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Funk ionaldeterminanten und Diskriminanten bei Polynomen in mehreren Unbestimm en.

Von Wollgang Krull in Bonn.

S i n d f i ( x l , . . . x , ) ( i ~ l ~ . . . n ) Polynome in x l . . . . x ~ tiber einem algebraisch abgesch!ossenen KSrper K, so gilt der D i s k r i m i - n a n t e n s a t z : Hat das Gleichungssystem ~ ( x ) - - 0 ( i ~ 1 , , . . n ) n u t endlich viele LSsungen, so befindet sich unter diesen Liisungen dann und nur dann eine mehrfach zu ziihlende~ wenn die D i s k r i m i - n a n t e D(f l , . . . f , , ) der Polynome f l(x), . . . f ,~(x) verschwindet. Dabei ist D ( f l , . . . f . ) ein (~uf mannigfache Weisen definierbares) eindeutig bestimmtes ganzzahliges Polynom in den Koeffizienten der j~(x)1). _ Allerdings gibt es Ausnahmefiille, in denen der Diskri- minantensatz versagt, n~mlich dann, wenn das Gleichungssystcm f~ (x) ~ 0 ( i ~ 1, . . . n) anschaulich ausgedrtickt ,,unendlich ferne ~ Li~Sungen besitzt. Diese Ausnahmefalle vermeidet man: wenn man die

�9 inhomogenen Polynome f~ (x~ . . . x,~)in der in der projekfivcn Geometrie tiblichen Weise durch homogcne Formen ?~(Xo, Xx, . . .x~) ersetzt. An der Diskriminante andert sich dabei nichts, D (f~, . . . f ~ ) ~ D (?~,.. .%). - - Im Folgenden wird in w 1 u n d w 2 ein einfacher Sa tz bewiesen, der bei einem beliebigen Polynomideal a ~ ( f l (xl, i. . x~) , . . . f~ (x~ , : . .x , , ) ) tiber einem beliebigen vollkommenen Kiirper K ein gewisses $quivalent ffir den Diskriminantensatz darstellt. Dabei treten an die Stelle der endlich vielen Nullstellen des G le i chungssys t ems / i (x )~ 0 ( i ~ 1 , . . .m) und ihrer Vielfaehheiten die endlich vielen minimalen Primoberideale yon a and ihre zugehi/rigen isolierten Primiirkomponenten2). Das End-

~) Ein ganzzahliges Polynom ist nattirlich ein Polynom, dessen Koeffizienten ganzzahlige Vielfache des Einheitselements sind. Ftir n ~ l wird D(f) die Diskri- minante des Polynoms f i m gewfhnlichen Sinne. Zur allgemeinen Theorie der Diskriminante ffir beliebiges n vgt. die Lehrbuehdarstellung bei J. Kfnig, ]6in- leitung in die allgemeine Theorie der algebraischen Gr6Ben, Leipzig bei Teubner 1903; S. 325--346. -- Vgl. ferner : L. Kronecker, Grundztige einer arithmetischen Theorie der algebraischen Gr6gen, J.f. Math. 92 (1882), S. 1--122, w 10. Bei K r o n e e k e r werden allerdings ffir beliebiges n nur einige Ilauptsatze fiber die Diskriminante ohne Beweis angegeben.

2) In der Bezeichnungsweise far idealthe6retische Begriffe schliel~e ich reich im Folgenden an meinen ,:Idealbericht" (Ergebnisse d. Math. u. ihrer Grenzgeb.

-~fonatsh. f. l~Ia~hematik und Physik. 48. Band. 23

354 W. K r u ] l ,

ergebnisist der F u n k t i o n a l d e t e r m i n a n t e n s a t z (kurz ;,F. D . - S a t z " ) : Ist p ein minimales Primoberideal yon a~( f l (x)~ . . , f~, (x)) yon de," Dimension r mit der zugehSrigen isolierten Primiirkomponente q , ,:0

ist dann und nur dann q@p~ wenn alle Funktionaldeterminanten

~(f~,,...J~_~) ( l ~ - x < . , . ~ ? - . . . . ~,m; l ~ ' q < . . . < , , . . . . _~___n)

in p enthalten sind. Der Beweis i s t sehr einfach, Man sieht miihetos: dag man nur

den Primi~ridealfall a ~ q zu behandeln braucht. Dieser letztere Fall wiedei-um liigt sich leicht dadurch erledigen, dag man mit wohlbekannten

Kunstgriffen ailes auf die Betraehtung eines nulldimensionalen Primfir- ideals fiber einem algebraisch abgesehlossenen Koeffizientenk~irper K zuriiekfiihrt, --- Dang der F. D.-Satz im allgemeinen Fall als ein ~quivalent

dee Diskriminantensatzes anznsehen ist,. zeigt sich auch darin, dag man umgekehrt auf Grund des F. D.-Satzes sehr leicht den Diskriminanten- satz beweisen kann. Dabei erhi~lt man, wie in w 3 dargetegt wird, fast zwangsliiufig die der homogenen Auffassung angepagte, abet im tibrigen

auf den ersten Bliek etwas kiinstlich erseheinende K r o n e c k e r s e h e

D a r s t e l l u n g der Diskriminante 3). In w 4 handelt es sich datum, zu zeigen, wie einfach die

wiehtigsten formalen Eigenschaften der Diskriminante D ( , % , . . . %)

(~,i=Ol(Xo,...x,~)) aus der K r o n e e k e r s e h e n Darstellung abgeleitet werden kSnnen, wenn man nur die tIauptsiitze iiber die Resu l t an te

R @ 1 , . . . ~ + 1 ) yon n + l Formen 5~(xo~. . .x , ) als bekannt voraus- setzt, ~) Dabei wird insbesondere die Bedeutung einer Grundformel herausgearbeitet , die der Produktformel der Resnltante entspricht, die abet trotz ihrer Wichtigkeit bisher anseheinend noeh nirgends in voller

Bd. 4, Heft 3 (1935)) an. a ,'-5 (5 ~ a) kennzeiehnet a Ms ,,Unterideal:' (Vielfaches) des ,,Oberideals" (Tellers) l~. Mit a[lb wird der Durchschnitt (das kleinste gemein- sehaftliehe Vielfache) yon a and ~ bezeichnet. -- Ist ~ein minimales Primoberideal yon a, also ein Primoberideal, das seinerseits kein a gleichfalls enthaltendes echtes Primunterideal besitzt, so ist die zu~ geh6rige isolierte Primi~rkomponente q yon gleich dem Prim/irideal aller der Polynome, die dutch Multiplikation mit geeigneten nicht zu IJ geh6rigen Faktoren in Elemente Yon a verwandelt werden k6nnen.

