Grundlagen und Anwendungen - Spektrum.de€¦ · Verlag Harri Deutsch { Kuhlk e: Optik { Grundlagen und Anwendungen { (978-3-8171-1878-6) II Inhaltsverzeichnis 104 2.6 Aufgaben 116

Verlag Harri Deutsch – Kühlke: Optik – Grundlagen und Anwendungen – (978-3-8171-1878-6)

D. Kühlke

Optik

Grundlagen und Anwendungen

Mit Abbildungen, Tabellen, Beispielen und Aufgaben mit Lösungen

http://www.harri-deutsch.de/1878.htm


Prof. Dr. Dietrich Kühlke lehrt an der Hochschule Furtwangen (Schwarzwald), Hochschule fürInformatik, Technik, Wirtschaft und Medien, an der Fakultät Computer & Electrical Engineeringund ist verantwortlich für den Schwerpunkt Laser- und Optoelektronik.

Anregungen zu Veränderungen und Ergänzungen richten Sie bitte an:

Verlag Harri DeutschGräfstraße 47D-60486 Frankfurt am MainE-Mail: [email protected]://www.harri-deutsch.de

Bibliographische Information Der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliographische Daten sind im Internet über abrufbar.

ISBN 978-3-8171-1878-6

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt.Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches –oder von Teilen daraus –, sind vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Geneh-migung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) re-produziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet werden. Zuwiderhandlun-gen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autor und Verlag fürdie Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler keineHaftung.

3., überarbeitete und erweiterte Auflage 2011© Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH, Frankfurt am Main, 2011Druck: fgb • freiburger graphische betriebe Printed in Germany



Vorwort

Die Optik hat sowohl in der Forschung als auch in der Technik in den letzten Jahren erhebliche Bedeu-tung gewonnen. Mehr denn je verzweigen sich die Anwendungen der Optik weit in Bereiche derChemie, Biologie, Medizin und Technik. Einige Beispiele mögen die vielgestaltigen Anwendungs-bereiche aufzeigen. Das klassische Gebiet der Abbildungsoptik hat durch die rasante Entwicklung derComputertechnik und durch neue Herstellungsverfahren von abbildenden Bauelemente (z. B. asphäri-sche Oberflächen durch Spritzgusstechnik, Linsenzeilen und -matrizen) neue Impulse bekommen. DieVerbindung von Optik und Elektronik führte zur Weiterentwicklung optischer Messverfahren (Las-ermesstechnik, optische Fasersensoren) und des in den letzen Jahren rasant wachsenden Gebiets deroptischen Nachrichtenübertragung. Der Laser als Strahlungsquelle zeitigte neue Verfahren, beispiels-weise in der Materialbearbeitung und in der Medizintechnik.

So vielgestaltig die Anwendungsbereiche der Optik sind, so differenziert sind auch die Anforde-rungen an die Ausbildung der Optik. Während in der ingenieurwissenschaftlichen Ausbildung Kennt-nisse gefordert sind, die sich an technischen Anwendungen orientieren, haben z. B. in der Physikaus-bildung Prinzipien der physikalischen Optik ein größeres Gewicht. Um diesen differenzierten An-forderungen entgegenzukommen, ist das vorliegende Buch in zwei Ebenen gegliedert.

In der ersten, der Basisebene, werden anwendungsorientierte Grundlagenkenntnisse dargestellt,die von den Bereichen der klassischen Optik (Abbildung, optische Bauelemente, Fotometrie undLichtquellen) über die Optik mit Laserstrahlen (Gaußsche Strahlen) bis hin zu Lichtleitfasern reichen.Dabei wird auch in den sogenannten klassischen Gebieten immer wieder Bezug auf aktuelle Anwen-dungen genommen, wie z. B die Darstellung der Gradientenindexlinsen für die Fasertechnik im Kapi-tel „Optische Elemente“ oder des Lasers im Kapitel „Lichtquellen“. In dieser Ebene wurde eine an-schauliche Darstellung gewählt, die auf langwierige Ableitungen verzichtet. Großer Wert wurde aufVerständlichkeit des Stoffes und anwendungsorientierten Folgerungen aus den Grundgleichungengelegt. Die Zielstellung ist es, sichere Grundlagenkenntnisse über die Prinzipien der Optik und opti-scher Komponenten zu vermitteln, die sowohl auf die praktische Tätigkeit abgestimmt sind als auchden Leser befähigen sollen, sich effizient in spezielle bzw. neue Bereiche des sich schnell entwickeln-den Gebiets der Optik einzuarbeiten. Zahlreiche Übungsbeispiele ermöglichen dem Leser, das Ver-ständnis des Stoffes zu überprüfen.

In der zweiten Ebene, der Vertiefungs- und Ergänzungsebene (abgesetzt durch eine kleinereSchrift), werden zu den Themen der Basisebene Ergänzungen und Vertiefungen dargestellt. Für ausge-wählte Themen werden der physikalische Hintergrund und anhand einfacher Beispiele Methoden derphysikalischen Optik aufgezeigt. Je nach Interessenlage kann der Leser auf diese Ebene verzichten,ohne dass die Verständlichkeit des in der Basisebene dargestellten Stoffes leidet. Ein Beispiel solldieses Vorgehen verdeutlichen. Im Kapitel „Gaußsche Strahlen“ werden in der Basisebene die Eigen-schaften von Laserstrahlen dargestellt und besprochen, wie diese gezielt durch abbildende Elementebeeinflusst werden können. Das Ergebnis sind Relationen, die direkt für die Konzeption optischer Auf-bauten mit Laserstrahlen verwendet werden können. Als Vertiefung dazu wird mit Hilfe des aus demHuygens-Fresnelschen Prinzip herrührenden Beugungsintegrals gezeigt, wie sich die EigenschaftenGaußscher Strahlen aus der beugungsbedingten Ausbreitung von Wellen ergeben. Der interessierteLeser hat damit die Möglichkeit, den physikalischen Hintergrund und anhand dieses Beispiels eintypisches Vorgehen in der physikalischen Optik kennenzulernen.

An einer Stelle wurde von diesem Vorgehen abgewichen. In dem Abschnitt „Filter auf der Basisvon Interferenzen“ wurde der Beschreibung spezieller Filtertypen aufgrund seiner Wichtigkeit einAbschnitt vorangestellt, der die Matrixmethode zur Behandlung von Vielfachinterferenzen an Dünn-schichtsystemen darstellt. Aber auch hier ist der didaktische Aufbau so, dass der Leser, der sich nur fürdie Eigenschaften der Filter interessiert, diesen Abschnitt übergehen kann, ohne dass die Verständlich-keit des folgenden Stoffes leidet.

Als Voraussetzungen zum Durcharbeiten der Basisebene genügen normale mathematische Kennt-



nisse ohne höhere Mathematik. Einige physikalische Grundkenntnisse sind nützlich, wobei wesentlichephysikalische Grundlagen im ersten Kapitel zusammengestellt sind.

Auch in der Optik erfordert ein tieferes Verständnis aktives Arbeiten und Üben. Um dieses zuunterstützen, wurden zahlreiche Übungsaufgaben mit ausführlich durchgerechneten Lösungen inte-griert.

Furtwangen, im Frühjahr 2007 D. Kühlke

Vorwort zur 3. ergänzten Auflage

Das Erscheinen der dritten Auflage habe ich zum Anlass genommen, einige der vielen Anregungen derRezensenten aufzunehmen. Alle konnten nicht berücksichtigt werden, das hätte den Rahmen diesesBuches gesprengt. Dabei ist die bewährte Strukturierung des Buches in eine „Basisebene“ mit anwen-dungsorientierten Grundlagenkenntnissen und eine „Vertiefungs- und Ergänzungsebene“ konsequentbeibehalten worden. So wurde das Kapitel „Optische Abbildung“ um wellentheoretische Aspekte derAbbildung vertieft. Im Zusammenhang damit wurden grundlegende Begriffe wie Punktbildfunktion,optische Übertragungsfunktion sowie Modulationsübertragungsfunktion auf eine mehr quantitativeBasis gestellt. Da in den letzten Jahren optische Bragg-Gitter eine wachsende Bedeutung in den ver-schiedensten Anwendungsbereichen wie in der Messtechnik, Lasertechnik und optischen Kommunika-tion gefunden haben, kam zu dem Kapitel „Filternde Elemente“ dazu ein Abschnitt mit einigen An-wendungsaspekten hinzu. Hier bot sich an, in der Vertiefung zu diesem Abschnitt anhand desBragg-Gitters eine Einführung in die Beschreibung von gekoppelten Wellen zu geben, die in denverschiedensten Bereichen der Optik ein wichtige Rolle spielen. Das Kapitel „Optische Wellenleiter“wurde um einen Abschnitt „Optische Datenübertragung“ ergänzt, in dem wichtige Grundbegriffebeschrieben und als Anwendungsbeispiel für optische Bragg-Gitter ein Bragg-Gitter basierter OADM(optical add - drop multiplexerer) diskutiert wurden. Für die Beschreibung des Zusammenwirkens vonmehreren optischen Elementen ist in vielen Fällen der Matrixformalismus hilfreich. Daher wurde fürdie Behandlung der Wirkung von mehreren Polarisationselementen auf vollständig polarisiertes Lichtim Kapitel „Polarisationsoptik“ ein Abschnitt zum Jones- Formalismus hinzugenommen.

Auch in der vorliegenden Auflage wurden wieder Fehler beseitigt und, wo nötig, kleinere Ände-rungen vorgenommen, zum großen Teil durch die Mitarbeit der Rezensenten und vieler kritischerLeser. Dafür und für die vielen Anregungen zu dem Buch möchte ich an dieser Stelle allen Beteiligtenherzlich danken.

Furtwangen, im Frühjahr 2011 Dietrich Kühlke



I

Inhaltsverzeichnis

1. Physikalische Grundlagen 11.1 Einführung 11.2 Elektromagnetisches Spektrum 21.3 Ausbreitung und Energietransport von elektromagnetischen Wellen 31.4 Reflexion und Brechung 13

1.4.1 Reflexions- und Brechungsgesetze 131.4.2 Die Fresnelschen Formeln 131.4.3 Folgerungen aus den Fresnelschen Formeln 17

1.5 Interferenz 241.5.1 Überlagerung von Wellen 241.5.2 Interferenz an planparallelen Schichten 26

1.6 Kohärenz 301.7 Beugung 37

1.7.1 Huygens-Fresnel-Prinzip 371.7.2 Beugung am Spalt und Lochblende 41

1.8 Eigenschaften optischer Medien 461.8.1 Dispersion 461.8.2 Absorption 47

1.9 Aufgaben 50

2. Optische Abbildung 552.1 Beschreibung von Strahlen 552.2 Strahltransformation durch optische Elemente 57

2.2.1 Translation und Brechung an einer sphärischen Fläche 572.2.2 Strahldurchgang durch Linsen 60

2.3 Abbildungsgleichungen 632.3.1 Charakterisierung der optischen Abbildung 632.3.2 Abbildung durch eine dünne Linse 662.3.3 Abbildung durch optische Systeme, Hauptebenen 74

2.4 Strahlbegrenzung 832.4.1 Aperturblende und Pupillen 842.4.2 Gesichtsfeldblenden, Feldlinsen und Kondensoren 88

2.5 Abbildungsfehler 912.5.1 Öffnungsfehler (sphärische Aberration) 922.5.2 Koma 962.5.3 Astigmatismus und Bildfeldwölbung 982.5.4 Verzeichnung 1002.5.5 Chromatische Aberration 1002.5.6 Beugungsbegrenztes Auflösungsvermögen bei der optischen Abbildung

