun äquivalent zur Minkowski-Ungleichung A(f , f ∗)2

≤ A(f )A(f ∗). Es liegt nahe, die entsprechenden Mini-mal- und cmc-Flächen, etc. zu untersuchen. Wir verwei-sen hier auf [2, 4, 6]. Unerwarteterweise stellten sich diediskreten s-isothermen Minimalflächen von [1] als Spezi-alfall heraus.

Von großem geometrischen Interesse sind solche NetzeM , für die ein Parallelnetz M ′ in konstantem Abstand dexistiert, wobei dieser Abstand zwischen Knoten, Kan-ten oder Facetten gemessen werden kann. Es stellt sichheraus, dass die Fälle (i) und (iii), die man elementargeo-metrisch durch die Existenz von Umkreisen von Facet-ten bzw. durch berührende Kegel in den Knoten cha-rakterisieren kann, zur Lieschen Kugelgeometrie gehö-ren [10, 3], während Fall (ii) Laguerre-invariant ist undmit den Koebe-Polyedern zusammenhängt [12, 1, 4].

Semidiskrete Flächen

Ein Streifen aus ebenen Vierecken geht bei einem ge-eigneten Grenzübergang, währenddessen diese Viereckeeben bleiben, aber immer schmäler werden, in eine abwi-ckelbare Fläche über (siehe Abbildung 5). Die Rationalisie-rung von Freiformarchitektur als eine Folge von solchenabwickelbaren, einfach gekrümmten Streifen ist in den Ent-würfen von Frank Gehry prominent vertreten, in denendiese Flächen durch das Biegen von Metallblechen herge-stellt werden. Es stellt sich hier wiederum ein Approxi-mationsproblem: Wie gut kann man eine allgemeine Flä-che durch solche Streifenmodelle annähern und konkre-ter: Welche Informationen aus der klassischen Differen-tialgeometrie geben Hinweise auf eine solche Zerlegung?

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Abbildung 5. Einfach gekrümmte (= abwickelbare) Fläche als Limesvon Streifen aus ebenen Vierecken. Ihre numerische Glattheit ist C2 ,was man den C1-Reflexionen entnimmt [10].

Abbildung 6. Ein Stück Filz wird durch eine stückweise abwickelbareFläche, ein semidiskretes konjugiertes Netz approximiert (Grenz-fall der Approximation durch ein Vierecksnetz mit ebenen Facetten,[13]).

Abbildung 7. Ein Design aus einer Folge von einfach gekrümmten,abwickelbaren Flächen, das attraktive statische Eigenschaften auf-weist (RFR und Evolute).

Die Antwort ist im Wesentlichen dieselbe wie bei derZerlegung in ebene viereckige Facetten, was aufgrund desGrenzübergangs, der in Abbildung 5 illustriert ist, nichtüberrascht [13]. Ein Beispiel kann man in Abbildung 6 se-hen.

Der architektonische Entwurfsprozess läuft nicht immerso ab, dass eine Form zuerst entworfen und anschlie-ßend „rationalisiert“ wird: Der große Einfluss der spe-zifischen Zerlegung in baubare Einzelteile auf das Er-scheinungsbild des fertigen Baus bewirkt, dass diese Zer-legung oft ein wesentlicher Bestandteil des Entwurfesbleibt. Die nichttrivialen geometrischen Nebenbedingun-gen bei der Formfindung kann man mit Verfahren, bei de-nen Geometrie-Optimierung und Netzverfeinerung ein-ander abwechseln, berücksichtigen [13]. Für einen ernstgemeinten Entwurf aus einfach gekrümmten Streifen sie-he Abbildung 7.

