HöhereMathematik1info.mathematik.uni-stuttgart.de/HM-Stroppel-Material/aufgaben/blatt/... · 1. Gruppenübung Höhere Mathematik 1 Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung)

S. Hagh Shenas Noshari,

S. Nitsche, C. Rosinger,

A. Thumm, D. Zimmermann

1. Gruppenubung zur Vorlesung

Hohere Mathematik 1M. Stroppel

Wintersemester 2018/19

Prasenzubungen

Aufgabe P 1. Elementares Rechnen

Berechnen Sie ohne Taschenrechner:

(a) 2097,8 : 17 (b)1572

· 2120

(c)

√√13

4+ 392 (d)

(

115

)

(e)(

115

)

−(

105

)

−(

106

)

Aufgabe P 2. Summen

Seien a1 = 5, a2 = 3, a3 = −1, a4 = 3, a5 = 17, a6 = −4 gegeben. Sei bj = aj + 1 furalle j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Berechnen Sie

5∑

j=2

aj,5∑

j=2

bj,2∑

j=0

a2j+1,3∑

j=1

b2j,3∑

j=1

2bj,4∑

j=4

aj.

Aufgabe P 3. Umgang mit Summen

Sei n ∈ N und aj ∈ R fur alle j ∈ N . Welche der Summen A , B , C , D liefern dasselbeResultat?

A =n∑

k=0

a2k+1 , B =n+4∑

k=4

a2k−7 ,

C =2n+1∑

k=1

ak −n∑

k=1

a2k , D =2n+1∑

l=1

(

1− (−1)l)

2sin(π

2+ 2lπ

)

al .

Aufgabe P 4. Vollstandige Induktion, Pascalsches Dreieck

Zeigen Sie durch vollstandige Induktion die folgende Aussage:

Fur alle n ∈ N mit n ≧ 2 giltn∑

k=2

(

k

2

)

=

(

n+ 1

3

)

.

Stellen Sie das Ergebnis fur n = 5 im Pascalschen Dreieck dar.

Aufgabe P 5. Binomischer Lehrsatz

Beweisen Sie:

Fur alle n ∈ N0 giltn∑

k=0

(

n

k

)

2k = 3n.

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1. Gruppenubung Hohere Mathematik 1

Hausubungen (Abgabe in der nachsten Gruppenubung):

Aufgabe H 1. Polynome

(a) Berechnen Sie (3X+2)3 , (X−2)4 und (X−1)5 mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes.

(b) Bestimmen Sie alle reellen Nullstellen von (X4 + 8X3 + 24X2 + 32X + 16)(X2 + 1) .

(c) Zeigen Sie, dass alle reellen Nullstellen von X7 + 12X6 + 31X3 + 2 negativ sind.

(d) Zeigen Sie, dass 3X2018 + 4X2 − 8X + 5 keine reellen Nullstellen besitzt.

Aufgabe H 2. Teleskopsummen

Seien x ∈ R und n ∈ N . Berechnen Sie die folgenden Summen:

(a) (x2 − 1)n∑

k=0

xk (b)n∑

k=1

(

3

k− 2

k + 1− 1

k + 2

)

Aufgabe H 3. Vollstandige Induktion mit Ungleichung

Zeigen Sie durch vollstandiger Induktion die folgenden Aussagen:

(a) Es gilt 2n + n2 > (n+ 1)(n+ 2) fur alle n ∈ N mit n ≧ 4 .

(b) Es gilt∑n

k=1 k · 2k−1 > (n+ 1)n2 fur alle n ∈ N mit n ≧ 6 .

Hinweis: Verwenden Sie fur Teil (b) die Aussage aus (a).

Aufgabe H 4. Vollstandige Induktion mit Produkt

Analog zur Summenschreibweise, fuhren wir das Produktsymbol ein:∏m

j=1Aj bedeutet,dass man den Term Aj fur alle j von 1 bis m auswertet und die entstandenen Zahlenzusammenmultipliziert. Zeigen Sie die folgenden Aussagen mittels vollstandiger Induktion:

(a) Es gilt∏n

k=2

(

1− 1k2

)

= n+12n

fur alle n ∈ N mit n ≧ 2 .

(b) Es gilt∏n

k=1 (2k − 1) = (2n)!n! 2n

fur alle n ∈ N .

Online-Aufgabe.

Sie finden Ihre Online-Aufgabe (Bearbeitungszeit 25.10.–31.10.) auf folgender Webseite:

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/tests/test431/

Bitte geben Sie dort zunachst Ihre Matrikelnummer ein.

Die Losungen sind als ganze Zahlen oder als Dezimalzahlen mit einem Dezimalpunkt einzu-geben. Sonstige Zeichen, wie zum Beispiel Klammern oder Operatoren wie ∗ und / , durfennicht benutzt werden.

Anschließend mussen Sie Ihr Passwort fur die Onlineubungen eintragen, das Sie per Emailan Ihre studentische Adresse (<st∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗@stud.uni-stuttgart.de>) erhalten haben.

Innerhalb des Bearbeitungszeitraums konnen Sie Ihre Eingaben beliebig oft wiederholen, wo-bei die letzten Eingaben gewertet werden. Der Bearbeitungszeitraum endet mittwochs, nachder Abgabe der schriftlichen Ubungen in den Ubungsgruppen, um 24:00 Uhr. Sie erhaltenfur die Bearbeitung der Online-Aufgabe 0, 1, oder 2 Punkte.









Prasenzubungen

Aufgabe P 6. Betrage, Ungleichungen

(a) Bestimmen Sie die Menge{

x ∈ R∣

∣ |x+ 1| = |x− 2|}

.

(b) Geben Sie die Menge aller x ∈ R an, welche die folgende Ungleichung erfullen:

2 |x− 4| ≦ x− 1.

Skizzieren Sie die Menge{

(x, y) ∈ R2∣

∣ −4 |x− 4| ≧ 2− 2x}

.

