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Vorlesung
Geomaterialien
2. Doppelstunde
Kristallographische Grundlagen
Prof. Dr. F.E. Brenker
Institut für Geowissenschaften
FE Mineralogie
JWG-Universität Frankfurt
Translation: Verschiebung, Struktur kommt mit sich zur
Deckung
Richtung und Betrag der Verschiebung beibehalten!
Vektor => a und b sind Basisvektoren
Netzebene
Translation in dritte Dimension ergibt das Raumgitter (dreidimensionales Gitter)
Länge der Basisvektoren = Gitterkonstanten
Durch Angabe der Gitterkonstanten sowie der eingeschlossenen Winkel ist das Gitter
bestimmt.
Konzept des Raumgitters enthält Implizit alle
wesentliche Merkmale eines Kristalls
1) Dreidimensionale periodische Abfolge von identischen Punkten gewährleisten seine
Homogenität
2) Alle Bereiche eines Kristalls, egal wie weit sie voneinander entfernt sind, sind in wohldefinierter
Orientierung zueinander = Fernordnung
3) Raumgitter ist stets anisotrop, denn in verschiedene Richtungen folgen identische Punkte in
unterschiedlichen Abständen voneinander.
Elementarzelle – Form eines Parallelepipeds.
t = ua+vb+wc
Kristalle weichen von
Idealgestalt ab =>
Realkristall
Flächen schließen stets
denselben Winkel ein!
Flächen eines Kristalls
entsprechen den
Netzebenen seines Gitters
Ausbildung unterschiedlicher Flächen eins Kristalls
Habitus und Tracht
Gleicher Habitus (isometrisch) – verschiedene Tracht
Habitus und Tracht
Verschiedener Habitus der Kristalle
bei gleicher Flächenkombination (Tracht)
Habitus und Tracht
Tracht gleich – Habitus verschieden Tracht verschieden – Habitus gleich
Gleiche Tracht Gleicher Habitus
Kubische Kristallformen - (verschiedene Trachten) Beachte: In kubischen Kristallen ist der Habitus auch kubisch
Kristallsysteme
• dient der mathematischen Beschreibung von Kristallstrukturen
• sind durch Längenverhältnisse ihrer Haupachsen a, b und c und den
Winkeln zwischen diesen Achsen α, β, γ definiert
• Einteilung beruht auf morphologischen Kriterien
Kristallographische Achsensysteme Koordinatenachsen werden parallel zu den Basisvektoren der Elementarzelle eines
Kristalls gewählt
Millersche Indizes – Kleinste ganzzahlige Vielfache der reziproken
Achsenabschnitte
• Beschreibt die Lage einer Kristallfläche in
bezug auf ein Achsensystem
• Drei ganzzahlige, teilerfremde Indizes (hkl)
• Ebenenkennzeichnung erfolgt durch die
runde Einklammerung!
• Liegt ein Schnittpunkt im Unendlichen, ist
der dazu gehörige Index 0
a
b
c
Herleitung der Millerschen Indizes
1) Schnittpunkt mit a, b oder c ( kristallographische Achsen)
2) Reziproker Wert (Kehrwert)
3) Auf Hauptnenner bringen und teilerfremd machen
5) Die Zähler der Brüche sind die
Millerschen Indizes der Netzebene. a
b
c
a - 1 b - 2 c - 1
(212)
In kubischen Kristallen steht die Richtung [hkl] immer senkrecht auf der Ebene (hkl)
Symmetrie - Spiegelebenen
Spiegelebene – Symbol m
Richtung der Spiegelung ist durch die Normale der
Spiegelebene gegeben
Symmetrie - Spiegelebenen
Spiegelebene – Symbol m
Symmetrie - Spiegelebenen
Gleitspiegelebene – Symbol n
Kopplung von Spiegelung mit Translation
!nur im kristallinen Feinbau (atomare Ebene) zu erkennen!
Symmetrie - Rotationsachsen
1-zählige Achse
Symbol 1
= „Identiät“
(es ist keine Drehachse vorhanden)
Symmetrie - Rotationsachsen
2-zählige Achse
Symbol 2
Drehung um Winkel
180°,
um zum identischen
Punkt zu gelangen
Symmetrie - Rotationsachsen
3-zählige Achse
Symbol 3
Richtung der Rotation ist durch die Achse gegeben
Symmetrie - Rotationsachsen
3-zählige Achse
Symbol 3
Symmetrie - Rotationsachsen
4-zählige Achse
Symbol 4
Symmetrie - Rotationsachsen
5-zählige Achse
?
Es ist nicht möglich, eine Ebene lückenlos mit Polygonen
dieser Zähligkeit zu bedecken
Symmetrie - Rotationsachsen
Raumausfüllung und Symmetrie:
Parkettierung – lückenloses Ausfüllen des Raums durch
Translation
Symmetrie - Rotationsachsen
6-zählige Achse
Symbol 6
Symmetrie - Rotationsachsen
3-zählige Achse
+ Spiegelebene
Symmetrie – Drehinversionsachsen
Inversionszentrum
Symbol 1
Inversion = „Umkehrung“
Kombination aus Drehung und Inversion, an
einer mehrzähligen Drehinversionsachse
Symmetrie - Drehinversionsachse
Symmetrie – Drehinversionsachsen
Symmetrie – Vergleich Rotationsachse vs. Spiegelebene
vs. Inversionszentrum
Symmetrie
Die Blickrichtungen
An einem Kristall können mehrere
Symmetrieelemente vorhanden sein
Aus Kombination von Drehung, Spiegelung, Inversion und
Drehinversion ergeben sich 32 Kristallklassen
(Symmetrie der Morphologie)
Gleitspiegelebene = Translation + Spiegelung
(Schraubenachse = Translation + Drehung)
=> 230 Raumgruppen
32 Kristallklassen +
Blickrichtungen in den Kristallsystemen - geordnet nach abnehmender Symmetrie
Klammersysteme beachten!
32 Kristallklassen (Punktsymmetrie-gruppen)
Symmetrie-elemente der 7 Kristallsysteme
Die 230 Raumgruppen
Raumgruppen können nur mit speziellen
kristallographischen Verfahren
(z.B. Röntgenmethoden)
ermittelt werden und lassen sich nicht durch die
äußere Form bestimmen!
Symmetrie – Beispiele
Orthorhombisch
1. Blickrichtung [100]
2. Blickrichtung [010]
3. Blickrichtung [001]
Tetragonal
1. Blickrichtung [001]
2. Blickrichtung [100]
3. Blickrichtung [110]
c
b
a
1. Blickrichtung [100]
2. Blickrichtung [111]
3. Blickrichtung [110]
Symmetrie – Beispiel Zirkon
Symmetrie – Beispiel Zirkon Drehachsen
Symmetrie – Beispiel Zirkon Spiegelebenen
Symmetrie – Beispiel Zirkon Inversionszentrum
Symmetrie – Beispiel Zirkon Drehinversionachse
Symmetrie – Beispiel Zirkon Ergebnis: 4/mmm
a
c
b
a
c
b
a
c
b a
c
b
Kubus + Oktaeder = Kubooktaeder
Kubus + Rhombendodekaeder
Kubus + Oktaeder = Kubooktaeder