Grundlagen der Elektrotechnik/Elektronik für die ... · Sie ermöglicht Energie- und Informationsübertragung, steuert Maschinen und Fahrzeuge und ist ein wichtiges Hilfsmittel in

Skript Einführung in die Elektronik/Elektrotechnik Sternberg WS 2016/17 Seite 1

Grundlagen der Elektrotechnik/Elektronik für die Studiengänge Informatik (IB01-E1) und Nachhaltige Entwicklung (EE1)

Prof. Dr. Martin Sternberg, Hochschule Bochum

Stand: 30.1.2017

Inhalt 1. Einführung ....................................................................................................................................... 3

1.1. Ingenieurwissenschaft in Informatik und Nachhaltiger Entwicklung ...................................... 3

1.2. Bemerkungen zur Mathematik und zur Schreibweise ............................................................ 4

2. Physikalische Größen und Einheiten ............................................................................................... 7

3. Elektrische Grundgrößen ................................................................................................................. 9

3.1. Elektrische Ladung ................................................................................................................... 9

3.2. Elektrische Kraftwirkung ....................................................................................................... 10

3.3. Bewegte Ladung, elektrischer Strom .................................................................................... 11

3.4. 1. Kirchhoffsches Gesetz ....................................................................................................... 12

3.5. Elektrisches Feld, elektrisches Potenzial und elektrische Spannung .................................... 13

3.6. 2. Kirchhoffsches Gesetz ....................................................................................................... 17

3.7. Ohmsches Gesetz .................................................................................................................. 19

3.8. Spezifischer Widerstand, Leitungstypen ............................................................................... 19

3.9. Energie, Leistung und Wirkungsgrad ..................................................................................... 21

4. Quellen und Schaltung von Widerständen .................................................................................... 24

4.1. Schaltungen ........................................................................................................................... 24

4.2. Ideale Spannungs- und Stromquellen ................................................................................... 25

4.3. Reale Spannungs- und Stromquellen .................................................................................... 27

4.4. Äquivalenz von Spannungs- und Stromquellen ..................................................................... 29

4.5. Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen, Spannungs- und Stromteiler ................. 30

4.6. Stern-Dreieck-Umwandlung .................................................................................................. 33

4.7. Nichtlineare passive Zweipole ............................................................................................... 35

4.8. Temperaturabhängigkeit passiver Zweipole ......................................................................... 36

4.9. Zeitabhängigkeit passiver Zweipole ...................................................................................... 38

5. Einfache Stromkreise .................................................................................................................... 39

5.1. Elektrischer Grundkreis ......................................................................................................... 39

5.2. Wirkungsgrad und Leistungsanpassung ................................................................................ 41

5.3. Spannungs-, Strom- und Widerstandsmessung .................................................................... 43

5.4. Komplexe Netzwerke ............................................................................................................ 45


5.5. Maschenstrom-Verfahren ..................................................................................................... 47

5.6. Überlagerungssatz ................................................................................................................. 48

5.7. Ersatzquellen ......................................................................................................................... 49

5.8. Netzumwandlungen, Zweipoltheorie .................................................................................... 51

6. Elektromagnetisches Feld .............................................................................................................. 53

6.1. Feldtheorien .............................................................................................................................. 53

6.2. Elektrisches Feld im Vakuum ..................................................................................................... 55

6.3. Elektrisches Feld in Nichtleitern ................................................................................................ 59

6.4. Elektrisches Feld in Leitern, Strömungsfeld .............................................................................. 60

6.5. Entstehung magnetischer Felder............................................................................................... 62

6.6. Kräfte im magnetischen Feld ..................................................................................................... 64

6.7. Ferromagnetika ......................................................................................................................... 66

6.8. Zusammenhang zwischen elektrischen und magnetischen Feldern ......................................... 67

Literaturverzeichnis ............................................................................................................................... 68


1. Einführung

1.1. Ingenieurwissenschaft in Informatik und Nachhaltiger Entwicklung Unsere Welt ist in ganz starkem Maß geprägt von Elektrotechnik und Elektronik. Seit der Erfindung des Dynamoprinzips und dem Beginn der industriellen Erzeugung elektrischer Energie in der Mitte des 19. Jahrhunderts hat die Elektrizität Eingang in fast alle Bereiche des Lebens gefunden. Heute wird der Elektrizitätserzeugung nach den Kriterien Kosten, ökologische Bilanz, Wirkungsgrad, Gefährdungspotenzial, Versorgungssicherheit etc. eine große Bedeutung beigemessen.

Kraftwerkstyp

Installierte Leistung

(Ende 2013)

in GW

Bruttostromerzeugung (im Jahr 2013)

in TWh

Anteil an der

gesamten elektrischen

Energie

Wirkungsgrad

Photovoltaikanlagen 35,9 31,0 4,9 % ≈ 15 % Windkraftanlagen 34,7 51,7 8,2 % ≈ 50 % Steinkohlekraftwerke einschl. Mischfeuerung 29,2 121,7 19,3 % < 46 %

Braunkohlekraftwerke 23,1 160,9 25,5 % < 44 %

Gaskraftwerke 26,7 67,4 10,7 % GuD ~60 % Gas < 40 %

Kernkraftwerke 12,1 97,3 15,4 % ≈ 35 % Wasserkraftwerke 10,3 26,8 4,2 % ≈ 90 % Biomassekraftwerke 6,4 42,2 6,7 % ≈ 40 % Ölkraftwerke 2,9 7,2 1,1 % ≈ 45 % Geothermiekraftwerke 0,024 0,0 1,6 % ≈ 45 % Sonstige 2,9 25,9 4,1 % ≈ 45 % Gesamt 188,9 632,1

Leistung unterschiedlicher Kraftwerksarten in Deutschland (GuD: Gas- und Dampfturbine) Quelle: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kraftwerk, Zugriff am 25.7.2016

Die physikalischen Grundlagen der Kraftwerke sind dabei völlig unterschiedlich. Für alle gelten aber die Gesetze der Elektrotechnik. Es ist ein Ziel dieses Kurses, die grundsätzlichen elektrotechnischen Begriffe und Zusammenhänge zu vermitteln. Darauf können folgende Kurse aufbauen.

So wie die Versorgung mit elektrischer Energie elementar für unser heutiges Leben ist, so ist es auch die Elektronik. Sie ermöglicht Energie- und Informationsübertragung, steuert Maschinen und Fahrzeuge und ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Medizin. Elektronik ermöglicht Computer und andere informationstechnische Geräte. Obwohl theoretisch eine Informatik ohne Computer denkbar ist, sind Informatik und Elektronik eng verbunden. Je stärker die Einbindung von Software in

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kraftwerk


Maschinen ist, umso enger wird die Verbindung zur Elektronik über Schnittstellen. Bei embedded systems verschmelzen Software und Elektronik. Wer ausschließlich Bedienoberflächen oder Datenbanken programmiert oder Compiler entwickelt, wird natürlich weniger mit Elektronik in Berührung kommen.

In diesem Kurs sollen für Studierende der Informatik und der Nachhaltigen Entwicklung die Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik vermittelt werden, so dass ein Grundverständnis für elektronische Komponenten, Schaltungen und Energieübertragung da ist.

Bei der Entwicklung analoger Schaltungen werden heute überwiegend Operationsverstärker verwendet. Das sind Verstärker mit komplexem Innenleben, deren Wirkung weitgehend durch die äußere Beschaltung mit Widerständen und anderen passiven Bauelementen bestimmt wird und die so beispielsweise als Verstärker, Summierer, Differenzbilder, Inverter, Strom-Spannungswandler, Differenzierer, Integrierer oder Filter betrieben werden.

Operationsverstärker werden in diesem Kurs zwar nicht behandelt, dafür aber die Methoden, die bei der Analyse und beim Entwurf solcher Schaltungen eingesetzt werden wie Maschensatz, Knotensatz, Ersatz-Spannungs- und Stromquellen und der Überlagerungssatz.

In Führungsfunktionen wird (neben manch anderem) erwartet, dass Entscheidungen getroffen werden. Diese sind meistens nicht zwangsläufig, sondern mit Unsicherheiten behaftet. Die Kunst ist, mit begrenzten Informationen eine Entscheidung zu treffen, die sich als richtig erweist. Das geht oft nur unter Einsatz von Intuition oder "Bauchgefühl". Das wiederum stützt sich aber auf Erfahrung und ein gewisses Grundwissen. Dieses wird aber in diesem Kurs vermittelt, der somit auch ein Instrument der Karriereförderung ist (wie jeder Kurs).

Schließlich geht es in diesem Kurs auch um elektrotechnisch-physikalische Allgemeinbildung, die eine kompetente Beteiligung an Diskussionen zu solchen Fragestellungen ermöglicht bzw. die Meinungsbildung erleichtert. In diesem Sinn ist der Kurs ein Beitrag zur politischen Partizipation. Neben Begeisterung, Ausdauer und rhetorischen Qualitäten ist ein gewisses Maß an Sachkenntnis hilfreich bei jedem Diskurs.

Es lohnt sich also, dabei zu bleiben, nicht nur für das Bestehen der Prüfung.

1.2. Bemerkungen zur Mathematik und zur Schreibweise Zur Beschreibung vieler elektrotechnischer und elektronischer Sachverhalte bedient man sich der Sprache der Mathematik. Einige Grundkenntnisse, die zum Verständnis der folgenden Kapitel notwendig sind, werden hier zusammengestellt. Wer eine solide Mathematikkenntnis hat, kann diesen Abschnitt getrost überblättern.

Abbildung 1 Nichtinvertierender Verstärker mit Operationsverstärker und Widerständen


(1) Zwei ohne Operator hintereinander geschriebene Größen bedeutet, dass diese Größen miteinander multipliziert werden:

𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 ∙ 𝐴𝐴 𝐶𝐶𝑑𝑑𝑒𝑒

= 𝐶𝐶 ∙𝑑𝑑𝑒𝑒

Dies gilt aber nicht bei Zahlen, da hier gewohnheitsmäßig z.B. gilt: 2 12

= 2 + 12

(2) Punktrechnung geht vor Strichrechnung: 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐶𝐶 ≠ 𝐴𝐴(𝐴𝐴 + 𝐶𝐶) = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐶𝐶

(3) Beim Bruchrechnen gilt: „Bei Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.“:

𝑐𝑐𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

≠1

𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑏𝑏

≠𝑐𝑐𝑎𝑎

+𝑐𝑐𝑏𝑏

(4) Es gibt gerichtete Größen, Vektoren (z.B. Kraft), und ungerichtete Größen, Skalare (z.B. Spannung). Vektoren sind fett gedruckt und im Tafelbild mit einem Pfeil über dem Symbol gekennzeichnet:

𝑨𝑨 = 𝐴𝐴

(5) Vektoren kann man auf zwei Arten miteinander multiplizieren. Skalarprodukt:

𝒂𝒂 ∙ 𝒃𝒃 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑐𝑐:𝑊𝑊𝑚𝑚𝑊𝑊𝑊𝑊𝑒𝑒𝑊𝑊 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ𝑒𝑒𝑊𝑊 𝒂𝒂 𝑢𝑢𝑊𝑊𝑑𝑑 𝒃𝒃 Vektorprodukt:

𝒂𝒂 × 𝒃𝒃 = 𝒄𝒄 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 ∙ 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑊𝑊𝑐𝑐 𝑢𝑢𝑊𝑊𝑑𝑑 𝒄𝒄 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑒𝑒ℎ𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑊𝑊𝑊𝑊𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐ℎ𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑢𝑢𝑎𝑎 𝒂𝒂 𝑢𝑢𝑊𝑊𝑑𝑑 𝒃𝒃 Dabei bilden a, b und c ein Rechtssystem (rechte-Hand-Regel)

Abbildung 2 Vektorprodukt

(6) Gerne werden griechische Buchstaben verwendet: α (Alpha), β (Beta), γ (Gamma), δ (Delta), η (Eta), κ (Kapa), λ (Lamda), μ (Mü), ν (Nü), π (Pi), ρ (Rho), τ (Tau), φ (Phi), Δ (großes Delta), Σ (großes Sigma), Π (großes Pi), Ω (großes Omega)

90o

90o

α

a

b

c


(7) Summen werden abgekürzt durch das griechische große „S“, das Sigma:

�𝑎𝑎𝑖𝑖 = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎4 + 𝑎𝑎5

5

𝑖𝑖=1

(8) Produkte werden abgekürzt durch das griechische große „P“, das Pi:

�𝑏𝑏𝑘𝑘 = 𝑏𝑏1 ∙ 𝑏𝑏2 ∙ 𝑏𝑏3 ∙ 𝑏𝑏4

4

𝑘𝑘=1

(9) Bei vielen Größen kommt es auf Verhältnisse an, z.B. bei elektrischem Strom, der definiert ist als

Ladung, die pro Zeit durch einen Querschnitt fließt. Größen mit einem Δ kennzeichnen Differenzen, also z.B.:

𝐼𝐼 ̅ =∆𝑄𝑄∆𝑚𝑚

Leider ist es oft so, dass man die Differenzen sehr klein werden lassen muss und den Grenzwert betrachten muss, wenn die Differenz gegen null geht. (Wenn sich der Strom dauernd ändert, welches Zeitintervall Δt soll man denn dann nehmen?). Dafür gibt es die Ableitung. Den Vorgang nennt man Differenzieren:

𝐼𝐼 = lim∆𝑡𝑡→0

�∆𝑄𝑄∆𝑚𝑚� =

𝑑𝑑𝑄𝑄𝑑𝑑𝑚𝑚

Wer nicht differenzieren kann, möge es lernen und sich solange den Quotienten mit sehr kleinen Größen Δx vorstellen.

(10) Wenn Verhältnisgrößen gegeben sind (z.B. Strom = Ladung/Zeit, Leistung = Arbeit/Zeit, Flussdichte = Fluss/Fläche), die nicht konstant sind, kann man bestimmte Größen nur so berechnen, dass man für einen kleinen Bereich die Konstanz annimmt und dann über alle kleinen Bereiche summiert. Wenn also z.B. der Strom I gegeben ist und man die Ladung ausrechnen will, die sich in einem Zeitintervall durch einen Querschnitt bewegt hat, teilt man das Zeitintervall in kleine Teilintervalle auf, in denen der Strom näherungsweise konstant ist, multipliziert den konstanten Wert dann mit dem jeweiligen Zeit-Teilintervall und summiert über alle Teilintervalle.

∆𝑄𝑄 ≈�𝐼𝐼𝑛𝑛 ∙ ∆𝑚𝑚𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

Das gilt aber nur ungefähr. Um das exakte Ergebnis zu erhalten muss man (im obigen Beispiel) die Zeit-Teilintervalle Δti immer kleiner werden lassen und dann den Grenzwert betrachten, wenn die Teilintervalle gegen null gehen. Dafür gibt es das Integral. Den Vorgang nennt man Integrieren. Das Integral-Symbol ∫ leitet sich aus dem großen „S“ her und erinnert daran, dass das Integral aus dem Grenzwert einer Summe entsteht.

𝑄𝑄 = lim∆𝑡𝑡𝑖𝑖→0

�𝐼𝐼𝑛𝑛 ∙ ∆𝑚𝑚𝑖𝑖 = � 𝐼𝐼(𝑚𝑚)𝑑𝑑𝑚𝑚

𝑡𝑡𝐸𝐸

𝑡𝑡𝐴𝐴

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

Wer nicht integrieren kann, möge es lernen und sich solange die Summe mit vielen kleinen Summanden vorstellen.


2. Physikalische Größen und Einheiten

In den Ingenieur- und Naturwissenschaften werden Sachverhalte häufig (nicht immer!) durch eindeutig definierte Größen und mathematische Zusammenhänge zwischen diesen Größen beschrieben. So würde man einen umgangssprachlichen Sachverhalt wie

„Es ist ziemlich warm“

Beschreiben mit:

𝑇𝑇 ≥ 20°𝐶𝐶

Dabei ist T eine physikalische Größe, 20 ein Zahlenwert, °𝐶𝐶 eine Einheit und ≥ ein mathematischer Zusammenhang zwischen Größe und dem Produkt aus Zahlenwert und Einheit.

(Anmerkung: Auch umgangssprachliche Formulierungen können in der Informatik eine Rolle spielen, etwa bei Bedienkonzepten.)

Physikalische Größen: (im Prinzip) messbare Eigenschaften von Objekten oder Systemen

Messen physikalischer Größen: Vergleich mit bekannter Größe gleicher Qualität (z.B. Länge, Masse, elektrische Ladung)

Wert einer physikalischen Größe: Produkt aus Zahlenwert und Einheit

Einheit ist die Größe, mit der beim Messen verglichen wird, der Zahlenwert ist das Ergebnis des Vergleichs.

Zur Vereinfachung und Standardisierung sind Einheiten international im SI-System (Système International d'Unités) standardisiert. Es dürfen, bis auf wenige Ausnahmen, nur diese Einheiten und davon abgeleitete verwendet werden. (Danach richten sich die Angelsachsen nur bedingt. Auch in Luft- und Schifffahrt werden noch andere Einheiten verwendet.)

Länge: Ein Meter (m) ist die Strecke, die das Licht im Vakuum in 1 / 299 792 458 Sekunden zurücklegt.

Masse: Ein Kilogramm (kg) ist die Masse des Internationalen Kilogrammprototyps.

Zeit: Eine Sekunde (s) ist das 9 192 631 770-fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Caesium-Isotops 133Cs entsprechenden Strahlung.

Stromstärke: Ein Ampere (A) ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stromes, der, durch zwei parallele, geradlinige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von 1 Meter voneinander angeordnete Leiter von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern pro Meter Leiterlänge die Kraft 2·10−7 Newton hervorrufen würde.


Temperatur: Ein Kelvin (K) ist 1/ 273,16 der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunkts von Wasser genau definierter isotopischer Zusammensetzung.

Stoffmenge: Ein Mol (mol) ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso vielen Einzelteilchen besteht, wie Atome in 12 Gramm des Kohlenstoff-Nuklids 12C in ungebundenem Zustand enthalten sind. Bei Benutzung des Mol müssen die Einzelteilchen spezifiziert sein und es können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen sowie andere Teilchen oder Gruppen solcher Teilchen genau angegebener Zusammensetzung sein.

Lichtstärke: Ein Candela (cd) ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540·1012 Hz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung 1 / 683 Watt pro Steradiant beträgt. Die Lichtstärke ist eine photometrische Größe, d.h., die Lichtempfindlichkeit des menschlichen Auges wird mit einbezogen. Häufiger verwendet werden die Einheiten für den Lichtstrom Lumen (lm = cd.sr) und die Beleuchtungsstärke Lux (lx = lm/m2).

Die Einheiten von Masse, Stromstärke, Temperatur und Stoffmenge werden derzeit zurückgeführt auf die Definition von Naturkonstanten (Plancksches Wirkungsquantum, Elementarladung, Boltzmann-Konstante, Avogadro-Konstante). Der Prozess ist nicht abgeschlossen.

Die Größen können auch mit dezimalen Vielfachen geschrieben werden:

Exa 1018 E Dezi 10-1 d

Peta 1015 P Zenti 10-2 c

Tera 1012 T Milli 10-3 m

Giga 109 G Mikro 10-6 µ

Mega 106 M Nano 10-9 n

Kilo 103 k Piko 10-12 p

Hekto 102 h Femto 10-15 f

Deka 101 da Atto 10-18 a

Abkürzungen für dezimale Vielfache sollten nur dort benutzt werden, wo es gebräuchlich ist. In allen anderen Fällen ist die Verwendung der Potenzschreibweise vorzuziehen.

Die Einheit Bit ist keine physikalische sondern eine informationstechnische Einheit. Eine Information hat die Größe ein Bit, wenn sie zwei Zustände annehmen kann. Aus historischen Gründen verwendet man als Vielfache das aus dem Binärsystem abgeleitete 210 = 1024 oder 220 = 1048576 und bezeichnet es als k bzw. M. (So ungefähr stimmt es ja auch mit dem dezimalen Wert überein.)


3. Elektrische Grundgrößen 3.1. Elektrische Ladung

Bestimmte Kraftwirkungen lassen sich nicht auf die Gesetze der Mechanik zurückführen. Dies sind z.B. die Ausrichtung einer Kompassnadel zum magnetischen Nordpol oder die Anziehung bzw. Abstoßung bestimmter Körper, wenn man sie geeignet bearbeitet hat. Diese Wirkungen waren bereits in der Antike bekannt. Die Wörter „Elektrizität“ oder „Elektronik“ gehen auf das griechische Wort für Bernstein zurück. Bernstein kann, mit einem geeigneten Tuch gerieben, Vogelfedern anziehen. Auch der Blitz lässt sich mit den mechanischen Gesetzen nicht deuten, wenn man sich nicht auf die antiken Deutungen des durch Zeuss geschleuderten Speers einlassen möchte.

Wie man feststellen kann, gibt es Körper, die sich zufolge einer „elektrischen“ Wechselwirkung anziehen und solche, die sich abstoßen.

Empirisch lässt sich feststellen:

Elektrische Ladung ist eine Eigenschaft von Körpern, die dazu führt, dass sie sich anziehen oder abstoßen ohne dass andere bekannte Kräfte daran beteiligt sind. Es lassen sich den Körpern positive und negative Ladungen so zuordnen, dass sich Ladungen mit gleichem Vorzeichen abstoßen und solche mit verschiedenem Vorzeichen anziehen.

Heute wissen wir, dass die Elementarteilchen Ladungen tragen können. Ein Atomkern besteht aus Neutronen (ohne Ladung) und Protonen (positive Ladung). In der Atomhülle befinden sich Elektronen (negative Ladung). Die Definition von positiv und negativ ist dabei historisch bedingt. Auch weitere Elementarteilchen haben positive oder negative Ladung oder die Ladung null. Ladungen werden oft mit dem Buchstaben 𝑄𝑄 bezeichnet, bei Elementarteilchen auch mit 𝑞𝑞.

Die Einheit der elektrischen Ladung ist das Coulomb (C). 1 C ist die Ladung, die bei dem Strom 1 A pro Sekunde durch einen Querschnitt fließt. (1C = 1A ∙ s)

Man stellt nun fest, dass es eine kleinste elektrische Ladung gibt (Elementarladung). Diese kann man einem Elektron (negativ) oder einem Proton (positiv) zuordnen. Sie beträgt:

𝑞𝑞− = −𝑒𝑒 = −1,602 ∙ 10−19As für z.B. ein Elektron und

𝑞𝑞+ = +𝑒𝑒 = 1,602 ∙ 10−19As für z.B. ein Proton.

