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© Sabine Woellert
Grundwissen 9 1. Quadratische Funktion ................................................................................................................ 2
1.1 Definition ............................................................................................................................. 2
1.2 Eigenschaften der Normalparabel ( ): ................................................................ 2
1.3 Veränderung der Normalparabel ........................................................................................ 2
1.4 Normalform, Scheitelform .................................................................................................. 4
1.5 Berechnung der Schnittpunkte mit den Achsen ................................................................. 5
1.6 Substitution ......................................................................................................................... 7
1.7 Anwendung an dem Beispiel ......................................... 7
2. Quadratische Funktionen in Anwendungen ................................................................................ 9
2.1 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen ................................................................... 9
2.2 Bestimmen des Funktionsterms .......................................................................................... 9
2.3 Extremwertprobleme ........................................................................................................ 10
2.4 Schnittprobleme ................................................................................................................ 11
2.5 Parabel als Ortslinie ........................................................................................................... 12
3. Wahrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufallsexperimenten ..................................................... 13
3.1 Mehrstufige Zufallsexperimente ....................................................................................... 13
3.2 1. Pfadregel ........................................................................................................................ 13
3.3 2. Pfadregel ........................................................................................................................ 14
3.4 Simulation von Zufallsexperimenten ................................................................................. 14
4. Quellen ...................................................................................................................................... 14
2
1. Quadratische Funktion 1.1 Definition
Eine Funktion der Form mit und mit der Definitionsmenge
heißt quadratische Funktion, der zugehörige Graph heißt Parabel.
1.2 Eigenschaften der Normalparabel ( ):
Die Kurve ist oben offen und verläuft im I. und III. Quadranten bzw. „oberhalb“ der x-Achse, d. h.
alle Funktionswerte (y-Werte) sind größer gleich Null ( )
Die Kurve berührt die x-Achse im Koordinatenursprung
Die y-Achse ist Symmetrieachse der Kurve, es gilt:
Der Punkt heißt Scheitelpunkt der Normalparabel
1.3 Veränderung der Normalparabel
1.3.1 Stauchung und Streckung
1. => Parabel wird gestaucht, d. h. weiter als Normalparabel
2. => Parabel wird gestreckt, d. h. enger als Normalparabel
Merkspruch: Klein und dick, groß und dünn
1. 2.
3
1.3.2 Spiegeln an der x-Achse
Wenn ist, dann ist die Parabel an der x-Achse gespiegelt, d.h. wenn
=> Parabel nach unten geöffnet
=> Parabel nach oben geöffnet
1. 2.
1.3.3 Verschiebung an der y-Achse:
Dafür benötigt man eine quadratische Gleichung der Form:
1. c > 0 => Verschiebung nach oben um c
2. c < 0 => Verschiebung nach unten um c
1. 2.
1.3.4 Verschiebung an der x-Achse
1. => Verschiebung nach rechts um +b =>
2. => Verschiebung nach links um –b =>
Tipp: Das Vorzeichen dreht sich um!
4
1. 2.
1.4 Normalform, Scheitelform
Normalform:
Scheitelform: =>
Umformung: von der Normalform zur Scheitelform: quadratisch Ergänzen
Umformung: von der Scheitelform zur Normalform: Binom ausrechnen und zusammen fassen
1.4.1 Quadratisch Ergänzen
1. Wenn nötig den Koeffizienten vor x2 ausklammern, die Konstante (c) aber stehen lassen.
2. Den Koeffizienten vor x durch 2 teilen und als Produkt schreiben.
3. Den weiteren Faktor einmal im Quadrat addieren und wieder subtrahieren, damit man die 1.
oder 2. Binomische Formel bilden kann.
4. Die ersten drei Summanden zur Binomischen Formel zusammenfassen. Das zweite Quadrat
ausklammern. Dabei bleibt, außer es ist ein Minus vor der Klammer, das Minus erhalten, d. h.
man quadriert so:
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
1.4.2 Binom ausrechnen
Die 1. oder 2. Binomische Formel ausrechnen und mit der Konstanten c verrechnen, ggf. zuvor noch
ausmultiplizieren mit dem Faktor vor der Klammer.
5
1.5 Berechnung der Schnittpunkte mit den Achsen
1.5.1 Nullstellen
Als Nullstellen werden die Punkte bezeichnet, an denen der Graph die x-Achse schneidet, also z.B.
bei der Normalparabel der Punkt . Dafür wird die Funktion gesetzt, da der y-Wert 0
sein muss.