~) Die Methode des Textes hat vor allem den Vorteil, dag sie yon v0rnherein eine rationale Darstellung der Diskriminante liefert, wahrend bei K6 nig (und aueh bei Krone cker) die Diskriminante zunhchst irrational eingefahrt wird, als symmetrische Funktion in den Nullstellen eines zwar allgemeinen, abet ent- homogenisierten und damit einseitig normierten Gieiehungssystems.

~) Zur Theorie der Resultante vgl. z.B. : B. L. v ~ n d e r W a e r d e n, Moderne Algebra II (Grundlehren d. Math. Wiss. in Einzeldarstell., Bd. 33 (1931), w 72--79).

Funktionaldeterminanten und Diskriminanten etc. 355

Allgemeinheit formuliert wurde. - - Vor allem aber wird die zuerst yon K r o n e e k e r behauptete I r reduz ib i l i t~ t t der Diskriminante von n all, gemeinen F0rmen untersucht. Dcr yon J. K 5 ni g angegcben e Irreduzibili- t~ttsbeweis ist nieht stichhaltig~). Die Kiinigschen Sehliisse zeigen nur, dalil die Diskriminante die erste oder zweite Potenz tines irreduzibeln Polynoms ~ein mul~. Zieht man abet nun noch die al!gemeine Produkt- formel der Diskriminante heran, so ergibt sieh durch einen einfaehen Induktionssehlul~: D ('h . . . . . %) ist immer irreduzibel , wenn nur im Spe- zialfalt einer quadratisehen Form ~i und n-A- 1 lineal'er Formen ,~2, . . . ?~ Irreduzibili{iit vorliegt. Aus diesemErgebnis folgt sehlieNich d.nrch eine l eiehte Verifil~ation: Hat der den B e t r a c h t u n g e n z u g r u n d e ] i e g e n d e K S r p e r K eine yon 2 v e r s e h i e d e n e C h a r a k t e r i s t i k , so is t d ie D i s k r i m i n a n t e (yon n aligemeinen Formen) s t e t s i r r e d u z i b e l . - - Bei Charakteristik 2 dagegen iiberzeugt man sich miihelos, da~t jedenfalls die Diskriminante einer allgemeinen Bin~trform ( n ~ l ) stets d/ts Quadrat eines irreduzibeln Polynoms darstellt, lch nehme an, dag ffir n > 1 die Verhifltnisse genau so liegen~ ohne aber bis jetzt diese Vermutung aHgemein beweisen zu kiinnen.

w 1. Grundbegriffe. Der Hauptsatz. Es sei ~ K [ x l , . . . x~] der Polynomring in endlich vielen

Unbestimmten x ~ , . . . Xn fibe r einem vollkommenen KSrper K. Unter der Dimension d eines Primideals p aus ~ verstehen wir wie iiblich den Transzendenzgrad des Restklassenintegriti~tsbereichs ~/p iiber K, wiihrend die Zahl n - - d als der ,,Dimensionsdefekt" yon p bezeichnet werden soll. Dem beliebigen Polynomideal a wird die Dimension d zu- gesehrieben, wenn mindestens ein Prinioberideal' yon ct genau dig Dimension d e kein einziges aber eine Dimension d ' > d besitzt 6), Im

Primobendeals tibrigen beniitzen wir noeh die Begriffe des ,minimalen " " und der ,isolierten Primt~rkomponente~q-~)

Ist a irgend ein Ideal aus ~, so verstehen wit unter a(~)(s~--~l,2,.., n) das kleinste Oberideal yon a, das alle Funktionatdeterminanten

O(a~ . . . . . %) Oa i 0(x. . . .x@ ~ ( i ' k = l ' ' ' ' s ; l ~ v ~ < <,,~_~n; (a~ , . . . a , )~a)

enthitlt. 7)

5) Vgl. Anm. ~)! ~) Zur Dimensionstheorie der Polynomprimideale vgl. z. B. Moderne Algebra II,

w 89, 90. -- Der ,,Dimensionsdefekt" heil~t bei Lasker und Macaulay ,,Rang" ~) Die Ideale a (s) ~urden zuerst yon W. Sehmei dler eingefiihrt, und als

,,Singularit~tenideMe yon a" bezeiehnet. (Math. Annalen 81 (1920) S. 223--234) 23*

356 W. K r-a 1 l,

Offenbar wird stets a ~ a o~) c=a(~--~)S. . , m= a(~). Aus den elemen- taren Formeln

r

a (~(', +a"t,a 2 . . . . as) 0 (al, a v . . . as) a (al, a~, . . , as) +

(1) t t t "

folgt sofort: I s t a = ( a ~ , . . . a,,)~ so ist a ( ' ) = n ftir s > m , und man erh~ilt ffir s ~ m eine Basis yon a (*), wenn man zu a l , . . , am die sKmtliehen Funktionaldeterminanten

O@~l,...x@ ( 1 ~ ? . 1 < . . . . < ~ . s ~ m ; l < ~ v 1 < . . . < v ~ - - ~ n )

hinzunlmmt. - - Ffir die Ideale a is) gilt nun der folg.ende Hauptsatz: S a t z 1. I s t p e i n m i n i m a l e s P r i m o b e r i d e a l y o n a yore

D i m e n s i o n s d e f e k t r u n d b e d e u t e t q die zu 13 g e h S r i g ' e i s o l i e r t e P r i m ~ t r k o m p o n e n t e v o n . a~ so is t s t e t s a(r+~)~p, w a h r e n d a( o d a n n u n d n u r d a n n in t3 e n t h a l t e n ist, w e n n q e in e e h t e s P r i m ~ r i d e a l d a r s t e l l t s ) .

Zum Beweis bemerken wir zuniichst: Aus a m= q folgt a (~) == q(~); ist q(0==p, so ist stets auch a ( o ' - _ - p . - Es seien andererseits in q die Elemente q ~ . . . q~ so wi~hlbar, dal~ bei geeigneter Numerierung

der Variabeln die Funktionaldeterminante ~(q~ . . . . q~) nicht zu q gehSrt. 0 (x~,... x~)

Dann mug nach Definition der isolierten Prim~irkomponenten ein nicht za 13 gehSriges c existieren, fur das die Produkte c - ~ , . . . c .q , alle in fl liegen, und es wird~ wie unmittelbar aus den Formeln (1)zu ent-

=-- c . - - - ~ 0 (13). Ist also ct (') kein Unter- nehmen, a ix . . . . . x 9 0 (x~,... x~)

ideal yon p, so ist es auch a (") nieht . - - Die bisherigen Bemerkungen zeigen, daft wit uns bei Satz 1 auf den Fall a---~q beschri~nken dtirfen; d .h . wir haben an Stelle yon Satz 1 nut den folgenden, seheinbar spezielleren Satz zu beweisen:

s) Die Tatsache, daft bei einem P r i m i d e a l I) yore Dimensionsdefekt r

stets ~0"+ !) in 13 enthalten ist, 13(r) dagegen nicht, ist schon lange bekannt. Vgl.: F. S. M a c a u l a y , Algebraic theory of modular systems, Cambridge Tracts " i n Mathematics, Bd: 19 (1916); S. 34. Ygl. ferner: W. G r 6 b n e r , l~ber eine neue ideal- theoretische Grundlegung der algebraischen Geometrie, Math. Annalen 115 (1938); S. 333--358 ; w 1.

