Bachelor-ArbeitInstitut fur Theoretische Physik - Computational Physics

Fouriertransformationen

Goran Lovric

Betreuer:

Ao.Univ.-Prof. Dr.techn. Heinrich Sormann

Somersemester 2007

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Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 4

2. Historischer Uberblick 5

3. Analytische Behandlung 63.1. Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2. Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1. Definition der Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2. Berechnung der Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.3. Bedeutung der Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.4. Eigenschaften der Fourieranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.5. Gibbssches Phanomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3. Fouriertransformation (FT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.1. Herleitung und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.2. Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.3. Faltung und Entfaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.4. Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4. Diskrete Fouriertransformation (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4.1. Herleitung und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4.2. Eigenschaften der DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.3. Faltung, Korrelation, Parsevals Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.4. Nyquist-Shannon-Abtasttheorem, Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.5. Zero-Padding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.6. Schnelle Fouriertransformation (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4. Anwendungsmoglichkeiten der Fouriertransformation 484.1. FT in der analytischen Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.1. Beispiel: Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2. FT bei numerischer Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.1. Beispiel: Spektralanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.2. Beispiel: Rauschverminderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2.3. Beispiel: Kreuzkorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5. Zusammenfassung 62

A. Literaturverzeichnis 63

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1. Einleitung

Die vorliegende Arbeit uber die Fouriertransformationen soll zum einen die theoretischenUberlegungen rund um diese Thematik klaren und zum anderen anhand ein paar konkre-ter Beispiele einige brauchbare Methoden vorstellen, die gerade in der Technik Anwendungfinden. Angefangen mit einem historischen Uberblick uber die theoretische Erschließungdieser Thematik gliedert sich die restliche Arbeit grob in zwei großere Teile.Im ersten Teil wird beginnend mit dem Kapitel uber die mathematischen Grundlagendas mathematische Werkzeug in Form von Definitionen und Satzen (meist ohne Beweise)erklart, wobei einige grundlegende Begriffe wie etwa die Riemann-Integrierbarkeit vom Le-ser bereits als bekannt angenommen werden. In der Folge werden die Fourieranalyse, die(kontinuierliche) Fouriertransformation sowie die diskrete Fouriertransformation durchge-nommen, in denen nicht nur deren Definitionen und Eigenschaften erlautert, sondern auchderen Verwandtschaft untereinander aufgezeigt werden sollen.Der zweite große Teil widmet sich den Anwendungsmoglichkeiten in der Wissenschaft undTechnik und versucht durch einige konkrete Beispiele einen groben Uberblick uber dieverschiedenen Einsatzmoglichkeiten der Fouriertransformationen zu schaffen.

Zur Form und Notation der mathematischen Symbolik lasst sich allgemein sagen, dass die-se so gewahlt wurde, um von Anfang eine moglichst einheitliche Schreibweise zu gewahr-leisten. Dadurch, dass man bei unterschiedlicher Wahl der Literatur stets alternativenDefinitionen und Formulierungen begegnet und diese sehr uneinheitlich sind, ist dieseEntscheidung keine schwerwiegende. Es sollte daher fur den Leser klar sein, sich bei Ver-wendung anderer Literatur die dortigen Definitionen und Satze genauer anzuschauen.Beweise werden nicht genau durchgemacht, da das Hauptaugenmerk dieser Arbeit bei derPhysik liegt; allerdings wird versucht, die allgemeinen mathematischen Zusammenhangedarzustellen und zu begrunden.

Bei der Abfassung dieser Arbeit wurde - vor allem was den mathematischen Teil angeht- hauptsachlich nach den Lehrbuchern zur Analysis von Konigsberger (siehe Ref. [1] undRef. [2]) verfahren.

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2. Historischer Uberblick

Bevor an das eigentliche Thema dieser Arbeit herangegangen wird, soll nachfolgend zunachstein historischer Uberblick mit der damit verbundenen Bedeutung fur die Analysis gege-ben werden. Die verwendeten Termini technici werden hierbei als bekannt angenommen,konnen allerdings in den spateren Kapiteln nachgeschlagen werden.

Die Beobachtung periodischer Vorgange in der Natur reicht zuruck bis zu den erstenHochkulturen, also jener Zeit, als der Mensch begann, Vorgange in der Natur qualitativund quantitativ zu beschreiben. Ziel der damaligen Forschung war es, Gesetzmaßigkeitenherauszufinden, denen ’naturliche’ Vorgange unterliegen, um damit Vorraussagen fur dieZukunft treffen zu konnen.Bereits die ersten Erklarungen zur Planetenbewegung am Sternenhimmel nahmen mehre-re zusammengesetzte Kreisbewegungen als gegeben an. Mathematisch gesehen wurde alsoschon sehr fruh mit Summen trigonometrischer Funktionen gearbeitet (siehe z.B. Epizykel-theorie), allerdings erlangte diese Thematik erst zur Zeit der großen Mathematiker (etwaum das 18. Jahrhundert) und somit im Zuge der Entwicklung der modernen Analysis eineangemessene Bedeutung.Um diese Zeit herum beschaftigten sich Daniel Bernoulli (1700-1782) und Leonhard Euler(1707-1783) mit trigonometrischen Reihen zur Behandlung der schwingenden Saite oderetwa der Fortpflanzung von Schallwellen in einem elastischen Medium. Den eigentlichenAnstoß zur Entwicklung der gesamten Theorie rund um die Fourieranalyse und Fourier-transformation erbrachte aber Joseph Fourier (1768-1830) in seinem Buch La Theorie ana-lytique de la chaleur im Jahre 1822. Obwohl Fourier selbst noch viele Fragestellungen offenlies, ist es an dieser Stelle doch wichtig zu sagen, dass gerade die intensive Beschaftigungmit trigonometrischen Reihen durch nachfolgende Mathematiker ebenso zentrale Begriffeund Definitionslucken der Analysis klaren konnte.In der Folge beschaftigten sich eine Reihe Mathematiker mit der Fourieranalyse und derFouriertransformation bzw. allgemein mit der Approximation von (periodischen) Funktio-nen (durch trigonometrische Polynome), von denen einige bei den jeweiligen mathema-tischen Satzen erwahnt werden. Nennenswert ist an dieser Stelle aber C.F. Gauß (1777-1813), der bereits Vorarbeit zur diskreten Fouriertransformation (wie sie in Kap.3.4 be-handelt wird) leistete, indem er eine Formel fur die diskrete Fouriertransformation fandund auch den Grundstein fur die spater publizierte schnelle Fouriertransformation legte.Der heute unter diesem Namen verwendete Algorithmus geht aber auf J.W. Cooley undJ.W. Tukey zuruck und wurde im Jahre 1965 publiziert. Gerade durch diesen Algorithmusund die mittlerweile enorm angewachsene Rechnerleistung zur numerischen Auswertungvon (Mess-)Daten verschiedenster Art hat die Fouriertransformation heute ihre eigentlicheBedeutung in der Technik erlangt.Interessant ist allerdings auch die Jahrhunderte lange Beschaftigung mit der Beweisfuhrungund der Theorie rund um diese Thematik (die teilweise noch bis heute andauert). So muss-ten zunachst Begriffe wie etwa die Stetigkeit oder der einer reellen Funktion genauer de-finiert werden, bevor etwa allgemeine Eigenschaften der Fourieranalyse angestellt werdenkonnten.

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3. Analytische Behandlung

Grenzprozesse zusammen mit dem Grenzwertbegriff, der das Hauptwerkzeug der Analysisdarstellt, spielen eine uberaus wichtige Rolle in der Mathematik und vor allem den An-wendungen in der Technik. Gerade bei der numerischen Auswertung ist es in den meistenFallen einfacher, von vornherein ein vereinfachendes (approximierendes) Modell zu ver-wenden; andererseits konnen analytische Losungen oft auch gar nicht bestimmt werden,weshalb man wieder auf vereinfachende Konzepte zuruckgreifen muss. So ist zum Bei-spiel in vielen Problemstellungen die lokale Approximation von Funktionen durch Taylor-Polynome ein essentielles Werkzeug; analog dazu lassen sich periodische Funktionen un-ter gewissen Voraussetzungen durch Fourierreihen darstellen und daraus ableitbar sindeine Reihe naturlicher Gesetzmaßigkeiten und technischer Anwendungsmoglichkeiten. Be-vor auf die eigentliche Definition eingegangen wird, sollen zunachst einige mathematischeGrundbegriffe und Satze, die fur dieses Thema vonnoten sind, geklart werden.

3.1. Mathematische Grundlagen

Ausgangsbasis zur Formulierung der mathematischen Grundlagen sind zunachst allgemei-ne Definitionen und Satze bis hin zur Definition des trigonometrischen Polynoms und derBehandlung seiner Eigenschaften. Vorab sei gesagt, dass die Eulerschen Formeln

cos(t) =eit + e−it

2sin(t) =

eit − e−it

2i

von Anfang an als Grundvoraussetzung gelten, was laienhaft ausgedruckt bedeutet: AlleSatze/Eigenschaften, die etwa fur eit behandelt werden, ubertragen sich analog auf dieDarstellung uber trigonometrische Funktionen.

Definition 1: Eine Funktion f : D −→ C heißt stetig im Punkt x0 ∈ D, wenn es zujedem ε > 0 ein δ > 0 gibt derart, dass gilt:

|f(x)− f(x0)| < ε fur alle x ∈ D mit |x− x0| < δ.

f heißt stetig in D, wenn f in jedem Punkt von D stetig ist.

Bemerkung:

• Eine Funktion f : D −→ C heißt stuckweise stetig, wenn es eine Zerlegung a = t0 <t1 < · · · < tr = b gibt so, dass alle Einschrankungen f |[tk−1; tk] stetig sind. Dies istgleichbedeutend mit der Aussage, dass f endlich viele Unstetigkeitsstellen hat.

• Eine Funktion f : D −→ C heißt gleichmaßig stetig auf D, wenn es zu jedem ε > 0ein δ > 0 gibt so, dass |f(x)− f(x′)| < ε gilt fur alle Punktepaare x, x′ ∈ D miteinem Abstand |x− x′| < δ. Die gleichmaßige Stetigkeit sagt aus, dass ε und δ vonx und x′ unabhangig sind.

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Definition 2: Eine Funktion f : I −→ C auf einem Intervall I heißt differenzierbar inx0 ∈ I, wenn der Grenzwert

limx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

existiert. Dieser heißt dann Ableitung oder Differetialquotient von f in x0. Man bezeichnetihn mit f ′(x0) oder df

dx(x0). Die Funktion heißt differenzierbar im Intervall I, wenn sie injedem Punkt des Intervalls differenzierbar ist.

Definition 3: Es sei X ⊂ C eine Teilmenge derart, dass mit x ∈ X auch −x zu Xgehort. Dann heißt eine Funktion f : X −→ C gerade bzw. ungerade wenn f(−x) = f(x)bzw. f(−x) = −f(x) fur alle x ∈ X gilt.

Folgerung: Jede Funktion φ : X −→ C besitzt genau eine Zerlegung φ = g + u, in der ggerade und u ungerade ist; g heißt gerader Anteil von φ, u der ungerade.

g(x) =12[φ(x) + φ(−x)] u(x) =

12[φ(x)− φ(−x)]

Definition 4: Eine relle Zahl T ist eine Periode einer in Df ⊆ R definierten Funktion,wenn gilt:

• ∀x ∈ R, x ∈ Df ⇔ x + T ∈ Df

• ∀x ∈ R, f(x + T ) = f(x)

Bemerkung: Die Funktion ist periodisch bzw. T -periodisch, wenn sie mindestens einePeriode T 6= 0 zulasst. Weiters gilt:

• Ist T eine Periode von f , so ist auch −T eine Periode von f .

• Sind T1 und T2 zwei Perioden von f , so ist auch T1 + T2 eine Periode von f .

Obwohl obige Definitionen bereits grundlegend fur die weitere Diskussion sind, soll nach-folgend ein Uberblick uber (Funktionen-)Reihen und deren Eigenschaften gegeben werden,welche vor allem in der praktischen Handhabung mit Fourierreihen vonnoten sind.

Definition 5: Gegeben sei die Folge akk∈N aus C. Die Folge snn∈N mit sn :=n∑

k=1

ak

heißt unendliche Reihe (Schreibweise:∞∑

k=1

ak). sn heißt n-te Partialsumme (Teilsumme).

Definition 6: Die Reihe∞∑

k=1

ak heißt konvergent zur Summe s, wenn limn→∞

sn = s gilt

(Schreibweise∞∑

k=1

ak = s). Eine nichtkonvergente Reihe heißt divergent.

7

Definition 7: Es seien die Funktionen ak(x) mit k ∈ N auf X ⊆ C definiert. Dann

nennen wir∞∑

k=1

ak eine Funktionenreihe.

Definition 8: Die Funktionenreihe∞∑

k=1

ak heißt punktweise konvergent an x ∈ X, wenn

die Zahlenreihe∞∑

k=1

ak(x) konvergiert. Die Menge XK = x ∈ X |∞∑

k=1

ak(x) ist konvergent

heißt Konvergenzmenge von∞∑

k=1

ak. Die Funktion A mit DA = XK und A(x) =∞∑

k=1

ak(x)

heißt Summenfunktion der Funktionenreihe.

Definition 9: Die Funktionenreihe∞∑

k=1

ak heißt auf einer Menge X gleichmaßig konver-

gent zur Summenfunktion A, wenn An(x) ⇒X

A(x). Schreibweise:∞∑

k=1

ak(x) =X

A(x).

Satz 1:

Seien ak ∈ [a; b] und R-integrierbar und es gelte∞∑

k=1

ak(x) =[a;b]

A(x). Dann folgt:

• A(x) ist ebenso R-integrierbar.

•∫ ba A(x)dx =

∫ ba

( ∞∑k=1

ak(x))

dx =∞∑

k=1

∫ ba ak(x)dx

Bemerkung: Bei gleichmaßiger Konvergenz darf also gliedweise integriert werden; ge-nauso kann gezeigt werden, dass eine gliedweise Differentiation moglich ist.

Definition 10: Eine Funktionenreihe∞∑

k=1

ak auf D heißt normal konvergent auf D, wenn

jeder Summand ak aufD beschrankt ist und die Reihe der Normen bezuglichD konvergiert:∞∑

ν=1|aν |D < ∞.

Bemerkung: Die normale Konvergenz ist ein starkerer Begriff als die einfache Kon-vergenz, da fur jede in D normal konvergente Reihe diese dort auch lokal gleichmaßigkonvergent ist.

Nun konnen wir das trigonometrische Polynom als n-te Partialsumme einer speziellenFunktionenreihe wie folgt definieren.

Definition 11: Unter einem trigonometrischen Polynom mit Grad ≤ n definieren wir

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eine mit komplexen Koeffizienten ck gebildete Funktion

Sn(x) =n∑

k=−n

ckeikωx, x ∈ R,

analog dazu versteht man unter trigonometrischer Reihe die unendliche Funktionenreihe

S(x) =∞∑

k=−∞cke

ikωx, x ∈ R mit ω =2π

T

wobei T die Periode darstellt.

Zur Klarung der Konvergenzeigenschaften der trigonometrischen Reihe benotigen wirdnoch folgende Definitionen und Satze. Es ist hierbei wichtig festzuhalten, dass es verschie-dene Herangehensweisen zur Erschließung dieser Thematik gibt und auch beinahe jedesLehrbuch einen anderen Zugang zeigt. Abgesehen davon liegt es auch nicht im Interes-se dieser Arbeit, den mathematischen Hintergrund vollig zu beleuchten; es sollen ledig-lich verwendete mathematische Begriffe und die jeweiligen Satze, auf denen die Theorieder Fouriertransformationen aufbaut, genannt und erklart werden. Der folgende Aufbauentspricht i.A. dem Kapitel uber die Approximation periodischer Funktionen, wie er imLehrbuch Analysis I von Konigsberger dargestellt wird.

Definition 12: Sei I ein Intervall mit Anfangspunkt a und Endpunkt b. Eine Funktionf : I −→ C heißt Regelfunktion auf I, wenn sie:

• in jedem Punkt x ∈ (a; b) sowohl einen linksseitigen als auch einen rechtsseitigenGrenzwert hat,

• im Fall a ∈ I in a einen rechtsseitigen Grenzwert und im Fall b ∈ I in b einenlinksseitigen.