1012.5.7 Bewertung abbildender Systeme - die Modulationsübertragungsfunktion



II Inhaltsverzeichnis

1042.6 Aufgaben 116

3. Optische Elemente auf der Grundlage von Reflexion und Brechung 1193.1 Abbildende Elemente 119

3.1.1 Sphärische Linsen 1193.1.2 Abbildende Elemente für die optische Fasertechnik 1203.1.3 Asphärische abbildende Elemente 125

3.2 Prismen 1293.2.1 Dispersionsprismen 1293.2.2 Reflexionsprismen 132

3.3 Aufgaben 136

4. Optische Instrumente 1394.1 Das menschliche Auge 1394.2 Augenbezogene Instrumente 141

4.2.1 Vergrößerung augenbezogener Instrumente 1414.2.2 Lupen und Okulare 1424.2.3 Mikroskop 1464.2.4 Fernrohr 1524.2.5 Projektoren 159

4.3 Spektralgeräte 1614.3.1 Optischer Grundaufbau 1624.3.2 Prismenspektralgeräte, Auflösungsvermögen 1634.3.3 Gitterspektralgeräte 165

4.4 Aufgaben 173

5. Strahlungsbewertung (Fotometrie) und Strahlungsgesetze 1775.1 Strahlungsphysikalische Größen 1785.2 Anwendungen 183

5.2.1 Einfache Modelle für Strahlungsquellen 1845.2.2 Bestrahlung einer Empfängerfläche 1865.2.3 Fotometrische Größen bei einer Abbildung 189

5.3 Bewertung durch Empfänger, spektrale Größen 1935.3.1 Spektrale strahlungsphysikalische Größen 1935.3.2 Strahlungsbewertung durch Empfänger 194

5.4 Lichttechnische Größen 1955.5 Aufgaben 200

6. Lichtquellen 2036.1 Allgemeine Eigenschaften 2036.2 Glühlampen 205

6.2.1 Strahlungsphysikalische Größen des Temperaturstrahlers 2056.2.2 Aufbau und konstruktive Merkmale 208

6.3 Gasentladungslampen 211



Inhaltsverzeichnis III

6.4 Der Laser 2146.4.1 Spontane und induzierte Emission 2146.4.2 Der Laser als rückgekoppelter optischer Verstärker 2166.4.3 Lasersysteme 220

6.5 Aufgaben 223

7. Optik Gaußscher Strahlen 2257.1 Ausbreitung Gaußscher Strahlen 2257.2 Fokussierung Gaußscher Strahlen 232

7.2.1 Durchgang Gaußscher Strahlen durch eine dünne Linse 2327.2.2 Durchgang durch ein Teleskop, Strahlaufweitung 238

7.3 Strahlung von Vielmoden-Lasern 2397.4 Aufgaben 243

8. Filternde Elemente 2458.1 Allgemeine Eigenschaften 2458.2 Absorptionsfilter 2488.3 Filter auf der Basis von Interferenzen 250

8.3.1 Vielstrahlinterferenzen an Mehrschichtfilmen 2518.3.2 Interferenzfilter, Fabry-Perot-Etalon 2618.3.3 Dielektrische Spiegel, Farbteiler 2708.3.4 Antireflexbeschichtung 2728.3.5 Bragg-Reflektoren 274

8.4 Aufgaben 284

9. Optische Wellenleiter 2879.1 Schichtwellenleiter 288

9.1.1 Lichtführung durch Totalreflexion 2889.1.2 Moden eines Lichtwellenleiters 289

9.2 Lichtleitfasern 2989.2.1 Stufenindexfasern 2999.2.2 Gradientenfasern 303

9.3 Dämpfung und Bandbreite von optischen Fasern 3069.3.1 Dämpfung 3069.3.2 Dispersion und Bandbreite von optischen Fasern 309

9.4 Optische Verzweigungen 3139.4.1 Allgemeine Betrachtungen 3139.4.2 Prinzip der Richtkopplung 314

9.5 Optische Datenübertragung 3169.6 Aufgaben 318

10. Polarisationsoptik 32110.1 Polarisation des Lichts 32110.2 Polarisationselemente 32710.3 Polarisationsabhängige Effekte 333



IV Inhaltsverzeichnis

10.3.1 Reflexion und Brechung 33310.3.2 Polarisationselemente auf der Grundlage von Doppelbrechung 33610.3.3 Dichroismus 347

Matrixdarstellung der Polarisation 34810.4.1 Jones-Vektoren 34910.4.2 Jones-Matrizen 351

10.5 Aufgaben 356

11. Lösungen der Aufgaben 35911.1 Physikalische Grundlagen 35911.2 Optische Abbildung 36411.3 Optische Elemente 36811.4 Optische Instrumente 37011.5 Strahlungsbewertung und Strahlungsgesetze 37511.6 Lichtquellen 37911.7 Optik Gaußscher Strahlen 38111.8 Filternde Elemente 38311.9 Optische Wellenleiter 38611.10 Polarisationsoptik 388

Literatur 392

Stichwortverzeichnis 393



1

1. Physikalische Grundlagen

In diesem Kapitel sollen in knappen Zügen wichtige physikalische Eigenschaften des Lich-tes und der Lichtausbreitung zusammengestellt werden, soweit sie für das Verständnis derin diesem Buch dargestellten Zusammenhänge wichtig sind. Für eine ausführliche Darstel-lung der physikalischen Grundlagen sei auf einschlägige Lehrbücher der Physik verwiesen.Als Beispiele sind [1] und [2] angeführt.

1.1 Einführung

Optik im historischen Sinn ist die Lehre vom Licht und befasste sich zunächst mit den Er-scheinungen, die durch unser Sinnesorgan Auge wahrgenommen werden können, wobei einewesentliche Fragestellung die Natur des Lichtes selbst betraf. Die Vorstellungen über dieNatur des Lichts waren im Laufe der Geschichte bestimmt durch zwei gegensätzliche Auf-fassungen. Nach der Korpuskulartheorie besteht Licht aus einem Strom kleiner Teilchen, diesich mit großer Geschwindigkeit geradlinig fortbewegen. Der prominenteste Vertreter derKorpuskulartheorie war Isaak Newton (1642 - 1727). Er nahm an, dass bei Brechung undReflexion auf die Lichtteilchen Kräfte wirken, die senkrecht zur Übergangsfläche stehen.Auch die Beugung des Lichts an Öffnungen führte er auf anziehende Kräfte zurück, die vonden Kanten der beugenden Öffnungen ausgingen.

Obwohl man bereits zu dieser Zeit darüber diskutierte, inwieweit das Wellenbild dazugeeignet sei, die Natur des Lichts zu beschreiben, war der Einfluss Newtons so dominierend,dass der Durchbruch des Wellenmodells fast ein Jahrhundert auf sich warten ließ. ChristianHuygens (1629 - 1695) entwickelte das erste semiquantitative Wellenmodell des Lichts, mitdem die Ausbreitung und speziell die Beugung des Lichts an Öffnungen und Kanten erklärtwerden konnte. Thomas Young (1773 - 1829) erweiterte das Huygenssche Wellenmodelldurch das sogenannte Interferenzprinzip. Damit konnte er schon lange vorher beobachteteInterferenzerscheinungen wie die Newtonschen Ringe als Überlagerung von Lichtwellenerklären. Augustin Jean Fresnel (1788 - 1827) stellte die Wellentheorie auf eine mathemati-sche Grundlage, was den endgültigen Durchbruch des Wellenmodells bedeutete.

Die Natur der Lichtwellen als elektromagnetische Transversalwellen wurde von JamesClerk Maxwell (1831 - 1879) erkannt. Seine von ihm aufgestellten Gleichungen zurBeschreibung von elektrischen und magnetischen Feldern, die sogenannten MaxwellschenGleichungen, haben u.a. als Lösungen elektromagnetische Wellen, die sich mit Lichtge-schwindigkeit ausbreiten. Die Gesetze der Optik konnten aus diesen Gleichungen hergeleitetwerden, so dass die Optik zu einem Teilgebiet der Elektrodynamik wurde.

All den frühen Wellenmodellen lag die Annahme zugrunde, dass die Ausbreitung derLichtwellen an ein Medium gebunden ist. Daher postulierte man eine, den ganzen Raumdurchdringende Substanz, den Lichtäther. Interferometrische Messungen der Lichtgeschwin-



2 1.2 Elektromagnetisches Spektrum

10 10 10 10 10 10 m-13 -11 -9 -5Wellenlänge

10 10 10 10 10 10 10 10 HzFrequenz 21 19 17 15 13 11 9 7

-1

UV IRRöntgen

γ-Strahlung

d » λ

Mikro-wellen

d ~ λ d « λ

HF-BereichUKW KW

380 430 480 530 580 630 680 730 780 nm

Violett Blau Grün Gelb Orange Rot

sichtbare Strahlung

optischer Bereich

Bild 1.1 Frequenz- und Wellenlängenbereiche der elektromagneti-schen Strahlung

digkeit, die von Albert Abraham Michelson (1852 - 1931) zusammen mit Edward WilliamsMorley (1838 - 1923) mit einem eigens dafür konstruierten Gerät, dem sogenannten Michel-son-Interferometer, durchgeführt wurden, führten schließlich zur Aufgabe dieser Ätherhypo-these.

Wie sieht nun die moderne Vorstellung über die Natur des Lichts aus? Aus heutigerSicht muss man sagen, dass beide Richtungen eine gewisse Berechtigung hatten. Nachdemdie Wellennatur des Lichts allgemein anerkannt war, wurden um die Wende zum 20. Jahr-hundert Experimente bekannt, die mit der Wellentheorie des Lichts nicht interpretiert wer-den konnten. Diese Widersprüche zur Wellennatur traten bei Experimenten auf, in denen dieWechselwirkung zwischen Licht und Materie untersucht wurde. Als Ausweg schlug AlbertEinstein (1879 -1955) im Jahre 1905 eine neue Form der Korpuskulartheorie vor. Danachbesteht Licht aus einem Strom von einzelnen Energie- bzw. Lichtquanten, die sich mitLichtgeschwindigkeit bewegen und deren Energie proportional zur Lichtfrequenz ist. DieFolge davon war die unbefriedigende Situation, dass je nach Experiment Licht entweder alsTeilchenstrom oder als Welle interpretiert werden musste (Welle-Teilchen-Dualismus). Erstder modernen Quantentheorie gelang es, mit ihrer Wahrscheinlichkeitsinterpretation beideAspekte zu vereinigen.

1.2 Elektromagnetisches Spektrum

Das elektromagnetische Spektrum erstreckt sich von den Funkwellen bis zur Gammastrah-lung. Es ist wichtig, sich zu verdeutlichen, dass die aus den unterschiedlichen Gebieten be-kannten Strahlungsformen die gleiche physikalische Natur haben, nämlich Wellenerschei-nungen des elektrischen und magnetischen Feldes sind, und daher den gleichen physikali-schen Gesetzmäßigkeiten unterliegen. Der Unterschied liegt ausschließlich in der jeweiligenWellenlänge bzw. Frequenz. Die Einteilung erfolgt nach den praktischen Anwendungsgebie-ten. Bild 1.1 zeigtdie Einordnung dessichtbaren Lichts indas Gesamtspek-trum der elektroma-gnetischen Strah-lung. Das mensch-liche Auge ist nurfür den Bereich von380 nm bis 780 nmempfindlich. Diemeisten modernenAnwendungen derOptik sind nichtmehr an die sicht-bare Strahlung ge-



1. Physikalische Grundlagen 3

bunden sind, sondern umfassen sowohl den benachbarten ultravioletten Bereich (UV, 100nm bis 380 nm) als auch den infraroten Bereich (IR, 780 nm bis 1 mm). Daher hat man denoptischen Bereich des elektromagnetischen Spektrums auf den Wellenbereich von 100 nmbis 1 mm festgelegt.