(c) Bestimmen Sie alle reellen Losungen der Gleichung x2 − 7|x|+ 12 = 0 .

Aufgabe P 7. Mengen

Skizzieren Sie die folgenden Mengen:

M1 :={

(x, y) ∈ R2∣

∣ −x− y < 1}

,

M2 :={

(x, y) ∈ R2∣

∣ (x+ 1)2 + (y + 1)2 = 1}

,

M3 :={

(x, y) ∈ R2∣

∣ (x− 3)2 + y2 ≧ 4}

,

M4 :=M1 ∩M2,

M5 :={

(x, y) ∈ R2∣

∣ |xy| ≦ 1}

.

Aufgabe P 8. Abbildungen, Betrage

(a) Wir betrachten die Abbildung

f : R → R : x 7→∣

∣|x| − 1∣

∣.

Skizzieren Sie den Graphen von f und beantworten Sie an Hand Ihrer Skizze diefolgenden Fragen:

(i) Welche Werte nimmt f an?

(ii) Welche Werte nimmt f nicht an?

(iii) Welche Werte werden von f mehrfach angenommen?

(b) Wir modifizieren die Abbildung f so, dass nur Zahlen aus [−1, 1] abgebildet werden.Dies fuhrt auf die neue Abbildung

g : [−1, 1] → R : x 7→∣

∣|x| − 1∣

∣.

Skizzieren Sie den Graphen von g . Gibt es Werte aus R+ welche g nicht annimmt?

(c) Finden Sie ein Intervall [a, b] j [−1, 1] so, dass h : [a, b] → R : x 7→∣

∣|x| − 1∣

∣ keinemehrfachen Werte annimmt.




Aufgabe H 5. Ungleichungen, Betrage

Bestimmen Sie jeweils die Menge aller x ∈ R , die die Ungleichung erfullen:

(a) (x+ 5)(x− 10)x2 < (x+ 5)(x− 10)(2x)4 (b)|x2 − 9|

|x+ 3|+ |x− 3| ≦ 5

Aufgabe H 6. Ungleichungen

(a) Seien x, y ∈ R+ . Zeigen Sie die Ungleichungskettex+ y

2≦√

x2+y2

2≦ max{x, y} .

(b) Ist√

x2+y2

2<√

|xy| fur alle x, y ∈ R− erfullt?

(c) Fur welche (x, y, z) ∈ R3 gilt (x+ 2y2 + 3z3)2 ≦ 14(x2 + y4 + z6)?

Hinweis: Schwarzsche Ungleichung.

Aufgabe H 7. Mengen

(a) Skizzieren Sie die Menge M1 rM2 falls

M1 :={

(x, y) ∈ R2∣

∣ (x− 1)2 + (y − 1)2 ≦ 4}

,

M2 :={

(x, y) ∈ R2∣

∣ x2 − 2x+ y2 − 2y < 0}

.

(b) Skizzieren Sie die Menge M3 ∩M4 falls

M3 :={

(x, y) ∈ R2∣

∣ x+ 2y2 − (y + 1)2 + 8y < −10}

,

M4 :={

(x, y) ∈ R2∣

∣ x > −9 ∧ y > −3}

.

Aufgabe H 8. Abbildungen, Betrage

Geben Sie fur die folgenden Abbildungen jeweils an, welche Werte gar nicht / wenigstenseinmal / mehrfach angenommen werden.

(a) f : R → R : x 7→∣

∣|2x− 1| − 1∣

∣+∣

∣|x| − 1∣

∣

(b) g : [12, 1] → R : x 7→

∣

∣|2x− 1| − 1∣

∣+∣

∣|x| − 1∣

∣

(c) h : [0, 1] → R : x 7→∣

∣|2x− 1| − 1∣

∣+∣

∣|x| − 1∣

∣

Online-Aufgabe.





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Prasenzubungen

Aufgabe P 9. Abbildungen

(a) Geben Sie an, welche Eigenschaft eine Abbildung erfullen muss, damit sie nicht injektivbeziehungsweise nicht surjektiv ist.

(b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f : R+ → R : x 7→ −(x− 1)2 − 2 .Ist f injektiv? Ist f surjektiv? Ist f bijektiv?

(c) Finden Sie eine Abbildung g : [0, 4] → [0, 2] , die injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Aufgabe P 10. Rechnen mit komplexen Zahlen I

Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 1+i , z2 = 3−2i und z3 = 2(

cos(

23π)

+i sin(

23π))

.

(a) Zeichnen Sie z1 , z2 und z3 in die komplexe Zahlenebene.

(b) Bestimmen Sie alle Abstande zwischen je zwei dieser Zahlen.

(c) Zeichnen Sie z1 + z2 , z2 , z1 · z2 und i · z3 in die komplexe Zahlenebene.

Aufgabe P 11. Rechnen mit komplexen Zahlen II

Gegeben seien die komplexen Zahlen

z1 = 4(

cos(π

6

)

+ i sin(π

6

))

, z2 = 1 +√3i, und z3 = 2 + 4i.

(a) Bestimmen Sie Real- und Imaginarteil sowie Betrag und Argument von z1 und z2 .

(b) Bestimmen Sie Real- und Imaginarteil sowie Betrag und Argument von z1z2.

(c) Bestimmen Sie Real- und Imaginarteil von z2z3.

Aufgabe P 12. Quadratische Gleichung in C losen

(a) Sei z = x+ iy mit x, y ∈ R . Bestimmen Sie Real- und Imaginarteil von z2 .

(b) Bestimmen Sie Real- und Imaginarteil aller Losungen der Gleichung z2 = 2− 3i .




Aufgabe H 9. Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat:

(a) f : R → R : x 7→ −2x3 (b) g : Rr {0} → R+ : x 7→ |x|x2

(c) h : N → N : n 7→(

n+3n+2

)

(d) k : [0, 32π] → [−1, 3

2] : x 7→ cos(x)

Aufgabe H 10. Links- und Rechtsinverse

Sei f : A → B eine Abbildung. Eine Abbildung g : B → A heißt Links- bzw. Rechtsinversevon f , wenn g ◦ f = idA bzw. f ◦ g = idB gilt. Wir nennen f links-/rechtsinvertierbar,wenn eine Links-/Rechtsinverse von f existiert. Zeigen Sie:

(a) Wenn f : A→ B linksinvertierbar ist, dann ist f injektiv.

