Geraden und Ebenen - mathe · PDF fileGeraden und Ebenen F¨uhrt man f ur¨ X = x y und ~n = n x n y die Skalarmultiplikation aus, so erh¨alt man g : n x x + n y y − c q n2 x +

Workshops zur VOEinfuhrung in das mathematische Arbeiten
im SS 2007
Geraden und EbenenHandout von Therese Tomiska (Oktober 2006)
uberarbeitet von Evelina Erlacher
9. & 13. Marz 2007
1 Geradengleichungen (R2 und R3)
1.1 Parameterdarstellung
g : X = A + t ~a,
wobei X . . . variabler (laufender) Punkt der Geraden,A . . . (irgend-)ein fester Punkt auf g,~a . . . (irgend-)ein Richtungsvektor der Geraden g,t . . . Parameter.
Jedem Parameterwert entspricht ein Punkt auf der Geraden und umgekehrt. Sind P und Q zweiPunkte der Geraden g so ist
PQ ein Richtungsvektor von g.
1.2 Normalvektorform (nur R2)
g : ~n X = ~n A,
wobei X . . . variabler (laufender) Punkt der Geraden,A . . . (irgend-)ein fester Punkt auf g,~n . . . (irgend-)ein Normalvektor zu g.
Fuhrt man fur X =(
xy
)und ~n =
(nxny
)die Skalarmultiplikation aus, so erhalt man
g : nx x + ny y = c,
wobei c eine Konstante (genauer: c = ~n A) ist.
1.3 Hessesche Normalform (HNF) (nur R2)
g :~n (X A)
|~n|= 0,
wobei X . . . variabler (laufender) Punkt der Geraden,A . . . (irgend-)ein fester Punkt auf g,~n . . . (irgend-)ein Normalvektor zu g.
Evelina Erlacher, Therese Tomiska 1 9. & 13. Marz 2007

Geraden und Ebenen
Fuhrt man fur X =(
xy
)und ~n =
(nxny
)die Skalarmultiplikation aus, so erhalt man
g :nx x + ny y c
n2x + n2y= 0,
2 Ebenengleichungen (R3)
2.1 Parameterdarstellung
: X = A + t ~a + s ~b,
wobei X . . . variabler (laufender) Punkt der Ebene,A . . . (irgend-)ein fester Punkt auf ,~a, ~b . . . (irgendwelche) Richtungsvektoren der Ebene (~a ~b),t, s . . . Parameter.
Jedem Paar von Parameterwerten entspricht ein Punkt auf der Ebene und umgekehrt. Sind P , Qund R drei Punkte der Ebene und liegen P , Q und R nicht auf einer Geraden, so sind
PQ und
PR zwei nicht parallele Richtungsvektoren von .
2.2 Normalvektorform
: ~n X = ~n A,
wobei X . . . variabler (laufender) Punkt der Ebene,A . . . (irgend-)ein fester Punkt auf ,~n . . . (irgend-)ein Normalvektor zu .
Fuhrt man fur X =
xyz
und ~n = nxny
nz
die Skalarmultiplikation aus, so erhalt man : nx x + ny y + nz z = c,
Kennt man von einer Ebene zwei (nicht parallele) Richtungsvektoren ~a und ~b, so kann man ihrenNormalvektor ~n mittels Kreuzprodukt bestimmen:
~n = ~a~b.
2.3 Hessesche Normalform (HNF)
:~n (X A)
|~n|= 0,
wobei X . . . variabler (laufender) Punkt der Ebene,A . . . (irgend-)ein fester Punkt auf ,~n . . . (irgend-)ein Normalvektor zu .