2 Kreismuster – Konforme Abbildungen

Gekrümmte Flächen müssen zum Zwecke der architek-tonischen Realisierung nicht unbedingt streng geome-trisch in ein Netz mit ebenen Facetten und ins Augespringenden Kanten aufgelöst sein. Genauso oft wird einalter Trick angewandt und das Auge von der Rationalisie-rung abgelenkt: Das Kreismuster am Kaufhaus Selfridgesin Birmingham (Abbildung 8 rechts) ist rein ornamental.Das Überdecken von Flächen mit Kreisen und Kugelnmuss jedoch nicht bloße Verzierung sein, sondern hat di-rekte Bezüge sowohl zur funktionellen Rationalisierungals auch zur konformen Geometrie der Flächen [14]. Eshat sich herausgestellt, dass die folgende Eigenschaft vonDreiecksnetzen sehr interessant ist: Für jede Kante sol-len die Inkreise der benachbarten dreieckigen Facetteneinander berühren. Man überlegt sich leicht, dass diesgenau dann der Fall ist, wenn in jedem Viereck aus zweibenachbarten Dreiecken die Seitenlängen die Gleichung

Abbildung 8. Links: Wabenstruktur mit hexagonaler Kombinatorikund damit verbundene approximative Kreispackung [14]. Rechts:Selfridges, Birmingham

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l1l2

l3l4

l1 + l3 = l2 + l4

erfüllen. Von einem solchen Dreiecksnetz mit der Inkreis-Packungseigenschaft (CP-Netz) lassen sich weitere Struk-turen ableiten: Abbildung 9 zeigt eine Kugelpackung – dieKugeln schneiden die Inkreise der Facetten orthogogonalund haben ihre Mittelpunkte in den Netzknoten – eineapproximative Kreispackung, und eine Tragstruktur, dieauf einem abgeleiteten Netz mit drei- und sechseckigenFacetten beruht und günstige statische Eigenschaften auf-weist.

Konforme Abbildungen von Flächen

Kreispackungen im Sinne von [7] werden seit längererZeit erfolgreich als diskrete Versionen von konformenAbbildungen in der Ebene eingesetzt: Zwei kombinato-risch äquivalente Kreispackungen, die die Gebiete D,D′ überdecken, repräsentieren eine diskrete konforme

Abbildung 9. Von einem CP-Dreiecksnetz abgeleitete Strukturen.Oben: Packung mit Kugeln, welche die Inkreise der Facetten ortho-gonal schneiden. Unten links: Approximative Kreispackung (blau).Unten rechts: Hybrides Dreiecks- und Sechsecksnetz mit ebenenFacetten und Tragstruktur.

Abbildung 10. Oben: Ein irreguläres Dreiecksnetz überdeckt denBlob von M. Fuksas, der in Eindhoven in Form eines viel regulä-reren Dreiecksnetzes realisiert wurde. Gezeigt sind die Inkreise derFacetten. Unten: Diskrete Uniformisierung durch ein kombinatorischäquivalentes Netz mit der Inkreis-Packungseigenschaft.

Abbildung von D auf D′. Immer feinere Kreispackungenapproximieren glatte konforme Abbildungen. Zum Bei-spiel haben He und Schramm eine Erweiterung des klas-sischen Koebeschen Normalformenproblems mit Hilfevon Kreispackungen gezeigt [5]: Im Wesentlichen ist einGebiet konform äquivalent zu einem kreisrunden Nor-malgebiet mit kreisförmigen Löchern, deren Position bisauf Möbiustransformationen eindeutig ist. Der Satz giltauch für Riemannsche Flächen; Spezialfälle sind die kon-forme Äquivalenz aller einfach zusammenhängenden Ge-biete mit Rand und aller Flächen, die homöomorph zurSphäre sind. Hingegen sind je zwei Tori oder je zweiGebiete mit Loch im allgemeinen nicht konform äquiva-lent.

Durch Experimente gewinnt man Einsicht in das Ver-halten von CP-Dreiecksnetzen: Netze homöomorph zurKreisscheibe oder zur Kugel lassen sich so optimieren,dass sie nach wie vor die ursprüngliche Fläche approxi-mieren, jedoch die CP-Eigenschaft besitzen (siehe Abbil-dung 10). Hingegen lassen sich Netze homöomorph zumKreisring im Allgemeinen nicht auf die Packungseigen-schaft optimieren, dies gelingt z. B. erst nach dem Freige-ben einer der beiden Randkurven (siehe Abbildung 11).

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Abbildung 11. Oben: Great Court Roof, British Museum, London.Dreiecksnetz von Chris Williams. Unten: Kombinatorisch äquivalen-tes Netz mit der Inkreis-Packungseigenschaft, welches dieselbe Flä-che approxmiert und deren äußere Randkurve unverändert ist; derinnere Rand ist freigegeben.

