Präskriptive Entscheidungstheorie

4 Entscheidungen bei mehreren Zielen

Gliederung

4 Entscheidungen bei mehreren Zielen und Sicherheit4.1 Das Grundmodell4.2 Effiziente Alternativen4.3 Zieldominanz4.4 Lexikographische Ordnung4.5 Multiattributive Wertfunktionen 4.5.1 Ermittlung der Wertfunktion 4.5.2 Ermittlung der Zielgewichte

Einfache und schwierige Entscheidungen Steht das Entscheidungsmodell, dann ist die eigentliche

Entscheidung einfach bei einem Ziel und Sicherheit.

Problem: Maschine kaufen, Ziel: Kosten minimieren, Alternativen: 3 Lieferanten, Zielgröße Preis; Entscheidung: Wähle den Lieferanten mit dem niedrigsten Preis.

Die Entscheidung wird schwieriger, bei mehreren Zielen (bspw. neben Preis noch Lieferzeit und Wartungsdienst) und/oder mehreren Umfeldzuständen (bspw. Wechsel-kursen bei Kauf im Ausland), also Entscheidungen bei Unsicherheit. In beiden Fällen hat man mehrere Ergebnisse für eine Alternative.

4.1 Entscheidungen bei mehreren Zielen – das Grundmodell

Es wird ein Umfeldzustand angenommen (Sicherheit)

Man verfolgt mehrere Ziele Zp mit p = 1,…,r

Ziele

Alternativen Z 1 Z 2 Z3

a 1 e11 e12 e13

a 2 e21 e22 e23

Umfeldzustand U

Beispiel

Ziele: Absatz und Gewinn maximieren, Umweltschäden minimieren. Mittels der Preisgestaltung kann auf die Absatzmenge und den Gewinn

Einfluss genommen werden. Hinsichtlich der Umfelddaten herrscht Sicherheit, Ergebnisfunktionen liegen

vor. Die Umweltschäden nehmen mit steigender Absatzmenge zu (Zielkonflikt).

Alternativen/Ziele Absatzmenge Gewinn Umweltschäden

a1 Preis 15 800 7000 -4

a2 Preis 20 600 7000 -2

a3 Preis 25 400 6000 0

a4 Preis 30 200 4000 0

4.2 Effiziente Alternativen

Effizient ist eine Alternative, wenn es keine andere Alternative gibt, die bezüglich mindestens eines Ziels besser und bezüglich keines Ziels schlechter ist.

Nicht effiziente Alternativen werden dominiert. Sie können direkt ausgeschieden werden.

Im Beispiel ist Alternative 4 nicht effizient, denn sie ist bei Absatz und Gewinn schlechter als alle anderen Alternativen und bei den Umweltschäden auch nicht besser als Alternative a3.

4.3 Zieldominanz

Man löst den Zielkonflikt, indem man ein Ziel auswählt und alle anderen Ziele vernachlässigt. Es handelt sich dann um eine Entscheidung bei einem Ziel und Sicherheit.

Im Grunde besondere Form der Zielgewichtung mit dem Gewicht 1 für das dominante Ziel und dem Gewicht 0 für alle anderen Ziele.

Alternativen/Ziele Absatzmenge Gewinn Umweltschäden

a1 Preis 15 800 7000 -4

a2 Preis 20 600 7000 -2

a3 Preis 25 400 6000 0

Optimale Alternative a1 a1 oder a2 a3

4.4 Lexikographische Ordnung

Ergibt die Bewertung nach dem dominanten Ziel noch keine eindeutige Lösung, dann bestimmt man das zweitwichtigste Ziel und vergleicht die nach der ersten Bewertungsrunde übrig gebliebenen Alternativen anhand dieses Ziels. Ergibt auch das noch keine eindeutige Lösung folgt die Bewertung nach dem drittwichtigsten Ziel usw.

Ist Umweltschutz das zweitwichtigste Ziel nach Gewinn, dann ist a2 optimal.

Probleme

Das dominante Ziel wird überaus stark gewichtet. Es spielt keine Rolle wie knapp der Unterschied beim dominanten Ziel ist und wie groß die Unterschiede bei den nachrangigen Zielen sind.