Umgekehrt bedeutet das, dass bei einem Strom von 1 A ca. 0,6 ∙ 1019 Elektronen pro Sekunde durch einen Querschnitt fließen!

(Quarks, die Bestandteile von Protonen, Neutronen und anderen Elementarteilchen, haben die elektrische Ladung −1

3𝑒𝑒 oder 2

3𝑒𝑒, sie setzen sich aber immer nur so zu Elementarteilchen

zusammen, dass sich eine ganzzahlige Elementarladung oder null ergibt.)

Ähnlich wie für Energie, Impuls oder auch Drehimpuls gilt für die Ladung ein Erhaltungssatz:

In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aller Ladungen zeitlich konstant.

∑ 𝑄𝑄𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑊𝑊𝑐𝑐𝑚𝑚𝑛𝑛𝑖𝑖=1 bzw. d

d𝑡𝑡(∑ 𝑄𝑄𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 ) = 0

Formel 1 Ladungserhaltung


Maßgeblich für die elektrische Leitfähigkeit eines Körpers ist die Menge an frei beweglichen elektrischen Ladungen. Sie beträgt bei Metallen etwa 1022𝑐𝑐𝑚𝑚−3, bei Halbleitern zwischen 1010 und 1021𝑐𝑐𝑚𝑚−3 und bei Isolatoren ≤ 108𝑐𝑐𝑚𝑚−3.

3.2. Elektrische Kraftwirkung

Die Beobachtung zeigt, dass zwei elektrische Ladungen Kräfte aufeinander ausüben. Besonders einfach wird die Beschreibung bei elektrischen Punktladungen, die die Ausdehnung null besitzen.

Q1 und Q2 sind Punktladungen, r12 ist der Vektor, der von Q1 nach Q2 zeigt, also 𝐫𝐫𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝐫𝐫𝟏𝟏 − 𝐫𝐫𝟏𝟏, und FQ2(r12) ist die Kraft, die auf Q2 wirkt, wenn sich eine Ladung Q1 bei r1 befindet.

𝑭𝑭Q2(𝒓𝒓𝟏𝟏𝟏𝟏) =1

4𝜋𝜋𝜋𝜋𝑄𝑄𝟏𝟏𝑄𝑄2𝑠𝑠122

𝒓𝒓𝟏𝟏𝟏𝟏𝑠𝑠12

Formel 2 Coulombsches Gesetz

Dabei ist r12 der Abstand zwischen Q1 und Q2, also der Betrag von r12, und ԑ eine materialabhängige Konstante, die Permittivität. Diese setzt sich zusammen aus einer Konstanten 𝜋𝜋0 = 8,854 ∙ 10−12 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑉𝑉𝑉𝑉,

der elektrischen Feldkonstanten, und der relativen Permittivitätszahl ԑr (Dielektrizitätszahl), die dimensionslos, für das Vakuum gleich 1 und für alle festen, flüssigen und gasförmigen Materialien größer als 1 ist. Sie ist ein Maß dafür, wie die Materie die elektrische Kraftwirkung zwischen zwei Ladungen abschwächt.

Die Einheit der Coulombkraft ist natürlich N. Sie ergibt sich aus Formel 2 Coulombsches Gesetz mit

[𝐹𝐹] = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐶𝐶2

𝑉𝑉2 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝐴𝐴𝐴𝐴𝑉𝑉2 = 𝑉𝑉𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑉𝑉= 𝑊𝑊𝐴𝐴

𝑉𝑉= 𝑁𝑁, wenn man bedenkt, dass Coulomb 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝑐𝑐, Watt 𝑊𝑊 = 𝑉𝑉𝐴𝐴

und sich die Einheit der Arbeit als Nm darstellen lässt.

Aus dem Coulombschen Gesetz lässt sich ablesen, dass sich gleichnamige Ladungen abstoßen, ungleichnamige anziehen und dass die Kraft auf Q1 entgegengesetzt zu der Kraft auf Q2 ist, wie es nach dem Newtonschen Gesetz ja auch sein muss.

Formal gibt es eine große Ähnlichkeit zwischen dem Coulombschen Gesetz und dem Newtonschen Gravitationsgesetz:

𝐅𝐅m2(𝒓𝒓𝟏𝟏𝟏𝟏) = −G𝑚𝑚1𝑚𝑚2

𝑠𝑠122𝒓𝒓𝟏𝟏𝟏𝟏𝑠𝑠12

Formel 3 Newtonsches Gravitationsgesetz

Q1 Q2

r12 FQ2(r12)

Abbildung 3 Kraftwirkung auf elektrische Punktladungen


Die Massen entsprechen den Ladungen und die Konstante 14𝜋𝜋𝜋𝜋

wird durch die Gravitationskonstante

-G ersetzt (𝐺𝐺 = 6,674 ∙ 10−11 𝑉𝑉3

𝑘𝑘𝑘𝑘𝐴𝐴2). Das Minuszeichen ist Ausdruck dafür, dass sich gleichnamige

Massen (andere kennen wir derzeit nicht) anziehen und nicht wie gleichnamige Ladungen abstoßen. Die Gleichartigkeit der Gesetzmäßigkeit ist umso erstaunlicher, als beiden Phänomenen nach heutiger Kenntnis völlig unterschiedliche Mechanismen zugrunde liegen.

Betrachtet man nun beispielsweise zwei Protonen im Abstand von 10-10 m, so ergibt sich für die elektrische Kraft 𝐹𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒 = 2,31 ∙ 10−8𝑁𝑁 und für die Gravitationskraft 𝐹𝐹𝑘𝑘𝑔𝑔 = 1,86 ∙ 10−44𝑁𝑁 mit einer Protonenmasse von 1,67 ∙ 10−27𝑊𝑊𝑘𝑘. Eigentlich würde die Gravitationskraft in unserer Welt gar keine Rolle spielen, wenn nicht ganz überwiegend alles elektrisch neutral wäre.

3.3. Bewegte Ladung, elektrischer Strom

Bewegen sich elektrische Ladungen im Raum, so spricht man von einem elektrischen Strom. Die Ladungen können von Elektronen, Ionen oder anderen Teilchen getragen werden. In Halbleitern können auch „Löcher“, also fehlende Elektronen, als Ladungsträger betrachtet werden.

Da es um Bewegung im Raum geht, ist der elektrische Strom vom Bezugssystem des Betrachters abhängig. Ruhende Ladungen können also von einem bewegten Beobachter als bewegte Ladungen, also Strom, wahrgenommen werden. Bedenkt man, dass elektrischer Strom eine magnetische Kraft hervorruft, ergibt sich nur durch Änderung des Bezugssystems aus ruhenden Ladungen eine magnetische Kraft. Elektrische und magnetische Erscheinungen hängen eng miteinander zusammen. (Alle elektromagnetischen Erscheinungen lassen sich durch fünf Gleichungen darstellen, vier Maxwellsche Gleichungen und die Lorentzkraft. Eine Lösung der Maxwellschen Gleichungen sind die elektromagnetischen Wellen. Ein Teil der Lorentzkraft ist die Coulombkraft.)

Die Stromstärke I ist definiert als die Menge an Ladung, die pro Zeiteinheit durch einen Querschnitt fließt. Dieser Querschnitt kann ein Leiter sein, aber auch eine gedachte Fläche im Raum, z.B in einer Elektronenstrahlröhre oder in einem Teilchenbeschleuniger.

Somit ergibt sich: 𝐼𝐼 = ∆𝑄𝑄∆𝑡𝑡

, wobei ΔQ die Ladungsmenge ist, die pro Zeiteinheit durch den gedachten Querschnitt fließt. Da Ladungen positiv oder negativ sein können, kann auch die Stromstärke positiv oder negativ sein. Die Einheit der Stromstärke ist das Ampere A. Das ist eine Grundeinheit im internationalen Einheitensystem. Somit erklärt sich auch die Einheit der Ladung mit C = As.

Ladungsträger

gedachter Querschnitt im Raum

Durchtrittsrichtung der Ladungsträger (wichtig für Vorzeichen der Stromstärke)

Abbildung 5 Zur Definition der elektrischen Stromstärke


Allerdings kann sich der Strom zeitlich ändern. In der Tat ist das bei den allermeisten Strömen der Fall. Daher ist es zweckmäßig, ein kleines Δt zur Messung der Stromstärke zu nehmen bzw. in der mathematischen Beschreibung den Grenzwert für Δt gegen null zu verwenden. Die elektrische Stromstärke ist also definiert als:

𝐼𝐼(𝑚𝑚) = lim∆𝑡𝑡→0

∆𝑄𝑄∆𝑚𝑚

=𝑑𝑑𝑄𝑄𝑑𝑑𝑚𝑚

Formel 4 Definition der Stromstärke

Umgekehrt ergibt sich für die Ladung bei konstantem Strom:

𝑄𝑄(𝑚𝑚1) = 𝑄𝑄(𝑚𝑚0) + 𝐼𝐼 ∙ (𝑚𝑚1 − 𝑚𝑚0)

Bei zeitveränderlichem Strom:

𝑄𝑄 = 𝑄𝑄(𝑚𝑚0) + � 𝐼𝐼(𝑚𝑚)𝑑𝑑𝑚𝑚𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

Formel 5 Ladung bei gegebenem Strom

(Die Naturgesetze unserer Welt sind so, dass man zur Beschreibung Differenzial- und Integralrechnung braucht. Beklagen Sie sich dort.)

Technische Stromstärken reichen von über 1000 A bis zu 10-13 A. Eine normale Autobatterie kann kurzzeitig mehrere 100 A liefern. Ein Strom von 50 mA durch den menschlichen Körper kann tödlich sein!

Wie man an der Definitionsgleichung der Stromstärke sieht, ist der elektrische Strom dann positiv, wenn sich positive Ladungen in der Durchtrittsrichtung durch den Querschnitt bewegen. Da technische Ströme überwiegend durch Elektronen getragen werden, die negative Ladung haben, ist die Stromstärke in diesem Fall negativ. Man kann die Festlegung einer negativen Ladung für Elektronen in diesem Zusammenhang als unglücklich bezeichnen.

3.4. 1. Kirchhoffsches Gesetz

Wie mit Formel 1 Ladungserhaltung gesagt ist, bleibt in einem abgeschlossenen System (Volumen) die Ladung konstant. Ladungen können zwar entstehen, z.B. durch Trennung eines Elektrons von einem Atom, aber dabei entstehen immer zwei Ladungen, deren Summe gleich null ist. Eine Änderung der Ladung kann also nur durch Ladungszu- oder -abfluss erfolgen:

𝑑𝑑𝑄𝑄𝑑𝑑𝑚𝑚 �𝑎𝑎𝑎𝑎𝑘𝑘𝑒𝑒𝐴𝐴𝑎𝑎ℎ𝑒𝑒.

=𝑑𝑑𝑄𝑄𝑑𝑑𝑚𝑚 �𝑧𝑧𝑧𝑧

−𝑑𝑑𝑄𝑄𝑑𝑑𝑚𝑚 �𝑎𝑎𝑎𝑎

= 𝐼𝐼𝑧𝑧𝑧𝑧 − 𝐼𝐼𝑎𝑎𝑎𝑎

Formel 6 Kontinuitätsgleichung des elektrischen Stroms

Betrachtet man nun einen von einem Strom durchflossenen Leiterkreis, so gilt für jedes Volumen V, dass die Ladung konstant bleibt und damit 𝐼𝐼𝑧𝑧𝑧𝑧 = 𝐼𝐼𝑎𝑎𝑎𝑎 ist. Durch jeden Querschnitt fließt der gleiche Strom!

Fließen durch eine geschlossene Hüllfläche mehrere zufließende und abfließende Ströme, so gilt auch dann die Kontinuitätsgleichung, wenn im „Knotenvolumen“ die Ladung konstant bleibt.


Abbildung 4 Hüllfläche mit mehreren Zu- und Abflüssen

Dann gilt für die einzelnen Ströme:

�𝐼𝐼𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑘𝑘 = �𝐼𝐼𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑘𝑘

𝑉𝑉

𝑘𝑘=1

𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

Die Summe der zufließenden Ströme ist gleich der Summe der abfließenden Ströme.

Legt man eine Richtung fest, z.B. die Zuflussrichtung, und versieht die andere Richtung mit einem negativen Vorzeichen, im Beispiel also die Abflussrichtung, so erhält man die Form:

�𝐼𝐼𝑘𝑘 = 0𝑧𝑧

𝑘𝑘=1

Formel 7 1. Kirchhoffsches Gesetz, Knotensatz

Durch eine geschlossene Hüllfläche ist die Summe aller vorzeichenbehafteten Ströme gleich null.

Zu beachten ist, dass dies nur für den statischen Fall gilt, also bei konstanten Strömen. Sonst kann es zu Aufladungseffekten kommen, so dass die Ladung im Volumen nicht mehr konstant ist.

Im Besonderen lässt sich das 1. Kirchhoffsche Gesetz für Verbindungsstellen von Leitungen anwenden, sogenannte Knoten. Daher rührt die Bezeichnung Knotensatz.

Der Satz gilt aber auch, wenn die geschlossene Hüllfläche ganze Schaltungsteile umfasst.

Das 1. Kirchhoffsche Gesetz ist fundamental zur Analyse von Netzwerken.

3.5. Elektrisches Feld, elektrisches Potenzial und elektrische Spannung

In Abschnitt 3.2 ist ausgeführt, dass zwei Ladungen Kräfte aufeinander ausüben. Die Beschreibung erfolgt über die Formel 2 Coulombsches Gesetz. Man kann dies nun auch so sehen, dass die Ladung Q1 den Raum so verändert, dass auf eine Ladung Q2 eine Kraft wirkt.

Izu 1

Izu 2

Iab 3

Iab 2

Iab 1


Abbildung 7 Elektrisches Feld als Eigenschaft des Raumes

Die Eigenschaft, die der Raum annimmt, heißt elektrisches Feld. Es wird mit dem Formelzeichen E gekennzeichnet. Offensichtlich kann man nicht unmittelbar die Kraft 𝑭𝑭𝑄𝑄2als Größe des elektrischen Feldes nehmen, denn auf eine andere Ladung würde ja eine andere Kraft an derselben Stelle wirken, z.B. auf –Q2. Es ist sinnvoll, den Quotienten aus der Kraft und der Ladung (im Beispiel Q2) als Größe des elektrischen Feldes zu definieren.

𝑬𝑬 = 𝑭𝑭𝑄𝑄

Formel 8 Definition des elektrischen Felds

Grafisch lässt sich ein elektrisches Feld durch Feldlinien kennzeichnen. Feldlinien sind Linien, bei denen in jedem Punkt die Feldstärke die Richtung der Tangente an die Linie hat. Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Stärke des elektrischen Felds. Die Feldlinien einer Punktladung sind Geraden, die durch die Ladung verlaufen. Die Dichte nimmt nach außen hin ab. Zur Punktladung hin nimmt die Dichte über alle Maßen zu, wie es nach Formel 9 Elektrisches Feld einer Punktladung auch zu erwarten ist.

Die obige Definition des elektrischen Felds gilt unabhängig von der Ursache des elektrischen Feldes, also nicht nur für Punktladungen, sondern z.B. auch im Feld eines Plattenkondensators. Das elektrische Feld ist ein Vektorfeld, das jedem Punkt des Raumes einen Vektor zuordnet, also 𝑬𝑬(𝒓𝒓). Für eine Punktladung lässt sich das elektrische Feld aus Formel 2 Coulombsches Gesetz leicht berechnen:

𝑬𝑬(𝒓𝒓𝟏𝟏𝟏𝟏) =𝑭𝑭𝑄𝑄2

=1

4𝜋𝜋𝜋𝜋𝑄𝑄𝟏𝟏𝑠𝑠122

𝒓𝒓𝟏𝟏𝟏𝟏𝑠𝑠12

Formel 9 Elektrisches Feld einer Punktladung

Dabei ist r12 der Ortsvektor, der von der erzeugenden Ladung Q1 zur Ladung Q2 zeigt. Besonders einfach wird es, wenn die erzeugende Ladung im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Dann wird r12 = r.

Für die Einheit des elektrischen Feldes ergibt sich:

[𝐸𝐸] =𝑁𝑁𝐴𝐴𝑐𝑐

=𝑁𝑁𝑚𝑚𝐴𝐴𝑐𝑐𝑚𝑚

=𝐽𝐽

𝐴𝐴𝑐𝑐𝑚𝑚=𝑉𝑉𝐴𝐴𝑐𝑐𝐴𝐴𝑐𝑐𝑚𝑚

=𝑉𝑉𝑚𝑚

Dabei ist verwendet, dass 𝑁𝑁𝑚𝑚 = 𝐽𝐽 = 𝑉𝑉𝐴𝐴𝑐𝑐. Es ist eine (hoffentlich verzeihliche) Schwäche dieses Kurses, dass zur Herleitung Zusammenhänge verwendet werden, die noch nicht behandelt wurden. Ebenso ist es didaktisch unbefriedigend, dass die Einheit der elektrischen Feldstärke das Volt als Einheit des elektrischen Potenzials enthält, obwohl dieses noch nicht eingeführt ist. Andererseits ist das Volt aus dem täglichen Leben durchaus bekannt.

Typische elektrische Feldstärken bewegen sich zwischen 1𝜇𝜇 𝑉𝑉𝑉𝑉

bei Funkwellen und 107 𝑉𝑉𝑉𝑉

bei Kondensatoren.

Q2 FQ2(r12)

Raum erfüllt mit elektrischem Feld

E


Da auf eine Ladung in einem elektrischen Feld eine Kraft wirkt, wird der Körper mit dieser Ladung beschleunigt (wenn er nicht durch andere Kräfte daran gehindert wird). Das Feld verrichtet also Arbeit. Andererseits wird man Arbeit leisten müssen, um den Körper gegen die vom Feld hervorgerufene Kraft zu bewegen. Nehmen wir an, das Feld sei konstant, d.h., auf die Ladung wirkt überall die gleiche Kraft F = E Q. Wenn der Körper zunächst in Ruhe war, wird er sich durch das elektrische Feld in Richtung des Feldvektors in Bewegung setzen, bzw. in der entgegengesetzten Richtung, wenn die Ladung negativ ist. Wenn er dabei eine Strecke Δs zurückgelegt hat, beträgt die Arbeit, die das Feld an ihm verrichtet hat ΔW = F Δs = EQ Δs. Bewegt sich der Körper nicht in Richtung der Feldstärke, z.B. weil er bereits eine Geschwindigkeit hatte, die nicht parallel zu E ist, oder Führungskräfte auf ihn wirken, so beträgt die Arbeit 𝛥𝛥𝑊𝑊 = 𝑭𝑭 ∙ ∆𝒔𝒔 = 𝑬𝑬𝑄𝑄 ∙ ∆𝒔𝒔, also das Skalarprodukt aus Feldstärke und Verschiebungsvektor mal der Ladung. Anders gesagt: Es wirkt nur der Kraftanteil in Richtung der Verschiebung.

Leider gilt der einfache Zusammenhang Arbeit = Kraft x Weg nur dann, wenn die Kraft entlang des Wegs konstant ist und sich der Winkel zwischen Kraft und Weg nicht ändert. Das ist im Allgemeinen nicht der Fall. Daher muss man den Weg aufteilen in lauter kleine Abschnitte, bei denen die Bedingung näherungsweise erfüllt ist. Somit erhält man:

∆𝑊𝑊 ≈�𝑬𝑬𝑖𝑖𝑄𝑄 ∙ ∆𝒔𝒔𝒊𝒊

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

Formel 10 Arbeit im elektrischen Feld

Δs1 bis Δsn sind die Abschnitte, in die die (im Allgemeinen nicht gerade) Verschiebung aufgeteilt wurde. Ei sind die näherungsweise konstanten Feldstärken in diesen Abschnitten.

Das „≈“-Zeichen verdeutlicht, dass Formel 10 nur näherungsweise gilt, weil sich ja auch auf dem kleinen Abschnitt Δsi die Feldstärke ändern kann und ein Polygonzug den Weg nur annähert.

Abbildung 8 Zur Berechnung der Arbeit im elektrischen Feld

Die Bildung des Grenzwerts für immer kleinere Abschnitte führt zu dem allgemeinen Zusammenhang zwischen der Arbeit und der Verschiebung einer elektrischen Ladung im Feld:

∆𝑊𝑊 = � 𝑬𝑬(𝒓𝒓)𝑄𝑄 ∙ 𝒅𝒅𝒔𝒔

𝒓𝒓𝟏𝟏

𝒓𝒓𝟏𝟏

Formel 11 Verschiebungsarbeit im elektrischen Feld

Diesen Zusammenhang möchte man nun ohne Abhängigkeit von der bewegten Ladung formulieren und bildet daher den Quotienten aus der Arbeit und der Ladung:

r1

r2 E(r)

Δs4


∆𝑊𝑊𝑄𝑄

= � 𝑬𝑬(𝒓𝒓) ∙ 𝒅𝒅𝒔𝒔 = 𝑈𝑈12

𝒓𝒓𝟏𝟏

𝒓𝒓𝟏𝟏

Formel 12 Definition der elektrischen Spannung

U12 nennt man die elektrische Spannung zwischen den Punkten r1 und r2. Die Einheit der Spannung ergibt sich als:

[U] = �WQ �

=VAsAs

= V

Die Einheit der elektrischen Spannung ist das Volt. Messbare Spannungen reichen von 10-12 Volt (an Nervenzellen) bis 10 8 V (in Blitzen). Am menschlichen Körper können nach allgemeiner Ansicht Spannungen ab 42 V lebensgefährlich sein.

Als Charakterisierung der Wirkung eines elektrischen Feldes taugt die Spannung natürlich nur, wenn das Integral gemäß Formel 12 unabhängig vom gewählten Weg ist. Sonst ergäben sich zwischen zwei Punkten ja unterschiedliche Spannungen, je nach dem, über welchen (gedachten) Weg man integriert. Die elektrische Spannung ist nur für solche Felder definiert, die diese Bedingung erfüllen. Man nennt sie Potenzialfelder.

Hält man nun einen Punkt im Raum fest, z.B. r3, so kann man für jeden Punkt r die Spannung zwischen r und r3 ermitteln. Somit lässt sich jedem Raumpunkt ein Wert zuordnen, nämlich die Spannung zwischen diesem Raumpunkt und dem Punkt r3. Das nennt man das elektrische Potenzial im Punkt r. Das elektrische Potenzial ist auch ein Feld, aber im Gegensatz zum elektrischen Feld kein Vektorfeld, sondern ein skalares Feld. Das Potenzial wird meist mit dem griechischen Buchstaben Phi (𝜑𝜑) bezeichnet. In unserem Beispiel ist also:

𝜑𝜑𝑔𝑔 = 𝑈𝑈𝑔𝑔𝑔𝑔3

Das Potenzial ist nicht eindeutig, sondern hängt von der Wahl des Punktes r3 ab!