1.5.1.1 Bei einer Gleichung mit den Variablen a und c
=>
=>
1.5.1.2 Bei einer Gleichung mit den Variablen a, b und c
Dafür wird die sogenannte Mitternachtsformel oder Lösungsformel angewendet.
wird als Diskriminante D bezeichnet. Je nach dem welchen Wert sie annimmt gibt es zwei,
einen oder keine Nullstelle.
Dabei gilt:
=> 2 Lösungen, d. h. der Graph schneidet die x-Achse zweimal => der Scheitelpunkt liegt
unter der x-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet oder der Scheitel liegt über der x-Achse
und die Parabel ist nach unten geöffnet
=> 1 Lösung, d.h. der Graph berührt die x-Achse => der Scheitelpunkt liegt auf der x-
Achse
6
=> keine Lösung, d.h. der Graph schneidet die x-Achse nie => der Scheitelpunkt liegt
über der x-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet oder die Scheitelpunkt liegt unterhalb
der x-Achse und die Parabel ist nach unten geöffnet
=>
Minus unter der Wurzel => Mathematischer Fehler => die Funktion hat keine Nullstellen
1.5.1.3 Der Satz von Vieta
Sind x1 und x2 die Lösung einer quadratischen Form dann gilt: und
. In dieser Form kann man die Nullstellen direkt ablesen, da ein Produkt Null wird, wenn
ein Faktor/eine Klammer Null ist.
=>
=>
1.5.2 Schnittpunkt mit der y-Achse
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse herauszufinden muss man für x Null einsetzen, d. h. man
rechnet aus. Dabei muss man von der Normalform ( ) das c nehmen, da
die anderen beiden durch wegfallen.
=>
=>
7
1.6 Substitution
Durch geschicktes Ersetzen der Variablen lassen sich Gleichungen auf quadratische Formen bringen.
Dieses Verfahren heißt Substitution. Mit dieser Technik lassen sich Nullstellen von Funktionen
höheren Grades berechnen.
Substitution :
Rücksubstitution :
1.7 Anwendung an dem Beispiel
1. Normalform:
2. Scheitelform:
3. Stauchung/Streckung: 0 < a < 1 => gestaucht
4. Verschiebung an der y-Achse: um 0,75 nach unten
5. Verschiebung an der x-Achse: um 2,5 nach rechts
6. Scheitelpunkt ablesen: S(2,5l-0,75)
7. Spiegeln an der x-Achse: a > 0 => nach oben geöffnet
8. Nullstellen:
=> NS1(3,72l0); NS2(1,28l0)
8
9. Schnittpunkt mit der y-Achse: => Sy(0I2,375)
10. Zeichnung
9
2. Quadratische Funktionen in Anwendungen 2.1 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen
Das Lineare Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten kannst du bereits lösen. Um
jetzt das mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten zu lösen verwenden wir den Trick, dass wir es so
umformen, dass es zu einem Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten wird.
1. Eine Gleichung wird so umgeformt, dass eine Variable alleine auf einer Seite steht.
2. Diese Variable werden in die anderen beide Gleichungen eingesetzt.
3. Durch das Einsetz- oder Additionsverfahren kannst du jetzt die 2 anderen Gleichungen nach den
weiteren Variablen auflösen.
4. Durch die 2 anderen Variablen kannst du die dritte herausfinden.
Beispiel: I
II
III
1. I’
II
III
I’ in II/III
2. II’
III’
3. II‘‘
III‘
II’’ in III’
III‘‘
III’’ in II’’
II‘‘‘
III’’/II’’’ in I’
4. I‘
2.2 Bestimmen des Funktionsterms
Man setzt die drei Punkte in eine eigene Funktion . Die x-Werte werden
eingesetzt und bei a quadriert. Der y-Wert wird für f(x) eingesetzt, dadurch erhält man ein
Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten.
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Eine Parabel verläuft durch die Punkte A(-4l2); B(-3l3,5); C(1l-0,5). Berechne die Normalform der
Parabel.
I
II
III
I
II
III’
III’ in I/II
I’
II’
I’
II’’
II’’ in I’
I’’
I’’ in II’’
II’’’
I’’/II’’’ in III’
III‘
=>
2.3 Extremwertprobleme
Wenn man ein Minimum oder Maximum, also einen Extremwert, sucht stößt man oft auf eine
quadratische Funktion. Der Scheitelpunkt dieser Funktion liefert den Extremwert.
Führt die Suche nach dem Extremwert einer Größe auf eine quadratische Funktion, so liefert der
Scheitelpunkt des Graphen diesen Extremwert.