Funktionaldeterminanten.und Diskriminanten etc. 357

Satz 2. I s t q ein zum P r i m i d e a l p gehSr iges Primi~rideal~ und b e d e u t e t r den D i m e n s i o n s d e f e k t :con p, sb ist s t e t s q(~+~)~p, und es wird dann und n n r d a n n auch q(r)~p, wenn q ein e c h t e s Pr imi~rideal da r s t e l l t .

w 2. Beweis fiir den Prim~ridealfal l .

Bei den folgenden Betrachtungen ist es zweekmi~l~ig, die Definition der Ideale a (s) yon vornherein etwas allgemeiner zu fassen. Wir lassen die MSgliehkeit zu~ daft die Elemente yon K und damit auch die yon ?~ diffcrenzierbare Fanktionen yon m Parametern Yl , . . . Y~ sind, und dal~ bei der Bfldung yon a(s) alle Funktionaldeterminanten der Form

0 (a I . . . . %) (x~ ..... xv~, y~ . . . . . y~)

.(1 ~,,1 < . . . < ~ n ; 1~7 . ~ < .. < 7 . ~ ; n ; ~ > 0 , , ~ 0 , ~+,~=s~ (a~,...a~)=_-a)

zu n hinzugenommen werden. An der Formuiierung der Satze 1 und 2 und an den Oberlegungen yon w i andert sieh dabei gar niehts. - - Den Beweis von Satz 2 zerlegen wir in vier Sehritte:

a) Es sei p v o m Dimensionsdefekt r < n , und es werde naeh ,,passender" Numerierungder V~riabeln K~= K (x~+~,,.. x~) ,~ .= ~ . K ' = K - ' [ x , , . . . x r ] , p = p . ~ , q = q . ~ gesetzt. Dann~ i s t p ein null- dimensionales Primideal in ~ ~ es stellt qe in zu p "g.ehSriges Primiir- ideal dar, u n d e s gelten die Gleiehungen p fl ~ = p , q 0 ~ = q ; auger- dem kann wegen tier Vollkommenheit yon K durch geschickte

Numerierung der x+ erreicht werden, dal~ der Restklassenring ~;] 'p

einen s e p a r a b e l n Oberkiirper von K darstelltg). Sind ferner hx,.../~ 8 (~;,... ~)

Elemente aus q, bei denen die Funktionaldeterminante nicht a(x , . . .x~s )

in p liegt~ und bestimmt man ~ aus K so, da$ die Produkte a . ~ g . . . 5. h~ alle zu ~ gehSren, so licgt die in ~ gebildete Funktional-

0(~.~,....~.5) determinante " wegen der Kongruenz 0 (x~, ) �9 �9 �9 X . r

(x +. . . x~) 0(~+ .. %) (P)

9) Vgl. Idealbericht Nr. 16, Moderne Algebra II, w 9~. - - Zur Separabilitiits- bemerkung vgl.: B.L. van de1: W a e r d e n , Ztlr algebraisehen Geometrie XIV, Math. Annalen 115 (1938) S. 619--642; w 1. Ferner: O. Hanp t , . Einftihrung in die Algebra, Leil)zig 1929; .Bd. II, 23~7.

358 W. Kru[1,

nicht in p und damit erst reeht nieht in p. - - Man sieht nun sofbrt:

Gilt Satz 2 fiir q in ~ , wobei die Elemente yon K als differenzierbare Funkti0nen der Parameter x,'~i,...x,L aufgefagt werden, so gilt Satz 2 aueh ftir q in ~.

b) Das Primideal p besitzt fiber K eine Basis der Form @1 (Xa), P2 (xl: x~) , . . .p , (x~,...x,))~ bei der das nur yon x~,.. , x~ (und den Parametern xr+l , . . , x~) abh~ingige Polynom p~ (xl , . . . xr

maven eharakterisiert werden kann: Bezeiehnet ck ( k ~ l , . . . r) die dureh xk in ~ I P definierte Restklasse, so ist p i ( x , , . . . x i _ 4 , u ) das tiber K (Xl,.. .x~-a)irreduzible Polynom mit der Nullstelle u : x ~ .

' " '~ - l 'u ) ) ffir u ~ X i Wegen der Separabilit~ttsvoraussetzung fiillt o (p~.(~, a u

yon Null verschieden aus, und das bedeutet, wenn wir yon den Rest-

klassen zu den Polynomen zuriickgehen, daft ~ nieht zu �9 d x~

geh(irt. Es stellt daher auch die Funktionaldeterminante

~(p~ . . . . 1> , )_ r~ ~(p') a(:% ..x,.) 11 0x i

t = 1

ein nieht in pl iegendes Element dar, d .h . es wird pr ein eehtes

Oberideal vonp . Dal3 andrerseits p( '+ l )und damit erst recht'q(r +~) in p enthalten i.st~ folgt nach einer Bemerkung yon. w 1 sofort aus der Tatsache, dal~ p eine Basis yon nicht mehr als r Elementen besitzt ~o).

c) Es bleibt noch zu zeigen, dal~ ftir q 4 p stets q (~) e p wird. Daku gehen wir yon K zu einem endlichen separabeln Normalober-

kiirper K~ fiber, der der Bedingung gentigt, einen zu ~ I P fiber K.

isomorphen Unterk~irper A zu enthalten. Wegen der Separabiliti~t sind die Elemente yon K* differenzierbare algebraisehe Funktionen der Para-

meter x,.+~,.., xu~ und es wird~ p . ~ ~ in ~3 ~ ~.K~Durehsehnitt yon endlich vielen Primidealen pl*, .. pz% wobei p** n ~ p ist ( i ~ 11...s).