Man kann nun drei Punkte r1, r2 und r3 betrachten und die Verschiebungen, die zu den Spannungen führen:

Abbildung 9 Zum Verhältnis von Potenzial und Spannung

Verwendet man die Definition des Potenzials, erhält man:

𝜑𝜑𝒓𝒓𝟏𝟏 − 𝜑𝜑𝒓𝒓𝟏𝟏 = 𝑈𝑈𝒓𝒓1𝒓𝒓𝟑𝟑 + 𝑈𝑈𝒓𝒓𝟑𝟑𝒓𝒓𝟏𝟏 = 𝑈𝑈𝒓𝒓𝟏𝟏𝒓𝒓𝟏𝟏

Formel 13 Zusammenhang zwischen Potenzial und Spannung

r1 r2

r3

𝑈𝑈𝒓𝒓1𝒓𝒓𝟑𝟑

𝑈𝑈𝒓𝒓𝟏𝟏𝒓𝒓𝟑𝟑

𝑈𝑈𝒓𝒓𝟏𝟏𝒓𝒓2


Die Spannung zwischen den Punkten r1 und r2 ist gleich der Differenz der Potenziale an den Punkten r1 und r2. Dies gilt offensichtlich unabhängig von der Wahl des Punktes r3. Das Potenzialfeld eines elektrischen Feldes ist also nicht eindeutig, wohl aber die Spannung zwischen zwei Punkten als Potenzialdifferenz zwischen diesen Punkten.

Ein elektrisches Feld lässt sich sowohl über das Vektorfeld der elektrischen Feldstärke als auch über das skalare Potenzialfeld beschreiben. Wenn es um die Bewegung von Ladungsträgern geht, ist meist die Feldbeschreibung sinnvoll, geht es um Energien, die Potenzialdarstellung.

3.6. 2. Kirchhoffsches Gesetz

Aus der Unabhängigkeit der Arbeit vom Weg gemäß Formel 12 folgt unmittelbar, dass die Summe aller Spannungen entlang eines geschlossenen Wegs null ist. Betrachtet man z.B. fünf Punkte r1 bis r5, so muss die Arbeit von r1 über r2 nach r3 gleich der Arbeit von r1 über r5 und r4 nach r3 sein.

Also ist 𝑊𝑊12 + 𝑊𝑊23 = 𝑊𝑊15 + 𝑊𝑊54 + 𝑊𝑊43.

Verwendet man anstatt der Arbeit die Spannungen, ergibt sich analog:

𝑈𝑈12 + 𝑈𝑈23 = 𝑈𝑈15 + 𝑈𝑈54 + 𝑈𝑈43 , oder anders gesagt:

𝑈𝑈12 + 𝑈𝑈23 − 𝑈𝑈15 − 𝑈𝑈54 − 𝑈𝑈43 = 0 .

Berücksichtigt man, dass 𝑈𝑈𝑥𝑥𝑥𝑥 = −𝑈𝑈𝑥𝑥𝑥𝑥, ergibt sich:

𝑈𝑈12 + 𝑈𝑈23 + 𝑈𝑈34 + 𝑈𝑈45 + 𝑈𝑈51 = 0.

Verallgemeinert man diesen Zusammenhang auf n Punkte ("Knoten"), so erhält man:

�𝑈𝑈𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

= 0

Formel 14 2. Kirchhoffsches Gesetz oder Maschensatz

r1

r2

r3

r5 r4


Dabei sind die Ui die Spannungen zwischen zwei benachbarten Knoten.

Der geschlossene Umlauf wird als Masche bezeichnet. Da es auf das Vorzeichen der Spannungen ankommt, muss in der Masche ein Umlaufsinn festgelegt werden. Spannungen in Richtung des Umlaufsinns sind positiv zu zählen, in Gegenrichtung negativ. Die Wahl des Umlaufsinns hingegen ist für die Anwendung des 2. Kirchhoffschen Gesetzes unerheblich.


3.7. Ohmsches Gesetz

In technischen Anwendungen fließt der Strom meist durch Festkörper. Dabei gibt es eine Wechselwirkung zwischen den Ladungsträgern, meist Elektronen, und dem Festkörper. (Auch durch Flüssigkeiten und Gase kann ein Strom fließen, dies wird aber hier nicht betrachtet und dort können sich noch andere Effekte einstellen.)

Applet: Modell der Stromleitung in Metallen http://harfesoft.de/aixphysik/electro/Strom/index.html

Man stellt nun in vielen Fällen einen einfachen Zusammenhang zwischen Strom und Spannung fest. Befindet sich im Stromfluss zwischen zwei Knoten ein Körper, so ist der Quotient aus Spannung und Strom immer gleich. D.h. z.B., bei doppelter Spannung ist der Strom auch doppelt so groß. Dieser Quotient wird Ohmscher Widerstand, oft auch einfach nur Widerstand, genannt und ist eine Eigenschaft des Körpers.

𝑅𝑅 = 𝑈𝑈𝐼𝐼

Formel 15 Ohmsches Gesetz

Die Einheit des ohmschen Widerstands ist V/A und wird mit Ohm und dem griechischen Buchstaben Omega (Ω) bezeichnet.

Ohmsche Widerstände haben einen linearen Strom-Spannungsverlauf und werden daher auch lineare Widerstände genannt. Beim Durchfluss des Stroms durch einen ohmschen Widerstand wird Energie auf den Festkörper übertragen. Dieser erwärmt sich dabei. Das ist das Prinzip der elektrischen Heizung, begrenzt aber z.B. auch die Packungsdichte in elektronischen Schaltkreisen.

Abbildung 10 LTSpice Simulation eines ohmschen Widerstands

3.8. Spezifischer Widerstand, Leitungstypen

Ein Sonderfall des ohmschen Widerstands sind Körper mit konstantem Querschnitt A und einer Länge l, z.B. Drähte oder Leiterbahnen auf einem Substrat.

http://harfesoft.de/aixphysik/electro/Strom/index.html


Abbildung 11 Körper mit konstantem Querschnitt

Bei solchen Körpern steigt der Widerstand proportional mi der Länge l und sinkt mit der Querschnittfläche A.

𝑅𝑅~𝑊𝑊𝐴𝐴

Die Proportionalitätskonstante bezeichnet man als spezifischen Widerstand mit dem griechischen Buchstaben Rho (𝜌𝜌). Der Kehrwert des spezifischen Widerstands ist die spezifische Leitfähigkeit, bezeichnet mit Kappa (𝜅𝜅). Damit ergibt sich also:

𝑅𝑅 = 𝜌𝜌𝑊𝑊𝐴𝐴

=1𝜅𝜅𝑊𝑊𝐴𝐴

Formel 16 Spezifischer Widerstand und spezifische Leitfähigkeit

Für die Einheit des spezifischen Widerstands ergibt sich:

[𝜌𝜌] = �𝑅𝑅𝐴𝐴𝑊𝑊 �

=Ω𝑚𝑚2

𝑚𝑚= Ω𝑚𝑚

bzw.

[𝜅𝜅] =1Ω𝑚𝑚

Materialien mit spezifischem Widerstand kleiner als 10-6 Ωm bezeichnet man als Leiter. Das sind meistens Metalle. Mit Werten zwischen 10-4 und 10 6 Ωm bezeichnet man Materialien als Halbleiter, etwa Silizium oder Germanium. Mit spezifischen Widerständen von 10 8 Ωm nennt man Materialien Nichtleiter oder Isolatoren, z.B. Keramik. Dazwischen gibt es jeweils Mischformen.

Spezifischer Widerstand bzw. Leitfähigkeit sind (temperaturabhängige) Materialkonstanten. Bei Leitern sinkt i.d.R. der Widerstand mit der Temperatur, weil der Stromfluss weniger durch die Temperaturbewegung des Gitters und der Elektronen gestört wird. Bei Halbleitern hingegen werden erst durch die Temperaturbewegung Elektronen für die elektrische Leitung freigesetzt. Daher steigt der Widerstand mit sinkender Temperatur. Diese Effekte lassen sich auch zur Temperaturmessung verwenden.

Bei sehr tiefen Temperaturen verschwindet bei manchen Festkörpern der elektrische Widerstand fast vollständig. Dies nennt man Supraleitung und ist ein quantenmechanischer Effekt.

Der Widerstand des menschlichen Körpers liegt meist im unteren 𝑊𝑊Ω-Bereich. Nimmt man ihn mit 1 𝑊𝑊Ω an und verwendet den lebensbedrohlichen Strom von 20 mA, so ergibt sich für die Spannung 20 V.

l

A

l

A


Von technischer Bedeutung ist auch der Kehrwert des Widerstands, der Leitwert, oft mit dem Formelzeichen G bezeichnet. Die Einheit ist 1/Ω und wird als Siemens (S) bezeichnet.

3.9. Energie, Leistung und Wirkungsgrad

In Absatz 3.5 ist der Zusammenhang zwischen Arbeit, Ladung und Spannung gezeigt:

Δ𝑊𝑊 = 𝑈𝑈12 ∙ 𝑄𝑄

Man kann dies natürlich auch auf eine bestimmte Ladungsmenge ∆Q beziehen und durch ein Zeitintervall ∆𝑚𝑚 teilen. Damit erhält man:

∆𝑊𝑊∆𝑚𝑚

= 𝑈𝑈12∆𝑄𝑄∆𝑚𝑚

Bildet man den Grenzwert für ∆𝑚𝑚 gegen null, erhält man:

lim∆𝑡𝑡→0

∆𝑊𝑊∆𝑚𝑚

= 𝑃𝑃 = 𝑈𝑈12lim∆𝑡𝑡→0

∆𝑄𝑄∆𝑚𝑚

= 𝑈𝑈12𝐼𝐼

Formel 17 Elektrische Leistung

Die elektrische Leistung ist gleich dem Produkt aus Spannung und Strom.

Für die Einheit der Leistung ergibt sich:

[𝑃𝑃] = [𝑈𝑈𝐼𝐼] = VA = W

Einheit der Leistung ist das Watt. Lediglich die Automobilindustrie verwendet in Deutschland noch (zusätzlich) die veraltete Einheit Pferdestärke PS für die Leistung.

In aller Regel ist die Leistung eine zeitveränderliche Größe. Man betrachte etwa den Motor eines Elektrofahrzeugs. Das aber erschwert leider die Berechnung der Arbeit aus der Leistung und der Zeit. Der einfache Zusammenhang ∆𝑊𝑊 = 𝑃𝑃∆𝑚𝑚 gilt eben nur, wenn die Leistung über die Zeit Δt konstant ist. Im allgemeinen Fall ergibt sich die Arbeit zu:

𝑊𝑊 = � 𝑃𝑃(𝑚𝑚)𝑑𝑑𝑚𝑚

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

= � 𝑈𝑈(𝑚𝑚)𝐼𝐼(𝑚𝑚)𝑑𝑑𝑚𝑚

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

Formel 18 Zusammenhang zwischen Arbeit, Leistung und Zeit

Die Einheit der Arbeit ergibt sich zu:

[𝑊𝑊] = [𝑃𝑃 ∙ 𝑚𝑚] = Ws = VAs

Einheit der Arbeit und der Energie ist das Joule. In der Elektrotechnik gebräuchlich, wenn auch nicht SI-konform, ist die Kilowattstunde. Es gilt:

1 𝑊𝑊𝑊𝑊ℎ = 103 ∙ 602J = 3,6 ∙ 106J = 3,6 MJ

In Joule bzw. kWh werden heute auch die Gaslieferungen der Stadtwerke an die Verbraucher abgerechnet, was sinnvoll ist, weil es sich um einen Energieträger handelt. Lediglich der Kraftstoff für


Fahrzeuge mit Verbrennungsmotor wird in Liter, einer Volumeneinheit (!), abgerechnet, ein groteskes Relikt aus Zeiten ohne Energiebewusstsein. Hier gilt der folgende Zusammenhang:

1 l Superbenzin entspricht 8,8 kWh (1 kg Superbenzin entspricht 12,0 kWh)

1 l Dieselkraftstoff entspricht 9,8 kWh (1 kg Dieselkraftstoff entspricht 11,8 kWh)

Man erkennt daraus, dass der günstigere Verbrauch von Dieselfahrzeugen überwiegend ein Effekt der höheren Dichte ist. Würde Kraftstoff nach Energieinhalt verkauft, müsste Dieselkraftstoff 11 Prozent teurer sein als Superbenzin.

Eine weitere archaische Einheit wird gelegentlich für den Energiegehalt von Nahrung verwendet: die Kilokalorie, hergeleitet aus der Energie, die zur Erwärmung von 1 kg Wasser um 1 Grad Celsius erforderlich ist. Es gilt:

1kcal = 4,1868 kJ

Der menschliche Körper hat im Durchschnitt eine Leistung von 80 W, die er überwiegend in Wärme umsetzt. Kurzfristig kann die Leistung sehr viel größer sein. Rechnet man das auf den Tag hoch, erhält man einen Energiebedarf von 1,9 kWh oder (veraltet) 1650 kcal.

Der Ausgangspunkt der Überlegungen in Abschnitt 3.5 war, dass eine Ladung Q in einem elektrischen Feld von einem Punkt r1 an einen Punkt r2 bewegt wird und dabei die Arbeit ∆𝑊𝑊 geleistet wird. In dem System hat also das Vermögen gesteckt, Arbeit zu verrichten. Das nennt man elektrische Energie. Diese elektrische Energie wurde in Arbeit umgewandelt und z.B. dafür verwendet, den Ladungsträger zu beschleunigen (im Vakuum) oder durch ständige Stöße mit dem Festkörper diesen zu erwärmen (im Widerstand).

Umgekehrt muss Arbeit geleistet werden, um die Ladung gegen die elektrische Kraft von r2 nach r1 zu verschieben. Die geleistete Arbeit steckt dann wiederum als elektrische Energie im System.

Es gilt auch hier der Energieerhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aller Energien konstant. Es kann nur zu einer Umwandlung zwischen den Energiearten kommen (z.B. elektrischer Energie, kinetischer Energie, Wärme, chemischer Energie).

�𝑊𝑊𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑊𝑊𝑐𝑐𝑚𝑚𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

bzw.

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚

(�𝑊𝑊𝑖𝑖) = �𝑑𝑑𝑊𝑊𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑚𝑚= �𝑃𝑃𝑖𝑖 = 0

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

Formel 19 Leistungsbilanzgleichung

Die Summe aller Leistungen ist null. Dabei wird die von Quellen erbrachte Leistung negativ, die in Verbrauchern umgewandelte Leistung positiv betrachtet.

Bei Energietransport- oder Umwandlungsprozessen interessiert man sich oft dafür, wie „effektiv“ der Transport bzw. die Umwandlung ist. Dafür führt man den Begriff des Wirkungsgrads ein.


𝑊𝑊𝑚𝑚𝑠𝑠𝑊𝑊𝑢𝑢𝑊𝑊𝑘𝑘𝑐𝑐𝑘𝑘𝑠𝑠𝑎𝑎𝑑𝑑 =𝑊𝑊𝑢𝑢𝑚𝑚𝑧𝑧𝑏𝑏𝑎𝑎𝑠𝑠𝑒𝑒 𝐸𝐸𝑊𝑊𝑒𝑒𝑠𝑠𝑘𝑘𝑚𝑚𝑒𝑒

𝑚𝑚𝑊𝑊𝑐𝑐𝑘𝑘𝑒𝑒𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑢𝑢𝑎𝑎𝑘𝑘𝑒𝑒𝑏𝑏𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐ℎ𝑚𝑚𝑒𝑒 𝐸𝐸𝑊𝑊𝑒𝑒𝑠𝑠𝑘𝑘𝑚𝑚𝑒𝑒=𝐴𝐴𝑢𝑢𝑐𝑐𝑘𝑘𝑎𝑎𝑊𝑊𝑘𝑘𝑐𝑐𝑊𝑊𝑒𝑒𝑚𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚𝑢𝑢𝑊𝑊𝑘𝑘𝐸𝐸𝑚𝑚𝑊𝑊𝑘𝑘𝑎𝑎𝑊𝑊𝑘𝑘𝑐𝑐𝑊𝑊𝑒𝑒𝑚𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚𝑢𝑢𝑊𝑊𝑘𝑘

Formel 20 Definition des Wirkungsgrads

Der Wirkungsgrad ist eine dimensionslose Zahl und kann auch in Prozent angegeben werden (1 = 100%). Er wird mit Eta (𝜂𝜂) bezeichnet. Betrachtet man auch die Verlustleistung, ergibt sich:

𝜂𝜂 =𝑃𝑃𝑎𝑎𝑧𝑧𝐴𝐴𝑃𝑃𝑒𝑒𝑖𝑖𝑛𝑛

=𝑃𝑃𝑒𝑒𝑖𝑖𝑛𝑛 − 𝑃𝑃𝑣𝑣𝑒𝑒𝑔𝑔𝑒𝑒

𝑃𝑃𝑒𝑒𝑖𝑖𝑛𝑛= 1 −

𝑃𝑃𝑣𝑣𝑒𝑒𝑔𝑔𝑒𝑒𝑃𝑃𝑒𝑒𝑖𝑖𝑛𝑛

Otto- (Viertakt-)Verbrennungsmotoren erreichen Wirkungsgrade zwischen 30 und 40 Prozent, Dieselmotoren zwischen 35 und 45 Prozent. Elektromotoren dürfen unterhalb eines Wirkungsgrads von 94 Prozent nicht mehr in den Verkehr gebracht werden. Möglich sind bis zu 97 Prozent. Elektrische Generatoren können Wirkungsgrade von über 90 Prozent haben.

Je nach dem, was man als „insgesamt aufgebrachte Energie“ bezeichnet, sind auch Wirkungsgrade von über 100 Prozent möglich, etwa bei Wärmepumpen, wenn man die thermische Energie aus Luft, Wasser oder Erdreich „als umsonst“ vernachlässigt und nur die zum Betrieb der Wärmepumpe notwendige Energie betrachtet (meist elektrische oder fossile Energie).

Werden mehrere Energietransport- oder Umwandlungsprozesse hintereinandergeschaltet, so multiplizieren sich die Wirkungsgrade:

𝜂𝜂𝑘𝑘𝑒𝑒𝐴𝐴 = �𝜂𝜂𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

Formel 21 Gesamtwirkungsgrad

Das große Pi steht dabei für das Produkt aller 𝜂𝜂𝑖𝑖.


4. Quellen und Schaltung von Widerständen

4.1. Schaltungen

Aufgaben von Energieübertragung oder Steuerung von Geräten werden durch eine Verknüpfung von elektrischen bzw. elektronischen Bauelementen realisiert. Dies können passive Bauelemente wie Widerstände, Schalter, Kondensatoren oder Spulen sein oder aktive Bauelemente wie Transistoren, Thyristoren oder Solarzellen. Ganz überwiegend werden heute außerordentlich komplexe Bauelemente wie Integrierte Schaltkreise oder Operationsverstärker verwendet, die ihrerseits tausende von Elementen enthalten können.

Die Verknüpfung der Bauelemente wird mit einem Schaltplan beschrieben. Jedes Bauelement wird dort durch ein Schaltzeichen dargestellt. Will man eine Schaltung auslegen oder analysieren, muss das komplexe Verhalten der realen Bauelemente durch einfache Modelle angenähert werden, die die wichtigsten Eigenschaften enthalten. Aus der Schaltung wird damit ein Netzwerk mit Netzwerkelementen, das einer Analyse mit mathematischen Methoden zugänglich ist oder von einem Computerprogramm berechnet werden kann.

Ohmsche Widerstände werden in einem solchen Modell etwa beschrieben durch den Widerstandswert, die Toleranz und die maximale Leistung, ohne z.B. zu berücksichtigen, dass sich der Widerstand bei höherer Temperatur ändert. Leitungen zwischen den Bauelementen werden als ideal angesehen, d.h., mit dem Widerstand null.

Abbildung 12 Beispielschaltung

Die obige Schaltung bewirkt, dass die Leuchtdiode D2 nach Ausschalten der Spannungsquelle V1 noch etwa eine halbe Sekunde lang weiter brennt. Kondensator und Spule dienen dabei zur Energiespeicherung.

Wichtige Hilfsmittel für die analyse von Netzwerken sind das 1. und 2. Kirchhoffsche Gesetz.


4.2. Ideale Spannungs- und Stromquellen

Ein Netzwerk, das zwischen zwei Knoten liegt, wird als Zweipol bezeichnet. Es kann aus einem oder aus mehreren Netzwerkelementen bestehen. Von besonderer Bedeutung sind die sogenannten aktiven Zweipole, die elektrische Energie in das Netzwerk abgeben. Dies können Batterien, Akkus oder eine Brennstoffzelle sein (chemische Energie), aber auch Generatoren (mechanische Energie), Thermoelemente (Wärmeenergie), Solarzellen (Strahlungsenergie) oder Netzgeräte, die eine Form elektrischer Energie (aus Netzspannung) in eine andere Form überführen (Gleichspannung).

Charakterisieren lassen sich aktive Zweipole durch ihr Verhalten an einem veränderlichen Widerstand. Man kann Spannung und Strom messen und in einem U-I-Diagramm darstellen.

In diesem Diagramm ist angenommen, dass die Spannung mit zunehmendem Strom abnimmt, bis sie schließlich null ist. Das wird so sein, wenn man etwa Batterien immer stärker belastet. Bei anderen Quellen wird das schwerer fallen, etwa dem öffentlichen Wechselstromnetz, das zahlreiche Sicherungen dafür eingebaut hat, dass es nicht passiert.

Zwei Punkte sind im Diagramm ausgezeichnet und haben Bedeutung zur Charakterisierung von Quellen:

Die Spannung für I = 0 wird als Leerlaufspannung oder Quellenspannung Uq bezeichnet. Der Strom für U = 0 wird als Kurzschlussstrom oder Quellenstrom Iq bezeichnet.

Es ergeben sich zwei idealisierte Sonderfälle:

Ein Zweipol heißt ideale Spannungsquelle, wenn die Spannung unabhängig vom Strom ist.

Ein Zweipol heißt ideale Stromquelle, wenn der Strom unabhängig von der Spannung ist.

