Gauß-Jordan-Verfahren

Tableau-Form

• Lineares Gleichungssystem

1x + 2y +1z –2w = 22x + 4y +3z –5w = 41x + 3y +2z + 2w = 8

• Tableau

822314534222121

Elementaroperationen

• Multipliziere eine Zeile mit einem von null verschiedenen Faktor

• Vertausche zwei Zeilen

• Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile

Idee des Gauss-Jordan Verfahrens

• Transformation des Gleichungssystems (Tableaus) in eines in Stufenform

Stufenform1. Wenn eine Zeile nicht nur Nullen enthält, dann ist

der erste von null verschiedene Eintrag eine 1.2. Wenn eine Zeile nur Nullen enthält, ist diese

entweder die unterste Zeile oder alle Zeilen unter ihr enthalten auch nur Nullen.

3. In zwei Zeilen, welche nicht nur Nullen enthalten, steht die führende 1 in der oberen der beiden Zeilen links von der führenden 1 in der unteren der beiden Zeilen.

4. Jede Spalte, welche eine führende 1 enthält, enthält außer dieser nur Nullen.

Stufenform

• Lineares Gleichungssystem

1x + 0y +0z –11w = -10

0x + 1y + 0z + 5w = 6

0x + 0y + 1z – 1w = 0

• Tableau

01100650101011001

Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems

• Lineares Gleichungssystem

1x + 0y +0z –11w = -10

0x + 1y + 0z + 5w = 6

0x + 0y + 1z – 1w = 0

Auflösen nach x,y,z ergibt:

x=11w – 10,y= – 5w+6, z=w. w kann beliebig gewählt

werden.

Gauß-Jordan Verfahren

1. Setze k=0.2. Wenn k=N Stopp, sonst k=k+1.3. Finde unter den Spalten, welche in den Zeilen k… N nicht

nur Nullen haben, diejenige Spalte l welche am weitesten links steht. Falls es keine solche Spalte gibt, Stopp .

4. Wenn notwendig, tausche Zeilen so, dass der Eintrag akl von null verschieden ist.

5. Multipliziere die Zeile k mit 1/ akl.6. Addiere Vielfache der Zeile k zu allen anderen Zeilen so,

dass in der Spalte l außer in der k-ten Zeile nur Nullen stehen. Gehe zu Schritt 2.