TECHNISCHE MECHANIK augennem

Manuskripteingang 22. 07.1987

Berechnung von Kastenträgersystemen unter Verwendung

von Spline-Superelementen

Ignatjev, V. A.

l. Einleitung

Bedingt durch die Entwicklung der EDVA findet die Fi-

nite-Elemente-Methode (FEM) auch in der Berechnung

von Kastenträgersystemen immer breitere Anwendung

[1] bis

Von der rechnerischen Position her ist die Superelement-

methode effektiver. Diese Methode gestattet eine ab-

schnittsweise Betrachtung der Konstruktion mit nachfol-

gender Vereinigung dieser Abschnitte, wodurch eine ent-

scheidende Herabsetzung der Ordnung des zu lösenden

Gesamtgleichungssystems erreicht wird [4].

Außerdem wird die Aufstellung der: Gesamtsteifigkeits-

matrix wesentlich vereinfacht, insbesondere, wenn die

Konstruktion eine regelmäßige Struktur besitzt [5], [6].

Gewöhnlich erfolgt die Berechnung mit der Superele-

mentrnethode in mehreren Niveaustufen, die Belastung

ist oft sogar bei regelmäßigen und symmetrischen Kon-

struktionen nichtsymmetrisch. Nach der Lösung des Ge-

samtsystems ist es erforderlich, auf entgegengesetztem

Wege der Superelementenprozedur jedes Superelement

des vorangehenden Niveaus einzeln zu berechnen. Dazu

müssen die Steifigkeitsmatrizen der Verbindungssuper-

elemente aller Niveaustufen im Rechner gespeichert

werden. Das setzt jedoch die Effektivität einer Berech-

nung mit der Superelementmethode herab.

In der vorliegenden Arbeit wird eine Berechnungsmetho-

dik für Kastenträgerkonstruktionen unter Verwendung

von Spline-Interpolationen für die Verschiebungen ent-

wickelt, die den Rechenzeitaufwand erheblich herabsetzt

und für den entgegengesetzten Weg der Superelementen-

prozedur keine Speicherung der Steifigkeitsmatrizen der

Verbindungssuperelemente erfordert.

2. Berechnungsmethodik

2.1. Entwicklung der Cesamtsteifigkeitsmatrix

Jede Ebene, aus der die Kastenträgerkonstruktion be-

steht, wird in finite Elemente zerlegt, und anschließend

werden aus der Gesamtzahl der Knotenpunkte die Be-

rechnungspunkte so ausgewählt, daß sie auf den Ebenen

ein verdünntes Netz bilden [7]. Die Feinheit des verdünn-

ten Netzes wird durch folgende Faktoren bestimmt:

l. Durch den Gradienten der wirkenden äußeren Bela-

stung.

2. Durch das Vorhandensein von Ausschnitten und von

Sprüngen der Steifigkeitsparameter. Entlang der Aus-

schnittsgrenzen und der Grenzen der Steifigkeitspara-

meter werden Berechnungspunkte angeordnet. Die

kleinste Seite einer Ausschnittsgrenze soll dabei nicht

weniger als 3 Berechnungspunkte aufweisen.

3. Durch den Gesamtumfang des zu lösenden Glei-

chungssysteme, der durch die Speichergröße und die

Schnelligkeit der EDVA begrenzt ist.

Ein Superelement, das aus einer oder mehreren Platten

besteht und einen Teil einer Kastenträgerkonstruktion

darstellt, wird Spline-Super—Element (SSE) genannt, was

dadurch begründet ist, daß die Errechnurg der Verschie-

bungen der inneren Knoten mit Hilfe der Splineinterpo-

lation erfolgt. Zur Anwendung gelangt eine zweidimen-

sionale Interpolation mit stückweise bikubischen Spline-

funktionen.