Abbildung 13 Ideale Strom- und Spannungsquellen

Ideale Stromquelle

I

Ideale Spannungsquelle

I

U

I

U U


Das Schaltzeichen für eine ideale Spannungsquelle ist:

Das Schaltzeichen für eine ideale Stromquelle ist:

Der Grund für diese Symbole ist, dass eine ideale Spannungsquelle den Innenwiderstand null hat (sonst würde sich bei Stromfluss ja die Spannung ändern) und eine ideale Stromquelle „quasi“ den Innenwiderstand unendlich.

Eine ideale Spannungsquelle darf niemals kurzgeschlossen werden (U = 0 gibt es nicht im Diagramm) und eine ideale Stromquelle darf niemals mit offenen Klemmen betrieben werden (I = 0 gibt es nicht im Diagramm).

Abbildung 14 Parallelschaltung idealer Spannungsquellen

Ideale Spannungsquellen dürfen nur dann parallel geschaltet werden, wenn sie die gleiche Spannung haben. (Welche Spannung sollte sonst auch an den Klemmen anliegen?) Eine Reihenschaltung hingegen ist unproblematisch. Die Einzelspannungen addieren sich zur Gesamtspannung.

Abbildung 15 Reihenschaltung idealer Spannungsquellen

Ideale Stromquellen dürfen nur dann in Reihe geschaltet werden, wenn sie den gleichen Strom haben. (Welcher Strom sollte sonst auch fließen?) Eine Parallelschaltung ist hingegen unkritisch. Der Gesamtstrom ist gleich der Summe aller Ströme.

Abbildung 16 Reihenschaltung idealer Stromquellen

I1 I2 I3

I Nur bei I = I1 = I2 = I3

U1 U2 U3

U U = U1 + U2 + U3

U1

U2

U3

U

Nur bei

U = U1 = U2 = U3


Abbildung 17 Parallelschaltung idealer Stromquellen

Technisch sind weder ideale Spannungs- noch ideale Stromquellen herstellbar. Sie sind für die Netzwerkanalyse aber nützliche Hilfsmittel. Sehr wohl aber lassen sich Quellen herstellen, die in bestimmten Bereichen den idealen Quellen sehr nahekommen. Das Verhalten realer Quellen lässt sich durch die Kombination idealer Quellen mit weiteren Netzwerkelementen nachbilden.

Technische Strom- und Spannungsquellen lassen sich natürlich in der für ideale Quellen verbotenen Weise zusammenschalten. (Wer wollte einen hindern, dies zu tun?) Es kommt dann u.U. zu Ausgleichsströmem. (Im Experiment gehen schlimmstenfalls die Quellen kaputt und das Gebäude brennt ab.)

4.3. Reale Spannungs- und Stromquellen Bei realen Spannungsquellen hängt die Ausgangsspannung vom Strom ab. Dies lässt sich für einen einfachen Sonderfall so darstellen, dass eine ideale Spannungsquelle und ein Widerstand Ri in Reihe geschaltet sind.

Abbildung 18 Ersatzschaltbild einer realen Spannungsquelle mit ohmschen Innenwiderstand

Für die Ausgangsspannung ergibt sich nach dem 2. Kirchhoffschen Gesetz:

𝑈𝑈 = 𝑈𝑈𝑞𝑞 − 𝐼𝐼 ∙ 𝑅𝑅𝑖𝑖

Formel 22 Strom-Spannungsverhalten einer realen Spannungsquelle

I1

I2

I3 I I = I1 + I2 + I3

Uq Ri

RV U RV: Verbraucherwiderstand

I


Uq ist die Quellenspannung bzw. Leerlaufspannung, Ik der Kurzschlussstrom. Man erkennt, dass die reale Spannungsquelle sich umso mehr wie eine ideale Quelle verhält, je flacher die Kurve verläuft, also je kleiner der Innenwiderstand ist. Bei technisch realisierten Spannungsquellen ist der Ausgangsstrom begrenzt.

Bei realen Stromquellen hängt der Strom von der Spannung ab. Dies lässt sich für einen einfachen Sonderfall so darstellen, dass eine ideale Stromquelle und ein ohmscher Widerstand parallel geschaltet werden.

Abbildung 20 Ersatzschaltbild einer realen Stromquelle mit ohmschen Widerstand

Für die Ströme gilt dann nach dem 1. Kirchhoffschen Gesetz: Iq - Ir = I, wobei Ir der Strom durch den Innenwiderstand ist. Mit dem ohmschen Gesetz U = Ri Ir folgt dann:

𝐼𝐼 = 𝐼𝐼𝑞𝑞 − 𝐼𝐼𝑔𝑔 = 𝐼𝐼𝑞𝑞 −𝑈𝑈𝑅𝑅𝑖𝑖

= 𝐼𝐼𝑞𝑞 − 𝑈𝑈 ∙ 𝐺𝐺𝑖𝑖

Formel 23 Strom-Spannungsverhalten einer realen Stromquelle

Iq

𝐺𝐺𝑖𝑖 =1𝑅𝑅𝑖𝑖

I

RV

Ik

Uq: Quellenspannung

Ik : Kurzschlussstrom

Abbildung 19 Strom-Spannungsdiagramm einer realen Spannungsquelle

U

I

Uq

reale Spannungsquelle

ideale Spannungsquelle


Iq ist der Quellenstrom. Bei der Leerlaufspannung Ul fließt der gesamte Strom durch den Innenwiderstand Ri. Man erkennt, dass das U-I-Diagramm der realen Stromquelle dem der idealen Stromquelle umso ähnlicher wird, je steiler die Kurve ist, also je größer der Innenwiderstand ist. Bei technisch realisierbaren Stromquellen ist die erreichbare Spannung begrenzt.

Reale Spannungs- bzw. Stromquellen mit idealen Quellen und ohmschen Widerständen nähern das Verhalten tatsächlicher Quellen natürlich nur an. Sie lassen sich aber für viele Zwecke zur Modellierung, Berechnung und Simulation verwenden. So lässt sich etwa das Verhalten einer Batterie als reale Spannungsquelle beschreiben, das einer Solarzelle mit niederohmiger Last als Stromquelle.

4.4. Äquivalenz von Spannungs- und Stromquellen Reale Spannungs- und Stromquellen sind hinsichtlich ihres Verhaltens im Netzwerk vollständig charakterisiert durch ihre Strom-Spannungskennlinien. Diese sind in beiden Fällen fallende Geraden, die die Achsen in Uq bzw. Ul und Ik bzw. Iq schneiden. Es ist nun manchmal sinnvoll, einen bestimmten Quellentyp im Netzwerk zu verwenden, obwohl gerade der andere vorliegt. Dies gelingt tatsächlich unter den Bedingungen:

𝑈𝑈𝑞𝑞 = 𝐼𝐼𝑞𝑞 ∙ 𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑆𝑆𝑡𝑡𝑔𝑔𝑆𝑆𝑉𝑉, 𝐼𝐼𝑞𝑞 = 𝑈𝑈𝑞𝑞𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆

, 𝐼𝐼𝑄𝑄 = 𝐼𝐼𝑘𝑘 und 𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑆𝑆𝑡𝑡𝑔𝑔𝑆𝑆𝑉𝑉 = 𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑆𝑆𝑆𝑆𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑧𝑧𝑛𝑛𝑘𝑘

Formel 24 Äquivalenzbedingungen für reale (lineare) Strom- und Spannungsquellen

Reale Strom- und Spannungsquellen aus idealen Quellen und ohmschen Widerständen lassen sich also ineinander überführen.

Allgemein gilt: Jede Verknüpfung idealer Strom- und Spannungsquellen mit ohmschen Widerständen lässt sich als reale Strom- oder Spannungsquelle mit idealen Quellen und jeweils einem

ideale Stromquelle

U

Ul

Iq

Ul: Leerlaufspannung

Iq: Quellensstrom

Reale Stromquelle

I

Abbildung 21 Strom-Spannungsdiagramm einer realen Stromquelle


Innenwiderstand darstellen (siehe Kapitel 5.7). Dies kann sehr nützlich bei der Vereinfachung von Netzwerken sein.

Die Tatsache, dass man Netzwerke durch Ersatzschaltbilder vereinfachen oder Spannungs- und Stromquellen ineinander überführen kann, bedeutet nur, dass sich diese Teilnetzwerke gegenüber dem Rest des Netzwerks hinsichtlich der Strom- Spannungskennlinie gleich verhalten. Im Innern können ganz unterschiedliche Dinge passieren. So stellt z.B. eine Batterie zunächst eine reale Spannungsquelle dar. Diese kann man im Netzwerk auch als ideale Stromquelle mit einem parallel geschalteten Widerstand darstellen.

Man sieht, dass in der Darstellung als Stromquelle ständig ein Strom fließt, auch wenn der Ausgang der Quelle nicht belastet ist. Hinsichtlich des Energieverbrauchs und der Wärmebelastung stellen sich die beiden Netzwerkelemente also völlig unterschiedlich dar.

4.5. Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen, Spannungs- und Stromteiler

In Abschnitt 3.7 wurde der ohmsche Widerstand eingeführt, dessen Strom-Spannungskennlinie eine Gerade mit der Steigung R durch den Nullpunkt ist.

1,5 V 1,5 V

Ri

im Netzwerk äquivalent

Abbildung 22 Äquivalenz von Batterie und realer Stromquelle

Abbildung 23 Strom-Spannungskennlinie des ohmschen Widerstands

U

I

𝑅𝑅 =𝑑𝑑𝑈𝑈𝑑𝑑𝐼𝐼

𝑅𝑅 = ∞ Leerlauf

𝑅𝑅 = 0 Kurzschluss


Grenzfälle ergeben sich für unendlich großen Widerstand und für den Widerstand null. Für die Leistung ergibt sich gemäß Formel 17:

𝑃𝑃 = 𝑈𝑈 ∙ 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼2 ∙ 𝑅𝑅 =𝑈𝑈2

𝑅𝑅

Formel 25 Leistung des ohmschen Widerstands

Die (in Wärme verwandelte) Leistung am ohmschen Widerstand ist also stets positiv.

Werden mehrere ohmsche Widerstände zusammengeschaltet, können diese durch einen einzigen Widerstand ersetzt werden. Ein Beispiel ist die Reihenschaltung:

Durch alle Widerstände fließt der gleiche Strom I. Aufgrund der Definition der Spannung in Formel 12 addieren sich die Spannungen, so dass gilt:

𝑈𝑈 = 𝑈𝑈1 + 𝑈𝑈2 + 𝑈𝑈3 + 𝑈𝑈4 = 𝑅𝑅1𝐼𝐼 + 𝑅𝑅2𝐼𝐼 + 𝑅𝑅3𝐼𝐼 + 𝑅𝑅4𝐼𝐼 = (𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅3 + 𝑅𝑅4) ∙ 𝐼𝐼

Verallgemeinert man dies auf n Widerstände, so können diese durch einen einzigen Widerstand ersetzt werden.

𝑅𝑅 = �𝑅𝑅𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

Formel 26 Ersatzwiderstand bei Reihenschaltung von Widerständen

Ein weiteres wichtiges Beispiel ist die Parallelschaltung:

An allen Widerständen liegt die selbe Spannung U. Aufgrund Formel 7 summieren sich die Teilströme zu einem Gesamtstrom. Also gilt:

𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 + 𝐼𝐼3 + 𝐼𝐼4 =𝑈𝑈𝑅𝑅1

+𝑈𝑈𝑅𝑅2

+𝑈𝑈𝑅𝑅3

+𝑈𝑈𝑅𝑅4

= (1𝑅𝑅1

+1𝑅𝑅2

+1𝑅𝑅3

+1𝑅𝑅4

) ∙ 𝑈𝑈

Verallgemeinert man dies wiederum auf n Widerstände, so erhält man:

R1

R2 R3 R4

U

Abbildung 25 Parallelschaltung ohmscher Widerstände

I R1 R2 R3 R4

Abbildung 24 Reihenschaltung ohmscher Widerstände


1𝑅𝑅

= �1𝑅𝑅𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

Formel 27 Ersatzwiderstand bei Parallelschaltung von Widerständen

Verwendet man anstatt der Widerstände die Leitwerte, so gilt für die Parallelschaltung:

1𝑅𝑅

= 𝐺𝐺 = �𝐺𝐺𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

Bei der Reihenschaltung von Widerständen addieren sich die Widerstände, bei der Parallelschaltung addieren sich die Leitwerte.

Formel 26 und Formel 27 können verwendet werden, um schrittweise Netzwerke von Widerständen zu vereinfachen. Es muss nur darauf geachtet werden, dass jeweils die Bedingungen für Reihen- bzw. Parallelschaltung vorliegen.

Betrachtet man die Summe, die zu Formel 26 geführt hat, so erhält man für das Verhältnis der Teilspannung U1 und der Gesamtspannung U:

𝑈𝑈1𝑈𝑈

=𝑅𝑅1 ∙ 𝐼𝐼

(𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅3 + 𝑅𝑅4) ∙ 𝐼𝐼=

𝑅𝑅1𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅3 + 𝑅𝑅4

oder allgemein die Spannungsteilerregel:

𝑇𝑇𝑒𝑒𝑚𝑚𝑊𝑊𝑐𝑐𝑇𝑇𝑎𝑎𝑊𝑊𝑊𝑊𝑢𝑢𝑊𝑊𝑘𝑘𝐺𝐺𝑒𝑒𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑇𝑇𝑎𝑎𝑊𝑊𝑊𝑊𝑢𝑢𝑊𝑊𝑘𝑘

=𝑈𝑈𝑇𝑇𝑈𝑈

=𝑇𝑇𝑒𝑒𝑚𝑚𝑊𝑊𝑧𝑧𝑚𝑚𝑑𝑑𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐𝑚𝑚𝑎𝑎𝑊𝑊𝑑𝑑

𝐺𝐺𝑒𝑒𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑧𝑧𝑚𝑚𝑑𝑑𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐𝑚𝑚𝑎𝑎𝑊𝑊𝑑𝑑=𝑅𝑅𝑇𝑇𝑅𝑅

Formel 28 Spannungsteilerregel

Dies wird etwa beim Potentiometer verwendet, einem einstellbaren Widerstand:

Für die Spannung UT gilt: 𝑈𝑈𝑇𝑇𝑈𝑈

= 𝑅𝑅𝑇𝑇𝑅𝑅

. Handelt es sich bei dem Potentiometer um einen Körper mit

konstantem Querschnitt und konstantem spezifischen Widerstand, so gilt: 𝑈𝑈𝑇𝑇𝑈𝑈

= 𝑒𝑒𝐿𝐿.

Formel 28 gilt nur, wenn tatsächlich eine Reihenschaltung vorliegt. Das ist aber nicht mehr der Fall, wenn zufolge der Spannung UT ein Strom fließt. Dann muss auch die Regel für die Parallelschaltung von Widerständen hinzugezogen werden. Ist dieser Strom aber klein im Verhältnis zu dem Strom, der durch R fließt, kann die Formel näherungsweise verwendet werden.

U

UT RT R-RT

l L

Abbildung 26 Potentiometer


Für die Parallelschaltung von Widerständen lässt sich die Stromteilerregel aufstellen. Aus der zu Formel 27 führenden Gleichung lässt sich entnehmen:

𝑇𝑇𝑒𝑒𝑚𝑚𝑊𝑊𝑐𝑐𝑚𝑚𝑠𝑠𝑐𝑐𝑚𝑚𝐺𝐺𝑒𝑒𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚𝑠𝑠𝑐𝑐𝑚𝑚

=𝐼𝐼𝑇𝑇𝐼𝐼

=

1𝑅𝑅𝑇𝑇1𝑅𝑅

=𝐺𝐺𝑇𝑇𝐺𝐺

=𝑇𝑇𝑒𝑒𝑚𝑚𝑊𝑊𝑊𝑊𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝑧𝑧𝑒𝑒𝑠𝑠𝑚𝑚

𝐺𝐺𝑒𝑒𝑐𝑐𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑊𝑊𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝑧𝑧𝑒𝑒𝑠𝑠𝑚𝑚

Formel 29 Stromteilerregel

Die Formulierung über die Leitwerte ist in diesem Fall einfacher als über die Widerstände.

4.6. Stern-Dreieck-Umwandlung

Es gibt Fälle, bei denen die Vereinfachung von Reihen- und Parallelschaltungen nicht ohne Weiteres anwendbar ist, z.B. in der folgenden Schaltung:

In diesen Fällen hilft die Stern-Dreieck-Umwandlung. Bei einem Stern sind drei Widerstände in einem Knoten zusammengeschaltet, bei einem Dreieck besteht eine Masche aus drei Widerständen.

R10 G10

R20 G20

R30 G30

R10

R20 R30

0

1

2 3

1

2 3

0

Abbildung 27 Stern- oder T-Schaltung


Die beiden Schaltungsarten können ineinander überführt werden. Für die Stern-Dreieckumwandlung gilt:

𝐺𝐺12 =𝐺𝐺10𝐺𝐺20∑𝐺𝐺



𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝐺𝐺 = 𝐺𝐺10 + 𝐺𝐺20 + 𝐺𝐺30

Formel 30 Stern-Dreieck-Umwandlung

Dies kann auch so ausgedrückt werden:

(𝐿𝐿𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝑧𝑧𝑒𝑒𝑠𝑠𝑚𝑚 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ𝑒𝑒𝑊𝑊 𝐴𝐴 𝑢𝑢𝑊𝑊𝑑𝑑 𝐴𝐴)𝐷𝐷𝑔𝑔𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑎𝑎𝑘𝑘 =𝑃𝑃𝑠𝑠𝑐𝑐𝑑𝑑𝑢𝑢𝑊𝑊𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑠𝑠 (𝐿𝐿𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝑧𝑧𝑒𝑒𝑠𝑠𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ𝑒𝑒𝑊𝑊 𝐴𝐴 𝑢𝑢𝑊𝑊𝑑𝑑 𝐴𝐴)𝑆𝑆𝑡𝑡𝑒𝑒𝑔𝑔𝑛𝑛

𝑆𝑆𝑢𝑢𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑊𝑊𝑊𝑊𝑒𝑒𝑠𝑠 𝐿𝐿𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝑧𝑧𝑒𝑒𝑠𝑠𝑚𝑚𝑒𝑒𝑆𝑆𝑡𝑡𝑒𝑒𝑔𝑔𝑛𝑛

In ähnlicher Weise ergibt sich für die Dreieck-Sternumwandlung:

𝑅𝑅10 =𝑅𝑅12𝑅𝑅13∑𝑅𝑅



𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 �𝑅𝑅 = 𝑅𝑅12 + 𝑅𝑅23 + 𝑅𝑅13

Formel 31 Dreieck-Stern-Umwandlung

Oder anders ausgedrückt:

(𝑊𝑊𝑚𝑚𝑑𝑑𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐𝑚𝑚𝑎𝑎𝑊𝑊𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑚𝑚 𝐴𝐴)𝑆𝑆𝑡𝑡𝑒𝑒𝑔𝑔𝑛𝑛 =𝑃𝑃𝑠𝑠𝑐𝑐𝑑𝑑𝑢𝑢𝑊𝑊𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑠𝑠 (𝑊𝑊𝑚𝑚𝑑𝑑𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐𝑚𝑚ä𝑊𝑊𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑊𝑊 𝐴𝐴)𝐷𝐷𝑔𝑔𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑎𝑎𝑘𝑘

𝑆𝑆𝑢𝑢𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑊𝑊𝑊𝑊𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑊𝑊𝑚𝑚𝑑𝑑𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐𝑚𝑚ä𝑊𝑊𝑑𝑑𝑒𝑒𝐷𝐷𝑔𝑔𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑎𝑎𝑘𝑘

Zum Beweis dieser Zusammenhänge:

In der Dreieckschaltung gemäß Abbildung 28 wird der Gesamtwiderstand zwischen den Klemmen 1 und 3 berechnet, der sich aus der Parallelschaltung von R13

und der Summe aus R12 und R23 ergibt:

1𝑅𝑅𝑘𝑘𝑒𝑒𝐴𝐴,13

=1𝑅𝑅13

+1

𝑅𝑅12 + 𝑅𝑅23=𝑅𝑅12 + 𝑅𝑅23 + 𝑅𝑅13𝑅𝑅13(𝑅𝑅12 + 𝑅𝑅23)

, 𝑎𝑎𝑊𝑊𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑅𝑅𝑘𝑘𝑒𝑒𝐴𝐴,13 =𝑅𝑅13𝑅𝑅12 + 𝑅𝑅13𝑅𝑅23𝑅𝑅12 + 𝑅𝑅23 + 𝑅𝑅13

= 𝑅𝑅10 + 𝑅𝑅30

Die rechte Seite der letzten Gleichung (R10 + R30) ergibt sich aus dem Vergleich mit der Sternschaltung, denn es muss sich ja der gleiche Widerstand zwischen den jeweiligen Klemmen ergeben, damit die eine Schaltung durch die andere ersetzt werden kann.

R12 G12

R23

G23

R13 G13

R12 R23

R13

1

2

3

1 1

2 3

Abbildung 28 Dreieck- oder π-Schaltung


Führt man diese Betrachtung auch für die beiden anderen Klemmenpaare aus, so erhält man insgesamt drei Gleichungen mit den sechs Parametern der Stern- bzw. Dreieckschaltung. Diese lassen sich zu den gewünschten Beziehungen auflösen.

Mit den Regeln für Reihenschaltung, Parallelschaltung und der Stern-Dreieck- bzw. Dreieck-Sternumwandlung lassen sich Schaltungen zur Analyse vereinfachen.

4.7. Nichtlineare passive Zweipole Ohmsche Widerstände mit linearer Strom-Spannungskennlinie sind ein wichtiger Sonderfall passiver Zweipole. Passiv heißen sie, weil sie keine Strom- oder Spannungsquelle enthalten. Zweipol sagt aus, dass sie zwei Anschlüsse haben. Daneben gibt es aber noch eine Vielzahl weiterer passiver Zweipole, die keine lineare Kennlinie haben. Beispiele dafür sind Dioden, aber auch Glühlampen oder Glimmlampen. Im Allgemeinen sind die Kennlinien Kurven, die sich nur näherungsweise durch mathematische Terme beschreiben lassen.

Der leichteren Beschreibung wegen ist hier die gegenüber der Spannungs-Stromkennlinie gedrehte Darstellungsweise gewählt. Die Diode hat einen Sperrbereich, d.h., bei negativer Spannung fließt überhaupt kein Strom (außer bei sehr großen negativen Spannungen). Ab einer gewissen (positiven) Schwellspannung steigt der Strom stark an; die Diode wird niederohmig. Eine solche Diode kann zur Gleichrichtung verwendet werden.