Im obigen Beispiel wäre bei Dominanz des Gewinnzieles a1 optimal, auch wenn der Gewinn nur marginal höher ist als bei a2 und die Umweltschäden doppelt so hoch sind.

Alternativen/Ziele Absatzmenge Gewinn Umweltschäden

a1 Preis 15 800 7001 -4

a2 Preis 20 600 7000 -2

a3 Preis 30 400 6000 0

4.5 Multiattributive Wertfunktionen

Alle Ziele gehen in die Bewertung ein, allerdings je nach Bedeutung des Ziels mit unterschiedlichen Gewichtungsfaktoren gp.

Der Präferenzwert (Nutzen) einer Alternative ergibt sich aus der Multiplikation der Zielgewichte mit den (bewerteten) Ergebnissen (Zielwerte vip) und der Addition aller so gewichteten Zielwerte.

r

Ф (ai) = ∑ gp vip

p = 1

Teilaufgaben

Umwandlung der Zielerträge eip in Zielwerte oder Nutzwerte vip, die ich addieren kann. Dazu braucht man eine Wertfunktion oder Nutzenfunktion v (von

value function). Bestimmung der Zielgewichte gp.

Bestimmung der Wertfunktion

Die Ergebnisse für die Alternativen liegen je nach Ziel in verschiedenen Maßeinheiten vor, bspw. in €, in Liter, in km/h oder auch nur verbal: hoher Komfort, Farbe schwarz. Das kann ich nicht einfach addieren.

Die Ergebnisse müssen in eine einheitliche Größe umgerechnet werden, nämlich in den Wert, den das Ergebnis jeweils für mich hat.

Die Umwandlung von Ergebnissen in Werte muss so erfolgen, dass meine Präferenzen richtig abgebildet werden. Wenn a1 > a2 dann auch v(a1) > v(a2).

Bestimmung der Wertfunktion

Im einfachsten Fall unterscheidet man zwei Fälle: Ziel erfüllt → Wert 1 und Ziel nicht erfüllt → Wert 0.

Das ist eine Nominalskala. Beispiel: Zielgröße ist die Anzahl der Türen bei

einem PKW. Hat ein PKW 5 Türen (eip), bekommt er den Wert 1 (vip), bei drei Türen (eip) den Wert 0 (vip).

Beim Vergleich der Alternativen kann man nur sagen: a 1 = a2 oder a1 ≠ a2.

Bestimmung der Wertfunktion

Beim Vergleich von Alternativen werden sie hinsichtlich eines Ziels (bspw. Höchstgeschwindigkeit) in eine Rangfolge gebracht und nach dem Rangplatz Punkte für den Wert vergeben. 200 km/h = Rang 1→3 Punkte, 180 km/h = Rang 2→2 Punkte, 160 km/h = Rang 3→1 Punkt.

Das ist eine Ordinalskala. Man kann die Alternativen damit in eine Reihenfolge

bringen a1 > a2 > a3, aber nicht ausdrücken, wie stark die Präferenz zwischen zwei Rängen ist. Wenn bei der schlechtesten Alternative die Höchstgeschwindigkeit nur 80 km/h wäre, bekäme die Alternative auch 1 Punkt.

Bestimmung der Wertfunktion Man kann den Wert durch vorab festgelegte Skalenwerte messen und bspw. für die

Ergebnisse Punkte zwischen 0 und 5 vergeben, mit 0 = kein Wert und 5 = maximaler Wert.

Die Grenzen des betrachteten Ergebnisintervalls müssen alle Ausprägungen bei den Ergebnissen umfassen. Häufig betrachtet man nur das Ergebnisintervall zwischen der besten und schlechtesten Ausprägung der Zielerträge, die man bei den bisher betrachteten Alternativen gefunden hat.

Die Werte werden auf den Bereich zwischen 0 und 1 normiert.

Kaufpreis PKW Werteskala Normiert auf 1

Preis ab 20.000 € 0 0

Zwischen 19.999 u. 17.000 € 1 0,2

Zwischen 16.999 u. 15.000 € 2 0,4

Zwischen 14.999 u. 12.000 € 3 0,6

Zwischen 11.999 u. 10.500 € 4 0,8

Zwischen 10.500 u. 10.000 € 5 1

Bestimmung der Wertfunktion

Damit habe ich eine Kardinalskala. Man kann nicht nur sagen, dass man z.B. a1

gegenüber a2 präferiert, sondern auch wie stark diese Präferenz ist, ausgedrückt als Wertdifferenz zwischen zwei Alternativen.