Bemerkung:

• Mit dem linksseitigen Grenzwert f(x−) und dem rechtsseitigen f(x+) definiert manals linksseitige bzw. rechtsseitige Ableitung in x im Fall der Existenz den Grenzwert

limt↑x

=f(t)− f(x−)

t− xbzw. lim

t↓x=

f(t)− f(x+)t− x

• Den C-Vektorraum aller Regelfunktionen auf I bezeichnen wir mit R(I).

• Jede Regelfunktion ist stuckweise stetig.

Satz 2 (von Fejer):Fur jede T -periodische Regelfunktion f , deren Fourierreihe (siehe dazu Gl.1) mit Sk =

k∑r=−k

creirωx gegeben ist, gilt:

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• An jedem Punkt x ∈ R konvergiert 1n+1

n∑k=0

Sk(x) gegen f(x−)+f(x+)2 . An jeder Stelle

x, an der f stetig ist, konvergiert 1n+1

n∑k=0

Sk(x) gegen f(x).

• Ist f stetig, so konvergiert 1n+1

n∑k=0

Sk(x) gleichmaßig auf R gegen f .

Bemerkung: Der Satz von Fejer macht direkt keine Aussagen uber die Konvergenz derspater definierten Fourierreihe, er sagt bloß aus, dass die arithmetischen Mittel der Parti-alsummen einer trigonometrischen Reihe (also einer Fourierreihe, wie noch zu definierenist) gleichmaßig gegen die Funktion konvergieren. Aufgrund dieses Satzes lassen sich abereinige elementare Eigenschaften (etwa die Eindeutigkeit einer Fourierreihe) sowie der Satzvon Dirchlet ableiten.Fur die direkte Anwendung auf Fourierreihen dienen folgende Satze.

Satz 3 (von Dirichlet):Die Funktion f sei eine T -periodische Regelfunktion und besitze im Punkt x sowohl einelinksseitige als auch eine rechtsseitige Ableitung. Dann konvergiert ihre Fourierreihe (zurDefinition siehe Gl.1) in x gegen das arithmetische Mittel des linksseitigen und rechtssei-tigen Grenzwertes von f in x. Steht Sk fur die Fourierreihe der Funktion f , so gilt in demFall:

Sk→∞ =f(x−) + f(x+)

2

Ist f in x stetig, so gilt Sk→∞ = f(x).

Der Dirichletsche Satz ist bereits ein sehr brauchbares Werkzeug in der Handhabung mitFourierreihen; der Vollstandigkeit halber soll an dieser Stelle auch das endgultige Resultatder Uberlegungen, unter welchen Voraussetzungen eine Fourierreihe konvergiert, genanntwerden (wobei es von diesem mittlerweile auch Verallgemeinerungen gibt, die hier nichterwahnt werden).

Satz 4 (von Carleson):Die Fourierreihe Sk jeder stetigen T -periodischen Funktion f konvergiert fast uberall gegenf .Fast uberall bedeutet hier: Es gibt eine Ausnahmemenge A vom Lebesgue-Maß 0 so, dassSk→∞ = f(x) fur alle x /∈ A gilt.

Bemerkung: Man sagt, A ⊂ R habe das Lebesgue-Maß 0, wenn es zu jedem ε > 0abzahlbar viele Intervalle I1, I2, I3, . . . gibt mit A ⊂

⋃∞n=1 In ∧

∑∞n=1 |In| < ε.

Neben dem Satz von Dirichlet und dem von Carleson lassen sich aber auch weiterreichendeAussagen uber stuckweise stetige Funktionen treffen.

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Satz 5:Die Fourierreihe einer fast uberall stetig differenzierbaren T -periodischen Funktion f , mitf ∈ R, konvergiert normal auf R gegen f .

Satz 6:Die Fourierreihe einer stuckweise stetig differnezierbaren T -periodischen Funktion f ∈ R

konvergiert auf jedem Intervall [a; b], das keine Unstetigkeitsstelle von f enthalt, gleichmaßiggegen f .

Mit den hier behandelten Satzen ist nun klar welche Bedingungen Funktionen erfullenmussen, um durch Fourierreihen dargestellt werden zu konnen. Nicht abgedeckt ist aberdie Diskussion, wie es sich mit der Konvergenz einer Fourierreihe an der Umgebung einerSprungstelle verhalt. Es sei hierzu an das Kapitel uber das Gibbsche Phanomen verwiesen,welches sich mit dieser Frage beschaftigt.

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3.2. Fourierreihen

3.2.1. Definition der Fourierreihe

Die Fourierreihe einer T -periodischen Regelfunktion f wird wie folgt definiert:

f(t) =∞∑

k=−∞Cke

iωkt, mit ωk =2πk

T(1)

Aus den mathematischen Grundlagen ist bekannt, unter welchen Voraussetzungen die obi-ge Reihe tatsachlich die Funktion f(t) darstellt; die Ck heißen Fourierkoeffizienten undwerden so bestimmt, dass die unendliche Reihe in (1) tatsachlich die Funktion f(t) dar-stellt.Die Entwicklung einer (beliebigen) T -periodischen Funktion in eine Fourierreihe nenntman Fourieranalyse bzw. Fourierentwicklung (oft auch harmonische Analyse). Wie leichtzu zeigen ist, entspricht diese Darstellung namlich einer - ofmals auch unendlichen - Uber-lagerung von Sinus- und Kosinus-Funktionen (daher harmonisch) geeigneter Amplitudeund Frequenz ωk:

f(t) =∞∑

k=0

(Cke

iωkt + C−ke−iωkt

)=

∞∑k=0

[Ck

(cos(ωkt) + i sin(ωkt)

)+

+ C−k

(cos(ωkt)− i sin(ωkt)

)]=

∞∑k=0

[(Ck + C−k

)cos(ωkt) + i

(Ck − C−k

)sin(ωkt)

]Definiert man nun neue Fourierkoeffizienten mit Ak = Ck + C−k und Bk = i(Ck − C−k),gelangt man zur Darstellung der Fourierreihe als Summe von Sinus- und Kosinusfunktio-nen:

f(t) =∞∑

k=0

[Ak cos(ωkt) + Bk sin(ωkt)

](2)

Umgekehrt konnen die Ck bzw. C−k folgendermaßen aus den Ak und Bk bestimmt wer-den:

C0 = A0 Ck =Ak − iBk

2C−k =

Ak + iBk

2(3)

Die trigonometrische Form der Fourierreihe in (2) wird am haufigsten verwendet, nichtnur weil sie historisch gesehen zuerst hergeleitet werden konnte, sondern auch deswegen,

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weil sie - wie in den mathematischen Grundlagen besprochen - die Darstellung einer Funk-tion mittels eines geraden (Kosinus-) und eines ungeraden (Sinus-)Anteils uberschaubarzeigt. Wie spater gezeigt wird, bietet diese Darstellung vor allem dann Vorteile wenn manes mit einer geraden bzw. ungeraden Funktion zu tun hat, da dann der andere Anteileinfach wegfallt. Im weiteren Verlauf der Arbeit wird aber bewusst stets die komplexeSchreibweise aus (1) verwendet, da aus ihr einerseits die Analogien zur spater definiertenFouriertransformation besser ersichtlich sind und andererseits diese viele rechentechnischeVorteile mit sich bringt.Nun soll im speziellen Fall einer reellwertigen Funktion f(t) noch eine dritte Schreibweise,namlich die Spektraldarstellung der Fourierreihe naher gezeigt werden, die sich vor allem injenen Fallen als nutzlich erweist, wenn man Verschiebungen einer bekannten Funktion undderen Fourierreihe auf der Abszisse betrachtet. Ausgangspunkt ist ist die trigonometrischeForm der Fourierreihe in (2), die wie folgt umgeformt werden kann:

f(t) =∞∑

k=0

Ak

[Ak

Ak

cos(ωkt) +Bk

Ak

sin(ωkt)]

Setzt man nun sin(ϕk) := Ak

Akund cos(ϕk) := Bk

Akfolgt nun:

f(t) =∞∑

k=0

Ak

[sin(ϕk) cos(ωkt) + cos(ϕk) sin(ωkt)

]Beachtet man noch das Additionstheorem des Sinus mit

sin(x1 + x2) = sin x1 cos x2 + cos x1 sinx2

folgt daraus die Spektraldarstellung der Fourierreihe mit:

f(t) =∞∑

k=0

Ak sin(

ωkt + ϕk

)(4)

Wie leicht bestimmt wird, ergeben sich nach Anwendung des trigonometrischen Pythagorasfolgende Beziehungen fur Ak und ϕk:

Ak =√

A2k + B2

k bzw. ϕk = arctanAk

Bk

Fur komplexwertige Funktionen existiert zwar eine Spektraldarstellung in analoger Weise,man muss jedoch den Real- und Imaginarteil getrennt betrachten.

3.2.2. Berechnung der Fourierkoeffizienten

Wie aus den drei Darstellungen der Fourierreihe leicht zu erkennen ist handelt es sichbei den ωk um fest vorgegebene Werte, die lediglich die Frequenzen der einzelnen Terme

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variieren; daher besteht die eigentliche mathematische Arbeit bei der Fourieranalyse ausder Berechnung der Fourierkoeffizienten, die nach den Gl.1-4 frei wahlbar sind.Um dennoch eine Rechenvorschrift fur diese zu finden, bedient man sich der Orthogona-litatsrelation bei trigonometrischen Funktionen. Hierzu multipliziert man Gl.1 mit e−iωlt

und bildet anschließend ein Integral uber eine volle Periode T :

f(t) =∞∑

k=−∞Cke

i 2πkT

t/ · e−i 2πlT

t (5)

f(t)e−i 2πlT

t =∞∑

k=−∞Cke

i 2πT

(k−l)t/∫ T

2

−TT

. . . dt (6)

∫ T2

−T2

f(t)e−i 2πlT

tdt =∞∑

k=−∞

[ ∫ T2

−TT

Ckei 2π

T(k−l)tdt

](7)

(i): Fur den Fall, dass k = l, ergibt sich fur den Klammerausdruck die triviale Losung

Ck

∫ T2

−TT

ei 2πT

(

=0︷ ︸︸ ︷k − l)tdt = Ck

∫ T2

−TT

dt = CkT.

(ii): Fur den Fall, dass k 6= l, folgt fur das Integral

Ck

∫ T2

−TT

ei 2πT

(k−l)tdt =T

2πi(k − l)Ck

[eiπ(k−l) − e−iπ(k−l)︸ ︷︷ ︸

=0 ∀ k,l∈N

]= 0,

woraus erkennbar ist, dass alle Terme bis auf k = l aus der Summe (7) identisch Null sind,woraus sich sofort die komplexen Fourierkoeffizienten ergeben mit:

Ck =1T

∫ T2

−T2

f(t)e−iωktdt, fur−∞ ≤ k ≤ ∞ (8)

Auf den ersten Blick ist moglicherweise nicht ersichtlich, wieso in Gl.7 das Integral und dieunendliche Reihe vertauscht werden konnen; vergleicht man aber die Eigenschaften einerFourierreihe bzgl. gleichmaßiger Konvergenz mit dem entsprechenden Satz uber allgemeineFunktionenreihen, so ist der Schritt sofort einleuchtend (siehe mathematische Grundlagen).Weiters lassen sich mit Hilfe der Beziehungen in (3) auch die Berechnungsvorschriften furFourierkoeffizienten mit Kosinus- und Sinustermen einfach herleiten. Wir unterscheidendrei Falle

(i):

Ak = Ck − C−k =1T

∫ T2

−T2

f(t)(e−iωkt + eiωkt

)dt =

2T

∫ T2

−T2

f(t) cos(ωkt)dt fur k 6= 0

(9)

14

(ii): Analog dazu folgt fur Bk

Bk =2T

∫ T2

−T2

f(t) sin(ωkt)dt fur alle k (10)

(iii): Fur A0 ergibt sich in analoger Weise

A0 =1T

∫ T2

−T2

f(t)dt (11)

Nachdem nun bekannt ist, wie die Fourierkoeffizienten berechnet werden, soll die Fourier-entwicklung an zwei konkreten Beispielen, einer ’Rechteck’- und einer ’Dreieckfunktion’,gezeigt werden.

Beispiel 1: ’Rechteckfunktion’. Der Einfachheit halber betrachten wir eine 2π-periodischeRechteckfunktion Funktion f , wie sie in Abb.1 gezeigt ist.

f(t) =

−1 fur t ∈ [−π; 0],+1 fur t ∈ [0;+π].

Abbildung 1: Rechteckfunktion aus Beispiel 1

15

Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten benutzen wir Gl.8 wie folgt:

Ck =12π

∫ π

−πf(t)e−iktdt =

12π

[∫ 0

−π(−1)e−iktdt +

∫ π

0(+1)e−iktdt

]=

=12π

[i

ke−ikt|0

−π− i

ke−ikt|π

0

]=

i

2πk

(1− eikπ − e−ikπ + 1

)=

=i

2πk

(2− eikπ − e−ikπ

)Somit sind die Fourierkoeffizienten der Rechtecktfuktion gefunden; um zur Reihendarstel-lung der Funktion f zu gelangen werden diese in Gl.1 eingesetzt. Interessant ist noch dieBetrachtung der reellen Fourierkoeffizienten Ak und Bk, die nach den Beziehungen in (3)wie folgt berechnet werden:

Ak = Ck − C−k =2i

2πk− i

2πkeikπ − i

2πke−ikπ − 2i

2πk+

i

2πke−ikπ +

i

2πkeikπ = 0

Bk = i(Ck − C−k) = −2i

(− i

2πk

)− i

i

2πke−ikπ − i

i

2πkeikπ + 2i

i

2πk

− ii

2πkeikπ − i

i

2πke−ikπ =

12πk

(4 + 2eikπ + 2e−ikπ

)=

42πk

(1 + cos(πk))

=2πk

(1 + (−1)k

)Nachdem alle Ak = 0 sind, fallt in der endgultigen Fourierreihe der gerade Anteil volligweg, was auch aus der Angabe hervorgeht, da ja f eine ungerade Funktion ist. Somithatte man also von Anfang an die Fourierkoeffizienten nur unter Verwendung von Gl. 10berechnen konnen.Fur die Fourierreihe gilt daher:

f(t) =1π

(2 sin(2t) + sin(4t) +

23

sin(6t) . . .

)(12)

Eine Abbildung der einzelnen Partialsummen der Fourierreihe findet sich in Kap.3.2.5, wodieses Beispiel unter einem anderen Aspekt noch einmal aufgegriffen wird.

Beispiel 2: ’Dreieckfunktion’. Nun betrachten wir ein anderes Beispiel (wiederum mitder Periode T = 2π) und nutzen gleich von Anfang an die Kenntnis, dass es sich um einegerade Funktion handelt

g(t) =

1 + t

π fur t ∈ [−π; 0],1− t

π fur t ∈ [0;+π].

Die Fourierkoeffizienten lauten gemaß Gl.9:

16

Abbildung 2: Dreieckfunktion aus Beispiel 2

Abbildung 3: Vier Entwicklungen der Dreiecksfunktion fur verschiedene (n-te) Partialsum-men der Fourierreihe aus Beispiel 2.

Ak =1π

∫ π

−πg(t) cos(kt)dt =

1π

[∫ 0

−π

(1 +

t

π

)cos(kt)dt +

∫ π

0

(1− t

π

)cos(kt)dt

]=

=1π

[∫ 0

−πcos(kt)dt +

∫ π

0cos(kt)dt︸ ︷︷ ︸

=0

]+

1π2

[∫ 0

−πt cos(kt)dt +

∫ π

0t cos(kt)dt

]=

= − 2π2

∫ π

0t cos(kt)dt = − 2

π2k2[kt sin(kt) + cos(kt)]|π

0=

2[1− (−1)k

]π2k2

17

Weiters folgt mit Gl.11 fur A0:

A0 =12π

[∫ 0

−π(1 +

t

π)dt +

∫ π

0(1− t

π)dt

]=

12

Somit ergibt sich fur die Fourierreihe

g(t) =12

+4π2

(cos(t) +

19

cos(3t) +125

cos(5t) . . .

)(13)

In Abb.3 sind einige Entwicklungen bzw. Naherungen der Funktion g(t) durch ihre Fou-rierreihe sichtbar.