Unter den Berechnungspunkten gibt es Grenzpunkte, die

sich auf der Kontaktfläche des SSE mit dem Nachbar-

SSE befinden. Die übrigen Knoten der finiten Elemente

sind innere Punkte des SSE. Die Aufstellung der Steifig-

keitsmatrizen der Berechnungspunkte mit anschließen-

der Zusammensetzung des Superelementes ist in [5], für

in einer Richtung regelmäßige Konstruktionen in [6] ge-

zeigt. Hier wird der allgemeinere Fall betrachtet, bei dem

die Zusammensetzung der Superelemente in beliebiger

Richtung erfolgt. Da Kastenträgersysteme gewöhnlich

orthogonal angeordnete Ebenen besitzen, bezeichnet

man im SSE 6 Ebenen, an die andere SSE angeschlossen

werden können:

—- Die obere Ebene, deren Grenzpunkte den Index b

tragen und entsprechend

- die untere Ebene mit dem lndex h

— die linke Ebene mit dem Index l

— die rechte Ebene mit dem Index n

— die vordere Ebene mit dem Index a

— die hintere Ebene mit dem Index 2

Die Berechnungspunkte des SSE liegen sowohl im Inne-

ren als auch auf den Grenzebenen. Die letzteren werden

durch den Index p und die inneren durch m gekennä

zeichnet.

Die Steifigkeitsmatrix des SSE kann dann in der Form

Rbb Rbn Rba Rbp Rbm sz Rb] RbÜ

Rnn Rna R‘np an an R'nl Rnh

R R R R R Rahaa ap am az al

R = Rpp Rpm sz Rpl Rph

Rmm Rmz le Rmh

symmetrisch Rzz Rzl th

R11 th

th

(1)

geschrieben werden, worin Ra die Untermatrizen der

Steifigkeitsmatrix des SSE sind, die den Einfluß der

Punkte der t-Gruppe auf die der Ä-Gruppe ausdrücken.

Die Elimination der inneren Punkte des SSE und die

Überführung der Belastung der inneren Punkte auf die

Grenz- und Berechnungspunkte erfolgt mit den Bezie-

hungen

_ —l

Km - Ra - Rtm'Rmm Rmx

-— RM R_1 Pmm"n

_ (2)

PA = PÄ

Lt =b,n,a,p,z‚l,h

mit KIA als den Untermatrizen der überfiihrten Steifig-

keitsmatrix des SSE und P)“ Pm als Belastungsvektoren

der entsprechenden Punkte. Im Anschluß daran erfolgt

die Formierung des Gesamtsystems durch reihenfolgege-

rechte Vereinigung der SSE. Es sei die Aufstellung der

Blöcke der Systemsteifigkeitsmatrix betrachtet, wenn an

ein SSE des s. Niveaus von oben ein SSE des ‘y. Niveaus

angeschlossen wird und für die oberen SSE bereits die

Untermatrizen der überführten Steifigkeitsmatrix nach

(2) vorliegen. Die Grenzpunkte der betrachteten SSE,

die auf ihrer Berührungsfläche liegen und zu eliminieren

sind, werden in dieser Etappe als innere Punkte bezeich-

net (Index m). Die Steifigkeitsuntennatrix der zu elimi-

nierenden Punkte ist

Rmm = K51, + Kth (3)

wobei K s , K 7 die entsprechenden Untermatrizen der

überführten Steifigkeitsmatrizen des s. und 7. Niveaus

sind. Beim Aufstellen der Steifigkeitsuntennatrizen sich

berührender SSE Rpp und m ist zu beachten, dal3 ein

Teil der Berechnungspunkte auf der Kontaktfläche die—

ser SSE liegt und das folgende Schema Anwendung fin-

det,

K 7

ppR :

pp S ’

pp

7Kph

Rpm =

K31,

vorgenommen. Man erhält als Ergebnis der Elimination

die Steifigkeitsmsh-ix der Berechnungspunkte der Kon-

struktion

u = u_ u u _1 nK” R” Rpm(Rmm) Rmp (11)

und die auf die Berechnungspunkte übertragene Belastung

_ I1 ll —1 _I‘P‘; — - Rpm (RM) Pm (12)

Anschließend erfolgt die Berechnung der Verformungen

der Berechnungspunkte f des belasteten Kastenträgersy-

stems aus der Gleichung

Kp’; r, = P: (13)

2.2. Interpolation der Verschiebungen der inneren

Punkte

Mit den aus (13) erhaltenen Verformungen der Berech-

nungspunkte werden die Verschiebungen aller inneren

Punkte ermittelt. Für die Platte vi” des Kastenträger-

systems wird dazu der Teilvektor fl des Gesamtverschie-

bungsvektors des verdünnten Netzes f herangezogen. Es

ist zu bemerken, daß damit der Übergang auf das aller-

erste Niveau, die einzelnen Platten, erfolgt und alle Zwi-

schenniveaus, die zur Aufstellung der Steifigkeitsmatrix

der Berechnungspunkte erforderlich waren, übergangen

werden. Die Platte „i” soll in der Ebene xoy liegen. Zu-

erst werden die Verschiebungen in z-Richtung (l zur

Plattenebene) interpoliert, anschließend die in x- und y-

Richtung. Wir nehmen an, daß das Netz der Platte „i” in

x-Richtung (m+ l) und in y-Richtung (n+1) Linien auf-

weist.

