Grundlagen der Grundlagen der mathematischen Logikmathematischen Logik

Prof. Dr. Dr. Heribert PoppProf. Dr. Dr. Heribert PoppFH DeggendorfFH Deggendorf

angelehnt an: Franz Pfuff: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1, angelehnt an: Franz Pfuff: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1, vieweg Verlag, 3 Aufl. Braunschweig 1979vieweg Verlag, 3 Aufl. Braunschweig 1979

AussageAussageEine Eine AussageAussage ist ein Satz, der entweder ist ein Satz, der entweder

wahr (w) oder falsch (f) ist.wahr (w) oder falsch (f) ist.

Beispiele:Beispiele:p: p: „Die Kosten sind niedrig“„Die Kosten sind niedrig“s: s: 3 = 03 = 0 (f)(f)t: t: 2 + 2 = 42 + 2 = 4 (w)(w)

NegationNegation¬p (= nicht p)¬p (= nicht p)

Es gilt also folgende Wertetabelle:Es gilt also folgende Wertetabelle:

Beispiele:Beispiele: ¬¬p: „Die Kosten sind nicht p: „Die Kosten sind nicht

niedrig“niedrig“ ¬¬s: s: 3 3 <><> 0 0 (w)(w) ¬¬t: t: 2 + 2 <> 42 + 2 <> 4 (f)(f)

pp ¬p¬pww ffff ww

KonjunktionKonjunktionp p q (= p und q) q (= p und q)

BeispieleBeispiele:: p p q q: „Die Kosten von BR : „Die Kosten von BR

sindsind niedrig und dieniedrig und dieGewinne von BR sindGewinne von BR sindhoch“hoch“

s s t t: (3 : (3 == 0) 0) (2 + 2 (2 + 2 == 4) 4)(f)(f)

pp qq ppqqww ww wwww ff ffff ww ffff ff ff

DisjunktionDisjunktionp p q (= p oder q) q (= p oder q)

BeispielBeispiel:: s s t t: (3 : (3 == 0) 0) (2 + 2 (2 + 2 == 4) 4)

(w)(w)

pp qq ppqqww ww wwww ff wwff ww wwff ff ff

Implikation IImplikation Ip p q q

((„„aus p folgt qaus p folgt q“ bzw. „wenn p - dann q“)“ bzw. „wenn p - dann q“)

BeispielBeispiel:: p: p: „„Der Himmel ist blauDer Himmel ist blau““

q: „Es regnet nicht“ q: „Es regnet nicht“ p p q : „Wenn der Himmel q : „Wenn der Himmel blau ist, dann regnet es blau ist, dann regnet es

nicht“nicht“

pp qq ppqqww ww wwww ff ffff ww wwff ff ww

Implikation IIImplikation IIp p q q

die Aussage p ist Vorraussetzung (Prämisse) die Aussage p ist Vorraussetzung (Prämisse) die Aussage q ist die Folgerung (Konklusion). die Aussage q ist die Folgerung (Konklusion).

bzw. auch:bzw. auch:„p ist eine hinreichende Bedingung für q“„p ist eine hinreichende Bedingung für q“„q ist eine notwendige Bedingung für p“„q ist eine notwendige Bedingung für p“..

ÄquivalenzÄquivalenzp p q q

gleichbedeutend mit gleichbedeutend mit ( p ( p q ) q ) ( q ( q p ) p )„„p ist p ist notwendigenotwendige und und hinreichendehinreichende Bed. für q“ Bed. für q“

„p gilt genau dann, wenn q gilt“ „p gilt genau dann, wenn q gilt“

BeispielBeispiel:: 2 + 2 = 4 2 + 2 = 4 2 * 3 = 6 2 * 3 = 6 (w)(w)

pp qq ppqqww ww wwww ff ffff ww ffff ff ww

Reihenfolge der OperatorenReihenfolge der Operatoren

1. Stufe1. Stufe ¬¬

2. Stufe2. Stufe , ,

3. Stufe3. Stufe , ,

So gilt z.B. für folgende Aussage:So gilt z.B. für folgende Aussage: (p (p ¬q) ¬q) r r ¬s ¬s q q

Beweis durch GegenbeispielBeweis durch Gegenbeispielp: „Alle Vögel können fliegen“p: „Alle Vögel können fliegen“

Gegenbeispiel: „Pinguin“ als BeweisGegenbeispiel: „Pinguin“ als Beweis

p:p:x ist ein Vogelx ist ein Vogelq:q:x kann fliegenx kann fliegenr:r: x ist Pinguinx ist Pinguins:s: x ist Straußx ist Strauß

pp((¬¬r r ¬¬s) s) q q

Logischer Beweis ILogischer Beweis IZeigen Sie, dass die alte Bauernregel „Kräht Zeigen Sie, dass die alte Bauernregel „Kräht

der Hahn auf dem Mist, so ändert sich das der Hahn auf dem Mist, so ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist“ immer wahr Wetter oder es bleibt wie es ist“ immer wahr ist!ist!p: Der Gockel kräht auf dem Mistp: Der Gockel kräht auf dem Mistq: Das Wetter bleibt soq: Das Wetter bleibt so¬¬q: Das Wetter bleibt nicht soq: Das Wetter bleibt nicht sop p (¬ q (¬ q q) q)

Logischer Beweis IILogischer Beweis IIZeigen Sie, dass die alte Bauernregel „Kräht der Hahn Zeigen Sie, dass die alte Bauernregel „Kräht der Hahn

auf dem Mist, so ändert sich das Wetter oder es auf dem Mist, so ändert sich das Wetter oder es bleibt wie es ist“ immer wahr ist!bleibt wie es ist“ immer wahr ist!

pp qq ¬¬qq q q ¬q ¬q p p (q (q ¬q) ¬q)ww ww ff ww wwww ff ww ww wwff ww ff ww wwff ff ww ww ww

Gliederung IGliederung IFolge 2: Folge 2: Mengen und RelationenMengen und RelationenFolge 3: Folge 3: Arithmetik mit reellen ZahlenArithmetik mit reellen Zahlen Folge 4: Folge 4: Ökonomische Anwendungen von Funktionen Ökonomische Anwendungen von Funktionen

einer Variableneiner Variablen Folge 5: Folge 5: Differentiation Differentiation Folge 6: Folge 6: Ökonomische Anwendungen der DifferentiationÖkonomische Anwendungen der Differentiation Folge 7: Folge 7: Integralrechnung und ihre ökonomische Integralrechnung und ihre ökonomische

AnwendungenAnwendungenFolge 8: Folge 8: Lineare Gleichungssysteme und ihre Lineare Gleichungssysteme und ihre

ökonomische Anwendungenökonomische Anwendungen

Gliederung IIGliederung IIFolge 9: Folge 9: Matrizen und Vektoren und ihre Matrizen und Vektoren und ihre

ökonomische Anwendungenökonomische Anwendungen Folge 10: Folge 10: Lineare OptimierungLineare Optimierung Folge 11: Folge 11: Funktionen mehrer Variabler und ihre Funktionen mehrer Variabler und ihre

DifferentiationDifferentiation Folge 12: Folge 12: Extremwertbestimmung unter Extremwertbestimmung unter

NebenbedingungenNebenbedingungen Folge 13/14: Folge 13/14: FinanzmathematikFinanzmathematik