Dabei gilt:
ist ein Minimum (die Parabel ist nach oben geöffnet)
ist ein Maximum (die Parabel ist nach unten geöffnet)
ist der x-Wert
ist der Extremwert
11
=>
=> für
=>
=> für
Beispiel: Der Bauer Huber konnte ein neues Grundstück ersteigern. Jedoch ist dieses dreieckig, er möchte aber einen rechteckigen Stall für seine Kühe bauen. Wie sollte der Bauer das Grundstück einteilen. Sodass er einen möglichst großen Stall bekommt?
Der Punkt P liegt auf der Geraden
Für den Flächeninhalt gilt:
=> A = 300; für x = 15
2.4 Schnittprobleme
Um die Schnittpunkte verschiedener Funktionen ohne Skizze herauszufinden muss man die beiden
Funktionsterme gleichsetzen.
Die (quadratische oder lineare) Gleichung wird ganz normal nach x aufgelöst. Diesen Wert setzt man
dann in einen der beiden Funktionen ein um den y-Wert des Schnittpunktes zu erhalten.
Wenn man eine quadratische Gleichung, also eine Gleichung in der mindestens einmal ein
vorkommt, erhält löst man sie, wie wenn man Nullstellen (siehe 1.5.1) ausrechnet.
Dabei gilt:
=> 2 Lösungen, d. h. die Graphen schneiden sich zweimal
=> 1 Lösung, d.h. die Graphen schneiden oder berühren sich einmal
=> keine Lösung, d.h. die Graphen schneiden sich nie
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und
und
=>
=>
2.5 Parabel als Ortslinie
Die Punkte auf einer Parabel haben immer den gleichen
Abstand ( zum Brennpunkt F und zur
Leitgeraden l. Die Leitgerade hat den Abstand p zum
Brennpunkt.
p p
l
p
h
h
h
h h
13
3. Wahrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufallsexperimenten 3.1 Mehrstufige Zufallsexperimente
Ein mehrstufiges Zufallsexperiment wird ein Zufallsexperiment genannt, das aus mehreren Teilen
besteht. Ein mehrstufiges Zufallsexperiment kann aus Paaren (a1; a2), Tripeln (a1; a2; a3) oder
allgemein aus n-Tuppel (a1; a2; …; an) bestehen. Diese n-Tuppel bezeichnet man als Ergebnis und sie
stehen für genau einen Pfad des Baumdiagrammes dar.
Aus einer Urne mit 2 blauen und 3 roten Kugeln werden 2 Kugeln nacheinander gezogen und wieder
zurückgelegt. Stelle dies in einem Baumdiagramm dar und nenne die 2 Tuppel/Lösungspaare?
1. Zug 2. Zug Tuppel (hier: Paare)
r (r; r)
r
b (r; b)
r (b; r)
b
b (b; b)
3.2 1. Pfadregel
Um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (eines mehrstufigen Zufallsexperiments)
auszurechnen, multipliziert man die Wahrscheinlichkeit des entsprechendes Pfades im
Baumdiagramm.
Aus einer Urne mit 2 blauen und 3 roten Kugeln werden 2 nacheinander gezogen und wieder
zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide blauen Kugeln gezogen werden?
1. Stufe 2. Stufe Wahrscheinlichkeit
r
r
b
r
b
b
14
Z
3.3 2. Pfadregel
Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten erhält man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem
man die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade bildet, die zu dem Ereignis gehört.
Dabei gilt:
Erinnerung: „Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist die Mächtigkeit von A durch die Mächtigkeit
von Omega.“
Aus einer Urne mit 2 blauen und 3 roten Kugeln werden 2 nacheinander gezogen und wieder
zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine blaue Kugel gezogen wird?
oder:
oder:
3.4 Simulation von Zufallsexperimenten
Wenn man ein Zufallsexperiment durch die gleichen Wahrscheinlichkeiten nachahmen kann nennt
man das Simulation von Zufallsexperimenten. Die bei der Simulation herausgefundene relative
Häufigkeit eines Ereignisses wird als Schätzwert für das ursprüngliche Ereignis verwendet.
Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn man anstatt einer Münze einen Würfel dreimal wirft und nur
feststellt, ob die Zahl gerade oder ungerade ist.
Diese Technik wird sehr oft angewendet, um Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses am Computer zu
simulieren.
4. Quellen Prof. Schmid A., Prof. Dr. Weidig I. Lambacher Schweizer 9, Mathematik für Gymnasien ,
S. 62 – 132, Stuttgart/Leipzig, 2007
Bilder/Grafiken: selbst erstellt mit Geogebra