Bei der Glimmlampe (zwei getrennte von Gas umgebene Elektroden) fließt mit steigender Spannung zunächst fast kein Strom. Bei einer bestimmten Zündspannung bildet sich ein Lichtbogen, der Strom steigt an und die Spannung bricht zusammen. Bei weiter steigender Spannung steigt der Strom dann weiter an. Zu einem Spannungswert können also bis zu drei Stromwerte gehören. Zu jedem Stromwert gehört aber immer genau ein Spannungswert. U(I) ist also eindeutig, I(U) mehrdeutig. Es gibt auch Bauelemente, deren Kennlinie das genau umgekehrte Verhalten zeigt.

Diode und Glimmlampe sind nur zwei Beispiele für Zweipole mit nichtlinearer Kennlinie. Im Netzwerk müssen dann anstatt des Ohmschen Gesetzes diese Kennlinien verwendet werden. Bei Mehrdeutigkeit ergibt sich der Arbeitspunkt aus der verwendeten Spannungsquelle (mit Strombegrenzung) bzw. der Stromquelle (mit Spannungsbegrenzung).

Diode Glimmlampe

U U

I I

Abbildung 29 Spannungs-Stromkennlinien von Diode und Glimmlampe


4.8. Temperaturabhängigkeit passiver Zweipole Wie in Abschnitt 3.8 bereits erwähnt, hängt bei ohmschen Widerständen der spezifische Widerstand von der Temperatur ab. Ebenso verändert sich bei passiven nicht linearen Zweipolen die Strom-Spannungskennlinie mit der Temperatur.

Abbildung 30 zeigt einen mit der Temperatur steigenden spezifischen Widerstand ρ. Der spezifische Widerstand bei der Temperatur T0 + ΔT, also ρ(T0 + ΔT), lässt sich nun näherungsweise beschreiben als Summe aus dem spezifischen Widerstand bei der Temperatur T0 und einem ΔρT0ΔT, das sich aus der Tangente an ρ(T0) und dem Temperaturunterschied ΔT ergibt.

Wenn α der Steigungswinkel der Tangente ist, ergibt sich:

tan(𝛾𝛾) =∆𝜌𝜌𝑇𝑇0∆𝑇𝑇∆𝑇𝑇

, 𝑎𝑎𝑊𝑊𝑐𝑐𝑐𝑐 ∆𝜌𝜌𝑇𝑇0∆𝑇𝑇 = tan (𝛾𝛾) ∙ ∆𝑇𝑇

Nun ist aber tan(γ) gleich der Ableitung von ρ(T) an der Stelle T0, so dass sich ergibt:

𝜌𝜌(𝑇𝑇 + ∆𝑇𝑇) ≈ 𝜌𝜌(𝑇𝑇0) + ∆𝜌𝜌𝑇𝑇0∆𝑇𝑇 = 𝜌𝜌(𝑇𝑇0) + tan(𝛾𝛾) ∙ ∆𝑇𝑇 = 𝜌𝜌(𝑇𝑇0) +𝑑𝑑𝜌𝜌(𝑇𝑇)𝑑𝑑𝑇𝑇 �

𝑇𝑇0∙ ∆𝑇𝑇

Formel 32 Näherungsformel für die Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstands

Dies ist die erste Stufe der Taylor-Entwicklung, mit der man Funktionen in der Nähe einer gegebenen Stelle durch den Funktionswert an dieser Stelle und die (höheren) Ableitungen an dieser Stelle näherungsweise berechnen kann. Die nullte Stufe sagt, dass der Wert in der Umgebung genauso ist wie an der gegebenen Stelle (z.B. ist die Außentemperatur von jetzt an in einer Minute etwa so groß wie jetzt gerade, in einer Stunde aber wahrscheinlich nicht mehr). Die erste Stufe berücksichtigt die Änderung, also die Ableitung (wenn ich weiß, dass sich die Temperatur pro Minute um 0,1o C ändert, wird sie in 10 Minuten etwa 1o C höher sein). Die zweite Stufe würde auch berücksichtigen, wie sich die Temperaturänderung ändert (also die zweite Ableitung).

Man führt nun einen materialabhängigen Temperaturkoeffizienten α ein mit

𝑐𝑐𝑇𝑇0 =1

𝜌𝜌(𝑇𝑇0)∙𝑑𝑑𝜌𝜌(𝑇𝑇)𝑑𝑑𝑇𝑇 �

𝑇𝑇0

Und erhält für die Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstands:

ρ

T

ρ(T)

T0 T0 + ΔT

ρ(T0)

ρ(T0 + ΔT)

ρ(T0) + ΔρT0ΔT) Tangente an ρ(T0)

Abbildung 30 Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstands

γ


𝜌𝜌(𝑇𝑇0 + ∆𝑇𝑇) ≈ 𝜌𝜌(𝑇𝑇0) ∙ (1 + 𝑐𝑐𝑇𝑇0∆𝑇𝑇)

Formel 33 Spezifischer Widerstand und Temperaturkoeffizient

Die Temperaturkoeffizienten kann man der Literatur entnehmen. Wichtig ist, dass die richtige Referenztemperatur berücksichtigt wird. Diese kann z.B. 0o C oder auch 20o C betragen. Der Temperaturkoeffizient hat die Einheit 1/K bzw. 1/oC (da es um Temperaturdifferenzen geht ist es egal, ob Kelvin oder Grad Celsius verwendet werden) oder auch in %/K.

Typischerweise beträgt der Temperaturkoeffizient bei Metallen 0,4 bis 0,6 %/K. Bestimmte Materialien, insbesondere Halbleiter, haben negative Temperaturkoeffizienten, da der Widerstand mit steigender Temperatur abnimmt. In Schaltungen ergeben sich oft schon dadurch Widerstandsänderungen, dass sich die Bauelemente durch den Stromdurchfluss erwärmen.

Es gibt auch Legierungen, die einen besonders niedrigen Temperaturkoeffizienten haben. Ein Beispiel ist Konstantan, das aus 55% Kupfer, 44% Nickel und 1% Mangan besteht. Der Temperaturkoeffizient beträgt 10-5 1/K bzw. 0,001 %/K (Referenztemperatur 20o C). Solche Materialien werden eingesetzt, wenn es auf große Temperaturstabilität ankommt, z.B. in Messgeräten.

Bei großen Temperaturabweichungen muss auch das zweite Glied der Taylor-Entwicklung berücksichtigt werden. Dies erfolgt über den quadratischen Temperaturkoeffizienten β.

Bei Bauelementen mit nicht linearer Kennlinie, wird die Strom-Spannungskennlinie ebenso wie die Spannungs-Stromkennlinie zu einer Funktion der Temperatur, also I(U, T) bzw. U(I, T). Hier kann man analog zu Formel 32 schreiben:

𝑈𝑈(𝐼𝐼0 + ∆𝐼𝐼,𝑇𝑇0 + ∆𝑇𝑇) ≈ 𝑈𝑈(𝐼𝐼0,𝑇𝑇0) +𝜕𝜕𝑈𝑈(𝐼𝐼,𝑇𝑇0)

𝜕𝜕𝐼𝐼∙ ∆𝐼𝐼 +

𝜕𝜕𝑈𝑈(𝐼𝐼0,𝑇𝑇)𝜕𝜕𝑇𝑇

∙ ∆𝑇𝑇

Formel 34 Temperaturabhängigkeit der nicht linearen U/I-Kennlinie

Die Ableitungen mit dem runden 𝜕𝜕 sind partielle Ableitungen, bei denen jeweils ein Parameter konstant gelassen wir. Der erste Term stellt die Spannung bei dem Strom I0 und der Temperatur T0 dar. Der zweite Term ergibt vor dem ΔI so etwas wie den „lokalen ohmschen Widerstand“, den Kleinsignalwiderstand r, der dritte Term vor dem ΔT die Temperaturabhängigkeit, den Temperaturkoeffizienten DU der Spannung. Im Ersatzschaltbild lässt sich dies durch einen ohmschen Widerstand und eine temperaturgesteuerte Spannungsquelle darstellen.

Aus Formel 34 ergibt sich noch eine weitere Möglichkeit. Auch bei nicht linearer Kennlinie verhält sich das Netzwerk bei kleinen Signaländerungen linear. Man kann also ein solches Netzwerk unter besonderen Bedingungen so betrachten, als würden sich ein großes Gleichspannungssignal und ein kleines Signal überlagern. Für Letzteres lassen sich dann die Verfahren des linearen Netzwerkes anwenden.

r DU.ΔT

Abbildung 31 Ersatzschaltbild für einen nicht linearen temperaturabhängigen Zweipol im Arbeitspunkt I0, T0


4.9. Zeitabhängigkeit passiver Zweipole Ein nicht seltener Fall in der Elektronik ist, dass der Widerstand eines Elements von der Zeit abhängt. Dies kann z.B. durch Temperaturänderung oder andere Einflüsse, etwa ein magnetisches Feld erfolgen. Im einfachsten Fall wird mit einem Schalter ein Widerstand ein- oder ausgeschaltet.

Bei linearen zeitabhängigen Zweipolen gilt das Ohmsche Gesetz, aber der Widerstand bzw. die Steigung der Strom-Spannungskennlinie ändern sich. Es ist also U = R(t).I. Beispielsweise könnte ein Widerstand periodisch zwischen den Werten R1 und R2 schwanken.

Wird ein solcher zeitveränderlicher Widerstand von einem periodischen Strom I = I0.cos(ωTt)

durchflossen, so ergibt sich für die Spannung nach dem Ohmschen Gesetz:

𝑈𝑈(𝑚𝑚) = (𝑅𝑅0 + ∆𝑅𝑅 ∙ cos(𝜔𝜔𝑉𝑉𝑚𝑚))(𝐼𝐼0 ∙ cos(𝜔𝜔𝑇𝑇𝑚𝑚))

Diesen Ausdruck kann man mit Hilfe eines Satzes für trigonometrische Funktionen umformen:

cos (𝑥𝑥) ∙ cos (𝑦𝑦) =12

[cos(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) + cos (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)]

und erhält:

𝑈𝑈(𝑚𝑚) = 𝑅𝑅0𝐼𝐼0 ∙ cos(𝜔𝜔𝑇𝑇𝑚𝑚) +∆𝑅𝑅 ∙ 𝐼𝐼0

2 �cos�(𝜔𝜔𝑇𝑇 − 𝜔𝜔𝑉𝑉)𝑚𝑚� + cos ((𝜔𝜔𝑇𝑇 + 𝜔𝜔𝑉𝑉)𝑚𝑚)�

Formel 35 Spannung bei periodischem Strom und periodisch verändertem Widerstand

Durch den mit einer Cosinusfunktion zeitlich veränderten Widerstand wird aus dem Strom mit der Kreisfrequenz ωT eine Spannung, die drei Frequenzen enthält: die „Trägerkreisfrequenz“ ωT sowie die beiden „Seitenkreisfrequenzen“ ωT – ωm und ωT + ωm. Dies ist das Prinzip der Amplitudenmodulation (daher das m als Index).

Das obige Beispiel steht für eine Vielfalt möglicher Effekte bei zeitabhängigen Widerständen, führt aber bereits in den Bereich der Wechselspannung bzw. des Wechselstroms hinein.

R1 R2

I

U

R(t) = R0 + ΔR.cos(ωmt)

R2 = R0 - ΔR R1 = R0 + ΔR

Abbildung 32 periodisch veränderter ohmscher Widerstand


5. Einfache Stromkreise

5.1. Elektrischer Grundkreis Die einfachste Form eines Stromkreises besteht aus einer Spannungs- oder Stromquelle als aktivem Zweipol und einem ohmschen Widerstand als passivem Zweipol.

Die Erzeugerseite kann z.B. als öffentliches Versorgungsnetz aufgefasst werden, der Verbraucher als Gemeinde oder Haushalt. Die Quelle könnte aber auch der Informationsübermittlung dienen, etwa durch Modulation, und der Verbraucher einen Empfänger von Informationen darstellen.

Sowohl Erzeuger als auch Verbraucher sind durch ihre Strom-Spannungskennlinien gekennzeichnet. Die Spannung besteht zwischen den beiden verbindenden Leitungen und der Strom fließt durch diese Leitungen. Der Arbeitspunkt der Schaltung ist nun dort, wo die Strom-Spannungsbedingungen für beide Seiten erfüllt sind. Im Diagramm ist das der Schnittpunkt der beiden Kennlinien.

U

I

Ri, Erzeugerkennlinie

Ra, Verbraucherkennlinie

Ri

Gi Ga Ra

U U

I I

Quelle Quelle Verbraucher Verbraucher

Uq Iq

Abbildung 33 Elektrischer Grundstromkreis mit Spannungs- und Stromquellenersatzschaltung

Uq

Iq

UA

IA

Abbildung 34 Grafische Ermittlung des Arbeitspunkts (UA, IA)


Durch Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze erhält man für die Spannungsersatzschaltung:

𝑈𝑈 − 𝑈𝑈𝑞𝑞 + 𝑅𝑅𝑖𝑖 ∙ 𝐼𝐼 = 0 sowie 𝑅𝑅𝑎𝑎 ∙ 𝐼𝐼 − 𝑈𝑈 = 0 und für die Stromersatzschaltung:

𝐼𝐼𝑞𝑞 − 𝐼𝐼 − 𝑈𝑈 ∙ 𝐺𝐺𝑖𝑖 = 0 sowie 𝐼𝐼 = 𝑈𝑈𝐺𝐺𝑎𝑎.

Damit ergibt sich der Arbeitspunkt der Schaltung zu:

𝐼𝐼𝐴𝐴 =𝑈𝑈𝑞𝑞

𝑅𝑅𝑖𝑖 + 𝑅𝑅𝑎𝑎 𝑈𝑈𝐴𝐴 = 𝑈𝑈𝑞𝑞

𝑅𝑅𝑎𝑎𝑅𝑅𝑖𝑖 + 𝑅𝑅𝑎𝑎

= 𝑈𝑈𝑞𝑞1

1 + 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑅𝑅𝑎𝑎

𝑈𝑈𝐴𝐴 =𝐼𝐼𝑞𝑞

𝐺𝐺𝑖𝑖 + 𝐺𝐺𝑎𝑎 𝐼𝐼𝐴𝐴 = 𝐼𝐼𝑞𝑞

𝐺𝐺𝑎𝑎𝐺𝐺𝑖𝑖 + 𝐺𝐺𝑎𝑎

= 𝐼𝐼𝑞𝑞1

1 + 𝐺𝐺𝑖𝑖𝐺𝐺𝑎𝑎

Formel 36 Berechnung des Arbeitspunkts nach Spannungs- und Stromersatzschaltung

Man erkennt, dass die Spannung mit zunehmendem Verbraucherwiderstand steigt und der Strom sinkt:

Eine heute typische Erzeuger-Verbraucher-Situation sieht so aus, dass dem aktiven Erzeuger in Form eines Ladegeräts ein ebenfalls aktiver Verbraucher in Form eines zu ladenden Akkus gegenübersteht. Dieser aktive Verbraucher lässt sich durch Reihenschaltung einer Spannungsquelle mit einem Verbrauchswiderstand modellieren, so dass sich das folgende Bild ergibt:

Stromersatzschaltung

Spannungsersatzschaltung

Ra Ra

IA UA

Abbildung 35 Abhängigkeit des Arbeitspunkts vom Verbraucherwiderstand


Aus dem Maschensatz ergibt sich dann:

𝑈𝑈𝑞𝑞1 − 𝑈𝑈𝑞𝑞2 − 𝐼𝐼 ∙ 𝑅𝑅𝑎𝑎 − 𝐼𝐼𝑅𝑅𝑖𝑖 = 0

und damit:

𝐼𝐼 =𝑈𝑈𝑞𝑞1 − 𝑈𝑈𝑞𝑞2𝑅𝑅𝑎𝑎 + 𝑅𝑅𝑖𝑖

Formel 37 Strom bei aktivem Zweipol als Verbraucher

Der Strom ist also proportional zur Differenz zwischen Erzeuger- und Verbraucherspannung. Daher sollte die Spannung eines Ladegeräts größer sein als die Nennspannung des Akkus. Ein typischer Litium-Ionenakku für Kleingeräte hat eine Nennspannung von 3,85 V und sollte mit einer Spannung von 4,4 V geladen werden. Meist wird dabei ein USB-Ladegerät oder eine USB-Buchse verwendet, die Spannungen um 5 V haben. Bei zu hohen Spannungen wird der Strom zu groß, so dass die Zellen zerstört werden können.

5.2. Wirkungsgrad und Leistungsanpassung Bei einem Erzeuger mit Innenwiderstand Ri und einem passiven Verbraucher mit Widerstand Ra ergibt der Maschensatz:

𝑈𝑈𝑞𝑞 − 𝐼𝐼 ∙ 𝑅𝑅𝑎𝑎 − 𝐼𝐼 ∙ 𝑅𝑅𝑖𝑖 = 0, bzw. nach Umstellung und Multiplikation mit I:

𝑈𝑈𝑄𝑄 ∙ 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼2 ∙ 𝑅𝑅𝑎𝑎 + 𝐼𝐼2 ∙ 𝑅𝑅𝑖𝑖

Dies ist aber eine Leistungsgleichung und besagt:

Die Leistung der Quelle Pq (Quellenleistung) ist gleich der Leistung am Innenwiderstand Pi

(Verlustleistung) plus der Leistung am Verbraucherwiderstand Pa (Verbraucherleistung).

In vielen Fällen interessiert der Wirkungsgrad, also das Verhältnis aus Verbraucherleistung und Quellenleistung:

Ri

Uq1 Uq2

Ra

Abbildung 36 Erzeuger mit aktivem Verbraucher


𝜂𝜂 =𝑃𝑃𝑎𝑎𝑃𝑃𝑞𝑞

=𝐼𝐼 ∙ 𝑈𝑈𝐼𝐼 ∙ 𝑈𝑈𝑞𝑞

=𝑅𝑅𝑎𝑎

𝑅𝑅𝑖𝑖 + 𝑅𝑅𝑎𝑎=

1

1 + 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑅𝑅𝑎𝑎

Formel 38 Wirkungsgrad der Übertragung von Erzeuger zu Verbraucher (η: Eta)

Man sieht, dass der Wirkungsgrad dann groß ist, wenn der Verbraucherwiderstand groß gegenüber dem Innenwiderstand ist. Der Wirkungsgrad kann im Grenzfall 1 werden.

Interessant ist oft, wie bei einer gegebenen Quellenspannung (bei Stromquellen sind die Verhältnisse analog) eine möglichst große Leistung von der Quelle zum Verbraucher transferiert werden kann. Die Verbraucherleistung beträgt nach Formel 36:

𝑃𝑃 = 𝑈𝑈 ∙ 𝐼𝐼 = 𝑈𝑈𝑞𝑞𝑅𝑅𝑎𝑎

𝑅𝑅𝑖𝑖 + 𝑅𝑅𝑎𝑎∙ 𝑈𝑈𝑞𝑞

1𝑅𝑅𝑖𝑖 + 𝑅𝑅𝑎𝑎

= 𝑈𝑈𝑞𝑞2 ∙𝑅𝑅𝑎𝑎

(𝑅𝑅𝑖𝑖 + 𝑅𝑅𝑎𝑎)2

Formel 39 Leistung bei gegebener Quellenspannung

Diese Leistungskurve hat ein Maximum:

Das Leistungsmaximum ergibt sich durch Nullsetzen der Ableitung von Formel 39 bei Ra = Ri. Dies nennt man Leistungsanpassung.

Für die Spannung ergibt sich dann 𝑈𝑈 = 12𝑈𝑈𝑞𝑞 und für den Strom 𝐼𝐼 = 𝑈𝑈𝑞𝑞

2𝑅𝑅𝑖𝑖. Also beträgt die Leistung:

𝑃𝑃𝑉𝑉𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝐼𝐼 ∙ 𝑈𝑈 =14𝑈𝑈𝑞𝑞2

𝑅𝑅𝑖𝑖

oder, bezogen auf die Quellenleistung: 𝑃𝑃𝑞𝑞 = 𝐼𝐼 ∙ 𝑈𝑈𝑞𝑞 = 𝑈𝑈𝑞𝑞2

𝑅𝑅𝑖𝑖+𝑅𝑅𝑆𝑆= 𝑈𝑈𝑞𝑞2

2𝑅𝑅𝑖𝑖

P

Ra

Formel 40 Übertragene Leistung in Abhängigkeit vom Verbraucherwiderstand


𝑃𝑃𝑉𝑉𝑎𝑎𝑥𝑥

𝑃𝑃𝑞𝑞=

12

Formel 41 Verhältnis von Verbraucherleistung und Quellenleistung bei maximalem Leistungsübertrag

Keinesfalls immer kommt es bei Übertragungen darauf an, die maximale Leistung zu übertragen. In der Informationstechnik ist es oft wichtiger, ein störungsfreies Signal zu haben, also etwa eine Spannung, die sich gut von Störspannungen abhebt.

5.3. Spannungs-, Strom- und Widerstandsmessung Ströme und Spannungen wurden früher überwiegend mit Drehspul-Messinstrumenten gemessen. Dabei erzeugt der Strom ein Magnetfeld, das einen Zeiger bewegt. Spannungen kann man so messen, indem der Strom durch einen bekannten (großen) Widerstand bestimmt wird.

Heute verwendet man zur Spannungsmessung überwiegend hochohmige Analog-Digitalwandler, die ein digitales Ausgangssignal liefern. Sie haben typischerweise einen Innenwiderstand von 10 MΩ. Durch den Stromfluss durch das Messgerät können sich die Verhältnisse in der Schaltung ändern, denn der Strom teilt sich auf in einen Anteil durch den zu messenden Schaltungsteil und einen zweiten Anteil durch das Messgerät. Im Ersatzschaltbild beschreibt man das durch einen zum idealen Spannungsmesser (mit unendlich großem Innenwiderstand) parallel geschalteten Innenwiderstand RU.

Zur Messbereichserweiterung verwendet man bei digitalen Spannungsmessgeräten meist Spannungsteiler, im Bild mit RE1 bis RE4 bezeichnet:

Abbildung 38 Messbereichserweiterung eines digitalen Spannungsmessgeräts durch Spannungsteiler

RE1

U RU

RE2 RE3 RE4

U

U RU

Abbildung 37 Ersatzschaltbild des realen Spannungsmessgeräts


Der Skalierungsfaktor für die Spannung ergibt sich dabei aus dem Verhältnis des Widerstands, über dem gemessen wird, zum Gesamtwiderstand ∑𝑅𝑅𝐸𝐸𝑖𝑖.