3.2.3. Bedeutung der Fourierkoeffizienten

Bevor die Eigenschaften der Fourierreihe genauer analysiert werden, soll an dieser Stellekurz die Bedeutung der Fourierkoeffizienten naher veranschaulicht werden.Durch die Fourieranalyse werden beliebige periodische Funktionen als (unendliche) Sum-men von trigonometrischen Funktionen bzw. Sinus- und Kosinustermen dargestellt. DieGroße der Fourierkoeffizienten gibt dabei an, wie stark eine gewisse Frequenz ωk zum ’Tra-gen’ kommt; also wie stark deren ’Gewichtung’ ist. Tragt man also die Fourierkoeffizientenin einem Diagramm gegen die Laufvariable k auf, lasst sich erkennen, aus welchen Frequen-zen eine beliebige periodische Funktion besteht; also deren spektraler Aufbau abbilden.Daraus ergeben sich eine Menge technischer und physikalischer Anwendungsmoglichkei-ten, von denen einige noch im Verlauf dieser Arbeit angesprochen werden.Ein anderer Zugang, der vor allem bei der spater behandelten Fouriertransformation vonBedeutung ist und sich ebenfalls in vielen Lehrbuchern widerspiegelt, ruhrt von folgenderUberlegung:Die Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourierreihe kann man auch so er-klaren, dass eine Funktion f(t), deren Große an einem bestimmten Ort bzw. bei einerbestimmten Zeit (was mathematisch gesehen keinen Unterschied macht) bekannt ist, ineinen Raum abgebildet wird, in dem jeder Frequenz eine bestimmte Große zugeordnet ist,also von der Form:

f(t) 7−→ Ck;ωk (14)

Das bedeutet letztenendes, dass eine Fouriertransformation (=Bestimmung des funktio-nalen Zusammenhangs zwischen der Kreisfrequenz ωk bzw. der Laufvariablen k und derFourierkoeffizienten) eine Transformation aus dem Zeitraum in den Frequenzraum dar-stellt. Dies ist mathematisch gleichbedeutend mit einer Abbildung aus dem Ortsraum inden Impulsraum, wie sie in der Quantenmechanik verwendet wird.Es macht namlich keinen Unterschied ob man die Koeffizienten Ck in Abhangigkeit vomLaufindex k oder der Kreisfrequenz ωk bzw. der Frequenz νk darstellt, da diese Großen allemiteinander verknupft sind und man die jeweilige Große lediglich mit einer bestimmtenKonstante multiplizieren muss, um zur anderen zu gelangen:

k → νk = k · 1T

k → ωk = k · 2π

Tνk → ωk = νk · 2π

18

Daher betrachten wir bei unseren spateren Uberlegungen alle drei Begriffe als gleichwer-tig.

In Abb.4 bilden wir nun die Fourierkoeffizienten aus den Beispielen 1 und 2 in Abhangigkeitvon der Laufvariablen k ab.

Abbildung 4: Darstellung der Fourierkoeffizienten Bk und Ak aus den zwei behandeltenBeispielen zur Fourieranalyse. Erkennbar ist die viel bessere Konvergenz derAk (Dreieckfunktion), was auch aus Abb.3 hervogeht.

3.2.4. Eigenschaften der Fourieranalyse

Obwohl die wichtigsten Eigenschaften zur Fourierentwicklung bereits aus den hehandeltenSatzen und Definitionen hervorgehen, sollen nachfolgend einige spezielle Eigenschaften,die sich spater analog auf die kontinuierliche Fouriertransformation in Kap.3.3 ubertragenlassen, sowie einige allgemeine Uberlegungen, die fur das Gesamtverstandnis zur Theorieder Fouriertransformationen maßgeblich sind, beschrieben werden.

Ausgangspunkt ist wieder die komplexe Schreibweise der Fourierkoeffizienten aus Gl.8 undbetrachtet werden die beiden T -periodischen Funktionen:

f(t) 7−→ Ck;ωkg(t) 7−→

C ′

k;ωk

Damit ergibt sich sofort der Satz uber die Linearitat, der trivial hergeleitet werden kann.

Linearitatstheorem:

h(t) = af(t) + bg(t) aCk + bC ′

k;ωk

(15)

Weitere sind:

19

Verschiebungssatz:

f(t− a) 7−→Cke

−iωka;ωk

(16)

Beweis:

C ′k =

1T

∫ T2

−T2

f(t− a)e−iωktdt Substitution: t′=t−adt′=dt

C ′k =

1T

∫ T2−a

−T2−a

f(t′)e−iωk(t′+a)dt′ = eiωkaCk

Verschiebungssatz im Fourierraum:

f(t)ei 2πaT

t 7−→ Ck−a;ωk (17)

Beweis:

C ′k =

1T

∫ T2

−T2

f(t)ei 2πaT

te−iωktdt =1T

∫ T2

−T2

f(t)e−i 2πT

(k−a)tdt = Ck−a

Skalierungssatz:

f(at) 7−→

Ck;ωk

a

(18)

Beweis:

Ck =1T

∫ T2

−T2

f(at)e−iωktdt Substitution: t′=atdt′=adt

Ck =a

T

∫ T2

−T2

f(t′)e−iωkt′a dt′

1a

= C ′k

Die obigen Satze bringen vor allem rechentechnische Erleichterungen; was aber die prak-tische Anwendung selbst angeht, konnen verallgemeinert folgende drei Aussagen getroffenwerden:

(i): Fur stetige Funktionen ist eine Fourierreihe gleichmaßig konvergent. Im Falle von Un-stetigkeiten in der ersten Ableitung ergeben sich unendlich viele Glieder der Fourierreihe.

(ii): Fur glatte Funktionen, also fur jene, die unendlich oft differenzierbar und deren samt-liche Ableitungen notwendigerweise stetig sind, enthalt die Fourierreihe endlich viele Glie-der.

20

(iii): Fur Funktionen mit Unstetigkeiten im Funktionswert (Sprungstellen) gelten dieentsprechenden Satze; zusatzlich tritt aber noch das im Kap.3.2.5 behandelte GibbschePhanomen auf.

Wir wollen nun noch einen wichtigen Aspekt der Fourieranalyse betrachten, namlich dieFrage (die sich auch F.W. Bessel stellte) nach der besten Approximation durch trigono-metrische Polynome. Diese ist direkt mit der - vor allem fur die numerische Auswertungwichtigen - Fehlerberechnung verbunden, denn im Normalfall wird man die Auswertungeiner Fourierreihe nach dem n-ten Glied abbrechen und wissen wollen, wie groß die Ab-weichung von der tatsachlichen Funktion ist.

Ohne genau auf die mathematische Herleitung einzugehen kann gesagt werden, dass dieFourierkoeffizienten tatsachlich eine Minimaleigenschaft aufweisen, was bedeutet, dassdurch sie die Funktion tatsachlich am besten approximiert wird. 1

Weiters ergibt sich nach etwas langerer Rechnung fur den quadratischen Fehler ∆n:

∆n =1T

∫T

|f(t)|2dt−n∑

k=−n

|Ck|2 (19)

In analoger Weise folgt die Besselsche Ungleichung :

n∑k=−n

|Ck|2 ≤1T

∫T

|f(t)|2dt (20)

Fur den Grenzfall n →∞ ergibt sich die Parsevalsche Gleichung :

∞∑k=−∞

|Ck|2 =1T

∫T

|f(t)|2dt (21)

Die Letztgenannte tritt bei der Fouriertransformation in ahnlicher Form haufig als Satzvon Plancherel auf.

3.2.5. Gibbssches Phanomen

Dieses Phanomen hangt mit den Sprungstellen einer Funktion zusammen. Einerseits sagtder Satz von Dirichlet (siehe Seite 10), dass an der Sprungstelle die Fourierreihe gegen denMittelwert des rechts- und linksseitigen Grenzwertes konvergiert, andererseits ist nichtsofort ersichtlich welches Verhalten die Fourierreihe in der Umgebung dieser Sprungstellezeigt. Das von H. Wilbraham und J.W. Gibbs unabhangig beobachtete Phanomen besagt,dass sich in dieser Umgebung sog. Uber- und Unterschwinger herausbilden, deren Hohevon n (=Anzahl der Glieder der Partialsumme einer Fouriereihe) unabhangig ist; d.h. auch

1Fur die genaue mathematische Herleitung siehe Ref. [1], S.334ff.

21

beim Ubergang n →∞ verschwinden diese nicht.Um das zu illustrieren, ziehen wir Beispiel 1 aus Kap.3.2.2 heran und betrachten zunachstEntwicklungen fur verschiedene n:

Abbildung 5: Rechteckfunktion aus Beispiel 1 mit sog. Gibbschen Uber- und Unterschwin-gern bei Sprungstellen

Da im Rahmen dieser Arbeit eine mathematische Darstellung des Gibbschen Phanomensmit allen Details (siehe Ref. [1]) zu umfangreich ware, folgt hier nur eine kurze Zusam-menfassung:Ausgangspunkt der Rechnung ist die zur Fourierreihe fur f(t) in (2) gehorende n-te Par-tialsumme

Sn(t) =n∑

k=0

[Ak cos(ωkt) + Bk sin(ωkt)],

wobei f(t) eine Funktion mit der Periode T sei. Es kann nun nach einer Reihe von Rechen-schritten gezeigt werden, dass diese Partialsumme als Faltungsintegral (zur Faltung sieheKap.3.3.3) der Funktion f(t − T

2πu) mit dem sog. Dirichletschen Integralkern dargestelltwerden kann:

Sn(t) =12π

∫ +π

−πf(t− T

2πu)

sin[(n + 12)u]

sin(u2 )

du.

22

Wendet man nun diese Gleichung auf eine Funktion f(t) mit Unstetigkeitsstelle an, kannman die Position und den entsprechenden Funktionswert des sog. ’ersten Uberschwingers’in Abhangigkeit von n berechnen; fur eine einfache Testfunktion wie die Rechteckfunktionkonnen diese Rechnungen sogar (’fast ohne Naherung’) analytisch durchgefuhrt werden.Das konkrete Ergebnis lautet: Fur die Position t1 des ’ersten Uberschwingers’ (rechts nebender Sprungstelle) bei t = 0, s. Abb.5 ergibt sich

t1 ∝1

n + 12

bzw. limn→∞

t1(n) = 0,

und der entsprechende Funktionswert der Fourierkurve konvergiert zu

limn→∞

Sn(t1) ≈ 1.179

d.h., die Abweichung von der gesamten Sprunghohe betragt mindestens 8.9 %, egal wievieleFourierterme man in die Summation einbezieht.

23

3.3. Fouriertransformation (FT)

In Kap.3.2.3 wurde der Begriff der Fouriertransformation bereits kurz angesprochen. Ge-rade bei der Fourieranalyse konnte gezeigt werden, dass jede beliebige periodische Funktionprinzipiell als (unendliche) Summe trigonometrischer Polynome dargestellt werden kann.Der Ubergang von der Fourieranalyse zur Fouriertransformation geschieht genau mit demGedanken, das bisher behandelte Konzept auf aperiodische Funktionen zu ubertragen.

3.3.1. Herleitung und Definition

Zur Herleitung der Definitionsgleichung betrachten wir die Fourierreihe in komplexer Dar-stellung

f(t) =∞∑

k=−∞Cke

iωkt, mit ωk =2πk

T, sowie Ck =

1T

∫ T2

−T2

f(t)e−iωktdt.

Formen wir den Ausdruck fur die komplexen Fourierkoeffizienten um mit

∆ω = ωk+1 − ωk =2π

T−→ T =

2π

∆ωund ωk = ∆ωk,

erhalten wir eine neue Darstellung der Ck, in der wir eine neue Funktion F (∆ωk) definierenkonnen:

Ck =∆ω

2π

∫ T2

−T2

f(t)ei∆ωktdt︸ ︷︷ ︸=:F (∆ωk)

.

Diese fugen wir nun in die Definitionsgleichung der Fourieranalyse ein und erhalten

f(t) =∞∑

k=−∞

(∆ω

2πF (∆ωk)

)ei∆ωkt =

12π

∞∑k=−∞

F (∆ωk)ei∆ωkt∆ω.

Nun haben wir einen etwas veranderten Ausdruck fur die Darstellung einer periodischenFunktion durch eine Fourierreihe stehen; dieser lasst sich sehr einfach auf eine aperiodischeFunktion ubertragen. Denn lasst man die Periode T →∞ laufen, sodass diese Periode dengesamten (i.A. unendlichen) Definitionsbereich der zu darstellenden Funktion abdeckt, istdies schon erreicht.Durch den Grenzubergang T → ∞ folgt ∆ω → dω, woraus ersichtlich wird, dass ω nunkontinuierliche Werte annimmt. Der obige Ausdruck kann bei so einem Ubergang als Rie-mannsche Summe identifiziert werden und so ergibt sich:

f(t) =12π

∫ ∞

−∞F (ω)eiωtdω (22)

F (ω) =∫ ∞

−∞f(t)e−iωtdt (23)

24

In vielen Lehrbuchern finden sich diese Definitionsgleichungen zur Fourier(-Hin-) (Gl.23)und Ruck-Transformation (Gl.22); wir benutzen allerdings die ebenso haufig verwendetesymmetrische Form und definieren die Fouriertransformation mit:

Ff = F (ω) =1√2π

∫ ∞

−∞f(t)e−iωtdt (24)

Die Funktion F (ω) heißt Fouriertransformierte. Fur die Funktion f muss dabei gelten:

• f(x) sei auf R definiert, reell- bzw. komplexwertig und dort stuckweise stetig.

• f(x) ist auf R absolut integrierbar, d.h.∫∞−∞ |f(x)|dx < ∞.

Wahrend die erste Forderung an die Funktion f bereits aus der Fourieranalyse bekannt istund sich deswegen auch auf die Fouriertransformation ubertragt, ist die zweite Forderungnicht sofort ersichtlich. Sie stellt namlich eine hinreichende Bedingung fur die Konvergenzdes Integrals in (24) dar und gewahrleistet, dass die Fouriertransformierte F nicht uberalle Schranken wachst.2

Analog dazu wird die Rucktransformation wie folgt definiert:

F−1F (ω) = f(t) =1√2π

∫ ∞

−∞F (ω)eiωtdω (25)

Die physikalische Bedeutung der Fouriertransformation ist im Grunde gleich wie in Kap.3.2.3erklart, mit dem Unterschied, dass sie bei aperiodischen Funktionen angewandt wird undsomit eigentlich die meisten funktionalen Zusammenhange fouriertransformiert werdenkonnen. Bevor einige Eigenschaften der (kontinuierlichen) Fouriertransformation behan-delt werden, sollen einige Beispiele prasentiert werden.

Beispiel 3: ’Rechteckimpuls’. Wir betrachten nun einen ’Rechteckimpuls’, der im Be-reich t ∈ [−L; +L] definiert ist. Fur die Abbildung nehmen wir L = 2 an.

f1(t) =

1 fur t ∈ [−L; +L],0 sonst.

2Der Vollstandigkeit halber sei an dieser Stelle angemerkt, dass sich in der mathematischen Literatur auchandere (gleichwertige) Formulierungen dieser Bedingungen finden, die in erster Linie uber das Lebesgue-Maß gefuhrt werden; fur unsere Uberlegungen ist es aber nicht notwendig, auf diese einzugehen.

25

Abbildung 6: ’Rechteckimpuls’ f1(t) aus Beispiel 3 (links) mit FouriertransformierterF1(ω) (rechts).

Die Fouriertransformierte F1 wird mit Hilfe der Gl.24 bestimmt, wobei die Grenzen ent-sprechend der Funktion geandert werden:

F1(ω) =1√2π

∫ L

−L1 · e−iωtdt =

1√2π

[− 1

iωe−iωt

]L

−L

=1√2π

[eiωL − e−iωL

iω

]=

=√

2ω√

πsin(ωL)

Beispiel 4: ’Normierte Gaußfunktion’. Gegeben sei eine normierte Gaußfunktion. Furdie Abbildung wahlen wir fur die Standardabweichung σ = 1 und σ = 4 um jeweils dieAuswirkungen auf die Fouriertransformierte zu zeigen.

u(t) =1

σ√

2πe−

12

t2

σ2 (26)

Die Fouriertransformierte U wird wiederum mit Gl.24 berechnet:

U(ω) =1√2π

1σ√

2π

∫ ∞

−∞e−

12

t2

σ2 e−iωtdt =1

2σπ

∫ ∞

−∞e−

12σ2 t2−iωtdt

Der letzte Ausdruck entspricht hierbei dem sog. Gaußintegral, dessen Berechnung bereitsaus anderen Vorlesungen bekannt sein sollte:∫ ∞

−∞e−ax2−bxdx =

√π

ae

b2

4a

Damit folgt fur die Fouriertransformierte U:

U(ω) =1

2σπ

√π1

2σ2

e−12σ2ω2

=1√2π

e−12σ2ω2

(27)

26

Abbildung 7: Darstellung der Funktion u(t) und ihrer Fouriertransformierten U(ω) furverschiedene σ.

