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Geodésicas en la métrica de Schwarzschild y Kerr. Tratamiento numérico

Zamora Ramos, Rafael Licenciatura de Ciencias Físicas. Facultad de Física. Avd. Reina Mercedes, s/n.

Universidad de Sevilla. E-41012 Sevilla, Spain.

En este trabajo, se pretende estudiar las órbitas de un planeta ligero inmerso en un es-pacio deformado por una estrella masiva esférica y estática, haciendo uso de la Teoría General de la Relatividad mediante resolución numérica de las ecuaciones correspon-dientes. Se analizarán los posibles casos y sus diferencias con el caso no relativista. El mismo procedimiento se aplicará a la trayectoria de un rayo de luz en el marco relativis-ta. Finalmente veremos, sin profundizar mucho, qué efectos se siguen de una estrella en rotación. Se hará énfasis en señalar que, para que estos efectos sean observables de for-ma evidente a los sentidos del ser humano es necesario que la estrella sea en realidad un agujero negro.

En todo el trabajo vamos a utilizar unidades geometrizadas, en las que la velocidad de la luz y la constante de la gravitación valen la unidad. En la Teoría General de la Relatividad el espacio, el tiempo y la masa están totalmente ligados, por lo que puede usarse la misma unidad para las tres. Este sistema tiene una gran ventaja en el tratamiento de las ecuaciones. De todas formas, siempre podemos cambiar al sistema de unidades MLT, usando la tabla 2 de conversión que aparece al final del trabajo. Supondremos un espacio vacío en el que hay un cuerpo masivo esférico estático. Resolviendo las ecuaciones de Einstein para el vacio se obtiene la solución de Schwarzschild que cumple la siguien-te métrica en coordenadas polares:

푑푠 = 1− 푑푟 + 푟 푠푒푛 휃푑휙 + 푟 푑휃 − 1− 푑푡 . En esta métrica se puede comprobar que existen varias simetrías que van asociadas a la existencia una magnitud invariante. Las dos magnitudes invariantes que en nuestra discusión nos interesan son, el momento angular l y la “energía” e.

Nos interesa buscar la trayectoria de partículas con masa en ese espacio. Para eso, buscamos la geo-désica de esta métrica, que sería la trayectoria de esa partícula, teniendo siempre presente que la masa de la partícula es tan pequeña respecto a la de la “estrella” que se puede anular su aportación a la métrica del espacio. Tenemos pues que:

ℒ = 푔 푥̇ 푥̇ = −1 , (1)

que para nuestra métrica corresponde con:

ℒ = 1− 푟̇ + 푟 푠푒푛 휃휙̇ + 푟 휃̇ − 1− 푡̇ = −1 . (2)

2

Las ecuaciones de Lagrange asociadas son:

ℒ̇− ℒ = 0

Teniendo en cuenta que:

푥 = 푟 푥 = 휃 푥 = 휙 푥 = 푡

De las ecuaciones de Lagrange obtenemos 4 ecuaciones, de las que usaremos las tres últimas.

2푟 휃̇ − 푟 2휃̇푐표푠휃휙̇ =0 2푟 휃̇ 1 − 푐표푠휃휙̇ = 0 휃̇ = 0 휃 = 푐표푛푠푡푎푛푡푒 (3)

푟 푠푒푛 휃휙̇ = 0 푟 푠푒푛 휃휙̇ = 푙 (4)

푡̇ 1 − = 0 푡̇ 1 − = 푒 . (5)

(Las derivadas son respecto al tiempo propio τ.) De (3) se deduce que las geodésicas y, por tanto, las trayectorias son planas. Podemos escoger, sin pérdida de generalidad, 휃 = 휋/2 . Por tanto, (4) quedaría de la forma:

푟 휙̇ = 푙 . (6) Sustituyendo (5) y (6) en (2) :

1−2푀푟

푟̇ + 푟 푙푟− 1−

2푀푟

푒

1− 2푀푟

= −1

1− 푟̇ + − = −1.

Multiplicando por 1− :

푟̇ +푙푟 1−

2푀푟 − 푒 = − 1−

2푀푟

= 푟̇ + + − . (7) Podemos interpretar como la energía ℇ y + − como un potencial efectivo 푉 (푟). Por lo tanto,

3

ℇ = 푟̇ + 푉 (푟). (8)

Y podemos compararlo con el caso Newtoniano que vamos a recordar brevemente. Caso Newtoniano Partimos de la conservación de la energía total de la partícula.

퐸 = 푚푣 − = 푚푟̇ + 푚푟 휙̇ − , (9) y teniendo en cuenta la conservación del momento angular:

퐿 = 푚푟 휙̇ . (10) Sustituyendo (10) en (9):

퐸 = 푚푟̇ + − . (11) Definimos el potencial efectivo:

푉 (푟) = − , (12)

quedando (11) de la forma:

퐸 = 푚푟̇ + 푉 (푟) . (13)

Si nos fijamos en la función 푉 (푟), vemos que los puntos de corte con la recta E nos dan puntos de retorno, ya que en ellos 푚푟̇ = 0, como se deduce de (13). En la figura 1 representamos la función 푉 (푟) en rojo, en azul, − en negro y la ener-gía total en línea discontinua. Podemos distinguir cuatro situaciones dependiendo del valor de E:

El primer caso sería cuando la energía corte en el mínimo del potencial y la órbita sería de radio constante y, por tanto una circunferencia, que es el límite del caso siguiente.

En este segundo caso hay dos puntos de corte y la órbita estará ligada entre el valor de los dos radios en que corta la energía con el potencial efectivo. Como veremos posteriormente, la órbita corresponde a una elipse.

El tercer caso corresponde a energía cero, en la que hay un solo punto de retorno y la partí-cula se para en el infinito. Este caso coincide con una trayectoria parabólica.