Der Verformungsvektor jedes Berechnungspunktes, der

im Schnittpunkt der Netzlinien „k” und „j” der Platte

„i” liegt, hat das folgende Aussehen

(51)jk = I‚.k (Wg),k (wg)jk (x9jk (12;)jk 1T

j=0,...,m; k=0‚...,n

. . . i i i . . .

Hlenn smd (Up)jk‚ (Vp).ik und (WP)jk die Projektionen

der Verschiebungen des Berechnungspunktes in x-, y-

. i i i .

bzw. z-Richtung und (cpp)jk, (xp)jk und (np)jk die Dreh-

winkel um die x-, y- bzw. z-Achse. Zunächst erfolgt die

kubische Splineinterpolation auf den Netzlinien y = yj

(j = 0, . . . , m), indem fiir jede Linie ein Spline nach den

Beziehungen

s;(xk,y‚-) = (W9).k (k: 1,...

für x e (xk_1, xk)

,n;j=0,...,m)

‚ (xk—sz (x—xk—l)4 2

hk—l

s; (x. yj) =(x;)k_1,,-

. _ 2 __(kaJ (x xix—320% X)

k—l

_ (xk -x)2 [20‘ ‘xk—l) + hk—I]

h 3

k—l

i

+ (Wp)k_1J

‚ (x - x|:_1)2’{2(xk -x) + hk—l]

h 3k-

+ 01,1)kJ

1 (14)

s’ (:0 y,-) = (win, ; bk = 1r- 4-1y I) J,

aufgebaut wird, der die Verschiebungen undd ihre ersten

Ableitungen enthält [8].

Mit diesem Spline werden die Verschiebungen in z-Rich-

tung aller inneren Knoten bestinimt. Die Drehwinkel die-

ser inneren‘ Knoten um die y-Achse erhält man aus der

ersten Ableitung des Splines:

z ‚ _ i _ xk—x

(8,) mp - (x,).,_1J h—z—(xk—svzxknwk—l

i ‚ x - xk—lup)“ 'kaI— (3x- ‘k—l — Zxk) +

.4.

+ 2(w‘) 5'130; —3x+2x +h )+

k—l

+ 2(Wi) m0: —3x+2xk+hk )p kJ hk3l k—l —l

xE(xk__1',xk);k=l,...,n;j=0,...,m

(15)

Auf jeder Linie y = yj (j = 0, . . . , m) mögen (l + 1)Kno-

ten liegen: (n+1) von ihnen sind Berechnungspunkte

und (l—n) innere Punkte. Es erfolgt nun die Interpola-

tion entlang der y-Achse auf den Netzlinien x =1:-

(j = 0, . . . , l), indem für jede Linie ein Spline nach den

Beziehungen -

8:(x«,yk)=(W;)j,k (k=l,...,m;j=0,...,l)

fiir YE(Yk—1,Yk)

(Yk -y)3 (y-yk_1)3z _S, (Xpy) - Ck—IÖ—hk‘ + CkT

i Ck—l hi] Yk - Y

+ [(wp)j.k—1 ’ 6 hk

2

' Ck h Y * y+ 1 _ _ k k—l[(Wp)j,k —6l ————hk (16) l

mit den Randbedingungen

2C0+C1 =Bo ;Cm-1 +2Cm=Bm

_ 6 1 i i iBo - E- ((wp)j’1 _ (wp)j,o) - ($191301

6 i 1 i iBm = I'm—l l‘Pj’m “m ((wp)j9m — (wp)jvm‘l)]

bk = Yk - Yk—l (17)

Der Spline (16) ist auf den Verschiebungen und ihren

zweiten Ableitungen aufgebaut

Die Koeffizienten Ck des Splines werden aus dem Glei-

chungssystem

2T0 Co PO

d1 2Tl 01 p1

dm—l 2Tm 1 Cm—l = Pm—l

de Cm Pm

(13)

bestimmt,indem

To = l ;dm=l ;P0=Bo ;Pm=Bm

Tk = hk/(hk+hk__1);dk=l-—Tk;(k=l,...,m—l)

= 6 Wähle: ‘(Wihl’hkfl“[(W;)j‚k‘(wi)j‚k—1th

bk + bk 1

* (19>

zu setzen ist.