Aus den Gl.26 und 27 sind einige interessante Beziehungen ableitbar. Zum einen zeigt sich,dass die Fouriertransformierte U(ω) einer Gaussfunktion u(t) wieder eine Gaussfunktionist; zum anderen findet man einen einfachen Zusammenhang zwischen den Standardabwei-chungen der beiden Funktionen. Die Gaussfunktion u(t) hat die Standardabweichung σ,und die entsprechende Fouriertransformierte U(ω) σω = 1

σ , woraus die einfache Relation

σσω = 1

folgt. D.h., je schlanker die Funktion im Zeitraum ist, desto breiter ist ihre Fouriertrans-formierte im Frequenzraum.Wir setzen an dieser Stelle unsere Uberlegungen aus Kap.3.2.3 fort, bei denen wir bereitskonstatiert haben, dass eine Fouriertransformation ebenso wie ein Ubergang aus dem Zeit-in den Frequenzraum auch als eine Transformation aus dem Orts- in den Impulsraum auf-gefasst werden kann. Bekanntlich ist die Ortsverteilung eines quantenmechanischen Teil-chens durch das Absolutquadrat seiner Wellenfunktion gegeben. Ist der Aufenthaltsortdes Telchens gut lokalisiert, was eine schlanke Ortsfunktion bedeutet, so ist die Impuls-Wellenfunktion umso breiter und der Teilchenimpuls kann nur mehr ungenau bestimmtwerden. Letztere Aussage spielt u.a. eine herausragende Rolle in der Quantenmechanik imZusammenhang mit der Heisenbergschen Unscharferelation.

Beispiel 5: ’Einseitige Exponentialfunktion’. Wir berechnen nun die Fouriertransfor-mierte einer Exponentialfunktion, die in der Folge gegeben ist. Fur die Abbildung wirddabei τ = 3 verwendet.

h(t) =

e−

tτ fur t ≥ 0

0 sonst

27

Abbildung 8: Abbildung der Funktion h(t), des Real- und Imaginarteils sowie des Betragsder Fouriertransformierten H(ω).

H(ω) =1√2π

∫ ∞

0e−

tτ e−iωtdt =

1√2π

∫ ∞

0e−( 1

τ+iω)tdt =

1√2π

[e−( 1

τ+iω)t

−( 1τ + iω)

]∞0

=

=1√2π

11τ + iω

=1√2π

τ

1 + iτω

Wie wir sehen ist die Fouriertransformierte komplex und wir konnen diese auf einen Real-und Imaginarteil spalten mit

H(ω) =1√2π

[1τ

1τ2 + ω2

− iω

1τ2 + ω2

]=

1√2π

[τ

1 + τ2ω2− i

ωτ2

1 + τ2ω2

].

Der Umstand, weshalb H(ω) im Gegensatz zu den anderen Beispielen komplexwertig ist,ergibt sich aus Symmetrien der Fouriertransformation die in Tab.1 im nachfolgenden Ka-pitel zusammengefasst sind.

3.3.2. Eigenschaften

Die Eigenschaften der Fourieranalyse ubertragen sich in analoger Weise auf die Eigen-schaften der Fouriertransformation. Nachstehend eine Auflistung, wobei die Beweise furdie ersten vier Satze analog zu Kap.3.2.4 gezeigt werden:

28

Linearitat:

Fc1f1 + c2f2 + . . . = c1Ff1+ c2Ff2+ . . . (28)

Verschiebungssatz:

Ff(t− a) = e−iaωF (ω) (29)

Verschiebungssatz im Fourierraum:

Feiatf(t) = F (ω − a) (30)

Skalierungssatz:

Ff(at) =1|a|

F(ω

a

)(31)

Differentiationssatz:

Ff (k)(t) = (iω)kF (ω) (32)

Beweis:

Ff (k)(t) =1√2π

∫ ∞

−∞f (k)(t)︸ ︷︷ ︸

u

e−iωt︸ ︷︷ ︸v′

dt =

=1√2π

[e−iωtf (k−1)

]∞−∞

+iω√2π

∫ ∞

−∞f (k−1)(t)e−iωtdt =

=1√2π

[e−iωtf (k−1) + . . . + (iω)k−1e−iωtf0

]∞−∞︸ ︷︷ ︸

= 0

+(iω)k

√2π

∫ ∞

−∞f (0)(t)e−iωtdt =

= (iω)kF (ω)

Der erste Term fallt aufgrund der absoluten Integrierbarkeit von f weg.

Integralsatz:

F

∫ t

∞f(ξ)dξ

=

1iω

F (ω) (33)

Beweis:Der Integralsatz folgt aus dem Differentiationssatz, indem wir die neue Funktion g(t) =∫ t∞ f(ξ)dξ definieren:

F (ω) = Ff(t) = Fg′(t) = iωG(ω) −→ Fg(t) = G(ω) =1iω

F (ω)

29

Satz von Plancherel (Parsevals Theorem):∫ ∞

−∞|f(t)|2dt =

∫ ∞

−∞|F (ω)|2dω (34)

Weiters kann gesagt werden, dass bei einer genaueren Untersuchung der Eigenschaften derFouriertransformation eine Menge interessanter Symmetrien und Zusammenhange auftre-ten, die an dieser Stelle aufgrund ihres Umfangs nicht alle behandelt werden konnen.In Tab.1 sind jedoch einige wichtige Symmetrien zusammengefasst.

Eigenschaften der Funktion f(t) Eigenschaften der Fouriertransformierten F (ω)f(t) reell <F (ω) gerade und =F (ω) ist ungeradef(t) imaginar <F (ω) ungerade und =F (ω) ist geradef(t) gerade F (ω) geradef(t) ungerade F (ω) ungeradef(t) reell und gerade F (ω) reell und geradef(t) reell und ungerade F (ω) imaginar und ungeradef(t) imaginar und gerade F (ω) imaginar und geradef(t) imaginar und ungerade F (ω) reell und ungerade

Tabelle 1: Zusammenfassung der wichtigsten Symmetrien bei einer Fouriertransformation

3.3.3. Faltung und Entfaltung

Die Faltung wurde bisher schon bei der Integraldarstellung von Fourierreihen erwahntund soll nun in der Folge definiert und mit ihren wichtigsten Eigenschaften naher gebrachtwerden.Es seien f und g Regelfunktionen auf R, dann definieren wir die Faltung von f ung gfolgenderweise:

(f ⊗ g)(t) :=∫R

f(x)g(t− x)dx (35)

Eine der beiden Funktionen muss dabei einen kompakten Trager haben. Man sagt, f :R −→ C hat einen kompakten Trager, wenn es ein kompaktes Intervall [−a; +a] gibt,außerhalb dessen f Null ist. In diesem Fall gilt∫

R

f(t)dt :=∫ ∞

−∞f(t)dt =

∫ a

−af(t)dt.

Wie leicht gezeigt werden kann ist die Faltung kommutativ, distributiv und assoziativ unddaruber hinaus sehr eng mit der Fouriertransformation verwandt. Bevor dies ausfuhrlicher

30

anhand eines Beispiels gezeigt wird, soll zunachst die eigentliche Bedeutung der Faltungerlautert werden.Wie aus der Definitionsgleichung erkennbar, wird die Faltung aus der Gewichtung einerFunktion mit einer anderen gebildet. Physikalisch kann dies als Verzogerung gedeutet wer-den, wenn wir z.B. eine Funktion f mit einem Gerat aufnehmen, das nicht sofort auf einSignal anspricht; sei diese Verzogerung nun ebenfalls durch einen funktionellen Zusam-menhang (in diesem Fall g) gegeben, so ist das eigentliche Messergebnis die ’Faltung’ derbeiden Funktionen. Daraus ergeben sich eine Menge physikalischer Anwendungsmoglich-keiten, die in erster Linie mit dem Entfalten von Daten zu tun haben. Das bedeutet, manist nach Analyse der Messapparatur bemuht, deren Einfluss auf das Eingangssignal zubestimmen und anhand dessen die eigentliche (Eingangs-)Funktion zu rekonstruieren. ZurIllustrierung behandeln wir ein idealisiertes Beispiel.

Beispiel 6: ’Gauß- und Exponentialfunktion’. Wir betrachten nun einen Impuls h(t), derdie Form einer fallenden Exponentialfunktion aufweist. Nehmen wir nun an, wir nehmendiesen Impuls mit Hilfe eines Messgerates auf, das eine gewisse Anstiegs- und Abfallzeitaufweist; diese beschreiben wir idealisiert mit Hilfe einer Gaußfunktion u(t), wie sie bereitsin Beispiel 4 behandelt wurde. Seien die Funktionen nun folgendermaßen gegeben:

h(t) =

e−

tτ fur t ≥ 0

0 sonst, u(t) =

1σ√

2πe−

12

t2

σ2

Wir bilden nun das Faltungsintegral mit Hilfe von Gl.35:

S(t) = (h⊗ u)(t) =∫ ∞

−∞h(x)u(t− x)dx =

1σ√

2π

∫ ∞

0e−

xτ e−

12

(t−x)2

σ2 dx =

=1

σ√

2πe−

12

t2

σ2

∫ ∞

0exp

−x

τ+

tx

σ2− 1

2x2

σ2

dx =

=1

σ√

2πe−

12

t2

σ2

∫ ∞

0exp

− 1

2σ2

(2σ2x

τ− 2tx + x2

)=

=1

σ√

2πe−

12

t2

σ2

∫ ∞

0exp

− 1

2σ2

[x−

(t− σ2

τ

)]2

exp

−

(t− σ2

τ

)2

dx =

=1

σ√

2πe−

12

t2

σ2 e12

t2

σ2 e−tτ e

12

σ2

τ2

∫ ∞

0exp

− 1

2σ2

[x−

(t− σ2

τ

)]2

.

Mit der Substitution x′ = x− (t− σ2

τ ) und dx′ = dx erhalten wir bei Berucksichtigung dergeanderten Integrationsgrenzen:

S(t) =1

σ√

2πe

12

σ2

τ2−tτ

∫ ∞

−(t−σ2

τ)e−

12σ2 x′2dx′.

31

Weiters folgt mit x = 1σ√

2x′ und dx = 1

σ√

2dx′:

S(t) =σ√

2σ√

2πe

12

σ2

τ2−tτ

∫ ∞

στ√

2− t

σ√

2

e−x2dx =

12e

σ2

2τ2−tτ erfc

(σ

τ√

2− t

σ√

2

)Der letzte Ausdruck steht hierbei fur die komplementare Storfunktion

erfc(z) :=2√π

∫ ∞

ze−z2

dz.

Abbildung 9: Darstellung der Funktionen h(t) und u(t) sowie der Faltung S(t)

In Abb.9 sind die beiden gegebenen Funktionen zusammen mit deren Faltung dargestellt.

Wir fassen dieses Beispiel nun etwas allgemeiner zusammen und bringen es mit der Fou-riertransformation in Verbindung: In der Realitat nimmt man also bei einem beliebigenMessvorgang bereits die Faltung der Funktion des Eingangssignals mit der spezifischenFunktion der Messvorrichtung auf und ist danach bemuht, die eigentliche Eingangsfunk-tion wiederherzustellen. Wie an diesem Beispiel gezeigt, ist die analytische Auswertungdes Faltungsintegrals i.A. recht muhselig. In so einem Fall ist der Faltunssatz bei derFouriertransformation von großer Bedeutung:

Ff ⊗ g =√

2πF (ω)G(ω) (36)

Beweis:

32

(f ⊗ g)(t) =∫ +∞

−∞

1√2π

∫ +∞

−∞F (ω)eiωxdω

1√2π

∫ +∞

−∞G(ω′)eiω′(t−x)dω′dx =

=12π

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞F (ω)G(ω′)eiω′tdωdω′

∫ +∞

−∞ei(ω−ω′)xdx︸ ︷︷ ︸

=2πδ(ω−ω′)

=

=∫ +∞

−∞F (ω)G(ω)eiωtdω.

Daraus folgt unmittelbar Gl.36.

Wir hatten unsere Rechnung also wesentlich einfacher gestalten konnen, indem wir dieFouriertransformierten der einzelnen Funktionen gebildet und dann miteinander ausmul-tipliziert hatten.In der Praxis nutzt man die Fouriertransformation eigentlich zum sog. Entfalten, da manlogischerweise die Eingangsfunktion wiederherstellen mochte. Dazu geht man folgender-maßen vor:Zunachst bildet man die Fouriertransformierten der Apparatefunktion (bei uns u(t)) undder ’Faltung’ (S(t)), danach dividiert man die Fouriertransformierte der Faltung S(t) durchdiese Fouriertransformierte (U)der Apparatefunktion und bildet vom Ergebnis die inverseFouriertransformation.Angewandt auf unserer Beispiel gehen wir also wie folgt vor:

S = f ⊗ g −→ Ff ⊗ g = FfFg = FS

Nun konnen wir nach f auflosen und erhalten:

Ff =FSFg

−→ f = F−1

FSFg

In der Natur lassen sich in der Tat viele Zusammenhange durch geeignete mathematischeModelle bilden und eventuell anlaytisch losen; daher spielt die Faltung/Entfaltung, wiesie an diesem Beispiel demonstriert wurde, eine wichtige Rolle. In den meisten Fallen hatman es aber nicht mit kontinuierlichen Funktionen zu tun, sondern muss diskrete Datenauswerten. Dies funktioniert im Grunde nach demselben Prinzip, wird aber bei der spaterdefinierten diskreten Fouriertransformation genauer behandelt.

3.3.4. Korrelation

Im Gegensatz zur Faltung, bei der - vereinfachend erklart - der Einfluss einer Funktion aufeine andere uberpruft wird, besteht das Grundprinzip der Korrelation darin, zu uberprufenwie zwei Funktionen miteinander ubereinstimmen (korrelieren). Das Korrelationsintegralwird analog zur Faltung wie folgt definiert:

33

(f g)(t) :=∫R

f(x)g∗(t + x)dx (37)

Obwohl die Definitionsgleichung bis auf das Vorzeichen im Argument von g beinahe identzu der der Faltung ist, existieren doch einige Unterschiede in der mathematischen Behand-lung: Die Korrelation ist zwar assoziativ, distributiv aber nicht kommutativ; der Stern ∗

bedeutet konjugiert komplex. Fur die Fouriertransformierte der Korrelation zweier Funk-tionen ergibt sich folgende Beziehung:

Ff g =√

2πF ∗(ω)G(ω) (38)

Beweis:Der Beweis wird aquivalent zum Faltungssatz gefuhrt.

Bei naherer Betrachtung des Korrelationsintegrals ist ersichtlich, dass dieses nicht fur al-le Funktionen zu existieren braucht. Fur uns interessant ist jedoch die Betrachtung wiesich die Korrelation periodischer Funktionen verhalt; in solchen Fallen versteht man zweiFunktionen als unkorreliert, wenn deren Korrelation gleich dem Produkt ihrer Mittelwerteist.Neben dieser Feststellung gibt es noch unzahlige Anwendungen, Uberlegungen und Aspek-te der Korrelation, auf die wir nicht weiter eingehen. Das ist auch der Grund, wieso eskeine einheitliche Definition oder Symbolik fur diese Rechenoperation gibt.Zur Nomenklatur sei noch gesagt, dass man bei der Korrelation zweier verschiedener Funk-tionen auch oft von Kreuzkorrelation spricht, wohingegen die Autokorrelation die Korre-lation einer Funktion mit sich selbst beschreibt.In Kap.4.2.3 wird ein Beispiel zur diskreten Kreuzkorrelation vorgestellt, in dem das Korre-lationsintegral aus Gl.37 mit Hilfe der diskreten Fouriertransformation berechnet wird.

34

3.4. Diskrete Fouriertransformation (DFT)

Obwohl die Methoden der Fourieranalyse und der kontinuierlichen Fouriertransformationfur viele Vorgange in der Natur sehr hilfreich sind und viele Messdaten durch kontinuierli-che Funktionen angenahert werden konnen, hat man es i.A. stets mit diskreten Daten zutun, deren Auswertung ebenso erforderlich ist. Daher erscheint es furs Erste sinnvoll, diebisherigen Uberlegungen auch auf diskrete Daten auszuweiten und die dabei auftretendenEigenschaften zu diskutieren. Im weiteren Verlauf wird allerdings gezeigt, dass die DFT ei-gentlich ’viel mehr’ als ein ’diskretes’ Analogon zur kontinuierlichen FT ist und sich darausfaszinierende Anwendungsmoglichkeiten in der Wissenschaft und Technik ergeben. Einigedieser technischen Anwendungen werden dann ausfuhrlich in Kap.4 behandelt, wahrendsich das nachfolgende Kapitel eher mit dem mathematischen Hintergrund beschaftigt, daszum maßgeblichen Verstandnis der vorliegenden Theorie beitragen sollte.