Geraden und Ebenen
Fuhrt man fur X =
xyz
und ~n = nxny
nz
die Skalarmultiplikation aus, so erhalt man :
nx x + ny y + nz z cn2x + n2y + n2z
= 0,
3 Lagebeziehungen
3.1 Lagebeziehungen zweier Geraden . . .
3.1.1 . . . im R2
Zwei Geraden g und h im R2 konnen folgendermaen zueinander liegen:
schneidend,
parallel,
ident.
Um zu entscheiden welcher Fall vorliegt kann man folgendermaen vorgehen: Zuerst uberpruftman, ob die Richtungsvektoren von g und h parallel sind. Wenn nein, dann schneiden die Geradeneinander in einem Punkt, dem sogenannten Schnittpunkt. Wenn ja, uberpruft man, ob (ein belie-big ausgewahlter) Punkt der Geraden g auch auf h liegt. Ist dies der Fall, dann sind die Geradenident. Ist dies nicht der Fall, dann sind sie parallel.
Eine weitere Vorgehensweise im R2 (und nur hier!) ist die folgende: Wegen des Zusammenhangszwischen Geraden und linearen Gleichungen mit zwei Variablen (vergleiche die ausmultiplizierteVariante der Normalvektorform der Geradengleichung in Abschnitt 1.2) kann man folgenden Zu-sammenhang zwischen den Lagebeziehungen zweier Geraden und der Losungsmenge L des 2 2linearen Gleichungssystems erkennen: Ein System von zwei linearen Gleichungen und zwei Varia-blen
g : a1x + b1y = c1h : a2x + b2y = c2
besitzt (fur ai, bi, ci R, i = 1, 2 und Grundmenge R2) folgende Losungsfalle:
L ist die leere Menge, d.h. es gibt keine Punkte, die beiden Geraden gemeinsam sind. DieGeraden sind parallel.
L ist einelementig, d.h. es gibt genau einen Punkt S, der beiden Geraden angehort. DieGeraden schneiden einander also im Schnittpunkt S.
L ist einparametrig, d.h. die unendlich vielen Losungen bilden eine Gerade, die mit g und hubereinstimmt. Die Geraden sind ident.
3.1.2 . . . im R3
Zu den in Abschnitt 3.1.1 genannten moglichen Lagebeziehungen der Geraden g und h im R2kommt im R3 noch eine weitere hinzu:
windschief (= kreuzend).
Dies ist dann der Fall, wenn g und h keine parallelen Richtungsvektoren besitzen und einanderauch nicht schneiden.

Geraden und Ebenen
3.2 Lagebeziehungen zwischen einer Geraden und einer Ebene (R3)
Eine Gerade g :
xyz
= xAyA
zA
+ t xaya
za
und eine Ebene : ax + by + cz = d konnenfolgendermaen zueinander liegen:
g schneidet ,
g liegt parallel zu ,
g liegt in .
Um zu entscheiden welcher Fall vorliegt kann man folgendermaen vorgehen: Die Losungen derGleichung
a (xA + t xa) + b (yA + t ya) + c (zA + t za) = d
sind alle Parameterwerte t, durch die jene Punkte der Geraden g festgelegt sind, die auch auf liegen. Daher gilt: Besitzt obige Gleichung
genau eine Losung, so existiert genau ein gemeinsamer Punkt, der Schnittpunkt S.
keine Losung, so ist g zu parallel.
unendlich viele Losungen, so liegt g in .
3.3 Lagebeziehungen zweier Ebenen (R3)Zwei Ebenen 1 und 2 konnen folgendermaen zueinander liegen:
schneidend,
parallel,
ident.
Um zu entscheiden welcher Fall vorliegt kann man folgendermaen vorgehen: Zuerst uberpruftman, ob die Normalvektoren von 1 und 2 parallel sind. Wenn nein, dann schneiden die Ebeneneinander in einer Geraden, der sogenannten Schnittgeraden. Wenn ja, uberpruft man, ob (ein be-liebig ausgewahlter) Punkt der Ebene 1 auch auf 2 liegt. Ist dies der Fall, dann sind die Ebenenident. Ist dies nicht der Fall, dann sind sie parallel.
Eine weitere Vorgehensweise ist die folgende: Wegen des Zusammenhangs zwischen Ebenen undlinearen Gleichungen mit drei Variablen (vergleiche die ausmultiplizierte Variante der Normal-vektorform der Ebenengleichung in Abschnitt 2.2) kann man folgenden Zusammenhang zwischenden Lagebeziehungen zweier Ebenen und der Losungsmenge L des 23 linearen Gleichungssystemserkennen: Ein System von zwei linearen Gleichungen und drei Variablen
1 : a1x + b1y + c1z = d12 : a2x + b2y + c2z = d2
besitzt (fur ai, bi, ci, di R, i = 1, 2 und Grundmenge R3) folgende Losungsfalle:
L ist die leere Menge, d.h. es gibt keine Punkte, die beiden Ebenen gemeinsam sind. DieEbenen sind parallel.
L ist einparametrig, d.h. die unendlich vielen Losungen bilden eine Gerade g, die in beidenEbenen enthalten ist. Die Ebenen schneiden einander in g, der sogenannten Schnittgeraden.
L ist zweiparametrig, d.h. die unendlich vielen Losungen bilden eine Ebene, die mit 1 und2 ubereinstimmt. Die Ebenen sind ident.