(b) Wenn f : A→ B rechtsinvertierbar ist, dann ist f surjektiv.

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Links- und Rechtsinvertierbarkeit:(c) h : R+ → R : x 7→ x2 (d) k : R → [−1, 1] : x 7→ sin x

Aufgabe H 11. Rechnen mit komplexen Zahlen

(a) Seien ζj = (cos(π/3) + i sin(π/3))j . Zeichnen Sie die Zahl ζj fur j ∈ {0, 1, . . . , 5}in die komplexe Zahlenebene ein und bestimmen Sie

∑5k=0 ζj .

(b) Berechnen Sie jeweils Real- und Imaginarteil sowie Betrag und Argument der folgendenkomplexen Zahlen:

(−√2 +

√6 i)8, (1 + i)17 · (1− i)−20

Aufgabe H 12. Abbildungen im Komplexen

Zeichnen Sie die folgenden Mengen M, f(M) j C in die komplexe Zahlenebene ein, wenn

(a) f : Cr {0} → C : z 7→ 1z, M = {1, i, 1− 2i} ,

(b) f : C → C : z 7→ (1 + i)z und M der Kreis um 1 mit Radius√2 ist,

(c) f : C → C : z 7→ z2 , M = {z ∈ C | Re z = 2 ∨ Im z = 1} .Hinweis: Verwenden Sie verschiedene Farben fur M und f(M) .

Online-Aufgabe.





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Prasenzubungen

Aufgabe P 13. Untervektorraume

Auf welchen der nachfolgenden Abbildungen sind Untervektorraume des R2 angedeutet?Geben Sie jeweils an, welche Eigenschaften eines Untervektorraums erfullt und welche verletztwerden.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Aufgabe P 14. Polarkoordinaten, komplexe Wurzeln

Stellen Sie die nachfolgenden komplexen Zahlen z in Polarkoordinaten dar und bestimmenSie jeweils alle komplexen Losungen der Gleichung w3 = z .

(a) z = i, (b) z = 1 + i,

(c) z = (√3 + i)(

√3− i), (d) z = cos(

√2 π) + i sin(−

√2 π).

Aufgabe P 15. Schnittpunkte

Wir schreiben S = {x ∈ R2 | 〈x | x〉 = 1} und bezeichnen fur jedes t ∈ R mit gt die Gerade

durch den Punkt Pt =(

|2− t| cos(t), |2− t| sin(t))⊺

in Richtung vt = (− sin(t), cos(t))⊺.

(a) Zeigen Sie, dass fur jedes t ∈ R der Vektor vt senkrecht auf dem Ortsvektor von Pt

steht.

(b) Skizzieren Sie in einem gemeinsamen Koordinatensystem die Menge S und die Geradengt fur t = 1 , fur einen von Ihnen gewahlten Parameterwert t ≦ 0 , fur einen Wertt ∈ (1, 3) und fur ein t mit t > 3 .

(c) Geben Sie zu jedem t ∈ R die Schnittpunkte von S mit gt an.




Aufgabe H 13. Untervektorraume

In welchen der folgenden Falle ist W ein Untervektorraum des reellen Vektorraums V ?

(a) V ist der Vektorraum aller reellen Polynome und W die Menge aller Polynome vomGrad 5 ,

(b) V ist der Vektorraum aller reellen Polynome und W die Menge aller Polynome vomGrad hochstens 5 ,

(c) V = R2 und W = {(x, y) ∈ R2 | x ≧ 0, y ≧ 0} ,(d) V = Rn und W = {x ∈ Rn | 〈x | y〉 = 0} fur einen festen Vektor y ∈ Rn .

Aufgabe H 14. Polarkoordinaten

Zeigen Sie, dass es zu der Menge

D =

{

z − i

z + i

∣

∣

∣

∣

z ∈ C, Im(z) > 0

}

Konstanten ℓ ∈ R+0 und ϕ1, ϕ2 ∈ [0, 2π] mit ϕ1 ≦ ϕ2 derart gibt, dass gilt: D =

{r (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) | r ∈ [0, ℓ), ϕ ∈ [ϕ1, ϕ2)} .

Aufgabe H 15. Komplexe Nullstellen

Geben Sie samtliche komplexen Nullstellen eines Polynoms X2+aX+b mit a, b ∈ C an undberechnen Sie anschließend die Nullstellen des komplexen Polynoms 5X3 +9X2 − 17X +3 .

Aufgabe H 16. Lineare Gleichungssysteme

Bestimmen Sie alle Losungen (x1, x2, x3)⊺ ∈ R3 des Gleichungssystems

4x1 + 2x2 − 2x3 = 0,27x1 + 3x2 + 4x3 = 0,−2x1 − x2 + x3 = 0,3x1 + x3 = 0,

101x1 + 52x2 − 53x3 = 0,15x1 + 3x2 = 0.

Online-Aufgabe.





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Prasenzubungen

Aufgabe P 16. Komplexe Vektoren

Gegeben seien die komplexen Vektoren u =

(

1i

)

, v =

(

1−i

)

und w =

(

1 + 2i0

)

.

(a) Sind u , v und w linear abhangig?

(b) Finden Sie zwei verschiedene Linearkombinationen der Null aus u , v und w .Konnen Sie alle Linearkombinationen der Null aus u , v und w bestimmen?

Aufgabe P 17. Basis und Skalarprodukt

Gegeben seien

v1 =

2000

, v2 =

4100

, v3 =

−50−11

, v4 =

1−11−1

, v5 =

−1230

∈ R4.

(a) Bestimmen Sie eine Basis von L (v1, v2, v3, v4) .