Der Entscheider kann auch den Nutzenzuwachs bzw. Nutzenverlust beim Übergang von einer Alternative zur anderen quantifizieren.

Wird bei additiven Wertfunktionen voraus-gesetzt.

Beispiel

Beim Übergang von a3 zu a2 habe ich eine deutlich höhere Wertdifferenz als beim Übergang von a2 zu a1.

Kann der Wertzuwachs bzw. –entgang durch den Übergang von einer Alternative zur anderen quantifiziert werden, dann hat man eine messbare Wertfunktion.

Kaufpreis PKW Wert

a1 Preis 10.000 1

a2 Preis 11.000 0,8

a3 Preis 18.000 0,2

Bestimmung der Wertfunktion

Verbal beschriebene Eigenschaften von Alternativen (z.B. hoher Komfort, schönes Design) kann man nur anhand einer Wertetabelle bewerten.

Bei messbaren Zielkriterien lassen sich auch stetige Wertfunktionen ermitteln, aus denen für jedes beliebige Ergebnis der zugehörige Wert abgelesen werden kann.

Die Funktion muss so konstruiert sein, dass sie meine Präferenzen widerspiegelt. Für den Kaufpreis bspw.:

v (eip) = 2 – 1/10.000 x eip

Beispiel

Kaufpreis Wertfunktion v (eip) = 2 – 1/10.000 x eip

10.000 1

11.000 0,9

14.300 0,57

Die Wertfunktion führt zum maximalen Wert 1 bei einem Preis von 10.000 und zum minimalen Wert 0 bei einem Preis von 20.000.

Die Wertfunktion kann auch graphisch dargestellt werden. Meist geht man von monoton steigenden oder fallenden Verläufen aus, d.h. der Wert steigt mit steigenden Ergebnissen (z.B. beim Gewinn) oder er fällt mit steigenden Ergebnissen (z.B. bei Kosten).

Direct-Rating-Methode

Schritt 1: Stelle das beste und das schlechteste Ergebnis fest e+ und e-.

Schritt 2: Ordne die Alternativen gemäß deiner Präferenz bei diesem Ziel.

Schritt 3: Ordne dem besten Ergebnis 100 Punkte zu, dem schlechtesten Ergebnis 0 Punkte und bewerte die dazwischen liegenden Ergebnisse direkt mit Punktzahlen, die sowohl die Rangordnung der Ergebnisse als auch die Wertdifferenzen zwischen den Ergebnissen widerspiegeln.

Schritt 4: Normiere die Werte auf der Skala zwischen 0 und 1.

Beispiel

Das beste Ergebnis e+ liegt bei 5 Liter, das schlechteste e- liegt bei 11 Liter.

Die Reihenfolge der Alternativen ist a4 > a5 > a2 >a1 > a3. Die Punktevergabe drückt meine Präferenzen aus. Aus den

vorhandenen Werten könnte man durch Interpolation eine Kurve ermitteln.

Alternativen (PKWs) Ergebnisse (Benzinverbrauch) Punkte Werte

a1 10 Liter/100 km 10 0,1

a2 9 Liter/100 km 30 0,3

a3 11 Liter/100 km = e- 0 0

a4 5 Liter/100 km = e+ 100 1,0

a5 8 Liter/100 km 50 0,5

Halbierungsmethode

1. Schritt: Ermittle die beste und die schlechteste Zielausprägung (e+ und e-). Das beste Ergebnis bekommt einen Wert von 1, das schlechteste einen Wert von 0.

Überlege, bei welcher Zielausprägung der Wert genau 0,5 wäre, also suche den wertmäßigen Mittelpunkt des Intervalls [e+,e-].

Überlege, bei welcher Zielausprägung der Wert genau zwischen 0 und 0,5 bzw. 0,5 und 1 liegen würde. Also überlege, bei welcher Zielausprägung der Wert genau 0,25 bzw. 0,75 betragen würde usw.

