Nullstellen reeller Polynome - KIT · Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis Uberblick¨ Beschreibung von Lösungswegen f ür

Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis

Nullstellen reeller Polynome

Christiane Sutter

Proseminar fur Lehramt

27.11.2006

Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome


Uberblick

Beschreibung von Losungswegen fur das Losen reellerPolynome bis zum Grad 4

Kurze Erlauterung der Problematik der Nullstellenbestimmungbei Polynomen mit Grad > 4 =⇒ Satz von Abel-Ruffini; Ideevon Galois

Einige Hinweise, wie die Lage von Nullstellen abgeschatztwerden kann und naherungsweise Bestimmung von Nullstellenin der Praxis



Uberblick






Uberblick






1 Einleitung

2 GrundbegriffeDefinition PolynomeFundamentalsatz der AlgebraDefinition NullstelleExistenz von Nullstellen

3 Polynome mit n ≤ 4Lineare PolynomeQuadratische PolynomeKubische PolynomePolynome mit n = 4

4 NS bei bel. Grad nSatz von Abel-RuffiniIdee von Galois

5 Nullstellen in der PraxisBisektionNewton-VerfahrenSekantenverfahrenHorner-Schema



Was sind reelle Polynome?

In der linearen Algebra definiert man Polynome als finite Folgen (d.h.alle bis auf endlich viele ai sind gleich Null).

Fur unsere folgenden Betrachtungen genugt jedoch:

Definition

p : C → C heißt Polynom vom Grad n ∈ N0 falls∀a0, . . . , an ∈ C : an 6= 0 ∧ ∀x ∈ C :

f(x) =n∑

i=0

ai · xi = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0




In der linearen Algebra definiert man Polynome als finite Folgen (d.h.alle bis auf endlich viele ai sind gleich Null).

Fur unsere folgenden Betrachtungen genugt jedoch:

Definition

p : C → C heißt Polynom vom Grad n ∈ N0 falls∀a0, . . . , an ∈ C : an 6= 0 ∧ ∀x ∈ C :

f(x) =n∑

i=0

ai · xi = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0




f(x) =

n∑

i=0

ai · xi = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0

Dabei- bestimmt der hochste Exponent n den Polynomgrad von p.- bezeichnet man die Zahlen a0, ..., an als die Koeffizienten von p.- nennen wir p normiert, falls der Leitkoeffizient an = 1 ist.Polynome sind ”reell”, wenn die Koeffizienten a0, . . . , an ∈ R sind.Achtung! Polynome mit reellen Koeffizienten konnen auch komplexeNullstellen haben.




f(x) =

n∑

i=0

ai · xi = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0





f(x) =

n∑

i=0

ai · xi = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0





f(x) =

n∑

i=0

ai · xi = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0





f(x) =

n∑

i=0

ai · xi = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0




Fundamentalsatz der Algebra

Hauptsatz der Algebra:

Sei p : C → C: Istp(x) =

∑n

k=0 ak · xk = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0 einkomplexes Polynom vom Grad n, so gibt es eindeutig bestimmte Zahlenx1, . . . , xn (die Nullstellen des Polynoms), so dassp(x) = an(x − xn)(x − xn−1) . . . (x − x2)(x − x1) gilt.

Die Anzahl der Nullstellen, wenn sie mit der richtigen Vielfachheitgezahlt werden, ist also insgesamt gleich dem Grad des Polynoms.



Fundamentalsatz der Algebra

Hauptsatz der Algebra:

Sei p : C → C: Istp(x) =

∑n

k=0 ak · xk = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0 einkomplexes Polynom vom Grad n, so gibt es eindeutig bestimmte Zahlenx1, . . . , xn (die Nullstellen des Polynoms), so dassp(x) = an(x − xn)(x − xn−1) . . . (x − x2)(x − x1) gilt.

Die Anzahl der Nullstellen, wenn sie mit der richtigen Vielfachheitgezahlt werden, ist also insgesamt gleich dem Grad des Polynoms.



Was ist eine Nullstelle?

Definition

Ein Element x0 ∈ C eines Polynoms p : C → C heißt Nullstelle von p,wenn p(x0) = 0 gilt.

Nach dem Hauptsatz der Algebra sind die Zahlen x1,. . .,xn dieNullstellen eines Polynoms.Von einfacher Nullstelle spricht man, wenn xi nur einmal in denLinearfaktoren (x − xi) auftritt. Eine mehrfache (k-fache) Nullstelle inxi ∈ C liegt vor, wenn der Linearfaktor (x − xi) k-mal auftritt.