Motiviert durch [7] deuten wir dieses Verhalten wie folgt:Die natürliche Abbildung von einem CP-Netz auf einkombinatorisch äquivalentes CP-Netz ist eine diskretekonforme Abbildung. Die konforme Klasse eines Netzesist durch seine Kombinatorik gegeben. Wird eine FlächeΦ durch ein Dreiecksnetz Δ (nicht CP) approximiert, sostimmt die durch die Kombinatorik von Δ gegebene kon-forme Klasse nicht notwendigerweise mit der konformenKlasse von Φ überein, und folglich kann Φ nicht durchein CP-Netz Δ′ kombinatorisch äquivalent zu Φ approxi-miert werden (d. h. die Optimierung von Δ auf die CP-Ei-genschaft wird fehlschlagen). Ausnahme sind Flächen ho-möomorph zur Kreisscheibe oder zur Sphäre, wo es nureine einzige konforme Klasse gibt. Diese Heuristik beruhtauf der folgenden

Vermutung: Die natürlichen Abbildungen zwischen kom-binatorisch äquivalenten Dreiecksnetzen mit der Inkreis-Pa-ckungseigenschaft approximieren konforme Abbildungen zwi-schen Flächen.

Ein Beweis ist vermutlich nicht leicht.

3 Effiziente Panelisierung –Diskret-KontinuierlicheOptimierungsprobleme

Die bauliche Ausführung von Freiformflächen beruht inder Regel auf einer Einteilung in Paneele. Bereits die Zer-legung einer freien Form in Paneele, deren Abmessun-gen und Anordnung den praktischen Anforderungen ge-nügen, ist eine interessante geometrische Aufgabe mitBezügen zu den intensiv studierten Parametrisierungs-methoden der geometrischen Datenverarbeitung. Hierspielt die Ästhetik eine wichtige Rolle, vor allem, wenndie Paneelgrenzen in der Endausführung klar erkennbarsind.

Nach erfolgreicher Zerlegung einer Freiformfassade sindmeist keine zwei Paneele identisch, und im schlimmstenFall hätte man zur Herstellung jedes einzelnen ein eigenesFormwerkzeug zu fertigen, was typischerweise mehr kos-tet als die Paneelfertigung selbst. Um diese Kosten in denGriff zu bekommen, setzen wir ein geometrisches Opti-mierungsverfahren ein [9]: Bei bekannten Materialien undFertigungsverfahren optimiert man nach folgenden Kri-terien: (i) Es sollen möglichst einfache, billig herstellba-re Paneeltypen (ebene Paneele, Zylinder etc.) verwendetwerden und (ii) dort, wo eigene Formwerkzeuge zu fer-tigen sind, ist auf ihre mehrfache Verwendung zu achten.Damit ist nicht gemeint, dass Paneele exakt kongruentausfallen, sondern dass sie hinreichend große Ausschnit-te desselben Flächenstücks (Formwerkzeugs) sind. DieOptimierung muss außerdem die Oberflächenqualität be-rücksichtigen: Paneele sollen möglichst lückenlos und mitgeringen Knickwinkeln aneinanderstoßen. Die Freiheits-grade in der Optimierung sind Abweichungen von derIdealform innerhalb von Toleranzzonen.

Abbildung 12. National Holding Headquarters, Abu Dhabi(Zaha Hadid Architects)

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(a) (b) (c)

orig. (a) (b) (c)

EbeneZylinder

Paraboloid

TorusKubikEinzelanf.

Lücke Winkel Kosten

(a) 6 mm 1˚ 54173(b) 6 mm 3˚ 27418(c) 6 mm 9˚ 18672

Abbildung 13. Optimale Zerlegung in Paneele. Das Freiformdesignaus Abbildung 12 wird entlang eines vorgegebenen Kurvennetzes inPaneele zerlegt, welche verschiedenen Typen angehören (eben, zylin-drisch etc.). Je nach geforderter Güte ergeben sich unterschiedlicheGesamtkosten. Durch Spiegelungen wird die erzielte Oberflächengü-te visuell verifiziert.