Beispiel

Mit Hilfe der ermittelten Werte könnte eine Wertfunktion bestimmt und gezeichnet werden.

Die Halbierungsmethode kann nur bei Ergebnissen angewendet werden, die in kontinuierlicher Form vorliegen, nicht bei diskreten Ergebnissen.

Benzinverbrauch Wert

11 Liter 0

5 Liter 1

8 Liter [5;8] = [8;11] = 0,5 Wertdifferenz 0,5

6,5 Liter [5; 6,5] = [6,5; 8] = 0,25 Wertdifferenz 0,75

9,5 Liter [8;9,5] = [9,5; 11] = 0,25 Wertdifferenz 0,25

Mögliche Wertfunktionen

Idealvektor : Je mehr, desto besser Idealvektor: Je weniger, desto besser

Idealpunkt, nicht mehr und nicht weniger als

Satisfizierung, mindestens

Wert v

Ergebnis e

Wert v

Ergebnis e

Ergebnis

Wert v

Ergebnis e

Wert v

Zielwertmatrix

Sind die Ergebnisse in Werte (Nutzen) umgerechnet, dann erhält man eine Zielwertmatrix oder Nutzenmatrix (rechts).

Zur Bestimmung des Gesamtwertes muss ich die Ziele noch gewichten. Die Summe der Gewichte ist 1.

Alternativen/Ziele

Absatz Gewinn Umweltschäden

a1 800 7000 -4

a2 600 7000 -2

a3 400 6000 0

Alternativen/Ziele

Absatz Gewinn Umweltschäden

a1 1 1 0

a2 0,5 1 0,5

a3 0 0 1

Entscheidungsmatrix

3

Der Wert der Alternative 1 ergibt sich: Ф (a1) = ∑ gp v1p

p = 1

Ziele Z1 Z2 Z3

GewichteAlternativen g 1 g 2 g3

a 1 v11 v12 v13

a 2 v21 v22 v23

Umfeldzustand U

Bestimmung der Zielgewichte – Swing-Verfahren

Ich stelle mir die schlechtest mögliche Alternative vor:a- = 400, 6000, -4

Dann bilde ich künstliche Alternativen, bei denen ein Zielertrag auf seine beste Ausprägung steigt, die anderen bleiben auf dem niedrigsten Niveau. Zielwerte müssen noch nicht bekannt sein.b1 = 800, 6000, -4b2 = 400, 7000, -4b3 = 400, 6000, 0

Die künstlichen Alternativen werden verglichen und in eine Rangfolge gebracht b2 > b3 > b1. Damit gilt Gewinn > Umwelt > Absatz

Alternativen/Ziele Absatzmenge Gewinn Umweltschäden

a1 Preis 15 800 7000 -4

a2 Preis 20 600 7000 -2

a3 Preis 25 400 6000 0

Bestimmung der Zielgewichte – Swing-Verfahren Das wichtigste Kriterium „Gewinn“ erhält die

Ziffer 100, die anderen entsprechend ihrem Rangplatz niedrigere Ziffern, bspw. 70 für Umweltschutz und 50 für Absatzmenge.

Die Gewichte werden auf 1 normiert:g1 = 50/ (100 + 70 + 50) = 0,23 (Absatz) g2 = 100/ (100 + 70 + 50) = 0,45 (Gewinn)g3 = 70/ (100 + 70 + 50) = 0,32 (Umweltschutz)

Entscheidungsmatrix

Ziele

Alternativen

Absatzmenge

g1 = 0,23

Gewinn

g2 = 0,45

Umweltschäden

g3 = 0,32

Präferenzwert

Ф(ai) = ∑ gpvip

a1 1 1 0 0,68

a2 0,5 1 0,5 0,725

a3 0 0 1 0,32

Bestimmung der Zielgewichte – Trade-Off-Verfahren Das Verfahren ist nur möglich bei schon ermittelten

Zielwerten. Trade-Off bedeutet Austauschrate. Man muss durch

Befragung ermitteln, welche Änderungen bei zwei Zielgrößen für den Entscheider austauschbar sind, weil sie den gleichen Wertzuwachs erbringen.

Bei mehr als zwei Zielgrößen werden mehrere Vergleiche zwischen jeweils zwei Zielgrößen durchgeführt. Man erhält ein Gleichungssystem, aus welchem sich die Gewichte berechnen lassen.