(b) Bestimmen Sie w ∈ R4 so, dass v1 , v2 , v5 , w ein Erzeugendensystem von R4 bilden.

(c) Berechnen Sie 〈v3 | v4〉 und 〈v4 | v3 + v5〉 .

Aufgabe P 18. Vektorraum der Polynome

Es sei Pol2 R :={∑2

j=0 ajXj | aj ∈ R

}

der Vektorraum der reellen Polynome vom Gradhochstens 2 . Ferner seien die folgenden Polynome aus Pol2 R gegeben:

b1(X) = X2, b2(X) = X − 1, b3(X) = X + 1,

p(X) = X2 + 2X und q(X) = X2 + 2X + 1.

(a) Stellen Sie p und q jeweils als Linearkombination der Polynome b1 , b2 und b3 dar.

(b) Zeigen Sie, dass B : b1, b2, b3 eine Basis des Vektorraums Pol2 R ist.

(c) Bestimmen Sie die KoordinatenvektorenBp ,

Bq und

B(p+ q) .

Aufgabe P 19. Geraden und Ebenen

Gegeben sind die Punkte P = (0, 2, 5) , Q = (3, 5, 6) und R = (−1, 0, 0) in R3 .

(a) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g , die durch P und Q geht.

(b) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Ebene E , die durch P , Q und R geht.

(c) Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene E .




Aufgabe H 17. Skalarprodukt und Vektorprodukt

Fur x =(

x1

x2

)

setzen wir Jx =( −x2

x1

)

. Dann beschreibt J : R2 → R2 : x 7→ Jx eineDrehung um π/2 . Zeigen Sie die folgende Aussage uber Vektoren des R2 :

(a) Zwei Vektoren u, v ∈ R2 sind genau dann linear abhangig, wenn gilt 〈u | Jv〉 = 0 .

Zeigen Sie die folgenden Aussagen uber Vektoren des R3 :

(b) Fur alle u, v, w ∈ R3 gilt 〈u | v × w〉 = 〈v |w × u〉 = 〈w | u× v〉 .(c) Sind u, v, w ∈ R3 linear abhangig, dann gilt 〈u | v × w〉 = 0 .

Aufgabe H 18. Dimension von Untervektorraumen

Fur α ∈ R betrachten wir im R5 die Vektoren

u1 =

0140−2

, u2 =

22000

, u3 =

3−1001

, vα =

−5700α

,

sowie den Untervektorraum W :={

(w1, w2, w3, w4, w5)⊺ ∈ R5

∣

∣ w1 + 2w2 − w5 = 0}

.

(a) Bestimmen Sie alle α ∈ R , fur die u1 , u2 , u3 , vα linear unabhangig / abhangig sind.

(b) Fur welche α ∈ R gibt es ein w ∈ R5 so, dass L (u1, u2, u3, u1 + u2, vα, w) = R5?

(c) Bestimmen Sie jeweils eine Basis und die Dimension von W und L (u1, u2, u3) ∩W .

Aufgabe H 19. Funktionenraume

Die Menge F = {f1, f2, f3, f4} von stetigen Funktionen sei gegeben durch

f1 : R → R : x 7→ 4(sin(x))2, f2 : R → R : x 7→ −(cos(x))2,

f3 : R → R : x 7→ 2 cos(2x), f4 : R → R : x 7→ exp(x).

(a) Entscheiden Sie welche Teilmengen von F im Vektorraum C0(R) der stetigen Funk-tionen auf R linear abhangig, bzw. linear unabhangig sind.

(b) Bestimmen Sie die Dimension des von F aufgespannten Untervektorraums von C0(R) .

Aufgabe H 20. Kugel und Ebenen

Wir betrachten im R3 die Kugel K mit Mittelpunkt (0, 0, 0) und Radius 1 , sowie die Ebene

Et : 2x1 + (2 + t)x2 + 2x3 = 3 fur t ∈ R .

(a) Bestimmen Sie die Hesse-Normalform von Et .

(b) Geben Sie eine Ebene F in Parameterdarstellung an, welche E−2 orthogonal schneidet.

(c) Bestimmen Sie diejenigen Werte von t ∈ R , fur welche sich Et und K in keinemPunkt / genau einem Punkt / einem Schnittkreis schneiden.

(d) Geben Sie die Radien der Schnittkreise aus (c) in Abhangigkeit von t an.

Online-Aufgabe.











Prasenzubungen

Aufgabe P 20. Matrixschreibweise fur LGS

Schreiben Sie das folgende lineare Gleichungssystem in der Form Ax = b mit A ∈ R5×5 ,b ∈ R5 , x = (x1, . . . , x5)

⊺ ∈ R5 .

7− 3x1 + 2x2 = 9,

x1 + x2 + x3 − 5x5 = 1,

x2 − x5 + 19x3 = 22,

x3 = 2x1,

7x1 − 2x2 + 3x3 = 7− x5 + 4x3.

Aufgabe P 21. Rechnen mit Matrizen I

Gegeben seien die Matrizen

A =

(

3−1 + i

)

, B =

21−4

, C =

(

2 −1 −3i4 + 2i 1 1

)

, D =

(

1 01 1

)

.

(a) Welche der folgenden Ausdrucke sind definiert? Berechnen Sie sie gegebenenfalls.

DA, DC, CD, B⊺B, BB

⊺, C

⊺C, CC

⊺, C2, A+ CB.

(b) Bestimmen Sie fur alle n ∈ N die Potenzen Dn von D .

Aufgabe P 22. Rechnen mit Matrizen II

(a) Finden Sie zwei Matrizen A,B ∈ R2×2 fur die AB 6= BA gilt.

(b) Berechnen Sie (A+ B)(A−B) und A2 − B2 fur diese Matrizen.




Aufgabe H 21. Symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen

Eine Matrix A heißt symmetrisch wenn A⊺= A und schiefsymmetrisch wenn A

⊺= −A .

Seien Vn und Wn die Mengen der symmetrischen bzw. schiefsymmetrischen n×n-Matrizen.