Definition

Ein Element x0 ∈ C eines Polynoms p : C → C heißt Nullstelle von p,wenn p(x0) = 0 gilt.

Nach dem Hauptsatz der Algebra sind die Zahlen x1,. . .,xn dieNullstellen eines Polynoms.Von einfacher Nullstelle spricht man, wenn xi nur einmal in denLinearfaktoren (x − xi) auftritt. Eine mehrfache (k-fache) Nullstelle inxi ∈ C liegt vor, wenn der Linearfaktor (x − xi) k-mal auftritt.




Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten treten echt komplexe Nullstellenstets als Paare komplex konjugierter Zahlen auf. Das heißt, ist λ = x + iyeine Nullstelle, so auch λ = x − iy.

Polynome geraden bzw. ungeraden Grades haben also stets geradebzw. ungerade viele reelle Nullstellen, wenn man jede Nullstelleentsprechend ihrer Vielfachheit zahlt.

Polynome ungeraden Grades uber den reellen Zahlen haben stetsmindestens eine reelle Nullstelle.















Existenz von Nullstellen

Mit dem Zwischenwertsatz kann abgeschatzt werden, ob sich zwischenzwei Stellen a und b einer stetigen Funktion eine Nullstelle existiert:

Zwischenwertsatz von Bolzano:

Sei p : R ⊃ [a, b] → R stetig und γ ∈ R mitmin {f(x) : a ≤ x ≤ b} ≤ γ ≤ max {f(x) : a ≤ x ≤ b} . Dann gibt es(mindestens) ein x ∈ [a, b] mit f(x) = γ.

Haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, so garantiert derZwischenwertsatz die Existenz einer Nullstelle von f im offenen Intervall(a,b).



Polynome mit Grad n ≤ 4

Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und viertenGrades lassen sich mit Formeln explizit berechnen.Dagegen lassen sich Polynome hoheren Grades nur in Spezialfallen exaktfaktorisieren.

Hier soll nun also zunachst auf die ’einfachen’ Falle eingegangen werden.



Losung linearer Polynome

Lineare Polynome sind Polynome der Form p(x) = ax + b. Es sollp(x) = 0 sein. Daraus ergibt sich fur x die Losung:

L :=

{

x ∈ R|x = − b

a

}

, a, b ∈ R

Geometrische Beschreibung linearer Polynome bei p : R → R: Gerade, diedie x-Achse in EINEM Punkt schneidet.

–8

–6

–4

–2

2

4

6

–1 1 2 3 4x

Abbildung: 3x - 6



Losung linearer Polynome

Lineare Polynome sind Polynome der Form p(x) = ax + b. Es sollp(x) = 0 sein. Daraus ergibt sich fur x die Losung:

L :=

{

x ∈ R|x = − b

a

}

, a, b ∈ R

Geometrische Beschreibung linearer Polynome bei p : R → R: Gerade, diedie x-Achse in EINEM Punkt schneidet.

–8

–6

–4

–2

2

4

6

–1 1 2 3 4x

Abbildung: 3x - 6



Quadratische Polynome

Zur Losung einer quadratischen Gleichung (p(x) = ax2 + bx + c = 0)kann man folgende Losungsformel (”Mitternachtsformel”) benutzen:

x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac

2a

Fur den Spezialfall eines normierten quadratischen Polynoms (d.h.a = 1 → p(x) = x2 + px + q) ergibt sich die sog. ”p-q-Formel”:

x1,2 = −p

2±√

(p

2

)2

− q = −p

2±√

p2

4− q

Jede quadratische Gleichung kann durch geeigneteAquivalenzumformungen in die Normalform gebracht werden → p = b

a,

q = ca





x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac

2a


x1,2 = −p

2±√

(p

2

)2

− q = −p

2±√

p2

4− q


a,

q = ca





x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac

2a


x1,2 = −p

2±√

(p

2

)2

− q = −p

2±√

p2

4− q


a,

q = ca



Anzahl der Losungen quadratischer Gleichungen

Der Ausdruck unter der Wurzel (die Diskriminante D = b2 − 4ac)bestimmt fur eine Gleichung mit reellen Koeffizienten, wie vielereellwertige Losungen die Gleichung hat. Man unterscheidet drei Falle:

1 D > 0: Die Parabel (A) hat zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, esgibt also zwei verschiedene reelle Nullstellen x1 und x2,

2 D = 0: Die Parabel (B) hat einen Beruhrpunkt mit der x-Achse, esist x1 = x2 (doppelte Nullstelle). Der Beruhrpunkt ist gleichzeitigauch ein Maximum (a < 0) bzw. Minimum (a > 0)

3 D < 0, Die Parabel (C) hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, esgibt keine reelle Losung der quadratischen Gleichung, wohl aberkomplexe.