Ftir q .~* gilt e ine Gleiehung q'~*~q~*n...flq~*~ bdi der q~ jeweils

ein eehtes, zu p* gehSriges Primiirideal darstelltl~). Wir brauchen nun c ' ~ * ( r ) ~ ~* ..

offenbar nut zu beweisen~ daI~ qi ~ pl wird ( i ~ l . . s). Dabei haben wit den Vorteil~ dal~ modulo p~* jede der Variabeln x~, ..... ~

~o) Vgl. hierzu Gr6bner s), ~ 1. ~) Zum Verhalten der Polynomideale bei Separabler GrundkSrpererweiterung

vgl. z. B. Moderne Algebra lI, w 95, sowie Idealbericht ~r. 16. -- Die Definition der Differentiation in k ~'$ lautet bekanntlich bei Charakteristik p genau so wie bei

Funktionaldeterminanten und Diskriminanten etc. 359

einem Eleinente aus K '~ kongruent sein mul~, und dal~ infolgedessen p~*.iiber K* eine Basis der speziellen Form (x~--~a . . .Xr--~-~)besi tzt .

d) Beim letzten Beweissehritt setzen wit zur Vereinfaehung der Schreibweise K"'* = K~-'~ p'~* ~ ' p = (x~ %, . . . x,.--:r q"-'~* = q, Es ~ seien q~,.. �9 7~ beliel0ige Elemente aus q, und es seien ftirjedes i die Elemente

aii, . . .a i~ aus K so bestimmt, daI~ q i ~ l ~ ( x - - ~ ) = a,l~.(xt, zk) (p~) k = l

wird. W~iren l~ (x - -~ )~ . . . L(x- -~) fiber K linear unabhiingig, so wiiren die Ideale (q~,... %) und p modulo p~ und damit modulo jederPotenz yon p identiseh, und da eine endliche Potenz yon p" in q'enthalten ist, mtifite gegen Voraussetzung (q~,... q ~ ) ~ q = p sere. Wir dtirfen also ohne wesentliehe Besehri~nkung der Allgemeinheit annehmen, dag l,. (x-- ~) yon l~ (x- - ~.) , . . . 1~_1 (x-- :r linear abhiingig ist,

] r ( X - - ~ ) = ~'1 ~ l I ( X - - g ) -[- . . . -~- ~r- - l" lr--1 ( X - - Y . ) , r - - 1

und da~ infolgedessen q ' , ~ q , - - ~ yk qk----O (p~) wird. Wi~hlen wir k = l .

nun Xv , . . . x w (1--~'q < . . . ~ , ~ n ) aus der Reihe der Variabelnund Parameter x~ . . . . Xr, X~+~,. . .X, beliebig aus~ nnd bilden wir die

Funkti0naldeterminanten D - - 0(q, . . .q~)and D ' - ~ ( q " "'~-'q'~) so e (x~, ... x,r) ~x~, . . . xn) '

ergibt sich aus den Formeln (1)yon w 1 sofort D~--D'(o). Andrerseits 0 f

wird naeh der Produktregel der Differentiation a,~------0 (p") ftirjedes ~a~ ' ' o k

es wird also auch D'=--O (p). Da die ~b in q beliebig gewiihlt waren, is~ ~ ' ) ~_ p"~. Fertig !

w 3. Definition und Existenz der Diskriminante. Wir betrachten im Folgenden homogene Formen im Polynom-

ring ~ - - K [ X o , . . . x ~ ] in n + l Variabeln x o , . . . x , fiber einem alge- braiseh abgesehlossenen KSrper K. Jedes auftretende Ideal besitzt eine aussehlieNich aus homogenen Formen bestehende Basis (,H-Ideal"). Einem Primideal p aus ~ das im Sinne yon w 1 und w 2 die Dimension d > 0 besitzt, schreiben wir die , p r o j e k t i v e D i m e n s i o n " d--1 zu. Das im gewShnlichen Sinne nulldimensionale Ideal (x0, xl, . . , x~) ist im

Ch~rakteristik 0. Ist ~ * beliebig aus ~ , und bedeutetp (Z)~ z " - ~ 1 z ' ~ - 1 ~_... ~ 5 ~

d~s tiber K irreduzible, separable Polynom mit der Nullstelle ~*, so bildet man

dp(z) Op (~) 0 a* ~ %(~*) q(z)= d~ ' r ( z ) = ~ - und setzt ~ x - (./(g*) , was wegen q(~*), 0 stets

m6glich ist.

3 6 0 W. K r u l l ,

p ro jekt iven Sinne als dimensionslos anzusehen. An d e r Definition des I ) imensionsdefekts iindern wit nichts. Es ist also n - - d ' der Dimensions- defekt des P r imidea l s p~ falls p die p ro jek t ive Dimension d' besitzt.

Sind (71~... ~ i rgendwelche Fo rmen aus ~ so sehliel~en wir bei dem Gle ichungssys tem qol ~ . . . = % ~ 0 die Nullstel le {0, 0 , . . . 0} als , t r i v i a P yon der Betraehtung aus. Zwei nicht t r iviale Nullstellen

I~-o~ . . . -~-}, {~o~ . . .~} werden als , p r o j e k t i v g l e i e h ~ bezeiehnet ; wenn sie proport ional sind, ~ . ~ . - ~ ( i = 0 ~ . . . n ) . Ein genau n - gliedrigcs Gle iehungssys tem

(2) W (x) . . . . . % (x) = 0

besitzt endlieh oder unendlieh viele p ro jek t iv versehiedene ~ul ls tel len, j e naehdem ob alIe minimalen Pr imober idea le yon c t = ( ? ~ , . . . ? , )

p ro jek t iv nul ldimensional sind oder nieht. H a t (2) nur endlieh viele p ro jek t iv versehieclene Nullstellen, so besitzt j ede einzelne ~ul ls te l le eine eindeutig bes t immte V i e l f a e h h e i t ~ und es gilt der Sa tz : ( 2 ) h a t d a n n a n d n u r d a n n e i n e m e h r f a e h e ~ u l l s t e l l e (also e ineNul l - stelle yon einer Vielfaehheit v > l ) , w e n n u n t e r d e n i s o l i e r t e n

P r i m ~ r k o m p 0 n e n t e n y o n c t ~ ( ? ~ . . . %) e in e e h t e s P r i m ~ r i d e a l

v o r k o m m t , a2) Wir bet raehten nun n homogene Formen ?~(x; a ( o ) y o n den

Graden gi, (gl". - . "g , > 1), mit unbes t immten Koeffizienten a(~)~ a(~)~ . . . , and suehen eine in j ede r der Var iabe lnre ihen a!~)~ a(1)~.., homogene~