Zur Strommessung muss der zu messende Strom durch das Messgerät fließen. Es muss also in Reihe geschaltet werden. Damit es nicht durch einen Spannungsabfall am Messgerät zu einer Rückwirkung auf die Schaltung kommt, muss der Widerstand unendlich klein sein. Das ist natürlich nicht zu realisieren. Daher beschreibt man im Ersatzschaltbild das reale Strommessgerät als Reihenschaltung des idealen Strommessers (mit Innenwiderstand null) mit einem Innenwiderstand RI.

Technisch realisiert wird die Strommessung heute oft durch Spannungsmessung über einem kleinen Eingangswiderstand (RI). Eine Messbereichsumschaltung kann dann durch eine entsprechende Umschaltung des Messbereichs des Spannungsmessgeräts erfolgen. Möglich ist auch die Parallelschaltung von Widerständen, wodurch nur noch ein Teil des Stroms durch das Messgerät fließt.

Der Strom teilt sich dann umgekehrt zum Verhältnis RI/REi auf und muss in der Anzeige entsprechend skaliert werden.

Die Messung eines unbekannten Widerstands Rx kann natürlich auf eine Strom- und Spannungsmessung zurückgeführt werden, wodurch sich der Widerstand aus dem Ohmschen Gesetz berechnen lässt. Es gibt aber noch andere Möglichkeiten. Exemplarisch sei hier die Wheatstonsche Brückenschaltung angeführt:

A RI

Abbildung 39 Ersatzschaltbild des realen Strommessgeräts

RE1 RE2

I

A

RE3

RI

Abbildung 40 Messbereichserweiterung eines Strommessgeräts durch Parallelschaltung von Widerständen


Nach Formel 28 ergibt sich für die Spannungen bei A bzw. B:

𝑈𝑈𝐴𝐴𝑈𝑈𝑞𝑞

=𝑅𝑅3

𝑅𝑅3 + 𝑅𝑅𝑥𝑥 𝑏𝑏𝑧𝑧𝑧𝑧.

𝑈𝑈𝐵𝐵𝑈𝑈𝑞𝑞

=𝑅𝑅4

𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅4

Wählt man die Widerstände so, dass die Spannung UA – UB null ergibt, ergibt sich als Bedingung:

𝑅𝑅𝑥𝑥𝑅𝑅3

=𝑅𝑅2𝑅𝑅4

Formel 42 Abgleichsbedingung für die Wheatstonsche Brücke

Dies ist recht praktisch, da die Quellenspannung Uq gar nicht bekannt sein muss und es nur auf R3 und das Verhältnis von R2 und R4 ankommt. Bildet man R2 und R4 aus einem Körper mit konstantem Querschnitt A und spezifischem Widerstand ρ (Potentiometer), so erhält man nach Formel 16 für das Verhältnis der Widerstände (vergleiche Abbildung 26):

𝑅𝑅2𝑅𝑅4

=𝜌𝜌 𝑊𝑊𝐴𝐴

𝜌𝜌 𝐿𝐿 − 𝑊𝑊𝐴𝐴

=𝑊𝑊

𝐿𝐿 − 𝑊𝑊

Dabei wird l stufenlos von 0 (R2 = 0; R4 maximal) bis l = L (R2 maximal; R4 = 0) verstellt, bis die Brückenabgleichbedingung gemäß Formel 42 erfüllt ist, d.h., die Spannung zwischen A und B null ist. Dann ergibt sich der unbekannte Widerstand Rx zu:

𝑅𝑅𝑥𝑥 = 𝑅𝑅3 ∙𝑊𝑊

𝐿𝐿 − 𝑊𝑊

Formel 43 Bestimmung eines Widerstands mit Brückenschaltung und Potentiometer

Die Brückenschaltung lässt sich auch einsetzen, wenn die Spannung zwischen A und B nicht null ist. Der unbekannte Widerstand hängt dann auch von dieser Spannung ab.

5.4. Komplexe Netzwerke Im Allgemeinen besteht eine elektronische Schaltung aus sehr vielen Bauelementen bzw. ein Netzwerk aus sehr vielen Netzwerkelementen. Es enthält mindestens zwei Knoten. Den Teil zwischen zwei Knoten bezeichnet man als Zweig. Ein Zweig kann aus einem Netzwerkelement bestehen oder auch aus mehreren, z.B. aus der Reihenschaltung einer Spannungsquelle und eines Widerstands. Durchläuft man mehrere Knoten so, dass man keinen doppelt berührt und am Ende wieder am

Uq U

Rx

R3

R2

R4

A B

Abbildung 41 Wheatstonsche Messbrücke


Anfangsknoten ankommt (den man in diesem Sinn natürlich schon einmal berührt hat, erhält man eine Masche.

Das Netzwerk in Abbildung 42 hat vier Knoten, K1 bis K4, und sechs Zweige, von denen alle bis auf einen nur aus einem Widerstand bestehen. Bei einer Analyse des Netzwerks sind alle Ströme I1 bis I6 zu berechnen. Dazu hat man die beiden Kirchhoffschen Gleichungen zur Verfügung sowie die Strom-Spannungsbeziehungen (visualisiert durch die Kennlinien) aller Zweige. Bei den Widerständen sind diese durch das Ohmsche Gesetz gegeben.

Aus dem 1. Kirchhoffschen Gesetz (Knotensatz) erhält man für die vier Knoten vier Gleichungen, von denen aber nur drei unabhängig sind (die vierte ergibt sich durch Addition und Subtraktion der anderen drei, „K1“+ „K2“+ „K2“= -„K4“):

𝐾𝐾1: 𝐼𝐼1 − 𝐼𝐼2 − 𝐼𝐼5 = 0 𝐾𝐾2: 𝐼𝐼2 + 𝐼𝐼3 − 𝐼𝐼4 = 0 𝐾𝐾3: 𝐼𝐼5 + 𝐼𝐼6 − 𝐼𝐼3 = 0 𝐾𝐾4: 𝐼𝐼4 − 𝐼𝐼1 − 𝐼𝐼6 = 0

Weiterhin kann man drei unabhängige Maschen identifizieren, M1, M2 und M3. Daraus ergibt sich nach dem 2. Kirchhoffschen Gesetz (Maschengleichung) unter Berücksichtigung des Ohmschen Gesetzes:

𝑀𝑀1 : − 𝑈𝑈𝑞𝑞 + 𝑅𝑅1𝐼𝐼1 + 𝑅𝑅2𝐼𝐼2 + 𝑅𝑅4𝐼𝐼4 𝑀𝑀2: 𝑅𝑅4𝐼𝐼4 + 𝑅𝑅6𝐼𝐼6 + 𝑅𝑅3𝐼𝐼3 = 0 𝑀𝑀3: 𝐼𝐼5𝑅𝑅5 + 𝑅𝑅3𝐼𝐼3 − 𝑅𝑅2𝐼𝐼2 = 0

Formel 44 (gemeinsam mit oben) Gleichungssystem mit sechs Gleichungen für sechs unbekannte Ströme

So hat man insgesamt sechs lineare Gleichungen für die sechs Unbekannten I1 bis I6. Das lässt sich lösen, z.B. mit der Determinantenmethode oder dem Gauß’schen Eliminationsverfahren.

Allgemein ergibt ein Netzwerk mit k Knoten und z Zweigen k-1 unabhängige Gleichungen aus dem Knotensatz und z - (k-1) unabhängige Gleichungen aus dem Maschensatz. Hinzu kommen z Gleichungen für die Beziehung zwischen Strom und Spannung in den Zweigen. Insgesamt ergibt dies 2z Gleichungen für 2z Unbekannte (jeweils die Ströme und Spannungen in den Zweigen).

Da die Strom-Spannungsbeziehungen nicht immer linear sind, handelt es sich i.d.R. um ein nichtlineares Gleichungssystem. Bei Wechselströmen und Netzwerkelementen, die Energie in einem

R1

Uq

K1

R2 R3

R4 R6

R5

K3 K2

K4

I1

I2

I5

I4

I3

I6

M3

M1 M2

Abbildung 42 Netzwerk aus vier Knoten


elektromagnetischen Feld speichern (Spulen, Kondensatoren), treten neben den gesuchten Größen auch deren Ableitungen auf. Das ergibt dann ein System nichtlinearer Differentialgleichungen. Auch solche Gleichungssysteme sind lösbar, allerdings bis auf besonders einfach Fälle nicht analytisch. Heute setzt man dafür häufig Computerprogramme ein, z.B. SPICE.

5.5. Maschenstrom-Verfahren Eine vereinfachte Analyse von Netzwerken gelingt, wenn man Maschenströme als Hilfsvariablen einführt.

Abbildung 43 zeigt dasselbe Netzwerk wie Abbildung 42. Eingezeichnet sind die (gedachten) Ströme, die in den drei Maschen M1, M2 und M3 fließen. Sie sind nur dort messbar, wo sie in einem Zweig alleine den Strom bilden. Für die Zweigströme I1 bis I6 gilt:

𝐼𝐼1 = 𝐼𝐼𝑉𝑉1 𝐼𝐼2 = 𝐼𝐼𝑉𝑉1 − 𝐼𝐼𝑉𝑉3 𝐼𝐼3 = 𝐼𝐼𝑉𝑉2 + 𝐼𝐼𝑉𝑉3 𝐼𝐼4 = 𝐼𝐼𝑉𝑉1 + 𝐼𝐼𝑉𝑉2 𝐼𝐼5 = 𝐼𝐼𝑉𝑉3 𝐼𝐼6 = 𝐼𝐼𝑉𝑉2

Formel 45 Zusammenhang zwischen Zweig- und Maschenströmen

In den Maschen M1 bis M3 kann man nun das 2. Kirchhoffsche Gesetz anwenden, wobei man für den Spannungsabfall an einem Widerstand natürlich alle Maschenströme berücksichtigen muss, die ihn durchfließen. Es ergibt sich im obigen Beispiel:

(R1 + R2 + R4) Im1 + R4 Im2 - R2 Im3 = Uq

R4 Im1 + (R3 + R4 + R6) Im2 + R3 Im3 = 0

-R2 Im1 + R3 Im2 + (R5 + R3 + R2) Im3 = 0

Formel 46 Gleichungssystem mit drei Gleichungen für drei unbekannte Maschenströme

Das ist ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen für die drei Unbekannten Im1 bis Im3. Die Komplexität dieses Gleichungssystems ist halb so groß wie das von Formel 44 mit sechs Gleichungen. Es lässt sich wiederum mit der Determinantenmethode oder dem Gauß’schen Eliminationsverfahren

R1

Uq

K1

R2 R

3

R4 R

6

R5

K3 K

2

K4

I1

I2

I5

I4

I3

I6

Im3

Im1 Im2

Abbildung 43 Netzwerk mit Maschenströmen


lösen. Aus den Maschenströmen müssen dann noch die Zweigströme gemäß Formel 45 berechnet werden.

Man erkennt in Formel 46, dass vor den Maschenströmen die jeweils durchflossenen Widerstände stehen unter Berücksichtigung der Stromrichtung. Auf der rechten Seite der Gleichung steht die Spannung der Spannungsquelle, falls in der Masche eine vorhanden ist. Ist in der Masche eine ideale Stromquelle vorhanden, lässt sich das Maschenstromverfahren nicht anwenden, da eine ideale Stromquelle keine eindeutige Zuordnung von Strom zu Spannung hat (vergleiche Abbildung 13). In diesem Fall kann es gelingen, ein Teilnetzwerk mit der idealen Stromquelle in eine reale Spannungsquelle umzuwandeln (siehe Kapitel 5.7).

Das Maschenstromverfahren stellt ein effektives Werkzeug zur Analyse von Netzwerken dar. Es gliedert sich in die Verfahrensschritte:

- Ermittlung aller unabhängigen Maschen (Maschen sind unabhängig, wenn sich die Gleichung einer Masche nicht durch Addition oder Subtraktion der Gleichung der anderen Maschen darstellen lässt. In Abbildung 43 wären die Maschen M1, M2 und die Masche, die über K1, K2, K3 und K4 läuft, nicht unabhängig.)

- Definition eines Maschenstroms für jede Masche. - Anwendung des 2. Kirchhoffschen Gesetzes für jede Masche und Ausdrücken der

Spannungen durch die Maschenströme. - Lösung des Gleichungssystems für die Maschenströme. - Ermittlung der Zweigströme aus den Maschenströmen.

Das Verfahren kann auch für nichtlineare Netzwerke verwendet werden, wenn die Strom-Spannungsbeziehungen bekannt sind.

5.6. Überlagerungssatz Das Netzwerk von Abbildung 43 ließe sich erweitern um eine Stromquelle.

In einem solchen linearen Netzwerk mit mehreren Quellen lässt sich die Analyse vereinfachen, indem jeweils nur eine Quelle berücksichtigt wird und die anderen Quellen zu null gesetzt werden. Das Gesamtergebnis erhält man dann, indem man die Teilergebnisse für die einzelnen Quellen addiert.

R1

Uq

K1

R2 R

3

R4 R

6

R5

K3 K

2

I1

I2

I5

I4

I3

I6

Iq

Abbildung 44 Netzwerk mit Spannungs- und Stromquelle


Das ist der Inhalt des Überlagerungssatzes:

In einem linearen Netzwerk mit mehreren unabhängigen Quellen (Spannungs- oder Stromquellen) können die Ströme und Spannungen in den Zweigen berechnet werden als Summe der Ströme und Spannungen für jeweils nur eine Quelle bei Nullsetzung aller anderen Quellen. Nullsetzen heißt bei idealen Spannungsquellen, dass Spannung und Widerstand null sind (Kurzschluss), bei idealen Stromquellen, dass Strom und Leitwert null sind (Auftrennung). Bei realen Spannungs- und Stromquellen bleiben die Innenwiderstände bzw. –Leitwerte in der Schaltung erhalten.

Abbildung 45 zeigt die Schaltung aus Abbildung 44, wenn jeweils eine der Quellen zu null gesetzt ist.

Der Überlagerungssatz gilt nur für lineare Netzwerke, da hier Strom und Spannung proportional sind.

Als Beispiel für ein nicht lineares Netzwerk sei ein Netzwerk mit einer Diode betrachtet, die oberhalb von 0,5 V Strom durchlässt und unterhalb sperrt. Erhält man nun für die Analyse mit der ersten Quelle eine Spannung von 0,4 V an der Diode, wird kein Strom fließen. Die Analyse mit einer zweiten Quelle möge 0,3 V erbringen, also auch keinen Strom. Bildet man nun die Summe, erhält man für die Spannung 0,7 V und für den Strom 0 A. Bei 0,7 V ist die Diode aber durchlässig, es fließt also Strom. Für dieses nicht lineare Netzwerk gilt der Überlagerungssatz eben nicht.

Auch bei linearen Netzwerken gilt der Überlagerungssatz nicht für Leistungen. Es sei ein Widerstand R betrachtet, für den mit Quelle 1 die Spannung U1 und der Strom I1 berechnet wurde. Dies ergibt die Leistung P1 = U1

.I1. Für die Quelle 2 ergeben sich (zufällig) dieselben Werte, also P2 = U1.I1. Nach dem

Überlagerungssatz ist nun U = 2.U1 und I = 2.I1. Daraus ergibt sich eine Leistung von P = 4U1.I1.

Andererseits ergibt die Summe der Leistungen nur 2U1.I1.

5.7. Ersatzquellen Bei komplexen Netzwerken ist es oft hilfreich, wenn man einzelne Teilnetze vereinfacht und zusammenfasst. Das ist immer dann sinnvoll, wenn es nur auf das Spannungs-Stromverhalten an den Anschlussklemmen ankommt und nicht darauf, was im Einzelnen im Innern der Schaltung passiert.

R1

Uq

K1

R2 R

3

R4 R

6

K3 K

2

I1

I2

I4

I3

I6

R1

K1

R2 R

3

R4 R

6

K3 K

2

I1

I2

I4

I3

I6

Iq

R5 R

5

Teilschaltung nur mit Quelle 1 (Spannungsquelle)

Teilschaltung nur mit Quelle 2 (Stromquelle)

Abbildung 45 Teilschaltungen mit Quelle 1 und Quelle 2 (zum Überlagerungssatz)


An dieser Stelle werden lineare aktive Zweipole behandelt, die aus einer oder mehreren Spannungs- und Stromquellen und linearen passiven Netzwerkelementen (Widerständen) bestehen. Es gilt nun der Satz von Thevenin bzw. Helmholtz:

Jeder lineare aktive Zweipol ist durch eine Spannungsquellen-Ersatzschaltung darstellbar.

Zur Ermittlung der charakterisierenden Größen Quellenspannung Uq, Innenwiderstand Ri und

Kurzschlussstrom 𝐼𝐼𝑘𝑘 = 𝑈𝑈𝑞𝑞𝑅𝑅𝑖𝑖

kann man so vorgehen:

- Alle idealen Spannungsquellen werden kurzgeschlossen und alle idealen Stromquellen werden aufgetrennt (Spannungs- und Stromquellen werden zu null gesetzt). Der dann berechnete Widerstand/Leitwert ist gleich dem Innenwiderstand Ri /Leitwert Gi der Ersatzschaltung.

- Der Zweipol wird kurzgeschlossen. Der dann berechnete Strom ist gleich dem Kurzschlussstrom Ik. Aus Innenwiderstand und Kurzschlussstrom kann die Quellenspannung Uq berechnet werden, oder

- an den Klemmen wird die Leerlaufspannung Ul berechnet. Aus dem Leitwert bzw. dem Widerstand wird dann der Quellenstrom Iq berechnet.

Ein Sonderfall wurde schon in 4.4 mit der Äquivalenz von Strom- und Spannungsquellen behandelt.

Gleichermaßen gilt umgekehrt das Mayer-Norton-Theorem:

Jeder lineare aktive Zweipol ist durch eine Stromquellen-Ersatzschaltung darstellbar.

Abbildung 46 Umwandlung eines aktiven linearen Zweipols in eine Spannungsquelle

Uq Ri Beliebiger aktiver

linearer Zweipol

Abbildung 47 Umwandlung eines aktiven linearen Zweipols in eine Stromquelle

Iq Ri Beliebiger aktiver

linearer Zweipol


Die charakteristischen Größen werden wie oben ermittelt.

Auch hier wurde bereits der Sonderfall der Umwandlung einer Spannungs- in eine Stromquelle behandelt.

Ersatzquellen lassen sich nicht finden für den Fall, dass das Netzwerk lediglich aus einer idealen Spannungsquelle oder einer idealen Stromquelle besteht. Eine ideale Stromquelle würde eine Spannungs-Ersatzquelle mit unendlich großem Widerstand erfordern, eine ideale Spannungsquelle eine Stromquelle mit Innenwiderstand null.

5.8. Netzumwandlungen, Zweipoltheorie Ziel der vorangegangenen Abschnitte war es, verschiedene Möglichkeiten für die Umwandlung und Berechnung von Netzwerken aufzuzeigen. Je nachdem, wie das Netzwerk aufgebaut ist und welche Werte man berechnen möchte, können verschiedene Instrumente genutzt werden:

- Zusammenfassung von Widerständen nach den Regeln der Reihen- und Parallelschaltung - Stern-Dreieck- und Dreieck-Stern-Umwandlung - Umwandlung von Spannungs- in Stromquellen und umgekehrt - Netzwerkumwandlung nach dem Satz von Thevenin bzw. Helmholtz oder dem Mayer-

Norton-Theorem

Wenn es beispielsweise in der Schaltung von Abbildung 42 nur auf den Quellenstrom ankommt, lässt sich das Netzwerk mit der Dreieck-Stern-Umwandlung so beschreiben:

Man erkennt, dass sich das Netzwerk auf der rechten Seite von Abbildung 48 als Spannungsquelle mit einem einzigen Widerstand darstellen lässt. Das allerdings fordert ja auch der Satz von Thevenin. Damit weiß ich dann allerding nicht, welche Ströme und Spannungen im Innern vorliegen. Die könnte man aber durch Rückwärtsumformung Schritt für Schritt ermitteln.

Zur Berechnung von Netzwerken lässt sich aus den Knoten und Maschen unter Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze und der Spannungs-Strombeziehungen ein Gleichungssystem für die unbekannten Ströme und Spannungen ermitteln, das sich im linearen Fall mit dem

R1

Uq

R2 R3

R4 R6

R5

R1

Uq

R2 RS3

RS4 RS6

R5

Abbildung 48 Schaltung mit Dreieck-Stern-Umwandlung


Determinantenverfahren oder dem Gauß’schen Eliminationsverfahren lösen lässt. Vereinfachen lässt sich die Berechnung mit dem Maschenstromverfahren. Sind mehrere Quellen beteiligt, kann der Überlagerungssatz angewendet werden.

Die vorgestellten Methoden der Vereinfachung bzw. Umwandlung von Widerstandsschaltungen, der Umwandlung von Spannungs- in Stromquellen (und umgekehrt) sowie der Anwendung der Ersatzquellensätze einschließlich der Methoden zur Berechnung der Kenngrößen bilden die Zweipoltheorie. Sie lassen sich anwenden, wenn es gelingt, Zweige eines Netzwerks mit zwei Anschlüssen zu identifizieren. Damit können größere Netzwerke vereinfacht werden.

Neben den rechnerischen Methoden lassen sich die Größen auch experimentell bestimmen. Dazu muss das Netzwerk aufgetrennt werden. Bei der Ermittlung des Kurzschlussstroms kann es allerdings zu einer Überlastung der Quellen kommen.


6. Elektromagnetisches Feld

6.1. Feldtheorien

In Abschnitt 3.5 wurde der Begriff des elektrischen Feldes eingeführt als Eigenschaft des Raumes, die durch eine elektrische Ladung hervorgerufen wird und durch eine Kraftwirkung auf eine zweite Ladung gemessen werden kann.

𝑬𝑬 =𝑭𝑭𝑄𝑄

Das Feldkonzept kann erweitert werden auf beliebige Ladungsverteilungen und auch auf magnetische Kräfte. Im 19. Jahrhundert wurde aus Experimenten durch Hans Christian Oersted, André Marie Ampère, Michael Faraday, James Clerk Maxwell und andere die Theorie des elektromagnetischen Feldes aufgestellt, die in wenigen Gleichungen beschrieben werden kann. Damit lässt sich im Prinzip alles berechnen, was auf der elektromagnetischen Wechselwirkung beruht.

Mit Ausnahme der Vorgänge in Atomkernen und Elementarteilchen sowie der Gravitation beruht fast alles, was unser Leben bestimmt, auf dem elektromagnetischen Feld: Chemische Bindung, Aufbau der Materie, Mechanik, Licht, Optik, Elektronik, Funkwellen. Wenn man etwa eine Kerze anzündet, benutzt man ein Streichholz (zusammengehalten durch elektromagnetische Kräfte), verwendet die Reibung an einer Reibefläche (ein elektromagnetischer Vorgang) um einen chemischen (elektromagnetischen) Prozess in Gang zu setzen, der Licht (elektromagnetische Strahlung) und Wärme (elektromagnetische Strahlung) erzeugt.