3.4.1. Herleitung und Definition

Bevor auf die genaue Herleitung und Definition der DFT eingegangen wird, sollen einigeprinzipielle Uberlegungen angestellt werden, die einen allgemeinen Uberblick schaffen.Zuallererst ist es wichtig festzuhalten, dass es verschiedene Herangehensweisen zur Herlei-tung der DFT und ihrer Definition gibt, die auch in der Literatur nicht gerade einheitlichbearbeitet werden. Einerseits kann die DFT aus der Definitionsgleichung der kontinuierli-chen FT hergeleitet werden, andererseits ist dies auch mit Hilfe der Fourieranalyse moglich,was dadurch gerechtfertigt ist, dass bei der Fourieranalyse zumindest die Fourierkoeffizi-enten diskret vorliegen (was bereits eine gewisse Ahnlichkeit mit der DFT impliziert). Einganz anderer Zugang ergibt sich bei der Diskussion uber die Interpolation von Punktmen-gen durch trigonometrische Polynome, die unter gewissen Bedingungen ebenfalls zur DFTfuhrt.Alle drei Herangehensweisen sagen im Grunde das aus, was wir anfangs schon konstatierthaben; namlich, dass jede beliebige Funktion mit (oftmals) unendlichen Summen trigono-metrischer Funktionen dargestellt werden kann.Im weiteren Verlauf werden wir die DFT mit Hilfe der Definitionsgleichung der Fourierko-effizienten in (8) herleiten und verwenden dabei durchwegs eine Notation, die die Analogiezur Fourieranalyse und der kontinuierlichen Fouriertransformation zeigt.

Ausgangsbasis fur die Herleitung ist der Ubergang zu diskreten Daten in der Zeitdomane:

t −→ tk, mit tk = k∆t und k = 0, 1, . . . , N − 1. (39)

Damit hat man mit N diskreten Zeiten die Funktion in Samples vorliegen:

f(tk) = fk im Intervall T = N∆t. (40)

T gibt dabei die Lange des Intervalls, in dem wir die fk-Werte vorliegen haben, an. ImGegensatz zur kontinuierlichen Fouriertransformation haben wir nun zwei Vereinfachun-gen auf einmal getroffen: einerseits haben wir nun keine kontinuierliche Funktion sondern

35

gesampelte Funktionswerte fk vorliegen, andererseits wurde der Definitionsbereich unserer’Funktion’ (eigentlich der gegebenen fk) auf die Intervalllange T eingeschrankt. Da wir dieFunktion (bzw. die diskreten Funktionenwerte) außerhalb dieses Intervalls nicht kennen,nehmen wir an, dass diese mit der Periode T periodisch fortgesetzt wird/werden, was unssofort zur Definitionsgleichung der Fourieranalyse fuhrt. Wir formen Gl.8 etwas um indemwir die T -Periodizitat ausnutzen:

Cj =1T

∫ T2

−T2

f(t)e−2πij

Ttdt =

1T

[∫ 0

−T2

f(t)e−2πij

Ttdt +

∫ T2

0f(t)e−

2πijT

tdt

]=

=1T

[∫ T

T2

f(t)e−2πij

Ttdt +

∫ T2

0f(t)e−

2πijT

tdt

]=

1T

∫ T

0f(t)e−

2πijT

tdt

Mit den Beziehungen aus (39) und (40) nehmen wir nun den Ubergang vom Integral zur(Riemann’schen) Summe vor:

Cj =1T

∫ T

0f(t)e−

2πijT

tdt −→ Fj =1

N∆t

N−1∑k=0

f(tk)exp−2πijk∆t

N∆t

∆t

Diese Umformung passiert aufgrund der Uberlegung, dass ein Integral naherungsweisemit Hilfe der Trapezregel3 berechnet werden kann. In unserem Fall haben wir aber keine’Funktion’ im eigentlichen Sinne vorliegen, die wir annahern wollten, sondern Punktwertefk, weshalb der obige Vorgang durchaus gerechtfertigt ist. Nach dem Kurzen konnen wirdie diskrete Fouriertransformation (DFT) wie folgt definieren:

Fj =1N

N−1∑k=0

fke− 2πijk

N =1N

N−1∑k=0

fkW−kjN , mit WN = e

2πiN (41)

Analog dazu lautet fur die inverse diskrete Fouriertransformation (iDFT):

fk =N−1∑j=0

Fje2πijk

N =N−1∑j=0

FjW+kjN (42)

WN haben wir zweckmaßigerweise eingefuhrt, da wir in den nachfolgenden Kapiteln haufigmit dem Faktor e

2πiN zu tun haben werden.

Bevor wir auf diese Definitionsgleichungen naher eingehen, behandeln wir noch die Uber-legungen bei der Interpolation von Punktmengen, die uns im Grunde auf die gleichenFormeln zuruckfuhren.

3 Hierbei werden alle Funktionswerte fk mit Geraden verbunden und die Flache darunter berechnet.

36

Bei der Formulierung des Interpolationsproblems geht man davon aus, dass man dieAbzissen- und Ordinaten-Werte von N Punkten gegeben hat, wobei die Abszissen-Wertezwar nach ihrer Große geordnet aber nicht unbedingt aquidistant vorliegen mussen. Diemathematische Behandlung des Problems zielt darauf ab, eine moglichst glatte (Interpola-tions-)Funktion zu finden, die fur alle gegebenen Abzissen- und Ordinaten-Werte Gultig-keit hat. Da diese also durch die gegebenen Punkte gehen soll, musste es daruberhinaus mitHilfe dieser Funktion moglich sein, auch Werte zwischen den gegebenen Punkten zu ermit-teln. Es gibt nun eine Reihe verschiedener mathematischer Ansatze, um dieses Problem zubehandeln, von denen wir uns im Folgenden auf die Interpolation durch trigonometrischeFunktionen beschranken.Wir gehen also davon aus, dass sich unsere gegebenen Datenpunkte auf dem Intervall T be-finden und wir eine T -periodische Funktion suchen, die durch diese Datenpunkte verlauft.Dass dies moglich ist, besagen die in den mathematischen Grundlagen behandelten Satze.Weiters nehmen wir an, dass unsere Stutzpunkte aquidistant verteilt sind mit

tk = k∆t und k = 0, 1, . . . , N − 1

und wir t0 = 0 annehmen. Aufgrund der Erkenntnis, dass die Basisfunktionen einer tri-gonometrischen Reihe linear unabhangig4 sind (siehe dazu die Orthogonalitatsbedingungbei den Gl.6-7) und wir außerhalb unseres gegebenen Intervalls T = N∆t die gesuchteFunktion periodisch fortsetzen, konnen wir fur die gesuchte Interpolationsfunktion I die(N − 1)-te Partialsumme einer trigonometrischen Reihe ansetzen mit:

I(t) =N−1∑j=0

αje2πij

Tt (43)

wobei wir fur die gegebenen Punkte folgende Forderung stellen:

I(tk) =N−1∑j=0

αjexp2πij

Ttk︸ ︷︷ ︸

2πijN∆t

k∆t

=

N−1∑j=0

αje2πikj

N!= fk (44)

Dies fuhrt uns zur identen Gleichung wie in (42), also der Definitionsgleichung der iDFT,und wir erkennen, dass αj ≡ Fj gilt.

Wir fassen zusammen: Bei einem Interpolationsproblem, bei dem N aquidistante Stutz-punkte gegeben sind, ist es moglich, als Interpolationsfunktion ein trigonometrisches Poly-nom der Form in (43) zu wahlen, bei dem zunachst die Koeffizienten Fj unbestimmt sind.Diese werden mit Hilfe der DFT aus Gl.41 berechnet und anschließend in Gl.43 eingesetzt,mit der sich die gewunschte Interpolationsfunktion ergibt.

4Die lineare Unabhangigkeit ist voraussetzend dafur, dass wir die obige Reihe nach dem (N−1)-ten Gliedabbrechen konnen.

37

3.4.2. Eigenschaften der DFT

Im Grunde ubertragen sich alle Eigenschaften und Satze der Fourieranalyse und der kon-tinuierlichen Fouriertransformation auf die DFT, von denen wir im Folgendem lediglichdie veranderte Notation bei der DFT beachten.Ausgangspunkt sind die beiden Transformationen

fk ↔ Fjgk ↔ Gj

mit welchen wir die nachfolgenden Satze beschreiben.

Linearitat:

afk+ bgk ↔ aFj+ bGj (45)

Verschiebungssatz:

fk−n ↔ FjW−jnN (46)

Verschiebungssatz im Fourierraum:

fkWnkN ↔ Fj−n (47)

Bevor wir nun im Detail den Skalierungssatz bei der DFT ansprechen, wollen wir noch einespezielle Eigenschaft der DFT diskutieren, die spater eine wichtige Rolle spielen wird. Wirstellen uns jetzt namlich die Frage, ob es nicht moglich ware - analog zur kontinuierlichenFouriertransformation - auch negative Frequenzen bzw. Fourierkoeffizienten mit negativemIndex j in Gl.41 zu verwenden. Dazu formen wir Gl.41 zunachst etwas um und erhalten

Fj =1N

N−1∑k=0

fke− 2πijk

N =1N

N−1∑k=0

fk

[cos

(2πjk

N

)− i sin

(2πjk

N

)].

Nun setzen wir ein negatives j ein mit

F−j =1N

N−1∑k=0

fk

[cos

(2πjk

N

)+ i sin

(2πjk

N

)]und erkennen, dass sich lediglich das Vorzeichen im Imaginarteil verandert hat. Wir konnenalso fur reelle Funktionswerte fk zunachst folgern, dass F−j = F ∗

j ist. Setzen wir in dieursprungliche Definitionsgleichung allerdings N − j fur den Index j ein, ergibt sich der

38

allgemeine Zusammenhang

FN−j =1N

N−1∑k=0

fk

[cos

(2πkN

N− 2πkj

N

)− i sin

(2πkN

N− 2πkj

N

)]=

=1N

N−1∑k=0

fk

[cos

(2πjk

N

)+ i sin

(2πjk

N

)]= F−j ,

aus dem wir nun eine Reihe an Schlussfolgerungen anstellen konnen.

Fur jede beliebige Folge Fj von Fourierkoeffizienten gilt, dass die Fj , die von j = N2 bis

j = N − 1 verlaufen, eigentlich die negativen Frequenzen darstellen und somit gleich sindwie die Fj mit j ∈ [−N

2 ;−1] sind. Daher stellt die Mitte der Folge der Fourierkoeffizientendie hochste im Fourierraum vorkommende Frequenz ωmax bzw. −ωmax dar, die zweckmaßi-gerweise als eigene Große definiert wird. Bevor wir diese nun definieren leiten wir noch diediskreten Frequenzen fur die DFT her:

wj =2π

Tj −→

t=N∆twj =

2π

N∆tj bzw. νj =

j

N∆t

Setzen wir nun fur j = N2 , erhalten wir die sog. Nyquist-Frequenz mit:

ΩNyq =π

∆toder νNyq =

12∆t

=N

2T(48)

Die Nyquist-Frequenz macht einerseits weitreichende Aussagen uber die notwendige Anzahlder Samples (zur eindeutigen Rekonstruktion einer Funktion), die wir im nachfolgendenKapitel diskutieren werden, und andererseits ist durch die Gl.48 bereits ein Analogon zumbereits diskutierten Skalierungssatz gegeben.Nun definieren wir noch die Frequenzauflosung ∆ω bzw. ∆ν mit

∆ω = ωj+1 − ωj −→ ∆ω =2π

Tbzw. ∆ν =

1T

,

und die Abtast- bzw. Samplingrate fa mit

fa =1

∆t,

mit denen wir die Beziehungen aus der Nyquist-Frequenz besser interpretieren konnen:Denn, wie aus Gl.48 und den obigen Beziehungen leicht erkennbar, fuhrt eine große Pe-riode T zu einer hohen Frequenzauflosung und eine große Sample-Anzahl N zu einemgroßen Frequenzbereich. Vor allem fur technische Anwendungen spielt dieser Satz eineherausragende Rolle, da er klarmacht, dass zum Beispiel bei Erhohung der Sample-Anzahldie Auflosung am Spektrum unverandert bleibt. Weiters ist erkennbar, dass die Nyquist-Frequenz der halben Samplingrate entspricht, was vor allem beim spater behandeltenSampling-Theorem in Kap.3.4.4 von Bedeutung sein wird.

39

Der oben diskutierte Sachverhalt, also die Tatsache, dass man Fourierkoeffizienten Fj mitj > N

2 eigentlich im negativen Bereich (also fur j < 0) anordnen kann, nennt man imFachjargon wrapping. Bei reellen Funktionenwerten gilt zudem die Beziehung

FN−j = F ∗j (49)

wobei im Spezialfall eines geraden Inputs, bei dem die Fouriertransformierte reell ist, dieobige Beziehung auch ohne das komplex-konjugierte ∗-Zeichen gilt.Aus dieser Diskussion konnen wir nun drei wichtige Schlusse ziehen, die spater fur diepraktische Behandlung eine wichtige Rolle spielen:

(i): Bei der DFT wird nicht nur die gegebene Folge der Funktionenwerte fk als peri-odisch angenommen. Die Folge ihrer Fouriertransformierten Fj , der die Frequenzen ωj

bzw. νj zugeordnet sind, ist ebenfalls periodisch und die Fj konnen von einem Intervallzum anderen gewrappt werden. Das wrapping funktioniert genau so fur den negativenFrequenzbereich.

(ii): Die hochste im Fourierraum vorkommende Frequenz ist die Nyquist-Frequenz ΩNyq;das darf aber nicht so verstanden werden, als gabe es keine hoheren Frequenzen im Fourier-raum. Fur hohere Frequenzen werden die Fourierkoeffizienten lediglich aus dem doppeltenNyquist-Intervall herumgewrappt. Daher kann eigentlich gesagt werden, dass die Folge Fj

der Fourierkoeffizienten mit dem doppelten Nyquist-Intervall periodisch ist.

(iii): Wegen der Periodizitat der Fourierkoeffizienten und des Kerns WN ist es bei der iDFTdaher gleichgultig, welches Intervall aus dem Fourierraum ausgewahlt wird. Bei Interpo-lationsproblemen konnen dadurch Schwieriegkeiten auftreten, die im Kap.4.2.1 genauerdiskutiert werden.

Nun behandeln wir dazu ein einfaches Beispiel.

Beispiel 7: ’Kosinus mit N = 4’. Es seinen nun vier Stutzpunkte einer Kosinusfunktiongegeben:

f0 = 1, an t0 = 0f1 = 0, an t1 = 1f2 = −1, an t2 = 2f3 = 0, an t3 = 3

Wir bilden nun die Fouriertransformierten Fj , indem wir in Gl.41 einsetzen und dabei dieoben diskutierten Beziehungen ausnutzen:

F0 =14(1 · e0 + 0 · e0 − 1 · e0 + 0 · e0) = 0

F1 =14(1 · e0 − 1 · eπi2) =

12

F2 =14(1 · e0 − 1 · e2πi) = 0 → F−2

F3 =14(1 · e0 − 1 · e3πi) =

12→ F−1

40

Wollten wir aus den Fk nun wieder unsere fk berechnen, brauchten wir diese nur in Gl.42einsetzen. Wir setzen sie aber in die Interpolationsfunktion in (43) ein und nutzen dabeidas bisher Gesagte indem wir die Summe in Gl.43 von j = −N

2 bis j = N2 −1 bilden. Dann

folgt fur die Interpolationsfunktion I(t):

I(t) = 0 · e0 +12e−

2πi4·1·t + 0 · e

2πi4·2·t +

12e

2πi4·1·t =

12

(e

π2it + e−

π2it)

=e

π2it + e−

π2it

2=

= cos(π

2t)

In Abb.10 sind nun die gegebenen Punkte fk, deren Fouriertransformierte Fj sowie dieInterpolationsfunktion dargestellt. Anhand dieses einfachen Beispiels lasst sich eigentlichalles bisher Gesagte zeigen: die Funktion wird mit der Periode T periodisch fortgesetztund ebenso liegen alle gegebenen Punkte auf der Interpolationsfunktion.