Ein wichtiger Aspekt sind die Größenverhältnisse von Wellenlänge 8 der jeweiligenStrahlung und typischen Geometrieabmessungen d von Elementen und Hindernissen imÜbertragungsweg, die im Bild 1.1 ebenfalls dargestellt sind. Haben beispielsweise die Geo-metrieabmessungen die gleiche Größenordnung wie die Wellenlänge, wird die Ausbreitungder Strahlung wesentlich durch Beugung der Wellen an den Elementen bzw. Hindernissenbestimmt (vgl. Abschnitt 1.6).

Jedem ist sicher bekannt, dass ein UKW- bzw. Fernsehsender im Schattenbereich eines Berges kaumzu empfangen ist. Der Empfang eines Langwellensenders hingegen ist problemlos, obwohl elektroma-gnetische Wellen sich im freien Raum immer geradlinig ausbreiten. Ein Blick auf die zugehörigenWellenlängen erklärt dies. Die Wellenlänge der Langwellen liegt im km-Bereich und damit in derGrößenordnung der Ausmaße des Berges. Durch Beugung der Wellen an dem Berg gelangen diese inseinen Schattenbereich und können empfangen werden. Die Wellenlänge der UKW- bzw. Fernseh-wellen liegt im Bereich von cm bis zu wenigen m und ist klein im Vergleich zu den Bergabmessungen,so dass die Beugung der Wellen hier keine wesentliche Rolle spielt.

Im optischen Bereich ist die Abmessung der meisten Übertragungselemente (Linsen, Pris-men u.a.) groß im Vergleich zur Wellenlänge, so dass die Beugung der Lichtwellen ver-nachlässigt werden kann. In diesem Fall nähert man die Lichtwellen durch sich geradlinigausbreitende Strahlen und gelangt damit in das Gebiet der geometrischen Optik. Liegendagegen die Ausmaße der optischen Elemente in der Größenordnung der Wellenlänge, wiedies beispielsweise bei Lichtwellenleitern der Fall ist, die in der optischen Nachrichten-technik eingesetzt werden, beeinflusst der Wellencharakter ganz wesentlich die Ausbreitungdes Lichts.

1.3 Ausbreitung und Energietransport von elektromagneti-

schen Wellen

Wie wir gesehen haben, besteht Licht aus elektromagnetischen Wellen in einem bestimmtenWellenlängenbereich. Allgemein kann man Wellen charakterisieren als sich räumlich aus-breitende Änderungen der entsprechenden physikalischen Größe. Bei Schallwellen sind diesSchwankungen des Drucks bzw. der Dichte, die sich in einem Medium, beispielsweise in derLuft, fortpflanzen. In den meisten Fällen denkt man dabei an periodische Änderungen alsosich ausbreitende Schwingungen, die auch im Folgenden betrachtet werden. Entsprechendist eine elektromagnetische Welle eine sich ausbreitende Schwingung des elektrischen undmagnetischen Felds. Im Unterschied zu Schallwellen breiten sich elektromagnetische Wel-len nicht nur in Medien, sondern auch im Vakuum aus. (Nur deshalb gelangt z. B. die Strah-lung der Sonne auf die Erde.)



4 1.3 Ausbreitung und Energietransport

f ' c8

bzw. c ' Tk

(1.3)

(1) Eigenschaften elektromagnetischer Wellen

Man veranschaulicht sich Wellen gern durch die sogenannten Phasenflächen, auch als Wel-lenflächen oder Wellenfronten bezeichnet. Diese entstehen, wenn man zu einem Zeitpunktalle Raumpunkte verbindet, in denen die Welle die gleiche Phase hat. Bei einer Schallwellebilden z. B. die Punkte maximalen Drucks die Phasen- oder Wellenflächen. Entsprechendder Gestalt solcher Phasenflächen unterscheidet man verschiedene Wellenformen. DieWellenflächen ebener Wellen sind Ebenen im Raum, während sie bei Kugelwellen dieForm einer Kugeloberfläche haben. Beide Beispiele sind idealisierte Grenzfälle, die abergern für die Beschreibung von Wellenerscheinungen benutzt werden.

Eine Welle als zeitlich und räumlich periodischer Vorgang wird durch die GrößenSchwingungsdauer T (Periodendauer) und Wellenlänge 8 (Periodenlänge der Welle) cha-rakterisiert. Der Kehrwert der Schwingungsdauer f ' 1/T, der die Zahl der Schwingungenpro Zeiteinheit angibt, ist die Frequenz. Häufig wird die Kreisfrequenz T ' 2Bf ' 2B/Tund die Wellenzahl k ' 2B/8 verwendet. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Wellenflä-chen im Raum fortbewegen, ist die Phasengeschwindigkeit einer Welle. Sie wird beielektromagnetischen Wellen als Lichtgeschwindigkeit bezeichnet. Speziell die Vaku-umlichtgeschwindigkeit co ' 2,998·10

8 m/s ist eine Naturkonstante, und es gilt:

co '1

µogo(1.1)

go ' 8,854·10-12 C2/(Nm2) ist die elektrische Feldkonstante und µo ' 4B·10

-7 Vs/(Am) diemagnetische Feldkonstante. Die Lichtgeschwindigkeit c in einem Medium hängt von dessenEigenschaften ab. In Medien, die im optischen Bereich nur schwach absorbieren, ist dieLichtgeschwindigkeit durch die relative Dielektrizitätszahl gr (auch Permittivitätszahl oderrelative Permittivität genannt) und die relative Permeabilität µr des Mediums bestimmt:

c ' 1

gogrµoµr

'

con (1.2)

Die meisten optischen Medien sind unmagnetisch, so dass näherungsweise µr • 1 gilt. ist die Brechzahl des Mediums.n ' grµr . gr

� Die Brechzahl eines Mediums gibt das Verhältnis der Ausbreitungsgeschwindigkei-

ten des Lichts im Vakuum und im Medium an.

In diesem Zusammenhang wird häufig der Begriff der optischen Weglänge nd benutzt.Dabei wird der vom Licht in einem Medium zurückgelegte geometrische Weg d auf dieVakuumlichtgeschwindigkeit bezogen: Legt Licht in einer bestimmten Zeit in einem Medi-um mit der Brechzahl n die Strecke d zurück, so ist nd der in der gleichen Zeit im Vakuumzurückgelegte Weg.

Eine grundlegende Beziehung, die für alle Wellenformen gilt, ist der Zusammenhangzwischen Frequenz, Wellenlänge und Phasengeschwindigkeit:




z

E→ H

→

λ

Bild 1.2 Elektrische und magnetische Feldvektorenstehen senkrecht aufeinander und auf der Ausbrei-tungsrichtung

Eine weitere wichtige Eigenschaftder elektromagnetischen Wellen ist,dass sie transversal sind. DieSchwingungsrichtungen des elektri-schen und magnetischen Felds ste-hen senkrecht auf der Ausbreitungs-richtung. Zudem stehen elektrischesund magnetisches Feld senkrechtaufeinander. Bild 1.2 illustriert dieVerhältnisse. Die Richtung, in wel-che die elektrische Feldstärke derWelle zeigt, bezeichnet man alsSchwingungsebene, die Richtungder magnetischen Feldstärke als Po-larisationsebene der Welle.

(2) Harmonische Wellen

Für die quantitative Beschreibungbeschränken wir uns auf ebeneWellen und Kugelwellen. Das elektrische und magnetische Feld einer ebenen, harmonischenWelle, die sich in z-Richtung ausbreitet, hat folgendes Aussehen:

PE (z, t ) ' PEm cos(T t & kz % no)PH (z, t ) ' PHm cos(T t & kz % no)

(1.4)

Em , Hm sind die Amplituden des elektrischen und magnetischen Felds (stehen senkrecht aufder z-Achse), T ' 2Bf, k ' 2B/8 und no die Anfangsphase der Welle. Die Größe

n (z, t) ' T t & kz % no (1.5)

ist die Phase der Welle. Daran wird der Begriff der Phasen- bzw. Wellenfläche deutlich. DieLage aller Punkte, die zu einem Zeitpunkt to die gleiche Phase n(to, z) ' konst. haben, istdurch die Bedingung kz ' konst. bestimmt. Das ist gerade die Gleichung für eine Schar vonEbenen, die senkrecht auf der z-Achse stehen.

Um die Wellenausbreitung in eine beliebige Richtung zu beschreiben, ordnet man derWellenzahl einen Vektor zu, dessen Richtung die Ausbreitungsrichtung und dessen BetragPkk ' 2B/8 ist. Gibt man den Raumpunkt, in dem die Phase betrachtet wird, durch seinenOrtsvektor an, ergibt sich als Verallgemeinerung die Phase einer ebenen Welle Pr

n (Pr, t) ' T t & Pk Pr % no (1.6)

Die Wellenflächen, die durch festgelegt sind, sind Ebenen, die senkrecht aufPkPr ' konst.dem Wellenzahlvektor stehen. Pk

Für das elektrische Feld einer harmonischen Kugelwelle im Abstand r von ihrer Quellegilt:




PE(r, t) 'PAKr

cos(T t & kr % no) (1.7)

Hier sind die Wellenflächen durch kr ' konst. bestimmt und bilden Kugelflächen mit demRadius r. Der Betrag der Amplitude der Kugelwelle, EKm(r) ' AK /r, nimmt mit wachsen-dem Abstand r vom Wellenzentrum ab. Die Ursache ist, dass die von der Welle transportier-te Energie, die proportional zum Amplitudenquadrat ist (vgl. unten), sich auf eine Kugelflä-che verteilt, die mit r 2 wächst.

Die Zeitabhängigkeit der durch Gln.1.4 und 1.7 beschriebenen Wellen ist durch eineeinzige Frequenz T bestimmt. Sie beschreiben daher monochromatisches („einfarbiges“)Licht.

Zur Vereinfachung der Rechnungen mit Wellenausdrücken wie Gln 1.4 und 1.7 speziell beiÜberlagerung von Wellen wählt man häufig statt der trigonometrischen Funktionen Sinusbzw. Kosinus die komplexe Exponentialdarstellung. Das elektrische Feld einer ebenen Wel-le (Gl. 1.4) und einer Kugelwelle (Gl. 1.7) haben in dieser Schreibweise die Form

PEc(z, t ) ' PEcm ej(T t&kz) PEc(r, t ) '

Acr

e j(T t&kr ) (1.8)

Die komplexen Amplituden enthalten die Anfangsphase noPEcm ' PEm e

jno PAc ' PAK e

jno (1.9)

Komplexe Größen sind natürlich keine physikalischen (messbaren) Größen. Das Rechnenmit der komplexen Exponentialschreibweise beinhaltet die Vereinbarung, dass für die physi-kalische Größe der Realteil der komplexen Ausdrücke zu nehmen ist, wobei man benutzt,dass . So ergibt der Realteil von Gl. 1.8 mit 1.9 gerade Gl. 1.4 bzw. 1.7. Re(e jx) ' cosx

Eine weitere Eigenschaft der elektromagnetischen Felder ist, dass zeitlich veränderlicheelektrische und magnetische Felder sich gegenseitig bedingen. Auf elektromagnetische Wel-len bezogen heißt das, dass es keine isolierte elektrische bzw. magnetische Welle gibt, son-dern beide immer zusammen auftreten. Für harmonische Wellen entsprechend Gln. 1.4 und1.7 gilt für das Verhältnis der Beträge beider Feldstärken

EH

'

µg

' Z (1.10)

µ ' µo µr, g ' go gr . Die Größe Z bezeichnet man auch als Wellenwiderstand. Der Wellen-

widerstand des Vakuums beträgt .Zo 'µogo

' 376,730 S




Ee ' gcE (z, t )2'

1

2gcE 2m (1.14)