(a) Zeigen Sie, dass Vn und Wn Untervektorraume von Rn×n sind.

(b) Zeigen Sie, dass sich jede Matrix A ∈ Rn×n eindeutig als Summe A = S + T mitMatrizen S ∈ Vn und T ∈ Wn schreiben lasst.

(c) Bestimmen Sie je eine Basis von V2 und W2 .

Aufgabe H 22. Spurfreie Matrizen

Sei der Untervektorraum V ={(

a bc d

)

∈ C2×2 | a+ d = 0}

von C2×2 gegeben sowie

H =

(

0 −ii 0

)

, X =1

2

(

1 ii −1

)

und Y =1

2

(

1 −i−i −1

)

.

(a) Zeigen Sie, dass AB −BA ∈ V fur alle A,B ∈ C2×2 gilt.

(b) Zeigen Sie, dass S : H, X, Y eine Basis von V ist. Bestimmen SieS

(

0 10 0

)

undS

(

0 01 0

)

.

Aufgabe H 23. Matrizen potenzieren

Gegeben seien

A =

0 2 2 −10 0 3 40 0 0 −20 0 0 0

und B =

2 1 00 2 00 0 7

.

Berechnen Sie fur alle n ∈ N die Potenzen An und Bn .

Aufgabe H 24. Rechtsinverse Matrizen

Gegeben sei die Matrix A =

(

2 1 3−1 0 4

)

. Fur eine Matrix B ∈ Rℓ×m soll gelten AB = En .

(a) Bestimmen Sie ℓ, m und n .

(b) Geben Sie eine solche Matrix B explizit an.

(c) Zeigen Sie, dass fur jedes b ∈ R2 das lineare Gleichungssystem Ax = b von x = Bbgelost wird.

(d) Ist die Losung des Gleichungssystems aus (c) fur alle b ∈ R2 eindeutig?

Online-Aufgabe.











Prasenzubungen

Aufgabe P 23. Gauß–Algorithmus

Stellen Sie fur die nachfolgenden reellen Gleichungssysteme die erweiterte Koeffizientenmatrixauf und verwenden Sie den Gauß–Algorithmus, um jeweils alle Losungen zu ermitteln.

(a)

−4x1 + 2x2 + x3 = −4,−5x1 + 4x2 + x3 = 5,6x1 − 3x2 − x3 = 7,

−2x1 + x2 + x3 = −1.

(b)−8x1 − 6x2 − 4x3 − 2x4 = −6,2x1 + x2 − x4 = −1,x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4 = 12.

Aufgabe P 24. Invertieren von Matrizen

Sei A = ( a bc d ) eine reelle Matrix mit ad − bc 6= 0 . Gesucht ist eine Matrix B ∈ R2×2 mit

AB = E2 . Finden Sie die Spalten von B mit Hilfe von zwei linearen Gleichungssystemen.Losen Sie diese mit dem Gauß–Algorithmus.

Aufgabe P 25. Matrixbeschreibung linearer Abbildungen

Wir fixieren reelle Zahlen α , β , γ sowie δ und setzen

F : R4 → R2×2 : (x1, x2, x3, x4)

⊺ 7→(

αx1 βx2γx3 δx4

)

.

(a) Zeigen Sie, dass F eine R–lineare Abbildung ist.

(b) Beweisen Sie, dass C : E1, E2, E3, E4 mit

E1 :=

(

1 00 0

)

, E2 :=

(

0 10 0

)

, E3 :=

(

0 01 0

)

und E4 :=

(

0 00 1

)

eine Basis des R–Vektorraums R2×2 bildet.

(c) Es bezeichne B die Standardbasis von R4 . Bestimmen Sie CFB .

Aufgabe P 26. Lineare Abbildungen

Sei F : V → W eine R–lineare Abbildung zwischen reellen Vektorraumen V und W . Kanndann F (0) 6= 0 gelten?




Aufgabe H 25. Gauß–Algorithmus

Es seien

A :=

−2 3 2 −4 37 11 −1 8 51 2 0 1 11 −3 −2 3 −2−4 −3 2 −6 −1

∈ R5×5 und b :=

15245

−14−1

∈ R5.

Berechnen Sie alle Losungen x ∈ R5 der Gleichung Ax = b mit Hilfe des Gauß–Algorithmus.

Aufgabe H 26. Komplex–lineare Abbildungen

Wir fassen die komplexen Zahlen C als R–Vektorraum auf und betrachten die reelle BasisB : 1, i . Angenommen, F : C → C ist diejenige R–lineare Abbildung, mit

(a) BFB = ( 5 00 5 ), (b) BFB = ( 2 0

0 −2 ), (c) BFB = ( 0 3−3 0 ) oder (d) BFB = ( 1 −3

3 1 ).

In welchen der obigen Falle ist F dann sogar C–linear?

Aufgabe H 27. Lineare Abbildungen

Welche der nachfolgenden Abbildungen sind R–linear?

(a) Die Abbildung F : Rn → R : x 7→ 〈x | x〉 .(b) Die Abbildung G : Rn → R : x 7→ 〈v | x〉 , wobei v ∈ Rn ein fest gewahlter Vektor ist.

(c) Die Abbildung H : Pol (R) → R : f(X) 7→ f(0) .

(d) Die Abbildung K : Pol (R) → Pol (R) : f(X) 7→ f(X2) .

Aufgabe H 28. Kern linearer Abbildungen

Sei F : R4 → R3 die Abbildung mit

F ((x1, x2, x3, x4)⊺) =

x1 − 2x2 + 3x3 + x4x1 + 4x3 + 4x4

2x1 − 3x2 + 7x3 + 4x4

.

(a) Bestimmen Sie eine Basis B : v1, v2, . . . , vk des Kerns von F . Welche Dimensionbesitzt Kern (F )?

(b) Finden Sie eine Basis C : w1, w2, . . . , wℓ des Untervektorraums

W := {x ∈ R4 | 〈v1 | x〉 = 〈v2 | x〉 = . . . = 〈vk | x〉 = 0} .