Beispiel

20 km/h mehr bei der Höchstgeschwindigkeit sind mir genauso viel wert, wie 1 l weniger Verbrauch beim Benzin (Trade-Off). Ich bin also indifferent zwischen einem PKW mit 180 km/h Höchstgeschwindigkeit und 7 l Verbrauch und einem PKW mit 160 km/h Höchstgeschwindigkeit und 6 l Verbrauch. 180km + 7l = 160km + 6l

g1 x v(180km) + g2 x v(7l) = g1 x v(160km) + g2 x v(6l)g1 x 0,8 + g2 x 0,6 = g1 x 0,6 + g2 x 0,8 0,2g1=0,2g2 → g1 = g2 = 0,5

Benzinverbrauch Punkte Werte

11 l 0 0

10 l 10 0,1

9 l 30 0,3

8 l 50 0,5

7 l 60 0,6

6 l 80 0,8

5 l 100 1

Höchstgeschwindigkeit Wertfunktion vi = 0,005 ei + (ei-200)/200

200 1

180 0,8

160 0,6

100 0

Abhängigkeit der Gewichte von den Ausprägungsintervallen der Zielgrößen

Mit den Gewichten wird festgelegt, wieviel ein Zielwert zum Gesamtwert beiträgt und wie die Austauschraten zwischen den Zielwerten aussehen. Bei der Addition der gewichteten Werte kann ja ein Wertverlust bei einer Zielgröße durch einen Wertzuwachs bei einer anderen Zielgröße kompensiert werden.

Je geringer ein Ziel gewichtet wird, desto größere Wertverluste bei diesem Ziel können relativ leicht ausgeglichen werden durch relativ geringe Wertzuwächse bei höher gewichteten Zielen.

Beispiel

Folgende Gewichte lege ich fest: Verbrauch 0,5, Geschwindigkeit 0,25, Sicherheit 0,15 und Komfort 0,1.

7 l Verbrauch statt 8 l Verbrauch bringt einen Wertzuwachs von 0,1, gewichtet mit 0,5 = 0,05 Zuwachs beim Gesamtnutzen.

Geringe statt mittlere Sicherheit bringt einen Wertverlust von 0,333, gewichtet mit 0,15 = 0,05 Verlust beim Gesamtnutzen.

Der Entscheider wäre also indifferent zwischen einem PKW mit 8 l Verbrauch und mittlerer Sicherheit und einem PKW mit 7 l Verbrauch und geringer Sicherheit.

Sicherheit Werte

optimale Sicherheit 1

Mittlere Sicherheit 0,667

geringe Sicherheit 0,333

Keinerlei Sicherheit 0

Benzinverbrauch Punkte Werte

11 l 0 0

10 l 10 0,1

9 l 30 0,3

8 l 50 0,5

7 l 60 0,6

6 l 80 0,8

5 l 100 1

Beispiel

Ist es plausibel, dass der Entscheider auf Sicherheit völlig verzichtet, wenn nur der Verbrauch niedrig genug ist?0,5 x v(5 l) + 0,15 x v (keine Sicherheit) = 0,5 x 1 + 0,15 x 0 = 0,5 für a1

0,5 x v(8 l) + 0,15 x v (mittlere Sicherheit) =0,5 x 0,5 + 0,15 x 0,667 = 0,35 für a2

Nach der Gewichtung gilt a1 > a2!

Beispiel

Ist das Ausprägungsintervall der Ergebnisse sehr breit, also bspw. bei der Sicherheit Werte zwischen „optimal“ und „gar keine“, dann muss das Zielgewicht höher ausfallen, als bei einem kleinen Intervall, damit schlechte Ausprägungen nicht so leicht kompensierbar sind.

Bei der Sicherheit würde man wohl schon bei der Vorauswahl Alternativen mit geringer oder keiner Sicherheit ausscheiden. Das Ausprägungsintervall wird dadurch enger, die geringe Gewichtung sinnvoller.

Sicherheit Werte

Optimale Sicherheit 1

Sehr gute Sicherheit 0,667

gute Sicherheit 0,333

befriedigende Sicherheit 0