ganzzahl ige Form

(3) . . . . ,

~2) Be\veis dieses Satzes z.B. nach M a c a u l a y n) Nr. 67 mit Hilfe tier u-Resultante4)! Sei etwa x ~ x ~ . . . . . x n ~ O eine l~ullstelle yon (2). Dann tiberlegt man sich: a) Ist 0 ~ ( x a , . . . x , ) eine isolierte Prim~irkomponente yon a~ so gibt es n ffir x~ . . . . = x ~ 0 nicht verschwindende Formen '~a,... '~, derart~ daSb~(+~'xa~ " '~n . x , ) ~ a wird, und dab die mit Hilfe einer allgemeinen Linear- form l ( u ) ~ u o xo-}-. �9 �9 + U n X " gebildete u-Resultante R( '~ .x~, . . . +,,.x ~, l(u)) nicht verschwindet. Wegen 5 ~_ a ist R(+ 1.x . . . . . ~ , . x , , l(u)) dutch R(~I . . . . ?n, l(u)) teilbar; anderseits zeigt man leicht mit Hilfe derProduktformel derResultante~ daft R (~,~.x~, . . .+, , .x~,,~(u)) und damit erst recht R(?~ . . . . r den der-Iqull- stelle x~ . . . . . x n ~ 0 entsprechenden Linearfak~or uo genau in der ersten Potenz enth~lt. - - Bei einer mehr geometrisehen Begrtindung der Diskriminantentheorie im Sinne yon Anm. ~) werden die etwas umst~tndlichen Betrachtungen von a) tiber- flassig, wenn man einen Mlgemeinen Hilfssatz aus der Vielft~ehheitstheorie v an der W a e r d e ns heranzieht (Zur algebraischen Geometrie V, Math. Annalen 110 (t934) S. 128--133). - - b) Besitzt ~t eine echte, zup--(x~ . . . . x n ) geh6rige isolierte Prim~rkomponente, so darf ohne wesentliehe Besehriinkung a ~ (x~, . . . x,_a, x~) an- genommen werden. Dann ist abet R((?~, . . .? , , l(u)) dureh R (x~, . . . x,_~, xU,~, 1 (u))=u~ t eilbar.

Funk~ionaldeterminan~:en und Diskriminanten e/~c. 361

so zu bestimmen, daf~ die folgende Bedingung erftillt ist: E r s e t z t man die u n b e s t i m m t e n K o e f f i z i e n t e n a (o d e r F o r m e n ?~(x;a (*)) du t ch i r g e n d w e l e h e E i e m e n t e ~(i) aus K d e r a r t , dal~ das G l e i c h u n g s s y s t e m

(4) ) . . . . . ( x ; = o

nur end] ieh viele p r o j e k t i v e Nul l s t e l l en bes i tz t , so wird D(~(1) , . . .~ ( ' ) )~0 dann u n d nur dann, wenn un te r den Null- s te l len yon (4) m i n d e s t e n s e ine m e h r f a c h e a u f t r i t t .

Zur Konstruktion yon D bilden wir die n + l Fanktionaldeter-

a(%.., v,/ ( k ~ 0 , . . . n; Reihenfolge minanten Jk ( x i a ) ~ (xk +l, . . " x ,,xo, .. "xk-1)

dot Variabeln beaehten!) und, mit Hilfe einer neuen Unbestimmten- reihe Uo~ : . . u , , das Polynom J ( x i u , a ) ~ U o J o - k . . . q- u ,~J , . Wie unmittelbar zu sehen, wird

~(?i,"" ?~ l) J (x; u, a) ~ ~ (Xo, �9 �9 �9 ~ ) ftir l ~ l (x; u) ~ Uo xo + . :, + u ~ x, .

Aus Satz 1 und den zu Beginn unseres Paragraphen zusammen- gestellten Tatsachen foigt nun sofort:

Dafiir, dal~. das System (4)entweder mindestens eine mehrfaehe oder unendlich viele projektiv verschiedene Liisungen besitzt, ist not- wendig und hinreiehend, daft das Ideal (,% (x;:,.), . . . ? ,(x;~), Jo(x;:r ... J , ( x ; ~)) mit dem Ideal (?i(x;:0,. . .?~(x;:r ein projektiv mindestens nulldimensionales Primoberideal gemein hat, d.h. dal~ das System

(5) % (~ ;~ . )= . . . = ?,(.~;~.)= Jo ( x ; ~ ) = . . . = J , ( x ; ~ ) = 0

oder, was auf dasselbe herauskommt, das System

(6) ?l(x ; ~ ) = . . . = ? ,~(x ; :~)=J(x;u , ~ ) = 0

niehttrivial 10sbar ist. Fiir die nichttriviale LSsbarkeit yon (6) k5nnen wir aber eine

notwendige und hinreichende Bedingung sofort angeben: Es mul~ die zu den Formen ,%(x;a), . . .?,(x;a), J ( x ; u, a) gebildete Mer tenssche Resultante R (?~ (x; a ) , . . . ? . (x; a), J (x; u~ a)) ~ P (u, a), (deren Grund- eigensehaften im folgenden als bekannt vorausgesetzt werden), bei der Spezialisierung a--~ :~ identiseh in den u versehwinden, P (u, :~) ~ 04). Um yon P(u,a) zu dem gesuehten Polynom D ( a ) zu kommen, tiber- legen wir weiter:

Es sei ~ (u~ a ) ~ R ( ? ~ (x ;a ) , . . . ?~(x;a), l (x;u)) die Resultante des Formensystems ?~ (x;a) . . . . ?~ (x; ~), l (x;u), (also die ,,u-Resultante: des

362 W. Kru l l ,

Formensystems ~ (x;a), . . . ~ ( x ; a ) in tiblieher Bezeiehnungsweise). Ersetzen wit nun die a irgendwie durch solche algebraisehe Funktionen der u~ dai~ ,~(u;~_)~0 wird, so ist das Gleiehungssystem

niehttrivial 15sbar, es besitzt also das Ideal (~(x;~), . . ~?.(x;~), l(x;u)) mindestens einPrimoberideal Ps das projektiv mindestens nulldimensional ist, also hSehstens den Dimensionsdefekt n hat. Nach Satz 1 mug nnn aueh d i e ( n + 1)-reihige Funktionaldeterminante J ( x ; u s ~) zu ~ gehSren s und daraus folgt wetter die nichttriviale L~sbarkeit des Systems % (x; ~) . . . . = ~ ~ (x; ~_) = J (x ; us ~) = 0 und damit die Gtiltigkeit der Gleichung P (u, ~) ~ 0. Aus ? (u, ~) - - 0 ergibt sieh also stets P (u, ~) =- O, und da ?(u s a) in allen Variabelnreihen irreduzibel ist, mul~ P ('G a) durch ? (u, a) teilbar seth, P (u, a) = ? (u, a). ~. Wir behaupten nun :

e (u, ~) e(u,a) is t e i n P o l y n o m D der y o n uns g e s u e h t e n Art. In

tier Tat, d a P(u ,a ) und ?(u~a) in der Reihe u o . . . u ~ denselben Grad g~ , . . . . g , habens ist z yon den u unabhiingig s ~ = z (a). Da ferner P (u, a) und ?(u~ a) ganzzahlige primitive Polynome sind (also ganz- zahlige Polynome mit dem gr0gten gemeinsamen Koeffiziententeiler 1), ist aueh r ein ganzzahliges primitives Polynom. Aus den Grandeigen- sehaften yon P (u, a) and ~ (u~ a) und dem Nichtauftreten der u in~ (a) folgt sehliel~lich sofort, daft z(a) die eharakteristische Eigenschaft besitzt~ die wit oben yon unserem ~ Polynom D(a) forderten.