El cuarto caso es el de energías positivas, en el que hay un solo punto de retorno y la órbita es no ligada, coincidiendo con una hipérbola.

4

Fig. 1. Representamos en color rojo el potencial efectivo Newtoniano frente a r y los dos términos del potencial efectivo. En líneas discontinuas se representan tres valores de la energía: negativo, nulo y positivo. El caso B-B´ corresponde con trayectorias elípticas, el A con parábolas y el C con hipérbolas.

Para obtener la ecuación diferencial que gobierna las trayectorias partimos de (11) y (10). Además, teniendo en cuenta que = , obtenemos:

퐸 = + − , (14) que es más fácil de resolver si usamos el siguiente cambio de variable: 푢 = 1/푟.

푑푟푑휙 =

푑(1/푢)푑휙 = −

1푢푑푢푑휙

De modo que (14) pasa a tener la siguiente forma:

퐸 = + − 퐺푀푚푢 . (15) Si derivamos (15) respecto de 휙:

+ − 퐺푀푚 = 0. (16) Supondremos que ≠ 0, es decir, que las trayectorias no son circulares; y que 퐿 ≠ 0, trayectorias

no rectas (no caída libre), por lo que podemos dividir 퐿 , obteniendo:

+ 푢 = , (17)

5

Ecuación inhomogénea1 de fácil solución analítica:

푢(휙) = + cos휙 , (18) siendo e la excentricidad de la órbita2 y cumpliendose las siguientes condiciones iniciales:

푢̇(0) = 0 푢(0) = ( ) = 푢 . (19)

Deshaciendo el cambio de variables y definiendo = , tenemos:

푟(휙) = , (20) con

푟̇(0) = 0 푟(0) = = 푟 (perihelio) 푟(휋) = = 푟 (afelio) (21)

La ecuación (20) es una cónica en polares en la que distinguimos:

푒 = 0 → Circunferencia 푒 < 1 → Elipse 푒 = 1 → Parábola 푒 > 1 → Hipérbola

Una vez recordado el caso Newtoniano, volvamos a nuestra ecuación para el caso relativista. En este caso porque nos interesa compararlo con el caso Newtoniano, vamos a usar unidades MLT, el cambio es fácil teniendo en cuanta las tablas 1 y 2 del final del trabajo:

ℇ = 푟̇ + + − . (22) Podemos encontrar mayor similitud si definimos

퐸 = 푚푐 ℇ y 퐿 = 푚푙. Sustituyendo en (22):

퐸 = 푚푟̇ + + − (23) que salvo por el último término3, que sería una corrección de la Teoría General de la Relatividad, es comparable al caso Newtoniano. Pero debemos siempre tener presente una diferencia entre (23) y 1 La solución general de la ecuación inhomogénea es la suma de la solución general de la homogénea más una solu-ción particular de la inhomogénea. 2 No confundir con la energía definida en (5).

6

(11): en la ecuación relativista estamos derivando con respecto al tiempo propio y r no es la distan-cia a ningún centro, ya que la métrica no es la métrica plana en coordenadas esféricas y, por tanto, no coincide con la distancia del centro al planeta. A pesar de las diferencias, aún podemos clasificar el tipo de órbitas de la misma forma que hacía-mos en el caso clásico. Volvemos a la ecuación (7).

ℇ = 푟̇ + + − . (24) Dependiendo de los valores de l y M tendremos un tipo de potencial efectivo, y el valor de ℇ nos dará el tipo de órbita posible, de forma análoga al caso Newtoniano. Si definimos las variables adimensionales, 푙∗ = 푦푟∗ = , el potencial efectivo puede escri-birse como:

푉 (푟∗) = ∗ +∗

∗ −∗

∗ . (25) Por lo que el potencial efectivo depende sólo del parámetro 푙∗. Podemos encontrar varios tipos:

Fig. 2. En este gráfico representamos en el eje de ordenadas el potencial efectivo y en el de abscisas r / M. En rojo representamos un potencial con = 2; en azul un po-

tencial con un punto de inflexión con = √12, cuyo punto de inflexión está en

= 6; en negro, con = 4, el potencial presenta un máximo en cero; y en verde

= 5, en el que el máximo del potencial es ya positivo. Las posibles órbitas dependen, por tanto, del tipo de potencial y del valor de ℇ. Para estudiar el potencial efectivo, es interesante encontrar sus máximos y mínimos. Para ello deri-vamos el potencial efectivo: 3 Este término solo es importante para M muy grandes o para r muy pequeñas. En el caso del Sol el término llegaría a ser importante para distancia de pocos kilómetros, y teniendo en cuenta que el radio del Sol es 696000 Km, esas dis-tancias no son alcanzables y por esa razón la teoría Newtoniana funciona tan bien en el sistema solar.

20 40 60 80rM

0.20

0.15

0.10

0.05

0.05

0.10

0.15

V

7

( ∗)∗ = ∗ −

∗

∗ +∗

∗ , y lo igualamos a cero:

1푟∗

−푙∗

푟∗+

3푙∗

푟∗= 0

푟∗ − 푙∗ 푟∗ + 3푙∗ = 0, y obtenemos dos soluciones posibles:

푟∗ =∗

1 ± 1 − ∗ , (26)

que son los máximos y mínimos de potencial. Cuando 푙∗ = √12 hay una solución doble y tenemos un punto de inflexión, en el que 푟∗ = 6, que está representado en color azul en la figura 2. Un caso interesante del potencial efectivo se da cuando el valor máximo es nulo. Lo podemos ver en la figura 2, en negro, y sucede cuando 푙∗ = 4. Todo lo anterior podríamos realizarlo con la variable r en vez de 푟∗, obteniendo:

푟 =푙

2푀 1 ± 1 − 12푀푙

푟 = 6푀 con = √12 푉 푟 = −

푟 = 4푀 con = 4푀 y 푉 (푟 ) = 0. El caso más simple lo encontramos para l =0, en el que tenemos el problema de caída libre, ya que al ser 휙̇ = 0 la geodésica seria radial. Este caso lo trataremos de forma diferenciada más adelante. Casos posibles para energías negativas Claramente la geometría queda definida por las raíces de la ecuación 푉 (푟) − ℇ = 0, que son tres. Esta situación que es más inmediata de comprobar si realizamos el cambio 푢∗ = ∗ , quedándonos:

푙∗ 푢∗ −∗푢∗ + 푢∗ + ℇ = 0 , (27)

que es un polinomio de tercer orden y, por tanto, tiene tres raíces, pudiendo ser las tres reales o una real y dos complejas conjugadas. Pero como es mas intuitivo usando la variable r, seguiremos la busqueda de las raíces de

∗

∗ −∗

∗ + ∗ + ℇ = 0 . (28) Podemos ver en la figura 3 los posibles casos en los que nos podemos encontrar:

8

Raíces reales Caso 푟 , 푟 , 푟 a 푟 = 푟 , 푟 b 푟 , 푟 = 푟 c 푟 = 푟 = 푟 d

푟 e 푟 f

Suponemos que el orden de las raíces reales, que son positivas, es:

푟 ≤ 푟 ≤ 푟 . (29) Caso a Hay dos posibles órbitas:

Una órbita ligada que oscilaría entre r2 y r3. Tendría su analogía Newtoniana en las órbitas elípticas, aunque en este caso no son realmente elípticas, como podremos observar en las fi-guras 8, 9, 10 y 11.

Una órbita que empieza en r1 y termina cayendo en el origen. Caso b Tenemos en este caso también dos tipos de órbitas:

Una órbita circular inestable en r1. Sabemos que es inestable porque al ser un máximo del potencial cualquier perturbación en la energía lo alejaría de una órbita ligada, esto podemos comprobarlo en el cálculo numérico dejando que pasen suficientes iteraciones para que el error de cálculo nos aleje del máximo y vemos que es inestable como podemos observar en la figura 13.

Una órbita cuya forma recuerda a la espiral logarítmica, desde r3 asintótica a r1. Caso c De nuevo podemos considerar dos tipos de órbitas:

Una órbita circular estable en r3 que tiene un radio mayor que la anterior órbita circular ines-table y que coincide con el valor mínimo del potencial.

La segunda es una órbita que empieza en r1 y cae al origen.

Caso d En este caso las tres raíces coinciden y tenemos una órbita estable circular en el valor de la raíz, que es la última órbita circular estable posible. También hay órbitas de caída al origen. El radio de esta órbita es 6M y el punto triple aparece cuando = √12 en el potencial efectivo. Esta raíz coincide con el punto de inflexión r = 6M, que normalmente en la literatura se denomina r , haciendo referencia a “Innermost Stable Circular Orbit”. Caso e Sólo hay una raíz real positiva y la única órbita posible es caída en espiral a la singularidad. Caso f En este caso solo son posibles órbitas de caída en el origen. El potencial efectivo en este caso no posee máximos ni mínimos relativos, esta situación se da cuando < √12.

9

(a) (b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Fig. 3. Observamos diferentes soluciones para la ecuación 푉 − ℇ = 0 con ℇ < 0 :

(a) Hay tres raíces reales negativas. Coincide con el caso equivalente a órbitas Keplerianas. (b) Una de las raíces es doble y coincide con el máximo del potencial efectivo. Nos lleva a una órbita cir-cular inestable. (c)Tenemos una raíz doble, que en este caso coincide con el mínimo del potencial efectivo y da una órbita circular estable. (d) Es precisamente cuando el potencial tiene un punto de inflexión y la raíz triple coincide con este punto, dándose una órbita circular estable, la de menor r posible. (e)Sólo hay una raíz real. ( f) Es para valores de < √12 , en donde no hay ni máximos ni mínimos relativos.

5 10 15 20 25 30 35rM

0.20

0.15

0.10

0.05

V 10 20 30 40 50rM

0.20

0.15

0.10

0.05

V

5 10 15 20 25 30rM

0.20

0.15

0.10

0.05

V

5 10 15 20 25 30rM

0.20

0.15

0.10

0.05

V

10 20 30 40 50 60rM

0.20

0.15

0.10

0.05

V

10 20 30 40 50 60rM

0.20

0.15

0.10

0.05

V

10

Casos posibles para energías positivas Consideramos potenciales efectivos con > 4푀 y, por tanto, que tiene valores en el primer cua-drante, como podemos ver en la figura 4. Vemos que en este caso puede haber raíces negativas y no hay posibilidad de órbitas circulares es-tables, ni de órbitas ligadas distintas de la circular inestable. Tenemos, pues, tres casos posibles, que son:

Fig. 4. El potencial tiene un máximo positivo. Como vemos en la gráfica también tiene valores negativos, lo que implica que existirá una raíz negativa para 푉 − ℇ = 0.

Fig. 5. (A) Hay tres raíces reales: 2 positivas y una negativa, que no tiene sentido físico

40 20 20 40rM

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5V

40 20 20 40rM

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5V

11

Fig. 6. (B) Hay tres raíces reales: 2 positivas coincidentes y una negativa que no tiene sentido físico .

Fig. 7. (C) Hay una raíz real negativa que no tiene sentido físico y dos com-plejas conjugadas.

Caso A La ecuación 푉 (푟)− ℇ = 0 tiene dos raíces reales positivas y una negativa que carece de sentido físico. Las órbitas posibles son: una órbita de dispersión, que equivaldría a las trayectorias hiperbólicas Newtonianas, y una órbita de caída en la singularidad. Caso B Las dos raíces reales coinciden en un máximo del potencial efectivo y llevan a una órbita circular inestable. Además aparecen órbitas de caída en el origen. Caso C Hay dos raíces complejas conjugadas además de la consabida solución negativa. Las órbitas posi-bles son de caída en la singularidad.