Mit dem Spline (16) werden die z-Verschiebungen der

verbleibenden inneren Punkte auf den Linien x = xi

(i = O, . . . , l) und die Drehwinkel um die x-Achse mit

z ‚ _ (“-302 (Y—Yk_1)2(5x) (X'J) ‘ -Ck_1 ' ’27":— + CkT +

i i

+ (wp)l‚k _ (Wp)j,k——l __ Q:'—q{—l h

hk 6 k

;k=l,...,m ;j=0,...,l

(20)

ermittelt.

Die Verschiebungen in x-Richtung werden in der fo‘l-

genden Weise bestimmt:

Zunächst wird eine Splineinterpolation entlang der y-

flchse auf den Netzlinien x =x. = 0, . . . , n) durchge-

fiihrt. Hierzu wird für jede Linie ein Spline entsprechend

Formel aufgebaut, nur, daß anstelle der Verschie-

bungen (Wipj‘k jetzt die (Upj,k zu verwenden sind und

die Indizes in den Intervallen k=1‚ . . . , m;j=0‚ . . . ‚ n

laufen. Die Drehwinkel werden aus der ersten Ableitung

dieses Splines in einer der Gleichung (20) entsprechenden

Form erhalten. Weiterhin wird die Splineinterpolation

entlang der x-Achse auf den Netzlinien y=yk (k=0,

. . . , l), wobei l die Zahl der auf jeder Linie x = x,- = 0,

.. . , n)'liegenden Knoten ist, deren x-Verschiebung in

dervorangegangenen Splineinterpolation bereits ermit-

telt sind, durchgeführt, indem ein linearer Spline 3; (x,y)

entsprechend

s; (xk, yj) = (k = l, . . .

für x E (xk_1, xk)

‚n;j=0,...,l)

x _ i xk — x i x "‘ xk—l

5, (1, Vi) ‘ (Up)k-—1.j T + (Up)k,jT

(21)

angesetzt wird.

Die Ermittlung der Verschiebungen in y-Richtung an der

Platte „i” erfolgen in ganz entsprechender Weise.

Im Ergebnis der Durchfiihrung des beschriebenen Vorge-

hens für alle Platten des Kastenträgersystems ist das voll-

ständige Verschiebungsfeld aus den Verschiebungen der

Berechnungspunkte bestimmt. Es ist damit der Übergang

von den Berechnungspunkten auf alle inneren Punkte di-

rekt und unter Umgehung der rückläufigen Superele-

mentprozedur erfolgt.

Allen Berechnungen liegt ein Algorithmus zu Grunde, so

daß die beschriebene Vorgehensweise leicht program-

mierbar ist. Mit den bekannten Verschiebungen können

dann die inneren Kräfte und Spannungen an erforderli-

chen Stellen mit Hilfe gewöhnlicher FEM-Prozeduren be-

rechnet werden.

2.3. Anwendungsbeispiel

Als Anwendungsbeispiel der Spline-Superelemente wird

das Kastenträgersystem nach Bild 1 betrachtet. Jede

Ebene des Kastenuägersystems wurde dabei als einzelnes

SSE angesehen. Auf der zugewandten Fläche des Sy-

Bid l

Berechnungsschema eines Kastentrigersystems

Bild 2

Verformungen der Quenchnittskomur

49

stems in Bild 1 ist die Zerlegung in einzelne finite Ele-

mente gezeigt. Auch sind in dieser Fläche die Knoten des

verdünnten Netzes hervorgehoben.

Als Parameter wurden gewählt:

a=a/5 =80;B=62E/P=5,25; v=0,3

Die Verschiebungen in den Schnitten I, II, III in der

Ebene yoz sind in Bild 2 dargestellt. Wie die Ergebnisse

zeigen, rufen, unsymmetrisch angeordnete Belastungen

Verformungen der Querschnittskontur hervor, die in den

gleichen Größenordnungen liegen wie die des starren

Körpers. Die von verschiedenen Autoren vertretene An-

nahme einer nicht verformbaren Querschnittskontur der-

artiger, nicht durch hinreichend viele Schotte ausgesteif—

ter, Kastenträgersysteme bei unsymmetrischen Belastun-

gen erweist sich als unzulässig.

