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Fünfecke und Siebenecke - Falten
regelmäßiger Figuren
Robert Geretschläger
BRG Kepler, Graz
Der Goldene Schnitt
a
1
1
1
a-1
1
a : 1 = 1 : (a-1)
a² - a = 1
a² - a – 1 = 0
a =
a : 1
5-eck
Winkel im regelmäßigen 5-eck
d d
1
1
108°
36°
36°
72° 72°
36°
5-eck
Das Goldene Dreieck
d : 1 = 1 : (d-1)
d = =
1
d
36°
36°72°
36°
72°1
1
d-1
5-eck
Platzierung des
Pentagons auf dem
Papier
d=1
a
1
1
5-eck
1D C
BA
Schritt 1
5-eck
Schritt 2
1
5-eck
Schritt 31
5-eck
Schritt 4
I
2
1
5-eck
Schritt 5
5 2
1
5-eck
Schritt 6
2
1
5
5-eck
Schritt 7
5-eck
Schritt 8
5-eck
weitere Herausforderungen für fortgeschrittene Pentagonisten:
+++ Kann ein regelmäßiges 5-eck mit Seitenlänge a größer als 1/ im Inneren eines Einheitsquadrats platziert werden?
+++ Bestimme eine Faltsequenz für ein größeres regelmäßiges Fünfeck.
+++ Bestimme den größtmöglichen Wert von a. Beweise, dass dieser Wert tatsächlich maximal ist.
5-eck
Gleichung 1. Grades
lineare Gleichung ax = b
Lösung: x = ab
a
b
Steigung der Faltkante ist ab
y
x
5
5
-5
-5
op :x²=2uy
O
y
x
oP (v,w)
Quadratische Gleichung x²+px+q = 0
x² - 2usx + 2uvs – 2uw = 0
u²s² - 2uvs + 2uw = 0
Parabel:x² = 2uy
Tangente:y = s(x - v) + w
0222 uw
uv ss
u = 2, v = -p, w = q
Parabel: x² = 4y
(Brennpunkt F(0/1), Leitlinie y = -1)
P0(-p,q)
Gleichung 2. Gradesten
1p :y²=2ax
2p :x²=2by
111P (x ,y )
t:y=cx+d
222P (x ,y )
x
y t: y = cx + d
p1: yy1 = ax + ax1
p2: xx2 = by + by2
3
b
ac
Gleichung 3. Gradesten
1
1
2
F
F
2l
t
1l
x
y
ab
3
Gleichung 3. Grades
111
2 2 2
P (x ,y )
P (x ,y )
1p :(y-n)²=2a(x-m)2
p :x²= 2by
1A (m ,n)
t: y=cx+d
y
x
t: y = cx + d
p1: (y-n)(y1–n) = a(x-m) + a(x1–m)
p2: xx2 = by + by2 02223 ba
bn
bm ccc
x³ + px² + qx + r = 0
p = -2m, q = 2n,
r = a, b = 1
222221 :;, rpqrp xlF
Gleichung 3. Grades
z7 − 1 = 0
abO
c
y
x
7
6
5
4
3
2
1
z
z
z
z
z
z
z =1
7-eck
7-eck
B
AA
7-eck
B
A
C D
7-eck
E
7-eck
M
7 2
1
7-eck
2
M
7-eck
5 4
7-eck