40 20 20 40rM

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5V

40 20 20 40rM

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5V

12

Estudio numérico Para poder representar las órbitas anteriormente comentadas, podemos resolver las ecuaciones dife-renciales analíticamente usando las aproximaciones oportunas o intentar resolverlas numéricamente. Éste último es el método que me planteo en este proyecto, para lo cual parto de las siguientes ecua-ciones: Método 1 Partimos de ℇ = 푟̇ + + − y derivamos respecto al tiempo propio

= − + − . (30) Despejando de (6):

= . (31) De (2):

1− 푟̇ + 푟 휙̇ − 1− 푡̇ = −1.

Deducimos:

푑푡푑휏 =

1

1− 2푀푟

+푟 푑휙

푑휏1− 2푀

푟+

푟̇

1− 2푀푟

= + + ̇( )

. (32) Las ecuaciones (30), (31) y (32) las he usado con las condiciones iniciales:

푟(0) = 푟 푟̇(0) = 04 푡(0) = 0.

Este sistema de ecuaciones presenta el problema de divergencia para 푟 = 2푀, es decir, para 푟 = 푟 , siendo 푟 = 2푀 el radio de Schwarzschild, que es el límite del horizonte de sucesos y el tamaño máximo que debe tener una estrella para considerarse agujero negro.

4 El tomar esta condición inicial nos restringe simplemente a un punto concreto de la órbita, facilitando el cálculo numérico, sin menoscabar la generalización de las soluciones.

13

Método 2 Otra forma de integración numérica es partir de ℇ = 푟̇ + + − y usar =

휙

휙 y (31). Obtenemos:

ℇ = + + − . (33)

Pero es más conveniente para la resolución de la ecuación pasar a la variable 푢 = , de donde

= ( / ) = − .

(33) queda de la forma:

ℇ = + −푀푢 + −푀푙 푢 .

Reordenando términos:

− + 푢 − 2푀푢 − ℇ = 0 , (34)

con la condición inicial

푢(0) = 푢 .

Método 3 Partimos de (34) y derivamos respecto de 휙:

2 − + 2푢 − 6푀푢 = 0.

Suponiendo que ≠ 0, es decir, que la órbita no es circular, dividimos por 2 :

+ 푢 − 3푀푢 = , (35)

con las condiciones iniciales

푢(0) = 푢 푢̇(0) = 0

Los tres métodos los he usado para representar la trayectoria de la partícula de prueba en una métri-ca de Schwarzschild, dando resultados idénticos a excepción del primer método en 푟 = 푟 . Para la integración numérica me he ayudado de la herramienta informática “Wolfram Mathemática 8.0”. Particularidades de la métrica de Schwarzschild Hemos de tener en cuenta las posibles singularidades del problema, en nuestro caso de la propia métrica:

14

푑푠 = 1− 푑푟 + 푟 푠푒푛 휃푑휙 + 푟 푑휃 − 1− 푑푡 ,

que se puede reescribir:

푑푠 = 1− 푑푟 + 푟 푠푒푛 휃푑휙 + 푟 푑휃 − 1− 푑푡 (36)

Con 푟 = 2푀, que es el llamado radio de Schwarzschild, vemos que la métrica tiene dos singulari-dades: una en r = 0 y otra en 푟 = 푟 . Para comprobar si son singularidades físicas o aparecen por la elección del sistema de coordenadas, podemos buscar un escalar, que no depende de la elección de las coordenadas, y ver si es singular respecto a este punto. Ésta es una condición necesaria para que un punto sea singular, pero no suficiente [21]. En nuestro caso, para la métrica de Schwarzschild po-demos calcular el escalar:

푅 푅 = , (37) (Véase bibliografía [21])

que nos muestra que r = 0 es una singularidad física. Pero, sin embargo, se puede comprobar que ninguno de los invariantes de curvatura diverge en 푟 = 푟 , por lo que esta singularidad en ese punto no es realmente tal sino que es debida a la elección del sistema de coordenadas y con otra elección se puede salvar. El límite 푟 = 푟 es un horizonte de sucesos que indica que lo que suceda tras ese punto no es obser-vable por puntos en el exterior. Esto ha querido ampliarse en general con la llamada conjetura de censura cósmica, formulada por Roger Penrose en 1969, en la que se supone que un horizonte de sucesos ocultaría las singularidades físicas a los observadores exteriores al mismo para evitar el problema de causalidad que pueden crear tales singularidades. Pero hasta el momento es una conje-tura y no se ha demostrado en caso general. Vamos a mostrar un conjunto de órbitas representativas tanto para energías negativas como positi-vas. Todas ellas han sido obtenidas mediante integración numérica con alguno de los tres métodos mostrados anteriormente. En algunas gráficas, donde la trayectoria no atraviesa el radio de Sch-warzschild, el interior del círculo de radio 푟 ha sido pintado en negro.

15

Empezamos mostrando las órbitas con energía negativa. Órbitas para ℇ < 0

Fig. 8. l=10, r0=1000, M = 0.5, 푟̇ = 0.

Representa un campo débil5 con M= 0.5 y con r0=1000. En ella podemos observar que las órbitas se acercan a las Keplerianas pero con una precesión6 del perihelio de la órbita.

Fig. 9. l=4, r0=35, M = 0.5, 푟̇ = 0. Observamos el mismo efecto que en fig. 8 para una órbita menos excéntrica.

Fig. 10. l=4, r0=35, M = 0.8, 푟̇ = 0.

El campo no es débil por lo que observamos que la órbita no se asemeja a una elipse con una precesión de su perihelio. En el caso del Sistema Solar para poder sentir un campo tan fuerte deberíamos estar en una órbita menor al radio solar, cosa en todo imposible. La órbita representada se observaría en estrellas cuya relación entre su masa y “radio” fue-ra suficientemente pequeña7.