2.4. Anwendung der Berechnungsmethodik auf Syste-

me mit Steifigkeitssprüngen

Die Berechnungsmethodik nach den Beziehungen (l4) —

(21) ist nur für Kastenträgersysteme anwendbar, in de-

nen für jede Platte des Systems alle Steifigkeitsparameter

unveränderlich sind. Für Kastenträgersysteme mit Plat-

ten veränderlicher Steifigkeit erhalten die Gleichungen

der Splineinterpolation ein leicht verändertes Aussehen.

Es wird wieder die Platte „i” betrachtet, die in der Ebe-

ne xoy liegt und über ihre Länge bzw. Breite stufenweise

veränderliche Steifigkeit besitzt. An den Stellen der Stei-

figkeitssprünge müssen unbedingt Berechnungspunkte

angeordnet sein. Wie auch vorher wird angenommen, daß

das Netz der Berechnungspunkte (m + l) Linien in x-

Richtung und (n + l) Linien in y-Richtung hat.

Zur Durchführung einer kubischen Splineinterpolation

auf den Netzlinien y = yj =. 0, . . . , m) wird für jede Li-. . v Z

me em Splme Sy (x, y) nach

s;(xk‚Y‚-)=(w;)u k=

1p „In—0’‚m

für x€(xk_l’xk):

S: (X,Yj) = Ck_1 +

CkW

+ “Wk—1,; ‘ Ck

: hi]. “1;"

+ Wg)“ _ Ck—ahi'l' Erik—i (22

)

in Ansatz gebracht mit den Randbedingungen

2Co +C1 ' A1/Ao = Bo;

Cn—l + 2CnAn/An—l = Bn

i i

6 [(Wp)1,j — (Wp)o,j

Bo = E; ho - (Xpodl

_ 6 i _ (wg)... —..-1‚jBu ' " “kn—ll

"k = 1k -Xk—1

50

Pk

Die Splinekoeffizienten Ck erhält man aus einem Glei-

chungssystem, dessen Aufbau der Beziehung (l8) ent-

spricht und in dem

Tk = hk Ak+1/[Ak(hk + hk—l Ak/Ak—l)]

dk = hk—l/(hk + hk—l Ak/Ak—l)

z 6 Ik+u —

grenzt werden. Dieses Verfahren kann auch zur Abschät-

zung der Größe des ersten Lastschritta Anwendung fin-

den. Wie bekannt, ist es wünschenswert, den ersten Last-

schritt so zu wählen, da5 nichtelastisches Materialver—

halten nur in einigen kleinen—Teilgebieten hervorgerufen

wird. Folgendes Vorgehen wird empfohlen:

Auf dem groben FE-Netz werden die Verformungen des

näherungsweise festgelegten erstenflastschrittes ermit-

telt. Anschließend werden die Verschiebungen des dich-

ten Netzes mit Hilfe der Splineinterpolation berechnet

und damit die Spannungen. Wenn alle Spannungen im

elastischen Bereich liegen, wird der Maximalwert bis zur

Elastizitätsgrenze vergrößert und im gleichen Verhältnis

die Belastung des ersten Schrittes fiir eine genauere Bes

rechnung. Wenn aber die Spannungen in den nichtelasti-

sehen Bereich hineinragen, grenzt man die nichtelasti-

sehen Gebiete ab und der erste Lastschritt wird entweder

erniedrigt, wenn diese Gebiete groß sind, oder beibehal-

ten und für eine genauere Berechnung verwendet.

3. Zusammenfassung

Es wird im vorliegenden Beitrag eine effektive Methodik

zur Aufstellung der Steifigkeit'smatrizcn eines Systems

aus Spline—Superelementen sowie eine Methodik zur Er-

mittlung der Verschiebungen der inneren Knoten aus

denen der Berechnungspunkte unter Verwendung der

Splineinterpolation dargelegt. Die Anwendung dieser

Methodik auf die Berechnung von Kastenträgersystemen

wird gezeigt. Die Methodik wird verallgemeinert zur An-

wendung auf Kastenträgersysteme mit veränderlichen

Steifigkeitsparametem sowie auf physikalisch nichtlinea-

re Systeme. Eine Verallgemeinerung auf thermoelasti-

sehe Aufgaben und Stabilitätsprobleme von Kastenträ-

gersystemen ist möglich.

LITERATUR

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