Abbildung 10: Darstellung der gegebenen fk-Werte aus Beispiel 7 (links), der Fouriertrans-formierten Fj (rechts) und der daraus berechneten InterpolationsfunktionI(t) (links).

3.4.3. Faltung, Korrelation, Parsevals Theorem

Nachdem die Bedeutung des Faltungssatzes und der Korrelation bereits zu Genuge erlautertwurde, soll an dieser Stelle lediglich auf die veranderte Notation bei der DFT eingegangenwerden.Logischerweise ergibt sich bei der diskreten Faltung und Korrelation zunachst die Bedin-gung, dass die Anzahl der Samples gleich sein muss. Dies kann aber dadurch umgangenwerden, dass man einfach mehr Funktionenwerte einfuhrt, die alle Null ergeben. Weiterswurden sich aufgrund der nachfolgenden Formeln Indizes ergeben, die entweder in den ne-gativen Bereich oder uber N hinaus gehen. In solchen Fallen wird einfach die angenomme-ne Periodizitat der Funktionenwerte ausgenutzt und diese werden wie vorher besprocheneinfach in den jeweilig gegebenen Bereich umgeklappt (wrap around).

41

Faltungssatz:

hk = (f ⊗ g)k =1N

N−1∑l=0

fl · gk−l (50)

Korrelation:

hk = (f g)k =1N

N−1∑l=0

fl · g∗k+l (51)

Parsevals Theorem:

1N

N−1∑l=0

|fl|2 =N−1∑j=0

|Fj |2 (52)

3.4.4. Nyquist-Shannon-Abtasttheorem, Aliasing

Da nun bekannt ist, dass die Folge der Fourierkoeffizienten periodisch mit N , also Fj =FN+j , und durch die Nyquist-Frequenz beschrankt ist, stellt sich die Frage, welche Klassenvon Funktionen aufgrund gegebener Anzahl an Samples eindeutig rekonstruiert werdenkonnen. Dazu dient folgender Satz:5

Satz 7 (von Shannon):Bezeichne f eine beschrankte und absolut integrierbare Funktion, die im Abstand ∆tabgetastet wird. Wenn f in ihrem kontinuierlichen Frequenzspektrum durch die Nyquist-Frequenz ΩNyq beschrankt ist, d.h., dass fur die Fouriertransformierte F die BeziehungF (ω) = 0 fur alle ω mit |ω| ≥ ΩNyq gilt, so ist die Funktion f komplett durch die folgendeFormel bestimmt:

f(t) =+∞∑

k=−∞f(k∆t)

sin[ΩNyq(t− k∆t)]ΩNyq(t− k∆t)

(53)

Wir konnen also nur jene Funktionen fur alle Zeiten t rekonstruieren, deren Frequenzspek-trum auf ein gewisses Intervall limitiert ist (also wenn die Funktion selber bandbreitenlimi-tiert ist). Die Sampling-Rate fa muss also so gewahlt werden, dass die Nyquist-Frequenzgroßer als alle im Spektrum vorkommenden Frequenzen sind; das wiederum bedeutet - da

5Haufig wird dieser Satz in der Literatur auch Sampling- oder WKS-Theorem (fur Whittaker-Kotelnikow-Shannon) genannt.

42

die Sampling-Rate mit fa = 2νNyq gegeben ist -, dass die Sampling-Rate mindestens sogroß sein darf wie die doppelte Nyquist-Frequenz, um die Funktion noch eindeutig rekon-struieren zu konnen.In der Praxis kommen folgende zwei storende Faktoren hinzu:

1. Wir betrachten bekanntlich Punktmengen und nehmen an, dass diese Punktmengeneinem gewissen funktionalen Zusammenhang f(t) unterliegen, den wir mit Hilfe derDFT suchen. Da wir die gesuchte Funktion a priori nicht kennen, konnen wir auchnicht sagen ob die Samples, die wir von der Funktion gegeben haben, in der optimalenSampling-Rate vorliegen.

2. Da wir bei der DFT die gegebene Punktmenge immer als periodisch annehmen, istein naheliegender Schluss der, dass wir in den meisten Fallen (sollte die Punktmen-ge tatsachlich einer periodischen Funktion angehoren) die eigentliche Periode derPunktmenge gar nicht kennen.

Grundsatzlich konnen wir keinen der beiden Faktoren eliminieren und wir bekommen stetsstorende Nebeneffekte: im ersten Fall den sog. Aliasing-Effekt, im zweiten den Leakage-Effekt (Leck-Effekt).Bezuglich des Aliasing-Effekts behandeln wir ein Beispiel, den Leakage-Effekt werden wirim nachsten Kapitel und in Kap.4.2.1 naher erlautern.

Beispiel 8: ’Kosinus mit ω = 1’. Wir betrachten nun eine 2π-periodische Kosinusfunk-tion f(t) = cos(t), von der wir 8 Samples fur 5 Perioden gegeben haben. Wir werden alsobemuht sein, anhand dieser Samples die ursprungliche Funktion zu rekonstruieren. Da wirdie Funktion stillschweigend schon kennen, konnen wir bereits im vornhinein einige Un-tersuchungen anstellen. Die Nyquist-Frequenz betragt bei der gegebenen Sampling-Ratemit Hilfe der Gl.40 und 48

∆t =T

N=

5 · 2π

8=

54π −→ ΩNyq =

π

∆t= 0, 8

und ist somit um 20% geringer als die eigentliche Frequenz ω der gegebenen Funktion,wodurch die Shannon’sche Bedingung zur eindeutigen Rekonstruktion einer Funktion nichterfullt ist. Wir berechnen nun die Fourierkoeffizienten Fj anhand der gegebenen Punktefk

f0 = 1, f1 = −√

22

, f2 = 0, f3 =√

22

, f4 = −1, f5 =√

22

, f6 = 0, f7 = −√

22

mit Hilfe der Definitionsgleichung der DFT in (41), woraus fur die Fj folgt:

F0 = 0, F1 = 0, F2 = 0, F3 =12, F4 = 0, F5 =

12, F6 = 0, F7 = 0

Diese werden dann in die Interpolationsfunktion in Gl.43 eingesetzt, wobei wir die Summewieder von j = −N

2 bis j = N2 − 1 bilden und die obigen Fourierkoeffizienten in den

negativen Bereich wrappen. Daraus folgt:

I(t) =12e

2πi310π

t +12e−

2πi310π

t = cos(

35t

)

43

Abbildung 11: Darstellung der gegebenen Funktionenwerte fk, der Funktion f(t) mit ω =1 und der berechneten Interpolationsfunktion I(t) mit ω = 3

5 .

Es wurde zwar eine passende Interpolationsfunktion I(t) gefunden, allerdings entsprichtsie nicht der gegebenen Funktion f(t); die Frequenz der Interpolationsfunktion ist um 40%kleiner als die der ursprunglich gegebenen.Der sog. Aliasing-Effekt besagt nun, dass alle Frequenzkomponenten einer Funktion, diesich außerhalb der Bandbreite [−ΩNyq; +ΩNyq] befinden, nach einer DFT in diesen Be-reich hineingespiegelt werden.6 Das bedeutet, es treten Frequenzen auf, die eigentlich garnicht zum Spektrum der eigentlichen Funktion gehoren. In unserem Fall bedeutet dasfolgendes:

ω − ΩNyq = 1− 0, 8 = 0, 2 −→ ωalias = ΩNyq − 0, 2 =35

Hier haben wir mit ωalias die Frequenz bezeichnet, die durch den Alias-Effekt als Losungdes Interpolationsproblems herauskommt.

3.4.5. Zero-Padding

Neben der oben behandelten Problematik des Aliasings kann in den meisten Fallen dieeigentliche Periode der gegebenen Punktmenge a priori gar nicht ermittelt werden. Bisherhaben wir namlich (in den zwei vorangehenden Beispielen) stets Punktmengen betrachtet,die ohne Probleme periodisch fortgesetzt werden konnten. Nun passiert es aber haufig, dassmit dem Sampling zum falschen Zeitpunkt aufgehort wird und die somit gegebene Folgevon Funktionenwerten fk gar kein ganzzahliges Vielfaches ihrer eigenen Periode darstellt.In einem solchen Fall treten dann nach der DFT im Fourierraum weitere Spektralkom-ponenten auf. Dieses Phanomen wird allgemein Leakage(-Effekt) genannt und kann meistmit Filtern und eventuell mit sog. Fensterfunktionen reduziert, jedoch niemals komplett

6Anbei sei angemerkt, dass dieses ’Hineinspiegeln’ bei komplexen Koeffizienten stets nach der Beziehungaus (49) betrachet werden muss. Daher werden bei reellen Fourierkoeffizienten die Frequenzkomponen-ten außerhalb des Intervalls [−ΩNyq; +ΩNyq] positiv hineingespiegelt, also addiert, und bei komplexenFourierkoeffizienten negativ, also im Nyquist-Intervall [−ΩNyq; +ΩNyq] subtrahiert.

44

behoben werden.Weiters sind wir bisher bei unseren Interpolationsproblemen immer von periodischenPunktmengen fk ausgegangen, was uns die Herleitung der DFT uberhaupt ermoglichthat. Die Frage, die sich stellt, ist naheliegend: Ist eine DFT auch fur aperiodische Punkt-mengen moglich und - wenn ja - wie verhalt es sich mit den Eigenschaften?Die Antwort leitet sich eigentlich aus allen bisherigen Uberlegungen rund um die Fourier-transformation ab, die wir im Grunde auf die Weise hergeleitet haben, dass wir die Periodeunendlich ausgedehnt haben; theoretisch ist dies auch hier moglich, jedoch begnugt mansich in der Praxis mit gewissen Naherungen. Die Periode kann also dadurch ausgeweitetwerden, indem der neu hinzugefugte Bereich mit Nullen ausgefullt wird (Zero-Padding).Diese Vorgangsweise wird daher in folgenden Fallen angewandt:

• Bei einer Folge von Funktionenwerten, von der man weiß, dass sie aperiodisch ist,werden vorne und hinten ausreichend Nullen angefugt, wodurch die Periodie T ver-großert wird und quasi eine unendliche Periode ’simuliert’ wird. Daher sind die Uber-legungen rund um die DFT ebenso auf aperiodische Folgen von Funktionenwertenausweitbar.

• Bei der Faltung oder Korrelation zweier Funktionen wurden aufgrund der Rechen-vorschrift (bzgl. Indizes) jeweils Werte aus der vorangehenden oder nachfolgendenPeriode in das Ergebnis einfließen. Fugt man aber zu den gegebenen Punktmen-gen fk und gk am Anfang bzw. am Ende jeweils ausreichend Nullen hinzu, erubrigtsich dieser Effekt. Daruberhinaus kann auf diese Weise die Faltung oder Korrelationzweier Folgen von Funktionenwerten fk und gk, die ungleich viele Werte besitzen,uberhaupt erst (korrekt) berechnet werden.

• Bei Folgen von Funktionswerten, die bei einer periodischen Fortsetzung Sprungstel-len bekamen, wird die Methode des Zero-Paddings angewandt, um diese bewusst zueliminieren und die (eventuell) gesuchte Interpolationsfunktion zu glatten.

3.4.6. Schnelle Fouriertransformation (FFT)

Zu den wichtigsten Errungenschaften des 20. Jahrhunderts in Bezug auf die (diskrete)Fouriertransformation zahlt der im Jahre 1965 von Cooley und Tukey entwickelte Algo-rithmus zur ’schnellen’ Berechnung der FT (Fast Fourier Transform).Wie aus den bisher behandelten Beispielen hervorgeht, stellt die Berechnung der Fourier-koeffizienten einen Prozess der Ordnung N2 dar, da wir N Summen mit N Gliedern haben(vgl. dazu Gl.41 und Gl.42). Dabei wird jeder einzelne Fourierkoeffizient unabhangig vomvorhergehenden berechnet, was durch das Quadrat bei der Sample-Anzahl zu einer hohenRechenzeit fuhrt, wenn man viele Stutzpunkte gegeben hat. Nun stellt sich die Frage, obes nicht auch einen rekursiven Algorithmus geben konnte, mit dem man aus bereits er-rechneten Werten weitere Fourierkoeffizienten bestimmen kann; gerade die Beantwortungdieser Frage fuhrte zur Herleitung der FFT.Hierbei muss die Anzahl der Stutzpunkte durch eine ’ganze’ Potenz p von 2 gegeben sein

45

(also N = 2p). Nun wird die Folge der Funktionswerte fk auf zwei Unterfolgen aufgeteilt,von denen eine nur die geraden, die andere nur die ungeraden Elemente zusammenfasst:

fk

f1,k = f2k f2,k = f2k+1gerade Elemente ungerade Elemente

Der Index k lauft nun von k = 0, 1, . . . ,M − 1 (mit M = N2 ), wobei beide Perioden

periodisch mit N2 sind.

Mit den nun veranderten Folgen ergeben sich die zugehorigen Fouriertransformierten mit

F1,j =1M

M−1∑k=0

f1,kW−kjM ,

F2,j =1M

M−1∑k=0

f2,kW−kjM ,

mit j = 0, 1, . . . ,M − 1.

Diese konnen wir nun in die usprungliche Definitionsgleichung der DFT in (41) einsetzenund erhalten somit:

Fj =1N

N−1∑k=0

fkW−kjN =

1N

[M−1∑k=0

f2kW−2kjN +

M−1∑k=0

f2k+1W−(2k+1)jN

]=

=1N

M−1∑k=0

f1,kW−kjM +

W−jN

N

M−1∑k=0

f2,kW−kjM

Im letzten Schritt wurden dabei folgende Beziehungen benutzt:

W−2kjN = e−2 2πikj

N = e2πikj

M = W−kjM

W−(2k+1)jN = e−2

2πi(2k+1)jN = W−kj

M W−jN

Insgesamt ergibt sich nach dem sog. ’ersten Teilen’ fur die Fourierkoeffizienten Fj derAusdruck

Fj =12F1,j +

12W−j

N F2,j , mit j = 0, 1, . . . ,M − 1,

woraus wir die etwas allgemeinere Form auffassen:

Fj =12

[F1,j + F2,jW

−jN

]Fj+M =

12

[F1,j − F2,jW

−jN

] mit j = 0, 1, . . . ,M − 1

46

Aus dem letzten Ausdruck folgt dabei bereits ein wichtiger Schluss, auf dessen Prinzip diegesamte FFT aufbaut: Die Werte Fj und Fj+M konnen also beide aus denselben Zwischen-werten bestimmt werden indem man nur das Vorzeichen variiert. Dieser Vorgang wird nunso oft wiederholt, bis nach Anwendung der obigen Formeln eine eingliedrige ’Zahlenfol-ge’ ubrigbleibt, deren Fouriertransformierte ja identisch mit dem Funktionswert ist (siehedazu Gl.52, Parsevals Theorem); daher ist auch die Einschrankung fur die Anzahl derStutzstellen mit N = 2p einsichtig, da nach jedem Teilen das Ergebnis wieder durch 2teilbar sein muss, bis schließlich nur die eingliedriche ’Zahlenfolge’ ubrigbleibt.Dieser Umstand stellt bereits eine bedeutende ’Verschnellerung’ der ursprunglichen Be-rechnung der Fourierkoeffizienten dar, bei dem jeder Koeffizient einzeln und unabhangigvon anderen bestimmt wurde. Es ist nun auch klar, dass dieser Vorgang so lange wiederholtwerden kann, bis alle Fourierkoeffizienten bestimmt sind. Die Anzahl der Rechenschritteist hierbei N ln(N).Die Ausgabe der Fourierkoeffizienten erfolgt dabei nach dem Butterfly- bzw. Schmetter-lings-Schema, bei dem die Fourierkoeffizienten in umgedrehter Bit-Reihenfolge ausgegebenwerden. Mit dem Bitreversal kann diese jedoch leicht umgeordnet werden und diese istauch in den meisten Fallen bereits in den Algorithmen zur DFT implementiert.Abschließend sei noch angemerkt, dass es mittlerweile eine Menge Verallgemeinerungenund Umformungen des ursprunglichen Algorithmus von Cooley und Tukey gibt, die je-weils nach Verwendungstyp (abhangig von der Sample-Anzahl N) verschieden eingesetztwerden und teilweise um einiges schneller sind. Weiters kommt auch in einigen modernenFFT-Programmen die strenge Bedingung, dass N = 2p sein muss, nicht mehr vor (siehez.B.: M. Frigo u S. G. Johnson, Proc. of the IEEE 93 (2), 216-231 (2005)).