Fig. 11. l=19/5, r0=6, M = 1, 푟̇ = 0

Vemos de forma más llamativa la órbita ligada de tipo (a) de la figura 3, en la que existe un radio mínimo y otro máximo entre los cuales discurre la trayectoria.

5 Aún con estos datos, el campo es mucho más fuerte que en el caso del Sol y Mercurio. M⊙ = 2.96 Km y r0 = 58000000 Km. 6 En el caso de Mercurio la precesión es de 42.9 segundos de arco por siglo. 7 En este caso 푟 = 2 ∙ 푀 = 1.6 y 푟 = 35 = 21.875 ∙ 푟 . Es decir, en estrellas cuyo radio sea inferior a 22 푟 pueden existir órbitas de ese tipo, en las que se sienta este “campo gravitatorio” tan fuerte o, en términos más precisos, que el espacio tiempo se haya de-formado fuertemente (recordemos que en Teoría General de la Relatividad no existe campo gravitatorio).

1000 500 500 1000

1000

500

500

1000

40 20 20 40

40

20

20

40

40 20 20 40

40

20

20

40

30 20 10 10 20 30

30

20

10

10

20

30

16

Fig. 12. l=19/5, r0=rmax, M = 1, 푟̇ = 0.

Podemos observar una trayectoria circular inesta-ble, que sería representativa del caso (b). Represen-tamos por un disco negro el círculo interior del ra-dio de Schwarzschild.

Fig. 13. l=19/5, r0=rmax, M = 1, 푟̇ = 0 . Trayectoria circular inestable en la que una ligera per-turbación, en este caso de cálculo numérico, hace que la órbita se precipite al origen.

Fig. 14. l=19/5, r0=rmin, M = 1, 푟̇ = 0. Representa una órbita circular estable cuyo “radio” es el mínimo del potencial efectivo. Por tanto, nos encontramos en el caso (c).

Fig. 15. l= √12, r0=rinf=6, M = 1, 푟̇ = 0. Observamos otra vez una órbita circular estable, pero en este caso es la de “radio”8 más pequeño posible y coincide concretamente con el punto de inflexión del potencial efectivo para 푙 푀 = √12, que es el caso (d).

8 Ya mencionamos que a este “radio” se le denomina rISCO. El poner entre comillas la palabra radio se debe a que real-mente en la métrica de Schwarzschild “r” no coincide con la distancia al centro, aunque sí en el límite Newtoniano.

6 4 2 2 4 6

6

4

2

2

4

6

4 2 2 4

4

2

2

4

15 10 5 5 10 15

15

10

5

5

10

15

5 5

5

5

17

Fig. 16. l=19/5, r0=40, M = 1, 푟̇ = 0.

Fig. 17. l=19/5, r0=40, M = 1, 푟̇ = 0.

Las figuras 16 y 17 corresponden con el caso (e), en el que la energía es mayor que el valor máximo del potencial. En este caso no hay órbitas ligadas y aparece una órbita que cae a la singularidad.

Fig. 18. l=2, r0=40, M = 1, 푟̇ = 0. Fig. 19 l=2, r0=40, M = 1, 푟̇ = 0.

Estas dos figuras representan el caso (f), en el que el potencial efectivo no tiene ni máximos ni mínimos y no exis-ten órbitas ligadas.

Fig. 20. l=19/5, r0=3.50467, M = 1, 푟̇ = 0. Fig. 21. l=19/5, r0=3.5046, M = 1, 푟̇ = 0.

Estas dos figuras representan el caso (a) con órbitas no ligadas de caída en el centro.

30 20 10 10 20 30

30

20

10

10

20

30

30 20 10 10 20 30

30

20

10

10

20

30

40 20 20 40

40

20

20

40

20 10 10 20

20

10

10

20

6 4 2 2 4 6

6

4

2

2

4

6

6 4 2 2 4 6

6

4

2

2

4

6

18

Fig. 22. l=19/5, r0=r3=33.7328, M = 1, 푟̇ = 0. Fig. 23. l=19/5, r0=r3=33.7328, M = 1, 푟̇ = 0.

Fig. 24. l=19/5, r0=r3=33.7328, M = 1, 푟̇ = 0.

En las figuras 22, 23 y 24 observamos trayectorias no ligadas, que también ocurren en el caso (b).

30 20 10 10 20 30

30

20

10

10

20

30

15 10 5 5 10 15

15

10

5

5

10

15

15 10 5 5 10 15

15

10

5

5

10

15

19

Órbitas para ℇ > 0

Para energías positivas, como ya vimos, existen tres tipos de órbitas que quedan representadas por las figuras de abajo:

Fig. 25. l=6, r0=5.45203 ,E=0.2 M=1.

Representa una órbita del tipo (A), que consideramos de dispersión. Es la equivalente a las órbitas hiperbólicas Newtonianas.

Fig. 26. l=6, r0=2.541,E=0.2 M=1. Representa otra órbita del tipo (A), en la que la partí-cula cae en la singularidad. En este gráfico aparece en negro el interior del horizonte.

Fig. 27. l=6, r0=2.541,E=0.2 M=1.

Representa una órbita del tipo (A), en la que la partícula cae en la singularidad.

Fig. 28. l=6, r0=18 1− = 푟 ,E=0.348, M=1.

Está representado el caso (B) de órbita circular ines-table, en la que acaba escapando de la órbita cerrada debido a perturbaciones numéricas.

30 20 10 10 20 30

30

20

10

10

20

30

4 2 2 4

4

2

2

4

4 2 2 4

4

2

2

4

30 20 10 10 20 30

30

20

10

10

20

30

20

Fig. 29. l=6, r0=18 1 − = 푟 ,E=0.348, M=1.

Se representa exclusivamente la órbita circular inestable y, en negro, el interior del horizonte de sucesos.

