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·
Grundlagen der Physik 1Mechanik und spezielle Relativität
11. 01. 2006Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universitat Ulm
(c) Ulm University – p. 1/29
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Massstabsvergleich
Massstabsvergleich(c) Ulm University – p. 2/29
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Längenkontraktion
a sei die Länge gemessen im ruhenden System. a′ sei dieLänge gemessen im bewegten System. Dann ist
f =
√
1 −v2
c2
a = f · a′ = a′√
1 −v2
c2
(c) Ulm University – p. 3/29
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Uhrenvergleich
Darstellung des Uhrenvergleichs
.
(c) Ulm University – p. 4/29
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Uhrenvergleich
Vergrösserte Darstellung aus der vorherigen Abbildung.
(c) Ulm University – p. 5/29
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Zeitdilatation
Zwischen zwei Punktereignissen misst
derjenige Beobachter den kürzesten
Zeitabstand, der sie (soweit möglich)
direkt erlebt, also für den sie beide
”hier” sind.
(c) Ulm University – p. 6/29
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Zeitdilatation
Zwischen zwei Punktereignissen misst
derjenige den kürzesten Abstand, für
den sie gleichzeitig erfolgen (bei ihm ist
der Massstab am längsten!).
(c) Ulm University – p. 7/29
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Zeitdilatation
Im bewegten System (Geschwindigkeit v) am Punkt 0 gibt eszwei Ereignisse A und B im Abstand t′
Im Ruhesystem x,y,z,t misst man
t (x = vt,0,0) =t′ (x′ = 0, y′ = 0, z′ = 0)
√
1 − v2
c2
(c) Ulm University – p. 8/29
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· Traditionelle Darstellung desUhrenvergleichs
Traditionelle Darstellung des Uhrenvergleichs nachGerthsen
(c) Ulm University – p. 9/29
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· Longitudinaler relativistischerDopplereffekt
Der longitudinale relativistische Dopplereffekt. Links istmein Standpunkt, rechts der von B.
(c) Ulm University – p. 10/29
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Relativistischer Dopplereffekt
ν ′ = ν1 − v/c
√
1 − v2/c2= ν
√
1 − v/c
1 + v/c
(c) Ulm University – p. 11/29
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· Relativistischer Dopplereffekt unterdem Winkel α
Wenn eine Bewegung im Winkel α schräg zur zurBeobachtungsrichtung verläuft, ist der relevanteLängenunterschied nicht ∆ℓ′ sondern ∆ℓ′ cos α. Sei T ′ diePeriodendauer im bewegten Bezugssystem und ∆ℓ′ dieDistanz, um die sich das bewegte Bezugssystem in T ′
bewegt. Die Zeitdilatation ist unabhängig von derBewegungsrichtung, die Längenkontraktion jedoch nicht!Wir erhalten die Beziehungen
∆ℓ cos α = −vT
√
1 − v2/c2cos α
∆t′ =T
√
1 − v2/c2
T ′ = ∆t′ +−∆ℓ cos α
c (c) Ulm University – p. 12/29
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· Relativistischer Dopplereffekt unterdem Winkel α
Eingesetzt ergibt sich
T ′ =T
√
1 − v2/c2+
vT
c√
1 − v2/c2cos α =
T√
1 − v2/c2
(
1 +v
ccos α
)
Für die Frequenzen (ν = 1/T ) gilt dann
ν ′ = ν
√
1 − v2
c2
1 + vccos α
(c) Ulm University – p. 13/29
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· Transversaler relativistischerDopplereffekt
Für α = 0 bekommt man den transversalen Dopplereffekt
ν ′ = ν
√
1 −v2
c2
Dies ist nichts anderes als ein Ausdruck der Zeitdilatation. BeiSchallwellen gibt es keinen transversalen Dopplereffekt.