(3) Energietransport

Normalerweise spüren wir die Welleneigenschaft des Lichts nicht. Was wir bemerken, istder Helligkeitseindruck, den Licht im Auge verursacht. Wir stellen fest, dass Sonnenstrahlenwärmen oder auch einen Sonnenbrand verursachen, dass Licht einen Negativfilm schwärztusw. Diese Wirkungen rühren von einer wichtigen Eigenschaft her, die grundsätzlich mit derAusbreitung von Wellen verbunden ist, nämlich dem Transport von Energie. Die Sonnen-energie, die in Form von Licht und Wärme auf die Erde gelangt, ist Voraussetzung für allesLeben. Zudem können wir dies ausnutzen bei der Gewinnung von elektrischer Energie oderWärmeenergie aus der Sonnenstrahlung. Die Energie, die in Sonnenkollektoren oder foto-voltaischen Anlagen gewonnen wird, entsteht bei der Kernfusion auf der Sonne und wirddurch die elektromagnetischen Wellen der Sonnenstrahlung auf die Erde transportiert. DieGröße, die den Energietransport beschreibt, ist die Intensität bzw. Bestrahlungsstärke. Sieist definiert als die Energie, die pro Zeit- und Flächeneinheit im zeitlichen Mittel von derWelle tranportiert wird (Maßeinheit W/m2). Sie lässt sich berechnen aus dem zeitlichenMittelwert des Betrags des sogenannten Poyntingvektors S

Ee ' S (1.11)

Der Querstrich über der Größe bedeutet die Bildung des zeitlichen Mittelwerts. Aus derTheorie der elektromagnetischen Felder ist bekannt, dass der Poyntingvektor die Energie-stromdichte, d.h., die pro Zeit- und Flächeneinheit transportierte Energie beschreibt. DerPoyntingvektor ist das Vektorprodukt aus elektrischer und magnetischer Feldstärke

PS ' PE × PH (1.12)

und zeigt in Richtung des Energietransports. Für die durch Gln. 1.4 und 1.7 beschriebenenharmonischen Wellen ergibt sich mit Gln. 1.2 und 1.? der Betrag der Energiestromdichte

S ' gcE 2mcos2 (T t & kz % n) (1.13)

d.h., die Energiestromdichte schwankt periodisch mit der Lichtfrequenz. Warum bemerkenwir diese Schwankungen nicht? Vergegenwärtigen wir uns die Periodendauer einer elektro-magnetischen Welle im sichtbaren Spektralgebiet. Aus Bild 1.1 entnehmen wir eine Licht-frequenz f .1015 Hz, was der Dauer einer einzelnen Schwingung von ent-T . 10&15 s ' 1 fsspricht. Diesen extrem schnellen Änderungen können weder das Auge noch fotoelektrischeEmpfänger folgen (die Zeitkonstante der schnellsten heute bekannten Fotodioden liegt bei

). Praktisch bilden Lichtempfänger den zeitlichen Mittelwert von der ein-10&12 s ' 1 psfallenden Energiestromdichte. Die Eigenschaft der Empfänger, zeitlich mittelnd zu wirken,ist daher in der Definition der Intensität, Gl.1.11, enthalten. Das zeitliche Mittel von Gl.1.13ergibt:

(Man achte darauf, dass die beiden Größen Ee als energetische Größe Intensität bzw. Be-strahlungsstärke und Em als Amplitude des elektrischen Felds nicht miteinander verwechselt

werden!) Dabei wurde benutzt, dass ist. Gl.1.14 zeigt:cos2 (T t&kz%n) ' 1/2




Ee '1

2gc*Ecm*

2'

1

2gcE 2m (1.17)

� Die Bestrahlungsstärke ist zum Amplitudenquadrat der elektrischen Feldstärke pro-portional.

Zur Bestrahlungsstärke einer Kugelwelle im Abstand r vom Wellenzentrum gelangt man,wenn man ihre Amplitude EKm ' AK/r (Gl. 1.7) in Gl. 1.14 einsetzt:

Ee(r) 'gc2

A 2K

r 2(1.15)

Die Bestrahlungsstärke nimmt mit dem Quadrat des Abstands r ab (vgl. Erklärung zuGl. 1.7).

Um zur Energie pro Zeiteinheit zu kommen, die von einer Lichtwelle durch eine FlächeA transportiert wird, muss die Bestrahlungsstärke mit der Fläche multipliziert werden. DieGröße

Me ' Ee A (1.16)

wird als Strahlungsleistung bzw. Strahlungsfluss bezeichnet (vgl. Kap. 5).

Aus Gln. 1.8 und 1.9 sieht man, dass in der komplexen Schreibweise die Bestrahlungsstärkeproportional zum Betragsquadrat der komplexen elektrischen Feldstärke ist:

Wellengleichung

Die besprochenen Eigenschaften der elektromagnetischen Wellen sind Folgerungen aus den Maxwell-schen Gleichungen, den Grundgleichungen zur Beschreibung der elektrischen und magnetischenFelder. Wir wollen diese hier aufschreiben für den in der Optik interessierenden Fall ladungs- undstromfreier Materialien:

PL× PE ' &µ MPH

Mt(1.18)

PL× PH ' MPD

Mt(1.19)

PL PD ' 0 PL(µ PH) ' 0 (1.20)

mit µ ' µo µr und dem elektrischen und magnetischen Feld. steht für den vektoriellen Diffe-PE, PH PLrentialoperator „Nabla“, der in kartesischen Koordinaten die Form

PL ' PexM

Mx% Pey

M

My% Pez

M

Mz(1.21)

hat. sind die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen. Das Feld wird als di-Pex, Pey, Pez PDelektrische Verschiebung bezeichnet und ist eine Funktion des elektrischen Felds . Es beschreibt denPEEinfluss des Mediums auf das einfallende elektrische Feld. Anschaulich kann man sich das sich so vor-stellen, dass durch die Kraftwirkung des elektrischen Felds im neutralen Medium positive und negativeelektrische Ladungen gegeneinander verschoben werden. Diese Ladungsverschiebung beeinflusst wie-




) PE ' 1

c 2M2 PE

M t 2

) PH ' 1

c 2M2 PH

M t 2

(1.23)

derum das elektrische Feld, was sich in der Abhängigkeit ausdrückt. Im einfachsten Fall sindPD( PE)beide Felder zueinander proportional

PD ' gogrPE (1.22)

go ist die elektrische Feldkonstante, gr die relative Dielektrizitätszahl (gr ' 1 für das Vakuum). In derOptik zeigt sich die Materialeigenschaft in der Brechzahl . Die meisten optischen Materialienn ' gr µrsind nicht magnetisch, , so dass mit guter Näherung ist. In Medien mit anisotroperµr . 1 n . grStruktur wie in Kristallen stimmen die Richtungen beider Felder nicht mehr überein, was zur Erschei-nung der Doppelbrechung führt (vgl. Kapitel 10). Bei starken elektrischen Feldern kann die dielektri-sche Verschiebung nichtlinear von E abhängen. In diesem Fall kommen wir in das Gebiet der nicht-linearen Optik, das in den vergangenen Jahren durch die intensiven Laserlichtquellen wesentlichenAuftrieb erfahren hat.

Gln.1.18 und 1.19 zeigen, dass sich die zeitabhängigen Felder gegenseitig bedingen: Ein zeitab-hängiges magnetisches Feld erzeugt Wirbel des elektrischen Felds (Gl. 1.18) und eine zeitabhängigedielektrische Verschiebung und folglich ein zeitabhängiges elektrisches Feld erzeugt Wirbel desmagnetischen Felds (Gl.1.19). Gl. 1.20 sagt aus, dass unter den hier gemachten Voraussetzungen dieFelder quellenfrei sind.

Aus Gln. 1.18 - 1.22 können wir die Grundgleichung der Wellenoptik, die Wellengleichung her-leiten. Multipliziert man Gl. 1.18 und Gl. 1.19 von links vektoriell mit und benutzt die IdentitätPL

sowie (Gl. 1.20 mit 1.22), ergibt sich die Wellengleichung für dasPL×PL× PE ' PL(PL PE) & PL2 PE PL PE ' 0

elektrische und magnetische Feld

mit

) ' PL PL 'M2

Mx 2%

M2

My 2%

M2

Mz 2(1.24)

und . Die durch Gln. 1.4 und 1.7 beschriebenen harmonischen Wellen sind spezielle Lö-c 2 ' (gµ)&1

sungen der Wellengleichungen. Welche Wellenform man als Lösung der Wellengleichung 1.6 erhält,hängt von den konkreten Bedingungen ab (Form der Strahlungsquelle, Blenden im Strahlen usw.).

Die Maxwellschen Gleichungen und die Wellengleichung vermitteln einen linearen Zusammen-hang zwischen den Feldern. Daraus folgt das Superpositionsprinzip für die Lösungen der Wellenglei-chung: Die Summe von zwei Lösungen ist wieder eine Lösung. Elektromagnetische Wellen überlagernsich. Diese Eigenschaft bildet z. B. den theoretischen Hintergrund für die Erklärung von Interferenz-erscheinungen als Überlagerung von Lichtwellen und dem Huygensschen Prinzip, die wir in denfolgenden Abschnitten besprechen werden.

In der Optik hat man oft den Fall, dass Licht von einem Medium in ein anderes eintritt (z. B.Übergang von Luft in Glas). Wichtig ist daher die Frage, wie sich elektrisches und magnetisches Feldbeim Übergang an den Grenzflächen zwischen zwei aneinander grenzenden Medien mit unterschiedli-chen relativen Dielektrizitätszahlen gr

(1), gr(2) bzw. Brechzahlen n1, n2 verhalten. Ebenfalls aus den

Maxwellschen Gleichungen kann man folgern, dass die zur Grenzfläche tangentialen Komponentendes elektrischen und magnetischen Felds stetig sein müssen:

E (1)t ' E(2)

t H(1)

t ' H(2)

t (1.25)

Die Normalkomponenten beider Felder sind an der Grenzfläche unstetig, stetig müssen dagegen dieNormalkomponenten von (dielektrische Verschiebung) und sein:g PE µ PH




z

z

z

E z( )

t = 0

t t = Δ

t t = 2Δ

c

vg

Bild 1.3 Bei unterschiedlicher Phasen- undGruppengeschwindigkeit (c … vg) bewegensich Einhüllende des elektrischen Felds undPhasenflächen (z. B. markiertes Maximum)verschieden schnell

gog(1)

r E(1)

n ' gog(2)

r E(2)

n µo µ(1)

r H(1)

n ' µo µ(2)

r H(2)

n (1.26)

(4) Gruppengeschwindigkeit

Durch Gl. 1.4 und 1.7 wurden ideal mono-chromatische, unendliche lange Wellenzügebeschrieben. In der Realität gibt es solcheWellen nicht. Es treten Wellenzüge mit endlicher Länge auf, oder Wellen, deren Am-plitude nicht gleich bleibt, die also moduliertsind. In der Nachrichtentechnik nutzt mandie Modulation einer Trägerwelle, um Infor-mationen zu übertragen. Die Grundform ei-ner Information in der digitalen Nachrich-tentechnik stellt ein Wellenpaket bzw. einImpuls dar. Für solche Anwendungen istman weniger an der Phasengeschwindigkeitder Trägerwelle als an der Ausbreitungsge-schwindigkeit des ganzen Wellenpakets oderder Modulationseinhüllenden interessiert.Diese Geschwindigkeit bezeichnet man alsGruppen- oder Signalgeschwindigkeit. Einauf den ersten Blick überraschendes Ergeb-nis ist, dass in dispersiven Medien, also in Medien, deren Brechzahl von der Frequenz bzw.Wellenlänge abhängt (vgl. Abschn. 1.8), sich Phasen- und Gruppengeschwindigkeit unter-scheiden. Bild 1.3 zeigt schematisch, wie sich in diesem Fall die Einhüllende eines Wellen-pakets gegenüber den Wellenmaxima der Trägerwelle verschiebt. Die Trägerwelle wandertunter der Einhüllenden.