Fig. 30. l = 6, M =1, r0 = 5,E = 0.4. Esta figura corresponde al caso (C), de caída a la singularidad.

Geodésica radial Cuando el momento angular es cero, lo que aparece es una geodésica radial, que solo depende de r. Las ecuaciones que gobiernan estas geodésicas son (24) y (5) que en nuestro caso quedan:

ℇ = = 푟̇ + + −

푡̇ 1 − = 푒. Al eliminar l:

= + 푒 − 1 (38)

= . (39)

Consideraremos las trayectorias de las partículas que empiezan desde el reposo a una distancia ri y caen al origen. La distancia inicial está relacionada con e por:

푟 = (푟 = 푟 cuando푟̇ = 0).

Para obtener las ecuaciones de movimiento es más conveniente realizar el cambio de variables:

푟 = (1 + cos휂) = cos 휂 = 푟 cos 휂 . (40) Claramente 휂 = 0 cuando 푟 = 푟 . Los valores de 휂 al cruzar el horizonte 푟 = 2푀 y en la singulari-dad 푟 = 0 son respectivamente:

휂 = 휂 = 2푠푖푛 퐸 cuando 푟 = 2푀

4 2 2 4

4

2

2

4

4 2 2 4

4

2

2

4

21

y 휂 = 휋 cuando 푟 = 0.

Las ecuaciones (38) y (39) con ese cambio de variable son:

푑푟푑휏 = (1− 푒 )푡푎푛

12휂

=

, (41)

que juntas dan:

= −푟 푠푖푛 휂 푐표푠 휂 . (42)

Para partículas en caída libre nos quedamos con el signo negativo

= − (1 − 푒 )푡푎푛 휂 = − 푡푎푛 휂 (43)

Usando las ecuaciones (42) y (43) obtenemos:

= 푐표푠 휂 = (1 + cos휂) , (44) de donde:

휏 = (휂 + sin 휂) , (45) donde hemos supuesto que 휂 = 0 en 휏 = 0. De la ecuación se sigue que la partícula cruza el hori-zonte y alcanza la singularidad en un tiempo propio finito:

휏 = (휂 + sin 휂 ) y 휏 = 휋 . (46) La situación en muy diferente cuando consideramos la coordenada temporal t. La ecuación que puede ser integrada para obtener t se deduce de (41) y (44), y es:

= 푒 . (47)

La integración de esta ecuación da:

푡 = 푒 (휂 + sin휂) + (1− 푒 )휂 +2푀푙푔 (48)

Conforme a esta ecuación,

lim → 푡 = ∞ , (49)

22

que tiene un fuerte contraste con la conducta del tiempo propio τ. Así para un observador estaciona-rio en el “infinito” una partícula tarda un tiempo infinito en llegar al horizonte, mientras que para el tiempo propio la partícula llegaría al horizonte en un tiempo finito e incluso llegaría a la singulari-dad también en un tiempo finito. Estos hechos se ilustran en la figura 31.

Fig. 31 Representamos la variación de la coordenada tiempo (t) y tiempo propio τ a lo largo de una geodésica radial.

Geodésicas nulas Vamos a estudiar las órbitas de los rayos luminosos en la métrica de Schwarzschild, cálculo que es parecido al anterior pero con diferencias importantes. En el caso de la luz, ésta sigue una geodésica nula respecto a algún parámetro λ:

1− + 푟 푠푒푛 휃 + 푟 − 1− = 0 . (49)

La única diferencia con (2) es que a la derecha aparece 0 en vez de -1. Tenemos:

푒 = 1−휆 (50)

푙 = 푟 푠푖푛 휃 (51) Análogamente la órbita es plana y podemos escoger 휃 = 휋

2, por lo que (49) puede escribirse:

1− + 푟 − 1− 휆 = 0 . (52) Usando (45) y (46) para eliminar 휆 y , tenemos:

1− + − 1− 푒 = 0 . (53)

23

Multiplicando por 1−푙 , podemos ponerlo en la forma:

= + 푊 (푟) , (54)

donde

푏 = (55)

y

푊 (푟) = 1− (56)

que es el potencial efectivo para órbitas de fotones. La ecuación (54) tiene la forma de una integral de energía para movimiento radial con 푊 (푟) ju-gando el papel de un potencial efectivo y b-2 jugando el papel de la energía. Esta ecuación puede usarse para hallar las órbitas de las partículas luminosas de la misma forma que usamos (8) para analizar las órbitas de las partículas con masa, pero a diferencia del caso anterior las órbitas de los rayos luminosos dependen sólo de la relación 푙 푒 . El signo de l indica el camino que sigue el rayo luminoso alrededor del centro de atracción. El parámetro b es el parámetro de impacto.

Fig. 32. Representación de 푊 respecto a r/M. He representado tam-bién la parte negativa para observar que 푊 = tiene una raíz nega-tiva y dos positivas o complejas conjugadas.

Las soluciones de (54) dependen de las raíces de 푊 (푟) = . Como podemos ver en la figura 32 las raíces posibles son tres: una siempre negativa y las otras dos pueden ser reales positivas o com-plejas conjugadas. Por lo tanto los casos posibles los podemos resumir en la figura 33.

30 20 10 10 20 30rM

0.02

0.02

0.04

Wefe

24

Fig. 33. En las tres gráficas de arriba se representan 푊 y y podemos observar los puntos de corte. De arriba a abajo te-nemos: Tres raíces reales: de ellas una negativa y dos positivas. Una raíz real negativa y una raíz doble real positiva. Éste

es un caso límite que nos llevará a una órbita inestable circular.

Una raíz real negativa y dos complejas conjugadas.