Erstaunlicherweise erwies sich die Theorie der Elektrodynamik sogar noch als gültig bei Einführung der speziellen Relativitätstheorie Anfang des 20. Jahrhunderts durch Albert Einstein. Einstein griff auf Gleichungen von Hendrik Antoon Lorentz zurück, die dieser unter der Annahme aufgestellt hatte, dass sich das Licht in einem „Äther“ mit konstanter Geschwindigkeit ausbreitet. Es war die Leistung von Einstein, zu erkennen, dass es diesen Äther als materiellen Stoff nicht gibt. Elektromagnetische Strahlung breitet sich in jedem geradlinig gleichförmig bewegten Bezugssystem mit der gleichen Geschwindigkeit aus. Daraus ergibt sich zwingend die Längenkontraktion und die Zeitdilatation, d.h. die Längen von Objekten in relativ zueinander bewegten Bezugssystemen sind unterschiedlich und die Zeit verläuft unterschiedlich.

Das Erstaunliche an der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit wird deutlich, wenn man Abbildung 49 betrachtet, bei der sich ein Wagen mit dem bewegten Beobachter mit der Geschwindigkeit vWagen relativ zum ruhenden Beobachter bewege. Beide Beobachter betrachten einen Ball, der sich mit der

vWagen

VBall

Abbildung 49 Zur speziellen Relativitätstheorie


Geschwindigkeit vBall im ruhenden System bewege. Der bewegte Beobachter wird natürlich eine andere Geschwindigkeit des Balls messen. Insbesondere wird er die Geschwindigkeit null messen, wenn er sich mit dem Wagen genauso schnell bewegt wie der Ball. Das wird beschrieben durch die Galilei-Transformation. Wenn 𝒓𝒓𝐵𝐵𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒 die Koordinaten des Balls im ruhenden Bezugssystem sind, 𝒓𝒓′𝐵𝐵𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒 die Koordinaten in dem System, das sich gegenüber dem ruhenden System mit der Geschwindigkeit 𝒗𝒗𝑊𝑊𝑎𝑎𝑘𝑘𝑒𝑒𝑛𝑛 bewegt, dann ergibt die Transformation:

𝒓𝒓𝐵𝐵𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝒓𝒓′𝐵𝐵𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒 + 𝒗𝒗𝑊𝑊𝑎𝑎𝑘𝑘𝑒𝑒𝑛𝑛 ∙ 𝑚𝑚

Formel 47 Galilei-Transformation (Sonderfall)

Dies setzt voraus, dass zum Zeitpunkt t = 0 die Ursprünge der beiden Koordinatensysteme am gleichen Ort waren. Die Zeit wird bei der Galilei-Transformation nicht transformiert, es gilt also: t‘ = t. Bildet man nun die Ableitung nach der Zeit, ergibt sich:

d𝒓𝒓𝐵𝐵𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵d𝑡𝑡

= 𝒗𝒗𝐵𝐵𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒 = d𝒓𝒓′𝐵𝐵𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵d𝑡𝑡

+ 𝒗𝒗𝑊𝑊𝑎𝑎𝑘𝑘𝑒𝑒𝑛𝑛 bzw. d𝒓𝒓′𝐵𝐵𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵d𝑡𝑡

= 𝒗𝒗′𝐵𝐵𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝒗𝒗𝐵𝐵𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒 − 𝒗𝒗𝑊𝑊𝑎𝑎𝑘𝑘𝑒𝑒𝑛𝑛.

Das entspricht der Anschauung. Wenn sich der Ball mit 5 m/s bewegt und man fährt daneben mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s, dann bewegt sich der Ball relativ dazu nur noch mit 1 m/s.

Anders ist es nun, wenn statt des Balls eine elektromagnetische Welle beobachtet wird. Beide Beobachter messen exakt die gleiche Geschwindigkeit, selbst wenn sich der Beobachter mit 99,9% der Lichtgeschwindigkeit bewegen würde. Angewandt auf das Bild oben hieße das: Der Ball bewegt sich mit 5 m/s im ruhenden System. Man bewegt sich nun mit 4,9 m/s in die gleiche Richtung und misst immer noch die Geschwindigkeit 5 m/s.

Dieses scheinbar paradoxe Verhalten erklärt sich, wenn man anstatt der Galilei-Transformation die Lorentztransformation verwendet. Verläuft die Geschwindigkeit v des bewegten Bezugssystems entlang der x-Achse und fallen die beiden Bezugssystem zum Zeitpunkt t = t‘ zusammen, so gilt:

𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥−𝑣𝑣∙𝑡𝑡

�1−𝑣𝑣2

𝑐𝑐2

𝑦𝑦′ = 𝑦𝑦 𝑧𝑧′ = 𝑧𝑧 und 𝑚𝑚′ =𝑡𝑡− 𝑣𝑣

𝑐𝑐2𝑥𝑥

�1−𝑣𝑣2

𝑐𝑐2

Formel 48 Lorentz-Transformation

Beobachtet man im bewegten Bezugssystem eine Geschwindigkeit u‘ parallel zur x-Achse, so misst man im ruhenden System:

𝑢𝑢 =𝑢𝑢′ + 𝑣𝑣

1 + 𝑢𝑢′ ∙ 𝑣𝑣𝑐𝑐2

𝑏𝑏𝑧𝑧𝑧𝑧. 𝑢𝑢′ =𝑢𝑢 − 𝑣𝑣

1 − 𝑢𝑢 ∙ 𝑣𝑣𝑐𝑐2

Formel 49 relativistische Addition von Geschwindigkeiten

Es muss das Ziel einer Theorie sein, dass die Gesetze auch bei Transformation in ein anderes Bezugssystem gelten. Dies ist für die Theorie des Elektromagnetismus mit der Galilei-Transformation nicht gegeben, wohl aber mit der Lorentz-Transformation.

Die Gleichungen der Elektrodynamik gelten also auch bei Anwendung der relativistischen Transformationen.

Im Rahmen der Quantenphysik wurde die Theorie des Elektromagnetismus durch Richard Feynman und andere in der Mitte des 20. Jahrhunderts zur Quantenelektrodynamik weiterentwickelt, bei der die Wechselwirkung zwischen geladenen Teilchen mittels Photonen beschrieben wird. Diese Theorie


konnte in den 1970-er Jahren von Steven Weinberg und anderen mit der Theorie für die schwache Wechselwirkung (verantwortlich z.B. für den Zerfall des Neutrons) zur Elektroschwachen Theorie vereinheitlicht werden. Es gibt Ansätze, diese mit der Theorie der starken Wechselwirkung zu vereinen, die die Wechselwirkung von Quarks beschreibt.

Als besonders sperrig erweist sich die Einbindung der Gravitation in eine allgemeine Theorie der Wechselwirkungen. Die Einsteinsche Allgemeine Relativitätstheorie hat sich bisher in allen Experimenten als erfolgreich erwiesen. Sie hat aber einen ganz anderen Ansatz als alle oben genannten Theorien und beschreibt Gravitation als Krümmung der Raumzeit, hervorgerufen durch Materie. Sie beruht u.a. auf der Annahme, dass es prinzipiell unmöglich ist zu unterscheiden, ob man sich in einem Gravitationsfeld befindet oder in einem beschleunigten System. Ebenso lässt es sich nicht unterscheiden, ob ein System in der Schwerelosigkeit (ohne Gravutationskraft) oder im freien Fall ist.

Abbildung 50 Äquivalenz von träger und schwerer Masse

Da in einem beschleunigten System ein Lichtstrahl abgelenkt wird, muss dies auch in einem Gravitationsfeld so sein.

Dem menschlichen Geist wird es sicher noch gelingen, zu einer einheitlichen Theorie aller bekannten Wechselwirkungen zu kommen, wenn er seine Spezie nicht vorher selbst eliminiert.

6.2. Elektrisches Feld im Vakuum

Das elektrische Feld einer Punktladung wird durch Formel 9 beschrieben. Wie man sieht, nimmt die Feldstärke quadratisch mit dem Abstand von der Ladung ab. Die Richtung der Feldstärke ist immer auf die Ladung hin gerichtet (bei negativer Ladung) oder genau entgegengesetzt (bei positiver Ladung).

Beschleunigung a Gravitationskraft Fg

Lichtstrahl

Abbildung 51 Elektrisches Feld einer Punktladung


Die Linien werden als Feldlinien bezeichnet und dienen der Visualisierung eines Felds. Die Tangente an die Feldlinie ergibt die Richtung des elektrischen Feldes in einem Punkt (bei der Punktladung fallen die Tangenten mit den Feldlinien zusammen). Die Dichte der Feldlinien gibt die Stärke des Feldes an. Im obigen Beispiel erkennt man, dass die Dichte mit dem Abstand von der Ladung abnimmt.

Nach Formel 13 ergibt sich für das Potenzial der Punktladung:

𝜑𝜑𝑔𝑔1 − 𝜑𝜑𝑔𝑔2 = 𝑈𝑈𝑔𝑔1𝑔𝑔2 = ∫ 𝑬𝑬(𝒓𝒓) ∙ 𝒅𝒅𝒓𝒓𝒓𝒓𝟏𝟏𝒓𝒓𝟏𝟏

.

Beschränkt man sich auf die Betrachtung eines Wegs entlang einer Feldlinie, so sind das Feld und die Richtung der Bewegung parallel. Dann kann man für den Fall schreiben, dass die felderzeugende Ladung bei r = 0 ist:

𝜑𝜑𝑔𝑔1 − 𝜑𝜑𝑔𝑔2 = � 𝐸𝐸(𝑠𝑠)𝑑𝑑𝑠𝑠

𝑔𝑔2

𝑔𝑔1

= �𝑄𝑄

4𝜋𝜋𝜋𝜋0

𝑔𝑔2

𝑔𝑔1

1𝑠𝑠2𝑑𝑑𝑠𝑠 = −

𝑄𝑄4𝜋𝜋𝜋𝜋0

�1𝑠𝑠2−

1𝑠𝑠1� =


�1𝑠𝑠1−

1𝑠𝑠2�.

Wählt man nun r2 im Unendlichen und setzt dort das Potenzial gleich null, erhält man:

𝜑𝜑𝑔𝑔 =𝑄𝑄

4𝜋𝜋𝜋𝜋01𝑠𝑠

bzw. wenn die Ladung bei 𝒓𝒓𝒊𝒊 ist: 𝜑𝜑𝑔𝑔 =𝑄𝑄

4𝜋𝜋𝜋𝜋01

|𝒓𝒓 − 𝒓𝒓𝒊𝒊|

Formel 50 Elektrisches Potenzial einer Punktladung im Vakuum

Das Potenzial einer Punktladung nimmt also mit 1/r ab.

Wenn es mehrere Ladungen gibt, überlagern sich die von ihnen hervorgerufenen Kräfte durch Addition (Superpositionsprinzip). Somit gilt für das elektrische Feld:

𝑬𝑬(𝒓𝒓) = �𝑭𝑭𝑖𝑖𝑄𝑄𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

=1

4𝜋𝜋𝜋𝜋0�

𝑄𝑄𝑖𝑖(𝒓𝒓 − 𝒓𝒓𝑖𝑖)2

𝒓𝒓 − 𝒓𝒓𝒊𝒊|𝒓𝒓 − 𝒓𝒓𝑖𝑖|

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

Formel 51 Elektrisches Feld mehrerer Punktladungen im Vakuum

Die Potenziale der einzelnen Ladungen addieren sich ebenfalls:

𝜑𝜑𝑔𝑔 =1


𝑄𝑄𝑖𝑖|𝒓𝒓 − 𝒓𝒓𝑖𝑖|

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

Formel 52 Potenzial mehrerer Punktladungen im Vakuum

Ein interessanter Sonderfall liegt vor, wenn zwei gleich große Ladungen Q mit entgegengesetztem Vorzeichen in einem Abstand d angeordnet sind. Man nennt dies einen elektrischen Dipol.


Nimmt man an, dass die positive Ladung am Ort r = d und die negative Ladung bei r = 0 ist, ergibt sich für das Potenzial des Dipols:

𝜑𝜑𝑔𝑔 =1


𝑄𝑄|𝒓𝒓 − 𝒅𝒅| −

𝑄𝑄|𝒓𝒓|� =


|𝒓𝒓| − |𝒓𝒓 − 𝒅𝒅||𝒓𝒓| ∙ |𝒓𝒓 − 𝒅𝒅|

Einem solchen elektrischen Dipol lässt sich ein elektrisches Dipolmoment zuordnen mit 𝒑𝒑 =Qd.

Besonders einfach lässt sich das elektrische Potenzial in großem Abstand schreiben:

𝜑𝜑𝒓𝒓 =1

4𝜋𝜋𝜋𝜋0𝒑𝒑 ∙ 𝒓𝒓𝑠𝑠3

Formel 53 Elektrisches Potenzial eines Dipols im Vakuum im großen Abstand

Das elektrische Potenzial des Dipols nimmt also mit 1/r2 ab (man beachte das r im Zähler). Somit nimmt es schneller ab als das Potenzial einer Punktladung, das gemäß Formel 50 mit 1/r abnimmt.

Punktladungen (Monopole) sowie Dipole sind Beispiele für Multipole, mit denen sich eine räumlich begrenzte Ladungsanordnung in großem Abstand näherungsweise beschreiben lässt. Der nächste Multipol wäre der Quadrupol. Dies ist eine Anordnung aus zwei Dipolen:

Abbildung 53 Elektrischer Quadrupol

In sehr großem Abstand dominiert immer der Term des Monopols: Von weitem betrachtet sieht jede begrenzte Ladungsverteilung, die eine von null verschiedene Gesamtladung hat, wie eine Punktladung aus. Wenn die Gesamtladung null ist, kann in großem Abstand der Term des Dipols oder des Quadrupols dominieren. Nach dem Quadrupol käme der Oktupol.

+

+

-

-

Abbildung 52 Elektrisches Feld eines Dipols

d


Ein weiterer interessanter Sonderfall stellt eine Anordnung aus zwei leitenden Körpern dar, die voneinander isoliert sind (Kondensator). Legt man eine Spannung an, werden Ladungen von einem Körper zum anderen verschoben, so dass zwischen den Körpern ein elektrisches Feld entsteht.

Abbildung 54 Elektrisches Feld eines Kondensators

Die Ladung Q, die von einem Körper zum anderen verschoben wird, ist proportional zur Spannung U. Die Proportionalitätskonstante heißt Kapazität und wird mit dem Buchstaben C gekennzeichnet:

𝑄𝑄 = 𝐶𝐶 ∙ 𝑈𝑈 𝑏𝑏𝑧𝑧𝑧𝑧. 𝐶𝐶 =𝑄𝑄𝑈𝑈

Formel 54 Definition der Kapazität

Die Einheit der Kapazität ergibt sich aus der Definition zu [𝐶𝐶] = 𝐴𝐴∙𝐴𝐴𝑉𝑉

= F und wird als Farad bezeichnet.

Bei der Berechnung der Arbeit zum Aufbau des Kondensatorfelds muss man berücksichtigen, dass zunächst ja noch kein Feld im Innern besteht. Dann wird die erste Ladung von einer zur anderen Platte transportiert. Dadurch entsteht ein Feld. Die nächste Ladung muss nun bereits gegen dieses Feld zur anderen Platte transportiert werden und so fort. Für jeden Ladungsanteil gilt: ∆𝑊𝑊 = 𝑈𝑈 ∙ ∆𝑞𝑞. Dabei ändert sich aber die Spannung so lange, bis die Spannung der Spannungsquelle erreicht ist. Aus der Summe über alle Arbeitsanteile lässt sich dann die Gesamtarbeit berechnen:

𝑊𝑊 = lim∆𝑞𝑞→0

�𝑈𝑈𝑖𝑖∆𝑞𝑞 = � 𝑈𝑈(𝑞𝑞)𝑑𝑑𝑞𝑞 = �𝑞𝑞𝐶𝐶𝑑𝑑𝑞𝑞

𝑄𝑄

0=

12𝑄𝑄2

𝐶𝐶

𝑄𝑄

0

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

Mit Formel 54 wird daraus:

𝑊𝑊 =12𝐶𝐶𝑈𝑈2

Formel 55 Energie des Kondensatorfelds

Die Arbeit ist in Form elektrischer Energie im Kondensatorfeld gespeichert und kann auch wieder als elektrischer Strom abgegeben werden. Daher werden Kondensatoren auch zur Speicherung von Energie verwendet, etwa zum Ausgleich von Spannungsschwankungen in elektrischen Schaltungen, aber auch zur kurzfristigen Freisetzung großer Energiemengen in elektrischen Antrieben (Superkondensatoren bzw. Supercaps).

Die Kapazitäten von Kondensatoren reichen von kleiner 1 μF bis zu 105 F.

U


6.3. Elektrisches Feld in Nichtleitern

Nichtleiter, Isolatoren oder Dielektrika sind Materialien, in denen Ladungsträger nicht frei beweglich sind. Sie sind an Atome oder Moleküle gebunden, die elektrisch neutral sind. Bringt man ein solches Material in ein elektrisches Feld, wirken Kräfte auf die gebundenen Ladungsträger.

Abbildung 55 Polarisation von Dielektrika

Atome bzw. Moleküle ohne Dipolmoment erhalten ein Dipolmoment und Moleküle mit Dipolmoment richten sich im elektrischen Feld aus. Dies passiert bei sehr vielen Atomen bzw. Molekülen und man nennt das die Polarisation des Dielektrikums. Aus einem Material ohne elektrische Vorzugsrichtung wird eine Anordnung von in Richtung des externen elektrischen Felds ausgerichteter Dipole. Diese ausgerichteten Dipole erzeugen ihrerseits ein elektrisches Feld, das dem äußeren elektrischen Feld entgegengesetzt ist, wie Abbildung 55 zeigt. Das Gesamtfeld ergibt sich aus der Addition des äußeren Felds mit dem Feld der Dipole und ist somit immer kleiner als das äußere Feld.

Beschrieben wird der Effekt des polarisierten Dielektrikums durch die Polarisation P, die ein Maß für die erzeugten bzw. ausgerichteten Dipolmomente pro Volumen ist. Die Einheit der Polarisation ergibt sich somit zu [𝑷𝑷] = 𝐶𝐶∙𝑉𝑉

𝑉𝑉3 = 𝐶𝐶𝑉𝑉2 .

In einem homogenen, isotropen linearen Medium ist die Polarisation proportional zum elektrischen Feld:

𝑷𝑷 = 𝜋𝜋0𝜒𝜒𝑬𝑬

Formel 56 Elektrische Polarisation im homogenen linearen isotropen Medium

Dabei ist ε0 die elektrische Feldkonstante und χ die elektrische Suszeptibilität, eine dimensionslose materialabhängige Zahl. Im allgemeinen Fall gibt es keinen linearen Zusammenhang zwischen Polarisation und elektrischer Feldstärke. Sie können sogar unterschiedliche Richtungen haben.

Ea (äußeres elektrisches Feld)

(bipolareMoleküle)

+ +

+

+

-

- -

ED (elektrisches Feld der Dipole)

Ohne elektrisches Feld

(monopolare Atome/Moleküle)


Ein Dielektrikum schwächt also das äußere Feld. Im Coulombgesetz (Formel 2) ist die relative Permittivität ԑr diejenige Zahl, die die feldschwächende Wirkung des Dielektrikums beschreibt. Auch in vielen anderen Gleichungen erhält man die Verhältnisse in einem Dielektrikum, wenn man 𝜋𝜋 = 𝜋𝜋0 ∙ 𝜖𝜖𝑔𝑔 schreibt und für die relative Permittivität den Wert des Mediums wählt. So verhalten sich die elektrischen Felder im Vakuum und im Dielektrikum (bei gleichen erzeugenden Ladungen) wie:

𝐸𝐸𝑉𝑉𝑎𝑎𝑘𝑘𝑧𝑧𝑧𝑧𝑉𝑉𝐸𝐸𝐷𝐷𝑖𝑖𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑘𝑘𝑡𝑡𝑔𝑔𝑖𝑖𝑘𝑘𝑧𝑧𝑉𝑉

= 𝜋𝜋𝑔𝑔

Formel 57 Verhältnis des elektrischen Felds im Vakuum und im Dielektrikum

Im Vakuum und in Luft bei nicht zu hohem Druck ist εr = 1, für Glas zwischen 5 und 7, für Äthylalkohol 21 und für Wasser 81. (Das ist auch ein Grund dafür, dass Wasser ein gutes Lösungsmittel ist, denn es schwächt das kristallbildende Feld.)

Um eine Größe zu erhalten, die unabhängig vom Dielektrikum ist, führt man die elektrische Flussdichte ein, auch dielektrische Verschiebung genannt.

𝑫𝑫 = ε𝑬𝑬

Formel 58 Elektrische Flussdichte

Die Einheit der elektrischen Flussdichte ist C/m2. Wie man etwa an Formel 2 (Coulomb-Gesetz) sieht, hängt diese Größe nur noch von den felderzeugenden elektrischen Ladungen ab. Die elektrische Feldstärke beschreibt also die Wirkung des elektrischen Felds und die elektrische Flussdichte die Ursache des Felds. Im Vakuum unterscheiden sich beide Größen nur durch die Konstante ε0. Im Medium gilt:

𝑫𝑫 = 𝜋𝜋0𝑬𝑬 + 𝑷𝑷

Formel 59 Zusammenhang zwischen elektrischer Flussdichte, Feld und Polarisation

Für die Polarisation gilt im homogenen, linearen isotropen Fall Formel 56, so dass gilt: 𝜋𝜋𝑔𝑔 = 1 + 𝜒𝜒 .

Führt man nun ein Dielektrikum zwischen die Platten eines Kondensators gemäß Abbildung 54 ein, so wird das elektrische Feld um den Faktor εr geschwächt. Damit sinkt auch die Spannung um diesen Faktor. Da sich die Ladungsmenge auf den Kondensatorplatten nicht verändert hat, muss also die Kapazität um den Faktor εr zugenommen haben. Die Kapazität eines Kondensators kann also durch Einbringen eines Dielektrikums stark vergrößert werden.