Wir wollen uns das anhand des einfachsten Falls klar machen, dass die Modulationdurch die Überlagerung von zwei monochromatischen Wellen gleicher Amplitude mit leichtdifferierenden Frequenzen und Wellenlängen entsteht. Die aus den beiden Wellen

E1 ' Em cos(T1 t&k1z)E2 ' Em cos(T2 t&k2z)

(1.27)

resultierende Welle E ' E1 + E2 kann unter Verwendung der Identität

cos"%cos$ ' 2cos1

2("%$) cos

1

2("&$)

inEres ' 2Em cos()T t&)kz) cos(T t&kz) (1.28)

umgeformt werden. T ' (T2 + T1)/2 und k ' (k2 + k1)/2 stellen die mittlere Frequenz bzw.Wellenzahl der resultierenden Welle dar. )T ' (T2 & T1)/2 und )k ' (k2 & k1)/2 können wirals Modulationsfrequenz bzw. Modulationswellenzahl bezeichnen. Bild 1.4 veranschaulicht




z

z

E z( )

E z( )λ2

λ1

E1

E2

E E1 2 +

gegenphasiggleichphasig

Bild 1.4 Wegen der verschiedenen Wellenlängen ändert sichentlang der Ausbreitungsrichtung die Phasendifferenz zwischenden beiden Ausgangswellen. Das führt zu Bereichen, wo beideWellen phasengleich schwingen, die resultierende Welle also einemaximale Amplitude hat, und zu Stellen, wo beide gegenphasigschwingen

vg 'dT

dk(1.30)

vg ' c%kdcdk

' c 1% 8n

dnd8

(1.31)

das Ergebnis. Es ist ei-ne Welle (Trägerwel-le) entstanden, die ei-ne zeitveränderlicheoder modulierte Amplitudehat. Bild 1.4 machtauch die Ursache die-ser Modulation deut-lich. Die unterschiedli-chen Frequenzen bzw.Wellenlängen führenzu Phasenverschiebun-gen zwischen den bei-den Ausgangswellen,die vom Ort z abhän-gen. Dadurch entste-hen Bereiche, wo bei-de Wellen phasen-gleich schwingen, dieresultierende Wellealso maximale Amplitude hat, und Bereiche, wo beide gegenphasig schwingen. An diesenStellen verschwindet die resultierende Welle. Die Phasengeschwindigkeit der Trägerwelleist c ' T/k. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Modulationseinhüllende bewegt, ist ana-log

vg ')T

)k(1.29)

Ist der Frequenzbereich )T um die mittlere Frequenz T klein, können wir den Differenzen-quotienten durch die Ableitung ersetzen:

Gl. 1.30 stellt allgemein die Gruppen- bzw. die Signalgeschwindigkeit einer Wellengruppedar. Für optische Medien mit der wellenlängenabhängigen Brechzahl n(8) ergibt sich mit T

' kc ' kco/n und der Kettenregel die Relationd

dk'

d8

dkd

d8' &

82

2B

d

d8

Ist die Phasengeschwindigkeit c bzw. die Brechzahl n nicht von der Wellenlänge 8 abhän-gig, sind Phasen- und Gruppengeschwindigkeit gleich. Sonst gilt:

� In einem dispersiven Medium (die Phasengeschwindigkeit c bzw. Brechzahl n ist




wellenlängenabhängig) unterscheidet sich die Signalgeschwindigkeit von der Pha-sengeschwindigkeit der Trägerwelle.

Bild 1.4 veranschaulicht die Ursache für dieses Verhalten. Pflanzen sich beide Ausgangs-wellen mit der gleichen Phasengeschwindigkeit fort, bewegen sich auch die gleich- undgegenphasig schwingenden Bereiche und somit die Modulationseinhüllende mit dieserGeschwindigkeit. Läuft jedoch eine Welle schneller als die andere, verschieben sich diegleich- und gegenphasig schwingenden Stellen relativ zu den Ausgangswellen. Die Mo-dulationseinhüllende bewegt sich folglich mit einer anderen Geschwindigkeit wie die resul-tierende Trägerwelle.

Das anhand der Überlagerung von zwei monochromatischen Wellen diskutierte Verhal-ten von Phasen- und Gruppengeschwindigkeit gilt allgemein für jede Form der Modulationund für Lichtimpulse. Die Ursache ist, dass jede Wellenform als eine Summe von mono-chromatischen Wellen unterschiedlicher Frequenz und Wellenzahl dargestellt werden kann.Die theoretische Grundlage dazu bildet die Fourier-Analyse.

Beispiel

Ein He-Ne-Laser emittiert im roten Spektralbereich bei einer Wellenlänge von 633 nm. Im Laserstrahl(Querschnittsfläche 0,6 mm2) wird eine Bestrahlungsstärke von 0,5 W/cm2 gemessen.a) Welche Frequenz hat das Laserlicht? Wie groß ist die Schwingungsdauer?b) Wie groß ist der Strahlungsfluss des Laserstrahls?c) Wie groß sind die elektrische und magnetische Feldstärkeamplitude der Laserlichtwelle?

Lösung:a) Die Frequenz und Schwingungsdauer sind nach Gl. 1.3

f 'co8

'

3·108

633·10&91

s' 4,74·1014 Hz

T ' 1

f' 2,11·10&15 s ' 2,11 fs

b) Den Strahlungsfluss erhält man aus Gl. 1.16 zu .Me ' Ee A ' 0,5 ·0,6@10&2 W ' 3 mW

c) Die elektrische Feldstärkeamplitude kann aus Gl. 1.14 bestimmt werden:

Em '2Eego co

' 1,94kV

m

Da elektrische und magnetische Feldstärke über den Wellenwiderstand (Gl. 1.?) zusammenhän-gen, ergibt sich:

Hm ' Emgo

µo' 5,15

A

m




α αρ

n1

β

n2

Bild 1.5 Reflexion und Bre-chung an einer Grenzfläche

sin"

sin$'

n2n1

(1.32)

1.4 Reflexion und Brechung

Der Abschnitt befasst sich mit Lichtwellen, welche die Grenzfläche zwischen zweitransparenten Medien passieren. Ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts in denMedien unterschiedlich, haben diese also unterschiedliche Brechzahlen, wird das Licht ander Grenzfläche gebrochen und teilweise reflektiert.

1.4.1 Reflexions- und Brechungsgesetze

In Bild 1.5 ist schematisch dargestellt, wie eine ebene Welleauf die Grenzfläche zwischen zwei Medien mit den Brech-zahlen n1 und n2 trifft und dort teilweise reflektiert und ge-brochen wird. Der Einfallswinkel ", Reflexionswinkel "r undBrechungswinkel $ beziehen sich auf die Ausbreitungsrich-tung der Wellen (Strahlrichtung) und die Normale derGrenzfläche.

Für den reflektierten und gebrochenen Strahl gelten dreigrundlegende Gesetze:

� (a) Einfallender, reflektierter und gebrochener Strahlliegen in einer Ebene, der Einfallsebene, die senkrecht auf der Grenzfläche stehtund die Normale der Grenzfläche enthält.(b) Einfalls- und Reflexionswinkel sind gleich, " ' "r.(c) Für den Einfalls- und Brechungswinkel gilt das Snelliussche Brechungsgesetz:

Strahlen, die in ein Medium eintreten, dessen Brechzahl größer als die des Eintritts-mediums ist (n2 > n1, optisch dichteres Medium), werden zur Normalen hin gebrochen ($< "). Umgekehrt werden Strahlen, die vom optisch dichteren Medium in ein optisch dünne-res eintreten (n2 < n1) von der Normalen weggebrochen ($ > "). Das Brechungsgesetz Gl.1.32 bildet die Grundlage für die geometrische Optik.

1.4.2 Die Fresnelschen Formeln

Das Snelliussche Brechungsgesetz sagt etwas über die Richtungen der einfallenden und ge-brochenen Strahlen aus, liefert aber keine Information über den Anteil des Lichts, der reflek-tiert bzw. gebrochen wird. Aussagen darüber für verlustfreie Medien machen die Fresnel-schen Gleichungen, die hier für nichtmagnetische Medien (µr . 1) besprochen werden sol-len. Der Bruchteil des Lichts, der reflektiert bzw. die Grenzfläche passiert, hängt vom Ein-fallswinkel und von der Lage der Schwingungs- bzw. Polarisationsebene ab. Das elektrische



14 1.4 Reflexion und Brechung

Eo

Er

Eo ll

Erll

Eo⊥

Er⊥

Et

Et ll

Et⊥

α

β

Grenzfläche

Einfallsebene

n1

n2

Bild 1.6 Zerlegung des elektrischen Felds der einfal-lenden, reflektierten und gebrochenen Welle in Kom-ponenten parallel und senkrecht zur Einfallsebene

Feld der Lichtwelle wird daher in eine Komponente zerlegt, die parallel zur Einfallsebeneliegt, und eine Komponente, die senkrecht auf der Einfallsebene steht. Bild 1.6 verdeutlichtdies. Mit Eo1 , Er1 und Et1 werden die Komponenten des elektrischen Felds der einfallenden,reflektierten und gebrochenen Lichtwelle parallel zur Einfallsebene bezeichnet und mit Eoz ,Erz und Etz die entsprechenden Komponenten senkrecht zur Einfallsebene. Der Bruchteil deselektrischen Felds, der an der Grenzfläche reflektiert wird, wird durch die Amplitudenrefle-xionskoeffizienten beschrieben:

r2'

ErEo 2

'

n2cos"&n1cos$

n1cos$%n2cos"

rz'

ErEo z

'

n1cos"&n2cos$

n1cos"%n2cos$

(1.33)

Den Bruchteil des elektrischen Felds, der die Grenzfläche passiert, beschreiben die Amplitu-dentransmissionskoeffizienten:

t2'

EtEo 2

'

2n1cos"

n1cos$%n2cos"

tz'

EtEo z

'

2n1cos"

n1cos"%n2cos$

(1.34)

Die messbare und daher fürden praktischen Gebrauch inter-essante Größe is t d ie Be-strahlungsstärke Ee (in W/m

2), dieproportional zum Amplituden-quadrat der elektrischen Feldstär-ke ist (vgl. Gl. 1.14) oder derStrahlungsfluss Me (in W, Gl.1.16). Der Reflexionsgrad istdaher definiert als der Quotientaus reflektiertem MeD und ein-fallendem Strahlungsfluss Meo

D 'MeD

Meo(1.35)

Ähnlich ist der Transmissions-grad der Quotient aus durchge-lassenem MeJ und einfallendemStrahlungsfluss

J 'MeJ

Meo(1.36)

(vgl. auch Kap. 5). Um den Zusammenhang mit den in Gln. 1.33 und 1.34 angegebenenAmplitudenkoeffizienten zu finden, muss man berücksichtigen, dass sich die Querschnitts-




D2'

n 221cos"& n2

21&sin2"

n 221cos" % n2

21&sin2"

2

(1.39)

Dz'

cos"& n 221&sin2"

cos" % n 221&sin2"

2

(1.40)

D2%J

2' 1, D

z%J

z' 1 (1.41)

fläche und damit die Bestrahlungsstärke eines Lichtbündels beim Übergang zwischen denMedien ändert. Wird auf der Grenzfläche die Fläche A durch ein Lichtbündel beleuchtet, istdie Querschnittsfläche des einfallenden und reflektierten Bündels A cos" und die desdurchgelassenen Bündels A cos$. Dementsprechend ist der Strahlungsfluss des einfallendenund reflektierten Lichtbündels Meo ' Eeo A cos" - Eo

2 n1 cos", MeD ' EeD A cos" - Er2 n1

cos", sowie der des durchgelassenen Bündels MeJ ' EeJ A cos$ - Et2 n2 cos$. Setzt man diese

Relationen in Gln. 1.35 und 1.36 ein, findet man, dass

D ' r 2 (1.37)

und

J 'n2cos$

n1cos"t 2 (1.38)

r und t stehen für die Amplitudenreflexionskoeffizienten (Gl. 1.33) und -transmissionskoef-fizienten (Gl. 1.34). Um beispielsweise den Reflexionsgrad bei vorgegebenem Einfallswin-kel " bestimmen zu können, muss in Gl. 1.33 der Brechungswinkel $ mit Hilfe des Bre-chungsgesetzes (Gl. 1.32) durch den Einfallswinkel " ersetzt werden. Damit ergibt sich ausGl. 1.37 der Reflexionsgrad für die Schwingungsrichtung parallel zur Einfallsebene

und für die Schwingungsrichtung senkrecht zur Einfallsebene

dabei ist n21 ' n2 /n1. Berechnet man in gleicher Weise den Transmissionsgrad, stellt man fest, dass

Gl. 1.41 stellt die Erhaltung der Energie für diese Konfiguration dar: Im verlustfreien Me-dium teilt sich der Strahlungsfluss des einfallenden Lichtbündels auf in den Strahlungsflussdes reflektierten Bündels und den des durchgehenden Bündels.