Das Optimierungsverfahren beinhaltet einen diskretenTeil, in dem ähnlich zu set cover Anzahl und Typ der Form-werkzeuge sowie ihre Zuordnung zu Paneelen festgelegtwerden, und einen kontinuierlichen Teil, der die Formpa-rameter und Position im Raum aller beteiligten Flächenbestimmt. Auch das Kurvennetz wird in geringem Umfangmit-optimiert. Abbildung 13 zeigt ein Beispiel, an dem dieReduktion der Kosten je nach erzielter Qualität deutlichsichtbar wird.

Die hohe Komplexität dieses Optimierungsproblems istdurch die Anzahl der Paneele (mehrere tausend) unddie starke Verflechtung der lokalen Übergänge längs derPaneelgrenzen und der globalen Kopplung von Paneelenüber die Zuordnung zu Formwerkzeugen erklärbar. Di-verse Ideen zur Beschleunigung sind mathematischer Na-tur, wie etwa ein Verfahren zur schnellen Abschätzungder Abweichung zweier Paneele, die noch nicht in eineoptimale gegenseitige Lage gebracht wurden.

4 Gekrümmte Träger und funktionelleMuster – Geometrie der Gewebe

Die in der Differentialgeometrie prominenten geodäti-schen Linien werden im Kontext der Architektur nichtvernachlässigt: Sie treten bei Panelisierungsaufgaben oderbei der Frage nach gekrümmten Trägern auf, die aus gera-den Holzteilen durch Biegen um die schwache Achse des

Querschnitts entstehen (Abbildung 14). Wir verweisendie interessierten Leser auf [11], wo Muster aus k Fami-lien von geodätischen Linien (k = 1, 2, 3, 4) aus der Sichtder geometrischen Datenverarbeitung mit Anwendungs-schwerpunkt Freiformarchitektur diskutiert werden undbegnügen uns hier mit einigen Stichworten.

Der Abstand von infinitesimal benachbarten geodäti-schen Linien auf einer Fläche ist proportional zu einerLösung der Jacobi-Differentialgleichung

w ′′ + Kw = 0, (3)

wobei K (s) die Gauß-Krümmung entlang der betrach-teten, nach der Bogenlänge s parametrisierten geodäti-schen Linie ist. Wir folgern, dass „parallel verlaufende“Geodätische wie in Abbildung 14 oben gewünscht nurim Spezialfall K = 0 der abwickelbaren Flächen auftre-ten können. Gleichung (3) können wir als Anleitung zumBau von Flächen vorgegebener Gauß-Krümmung auffas-sen. Zum Beispiel ist bei konstantem Wert K < 0 ei-ne Lösung von (3) durch w(s) = a · cosh(s

√−K ) ge-geben. Durch Zusammenkleben von Streifen mit dieserBreitenfunktion erzeugen wir ein Modell der hyperboli-schen Ebene (Abbildung 15 oben). Solche Flächen sindfür Muster aus geodätischen Linien interessant, weil aufihnen eine 9-parametrige Schar von geodätischen Sechs-eckgeweben existiert (siehe Abbildung 15, Mitte).

Abbildung 14. Geodätische Muster. Oben: Papierstreifen entlang ei-ner Fläche [16] sind tangentiale Torsen mit geradliniger Abwicklung.Unten: Das Biegen von Holzlatten entlang von Flächen (IBOIS, EPFLLausanne) erzeugt Kurven verschwindender geodätischer Krüm-mung. Beide Eigenschaften charakterisieren geodätische Linien [11].

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Abbildung 15. Verkleben von „geodätischen“ Streifen der Breite a cosh(s) erzeugt ein Modell einer Fläche Φ konstanter Gauß-Krümmung(oben). Ein Sechseckgewebe aus geodätischen Linien auf Φ (unten links) ist Basis eines durch Biegen von Holzlatten herstellbaren Ornaments(unten rechts).

Ein numerischer Zugang zu diesen Mustern aus drei Scha-ren {Ci,s}s∈R, i = 1, 2, 3 von geodätischen Linien istdurch ihre Darstellung als level set möglich:

Ci,s = {x | φi(x) = s}, mit

div“ ∇φi‖∇φi‖

”= 0, φ1 + φ2 + φ3 = 0.