ABC

Legend

–3–2–10

12345

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x








ABC

Legend

–3–2–10

12345

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x








ABC

Legend

–3–2–10

12345

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x



Herleitung der Formeln

Zur Herleitung der Losungsformeln benutzt man die Quadratische Erganzung:

x2 + p · x + q = 0 −q

x2 + p · x = −q +`

p

2

´2Quadrat der Halfte des lin. Gliedes add.

x2 + p · +`

p

2

´2=

`

p

2

´2 − q () Mit binom. Formel zusammenfassen`

x + p

2

´2=

`

p

2

´2 − q√

Wurzel ziehen

x + p

2= ±

q

`

p

2

´2 − q

Auf die Mitternachtsformel kommt man von hier, indem man p = b

aund q = c

a

verwendet:

x1,2 = − p

2±

q

p2

4− q p, q ersetzen durch s.o.

= − 12

b

a±

q

14

b2

a2 − c

a12a

ausklammern

= 12a

· (−b) ±q

14a2 (b2 − 4ac) auf einen Bruchstrich schreiben

=−b±

√b2−4ac

2a





x2 + p · x + q = 0 −q

x2 + p · x = −q +`

p

2


x2 + p · +`

p

2

´2=

`

p

2


x + p

2

´2=

`

p

2

´2 − q√

Wurzel ziehen

x + p

2= ±

q

`

p

2

´2 − q


aund q = c

a

verwendet:

x1,2 = − p

2±

q

p2


= − 12

b

a±

q

14

b2

a2 − c

a12a

ausklammern

= 12a

· (−b) ±q


=−b±

√b2−4ac

2a





x2 + p · x + q = 0 −q

x2 + p · x = −q +`

p

2


x2 + p · +`

p

2

´2=

`

p

2


x + p

2

´2=

`

p

2

´2 − q√

Wurzel ziehen

x + p

2= ±

q

`

p

2

´2 − q


aund q = c

a

verwendet:

x1,2 = − p

2±

q

p2


= − 12

b

a±

q

14

b2

a2 − c

a12a

ausklammern

= 12a

· (−b) ±q


=−b±

√b2−4ac

2a





x2 + p · x + q = 0 −q

x2 + p · x = −q +`

p

2


x2 + p · +`

p

2

´2=

`

p

2


x + p

2

´2=

`

p

2

´2 − q√

Wurzel ziehen

x + p

2= ±

q

`

p

2

´2 − q


aund q = c

a

verwendet:

x1,2 = − p

2±

q

p2


= − 12

b

a±

q

14

b2

a2 − c

a12a

ausklammern

= 12a

· (−b) ±q


=−b±

√b2−4ac

2a



Geometrische Losung mit Satz von Vieta

Quadratische Gleichungen besitzen eine wichtige Eigenschaft:

x1 + x2 = −p und x1x2 = q

Man bezeichnet dies als die Satzgruppe von Vieta nach der latinisiertenForm von Francois Viete, einem franz. Mathematiker (1540 - 1603).

Diese Eigenschaft kann man nutzen, um die Losung quadratischerGleichungen geometrisch zu bestimmmen. Fur den Fall 0 ≤ q ≤

(

p2

)

giltnamlich mit Hilfe des Hohensatzes:

Abbildung: Losungen nach Satz von VietaChristiane Sutter Nullstellen reeller Polynome




x1 + x2 = −p und x1x2 = q



(

p2

)






x1 + x2 = −p und x1x2 = q



(

p2

)




Kubische Polynome

Kubische Polynome sind Polynome dritten Grades.

Geometrisch beschreibt die reelle Variante der kubischen Gleichung einekubische Parabel in der x-y-Ebene, die immer von −∞ . . . + ∞ (a > 0)bzw. von +∞ . . . −∞ (a < 0) lauft.Deshalb muss es stets mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achsegeben, d.h. mindestens eine reelle Nullstelle.

Losungsformeln zu kubischen Polynomen wurden erstmals 1545 vonGirolamo Cardano (1501-1576) in seinem Buch Ars magna

veroffentlicht.



Kubische Polynome




veroffentlicht.



Kubische Polynome




veroffentlicht.