(7) (a) = D (a) = (x; . . . . (x; R(.~, (x; a),... %@; a), t (x;@

heigt die , D i s k r i m i n a n t e " des Formensystems ,%@; a)~... (~-(X; a)~).

~3) Die Darstellung (7) ist in Kr o n e e k er ~) w 10 zuerst angegebe n. - - Ftir eine Darstellung der Diskrimin~ntentheorie, bet der Satz 1 u n d Satz2 nicht voraus- gesetzt und idealtheoretische Hilfsbegriffe vermieden werden sollen, set bemerkt: Von den Ergebnissen yon w I u n d w 2 braucht man in w 3~ geometriseh ausgedrtickt, nur folgende Tatsachen: a) Ein gemeinsamer Punkt der Fl~ehen +i (x) ~ 0, ( i ~ 0 . . . n)

e (+o . . . . +.) liegt stets auch auf der Fl~ehe a (Xo, . . . x , ) ~ O " b) Ein gemeinsamer Punkt P d e r

Fli~ehen y ~ ( x , ~ ) ~ O ( i = 1 , .,. n) liegt dann und nur dann aueh auf den Fliiehen J ~ ( x , ~ ) = O ( k ~ l , . . . n ) , wenn die ~ ( x , ~ ) = O in P e i n e gemeinsame (eindimen- sionale) Tangente besitzen. (Bet einem singuli~ren Punkt P der Flache F ist jede Gerade dureh P a l s Tangente in P anznsehen)! -- Die Richtigkeit der Be- hauptungen a) und b) kann aber mit Schltissen, wie wir sie in w 2 unter el) benutztenl leicht direkt bewiesen werden. Bet der Anwendung beachte man, dal~ in einem beliebigen Punkt P ether mindestens eindimensionalen Sehnittmannig- faltigkeit der Flfichen ,%.(X~)~0 stets eine gemeinsame Flfichentangente existiert.

Fu::ktionaldeterminal~ten und Diskriminanten etc. 363

w 4. Eigenschaf ten der Diskr iminante :

Im Folgenden betrachten wir, sofern nichts anderes ausdrticklich bemerkt ~ird, ausschliel~lich ,,allgemeine" Formen, deren Koeffizienten nntereinander unabh:tngige Unbestimmte sin& ?i (x), Jk (x),J(x;u), l(x; u) haben dieselbe Bedeutung wie ~i (x; a), Jk(x;a), J (x;u , a), l (x;u) in w 3. Mit R(~,~. . . ~.+1) bzw. D(,%,.. . ?,) bezeichnen wir die Resultante bzw. Diskriminante des Formensystems ,~.. . ,5~+1, bzw. q h , . . . ~ . Bei unseren rein algebraischen Betrachtungen ist es zweekm:il~ig~ das Vorzeichen bei R ( '~: , . . .~.+1) bzw. D(,% . . . . ~ ) unbestimmt zu lassen. Die Numerlerung der 5~ bzw. ,~ ist dann gleichgiiltig.. Unter R~.(?(~),...?(~ )) verstehen wir die Resultante des Formens);stems ~(k), ~ ~. .. ?(~) in xo,. �9 �9 x~-:~ x~+~, . .. x~, das aus dem Formensystem ~i , . . . % durch die Substitution x ~ 0 hervorgeht.

Besitzt ~(x) in den Variabeln xjewei ls den Grad g~, so ist R(+ : , . . . ,~,+1) in den Koeffizienten yon ~ ( x ) h o m o g e n vom Grade g : . . . . , g~_:.g~_~_~ . . . . .2.+:. Anderseits ist J(x ; u) in den Koeffizienten yon ,~i(x) linear ( i ~ l , . . . n ) . Aus diesen Bemerkungen und der Formel (7) yon w 3 folgt dutch eine triviale Abz~hlung:

Der Grad yon D ( % ~ . . , ~ . ) in den K o e f f i z i e n t e n yon ~(x)

ist g !e ieh [ - ]qk . (~gk+2gi - - (n+l ) ) , fa l l s g ~ j e w e i l s den x-Grad k-~t k t i

yon ~(X) bedeu te t . Fiir die Resultante gelten bekanntlich die beiden Hauptformeln:

($) R( '~: , . . . '5~, +n+:.-F Z . ~ 1 ) = R(~,1 , . .. +n, q ,+l ) . y! t f (9) R ( + ; . , ~ , '~,,.. . . . . . . . + ~ + , ) = R(+',,+~, +~+d" ~(+,+~,.. ,~,+,)-

Andererseits kann man auf die Funktionaldeterminante J(x; u) die Formeln (1) yon w l anwenden, falls man sich bei ihr etwa ~,(x)durch :?,,(x)-4-Z(x).~,(x) oder % ( x ) d u t c h ?'~(x).~l(X ) ersetzt denkt. Mit Hilfe diesei" Bemerkungen beweist man durch ganz leichte Rechnungen die beiden Hauptformeln der Diskriminante:

(:0) J9 (?~, . . . %_:, V, +Z . V , ) = D ( % , . . . ?-).

(~_1) D(~,.,%, ~, . . . ~ ) = ~ (~,, ~ , ~.,, ...9 ~)~'D(?~, ~,. . . ,~) 'D(~, ~, . . . ,~,).

Dabei ist fiir eine spiitere Betrachtung die folgende Bemerkung wichtig: F o r m e l (11) liil~t s ich auch d a n n a n w e n d e n , w e n n z.B. d a s S y s t e m ~ ( x ) , . . . 9 , ( x ) aussehl ie l31 ich aus L i n e a r - f 0 r m e n ' bes teh t . Man hat ftir diesen Fall nur die Festsetzung zu treffen, dag die D i s k r i m i n a n t e e ines Sys t ems yon n L inea r - fo rmen s ta ts g le ich 1 gesetzt werden solk

364 W. Krul l ,

Zum B~weis des Zus~tzes hat man nur zu bedenken: Sind l l ( x ) , . . . l ~ ( x ) Linearformen, wahrend ~,+l(x) eine Form beliebigcn Grades bedeutet, so wird stets R (l l , . . . 1,,, a . ,~ ,+l ) ~ a . R ( l l , . . . l~, ,~,,+~).

q,. . . ~,, l(x; u)) R (11~... 1,, l (x; u)) - - (namlich gleieh der Koeffi- Es ist a(x0 . . . . x~)

zientendeterminante des Linearformensystems l~(x)~ . . . l~(x)~l(x; u)). /tilt Hilfe der durch den Zusatz verscharften Formel (1 l) kann

man D ( ~ , . . . ~ ) ftir den Fall bereehnen, da~ jedes ,~(x) ein Produkt gi

yon allgemeinen Linearformen ist, ~ i ( x ) ~ [-[ l~k (x). Man finder eine

Darstdlun~

(12) D( H [I = [ I / L

wobei die fz alle untereinander verschieden und irreduzibel sind, und jecler einzelae Faktor fi die Resultante, d.h. die Koeffizienten- determinante yon n + l allgemeinen Linearformen bildet. Die Linear- formensysteme, denen die fz zugeordnet sind , findet man. wenn man

gi

auf alle mSglichen Weisen aus einem der Produkte [ ] 1 ~(x)zwei ver-

schiedene Linearfaktoren, aus jedem andern dieser Produkte je einen Linearfaktor herausgreift ~). - - Aus Formel (12) ergibt sich sofort: Die D i s k r i m i n a n t e D ( ? I , . . . ? , ) enthi~lt ke inen i r r e d u z i b l e n F a k t o r in hShere r als zwe i t e r Potenz .