Diese Bedingungen werden in ein Optimierungsproblemumformuliert [11].

Ein Zugang zum Panelisierungsproblem aus Abbildung 14oben führt über Vektorfelder V , deren Integralkurven

geodätisch sind. Man kann diese Bedingung 2. Ordnungin eine Bedingung 1. Ordnung überführen und so leichternumerisch behandelbar machen: Bei ‖V ‖ = const. gilt

∇V (V ) = 0 ⇐⇒ Symmetrie von X → ∇X (V ).

Mit Methoden, die der Bildverarbeitung entlehnt sind,erzeugt man stückweise geodätische Vektorfelder (Abbil-dung 16). Die erwähnten Levelset-Methode findet appro-ximative Integralkurven von V der Form φi = const. mitmöglichst konstantem Abstand voneinander (ein exaktkonstanter Abstand wäre eine Folge der eikonalen Glei-chung ‖∇φi‖ = const.)

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Abbildung 16. Oben: Ein Vektorfeld V , das stückweise die Glei-chung ∇V (V ) = 0 erfüllt: Integralkurven sind stückweise geodä-tisch. Unten: Panelisierung in Streifen, die einen Kompromiss zwi-schen der geodätischen Eigenschaft und der Forderung nach kon-stanter Breite darstellen [11].

Zusammenfassung

Dieser Artikel berichtet über Fragestellungen im Zusam-menhang mit geometrischen Problemen der Freiformar-chitektur, die meist mit der Zerlegung von Flächen inbaubare Teile zu tun haben und bei deren Lösung typi-scherweise Differentialgeometrie und numerische Opti-mierung eine große Rolle spielen. Nicht alle aufgeworfe-nen mathematischen Probleme sind hier gelöst, und wei-tere werden in diesem jungen Gebiet sicherlich auftreten.

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Danksagung

Dieser Übersichtsartikel berichtet über Ergebnisse, die imRahmen des vom österreichischen Forschungsförderungsfonds(FWF) geförderten Nationalen Forschungsnetzwerkes Industri-al Geometry, Teilprojekte S92-06 und S92-09 erzielt wurden.Ein Teil dieser Arbeit wurde unterstützt vom 7. Rahmenpro-gramm der EU (grant agreement 230520, „ARC“) und vonder österr. Forschungsförderungsgesellschaft (grant agreement813391, „MLFS“). Wir bedanken uns bei den Koautoren der imLiteraturverzeichnis angeführten Publikationen für so mancheAbbildung und bei Waagner Biro Stahlbau (Wien), Zaha HadidArchitects (London), RFR (Paris) und Evolute GmbH (Wien) fürdie Möglichkeit des Arbeitens mit echten Daten.

Prof. Dr. Helmut Pottmann, Geometric Modeling and ScientificVisualization Research Center, 4700 King Abdullah University ofScience and Technology, Thuwal 23955-6900, Saudi Arabienhelmut.pottmann@kaust.edu.sa

Prof. Dr. Johannes Wallner, Institut für Geometrie, TU Graz,Kopernikusgasse 24, 8010 Graz, Österreichj.wallner@tugraz.at

Nach seinem Doktorat an der TU Wien (Be-treuer: Walter Wunderlich) führte seine akade-mische Laufbahn Helmut Pottmann von der TUWien über Darmstadt, Kaiserslautern, Purdueund Hamburg im Jahre 1992 als Professor fürGeometrie an die TU Wien zurück. Seit 2009ist er Direktor des Centers of Geometric Modeling and ScientificVisualization bei KAUST, Saudi-Arabien. Seine Interessen sind Geo-metrie und ihre Anwendung im weiten Sinne und in jüngster Zeitganz besonders die Verbindung von Geometrie und Freiformarchi-tektur.

Nach einem Doktoratsstudium an der TU Wien(Betreuer: Helmut Pottmann) arbeitete Johan-nes Wallner an der TU Wien, der TU Darm-stadt, und der TU Graz, wo er seit 2007 Pro-fessor für Geometrie ist. Seine Forschungsgebie-te sind geometrische Datenverarbeitung, diskre-te Differentialgeometrie sowie nichtlineare Approximationstheorieund nichtlineare Unterteilungsalgorithmen.

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