Losung reduzierter kubischer Polynome

Die Losung der kubischen Gleichung stutzt sich auf die kubischeBinomialformel

(u + v)3 = 3uv(u + v) + (u3 + v3),

die Cardano mit geometrischen Mitteln herleiten konnte.

Die Gleichung kann interpretiert werden als kubische Gleichungx3 + px + q = 0, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind:

u + v = x

3uv = −p

u3 + v3 = −q




Damit die genannte Gleichung gelost werden kann, sind also geeigneteGroßen u und v zu finden.Da wir sowohl das Produkt als auch die Summe der beiden Großen u3

und v3 kennen, konnen wir sie mithilfe des Satzes von Vieta als diebeiden Losungen der quadratischen Gleichung

w2 + qw −(p

3

)3

= 0

berechnen.

Zur Verdeutlichung:

x1 + x2 = -p u3 + v3 = -q

x1x2 = q u3v3 = (-p/3)3

x2 + p x + q = 0 0 = w2 + q w - (p/3)3






w2 + qw −(p

3

)3

= 0

berechnen.

Zur Verdeutlichung:

x1 + x2 = -p u3 + v3 = -q

x1x2 = q u3v3 = (-p/3)3

x2 + p x + q = 0 0 = w2 + q w - (p/3)3






w2 + qw −(p

3

)3

= 0

berechnen.

Zur Verdeutlichung:

x1 + x2 = -p u3 + v3 = -q

x1x2 = q u3v3 = (-p/3)3

x2 + p x + q = 0 0 = w2 + q w - (p/3)3




Dies fuhrt mit der p-q-Formel zu den beiden Werten:

u =3

√

−q

2+

√

(q

2

)2

+(p

3

)3

und v =3

√

−q

2−√

(q

2

)2

+(p

3

)3

Fur die gesuchte Losung x = u + v der kubischen Gleichung

x3 + px + q = 0 erhalt man die so genannte Cardanosche Formel

x =3

√

−q

2+

√

(q

2

)2

+(p

3

)3

+3

√

−q

2−√

(q

2

)2

+(p

3

)3




Dies fuhrt mit der p-q-Formel zu den beiden Werten:

u =3

√

−q

2+

√

(q

2

)2

+(p

3

)3

und v =3

√

−q

2−√

(q

2

)2

+(p

3

)3

Fur die gesuchte Losung x = u + v der kubischen Gleichung

x3 + px + q = 0 erhalt man die so genannte Cardanosche Formel

x =3

√

−q

2+

√

(q

2

)2

+(p

3

)3

+3

√

−q

2−√

(q

2

)2

+(p

3

)3



Cardanos Losungsweg fur den allgemeinen kubischen Fall

Wie aber lost man nun den allgemeinen Fall x3 + ax2 + bx + c = 0?

Cardano loste das Problem, indem er ein allgemein anwendbaresVerfahren benutzte, um das quadratische Glied zu eliminieren.

Zunachst wird zur gesuchten Losung x der Summand a/3 addiert:

x3 + ax2 = x3 + ax2 +a2

3+

a3

27− a2

3x− a3

27=(

x +a

3

)3

− a2

3x− 1

27a3

=(

x +a

3

)3

− a2

3

(

x +a

3

)

+2

27a3

Anschließend Substitution der Unbekannten x innerhalb der gesamtenGleichung durch x = y − a

3







x3 + ax2 = x3 + ax2 +a2

3+

a3

27− a2

3x− a3

27=(

x +a

3

)3

− a2

3x− 1

27a3

=(

x +a

3

)3

− a2

3

(

x +a

3

)

+2

27a3


3







x3 + ax2 = x3 + ax2 +a2

3+

a3

27− a2

3x− a3

27=(

x +a

3

)3

− a2

3x− 1

27a3

=(

x +a

3

)3

− a2

3

(

x +a

3

)

+2

27a3


3







x3 + ax2 = x3 + ax2 +a2

3+

a3

27− a2

3x− a3

27=(

x +a

3

)3

− a2

3x− 1

27a3

=(

x +a

3

)3

− a2

3

(

x +a

3

)