47

4. Anwendungsmoglichkeiten der Fouriertransformation

Bei der Diskussion rund um die Fouriertransformation ist es selbstverstandlich wichtig, sichausreichend mit der Theorie und dem mathematischen Hintergrund dieser Thematik zubefassen. Allerdings ist - wie in den meisten Fallen im wirklichen Leben - jegliche Theorieunbegrundet, wenn sich aus ihr keine praktischen Anwendungen ergeben; umgekehrt wer-den Phanomene in der Natur erst zu jenem Zeitpunkt fur wissenschaftliche Anwendungenbedeutend, wenn sie durch theoretische Uberlegungen kategorisiert und erklart werdenkonnen. Aus diesem Grund ist es das Ziel dieses Kapitels, einen allgemeinen Uberblickuber die verschiedenen Anwendungsmoglichkeiten der Fouriertransformation zu schaffenund durch einige ausgewahlte Beispiele gewisse Methoden in der praktischen Handhabungzu zeigen.Bekanntlich liegt die Aufgabe der Physik darin, Vorgange in der Natur zu beobachten,theoretisch zu erklaren und quantitativ zu erfassen. Bei der theoretischen Behandlungstutzt sie sich auf die Mathematik und aufbauend auf Axiomen werden Modelle entwor-fen, die mit dem Beobachteten einhergehen und in weiterer Folge Vorraussetzungen fureine quantitative Erfassung erst moglich machen. Daher haben wir prinzipiell zwei in ih-ren Absichten etwas verschiedene Herangehensweisen bei physikalischen Problemen: Zumeinen sind wir an der Theorie, also der Analytik, interessiert; zum anderen schaffen wir be-stimmte Messvorschriften, um das Beobachtete quantitativ zu erfassen, auszuwerten undeventuell mit anderen Großen zu vergleichen.Angewendet auf die Fouriertransformation kann also gesagt werden, dass sie in allen Gebie-ten der Physik und Mathematik Anwendung findet, in der gewisse Großen in Abhangigkeitvon anderen Großen betrachtet und deren funktionale Zusammenhange analysiert werden.Hierbei ist es sehr schwer eine klare Linie zwischen der analytischen und der numerischenAnwendung (in Form der DFT) zu ziehen, da - wie geschildert - die Motive oftmals un-terschiedlich sind. Daher werden nachfolgend einige Anwendungsmoglichkeiten der FTaufgelistet, die sowohl analytisch als auch numerisch eine Rolle spielen.

Periodische FunktionenZur Fouriertransformation bzw. Fourieranalyse kann allgemein gesagt werden, dass siezunachst uberall dort Anwendung findet, wo mit trigonometrischen Funktionen gerechnetwird oder diese untersucht werden. Viele periodische Funktionen, die in verschiedenenBereichen der Technik (Akustik, Signaltechnik, Optik, Astrophysik, etc.) auftreten, kannman mit Summen trigonometrischer Funktionen (wie im Kapitel uber die Fourieranalysebeschrieben) darstellen und untersuchen.

AkustikIn der Akustik kommt die Fourier-Theorie unter verschiedenen Aspekten zum Einsatz.Ausgangspunkt ist dabei die Annahme, dass ein beliebiger Ton aus einem sog. Grundtonund beliebig vielen Obertonen aufgebaut ist; alle werden dabei als Sinus- bzw. Kosinus-Schwingungen angenommen, die sich in ihrer Frequenz und eventuell Intensitat unterschei-den. Daher kann eigentlich jedes beliebige Gerausch mathematisch mit Hilfe der Fourier-reihe beschrieben werden (also als Summe von einzelnen spektralen Komponenten), wasfolgende Anwendungen zur Folge hat:

48

• Klangerzeugung: Bei der synthetischen Klangerzeugung in Form von Synthesizernwerden verschiedene Klange eben auf dem Prinzip der Fouriersynthese (=Zusammen-setzung einer Funktion aus ihren einzelnen harmonischen Komponenten) erzeugt.Durch Veranderung verschiedener Parameter (Periode, Frequenz, Intensitat) kannsomit die erzeugte Klangfarbe7 variiert werden.

• Klangmanipulation: Ein akustisches Signal wird oft im Frequenzraum manipuliert,womit man verschiedene Klanganderungen erreichen kann (wie z.B. die Verstarkungoder Unterdruckung von nieder-/hochfrequenten Tonen). Auf diesem Prinzip basie-ren verschiedene Filter.

• Klanganalyse: Zur Unterscheidung von verschiedenen Klangfarben wird ein Ton inden Fourierraum abgebildet, womit die spektrale Zusammensetzung untersucht wer-den kann.

OptikDie gesammte Fourier-Optik basiert auf der Theorie der Fouriertransformationen. Die-se behandelt unter anderem alle Phanomene rund um optische Filtereinrichtungen, diein erster Linie bei Bildrekonstruktionen oder anderen Manipulationen am Bild einge-setzt werden. Ausgangspunkt ist wiederum die Annahme, dass man Licht als Welle (bzw.Anhaufung von Wellenzugen) betrachten und somit mit Sinus- bzw. Kosinus-Schwingungenbeschreiben kann.

FiltereinrichtungenAll diesen Beispielen liegen Manipulationen im Zeit- bzw. Frequenzraum und die dadurchverursachten Anderungen im Frequenz- bzw. Zeitraum zugrunde. Allgemein nennt manFunktionen bzw. ’Vorrichtungen’ mit frequenzabhangigen Eigenschaften, also Ubertra-gungsmechanismen, die eine frequenzabhangige Selektion des Signals durchfuhren, Filter.Diese werden in nahezu allen Bereichen der Physik angewendet.

4.1. FT in der analytischen Mathematik

Die analytische Behandlung gewisser mathematischer und physikalischer Probleme spieltnicht nur aufgrund der Exaktheit des Ergebnises eine bedeutende Rolle, sondern ’liefert’bei Anderung der Anfangsbedingungen ’sofort’ ein verandertes exaktes Ergebnis. Deshalbist auch die FT in der Analytik (in allen bisher genannten Bereichen) uberaus wichtig,da sie auf diese Weise Eigenschaften verschiedener physikalischer Modelle (wie etwa dieUnscharferelation in der Quantenmechanik) besser klaren kann.Oftmals ist die exakte analytische Beschreibung und Losung des Problems zudem nichtsehr kompliziert oder es kann ein komplizierter funktioneller Zusammenhang durch einvereinfachendes leicht auszuwertendes Modell befriedigend angenahert werden, weshalb

7Fur unterschiedliche Klangfarben sind bekanntlich die Obertone verantwortlich. So klingt z.B. bei ver-schiedenen Musikinstrumenten der Kammerton A (440Hz) verschieden, obwohl die Grundfrequenzgleich ist.

49

die analytische Behandlung einer numerischen Rechnung oft vorzuziehen ist.Die wichtigste Anwendung der FT in der analytischen Mathematik ergibt sich aber beider Behandlung von Rand-Anfangswertproblemen partieller Differentialgleichungen. Dennaus den Eigenschaften der FT geht bekanntlich hervor, dass Funktion und Fouriertransfor-mierte eindeutig bestimmt sind, woraus folgt, dass es keinen Unterschied macht, ob maneine Funktion im Zeit- oder Frequenzraum beschreibt. In vielen Fallen jedoch vereinfachtdie Darstellung einer Funktion im Frequenzraum das gesamte Problem oder ermoglichtuberhaupt dessen Losung.

4.1.1. Beispiel: Diffusionsgleichung

Wir betrachten nun ein Beispiel aus der Physik, um die Anwendungsmoglichkeit der FTbei der Losung von partiellen DGL zu demonstrieren.

Gegeben sei die Diffusionsgleichung

∂T

∂t= κ

∂2T

∂x2(54)

mit der Temperatur T und der Temperaturleitfahigkeit κ.Wir haben also eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung gegeben, die die Tem-peratur T (x, t) in einem langen Metallstab beschreibt. Es handelt sich dabei um ein An-fangswertproblem, da T (x, 0) als gegeben angenommen wird. Wir wollen nun die Tempe-ratur T fur alle Zeiten bestimmen.Ausgangspunkt fur die weitere Rechnung ist die Fouriertransformierte τ(k, t) der Tempe-ratur, die laut Gl.24 folgendermaßen gegeben ist:

τ(k, t) =1√2π

∫ ∞

−∞T (x, t)e−ikxdx

Wir machen also eine Transformation aus dem Ortsraum in den Wellenzahlraum, wobeidie Zeit t als konstant angenommen wird. Fur die Rucktransformation gilt daher:

T (x, t) =1√2π

∫ ∞

−∞τ(k, t)eikxdk.

Diese konnen wir nun in Gl.54 einsetzen, woraus folgt:

∂

∂t

(1√2π

∫ ∞

−∞τ(k, t)eikxdk

)= κ

∂2

∂x2

(1√2π

∫ ∞

−∞τ(k, t)eikxdk

)1√2π

∫ ∞

−∞

∂τ(k, t)∂t

eikxdk = κ(ik)21√2π

∫ ∞

−∞τ(k, t)eikxdk

Nun multiplizieren wir beide Seiten mit dem Faktor e−ik′x und integrieren uber x, woraus

50

sich nach Kurzen des Vorfaktors 1√2π

Folgendes ergibt:∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞

∂τ(k, t)∂t

eikxdk

)e−ik′xdx =

∫ ∞

−∞

(−k2κ

∫ ∞

−∞τ(k, t)eikxdk

)e−ik′xdx∫ ∞

−∞

∂τ(k, t)∂t

∫ ∞

−∞ei(k−k′)xdx︸ ︷︷ ︸

2πδ(k−k′)

dk = −k2κ

∫ ∞

−∞τ(k, t)

∫ ∞

−∞ei(k−k′)xdx︸ ︷︷ ︸

2πδ(k−k′)

dk

2π

∫ ∞

−∞

∂τ(k, t)∂t

δ(k − k′)dk = −2πk2κ

∫ ∞

−∞τ(k, t)δ(k − k′)dk

Aus den Beziehungen fur die δ-Distribution∫ ∞

−∞f(k)δ(k − k′) = f(k′) und f(k)δ(k − k′) = f(k′)δ(k′ − k)

folgt letztendlich die anfangs gegebene partielle Differentialgleichung:

∂τ(k, t)∂t

= −k2κτ(k, t)

Diese nun gewohnliche Differentialgleichung erster Ordnung kann leicht gelost werdenmit ∫

∂τ(k, t)τ(k, t)

= −∫

k2κ∂t −→ ln (τ(k, t)) = −k2κt + C

wobei unter Berucksichtigung der Anfangsbedingung mit FT (x, 0) = τ(k, 0) folgt:

τ(k, t) = e−k2κtτ(k, 0)

Um nun zur anfangs gewunschten Temperatur T (x, t) zu gelangen muss τ(k, t) lediglichrucktransformiert werden:

T (x, t) =1√2π

∫ ∞

−∞τ(k, t)eikxdk =

1√2π

∫ ∞

−∞τ(k, 0)e−k2κt+ikxdk

Dieser Ausdruck entspricht der allgemeinen Losung der Warmeleitungsgleichung. Mankann in der Praxis aber oft T (x, 0) = δ(x) wahlen (was einer punktformigen Warmequelleentspricht), wodurch sich obiger Ausdruck auf die spezielle Losung (mit einer KonstantenA) reduziert:

T (x, t) = A · exp−|x|

2

4κt

51

4.2. FT bei numerischer Auswertung

Neben der analytischen Behandlung gewisser Problemstellungen mit Hilfe der FT, die insolchen Fallen bereits ein sehr brauchbares Werkzeug zur Verfugung stellt, liegt die eigent-liche Anwendung in der Auswertung diskreter Daten. Vor allem durch die Tatsache, dassheutzutage nahezu alle Messeinrichtungen digitalisiert sind und die Experimentalphysikauf der Aufnahme diskreter (Mess-)Daten und deren Diskussion (z.B.: Fehlereinschatzung)basiert, hat man es in der Praxis fast immer mit diskreten Daten zu tun und ist bemuht,diese moglichst effizient auszuwerten.Dabei spielt besonders der Aspekt der Interpolation von gegebenen Punktmengen mitHilfe der DFT eine besondere Rolle, von denen zwei nachfolgend aufgelistet sind.

DatenglattungMit der Transformation einer Funktion in ihren Frequenzraum und der darauf folgendenManipulation in diesem sind die Methoden der Datenglattung, bei der eine stark oszillie-rende Funktion durch eine glattere ersetzt wird, eng verbunden (siehe dazu Kap.4.2.2).Anwendung finden diese Methoden z.B. bei der Bildrekonstruktion, bei der dadurch u.a.die Intensitat oder die Ubergange an Kanten variiert werden konnen. Dazu ist allerdingsdie Definition der FT fur mehrdimensionale Raume notwendig, die mathematisch aberleicht hergeleitet werden kann.

DatenkomprimierungVor allem beim Vorhaben, kontinuierliche Messsignale (z.B. Musik, Video, etc.) zu digita-lisieren, kann man viel Speicherplatz (der ja in Form von einzelnen Bits, also Stutzstellenfk, zur Verfugung steht) sparen, indem man eine ’optimale’ Abtastrate einstellt, die nurjene Punkte aufnimmt, die fur die Rekonstruktion des ursprunglichen Signals unerlasslichsind. Aus den Kapiteln zur DFT ist bekannt, unter welchen Bedingungen dies tatsachlichmoglich ist, weshalb auch in solchen Fallen die DFT zum Einsatz kommt.

4.2.1. Beispiel: Spektralanalyse

Wir betrachten nun wieder ein Interpolationsproblem und haben dazu 64 Stutzstellen derFunktion f(t) gegeben. Diese mochten wir nun mit Summen von Sinus- und Kosinusfunk-tionen moglichst glatt mit Hilfe der DFT rekonstruieren. Dazu benutzen wir die Gl.41-43, allerdings interessieren uns keine analytischen Losungen; alle Rechnungen werden mitMatlab numerisch ausgefuhrt und die Ergebnise daraufhin geplottet. Sei die Funktion nunfolgendermaßen gegeben

f(t) = 2 cos(2πν1t)− 3 sin(2πν2t)− cos(2πν3t) + 2 sin(2πν4) + 2.5 cos(2πν5)mit ν1 = 2, ν2 = 4, ν3 = 4, ν4 = 7, ν5 = 12

Wir plotten nun die gegebenen Stutzstellen sowie die berechneten Fourierkoeffizientenund stellen fest,dass wir bei einem derartigen Problem bereits die Periode der gegebenenPunktmenge kennen mussen. In unserem Fall ist diese bekannt mit T = 1, allerdings

52

sollen die Auswirkungen gezeigt werden, wenn wir eine Stutzstelle (in unserem Fall dieletzte) weglassen. Bekanntlich tritt in so einem Fall der sog. Leackage-Effekt auf, den wirzusammen mit den gegebenen Werten in Abb.12 darstellen.

Abbildung 12: Oben: Darstellung der gegebenen Stutzstellen und der daraus berechnetenFourierkoeffizienten. Unten: Fehlende letzte Stutzstelle und daraus resultie-rende kleinere Periode T (strichlierte schwarze Linie) sowie Verschiebungim Fourierraum zur Illustrierung des Leackage-Effekts.

Im Falle des Fehlens der letzten Stutzstelle konnte man den Leackage-Effekt fast gar nichtbeheben, da nicht einmal eine ganze Periode der Funktion gegeben ist. Wurden die Stutz-stellen uber die erste Periode ’hinweglaufen’, so ware das aber kein Problem:Wenn man die beiden Spektren der Stutzstellen vergleicht so haben sie eine große Ahn-lichkeit; bei der unteren Darstellung treten lediglich mehr spektrale Komponenten auf, dieein bisschen gegenuber den ’Originalen’ verschoben sind. Hatte man also Stutzstellen ge-geben gehabt, die uber eine Periode hinweg verteilt sind, konnte man bewusst die letztenStutzstellen weglassen und jeweils das Ergebnis im Spektrum betrachten. Es ist klar, dassdie eigentliche Periode der gesuchten Funktion f(t) dann gefunden ware, wenn moglichstwenige Peaks im Spektrum auftreten und diese moglichst steil sind.Es gibt noch eine Menge Moglichkeiten, Abschneidefehler zu korrigieren bzw. diese be-wusst zu berucksichtigen; fur unser Beispiel reicht die Diskussion insofern, dass wir nunwissen, dass es gerechtfertigt ist, die Periode mit T = 1 als bekannt anzunehmen.

