Funktionale Abhängigkeiten anschaulich machen

- Bericht aus der schulischen Erprobung

Prof. Dr. Astrid Beckmann

PH Schwäbisch Gmünd

20.10.2006

Erfahrungen mit Experimenten im Unterricht

in verschiedenen 8., 9. und 11. Klassen* von Hauptschule, Realschule, Gymnasium, Höhere Berufsfachschule, Gesamtschule (Finnland)

Schwerpunkt: 8. Klassen

*speziell: Sebastian-von-Drey-Schule Ellwangen-Röhlingen, Adalbert-Stifter-Realschule Schwäbisch GmündGymnasium Waiblingen

Ablauf

• Zur Durchführung der Experimente• Zur Bedeutung nicht-linearer Funktionen• Forschungsfragen• Ergebnisse aus den Erprobungen (mit Beispielen)

• Zur Durchführung der Experimente

Durchführung:

• über mehrere Doppelstunden, in denen die Schülerinnen und Schülerjeweils 1 bis 3 Experimente durchführten.

• Experimente als Stationen• zum Teil freie Wahl, zum Teil Einteilung• Anregung zu den Experimenten durch kurze Impulse

oder ausführlichere Arbeitsblätter mit offenen oder mehr geführten Aufgabenstellungen

• Ziel: möglichst eine Mischung verschiedener Funktionstypen

• Zur Bedeutung nicht-linearer Funktionen

• Eine Überbetonung linearer Funktionen kann zu einem eingeschränkten Bild führen.

• Das Einbeziehen nicht-linearer Funktionen führt oft erst zu einer Reflexion über den Funktionstyp.

Eine Überbetonung linearer Funktionen kann zu folgender unreflektierten Annahme verleiten:

Jeder funktionale Zusammenhang kann durch eine Gerade beschrieben werden.

Beispiel: Zusammenhang zwischen Gasdruck und Volumen.

Unreflektierte Annahme:

Es genügen zwei Punkte, um eine Funktion festzulegen.

Beispiel: Zusammenhang zwischen Radius der Kugel und verdrängtem Volumen.

Das Arbeiten mit unterschiedlichen Funktionstypen erfordert ein flexibleres Denken:- Wie geht der Graph weiter?- Welcher Funktionswert gehört zu x?- usw.

Das Arbeiten mit vielen verschiedenen Funktionstypenwirkt dem automatischen Zeichnen von Geraden als Funktionsgraph entgegen.

Nicht-lineare Funktionen erfordern das Denken in Veränderungen undAbhängigkeiten (Kovariationsaspekt).

Bedeutung nicht-linearer Funktionen

Beispiel:Zusammenhang zwischen Abstand der Lichtquelle und der Beleuchtungsstärke

Für nicht so leistungsstarke Lerngruppen gilt:

Wichtiger als der Funktionsterm ist der Zusammenhang, die Abhängigkeit, die Änderung…

H = c/d² mit H= Helligkeit, d = Abstand von der Lichtquelle,c = Konstante

• Forschungsfragen

Forschungsfragen

• Welche Aspekte des Funktionsbegriffs werden durch experimentelle

Aktivitäten angeregt?• Erweitern die Schülerinnen und Schüler ihr Begriffsverständnis?• Welche Rolle spielt der außermathematische Bezug des

Experiments?• Welche mathematischen Aktivitäten (den Funktionsbegriff

betreffend) werden angeregt?• Welche weiteren Kompetenzen können angesprochen werden?

Methode der Beobachtung

• Film- und Tonaufnahmen,• Mitschrift von kurzen Episoden/ Dialogen• Auswertung der Arbeitsblätter

• Einige Ergebnisse

Zum Kovariationsaspekt

Eine Reflexion über die Messwerttabelle kann erste Aspekte der Kovariation anregen.