Fresnelsche Formeln als Folgerungen aus den Randbedingungen

Als Ergänzung zu dem Abschnitt soll gezeigt werden, dass die Fresnelschen Formeln sich als Folge-rung aus der Forderung ergeben, dass die Tangentialkomponenten des elektrischen und magnetischenFelds an einer Grenzfläche stetig sein müssen (vgl. Gl. 1.25). Wir beginnen mit der senkrecht zurEinfallsebene liegenden Komponente des elektrischen Felds. Koordinatensystem, Winkel und Feld-richtungen zeigt Bild 1.7. Da das senkrecht zur Einfallsebene schwingende elektrische Feld




α αn1

β

n2 x

y

Ho

Eo

Hr

Ht

Er

Et

k1r

k2t

k1o

→→

→

→

→

→ →

→

→

Bild 1.7 Orientierung der Felderund Wellenzahlvektoren für ein E-Feld, das senkrecht auf der Einfall-sebene steht und in die Bildebenezeigt

PE ' (0, 0, &Ez) (1.42)

tangential zur Grenzfläche liegt, folgt nach Gl. 1.25 für dieStetigkeit dieser Komponente:

E (1)z (x, y'0) ' E(2)

z (x, y'0) (1.43)

Für das MagnetfeldPH ' (Hx , Hy , 0) (1.44)

ist die x-Komponente tangential zur Grenzfläche, so dass

H (1)x (x, y'0) ' H(2)

x (x, y'0) (1.45)

sein muss. Die Indizes 1, 2 kennzeichnen die beiden Medien.Wir nehmen an, dass das Lichtfeld in beiden Medien aus ebe-nen monochromatischen Wellen besteht.

Das elektrische Feld im Medium 1 setzt sich aus dem ein-fallenden (Index o) und dem reflektierten Anteil (Index r) zu-sammen

E (1)z (x, y) ' Eoz cos(T t &Pk1o Pr) % Erz cos(T t &

Pk1r Pr) (1.46)

das im Medium 2 aus dem transmittierten Anteil (Index t)

E (2)z (x, y) ' Etz cos(T t &Pk2t Pr) (1.47)

Aus Bild 1.7 können wir die Komponenten der Wellenzahlvektoren der verschiedenen Feldanteile ab-lesen. Der Wellenzahlvektor der einfallenden Welle ist

Pk1o ' k1 (sin", &cos", 0) (1.48)

der der reflektierten WellePk1r ' k1 (sin", cos", 0) (1.49)

sowie der der transmittierten WellePk2t ' k2 (sin$, &cos$, 0) (1.50)

k1 ' 2B n1/8 und k2 ' 2B n2/8. Sowohl über die Feldamplituden Eoz, Erz und Etz als auch über den Ein-falls- und Brechungswinkel " und $ wurden keine Annahmen gemacht. Diese Größen müssen aus denStetigkeitsforderungen bestimmt werden.

Setzt man Gln. 1.46 und 1.47 mit Gln. 1.48 - 1.50 in die Stetigkeitsbedingung für das elektrischeFeld Gl.1.43 ein, ergibt sich eine erste Bedingungsgleichung:

(Eoz % Erz) cos(T t & k1 xsin") ' Etz cos(T t & k2 xsin$) (1.51)

Die Identität muss zu jeder Zeit t und an jedem Ort x auf der Grenzfläche erfüllt sein. Daher müssendie Vorfaktoren und die Argumente der Kosinus-Funktionen gesondert gleichgesetzt werden:

Eoz % Erz ' Etz (1.52)

k1 sin" ' k2 sin$ (1.53)

Mit k1 ' 2B n1/8 und k2 ' 2B n2/8 stellt Gl. 1.53 aber gerade das Snelliussche Brechungsgesetz dar:

sin"

sin$'

n2n1

(1.54)

Um Aussagen über die Amplitudenverhältnisse machen zu können, müssen wir noch dieStetigkeitsbedingung für das magnetische Feld auswerten. Dieses können wir aus Gl. 1.42 mit Gl.1.46bzw. 1.47 mit Hilfe von Gl. 1.18 bestimmen. Benutzen wir, dass für ebene Wellen der Form




und die RelationenPE ' PEm cos(T t&Pk Pr) PH ' PHmcos(T t&

Pk Pr)

M PH

Mt' &T PHm sin(T t&

Pk Pr) und PL× PE ' Pk × PEm sin(T t&Pk Pr) (1.55)

und somit nach Gl. 1.18

µT PHm 'Pk × PEm bzw. µT

PH ' Pk × PE (1.56)

gelten, können wir das H-Feld der einfallenden, reflektierten und transmittierten Welle berechnen. Diex-Komponente des magnetischen Felds auf der Grenzfläche (y ' 0) im Medium 1 erhält man damit

H (1)x (x, y'0) 'k1

µ1T(Eoz&Erz)cos" sin(T t&k1xsin" ) (1.57)

sowie die x-Komponente im Medium 2

H (2)x (x, y'0) 'k2

µ2TEtzcos$ sin(T t&k2 xsin$ ) (1.58)

Für optische Medien ist mit guter Näherung µ1 ' µ2 Gleichsetzen der beiden Gleichungen entspre-chend Gl.1.45 führt zu

n1 (Eoz&Erz)cos" ' n2 Etzcos$ (1.59)

Eliminiert man Etz in Gl.1.59 mit Hilfe von Gl. 1.52 ergibt sich der Amplitudenreflexionskoeffizient

rz'

Erz

Eoz

'

n1cos"&n

2cos$

n1cos"%n

2cos$

(1.60)

Entsprechend findet man durch Eliminieren von Erz mit Gl. 1.52 den Amplitudentransmissionskoeffi-zienten

tz'

Etz

Eoz

'

2n1cos"

n1cos"%n

2cos$

(1.61)

Das Vorgehen für die Parallelkomponente ist analog. Zweckmäßigerweise beginnt man mit demH-Feld, das in diesem Fall senkrecht auf der Einfallsebene steht und bestimmt mit Hilfe von Gln.1.19und 1.20 daraus das E-Feld.

Wir können an diesem Beispiel das prinzipielle Vorgehen bei der Behandlung von wellenopti-schen Problemen sehen. Zunächst muss man eine Lösung der Wellengleichung (Gl. 1. 23) finden. Inunserem Fall haben wir das durch den Ansatz ebener Wellen in beiden Medien erreicht. Die unbekann-ten Amplituden und Phasen wurden im nächsten Schritt mit Hilfe der Randbedingung für die Felder(Gl. 1.25) bestimmt. Auf diese Weise haben wir zwei wichtige Gesetze der Optik, das SnelliusscheBrechungsgesetz und die Fresnelschen Formeln erhalten.

1.4.3 Folgerungen aus den Fresnelschen Formeln

Aus den Fresnelschen Gleichungen ergeben sich Schlussfolgerungen, die wichtig für prakti-sche optische Anwendungen sind. Bilder 1.8 und 1.9 zeigen die Winkelabhängigkeit desReflexionsgrads für eine Grenzfläche zwischen zwei Medien mit den Brechzahlen 1,0 (Luft)und 1,5 (Glas). In Bild 1.8 ist der Reflexionsgrad für den Fall dargestellt, dass das Licht ausdem optisch dünneren Medium kommt (n1 ' 1, n2 ' 1,5), im Bild 1.9 für den Fall, dass dasLicht vom optisch dichteren Medium in das optisch dünnere eintritt (n1 ' 1,5, n2 ' 1). Ausden Kurven kann man einige interessante Aspekte erkennen, die im Folgenden diskutiert




ρ ll

ρ⊥

n

n

1

2

=1

=1,5

10o

30o

50o

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,00,04

Einfallswinkel α

Reflexio

nsgra

d

70o

90o

αP

Bild 1.9 Winkelabhängigkeit des Re-flexionsgrads für eine Luft-Glas-Grenzfläche

10o

30o

50o

αc

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,00,04

Einfallswinkel αR

eflexio

nsgra

d

ρll

ρ⊥

n

n

1

2

=1,5

=1

Bild 1.8 Winkelabhängig-keit des Reflexionsgradseiner Glas-Luft-Grenzfläche

D ' D2' D

z'

n1&n2n1%n2

2

(1.64)

werden sollen.

Insbesondere für einige Folgerungen bez. der Winkelabhängigkeit des Reflexionsgradsist eine andere Form der Fresnelschen Formeln hilfreich. Ersetzt man in Gl. 1.33 die Brech-zahl n2 durch das Brechungsgesetz Gl. 1.32, und verwendet die Additionstheoreme fürtrigonometrische Funktionen, erhält man

rz' &

sin("&$)

sin("%$)(1.62)

und

r2'

tan("&$)

tan("%$)(1.63)

(1) Reflexionsgrad bei senkrechtem Einfall

Fällt das Licht senkrecht auf die Grenzfläche (" ' 0), ist eine Einfallsebene nicht definiert.In diesem Fall führen Gln. 1.39 und 1.40 zu

An einer Luft-Glas-Grenzfläche werden ca. 4% des einfallenden Lichts reflektiert unabhän-gig davon, ob es vom optisch dichteren Medium (Glas) oder vom optisch dünneren Medium(Luft) kommt.

Aus dem Amplitudenreflexionskoeffizienten rz für die Komponente senkrecht zur Ein-fallsrichtung (Gl. 133) erkennen wir noch einen interessanten Aspekt. Fällt Licht auf einoptisch dichteres Medium (n1 < n2) wird rz < 0, so dass Erz ' -*rz* Eo ist. An der Grenzfläche




αα

α

αα

n2

n2

xx

yy

Ho⊥

Ho⊥

EoEo

Eox

Eox

Erx

Erx

EoyEoy

Ery

Ery

Hr⊥

Hr⊥

Er

Er

k1r

k1r

k1o

k1o →

→

→→

→

→

→

→

→→

→

→

→

→

→

→ →

→

→

→

(a) (b)

β β

Bild 1.10 (a) Im Bereich " + $ < B/2 erfährt die x-Komponente des elektrischen Felds bei derReflexion am optisch dichteren Medium einen Phasensprung um B, (b) im Bereich " + $ > B/2die y-Komponente

ist das elektrische Feld des reflektierten Lichts antiparallel zu dem des einfallenden Lichts,es hat also eine Phasendifferenz zur einfallenden Welle von B. Das entspricht gerade derPhasenverschiebung, die eine Welle nach einem Weg von einer halben Wellenlänge erfährt.

� Bei der Reflexion von Licht am optisch dichteren Medium erfährt das elektrischeFeld eine Phasenverschiebung von B, was einem Gangunterschied zwischen ein-fallender und reflektierter Welle von einer halben Wellenlänge (8/2) entspricht.