+2

27a3


3




Nachdem man die Terme nach Potenzen von y sortiert hat, erhalt mandie Identitat

x3 + ax2 + bx + c = y3 + py + q

mit p = − 13a2 + b und q = 2

27a3 − 13ab + c

Die Losung fur y erhalt man mittels der Cardanoschen Formel. Dieurspungliche Gleichung kann dann mit der Transformation x = y - a/3gelost werden.Im allgemeinen Fall ergibt sich also:

x =3

√

√

√

√

√−227a3 − 1

3ab + c

2+

√

√

√

√

(

227a3 − 1

3ab + c

2

)2

+

(

− 13a2 + b

3

)3

+3

√

√

√

√

√−227a3 − 1

3ab + c

2−

√

√

√

√

(

227a3 − 1

3ab + c

2

)2

+

(

− 13a2 + b

3

)3

− a

3





x3 + ax2 + bx + c = y3 + py + q

mit p = − 13a2 + b und q = 2

27a3 − 13ab + c


x =3

√

√

√

√

√−227a3 − 1

3ab + c

2+

√

√

√

√

(

227a3 − 1

3ab + c

2

)2

+

(

− 13a2 + b

3

)3

+3

√

√

√

√

√−227a3 − 1

3ab + c

2−

√

√

√

√

(

227a3 − 1

3ab + c

2

)2

+

(

− 13a2 + b

3

)3

− a

3





x3 + ax2 + bx + c = y3 + py + q

mit p = − 13a2 + b und q = 2

27a3 − 13ab + c


x =3

√

√

√

√

√−227a3 − 1

3ab + c

2+

√

√

√

√

(

227a3 − 1

3ab + c

2

)2

+

(

− 13a2 + b

3

)3

+3

√

√

√

√

√−227a3 − 1

3ab + c

2−

√

√

√

√

(

227a3 − 1

3ab + c

2

)2

+

(

− 13a2 + b

3

)3

− a

3



Art der Losungen kubischer Gleichungen

In Abhangigkeit vom Vorzeichen der Diskriminante D = 4p3 + 27q2 hatdas kubische Polynom x3 + px + q fur

D > 0 eine reelle und zwei komplexe Nullstellen (A)

D < 0 drei reelle Nullstellen (B).

D = 0 eine dreifache reelle Nullstelle falls p = q = 0 (C) einezweifache und eine einfache reelle Nullstelle falls 4p3 = −27p2 6= 0(D)


















(A) D > 0 eine reelle und 2 kompl. NS; (B) D < 0 drei reelle NS; (C)D = 0 eine 3-fache reelle NS falls p = q = 0 oder (D) eine 2-fache undeine 1-fache reelle NS falls 4p3 = −27q2 6= 0,



Casus irreducibilis

Ein besonderer Fall ist D < 0: Bei der Bestimmung der drei reellenLosungen mit der obigen Formel muss mit ”negativen Wurzeln”gerechnetwerden. Deshalb wird dieser Fall casus irreducibilis genannt. Als Cardanodiese Rechnung ausfuhrte, war das sozusagen die Geburtsstunde derkomplexen Zahlen.



Quartische u. biquadratische Gleichungen

Quartische Gleichungen:Eine polynomiale Gleichung 4. Grades (auch quartische Gleichunggenannt) hat die Form:

Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0.

Biquadratische Gleichungen:Ist B = 0 und D = 0, dann lasst sich die Gleichung durch Substitutionauf eine quadratische Gleichung zuruckfuhren. Diese Spezialform wirdmanchmal in Lehrbuchern als biquadratische Gleichung bezeichnet.

Aber: Man findet diese Bezeichnung oft auch fur die allgemeine Form derGleichung 4. Grades! Dies ist darauf zuruckzufuhren, dass sich mit Hilfedes Fundamentalsatzes der Algebra alle quartischen Gleichungen alsProdukt zweier quadratischer Terme schreiben lassen.





Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0.







Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0.





Losung der reduzierten Form quart. Gleichungen

Außer fur Gleichungen dritten Grades veroffentlichte Cardano in seinerArs magna auch eine allgemeine Losungsformel fur Gleichungen viertenGrades. Er hat sich dabei des Wissens seines Schulers Ludovico Ferrari(1522-1569) bedient.Quartische Gleichungen der Form

x4 + px2 + qx + r = 0

lassen sich so umformen, dass auf beiden Seiten ein Quadrat entsteht.Man addiert dazu unter Verwendung eines noch geeignet auszuwahlendenWertes z auf beiden Seiten der Gleichung 2zx2 + z2 und erhalt dadurch

x4 + 2zx2 + z2 = (2z − p)x2 − qx + (z2 − r).

Auf der linken Seite haben wir bereits: (x2 + z)2. Wie muss p auf derrechts gewahlt werden?

2√

2z − p√

z2 − r = −q





x4 + px2 + qx + r = 0


x4 + 2zx2 + z2 = (2z − p)x2 − qx + (z2 − r).