Para encontrar las órbitas posibles podemos partir de (54), teniendo en cuenta que = y (51):

1푏 =

1푙

푑푟푑휃

푙푟 +

1푟 1 −

2푀푟

1푏 =

1푟

푑푟푑휃 +

1푟 1 −

2푀푟

= + − . (57) Si usamos el cambio 푢 = 1/푟:

30 20 10 10 20 30rM

0.02

0.02

0.04

Wefe

30 20 10 10 20 30rM

0.02

0.02

0.04

Wefe

30 20 10 10 20 30rM

0.02

0.02

0.04

Wefe

25

푑푟푑휙 =

푑(1/푢)푑휙 = −

1푢푑푢푑휙

nos queda:

= 2푀푢 − 푢 + . (58)

Si derivamos con respecto a 휙tenemos:

= 3푀푢 − 푢 . (59)

Tanto la ecuación (58) como la (59) las podemos utilizar para calcular numéricamente las órbitas de los rayos luminosos. Los casos posibles serán tres y están caracterizados por las raíces de 푊 (푟) =

, que vemos representadas en la figura 33. Debemos pues encontrar el máximo de la función 푊 (푟), ya que es un punto crítico de las soluciones.

= − + = 0 , (60) que da como solución:

푟 = 3푀 . (61)

Si sustituimos este valor en 푊 (푟) = obtenemos:

1푏 =

1(3푀) 1−

2푀3푀

푏 = √27푀 , (62)

que es el valor crítico del parámetro de impacto, pudiéndose resumir las órbitas en tres tipos: TIPO α Para 푏 > √27푀 las órbitas son de dispersión. TIPO β Para 푏 = √27푀 las órbitas son circunferencias inestables. TIPO γ Para 푏 < √27푀 las órbitas son de caída en el centro.

26

Fig. 34. Órbita para el tipo α, en el que el rayo luminoso se ve dispersado por el agujero negro.

Fig. 35. Órbita inestable que corresponde al caso crítico β.

Fig. 36. Caso que corresponde a caída en la singularidad, es de-cir, tipo γ.

4 2 2 4

4

2

2

4

6 4 2 2 4 6

6

4

2

2

4

6

27

Caso de agujeros negros rotantes, métrica de Kerr Debemos tener presente que la métrica de Schwarzschild es válida para estrellas esféricas y está-ticas. En realidad esto es una idealización, ya que las estrellas no son estáticas, sino que giran sobre sí mismas y además suelen estar achatadas por los polos debido a este giro. El achatamiento no es lo suficientemente importante para ser necesario considerarlo. Pero no es así en el caso de la rotación, que en algunos casos puede ser muy importante, por lo que debemos considerar estrellas esféricas que giran sobre sí mismas. La rotación de la estrella implica una energía y como en la Teoría Gene-ral de la Relatividad la energía y la masa son en realidad equivalentes, la energía también afecta a la métrica, por lo que la métrica en este caso resuelta por Kerr en 1963 cumple el diferencial de línea:

푑푠 = − 1− 푑푡 − 푑휙푑푡 + 푑푟 + 휌 푑휃 + 푟 + 푎 + sin θ푑휙 (63)

푎 = (64) 휌 = 푟 + 푎 cos θ (65) Δ = 푟 − 2푀푟 + 푎 (66)

Podemos ver que la métrica es invariante respecto de t e independiente de 휙. Por lo tanto: es esta-cionario y tiene simetría axial por lo que tendremos dos magnitudes que se conservan. Además es invariable ante una reflexión en el plano 휃 = 휋

2, lo que significa que 휃 va desde π a 휃. Podemos observar que cuando a = 0 obtenemos la métrica de Schwarzchild, como cabría esperar. En cuanto a las singularidades de esta métrica tenemos que se observan cuando 휌 → 0 y Δ → 0.

En el caso de 휌 = 0 tenemos que 푟 + 푎 cos θ = 0. Por lo tanto, 푟 = 0푦휃 = 휋2, que es una

singularidad equivalente a la singularidad r = 0 de la métrica de Schwarzchild (cuando a = 0). Por otra parte tenemos que si Δ = 0 entonces:

푟 − 2푀푟 + 푎 = 0 푟± = 푀 ± √푀 − 푎 (67) Supondremos que 푎 ≤ 푀. Estos radios no son singularidades físicas, al igual que sucedía con r = 2M en la métrica de Sch-warzchild, es decir, que podemos encontrar transformaciones de coordenadas para que estos radios no sean singulares. Concretamente 푟 nos da el horizonte de sucesos del agujero negro de Kerr, y dentro de este hori-zonte es donde se da la singularidad de 휌 = 0. En la métrica de Kerr el horizonte r = r+ gira con una velocidad angular Ω = . Además, como no es una métrica esférica, r = r+ no corresponde con una esfera. Sustituyendo r = r+ en el elemen-to 푑Σ queda:

푑Σ = 휌 (휃)푑휃 + ( ) sin 휃 푑휙 , (68) que no es una esfera. Concretamente para el caso extremo a = M, la distancia en el ecuador (휃 = ) es 4휋푀 y la distancia en los polos es < 7.6 M.

28

Fig. 35. El horizonte de un agujero negro rotante. La figura muestra una superficie en el espacio tridimensional que tiene la misma geometría para t constante que el horizonte de un agujero negro de Kerr. En este caso tomamos a/M = 86. La superficie está aplastada a lo largo del eje de rota-ción.

Vemos, pues, que a diferencia del caso de Schwarzchild el horizonte de sucesos no es una esfera. Otra diferencia importante es que las órbitas no son planas en general, aunque sí lo son las órbitas en el plano ecuatorial. En la figura 36 podemos observar dos órbitas ligadas en un agujero de Kerr, que claramente no son planas; han sido obtenidas directamente por integración numérica de las ecuaciones de movimiento. Órbitas en el plano ecuatorial En general, como ya mencionamos, las órbitas no están confinadas a un plano porque la magnitud que se conserva es la componente del momento angular paralela al eje de simetría.