(c) Zeigen Sie, dass die Vektoren v1, v2, . . . , vk, w1, w2, . . . , wℓ eine Basis des R4 geben.

Online-Aufgabe.











Prasenzubungen

Aufgabe P 27. Rangbestimmung

(a) Bestimmen Sie jeweils den Zeilen- und Spaltenrang der folgenden Matrizen.

7 4 3 −1 26 2 4 0 14 −2 6 2 −1

,

4 6 7−2 2 46 4 32 0 −1−1 1 2

.

(b) Bestimmen Sie den Rang von

α− 2 1 30 2α 6αα 0 α2 − 2α

in Abhangigkeit von α ∈ R .

Aufgabe P 28. Determinante Null auf einen Blick

Die folgenden reellen Matrizen haben alle die Determinante Null. Wie konnen Sie das denMatrizen ohne große Rechnung ansehen?

1 π −7 32 2 2 20 0 0 019 4 e3 2

,

9 0 97 0 71 1 19

,

1 2 42 4 53 6 6

,

9 7 13 11 70 4 −2 19 40 0 0 3 20 0 0 6 12

0 0 0 0√2

Aufgabe P 29. Determinanten- und Inversenberechnung

Es sei A =

2 −1 1 2−1 0 2 11 1 4 0−3 1 0 0

. Berechnen Sie detA und A−1 .

Aufgabe P 30. Koordinatenwechsel und beschreibende Matrizen

Gegeben seien die folgenden Basen B,C von R2 :

B :

(

01

)

,

(

10

)

, C :

(

πe−1

)

,

(√29

)

.

Weiter sei E die Standardbasis von R2 .

(a) Bestimmen Sie die Matrizen EidB , C idE , C idC und BidC .

(b) Es sei ϕ : R2 → R2 mit E

(

ϕ(Ev))

=

(

−2v23v1 + v2

)

, wobei Ev =

(

v1v2

)

.

Bestimmen Sie EϕE , BϕB und EϕC .

Vorlesungsbefragung

Unter dem folgenden Link gelangen Sie zur Vorlesungsbefragung. Es geht dabei nur um dieBewertung der Vorlesung (also nicht Gruppen- oder Vortragsubungen). Die Umfrage richtetsich an alle teilnehmenden Studiengange (auch wenn im Formular nur die Studiengange ernen,tema und bewe stehen).

https://evasysw.uni-stuttgart.de/evasys/online.php?p=E3K5C


https://evasysw.uni-stuttgart.de/evasys/online.php?p=E3K5C



Aufgabe H 29. Rechenregeln fur Determinanten

(a) Gegeben seien die regularen Matrizen A,B ∈ R4×4 mit

A =

7 3 4 10 4 9 220 0 −1 60 0 0 2

, B =

3 1 4 11 0 −1 40 0 2 −40 0 0 2

.

Berechnen Sie detA , detB , det(A−B) , det(

14B)

, det(

(B−1)3A

⊺)

.

(b) Sei v ∈ Rn mit n ≧ 2 . Bestimmen Sie det(vv⊺) .

(c) Zeigen Sie: Ist A ∈ Rn×n schiefsymmetrisch (vgl. Blatt 6, H21), so gilt detA = 0 ,falls n ungerade ist.

Aufgabe H 30. Basiswechsel und beschreibende Matrizen I

Gegeben seien die folgenden beiden Basen B und C des Vektorraums R2×2 :

B : b1 :=

(

1 00 0

)

, b2 :=

(

0 10 0

)

, b3 :=

(

0 01 0

)

, b4 :=

(

0 00 1

)

,

C : c1 :=

(

1 00 1

)

, c2 :=

(

1 00 −1

)

, c3 :=

(

0 1−1 0

)

, c4 :=

(

0 11 0

)

.

Weiter sei ϕ : R2×2 → R2×2 : A 7→ A⊺.

(a) Bestimmen Sie die Matrizen BidC und C idB .

(b) Bestimmen Sie die Matrizen BϕB , CϕC , BϕC und CϕB .

Aufgabe H 31. Basiswechsel und beschreibende Matrizen II

Es sei E die Standardbasis fur R3 . Weiter seien ϕ, ψ : R3 → R3 mit

EϕE =

−2 1 21 4 −10 1 1

und EψE =

−2 1 21 4 −10 1 0

.

(a) Finden Sie eine Basis B so, dass BϕE =

1 0 00 2 00 0 3

.

(b) Warum ware Teilaufgabe (a) nicht losbar, wenn wir ϕ durch ψ ersetzen wurden?

Aufgabe H 32. Aufstellen von Abbildungsmatrizen

Gegeben sei die Ebene E = {x ∈ R3 | 2x1 + x2 − x3 = 0} . Weiter sei ϕ : R3 → R3 dieSpiegelung an der Ebene E .(a) Bestimmen Sie eine Basis B von R3 , fur die die Matrix BϕB eine Diagonalmatrix ist.

(b) Bestimmen Sie EϕE , wobei mit E die Standardbasis fur R3 gemeint ist.

Online-Aufgabe.











Prasenzubungen

Aufgabe P 31. Orthogonale Matrizen

Welche der folgenden Matrizen sind orthogonal?

1 −1 00 0 11 1 0

,

cos(√5π) sin(−

√5π) 0

sin(√5π) cos(−

√5π) 0

0 0 1

,

1√2

0 0

−12

12

−12

12

−√32

√32

.

Aufgabe P 32. Entwickeln von Determinanten

Berechnen Sie die Determinanten der beiden Matrizen

1 2 e π3 4 −π i0 0 1 20 0 3 4

und

11 1 0 −1−3 4 i 52 6 0 77 5 1 4

.