2√

2z − p√

z2 − r = −q





x4 + px2 + qx + r = 0


x4 + 2zx2 + z2 = (2z − p)x2 − qx + (z2 − r).


2√

2z − p√

z2 − r = −q





x4 + px2 + qx + r = 0


x4 + 2zx2 + z2 = (2z − p)x2 − qx + (z2 − r).


2√

2z − p√

z2 − r = −q





x4 + px2 + qx + r = 0


x4 + 2zx2 + z2 = (2z − p)x2 − qx + (z2 − r).


2√

2z − p√

z2 − r = −q




Durch beidseitiges Quadrieren, Ausmultiplizieren und Umformen dieserBedingung erhalt man schließlich eine kubische Gleichung der Form

z3 − p

2z2 − rz +

pr

2− q2

8= 0,

mit der durch die Cardanosche Formel bestimmbare Losung z.z =3

q

1216

p3−

16pr + 1

16q2 + 1

144

p

−48p4r + 12p3q2 + 384p2r2− 432prq2 + 81q4

− 768r3+

3q

1216

p3−

16pr + 1

16q2

−

1144

p

−48p4r + 12p3q2 + 384p2r2− 432prq2 + 81q4

− 768r3+16p

Losungen fur x erhalt man, wenn man die zu beidseitigen Quadratenumgeformte Gleichung verwendet:

(x2 + z)2 = (2z − p)x2 + (z2 − r)

Beidseitiges Wurzelziehen und Umformen fuhrt zu der quadratischen Gleichung

x2 ±

“

p

2z − px +p

z2 − r”

+ z = 0





z3 − p

2z2 − rz +

pr

2− q2

8= 0,


q

1216

p3−

16pr + 1

16q2 + 1

144

p

−48p4r + 12p3q2 + 384p2r2− 432prq2 + 81q4

− 768r3+

3q

1216

p3−

16pr + 1

16q2

−

1144

p

−48p4r + 12p3q2 + 384p2r2− 432prq2 + 81q4

− 768r3+16p


(x2 + z)2 = (2z − p)x2 + (z2 − r)


x2 ±

“

p

2z − px +p

z2 − r”

+ z = 0





z3 − p

2z2 − rz +

pr

2− q2

8= 0,


q

1216

p3−

16pr + 1

16q2 + 1

144

p

−48p4r + 12p3q2 + 384p2r2− 432prq2 + 81q4

− 768r3+

3q

1216

p3−

16pr + 1

16q2

−

1144

p

−48p4r + 12p3q2 + 384p2r2− 432prq2 + 81q4

− 768r3+16p


(x2 + z)2 = (2z − p)x2 + (z2 − r)


x2 ±

“

p

2z − px +p

z2 − r”

+ z = 0





z3 − p

2z2 − rz +

pr

2− q2

8= 0,


q

1216

p3−

16pr + 1

16q2 + 1

144

p

−48p4r + 12p3q2 + 384p2r2− 432prq2 + 81q4

− 768r3+

3q

1216

p3−

16pr + 1

16q2

−

1144

p

−48p4r + 12p3q2 + 384p2r2− 432prq2 + 81q4

− 768r3+16p


(x2 + z)2 = (2z − p)x2 + (z2 − r)


x2 ±

“

p

2z − px +p

z2 − r”

+ z = 0




Wegen den Vorzeichenvarianten erhalt man mithilfe der p-q-Formel vierLosungen:

x1,2 =1

2

√

2z − p ±√

−1

2z − 1

4p +

√

z2 − r

x3,4 = −1

2

√

2z − p ±√

−1

2z − 1

4p −

√

z2 − r

Darstellung der Losung nur in Abhangigkeit von p, q, r siehe Maplex1x2x3x4allgemein.mws



Quartischer Fall (Allgemein)

Bisher haben wir keine quartischen Gleichungen behandelt, bei denen dieUnbekannte x in der dritten Potenz auftaucht.

Wie kann also eine allgemeine Gleichung der Formx4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 in eine Gleichung der reduzierten Formy4 + py2 + qy + r = 0 transformiert werden?