(c) Ulm University – p. 14/29
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·
Addition von Geschwindigkeiten
Addition von Geschwindigkeiten
(c) Ulm University – p. 15/29
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Addition von Geschwindigkeiten
w = cPR
0R= c
sin(α + δ)
sin(π/2 − δ + α)
= csin(α + δ)
cos(α − δ)
= csinα cos δ + cos α sin δ
cos α cos δ + sin α sin δ
= ctan α + tan δ
1 + tan α tan δ
= cvc
+ uc
1 + vc
uc
= −v + u
1 + uv/c2
(c) Ulm University – p. 16/29
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Addition von Geschwindigkeiten
Die relativistische Summe zweier Ge-
schwindigkeiten ist
w =u + v
1 + uv/c2
ein Wert, der um (1 + uv/c2)−1 kleiner
ist als die klassische Addition von Ge-
schwindigkeiten.
(c) Ulm University – p. 17/29
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Spezialfälle
u = c: w = u+c1+uc/c2
= cu+cc+u
= c unabhängig von u
u = v: w = 2u1+u2/c2
u = 0: w = 0+v1+0v/c2
= v. Dies bedeutet, dass in dem Falle
die klassischen Gleichungen wieder gelten sollten.
uv ≪ c: w = u+v1+uv/c2
≈ (u + v) (1 − uv/c2) ≈ u + v
(c) Ulm University – p. 18/29
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Maximal mögliche Geschwindigkeit
c ist die maximal mögliche Geschwin-
digkeit .
Zwei Beispiele:
u = v = 0.5c: w = c1+0.25
= 4
5c
u = v = 0.9c: w = 1.8c1+0.81
= 180
181c
(c) Ulm University – p. 19/29
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Bewegte Masse
Gedankenexperiment zur Bestimmung derrelativistischen Masse
(c) Ulm University – p. 20/29
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· Relativistische Energie undBeschleunigung
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
v
t
Relativistische Beschleunigung
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
a
t
Relativistische Beschleunigung
Zeitverlauf der relativistischen Geschwindigkeit (links)und der relativistischen Beschleunigung bei konstanter
Kraft.
(c) Ulm University – p. 21/29
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Relativistische Energie
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Ekin
t
Relativistische Energie
Verlauf der kinetischen Energie bei konstanter Kraft imklassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall.
(c) Ulm University – p. 22/29
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·
Relativistische Position
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
t
Relativistische Position
Verlauf der zurückgelegten Distanz bei konstanter Kraftim klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall.
(c) Ulm University – p. 23/29
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Relativistische Zeit
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
τ
t
Relativistische Zeit
Verlauf der Eigenzeit bei konstanter Kraft imklassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall.
(c) Ulm University – p. 24/29
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Weg und Eigenzeit
1e-008
1e-006
0.0001
0.01
1
100
10000
1e+006
1e+008
1e+010
1e+012
0 5 10 15 20 25
x(τ
)
τ
Weg und Eigenzeit
Zurückgelegte Strecke als Funktion der Eigenzeit.
(c) Ulm University – p. 25/29
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Lorentz-Transformation
Beschreibung eines Punktereignisses in zweigegeneinander bewegten Bezugssystemen
(c) Ulm University – p. 26/29
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· Alternative Konstruktion zurLorentz-Transformation
Andere Berechnung der Lorentztransformation
(c) Ulm University – p. 27/29
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·
Lorentz-Transformation
Lorentz-Transformation
x′ =x − ut
√
1 − u2
c2
y′ = y
z′ = z
t′ =t − ux
c2√
1 − u2
c2
x =x′ − ut′√
1 − u2
c2
y = y′
z = z′
t =t′ − ux′
c2√
1 − u2
c2(c) Ulm University – p. 28/29
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· Lorentz-Transformation undGalilei-Transformation
Grösse Galilei-Transformation Lorentz-Transformationklassische Physik relativistische Physik
Ortskoor-dinaten
x; y; z x; y; z
Zeit-koordinaten
t ict
Länge x = x′ + vt′ x = x′+vt′√1−v2/c2
Zeit t = t′ t = vx′/c2+t′√1−v2/c2
Abstand r =√
x2 + y2 + z2 r =√
x2 + y2 + z2 − c2t2
Vergleich von Galilei- und Lorentz-Transformation
(c) Ulm University – p. 29/29
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