Geraden und Ebenen
3.4 Lagebeziehungen dreier Ebenen (R3)Drei Ebenen 1, 2 und 3 konnen folgendermaen zueinander liegen:
L = {} L = {S} L = g L = 1 = 2 = 3
Wegen des Zusammenhangs zwischen Ebenen und linearen Gleichungen mit drei Variablen (ver-gleiche die ausmultiplizierte Variante der Normalvektorform der Ebenengleichung in Abschnitt2.2) kann man folgenden Zusammenhang zwischen den Lagebeziehungen dreier Ebenen und derLosungsmenge L des 3 3 linearen Gleichungssystems erkennen: Ein System von drei linearenGleichungen und drei Variablen
1 : a1x + b1y + c1z = d12 : a2x + b2y + c2z = d23 : a3x + b3y + c3z = d3
besitzt (fur ai, bi, ci, di R, i = 1, 2, 3 und Grundmenge R3) folgende Losungsfalle:
L ist die leere Menge, d.h. es gibt keine Punkte, die allen drei Ebenen gemeinsam sind. DieserLosungsfall entspricht einer der Lagebeziehungen in der ersten Spalte der obigen Abbildung.
L ist einelementig, d.h. es gibt genau einen Punkt S, der allen drei Ebenen angehort. DieserLosungsfall entspricht der Lagebeziehung in der zweiten Spalte der obigen Abbildung.
L ist einparametrig, d.h. die unendlich vielen Losungen bilden eine Gerade g, die in allendrei Ebenen enthalten ist. Dieser Losungsfall entspricht einer der Lagebeziehungen in derdritten Spalte der obigen Abbildung.
L ist zweiparametrig, d.h. die unendlich vielen Losungen bilden eine Ebene, die mit 1, 2und 3 ident ist. Dieser Losungsfall entspricht der Lagebeziehung in der vierten Spalte derobigen Abbildung.

Geraden und Ebenen
4 Winkelberechnungen (R2 und R3)4.1 Winkel zwischen zwei Vektoren
Der Winkel zwischen den Vektoren ~a und ~b kann mittels der Formel
cos =~a ~b|~a| |~b|
berechnet werden. Wir schreiben fur auch ^(~a,~b).
4.2 Winkel zwischen zwei Geraden
Zwei (schneidende) Geraden g : X = A + t ~a und h : X = B + s ~b schlieen zwei Winkel und ein, deren Summe 180 ist. Der kleinere Winkel wird als der Winkel ^(g, h) zwischen g und hbezeichnet. Er entspricht dem Winkel zwischen den Richtungsvektoren ~a und ~b der Geraden (falls0 ^(~a,~b) 90) bzw. 180 minus dem Winkel zwischen den Richtungsvektoren ~a und ~b derGeraden (falls 9

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