Man substituiert die Unbekannte x durch

x = y − a

4,

wobei sich die entstehenden Terme zur Potenz y3 gegenseitig aufheben:

x4 + ax3 + bx2 + cx + d = y4 + py2 + qy + r

Dabei sind die Koeffizienten der reduzierten Gleichung mittelspolynomialer Ausdrucke berechenbar.







x = y − a

4,


x4 + ax3 + bx2 + cx + d = y4 + py2 + qy + r








x = y − a

4,


x4 + ax3 + bx2 + cx + d = y4 + py2 + qy + r




Art der Losungen quartischer Gleichungen

Sind alle Koeffizienten reell, lassen sich drei Fallunterscheidungen fur diemoglichen Losungen angeben, da sich sich jedes Polynom mit reellenKoeffizienten unabhangig von seinem Grad in lineare und quadratischeFaktoren mit reellen Koeffizienten zerlegen lasst. (Fundamentalsatz derAlgebra)

Die Gleichung hat vier reelle Losungen. Sie zerfallt in vierLinearfaktoren mit reellen Koeffizienten. (A)

Die Gleichung hat zwei reelle und zwei konjugiert komplexeLosungen. Sie zerfallt in zwei Linearfaktoren und einenquadratischen Faktor mit reellen Koeffizienten. (B)

Die Gleichung hat zwei Paare konjugiert komplexer Losungen. Siezerfallt in zwei quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten. (C)



























Satz von Abel-Ruffini


Allgemeine Polynome funften oder hoheren Grades sind nicht durchRadikale, d.h. mathematische Ausdrucke, die nur Wurzeln undarithmetische Grundoperationen verwenden, auflosbar.

Der erste Beweis dieses Satzes wurde von Paolo Ruffini (1765-1822) imJahr 1799 veroffentlicht. Dieser Beweis war jedoch luckenhaft und wurdezudem weitgehend ignoriert. Ein vollstandiger Beweis gelang 1824 NielsHenrik Abel (1802-1829). Abel war neben Galois, der AbelsUntersuchungen zur Unlosbarkeit von Gleichungen auf spezielleGleichungen verallgemeinerte (sog. Galoistheorie), ein wichtigerMitbegrunder der Gruppentheorie.















Idee von Galois

Eine Verallgemeinerung von Abels Ansatzen, die auch fur spezielleGleichungen anwendbar ist, fand wenige Jahre spater der damals erstzwanzigjahrige Evariste Galois (1811-1832). Am Vorabend eines furihn todlich verlaufenden Duells, fasste er seine Ergebnisse in einem Briefzusammen. Darin enthalten sind Kriterien, die es erlauben, jede einzelneGleichung darauf zu untersuchen, ob ihre Losungen mit Hilfe vonWurzelausdrucken dargestellt werden konnen oder nicht.So konnen beispielsweise die Losungen der Gleichung funften Grades

x5 − x − 1 = 0

nicht durch geschachtelte Wurzelausdrucke dargestellt werden, hingegenist bei der Gleichung x5 + 15x − 44 = 0 zum Beispiel

x1 =5

√

−1 +√

2 +5

√

3 + 2√

2 +5

√

3 − 2√

2 +5

√

−1 −√

2

eine Losung.



Idee von Galois


x5 − x − 1 = 0


x1 =5

√

−1 +√

2 +5

√

3 + 2√

2 +5

√

3 − 2√

2 +5

√

−1 −√

2

eine Losung.



Idee von Galois


x5 − x − 1 = 0


x1 =5

√

−1 +√

2 +5

√

3 + 2√

2 +5

√

3 − 2√

2 +5

√

−1 −√

2

eine Losung.



Idee von Galois


x5 − x − 1 = 0


x1 =5

√

−1 +√

2 +5

√

3 + 2√

2 +5

√

3 − 2√

2 +5

√

−1 −√

2

eine Losung.



Idee von Galois

Unter Verwendung der allgemeineren Resultate der Galoistheorie mussenzum Beweis des Satzes von Abel-Ruffini nur zwei Punkte gezeigt werden:

Die allgemeine Gleichung funften Grades (d.h. die Gleichung mitVariablen als Koeffizienten) besitzt als Galoisgruppe diesymmetrische Gruppe S5

Die symmetrische Gruppe S5 ist nicht auflosbar.

Hauptsatz der Galoistheorie:

Jede Gleichungsauflosung entspricht ineinander verschachteltenZahlenbereichen (die durch die Koeffizienten und die Losungen x1, x2, . . .gebildet werden) und diese lassen sich allesamt durch eine Analyse derGalois-Gruppe auffinden. Daher beantwortet bereits eine solche Analyseder Galois-Gruppe die Frage danach, ob Losungen in Formverschachtelter Wurzelausdrucke dargestellt werden konnen.



Idee von Galois








Idee von Galois








Idee von Galois








Idee von Galois

Symmetrische Gruppe

Die symmetrische Gruppe Sn ist eine Gruppe, die aus allenPermutationen einer Menge mit n Elementen besteht. Gruppenoperationist die Verkettung der Permutationen. Das neutrale Element ist dieIdentitat id.