Aufgabe P 33. Gram–Schmidtsches Orthonormierungsverfahren

Die Vektoren b1 := (1, 1, 1)⊺, b2 := (4, 2, 0)

⊺und b3 := (5, 1, 3)

⊺bilden eine Basis des

R3 . Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis f1 , f2 , f3 des R3 so, dass L (f1) = L (b1) ,L (f1, f2) = L (b1, b2) und L (f1, f2, f3) = L (b1, b2, b3) gilt.

Aufgabe P 34. Multiplikativitat der Determinante

Aus der Vorlesung ist bekannt, dass fur beliebige Matrizen A,B ∈ Kn×n die Identitat

det(A ·B) = det(A) · det(B)

gilt. Verifizieren Sie obige Gleichung (ohne sie zu verwenden) exemplarisch fur den Fall, dass

(a) A oder B eine Diagonalmatrix ist, also eine Matrix der Gestalt

∗ 0 . . . 0

0 ∗ . . ....

.... . . . . . 0

0 . . . 0 ∗

;

(b) A und B obere Dreiecksmatrizen sind;

(c) A oder B nicht vollen Rang besitzt.




Aufgabe H 33. Berechnen von Determinanten

Berechnen Sie fur alle t ∈ R die Determinante der Matrix

At :=

t5 −1 0 1 0 0t4 1 6 0 1 0t3 0 1 −1 0 0t2 2 12 0 2 0t 2 0 0 1 01 0 8 −1 0 1

∈ R6×6.

Fur welche t ist At invertierbar?

Aufgabe H 34. Orthogonale Matrizen

Es seien A = ( 0 −11 0 ) , B = 1

2

(

1 −√3√

3 1

)

und C ∈ R2×2 eine beliebige orthogonale Matrix.

Welche der Matrizen

A+ A⊺, B + B

⊺, C

⊺, ( A 0

0 B ) und ( A C0 B )

sind dann ebenfalls orthogonal?

Aufgabe H 35. Gram–Schmidtsches Orthonormierungsverfahren

Wir betrachten den R4 mit dem Standardskalarprodukt sowie die Vektoren

b1 := (−1, 1, 0, 0)⊺, b2 := (3, 1, 1, 0)

⊺und b3 := (1,−1, 9, 1)

⊺.

(a) Sei V der Untervektorraum des R4 , welcher von den Vektoren b1 , b2 und b3 aufge-spannt wird. Zeigen Sie, dass V dreidimensional ist.

(b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis f1, f2, f3 von V , die den Gleichungen L (f1) =L (b1) , L (f1, f2) = L (b1, b2) und L (f1, f2, f3) = L (b1, b2, b3) genugt.

Aufgabe H 36. Determinante linearer Abbildungen

Es sei V ein n–dimensionaler R–Vektorraum und F : V → V eine R–lineare Abbildung.

(a) Zeigen Sie: Sind B und C zwei Basen von V , dann gilt

det(BFB) = det(CFC).

Wir setzen nun det(F ) := det(BFB) , wobei B eine beliebige Basis von V ist. Nach demvorherigen Aufgabenteil ist diese Zahl von der konkreten Wahl der Basis unabhangig.

(b) Zeigen Sie nun ferner: Ist G : V → V eine weitere R–lineare Abbildung, so gilt

det(G ◦ F ) = det(G) · det(F ).

Online-Aufgabe.











Prasenzubungen

Aufgabe P 35. Koordinatentransformation

Sei E das Standardkoordinatensystem fur R2 . Weiter seien gegeben

EP =

(

51

)

, F =

((

00

)

;

(

11

)

,

(

1−1

))

und G =

((

−1−1

)

;

(

10

)

,

(

01

))

.

(a) Skizzieren Sie die Koordinatensysteme F und G und den Punkt P in das Standardko-ordinatensystem E . Handelt es sich bei F und G um kartesische Koordinatensysteme?

(b) Skizzieren Sie den Punkt Q mitFQ =

(

−1 2)⊺

.

(c) Bestimmen SieFP und

GP anhand der Skizze.

(d) Bestimmen SieEκFund

EκG.

(e) Bestimmen SieFκEund

GκEunter Verwendung von (d) .

Bestimmen Sie damit erneutFP und

GP .

(f) Bestimmen SieGκFunter Verwendung von (d) und (e) .

Aufgabe P 36. Drehung

Es beschreiben D1 =1

2

0√2 −

√2

−√2 1 1√2 1 1

und D2 =1

2

(

1 −√3√

3 1

)

Drehungen.

(a) Bestimmen Sie jeweils die Spur und den Cosinus des Drehwinkels von D1 und D2 .

(b) Bestimmen Sie die Drehachse von D1 .

Aufgabe P 37. Spiegelung

Bestimmen Sie eine Matrix A ∈ R2×2 und einen Vektor t ∈ R

2 so, dass die affine Abbildungf : R2 → R2 : x 7→ Ax+ t die Spiegelung an der Geraden (1, 0)

⊺+ L

(

(0, 1)⊺)

beschreibt.Ist f eine Isometrie? Ist f eine eigentliche Isometrie?

Aufgabe P 38. Affine Abbildungen

Sei P = (1, 2)⊺ ∈ R2 . Sei α : R2 → R2 die Drehung um P mit dem Drehwinkel π

4gegen

den Uhrzeigersinn.

(a) Skizzieren Sie die Punkte Q = (1, 0)⊺, R = (0, 2)

⊺, α(Q) und α(R) .

Ist |Q−R| = |α(Q)− α(R)|?(b) Sei β : R2 → R2 : x 7→ x+ P . Sei γ : R2 → R2 : x 7→

(

cos(π4) − sin(π

4)

sin(π4) cos(π

4)

)

x .Ist α = β ◦ γ ◦ β−1 oder ist α = β−1 ◦ γ ◦ β?

(c) Bestimmen Sie den linearen Anteil und den Translationsanteil von α .Ist α eine Affinitat? Ist α eine Isometrie?

(d) Finden Sie eine Abbildung δ : R2 → R2 so, dass δ ◦ α die Drehung um P mit demDrehwinkel π

4im Uhrzeigersinn ist.