Fig. 36. Órbitas ligadas en el caso de un agujero negro de Kerr. Podemos observar que no son planas y que son más complicadas que el caso de Schwarzchild. Están obtenidas con cálculo numérico usando Wolfram Mathemática 8.0

29

Sin embargo, en el plano ecuatorial 휃 = 휋2 sí lo son. Veamos este caso concreto con un poco más

de detalle. La métrica restringida a este plano es:

푑푠 = − 1− 푑푡 − 푑휙푑푡 + 푑푟 + 푟 + 푎 + 푑휙 . (69) Las dos magnitudes que se conservan en esta métrica son e que se puede interpretar como la ener-gía y l como la componente del momento angular paralela al eje de simetría por unidad de masa en reposo. En este caso, al ser órbitas ecuatoriales, l es el momento angular total y no una componente.

Concretamente son (véase para su deducción [1]):

−푒 = 푔 푢 + 푔 푢 (70) 푙 = 푔 푢 + 푔 푢 . (71)

Y obtenemos:

= 푟 + 푎 + 푒 − 푙 (72)

= 1− 푙 + 푒 (73)

= + 푉 (푟, 푒, 푙) (74)

푉 (푟, 푒, 푙) = − + − ( ) . (75)

Para la luz tenemos:

= −푊 (푟,푏,휎) (76)

푊 (푟, 푏, 휎) = 1− − 1− 휎 (77)

푏 = 휎 = 푠푖푔푛표(푙).

Los potenciales efectivos (75) y (77) tienen la misma dependencia con r que en el caso de la geo-metría de Schwarzschild. Una diferencia importante es que los potenciales son dependientes de la energía y el momento angular. Por ejemplo, las partículas de prueba o rayos luminosos que vienen desde el infinito rotando en la misma dirección que el agujero negro (valores positivos de l o σ) se mueven en un diferente potencial efectivo que partículas que giran al contrario (valores negativos de l o σ ). Estas diferencias reflejan, en parte, el arrastre espaciotemporal del agujero negro rotante. Las partículas son arrastradas por esta rotación. Vemos, pues, que otra diferencia con la métrica de Schwarzchild es que la órbita es diferente si gira en el mismo sentido que el agujero negro, a la que llamaremos órbita corrotante, que si gira en sen-tido opuesto, llamada contrarrotante. Otra diferencia importante con la métrica no rotante, es la aparición de la llamada ergoesfera, la cual se define como la zona donde ningún observador, independientemente de su capacidad propul-sora, puede permanecer inmóvil. La deducción del límite de la Ergoesfera podemos encontrarlo en la bibliografía y es:

푟 (휃) = 푀 + √푀 − 푎 푐표푠 휃 . (78)

30

Claramente 푟 (휃) > 푟 , por lo que la superficie 푟 (휃) que limita la ergoesfera está fuera del hori-zonte, como muestra la figura 37.

Fig. 37. En esta gráfica representamos el límite de la ergoesfera 푟 (휃) y el del horizonte de sucesos 푟 . La representación no es fidedigna ya que como podemos observar el horizonte está representado por un círcu-lo cuando sabemos que está achatado. Grafico sacado de [1].

Fig. 38. En estas gráficas representamos dos órbitas ligadas en el plano ecuatorial de un agujero negro de Kerr. Ambas han sido obtenidas computacionalmente.

winding number : 47.03045 initial radius: 40.90

40 20 0 20 40

40

20

0

20

40

winding number: 52.00690 initial radius: 44.02

40 20 0 20 40

40

20

0

20

40

31

Tabla 1 de Unidades Masa-Longitud y Masa-Longitud-Tiempo

Cantidad Símbolo típico Unidades ML (c=1)

Unidades MLT

Conversión MLT ML

Masa m M M M Longitud L L L l Tiempo t L T ct

Distancia espacio-tiempo s L L s

Tiempo propio τ L T c τ Energía E M M(L/T)2 Ec2

Momento p M M(L/T) pc Velocidad V adimensional L/T V/c

Tabla 2 de Unidades geometrizadas y Masa-Longitud-Tiempo

Cantidad Símbolo típico Unidad geometri-

zada (c=G=1)

Unidades MLT

Conversión MLT geometrizada

Masa M L M GM/c2

Longitud L L L L Tiempo t L T ct

Distancia espacio-tiempo s L L s

Tiempo propio τ L T c τ Energía E L M(L/T)2 GE/c4

Cantidad de mo-vimiento p L M(L/T) Gp/c3

Momento angular J L2 M(L2/T) GJ/c3

Potencia (lumni-nosa) L Adimensional M(L2/T 3) GL/c5

Densidad de energía ϵ L-2 M/(LT2) G ϵ/c4

Densidad de mo-mento (flujo de

energía) 휋⃗ L-2 M/(L2T) G휋⃗/c3

Presión (tensión) p L-2 M/(LT2) Gp/c4

Energía de una órbita por unidad

de masa e Adimensional (L/T)2 e/c2

Momento angular de una órbita por unidad de masa

ℓ L L2/T ℓ/푐

Constante de Planck ℏ L2 M(L2/T) 퐺ℏ/푐

Para convertir masa en kilogramos a masa en metros usamos la primera fila de la tabla 2 y encontramos que M (en m) = (G/c2)M (en kilogramos). Para la conversión inversa a unidades MTL desde cualquiera de los otros dos sistemas, reemplazar las cantidades por la expresión en la última columna con c y G restauradas. Por ejemplo, la ecuación dada para la velocidad de escape de una partícula desde una coordenada de radio r de Schwarzschild en el exterior de un agujero negro esférico es 푉 =(2푀/푟) / en unidades geometrizadas. Para encontrar la misma relación en unidades MLT, buscamos en la tabla 1: 푉 debe ser reemplazada por 푉 /푐 , y en la tabla 2: M debe ser reemplazado por GM/c2. Por lo que queda:

=/

푉 =/

.

32

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