Definition

Eine Gruppe heißt auflosbar, wenn es eine absteigende FolgeG = G0 ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gn = 1 von Normalteilern gibt, deren QuotientenGk/Gk+1 (Faktorgruppen) abelsch sind.

Als Normalteiler(oder normale Untergruppe) bezeichnet man in derGruppentheorie eine Untergruppe N einer Gruppe G, wenn fur alle a ∈ Gund b ∈ N gilt: aba−1 ∈ N . Notation: N ⊳ G. D.h. fur jedes Elementa ∈ G ist die linke Nebenklasse von N gleich der rechten, also aN = Na.



Idee von Galois

Symmetrische Gruppe


Definition





Idee von Galois

Symmetrische Gruppe


Definition





Numerik

In der numerischen Praxis besitzen heute die Formeln Cardanos kaumnoch Bedeutung. In einem Zeitalter, in dem die Rechenleistung vonComputern de facto unbegrenzt zur Verfugung steht, ist eine expliziteFormel (und die ”Wurzelturme”, wie sie etwa bei den quartischenGleichungen auftauchen) bei praktischen Anwendungen namlichentbehrlich, da es bei solchen vollig reicht, die Losungen durchnumerische Verfahren naherungsweise zu bestimmen.Im Folgenden sollen die Wichtigsten dieser Verfahren kurz erlautertwerden.



Bisektion

Gesucht ist die Nullstelle einer streng monoton steigenden Funktion f imIntervall [a, b]. Diese soll mit einer Genauigkeit ε angegeben werden.(Teilintervall von [a, b], das die Nullstelle enthalt hat hochstens die Langeε.)Idee: Abschatzung der Lage einer Nullstelle mit ZW-Satz. AnschließendHalbierung des Intervalls und Modifizierung der Intervallgrenzen(Funktionswerte der Intervallgrenzen mussen unterschiedliche VZ haben).

Dies fuhrt zu folgendem Algorithmus:1. Setze l = a und r = b.2. Teste, ob [l, r] eine Nullstelle enthalt. Wenn nicht: Abbruch.3. Teste, ob r − l < ε ist. Wenn ja, haben wir unser Intervall gefunden!4. Sonst teile [l, r] in der Mitte und setze das Verfahren mit beidenTeilintervallen rekursiv bei 2. fort.



Bisektion





Bisektion





Newton-Verfahren

Idee: Tangente an den Graphen im Startwert x0 anlegen; Schnittpunktder Tangente mit der x-Achse ist neuer Startwert, der bei geeigneterStartwert-Wahl immer naher an der Nullstelle liegt.

Newton Verfahren

Es sei f eine differenzierbare Funktion und x0 ein beliebiger Startwert.Man definiere eine Folge von Naherungen (xn) durch

xn+1 = xn − f(xn)f ′(xn) , falls f ′(xn) 6= 0.



Newton-Verfahren

Idee: Tangente an den Graphen im Startwert x0 anlegen; Schnittpunktder Tangente mit der x-Achse ist neuer Startwert, der bei geeigneterStartwert-Wahl immer naher an der Nullstelle liegt.

Newton Verfahren

Es sei f eine differenzierbare Funktion und x0 ein beliebiger Startwert.Man definiere eine Folge von Naherungen (xn) durch

xn+1 = xn − f(xn)f ′(xn) , falls f ′(xn) 6= 0.



Sekantenverfahren

Zwischen zwei Punkten der Funktion wird eine Sekante gelegt. DerenSchnittpunkt mit der x-Achse wird als verbesserter Startwert fur dieIteration verwendet. Mit dem neuen Wert und einem der beiden letztenalten Werte (derjenige, dessen Funktionswert ein anderes Vorzeichen alsder des neuen x-Wertes hat) wird dieser Schritt wiederholt.



Horner-Schema

Das Horner-Schema ist eine Rechenvorschrift zum Auswerten vonPolynomen an einer Stelle x0.

p(x) = anxn+· . . . ·a1x+a0 = (((anx+an−1)x+an−2)x+. . .+a1)x+a0

Vorteile:

Beschleunigung der Berechnung indem uberflussige Berechnungenbei den Potenzen vermieden werden.

Minimierung des Rechenfehlers bei Auswertung durchGleitkommaoperationen.



Horner-Schema



Vorteile:





Horner-Schema



Vorteile:




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Nullstellen reeller Polynome - KIT · Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis Uberblick¨ Beschreibung von Lösungswegen f ür