Phasenverschiebung bei Reflexion am optisch dichteren Medium

Aus Gl. 1.62 ist ersichtlich, dass der Phasensprung von B bei der Reflexion an einem optisch dichterenMedium für die senkrecht auf der Einfallsebene stehende Komponente bei allen Einfallswinkelnauftritt (für n1 < n2 ist " > $ und somit rz < 0 für alle Einfallswinkel ").

Schwieriger sind die Dinge bei der Parallelkomponente des elektrischen Felds. So scheint schonder Grenzfall des senkrechten Einfalls (" ' 0°) zu einem Widerspruch zu führen, da einerseits auf denersten Blick der Unterschied zwischen paralleler und senkrechter Komponente wegfallen müsste, aberandererseits nach Gl. 1.33 r2 ' & rz für " ' 0° ist.

Hilfreich ist es hier, die kartesischen Komponenten des in der Einfallsebene liegenden elektri-schen Felds zu betrachten. Das Vektorprodukt in Gl. 1.56 zeigt, dass die Vektoren , , und inPk PE PHdieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden müssen (vgl. Bild 1.10). Das magnetische Feld stehtsenkrecht auf der Einfallsebene. Da Hrz ' r2Hoz ist, zeigt das Vorzeichen von r2, ob das magnetischeFeld einen Phasensprung bei der Reflexion erfährt oder nicht. Damit können wir die Komponenten deseinfallenden und reflektierten elektrischen Feldvektors bestimmen. Wir müssen dazu zwei Bereiche fürden Einfallswinkel unterscheiden. Gl 1.63 macht deutlich, dass bei Reflexion am optisch dichterenMedium r2 > 0 für " + $ < B/2 ist, da tan(" + $) > 0 und r2 < 0 ist für " + $ > B/2. (Der Einfallswinkel"P, für den "P + $ ' B/2 und, wie wir unten ausführlich besprechen werden, folglich r2 ' 0 ist, bezeich-net man als Polarisations- oder Brewster-Winkel.)

Im Bereich " + $ < B/2, wo r2 > 0 ist, ändert der auf der Einfallsebene senkrecht stehende magne-tische Feldvektor bei der Reflexion seine Richtung nicht. Aus Bild 1.10a können wir ablesen, dass

Eox ' &Eo2 cos" und Erx ' Er2 cos" (1.65)

sowieEoy ' &Eo2 sin" und Ery ' &Er2 sin" (1.66)




sin"g 'n2n1

(1.69)

ist. Die x-Komponente des in der Einfallsebene liegenden elektrischen Felds ändert bei der Reflexiondas Vorzeichen und wird um B phasenverschoben, während die y-Komponente ihre Richtung nichtändert. Für den Grenzfall des senkrechten Einfalls, " 6 0, fällt der Unterschied zwischen undPEox

weg, und beide erfahren, wie es sein muss, bei der Reflexion einen Phasensprung um B. PEz

Im Bereich " + $ > B/2 ist r2 < 0, weshalb der auf der Einfallsebene senkrecht stehende magneti-sche Feldvektor bei der Reflexion eine Phasenverschiebung um B erfährt und seine Richtung um 180°ändert. Aus Bild 1.10b können wir ablesen, dass

Eox ' &Eo2 cos" und Erx ' &Er2 cos" (1.67)

sowieEoy ' &Eo2 sin" und Ery ' Er2 sin" (1.68)

Hier wird die y-Komponente des in der Einfallsebene liegenden elektrischen Felds bei der Reflexionum B phasenverschoben, während die x-Komponente ihre Richtung beibehält. In diesem Fall fällt imGrenzfall des streifenden Einfalls, " 6 90°, der Unterschied zwischen der y-Komponente von undPE

2

weg. PEz

(2) Totalreflexion

Trifft Licht vom optisch dichteren Medium auf die Grenzfläche, so wird es, wie wir imAbschn.1.4.1 gesehen haben, von der Normalen der Grenzfläche weggebrochen. Vergrößernwir schrittweise den Einfallswinkel, tritt der Fall ein, dass für einen Einfallswinkel "g (< 90

o)der Brechungswinkel 90o wird. In diesem Fall wird das gesamte einfallende Licht an derGrenzfläche reflektiert. Im Bild 1.9 sehen wir, dass für eine Glas-Luft-Grenzfläche der Re-flexionsgrad eins wird bei einem Winkel von "g ' 41,8°. Für alle Einfallswinkel ", diegrößer als dieser Grenzwinkel "g sind, ist der Reflexionsgrad der Grenzfläche 100%. DieseErscheinung bezeichnet man als Totalreflexion. Den Grenzwinkel "g erhält man aus demBrechungsgesetz (Gl. 1.32) mit der Forderung, dass der Brechungswinkel $ ' 90o wird:

Wir sehen hier noch einmal, dass Totalreflexion nur möglich ist, wenn n2 # n1 ist. Totalreflexion am optisch dünneren Medium bildet die Grundlage für eine Reihe von

optischen Elementen wie z. B. Reflexionsprismen in den verschiedensten Ausführungen.Eine wichtige Anwendung sind optische Fasern, die aufgrund der Totalreflexion Licht-leitung über lange Strecken mit vergleichsweise geringen Verlusten ermöglichen.

Analysiert man das Lichtfeld im dünneren Medium genauer, stellt man fest, dass es dortnicht verschwindet, sondern dass sich eine Welle parallel zur Grenzfläche ausbreitet. DieAmplitude dieser sogenannten Grenzflächenwelle nimmt senkrecht zur Grenzfläche expo-nentiell ab und wird in einer Entfernung von nur wenigen Wellenlängen vernachlässigbar.Legt man das Koordinatensystem so, dass die x, y-Ebene die Einfallsebene bildet und die y-Achse senkrecht auf der Grenzfläche zwischen beiden Medien steht, kann die Grenzflächen-welle durch




n1

n2

n1

Bild 1.11 Anordnung zumNachweis der frustriertenTotalreflexion

Et ' Eote&(ycos T t &

2Bn18

x sin" (1.70)

beschrieben werden. " > "g ist der Einfallswinkel auf die Grenzfläche zum optisch dünnerenMedium, Eot ist die Amplitude an der Grenzfläche im zweiten Medium. Der Koeffizient

( '2B

8n 21 sin

2" & n 22 (1.71)

ist ein Maß für die Eindringtiefe der Grenzflächenwelle in das zweite Medium: Im Abstandy ' (!1 von der Grenzfläche hat sich ihre Amplitude auf den e-ten Teil von Eot verringert.

Für eine Glas-Luft-Grenzfläche (n1 ' 1,5, n2 ' 1) beträgt beispielsweise der Grenzwin-kel der Totalreflexion "g ' 41,8°. Fällt Licht unter einem Winkel von 45° auf die Grenz-fläche, ist die Eindringtiefe der Grenzflächenwelle in die Luft (!1 . 0,5 8.

Das Zustandekommen einer solchen Grenzflächenwelle kann man sich etwas verein-facht so vorstellen, dass Energie durch die Grenzfläche in das optisch dünnere Mediumeindringt, in Form einer Grenzflächenwelle parallel zur Grenzfläche wandert und wieder insdichtere Medium zurückkehrt. Die Totalreflexion ist also von einem Hin- und Herpendelnder Energie zwischen beiden Medien begleitet, wobei im Mittel der Fluss durch die Grenz-fläche verschwindet.

Man kann die Grenzflächenwelle im optisch dünneren Me-dium nachweisen, indem man ein weiteres Medium mit hö-herer Brechzahl in die Nähe der Grenzfläche bringt. Bild 1.11zeigt eine mögliche Anordnung mit zwei Prismen, die durcheine Luftschicht getrennt sind. An der Hypotenuse des erstenPrismas wird Licht total reflektiert. Kommt der Abstand zwi-schen beiden Prismen in den Bereich der Eindringtiefe, wirddie Totalreflexion „gestört“, und es tritt Licht in das zweitePrisma ein. Der Strahlungsfluss im zweiten Prisma wächst ent-sprechend Gl. 1.70 exponentiell mit abnehmendem Abstand.Die Erscheinung wird auch als frustrierte oder gestörte To-talreflexion bezeichnet. Sie bildet die Grundlage für Elemente zur Strahlverzweigung in derLichtwellenleitertechnik und integrierten Optik.

Phasenverschiebung bei Totalreflexion

Durch das Eindringen der totalreflektierten Welle in das zweite Medium kommt es zu einer Lauf-zeitdifferenz zwischen einfallender und totalreflektierter Welle, die sich in einer Phasenverschiebungzwischen beiden Wellen bemerkbar macht. Für die elektrische Feldkomponente senkrecht zur Einfalls-ebene ist diese durch

tanN

z

2'

1

cos"sin2"&

n 22

n 21

(1.72)

bestimmt, sowie die für die Parallelkomponente durch




tanN

2

2'

n 21

n 22

tanN

z

2(1.73)

Die Phasenverschiebung liegt zwischen N2,z ' 0 rad bei dem Grenzwinkel " ' "g und N2,z ' B bei" ' B/2.

Sowohl die Form der Grenzflächenwelle (Gln.1.70 und 1.71) als auch die Phasenverschiebung beider Totalreflexion (Gln. 1.72 und 1.73) können wir mit Hilfe der komplexen Schreibweise (Gl. 1.8)relativ einfach erhalten. Benutzt man im Bereich der Totalreflexion formal das Brechungsgesetzweiter, dann wird sin$ > 1, so dass

cos$ ' 1&sin2$ ' jn 21

n 22

sin2"&1 (1.74)

eine rein imaginäre Größe ist. Das transmittierte Feld ist in komplexer Schreibweise

Ect(x,y ,t) ' Eot ej(T t& Pk2Pr) (1.75)

mit

Pk2 Pr '2Bn28

(xsin$&ycos$) (1.76)

(vgl. Bild 1.7). Ersetzt man darin cos$ durch Gl. 1.74, ergibt Gl. 1.75 mit 1.74 die Grenzflächenwelle,Gl. 1.70 mit 1.71.

Analog kommt man zur Phasenverschiebung, die durch Gln. 1.72 und 1.73 beschrieben wird.Ersetzt man in den Fresnelschen Formeln (Gl. 1.33) cos$ durch Gl. 1.74 werden die Reflexionskoeffi-zienten komplex und können als

r2,z ' *r2,z* e

&jN2,z (1.77)

geschrieben werden. Für den Betrag findet man *r2,z* ' 1, so dass der Reflexionsgrad der Grenzfläche

D ' *r2,z*2 bei Totalreflexion gleich eins ist. Der Phasenwinkel ergibt sich aus .N

2,z ' arctanIm r

2,z

Re r2,z

(3) Brewstersches Gesetz

Die Winkelabhängigkeit des Reflexionsgrads (Bild 1.8 und 1.9) zeigt, dass diese für dieSchwingungskomponente parallel zur Einfallsebene eine Nullstelle hat. Das bedeutet, dassvon der Lichtwelle, die unter diesem Winkel auf die Grenzfläche fällt, nur die Komponentereflektiert wird, deren Schwingungsrichtung senkrecht auf der Einfallsebene steht. Das re-flektierte Licht hat folglich nur eine Komponente der Schwingungsrichtung, es ist linearpolarisiert. Der zugehörige Einfallswinkel "P wird als Polarisationswinkel oder Brewster-scher Winkel bezeichnet. Aus Gl 1.63 entnehmen wir, dass D1 ' r2

2 ' 0 wird, wenn dieBedingung "P + $ ' 90° erfüllt ist (tan("P + $) ' ):4

� Das reflektierte Licht ist vollständig linear polarisiert, wenn reflektierter und gebro-chener Strahl aufeinander senkrecht stehen.