Denn D(?~, . . . ? , ) besitzt diese Eigenschaft sogar dann, wenn man die Spezialisierung ? ~ ( x ) - - + ~ l ~ k ( x ) vornimmt. In cntsprechender

k

Weise ergibt sich: D(%~.. .? , ) ist durch ke ine dcr oben e i n g e f i i h r t e n

R e s u l t a n t e n Rk(,~l(Z:),... O,n (k)) t e i l b a r . Ware namlieh D etwa dutch Ro teilbar~ so miil~te bei der

Spezialisierung %(x)--~[] l i k ( x ) einer der Faktoren 2~, etwa f~, ein k

Teller von Bo Werden. Dann aber darfte f l aus keiner einzigen Lineur- form l i~(x) den Koeffizienten yon xo enthalten~ und diese Bedingung ist ersichtlich nicht erfiillt. Ebenso zeigt man, dal~ umgekehrt Ro dutch kcinen irrcduziblen Faktor yon D(?~ . . . . ?~) teilbar i s t . - Um zu weiteren Ergebnissen zu kommen, setzen wir iu der Formel (7)

~) Formel (12) findet sich schon in KSnig ~) (S. 328). Doch behauptet K6nig irrtiimlicherweise, daft auf der rechten Seite jeder irreduzible Faktor nur einmal (statt zweimul) vorkiime, und sttitzt ~uf diese Bemerkung einen nicht stich- hMtigen Beweis ftir die Irreduzibiliti~r der Diskriminante.

Funktionaldeterminanten und Diskriminanten etc. 365

yon w 3 uo . . . . = uk-1 ~ uk+l ~= .... ~ u, ~ 0. Dann wird im Zi~hler J(x;u)=uk.Jk(x) und der Gesamtziihler wird infolgedessen gldieh u~l+~.. + 9n.R(?I~ ..- %, Jk)" Der Nenner a b e r geht, Wie unmittelbar ~ aus der allgemeinen Theorie der Resultante zu ersehen, in u~l+... + g,.R~ (,%(k),... %(k)) iiber, Wir erhalten also:

t~(~ .... v,~,Jk) ( k = 0 , . . . n ) . (13) D ( ~ I , . . . ~ ) Rk(~(~.),.. .v(~,) )

Mit Hilfe yon (13) beweisen wir weiter unter der Voraussetzung~ daft nieht alle ~ Linearformen sind:

Sa tz 3. D(~ , . . % ) ist e ine Tr~ ighe i t s fo rm des Formen- s y s t e m s ?~(x;a)~...%(x;a), Jo(x;a),. J~(x;a), d.h. es ist fiir hin- r e i c h e n d grol~es N und b e l i e b i g e s ] c s t e t s x ~ . D ( ~ . . . . %) im For inen idea l (~ (x ;a ) , . . . J , (x ;a ) ) en tha l t en .

(Wir sehreiben diesmal ausnahmsweis wieder ~(x;a) , Jk(x;a), um zu betonen, dal~ bei Satz 3 der Polynomring in den x und den Koeffizienten der ,~(x) zugrundezulegen ist). Die Riehtigkeit yon Satz 3 ibl~t unmittelbar aus tier Gtiltigkeit des folgenden, sogar etwas mehr aussagenden Hilfssatzes:

S e t z e n wi t x k ~ l , so ist s te ts m indes t ens ein i r r e d u z i b l e r F a k t o r v0n D ( % . . . ~ ) i m I d e a l a~(?~ (x; a), . .. %(x; a)~ Jk(x;a)) en tha l t en .

Beim Beweis des Hilfssatzes kSnnen wir uns kurz fassen~ da es sich um bei KSnig ausftibrlich dargestellte, und auch sonst grund- s~tzlieh bekannte t2berlegungen handelt ~5). Aus der allgemeinen Theorie der Resultante fo]gt~ da~ jedenfalls R k . D ~ R ( ~ , . . . % , Jk)" a ist,

da~ also eine Gleichung Itk. D ~ F . J k + ~ (P~'~z gilt. Dabei ist i = 1

Jk irreduzibel~6) und kein Teiler yon ~k~ und es hiingen wcder Jk noch R~ yon den Elementen ak(~)~.., a~(~) ab, wenn wir unter ak (i)

jeweils das konstante Glied in dem durch die Substitution x~,~l entbomogenisierten Po!ynom ,~(x)verstehen. Ersetzen wit nun tiberall a~ (~) durch a~(~)--~?~(x), wobei D bzw. F in D bzw:Fiibergehen m~ge, so i~ndert sich an den Eigenschaften yon R~ und J~ nichts, und es wird R k . D ~ J ~ . F. Aus dieser letzteren Gleichung folgt dann mtihelos der Hilfssatz.

15) K5 n i g ~) S. 325. ~hnliche Schlfisse z. B. Moderne Algebra II, w 77. 16) K S n i g ~) S. 323f. Die Irreduzibilit~t yon Jk folgt mtihel0s aus der Irre-

duzibilit~t der Determinante yon n al]gemeinen Linearfo~men in n Unbestimmten.

366 W. K r u l l ,

Es seien nun P(a), Q(a) zwe i irreduzible Faktoren yon D(% . . . . %)= D(a), and es sei dabei etwa P (a) =ak. Da Q (a) kein Teiler yon Rk(~(~),...~.~(k))=Rk(a)ist, gibt es anendlieh vide Spezialisierungen a--+~ mit Q(~)-~-0, B~(~)~ 0. Wegen D (~ )= 0 hat dann alas System % (x , , . )= . . . = %(x, ~ ) ~ . L ( x , ~ . ) ~ 0 mindestens eine niehttriviale Nullstelle {~-o,. �9 �9 ~}, and wegen R~(~.) # 0 mug dabei naeh der Theorie der Resultante ~.k # 0 sein.~ es kann also ~k = 1 gesetzt werden. Dann aber folgt aus P (a)'-ak sofort P(~ . )=0 . Die Gleiehung Q(~.)=0 zieht also unter tier Nebenbedingung /r stets die Gleiehung P(~.)=0 naeh sieh und daraus ergibt sieh naeh einem elementaren Sehlu~ Q(a) =P(a). [KGnig x) S. 330].