53

Wir betrachten also unsere Fourierkoeffizienten (siehe Tab.2) und bilden mit deren Hilfedie Interpolationsfunktion aus Gl.43.

Frequenz νk Fourierkoeffizienten Fk

2 14 −0.5− 1.5i7 −i12 1.2552 1.2557 i60 −0.5− 1.5i62 1

Tabelle 2: Mit Hilfe der DFT berechnete Fourierkoeffizienten zu den jeweiligen Frequenzenνk

Im Gegensatz zu den Beispielen 7 und 8, bei denen wir zur Berechnung der Interpolati-onsfuntion die Summe in Gl.43 von j = −N

2 bis j = N2 − 1 bildeten, demonstrieren wir an

diesem Beispiel, was passiert ware, wenn wir diesselbe Gleichung ohne veranderte Indizesverwendet hatten.In einem solchen Fall sehen wir (siehe dazu Abb.13), dass die berechnete Interpolati-onsfunktion zwar eine korrekte Interpolationsfunktion darstellt, allerdings nicht die ur-sprunglich Gegebene. Offensichtlich oszilliert sie viel mehr, was dadurch erklart wird, dassaufgrund der großeren j-Indizes (da ja die Summe nun von j = 0 bis j = N gebildetwurde) auch die in der Interpolationsfunktion vorkommenden Frequenzen νj großer sind.Um die weiteren Schritte unserer Rechnung verstandlich zu machen, formen wir die Inter-polationsfunktion aus Gl.43 wie folgt um:

I(t) =N−1∑j=0

Fje2πij

Tt =

N−1∑j=0

[Fj cos

(2πj

Tt

)+ iFj sin

(2πj

Tt

)]Da fur unsere Darstellung nur der Realteil der Interpolationsfunktion interessant ist,konnen wir weiter umformen und gelangen schließlich zu einer Darstellung, die unsererRechnung besser entspricht:

<I(t) =N−1∑j=0

[<Fj cos(2πνjt) + =Fj sin(2πνjt)] ,

mit νj = jT .

Nun wissen wir aber aus vorherigen Uberlegungen, dass die Folge der Fourierkoeffizientenebenfalls periodisch ist und die Koeffizienten vom Intervallende herumgewrappt werdenkonnen. Diese Tatsache nutzen wir aus und nehmen folgende Verschiebung an den Fre-quenzen vor (die Fourierkoeffizienten bleiben aufrund der Periodizitat unverandert):

νj =j −N

Tfur j =

N

2+ 1, . . . , N − 1

54

Bestimmen wir nun die Interpolationsfunktion mit diesen ’verschobenen’ Frequenzen, er-kennen wir, dass diese exakt unsere gesuchte funktion f(t) darstellt. Siehe dazu Abb.13.Dieser Vorgang der Frequenzoptimierung stellt eine von vielen Moglichkeiten zur Da-tenglattung mit Hilfe der DFT dar und wird bei nahezu allen Interpolationsproblemenautomatisch verwendet.

Abbildung 13: Links: Darstellung der berechneten Interpolationsfunktion ohne Frequenz-optimierung. Rechts: Interpolationsfunktion mit Frequenzoptimierung.

4.2.2. Beispiel: Rauschverminderung

Die Situation sieht etwas anders aus, wenn man es mit Funktionenwerten bzw. Stutzstellenzu tun hat, die selber einem Fehler unterliegen. In der Anwendung kommt dieser Fall haufigvor, da die meisten Messapparaturen abgesehen vom Messfehler einen statistisch verteiltenFehler (Rauschen bzw. Noise) produzieren, den man nur durch wiederholte Messvorgangebis zu einem gewissen Grad minimieren kann. Wird aber das Signal-Rausch-Verhaltnisklein bzw. befindet sich das Rauschen in der Großenordnung des Signals selbst, so wirdes sehr schwer, das eigentliche Signal zu erkennen und nachzuweisen. In der Folge werdeneinige Methoden zur Rauschunterdruckung mittels DFT vorgestellt, wobei gesagt werdensoll, dass es ebenso andere Methoden zur Behandlung von Rauschen gibt, die im Grundeauf denselben Prinzipien beruhen.Ausgangspunkt ist nun die Funktion f(t), von der 256 Stutzstellen im Intervall t ∈ [0; 4]gegeben sind:

f(t) = e−t2

[2e−2(t−1)2 + 2e−(t−3)2 +

13

sin(10t)]

Wie in Abb.14 dargestellt, unterliegen die 256 Stutzstellen einer Normalverteilung mitσ = 0.5, was dazu fuhrt, dass die ursprungliche Funktion sehr schwer erkannt werdenkann, da σ in etwa so groß wie das Signal selbst ist.

Zur Abbildung sei noch zu sagen, dass wir die Uberlegungen bzgl. Wrapping aus demvorangehenden Beispiel ubernommen und so automatisch den optimalen Frequenzbereich

55

Abbildung 14: Oben: Darstellung der originalen Funktion f(t) und ihres Spektrums.Unten: Verrauschte Datenwerte mit σ = 0.5 und daraus resultierendesverandertes Spektrum.

geplottet haben. Ubersichtshalber wurde nur der Realteil der Fourierkoeffizienten geplot-tet, alle nachfolgenden Uberlegungen betreffen aber sowohl den Real- als auch den Ima-ginarteil der Fourierkoeffizienten.Wurden wir nun mit unseren Fourierkoeffizienten eine Interpolationsfunktion errechnen, sobekamen wir - wie gewohnt - eine Kurve die durch alle gegebenen Stutzstellen geht und inunserem Fall stark oszillieren wird. Wir wissen aber, dass starke Oszillationen durch hoheFrequenzen im Spektrum verursacht werden; um die Kurve nun entsprechend zu glatten,werden wir daher bemuht sein, diese hohen Frequenzen moglichst gut zu beseitigen. Esgibt verschiedenste Methoden, dies zu tun, von denen wir nun folgende drei anwendenwerden:

1. Da wir wissen, dass hohe Frequenzen zu starken Oszillationen fuhren, setzen wireinfach alle Frequenzen fur |k| > k0 Null und berechnen aus den so ubrig gebliebenenFourierkoeffizienten unsere Interpolationsfunktion. In unserem Fall nehmen wir k0 =8. Diese Methode wird auch oft Dirichlet-Methode genannt.

2. In den meisten Fallen kann man annehmen dass hohe Frequenzen eher kleine Am-plituden haben, was zu der Uberlegung fuhrt, dass man eine obere Schranke S be-

56

Abbildung 15: Darstellung der berechneten Interpolationsfunktion und deren spektraleZusammensetzung im Vergleich zur originalen Funktion f(t). Von obennach unten: 1-Dirichlet-Methode, 2-Unterdruckung kleiner Fourierkoeffizi-enten, 3-Tiefpassfilter nach Tikhonov

stimmen konnte, der zufolge alle Fourierkoeffizienten, die kleiner als diese sind, Nullgesetzt werden; alle, die großer sind, bleiben unverandert. In unserem Fall haben wirdiese Schranke mit S = 0.07 gewahlt.

3. Eine ebenso wirksame Methode, die auch in anderen Fallen oft eingesetzt wird, istdie Methode nach Tikhonov. Hierbei handelt es sich um eine einfache Tiefpassfilte-rung: Die Fourierkoeffizienten Fj werden mit einer Funktion G = 1

1+αj2 multipliziert

57

(’gewichtet’), was ebenfalls dazu fuhrt, dass fur hohe Frequenzen (hoher Intex j) derBetrag der Koeffizienten entsprechend verkleinert wird. Bei unserem Beispiel wurdeα = 0.01 gewahlt.

Wir plotten die jeweils auf verschiedene Arten erhaltenen Interpolationsfunktionen im Ver-gleich zur ’originalen’ Funktion in Abb.15 und erkennen, dass wir mit allen drei Methodendie Funktion f(t) relativ gut rekonstruieren jedoch gewisse Abweichungen nicht vermei-den konnten. Es lasst sich i.A. nicht sagen, welche Methode generell die beste ist und dieFunktion am besten rekonstruiert. In unserem Fall ergibt sich mit der Dirchlet-Methodedie glatteste Kurve und in der Tat kommt es bei Wiederholung der Tests vor, dass dieanderen beiden durch starker oszillierende Kurven ersetzt werden (da die Verauschung jaeine statistische Verteilung darstellt und somit die Kurven von einem Test zum anderendoch mehr oder weniger stark variieren).In der Praxis hat man es i.A. nicht mit so einem starken Rauschen - wie hier behandelt -zu tun, was die gesamte Angelegenheit naturlich erleichtert. Trotzdem zeigt sich an diesemBeispiel die Leistungsfahigkeit der DFT zur Rauschverminderung. Rein optisch gesehenware es namlich unmoglich gewesen, die Funktion zu rekonstruieren; trotzdem konntenmit Hilfe der DFT relativ brauchbare Ergebnise erzielt werden.

4.2.3. Beispiel: Kreuzkorrelation

In Kap.3.3.4 haben wir bereits die Korrelation zweier Funktionen und deren Bedeutungkennengelernt und geschlossen, dass die Korrelationsfunktion die ’Ahnlichkeit zweier Funk-tion (gegenuber einer Verschiebung in der Abszisse) darstellt’.Dazu betrachten wir nun ein konkretes physikalisches Beispiel, wie es in etwa bei derEntfernungsmessung (z.B. Echolot) verwendet wird. Hierbei wird von einer Schallquel-le eine kurze Zeit lang ein Signal ausgesendet, das dann reflektiert und wieder an der(Signal)Quelle detektiert wird. Anhand der Laufzeiten kann dann die Entfernung zumHindernis (wo die Reflexion des Signals stattfindet) ermittelt werden. Dazu benutzt mandie folgende Beziehung

c =2d

∆t−→ d =

∆tc

2

wobei d fur die Entfernung zum Hindernis, ∆t fur die Laufzeit des Signals von der Quellezum Hindernis und wieder zuruck und c fur die Geschwindigkeit des Signals im jeweiligenMedium steht.Daher wird es in unserem Interesse liegen, die Laufzeit ∆t moglichst genau zu bestimmen.Wir gehen nun von einer sinusfomigen Quelle aus, die alle 4 Zeiteinheiten ein Signal derForm

s(t) =

sin(20πt) fur t ∈ [0; 1],0 fur t ∈ (1; 4)

58

aussendet. Es handelt sich also um ein periodisches Signal mit der Periode T = 4 und wirwerden ebenso ein periodisches Signal mit einer gewissen Verzogerung als Antwort (Echo)erwarten, das wir in unserem Fall mit

e(t) =

α sin[20π(t− 2)] fur t ∈ [2; 3],0 sonst

wahlen. Wir nehmen also eine Verzogerung von zwei Zeiteinheiten an und berucksichtigenmit dem Vorfaktor α = 0.05, dass die Intensitat des Echos e(t) i.A. viel kleiner sein wirdals die des ursprunglichen Signals s(t). Nun stellen wir das Signal s(t), das Echo e(t)sowie deren Korrelationsfunktion k = s e in Abb.16 dar und erkennen, dass sich diemaximale Korrelation nach zwei Zeiteinheiten einstellt, was dadurch erklart wird, dass -wenn die eine Funktion um diesen Betrag gegenuber der anderen verschoben wird - sichdie Funktionen maximal uberlappen.

Abbildung 16: Darstellung der Signalfunktion s(t), des Echos e(t) und der Korrelations-funktion k(t) (von oben nach unten).

Wir lesen daher aus der Korrelation der Signalfunktion mit der Echo-Funktion ab, dassdie beiden Funktionen um ∆t = 2 Zeiteinheiten gegeneinander verschoben sind, womitsich bereits die Entfernung leicht berechnen lasst.

59

Abbildung 17: Darstellung der Echo-Funktionen mit der dazugehorigen Korrelationsfunk-tion fur verschiedene σk-Werte der statitischen Normalverteilung. Von obenwurden σ1 = 0.025, σ2 = 0.075 und σ3 = 0.1 benutzt.

In der Praxis kommen allerdings zwei storende Elemente hinzu:

• Betrachten wir im besonderen Fall ein Echolot (oder Sonar), das in Wasser ein-gesetzt wird, ist klar, dass bei großer Entfernung d das Echo-Signal relativ kleinsein wird, was zunachst aber wenig Einflusse auf die Korrelationsfunktion hat (diesebleibt gut erkennbar, auch wenn sich Signal und Echo um mehrere Großenordnungenunterscheiden). Die Korrelationsfunktion wird aber bei sehr kleinen Echo-Signalenebenso kleiner und kann im Grenzfall nicht mehr erkannt werden.

60

• Das Echo wird i.A. ebenso mit einem statistischen Fehler (Rauschen) uberlagertwerden, der durch verschiedene Einflusse des Ubertragungsmediums verursacht wird.Vor allem bei großen Tiefen (bzw. großen Entfernungen) verfalscht sich das Echo-Signal enorm, wodurch es schwierig wird, dieses eindeutig nachzuweisen.

In der Folge betrachten wir drei Beispiele mit unterschiedlichen Noise-Werten indem wirzur ursprunglichen Echo-Funktion jeweils normalverteilte Fehler mit verschiedenen Stan-dardabweichungen σk addieren. Wir gehen jeweils von derselben Signalfunktion s(t) aus.Fur die σk-Werte wahlen wir σ1 = 0.025, σ2 = 0.075 und σ3 = 0.1. Nun konnen wir dasErgebnis in Abb.17 darstellen.Aus den Ergebnisen lasst sich allgemein folgern, dass auch bei ubermaßigem Rauschen dieKorrelationsfunktion sehr gut erkennbar ist und das Maximum bei T = 2 sehr gut zurursprunglichen Funktion passt. Hatten wir dieses Beispiel nicht mit Hilfe der Kreuzkorre-lation gelost, ware es schlichtweg unmoglich, eine Uberlappung der Signale festzustellen,weshalb nun die wichtige Bedeutung der Korrelation in der Technik ansatzweise erklartist. Weiters verhelfen wir uns bei dieser Rechnung der DFT indem wir das Korrealtions-integral aus Gl.37 nicht direkt losen, sondern die Funktionenwerte einer DFT unterziehenund daraufhin das Produkt zwischen der einen Fouriertransformierten und dem Komplex-konjugierten der Anderen berechnen. Nach der Rucktransformation mittels iDFT gelangtman dann direkt zur Korrelationsfunktion.

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5. Zusammenfassung

Die Thematik rund um die Fouriertransformationen erstreckt sich uber viele Gebiete derPhysik und Mathematik. Es war im vornhinein klar, dass im Zuge dieser Bachelor-Arbeitnicht alle Bereiche abgedeckt werden konnten, weshalb zumindest versucht wurde grundle-gende Fragestellungen zu erklaren und zu begrunden. So sind die mathematischen Grundla-gen etwas ausfuhrlicher ausgefallen, um vor allem Physikern die Mathematik hinter dieserTheorie klar zu prasentieren. Wie in der Einleitung hinsichtlich der verwendeten Nota-tion bei Satzen und Definitionen bereits angemerkt soll an dieser Stelle nochmals dar-auf aufmerksam gemacht werden, dass man bei verschiedener Wahl der Literatur jeweilsanderen Schreibweisen und Definitionen begegnet. Vor allem bei Verwendung von FFT-Programmen ist es daher sehr wichtig, sich die jeweils verwendeten Algorithmen naheranzuschauen.Ansonsten kann abschließend gesagt werden, dass fur ein vertiefendes Studium uber dieFouriertransformationen die in dieser Arbeit verwendete Literatur sehr zu empfehlen ist.

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A. Literaturverzeichnis

/1/ K. Konigsberger, Analysis 1, Springer-Verlag, Munchen, 2003.

/2/ K. Konigsberger, Analysis 2, Springer-Verlag, Munchen, 2003.

/3/ E. A. Gonzalez-Velasco, Fourier Analysis and Boundary Value Problems, AcademicPress Inc., San Diego, 1995.

/4/ H. Wallner, Analysis 1-4, Vorlesungsskripten 2004-2006.

/5/ P. Devries, Computerphysik, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 1995.

/6/ C. Uberhuber, Computer-Numerik, Springer-Verlag, Berlin, 1995.

/7/ T. Butz, Fouriertransformation fur Fußganger, Teubner Verlag, Wiesbaden, 2003.

/8/ H. Sormann, Numerische Methoden in der Physik, Vorlesungsskriptum 2006.

/9/ H. Sormann, Ausgewahlte Kapitel aus ’Numerische Methoden in der Physik’, Ubungs-skriptum zu VU 2007.

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