Damit ergibt sich aus dem Brechungsgesetz (Gl. 1.32) die Bedingung für den Polarisations-




tan"P 'n2n1

(1.78)

winkel

die als Brewstersches Gesetz bekannt ist. Der Verlauf des Reflexionsgrads (Bild 1.7 und 1.8) macht überdies deutlich, dass in

einem größeren Winkelbereich um den Polarisationswinkel "P der Reflexionsgrad für dieParallelkomponente deutlich niedriger ist, als der für die Senkrechtkomponente. Reflexe, dievon Glas- oder Wasseroberflächen durch schrägen Lichteinfall herrühren, sind daher teil-weise polarisiert. In der Fotografie beispielsweise macht man sich diese Eigenschaftenzunutze, um störende Lichtreflexe weitgehend zu unterdrücken. Man setzt ein sogenanntesPolarisationsfilter auf das Objektiv und stellt dieses so ein, das es gerade die Schwingungs-komponente sperrt, die im reflektierten Licht dominiert.

Beispiele

1. Unter welchem Winkel sieht ein im Wasser untergetauchter Schwimmer die untergehende Sonne?(Brechungsindex des Wassers n ' 1,33)

Lösung:Streifend auf die Wasseroberfläche einfallendes Licht tritt unter dem Grenzwinkel $g in das Wasserein. Dieser ergibt sich aus dem Brechungsgesetz (Gl.1.32) mit " ' 0 °:

sin$g '1

n

Der Schwimmer sieht das Licht der untergehenden Sonne also unter dem Winkel ßg ' arcsin(1/n) '48,8°. $g ist gerade der Grenzwinkel der Totalreflexion für den Übergang vom Wasser in die Luft.

2. Unter welchem Einfallswinkel muss Licht, dessen Schwingungsebene parallel zur Einfallsebeneliegt, auf eine planparallele Glasplatte mit der Brechzahl 1,5 fallen, damit keine Reflexionsverlus-te beim Durchgang durch die Platte auftreten?

Lösung:Der Reflexionsgrad einer Grenzfläche verschwindet, wenn für die parallel zur Einfallsebene liegendeSchwingungskomponente der Einfallswinkel gleich dem Brewster-Winkel (Gl.1.78) wird, tan"P 'n2/n1 ' 1,5 (Übergang Luft Glas), so dass "P ' 56,3° ist. Da das Licht aus der Planplatte parallel zurEinfallsrichtung austritt, ist auch für die Rückseite der Platte (Übergang Glas Luft) die Brewster-Be-dingung, dass Einfalls- und Brechungswinkel senkrecht aufeinander stehen, erfüllt.



24 1.5 Interferenz

Ee ' gc ( PE1% PE2 )2 (1.79)

Spiegel

Spiegel

Strahlteiler

Schirm

Bild 1.12 Schematischer Aufbau einesMichelson-Interferometers

1.5 Interferenz

Interferenz oder Überlagerung von Wellen ist eine grundlegende Erscheinung in der Optik.Sie bildet zum einen die Grundlage für das Verständnis verschiedener Teilgebiete und Phä-nomene in der Optik. Zum anderen beruhen Geräte der optischen Messtechnik sowie opti-sche Funktionselemente auf der Interferenz von Lichtwellen. In diesem Abschnitt sollen dieGrundlagen der Interferenz von zwei Wellen (Zweistrahlinterferenz) anhand von zweitypischen Anordnungen besprochen werden.

1.5.1 Überlagerung von Wellen

Laufen mehrere elektromagnetische Wellen durch den Raum, so breitet sich jede Welleunabhängig von den anderen aus. In jedem Raumpunkt ergibt sich die resultierende Feld-stärke als Summe der Einzelfeldstärken. Stellt man an eine Stelle einen Empfänger (bei-spielsweise einen Schirm oder einen fotoelektrischen Detektor), so zeigt dieser die Bestrah-lungsstärke an, die sich nach Gl. 1.14 durch Quadrieren der Summe der Einzelfeldstärkenund anschließender zeitlicher Mittelung ergibt. Für zwei Wellen mit den elektrischen Feld-stärken E1 und E2 bedeutet das

Die Erscheinungen, die durch Überlagerung von Wellen in bestimmten Raumpunktenhervorgerufen werden, bezeichnet man als In-terferenz. Wir wollen die Interferenzerschei-nungen für den einfachsten Fall genauer unter-suchen, dass zwei ebene Wellen überlagert wer-den, die in die gleiche Richtung laufen, die glei-che Schwingungsrichtung und Frequenz haben.Solche Interferenzen kann man praktisch in ei-nem Michelson-Interferometer erzeugen, wiees schematisch im Bild 1.12 dargestellt ist.Durch einen halbdurchlässigen Spiegel (Strahl-teiler) wird eine Welle in zwei Teilwellen auf-geteilt. Die beiden Teilwellen legen in denInterferometerarmen unterschiedliche Wege zu-rück, werden an den Endspiegeln reflektiert undam Teilerspiegel wieder überlagert. Die Interfe-renzerscheinungen werden auf einem Empfän-ger hinter dem Teilerspiegel (im Bild 1.12 alsSchirm dargestellt) beobachtet. Die Phase der Teilwellen wird durch die Wege z1 und z2bestimmt, die sie nach der Strahlteilung bis zum Empfänger zurückgelegt haben.

Die resultierende Feldstärke ist gleich der Summe der Einzelfeldstärken aus jedem Inter-ferometerarm:




Ee,res ' Ee1%Ee2%2 Ee1Ee2cos2B

8(z2&z1) (1.81)

) ' m8 bzw. )n ' 2mB, m ' 0, 1, 2, ... (1.83)

) ' (2m % 1) 82

bzw. )n ' (2m % 1)B, m ' 0, 1, 2, 3, ... (1.84)

Eres ' E1mcos(T t&kz1 ) % E2mcos(T t&kz2 ) (1.80)

E1m und E2m sind die Amplituden der beiden Teilwellen. Die Intensität auf dem Empfängerergibt sich entsprechend Gl. 1.79 durch Quadrieren und zeitliches Mitteln:

Dabei wurde benutzt, dass ist. Ee1, Ee2 sind die Intensitäten der beidencos2 (T t&kz) ' 1/2

Teilwellen. Die resultierende Intensität beider Wellen hängt empfindlich von dem Gang-unterschied ) ' z2 & z1 bzw. der Phasendifferenz

)n '2B

8(z2&z1 ) (1.82)

der beiden Wellen ab. Ist der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge,

wird die resultierende Intensität maximal, bzw. Ee,res ' 4Ee,Ee,res ' Ee1%Ee2%2 Ee1Ee2wenn die Bestrahlungsstärken beider Teilwellen gleich sind (Ee1 ' Ee2 ' Ee ). Beide Wellenschwingen auf dem Empfänger gleichphasig und verstärken sich. Man spricht daher vonkonstruktiver Interferenz.

Beträgt dagegen der Gangunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wel-lenlänge,

wird die resultierende Intensität ein Minimum, , bzw. verschwin-Ee,res ' Ee1%Ee2&2 Ee1Ee2det, wenn die Bestrahlungsstärken beider Teilwellen gleich sind. Die Teilwellen schwingengegenphasig und schwächen sich bzw. löschen sich aus. Man bezeichnet dies als destrukti-ve Interferenz.

Die hier gewonnenen Aussagen über die Abhängigkeit der resultierenden Intensität ineinem Raumpunkt von der Phasendifferenz zwischen den sich überlagernden Wellen sindnicht nur auf Wellen beschränkt, die die gleiche Richtung haben, sondern gelten für mono-chromatische Wellen mit beliebiger Ausbreitungsrichtung:

� Beträgt in einem Raumpunkt der Gangunterschied zwischen zwei Wellen ein ganz-zahliges Vielfaches ihrer Wellenlänge, tritt konstruktive Interferenz auf und dieIntensität der resultierenden Welle wird maximal. Ist der Gangunterschied ein unge-radzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge, interferieren sie destruktiv undschwächen bzw. löschen sich aus.

Voraussetzung für die Beobachtung von Interferenzerscheinungen ist allerdings, dass diesich überlagernden Wellen eine gemeinsame Komponente ihrer Schwingungs- bzw. Pola-risationsrichtung besitzen. Stehen die Schwingungsebenen senkrecht aufeinander, treten



26 1.5 Interferenz

αα

ββ

A

B

C

D

d

no

n1

1 2

Bild 1.13 Gangunterschied zwi-schen den an der Vorder- undRückseite einer Planplatte reflek-tierten Strahlen

keine Interferenzen auf. Bei der Überlagerung nichtmonochromatischer Wellenfelder bzw.von Licht ausgedehnter Lichtquellen kommt die Eigenschaft der Kohärenz des Lichts zumTragen, die wir im Abschn. 1.6 besprechen wollen.

1.5.2 Interferenz an planparallelen Schichten

Eine weitere Anordnung zur Erzeugung von Interfe-renzen ist die Überlagerung der an der Vorder- undRückseite einer Planplatte reflektierten Teilwellen.Diese Anordnung bildet die Grundlage für eine Reihepraktischer Anwendungen. Die Entspiegelung opti-scher Gläser ebenso wie die Herstellung hochreflek-tierender Laserspiegel beruht auf der Interferenz andünnen, dielektrischen Schichten. Die Farben, die wirauf dünnen Ölfilmen oder Seifenschichten beobach-ten können, sind ebenfalls durch Interferenz der anden Grenzflächen reflektierten Lichtwellen zu erklä-ren.

Zum Verständnis betrachten wir den einfachstenFall, dass ein an der Vorder- und ein an der Rücksei-te einer transparenten planparallelen Platte reflektier-ter monochromatischer Strahl miteinander interferieren. Die Beiträge von mehrfachreflek-tierten Strahlen können im allgemeinen vernachlässigt werden, da z. B. der Reflexionsgradeiner Glasoberfläche nur wenige Prozent beträgt und mit jeder weiteren Reflexion die Am-plitude der reflektierten Welle sehr schnell abnimmt. Mit dieser Näherung bildet die Plan-platte ebenfalls ein Beispiel zur Zweistrahlinterferenz.

Die Anordnung ist schematisch in Bild 1.13 dargestellt. Die Planplatte hat die Brechzahln1, das umgebende Medium no (für Luft ist no ' 1). Ein Strahl trifft im Punkt A unter demWinkel " auf die Platte und wird teilweise reflektiert und gebrochen. Der gebrochene Strahlwird auf der Rückseite in B wieder teilweise reflektiert und gebrochen. Betrachtet wird dieÜberlagerung der beiden parallelen Strahlen l und 2. Da sich Parallelstrahlen im Unendli-chen schneiden, können die durch die Überlagerung hervorgerufenen Interferenzerscheinun-gen in großen Abständen von der Platte beobachteten werden. Eine Möglichkeit, denSchnittpunkt ins Endliche zur verlegen, ist die Verwendung einer Linse. Da, wie wir späterausführlich besprechen werden, sich parallele Strahlen im Brennpunkt einer Linse vereini-gen, können die Interferenzen in der Brennebene der Linse beobachtet werden. (Bei der Be-trachtung mit dem Auge ist dies die Augenlinse.) Ob beide Teilstrahlen konstruktiv oderdestruktiv interferieren, hängt vom Gangunterschied zwischen ihnen ab. Dieser ist gleich derDifferenz zwischen den optischen Wege, die Strahl 1 von A nach D und Strahl 2 von A nachC über B zurückgelegt haben.

Die geometrische Wegdifferenz der Strahlen l und 2 ist nach Bild 1.13 AB + BC & AD.Aufgrund der im Vergleich zum Vakuum geringeren Lichtgeschwindigkeit in den Medienist die optische Wegdifferenz n1(AB + BC) & no AD für den Gangunterschied maßgeblich.Allerdings müssen wir noch berücksichtigen, dass der am optisch dichteren Medium reflek-

Documents

Grundlagen und Anwendungen - Spektrum.de€¦ · Verlag Harri Deutsch { Kuhlk e: Optik { Grundlagen und Anwendungen { (978-3-8171-1878-6) II Inhaltsverzeichnis 104 2.6 Aufgaben 116