D ( ? ~ , . . . % ) is t also e ine (and Ergebn i s h S e h s t e n s d ie zwei te ) Po lynoms .

S a t z 4. B e s i t z t d e r d e n

z w a r naeh e inem f r t i h e r e n Potenz e ines i r r e d u z i b e l n

B e t r a e h t u n g e n zug runde - g e l e g t e KSrper e i n e yon 2 v e r s e h i e d e n e C h a r a k t e r { s t i k , so ist die D i s k r i m i n a n t e D(71 , . . .%) s t e t s i r reduz ibe l .

Beweis dutch Induktion! Wir erledigen zun~iehst den einfaehsten Fall, da~i ?l(x) den Grad 2 besitzt, wahrend ?2(x),.-. %(x) Linear- formen sind. Wit brauchen dabei nieht yon einem vSllig allgemeinen Formensysiem auszugehen, aueh brauehen wir es nieht so einzuriehten, dat~ die entstehende Diskriminante in den unbestimmt gelassenen Koeffizienten jeder einzelnen Form ,%@) homogen wird. Wit mtissen nut daftir sorgen, dag wit auf eine Diskriminante kommen, die fiir jedes i in den Koeffizienten yon ?i(x) den riehtigen Grad

I-I 1))=2 a- + i kJri

besitzt. Setzen wir nun etwa

(i=2,. . . so wird die Diskriminante yon (14) offenbar gleieh der Diskriminante der Bingrform

05) (..)+ \ O0 i i 0 / - - ~ ' 1 1 "~1 ~ i ~ 2

-a,

d.h. es wird D(,h," .. %)--. _ a.oxm'-'__4.d~).(,, v ~ - ~ ,"oo -, ~ a<~ a~)~ �9 i = 2

Punk~ionaldeterminanten und Diskriminan~en e~c. 367

Hier aber ist die Gradbedingung erfiillt, und die Verifikation der ~r re - duzibilit~it ist i trivial.

Wit nehmen nun an~ es sei die Irreduzibilit/it der Diskriminante ftir ein bestimmtes Gradzahlensystem g ~ , . . . g ~ bereits bewiesen (g~ . . . . . g,~ ~ 2), und zeigen, daft IrreduzibilitKt aueh dann yorliegt~ wenn wir eine beliebige der Gradzahlen, etwa die yon % (x), um eine Einheit erhShen. Dabei brauchen wir nach dem, was wir bereits wissen~ nut naehzuweisen, dag bei geeigneter Koeffizientenspezialisierung die ' zu dem Formensystem %(x)~ . . . ?,(x) mit den Gradzah!en g~ + 1, g ~ , . . , g~ gehSrige Diskriminante einen irreduzibeln Faktor genau in der ersten Potenz enthiilt. Setzen wir nun ?~(x)=~(x).?'~(x), wobei

?~(x) eine allgemeine Form vom Grade g~, ~'(x) eine allgemeine Linearform darstellt~ so wird naeh (11):

rf r i ! /!

D ( ~ . ,% V~,...%,) = g (7i, ~ , %,. �9 �9 V-)~" D (?i, ~ , . . . ~ ) . D (V, W , . , . ?~)-

r Hier ist D ( ~ I , ~ , . , . ~ , ) nach Induktionsvoraussetzung irreduzibel. D(y~',~, .... ~,~), das auch gleieh 1 sein darf, ist durch D ( ? i , ~ , . . . % ) unteilbar, well die Koeffizienten yon ~'1 in D ( ~ , ~2~ ...~0,) nicht auf- treten. Aber ' " aueh R(~1~1, ~ , . ,Q~) mug durch D (~, ~2 , - - -~ ) unteilbar sein; denn wegen des Auftretens der Koeffizienten yon ~p~' kann

r i~ r R(~p, ~p2,cp2,... ~,) nieht gleich D ( ~ , ~p~;... %) sein, und als Resultante ~ S 1r yon n + 1 allgemeinen Formen ist R (, 1:, ?~, ,%, "" �9 ~ ) irreduzibel.

Wir wenden uns nun zum Fall der KSrpercharakteristik 2. Es sei

(xo, x ~ ) = , o x o + a~ Xo=l x~ + . . . + a~ x~ =~o" ( ~ o - ~ x~)..... (~o--~.,~) eine al]gemeine Bin~irform vom be!iebigen Grads m. Dann wird be- kanntlieh D (~0) ~ ~,~_2 a o -((~x--~). (~1--~)....-(~,~_~--~))~, und es ist dabei wegen der speziellen W~hl der Charakteristik nieht erst ( (~--~) . . . . . (~_,~-1 ~))~, sondern sehon ( ~ - - ~ ) . . . . . ( ~ , ~ _ ~ - ~ , , ) ~ ( ~ + ~ ) . . . . �9 ( ~ - i - k ~ ) eine symmetrische Funktion in ~,:...~,~ und damit ein

Polynom "in a~ ~a~ . . . a~ao" Daraus folgt aber sofort~ da$ D (~) das Quadrat

sines irreduziblen Polynoms wird ~), dag also Satz 4 bei Charakteristik 2 sicher nicht giltl Leider lassen sieh diese Schltisse nicht auf den Fall eines Systems yon m>, ] Formen in Xo, x~ ... x,~ tibertragen, und auch aus der bei KSnigx) S. 325 zu findenden irrationalen Dar'- stellung der Diskriminante D(,%,...%~) kann man n i c h t ohne weiteres

~) Auf die M6glichkeit dieser einfachen Verifikation machte reich Herr E. B e s s e l h a g e n aufmerksam.

368 W. K r u 11, Funk~ionaldeterminanten und Diskriminallten etc.

seheni daft sie (wie ich vermute) bei Charakteristik 2 i m m e r ein Quadrat werden mul~.

t~ber die Ergebnisse v o n w 3 hinaus hat es KSniff unternommen zu zeigcn, daft die Diskriminante D(~I . . . . ?,0 immer verschwinden mul~, wenn die zu 71,.-.?,~ geh0rige u-Resultante Ri?~, . . .?, , , l(u)) (also der Nenner in (7)) identisch verschwindet. E i n e Modernisierung des recht mtihsamen, auf die K r o n e c k e r s c h e Eliminationstheorie gesttitzten Beweises ware sehr wtinschenswert. Mit den in w 3 und w 4 bentitzten elementaren Hilfsmitteln allein dtirfte der Nachweis, da$ aus R(?I , . . . ?~, l (u))=O stets D(?I~. .. ?,~)~0 folgt, kaum zu erbrin- gen sein.

(Eingegangen: 27, IL 1939.)