Auszüge aus Arbeitsblattnotizen:„Je niedriger die Strecke, je weniger Zeit benötigt er.“„Die Strecke verdoppelt sich nicht.“ (gemeint ist der

Vergleich der Fahrstrecken eines beschleunigten Autos zwischen 1 bis 3 s mit 2 bis 4 s Fahrzeit).

„Wenn sich die Höhe der Luftsäule verdoppelt, halbiert sich der Druck.“

Die Durchführung des Experiments kann die Hypothesenbildung

vor dem Hintergrund des Kovariationsaspekts anregen.

Erstes Beispiel, Experiment Feder:

Auszug aus einem Beobachtungsprotokoll, :

Nach dem Anhängen und Messen

von 100g und 200g stellen die Schüler

sofort Vermutungen an.

S1: Was wäre dann bei 200kg?

S2: Das müssen dann 2000N sein, weil,

wenn 200g 2N sind, dann sind 200kg

das 1000fache, also 2000N.

Die Durchführung des Experiments kann die Hypothesenbildung

vor dem Hintergrund des Kovariationsaspekts anregen.

Zweites Beispiel, Hebel: Kraft und Kraftarm

Auszug aus einem SchülerdialogS1: Jetzt hängen wir mal ganz hinten hin.S1 misst 25,5 cmS2 misst: 0,6 N. Das müsste eigentlich bei 36 cm sein.S3: Es müsste immer eins weniger rauskommen,

wenn man weiter hinten anhängt.S2: 18 sind es jetzt.S1 misst: Das sind 1,3 N.S3: beim nächsten müsste dann 0,1 N dazu herauskommen.S1: Bei 13 cm sind es 2,1 N.

Zur Begriffserweiterung

Experimente können auf eine Begriffserweiterung führen,die sich durch eine Abkehr vom optischen Eindruck hin zu einer Beschreibung des funktionalen Verlaufs ausdrückt.

Beispiel: Die Schülergruppe im Experiment Druck stellt folgendeHypothese auf, die sie schriftlich fixiert:

Je mehr Druck, desto weniger Volumen.

Nachdem die Schülerinnen und Schüler die durch Messung ermittelten Werte grafisch dargestellt haben, stellen sie fest:

Unsere Vermutung war richtig.

Zum Wechsel zwischen Funktionstypen

Ein Wechsel zwischen verschiedenen Funktionstypen innerhalb der Stationen regt (eher) Interpretationen und Vorstellungen bezüglich Zuordnung und Kovariation an.

Beispiel: Der Beobachtung nach erwarteten Achtklässler in allen Situationenproportionale Zusammenhänge, d.h. das Bild einer Geraden durch den Ursprung.Durch das Erfahren nicht-proportionaler Zusammenhänge wird dieseErwartungshaltung durchbrochen und die Überlegungen weg vom Bild auf Zusammenhänge gelenkt.

Beispiel:Die Schüler diskutieren über den Zusammenhang zwischenBeleuchtungsstärke und Abstand von der Lichtquelle, nachdem sie imVorexperiment zwei Messwerte ermittelt haben.S1: Es ist normal net proportional.S2: Na, dann machen wir es halt gschwind; dann wissen wir es.S1 zeichnet in ein Koordinatensystem. Gemeinsam wird die Einteilungüberlegt und die gemessenen Messwerte eingetragen.S2: Das ist nicht proportional.S1: Sicher?S3: Außer der Strich geht so.S2: das ist nicht proportional, hab ich doch gesagt.Die Schüler nehmen nun verschieden lange Röhren und nehmen viele Messwerte auf, bevor sie endgültig die Vermutung bestätigen.

Ein Wechsel zwischen verschiedenen Funktionstypen innerhalb der Stationen regt (eher) Interpretationen und Vorstellungen

bezüglich Zuordnung und Kovariation an.

Rolle des Alltagsbezugs

• Die angesprochenen Alltagserfahrungen und Realitätsbezügeregen einen verbalen Austausch an, führen auf Hypothesenund helfen die Situation modellieren.

• Der Alltagsbezug im Experiment führt zu einer Abkehr vom optischen Eindruck des Schaubilds.