6.4. Elektrisches Feld in Leitern, Strömungsfeld

So wie man ein Dielektrikum in ein elektrisches Feld bringen kann, lässt es sich auch mit einem Körper aus leitendem Material machen, z.B. einem metallischen Körper. Dort sind Ladungsträger (Elektronen) frei beweglich. Wir betrachten zunächst den stationären Fall, also ohne bewegte Ladungen bzw. ohne Stromfluss. Diese Situation wird sich i.d.R. in kurzer Zeit einstellen, wenn man nicht dafür sorgt, dass der Stromfluss andauert (z.B. durch eine Spannungsquelle).


Das elektrische Feld bewirkt zunächst, dass die Ladungsträger der Coulombkraft (Formel 2) in Richtung des Feldes oder entgegengesetzt dazu folgen und sich an der Oberfläche anreichern (Influenz). Dadurch entsteht aber wiederum ein elektrisches Feld, das dem ursprünglichen entgegengesetzt ist. Das geht so lange, bis keine Kraft mehr auf die Ladungsträger im Körper wirkt, also das elektrische Feld im Innern des Körpers als Summe aus dem äußeren Feld und dem Feld der verschobenen Ladungen null ist.

Das Innere des Leiters ist also feldfrei! Da sich die verschobenen Ladungen lediglich an den Oberflächen befinden, gilt dies auch dann, wenn der Körper hohl ist, d.h., lediglich eine leitende Hülle hat. Das ist das Prinzip des Faraday’schen Käfigs. So lassen sich z.B. elektronische Geräte gegen äußere statische Felder abschirmen.

Die Hülle kann sogar unterbrochen sein und z.B. aus einem Drahtgeflecht bestehen. Daher ist man auch in einem Auto verhältnismäßig sicher vor elektrischen Feldern.

Für hochfrequente elektromagnetische Felder funktioniert diese Form der Abschirmung nicht mehr. Daher kann man aus dem Auto mit dem Handy telefonieren.

Ganz anders sind die Verhältnisse, wenn an den Enden des leitenden Körpers, z.B. eines Drahts, eine Spannungsquelle angeschlossen ist. Dann stellt sich der oben beschriebene stationäre Zustand nicht ein, sondern es bewegen sich ständig Ladungsträger: Es fließt ein Strom. Das Innere des leitenden Körpers ist nicht mehr feldfrei. Auf die Ladungsträger wirkt die Coulombkraft (Formel 2). Sie werden beschleunigt, stoßen allerdings ständig mit anderen Teilchen bzw. dem Festkörpergitter zusammen und werden abgebremst. Der Bewegung durch das elektrische Feld überlagert sich noch die Temperaturbewegung. Im Mittel stellt sich damit eine konstante Driftgeschwindigkeit vD ein. Diese mittlere Driftgeschwindigkeit ist sehr viel kleiner als die thermische Geschwindigkeit. Die Gesamtheit aller bewegten Ladungsträger wird als Strömungsfeld bezeichnet.

Beschrieben wird das Strömungsfeld durch die Stromdichte J. Sie ist definiert als die Ladungsmenge ΔQ, die pro Zeiteinheit Δt durch eine senkrecht zur Strömung angeordnete Fläche ΔA tritt:

𝐽𝐽 =∆𝑄𝑄

∆𝑚𝑚 ∙ ∆𝐴𝐴

Formel 60 Definition der elektrischen Stromdichte

Die Einheit der elektrischen Stromdichte ergibt sich zu [𝐽𝐽] = 𝐴𝐴𝑉𝑉2 . Als Vektor ordnet man der

Stromdichte die Richtung der Driftgeschwindigkeit zu. Da sich die Stromdichte von Punkt zu Punkt ändern kann und auch zeitlich nicht immer konstant ist, muss eigentlich der Grenzwertprozess für ΔA

+ +

+ +

-

- - -

Ea äußeres elektrisches Feld

EQ elektrisches Feld der verschobenen Ladungen

Eges = 0

Abbildung 56 Elektrisches Feld in einem Leiter (stationärer Fall)


und Δt gegen null durchgeführt werden. Wir betrachten allerdings den Fall einer zeitlich konstanten Stromdichte. Weiterhin betrachten wir einen linienförmigen homogenen Leiter mit konstantem Querschnitt A.

Der Zusammenhang zwischen der Stromdichte J und dem Strom I ist dann: 𝐼𝐼 = 𝐽𝐽 ∙ 𝐴𝐴. Allgemein gilt:

𝐼𝐼 = � 𝑱𝑱 ∙ 𝑑𝑑𝑨𝑨𝐴𝐴

Formel 61 Zusammenhang zwischen Strom und Stromdichte

Berechnet man den Zusammenhang zwischen der Feldstärke und der Driftgeschwindigkeit, so erhält man: 𝑣𝑣𝐷𝐷~𝐸𝐸. Andererseits ist auch die Stromdichte proportional zur Driftgeschwindigkeit. (Wenn die Driftgeschwindigkeit doppelt so groß ist, gehen auch doppelt so viele Ladungsträger pro Zeiteinheit durch eine Fläche hindurch.) Damit ergibt sich:

𝐽𝐽~𝑣𝑣𝐷𝐷 also 𝐽𝐽~𝐸𝐸 also 𝐽𝐽 = 𝜅𝜅 ∙ 𝐸𝐸

Formel 62 Zusammenhang zwischen Stromdichte und elektrischem Feld

Dies entspricht dem Ohmschen Gesetz. Die Konstante Kappa (κ) ist die in Formel 16 eingeführte spezifische Leitfähigkeit, eine Materialkonstante, denn es gilt:

𝐼𝐼 = 𝐽𝐽 ∙ 𝐴𝐴 = 𝜅𝜅 ∙ 𝐸𝐸 ∙ 𝐴𝐴 =1𝑅𝑅𝑊𝑊𝐴𝐴𝐸𝐸 ∙ 𝐴𝐴 =

1𝑅𝑅𝑊𝑊 ∙ 𝐸𝐸 =

𝑈𝑈𝑅𝑅

Formel 63 Herleitung des Ohmschen Gesetzes aus Stromdichte und elektrischem Feld

Dabei wurde verwendet, dass im konstanten elektrischen Feld gilt: 𝑈𝑈 = 𝐸𝐸 ∙ 𝑊𝑊 .

6.5. Entstehung magnetischer Felder

Magnetische Erscheinungen sind seit der Antike bekannt. An Eisenerz, das in der Nähe der Stadt Magnesia in der heutigen Westtürkei gefunden wurde, soll als erstes beobachtet worden sein, dass Eisenspäne daran haften blieben. Später hat man beobachtet, dass ein von solchem Magnetit oder „Magneteisenstein“ (Fe3O4) bestrichener Stahlstab ebenfalls diese Eigenschaft erhält.

Es lässt sich feststellen, dass ein solcher Permanentmagnet offensichtlich zwei Pole hat. Nimmt man zwei Magnete, so stoßen sich je zwei Pole ab und zwei Pole ziehen sich an. Man könnte also auf die Idee kommen, dass es analog zur elektrischen Ladung zwei Sorten „magnetischer Ladung“ gibt. Dies ist aber nicht so. Bricht man einen permanentmagnetischen Stab in der Mitte durch, erhält man zwei Magnete mit jeweils zwei unterschiedlichen Polen.

Es gibt keine magnetischen Monopole analog zu elektrischen Ladungen! Die magnetische Wirkung lässt sich veranschaulichen, wenn man in die Nähe eines Magneten ein Stück Papier bringt, auf dem Eisenfeilspäne liegen. Durch die Wirkung des Magneten werden die Eisenspäne selbst zu Magneten und richten sich nach der wirkenden magnetischen Kraft aus. Es liegt nahe, die Wirkung von Magneten durch ein magnetisches Feld zu beschreiben. Die länglichen Eisenfeilspäne richten sich entlang der Feldlinien aus.


Abbildung 57 Magnetische Feldlinien von Permanentmagneten

Lagert man einen magnetischen Stab so, dass er sich frei um eine Achse senkrecht zur Erdoberfläche drehen kann, so wird sich dieser Stab in einer bestimmten Raumrichtung ausrichten. Eines der Enden wird nach Norden zeigen. Diesen Pol nennte man den magnetischen Nordpol. Das nach Süden zeigende Ende ist der magnetische Südpol. Dies liegt daran, dass die Erde selbst ein Magnet ist (Geodynamo). In der Nähe des geographischen Nordpols ist also ein magnetischer Südpol, in der Nähe des geographischen Südpols ein magnetischer Nordpol.

Als man im 19. Jahrhundert die Möglichkeit erhielt, mit elektrischen Strömen zu experimentieren, stellte man fest, dass auch ein stromdurchflossener Leiter eine magnetische Wirkung hat. Diese Beobachtung machte als erster 1820 Christian Oersted.

Abbildung 58 Magnetische Feldlinien eines stromdurchflossenen Drahts (Quelle: Bergmann-Schaefer, s.o.)

Die Feldlinien bilden geschlossene Kreise um den Draht herum. Allgemein gilt, dass die durch Ströme verursachten magnetischen Feldlinien stets geschlossene Kurven sind. Die Richtung der Feldlinien ergibt sich aus der „rechte-Hand-Regel“: Zeigt der Daumen in Richtung des Stromes (von + nach -), so verlaufen die magnetischen Feldlinien in Richtung der Finger (siehe Abbildung 58).

Experimentell findet man, dass die Kraftwirkung, und damit das magnetische Feld, zukünftig mit H bezeichnet, proportional zum Strom I und umgekehrt proportional zum kürzesten Abstand zum Draht r ist. Es gilt:

𝐻𝐻 =𝐼𝐼

2𝜋𝜋𝑠𝑠

Formel 64 Magnetisches Feld eines stromdurchflossenen Leiters

Die Einheit des magnetischen Feldes ist demnach [𝐻𝐻] = 𝐴𝐴𝑉𝑉

.

Stabmagnet Gleiche Pole Hufeisenmagnet (Quelle: Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band II, 1971)

I

Links: Sicht von oben

Rechts: Sicht von der Seite

. . .


Wickelt man den Draht zu einer im Verhältnis zum Durchmesser langen Spule der Länge l mit N Windungen, so erhält man, dass im Innern der Spule ein homogenes Feld in Richtung der Spulenachse wirkt mit der Stärke:

𝐻𝐻 =𝑁𝑁 ∙ 𝐼𝐼𝑊𝑊

Formel 65 Magnetisches Feld einer langen Spule

Da die magnetische Feldstärke auch eine Richtung im Raum hat, wird sie durch ein Vektorfeld beschrieben, genau wie die elektrische Feldstärke. Formel 64 und Formel 65 geben den Betrag der magnetischen Feldstärke wieder.

Ein weiterer Mechanismus führt zur Entstehung magnetischer Felder: Die Änderung eines

elektrischen Felds. Es ist dann 𝐻𝐻~ 𝑑𝑑𝐸𝐸𝑑𝑑𝑡𝑡

. Dies ist eine der Voraussetzungen für elektromagnetische Wellen.

6.6. Kräfte im magnetischen Feld

In Kapitel 6.5 wurden Kräfte auf magnetische Dipole betrachtet bzw. auf Eisenfeilspäne, die im magnetischen Feld zu Dipolen werden. Diese führen dazu, dass sich ein länglicher Magnet im Magnetfeld durch das Drehmoment zunächst in Richtung der Feldlinien ausrichtet.

Abbildung 59 Kräfte und Drehmomente auf einen Dipol im Magnetfeld

In einem homogenen Magnetfeld würden dann keine Kräfte mehr auf den Dipol wirken.

Neben den Kräften auf magnetische Dipole wirken im Magnetfeld auch Kräfte auf elektrische Ladungen. Leider ist der Zusammenhang zwischen Feldstärke, Ladung und Kraft hier nicht so einfach wie im Fall des elektrischen Felds. Die Kraft hängt ab:

• von der Stärke und Richtung des magnetischen Felds, • von dem Medium, in dem sich das Feld befindet, • von der Größe und dem Vorzeichen der elektrischen Ladung und • von der Geschwindigkeit der Ladung.

+

-

H

+ -


Der Einfluss des Mediums wird berücksichtigt über die Einführung der magnetischen Flussdichte B, die mit der magnetischen Feldstärke H zusammenhängt:

𝑩𝑩 = 𝜇𝜇𝑔𝑔𝜇𝜇0𝑯𝑯

Formel 66 Zusammenhang zwischen magnetischer Flussdichte und Feldstärke

Dabei ist 𝜇𝜇0 = 4𝜋𝜋 ∙ 10−7 𝑉𝑉∙𝐴𝐴𝐴𝐴∙𝑉𝑉

= 1,257 ∙ 10−6 𝑁𝑁𝐴𝐴2

die magnetische Feldkonstante. 𝜇𝜇𝑔𝑔 ist eine Materialgröße, die relative Permeabilität oder Permeabilitätszahl mit der Einheit 1.

Die Einheit der magnetischen Flussdichte ist damit 𝑉𝑉∙𝐴𝐴𝑉𝑉2 = 𝑇𝑇 , wird als Tesla bezeichnet und mit dem

Buchstaben T abgekürzt.

Für das Vakuum ist auch der Zahlenwert von 𝜇𝜇𝑔𝑔 gleich 1. Andere Stoffe kann man hinsichtlich ihrer Permeabilitätszahl einteilen in:

• Diamagnetika mit 0 ≤ 𝜇𝜇𝑔𝑔 < 1. Das magnetische Feld wird geschwächt. Beispiel ist Wasser. • Paramagnetika mit 𝜇𝜇𝑔𝑔 > 1. Das magnetische Feld wird verstärkt. Beispiele sind Luft oder

Aluminium. • Ferromagnetika mit 𝜇𝜇𝑔𝑔 ≫ 1. Das magnetische Feld wird stark verstärkt. Beispiel ist Eisen.

Für die Kraft auf eine elektrische Ladung im Magnetfeld gilt:

𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝑄𝑄 ∙ 𝒗𝒗 × 𝑩𝑩

Formel 67 Kraft auf eine Ladung im magnetischen Feld

Dies wird als Lorentzkraft bezeichnet nach Hendrik Antoon Lorentz, der auch die Grundlagen für Einsteins spezielle Relativitätstheorie gelegt hat. Der Index L deutet an, dass es daneben auch noch die Coulombkraft auf die Ladung gibt als Folge eines elektrischen Felds.

Hinsichtlich des Vektorprodukts von v und B sei an Kapitel 1.2 erinnert. Die Lorentzkraft steht also senkrecht auf B (und damit auf H) und auf der Geschwindigkeit v. Der Betrag der Kraft ergibt sich zu:

𝐹𝐹𝐿𝐿 = |𝑄𝑄| ∙ 𝑣𝑣 ∙ 𝐴𝐴 ∙ sin𝑐𝑐,

wobei α der Winkel zwischen v und B ist. Die Vektoren v, B und FL bilden ein Rechtssystem.

Abbildung 60 Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung

In Abbildung 60 ist zu berücksichtigen, dass die Ladung Q negativ ist. In diesem Beispiel stehen auch v und B aufeinander senkrecht, was nicht immer so sein muss.

-

B zeigt in die Papierebene hinein

v

FL


Fließt in einem Draht der Länge l, der sich in einem homogenen Magnetfeld befindet, ein Strom I, so bewegen sich ja sehr viele Ladungsträger. Ordnet man dem Draht einen Vektor l zu, der die Länge des Drahts und die Richtung des Stroms hat, so beträgt die Kraft auf diesen Draht:

𝑭𝑭 = 𝐼𝐼 ∙ 𝒍𝒍 × 𝑩𝑩

Formel 68 Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld

Dies ist das Prinzip des Elektromotors.

6.7. Ferromagnetika

Eine besondere Bedeutung in der Elektrotechnik (z.B. für Elektromotoren und –generatoren) und in der Informationstechnik (z.B. für Datenspeicher) haben ferromagnetische Materialien. Sie sind benannt nach dem Element Eisen, einem Vertreter der Ferromagnetika. Diese Stoffe können Permeabilitätszahlen von weit über 100 bis hin zu 500000 haben. Grund hierfür ist, dass sich die elementaren Magnete, überwiegend die Elektronen mit ihren magnetischen Momenten, über größere Reichweiten ausrichten. Im Kern ist das ein quantenmechanischer Effekt. Die Ausrichtung erfolgt auch deshalb, weil die Atome damit eine energetisch günstigere Lage einnehmen.

Unterbricht man einen Körper aus ferromagnetischem Material durch einen schmalen Luftspalt, so herrscht in diesem Luftspalt fast die gleiche Flussdichte wie in dem Material. Auf diese Weise lassen sich sehr hohe Flussdichten in einem Spalt erzeugen.

Abbildung 61 Elektromagnet mit Luftspalt

Wegen der weiträumigen Kopplung der elementaren Magnete in Ferromagnetika und der günstigeren energetischen Lage bleibt die Orientierung teilweise sogar dann erhalten, wenn das äußere Magnetfeld wegfällt. Materialien, bei denen dieser Effekt besonders ausgeprägt ist, werden als hartmagnetisch bezeichnet. Daraus werden Dauermagnete hergestellt.

Abbildung 62 stellt den Zusammenhang zwischen magnetischer Flussdichte und magnetischem Feld dar. Bringt man den zunächst unmagnetisierten Körper in ein magnetisches Feld, richten sich die atomaren Dipole zunehmend aus: die Flussdichte steigt stark an (Neukurve N). Wenn alle Dipole ausgerichtet sind, steigt die Flussdichte nur noch schwach an. Wird das Feld kleiner und verschwindet schließlich ganz, bleibt eine gewisse Ausrichtung der Dipole erhalten, so dass bei H = 0 immer noch eine Flussdichte Br vorhanden ist, die als Remanenzflussdichte bezeichnet wird. Die Flussdichte wird erst bei der Koerzitivfeldstärke –Hc null u.s.w. Dieses Verhalten wird als Hysterese

I

B


bezeichnet. Man sieht, dass Formel 66 nur dann gilt, wenn die Permeabilitätszahl von der Feldstärke und der Vorgeschichte abhängt.

Abbildung 62 Hysteresschleife eines ferromagnetischen Materials

Das Durchlaufen der in Abbildung 62 gezeigten Magnetisierungskurve ist mit Verlusten verbunden. Daher sind solche hartmagnetischen Werkstoffe dort schlecht geeignet, wo sie wechselnden Magnetfeldern ausgesetzt sind, also z.B. in Transformatoren. Dort verwendet man Werkstoffe, bei denen Remanenzflussdichte und Koerzitivfeldstärke sehr klein sind. Man bezeichnet sie als weichmagnetisch.

6.8. Zusammenhang zwischen elektrischen und magnetischen Feldern

Der Oersted’sche Versuch (Kapitel 6.5) hat erstmalig einen Zusammenhang zwischen elektrischem Strom und einem magnetischen Feld gezeigt. Später fand man, dass ein sich veränderndes magnetisches Feld ein elektrisches Feld hervorruft (Induktion) und dass ebenso ein sich veränderndes elektrisches Feld ein Magnetfeld hervorrufen kann. All das deutet darauf hin, dass magnetische und elektrische Effekte unterschiedliche Erscheinungsformen einer einzigen elektromagnetischen Wechselwirkung sind. Es hängt davon ab, mit welcher Geschwindigkeit ein Beobachter sich relativ zu vorhandenen Ladungen bewegt, ob sich elektrische oder/und magnetische Erscheinungen ergeben. Das wird schon deutlich, wenn man eine einzige elektrische Ladung betrachtet. Befindet sich der Beobachter dazu in Ruhe, wird er lediglich ein elektrisches Feld messen. Bewegt sich der Beobachter relativ zu der Ladung, stellt diese für ihn einen elektrischen Strom dar und er wird auch ein magnetisches Feld messen.

Alle elektromagnetischen Erscheinungen lassen sich durch fünf Gleichungen beschreiben, vier sogenannte Maxwell’sche Gleichungen und die verallgemeinerte Lorentzkraft:

𝑭𝑭 = 𝑄𝑄𝑬𝑬 + 𝑄𝑄𝒗𝒗 × 𝑩𝑩

Formel 69 Verallgemeinerte Lorentzkraft

B

H

Br

-Br

Hc

-Hc

N


Die Maxwell’schen Gleichungen sind in ihrer differentiellen Form ein System linearer partieller gekoppelter Differentialgleichungen erster Ordnung (nur 1. Ableitungen kommen vor, nach dem Ort und nach der Zeit) und verknüpfen das elektrische Feld, die elektrische Flussdichte, das magnetische Feld, die magnetische Flussdichte, die elektrische Ladungsdichte und die elektrische Stromdichte. Feld und Flussdichte sind jeweils über Materialgleichungen analog zu Formel 66 verbunden. In der

integralen Form sind es Flächen- bzw. Volumenintegrale über D, B, E und H sowie über 𝜕𝜕𝐵𝐵𝜕𝜕𝑡𝑡

und 𝜕𝜕𝐷𝐷𝜕𝜕𝑡𝑡

.

Im Fall einer einzelnen ruhenden Ladung ergibt sich als Lösung das Coulomb-Gesetz (Formel 2).

Wenn es keine Ladung gibt und kein Strom fließt, also fernab aller Quellen, gibt es als Lösung 𝐸𝐸 = 𝐷𝐷 = 𝐻𝐻 = 𝐴𝐴 = 0. Aber nicht nur die! Lösungen sind in diesem Fall auch elektromagnetische Wellen. Heinrich Hertz konnte diese erstmalig 1886 gezielt erzeugen und nachweisen. Später gelang der Nachweis, dass auch Licht eine elektromagnetische Welle ist. Damit wurde die Optik ein Teil der Elektrodynamik.

Mit diesen Bemerkungen schließt die Vorlesung „Grundlagen der Elektrotechnik/Elektronik“.

Literaturverzeichnis Bergmann-Schaefer (1971): Lehrbuch der Experimentalphysik. Band II Elektrizität und Magnetismus. Unter Mitarbeit von H. Gobrecht. 1 Band. Berlin u.a.: Walter de Gruyter.

Czichos, Horst (Hg.) (2004): Das Ingenieurwissen. Mit 337 Tabellen. 32., aktualisierte Aufl. Berlin u.a.: Springer.

Hering, Ekbert (Hg.) (2002): Grundwissen des Ingenieurs. 13., völlig neu erarb. Aufl. München: Fachbuchverl. Leipzig im Carl-Hanser-Verl.

Paul, Steffen; Paul, Reinhold (2014): Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik 1 // Gleichstromnetzwerke und ihre Anwendungen. 5., aktualisierte Aufl. 1 Band. Berlin Heidelberg: Springer Vieweg (Springer-Lehrbuch, / Steffen Paul; Reinhold Paul ; 1). (Bergmann-Schaefer 1971; Czichos 2004; Hering 2002)

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