• Die Kommunikation über den Alltagsbezug und das Experiment erscheint als ein wesentlicher Impuls für den Funktionsbegriffserwerb und muss im Zusammenhang mit den Experimenten individuell angeregt werden.

Kommunikation anregen!

Erstes Beispiel:Aufgabe aus dem Arbeitsblatt: Betrachte die Tabelle. Erkennst dubesondere Zusammenhänge? Welche? Schreibe alles, auf, was dir auffällt.

Ausschnitt aus dem Schülergespräch:S1: Es kommt immer darauf an, wie hoch du,

ja es kommt darauf an, von wo es schwingt, ja von da oben.

S2: Das ist net der Zusammenhang.S1: ja, aber da steht, schreib alles auf, was dir einfällt, auffällt.…S2: Nee, schreibe besondere Zusammenhänge. Du musst denken!

Je länger man das Pendel …Die anderen Schülerinnen schreiben unbeirrt weiter: … immer langsamer,

bis es zum Stillstand kommt.

Kommunikation anregen!

Zweites Beispiel:Auszug aus einer Präsentationsbesprechung:

S1: Wir haben den Zusammenhang zwischen Kabellänge und Gewichtbeschrieben. Und mit dem Gewicht kann man die Längeherausfinden und mit der Kabellänge halts Gewicht. Das einzige was man tun muss, ist halt rechnen.

….S2: Was hat denn zum Beispiel ein 35er für ein Gewicht?S1: Das haben wir nicht ausgerechnet.Schülerprotest „jah“ und Aufschrei in der Klasse. Durch die Anregung durch die Mitschüler wird geklärt, dass dies einfach aus dem Schaubild ablesbar ist.

Verknüpfung von Experiment mit Alltagsbezug

die funktionale Abhängigkeit wird anschaulich!

„Das zweite Projekt nannten wir ´Licht und Tunnel´. Je weiter das Autoin den Tunnel fährt, desto dunkler wird es. Die erste Rolle hatte eine Länge von 9,7 cm. Als wir sie mit einer Seite ans Fenster hielten,betrug die Helligkeit sehr gute 36 lux. Als wir ein Papprohr mit einerLänge von 30 cm ans Fenster hielten, konnten wir nur noch eineHelligkeit von 0,1 lux. An einem extra hierfür gezeichneten Schaubildkonnten wir genau ablesen, wie viel Helligkeit zu Anfang des Tunnelsherrscht, und wie die Helligkeit immer mehr abnimmt.“

Auszug aus einem Abschlussbericht einer Schülergruppe:

• Einige Schülereindrücke

„Ich habe die Station freier Fall gut gefunden,weil in der Station Freier Fall ist man nicht bloß auf sich allein gestellt.Man kann die Aufgaben nur im Team lösen, weil einer muss den Ball fallen lassen und der andere muss die Zeit stoppen. Das ist das Schwierigstean dieser Aufgabe: Man muss lernen, in der Gruppe zu arbeiten.“

„Interessant fand ich auch das Verhalten der Autos auf langen und kurzenStrecken. Bei Station 1 haben wir festgestellt, umso länger das Papprohr,desto dunkler wird es.“

„..Bei 9 haben wir gedacht, es wäre Physik. Es war aber Mathe. AlsoPhysik und Mathe haben viel gemeinsam.“

„Ich fand den Versuch einfach Klasse, denn man muss sich das nichtnur vorstellen, sondern kann es selbst versuchen.“

„Mit dem Koordinatensystem hatten wir Probleme.“

„Die Gruppen hätte man anders einteilen können. Denn wer mit T. und M.in einer Gruppe ist, der ist arm dran, da sie denken, sie sind der Chef inder Gruppe.“

„Das Experimentieren hat richtig Spaß gemacht.“

• Ende

Mehr Experimente in:

A. Beckmann: Experimente zum Funktionsbegriffserwerb, Köln (Aulis Verlag Deubner) 2006