Aufgabe H 37. Spiegelung

Eine Spiegelung an einer Ebene im R3 wird beschrieben durch A =

1

3

2 2 −12 −1 2−1 2 2

.

(a) Geben Sie die Spiegelebene in Hesse-Normalform an.

(b) Sei α : R3 → R3 : v 7→ A−1v . Ist α ◦ α eine eigentliche / uneigentliche Isometrie?

(c) Seien r1 := (−2 1 −2 )⊺und r2 := (−2 4 −2 )

⊺. Fur welche j ∈ {1, 2} ist die

Abbildung βj : R3 → R3 : v 7→ Av + rj eine Ebenenspiegelung? Geben Sie in diesen

Fallen die Spiegelebene in Hesse-Normalform an.

Aufgabe H 38. Drehung

Seien b1 := ( 0 1 0 )⊺, b2 := ( 1 0 −1 )

⊺, b3 := (−1 0 −1 )

⊺die Vektoren der Basis B .

Fur t ∈ Rr {8} seien c1 :=13( 2 t −2 )

⊺, c2 :=

13(−1 −4 1 )

⊺, c3 := (−1 0 −1 )

⊺die

Vektoren der Basis C und E sei die Standardbasis von R3 .

(a) Sei γ : R3 → R3 linear mit γ(bj) = cj fur j ∈ {1, 2, 3} . Bestimmen SieEγE.

(b) Gibt es t ∈ R r {8} so, dass γ aus (a) eine Drehung ist? Bestimmen Sie fur dieseFalle die Drehachse und den Cosinus des Drehwinkels von γ .

Aufgabe H 39. Koordinatentransformation I

Sei E das Standardkoordinatensystem in R3 . Zudem seien

F =

−211

;

−312

,

1−42

,

−413

, α : R3 → R3 : v 7→

8 6 1/2−2 −2 −2−6 −4 1

v+

1/2−1−2

.

(a) Ist F ein affines / kartesisches Koordinatensystem? Bestimmen SieEκFund

FκE.

(b) Geben Sie die BeschreibungFαFder Abbildung α bezuglich F an.

Aufgabe H 40. Koordinatentransformation II

Seien F , G affine Koordinatensysteme. SeiFκE: R3 → R

3 : v 7→

1 0 −23 1 00 0 1

v +

−141

fur das Standardkoordinatensystem E , sowie

EP = ( 1 0 −1 )

⊺,

EQ = (−3 4 −2 )

⊺,

ER = (−7 2 −1 )

⊺,

ES = (−5 4 −1 )

⊺

GP = ( 0 0 0 )

⊺,

GQ = ( 1 0 1 )

⊺,

GR = ( 2 0 0 )

⊺,

GS = ( 1 −1 1 )

⊺.

(a) Bestimmen Sie F , G undGκF.

(b) Zeigen Sie mittels der Geradentreue affiner Abbildungen, dass es kein affines Koordi-

natensystem H so gibt, dassEκH

(

(−1 0 3 )⊺)

= ( 7 −3 4 )⊺,

EκH

(

( 0 1 2 )⊺)

= ( 7 −2 2 )⊺,

EκH

(

(−3 −2 5 )⊺)

= ( 7 −4 5 )⊺.

Online-Aufgabe.











Prasenzubungen

Aufgabe P 39. Geometrische Bedeutung von Eigenwerten und -vektoren

Gegeben seien A = ( 2 30 −1 ) , sowie v1 = (1, 0)

⊺, v2 = (0, 1)

⊺und v3 = (2,−2)

⊺.

(a) Zeichnen Sie vk sowie Avk fur k ∈ {1, 2, 3} in das Standardkoordinatensystem furR2 ein. Sind v1 , v2 , v3 Eigenvektoren von A? Welche Eigenwerte hat A?

(b) Bestimmen Sie eine Basis aus Eigenvektoren von A und markieren Sie diese im Bildvon (a).

(c) Stellen Sie w = (−3, 1)⊺bezuglich der Basis aus (b) dar und zeichnen Sie w und

Aw in das Bild von (b) ein. Machen Sie sich unter Verwendung der Eigenwerte undEigenvektoren das Zustandekommen der Bildpunkte klar.

Aufgabe P 40. Vielfachheiten und Diagonalisierbarkeit

Gegeben sei die komplexe Matrix

B =

2 4 0−1 −2 00 0 i

.

(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die Eigenraume von B .

(b) Bestimmen Sie die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte von B .Ist B diagonalisierbar?

Aufgabe P 41. Diagonalisierbarkeit

Gegeben sei

C =

1 0 0−1 −2 10 −2 1

.

(a) Zeigen Sie ohne Berechnung des charakteristischen Polynoms, dass 1 ein Eigenwert vonC ist. Berechnen Sie die weiteren Eigenwerte mittels der Spur und der Determinante.

(b) Gibt es eine invertierbare Matrix T so, dass T−1CT eine Diagonalmatrix ist? Bestim-men Sie gegebenenfalls eine solche Matrix T .

Aufgabe P 42. Eigenwerte und Eigenraume

Finden Sie eine Matrix, welche die Eigenwerte 2 und 3 hat und zu diesen die Eigenraume

V (2) = L

((

11

))

und V (3) = L

((

01

))

.

Bestimmen Sie das charakteristische Polynom dieser Matrix.




Aufgabe H 41. Eigenwerte und Vielfachheiten

Fur s ∈ R seien

A :=

(

−5 −36 4

)

, B :=

(

1 0−2 0

)

, Cs :=

(

0 s− 24 2s− 6

)

und Ds :=

(

A B0 Cs

)

.

(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und von Cs in Abhangigkeit von s ∈ R .

(b) Geben Sie die algebraische Vielfachheit aller Eigenwerte von Ds in Abhangigkeit vons ∈ R an.

(c) Bestimmen Sie fur s = 1 die Eigenraume aller Eigenwerte von D1 und geben Siejeweils die geometrische Vielfachheit an.

Aufgabe H 42. Eigenwerte und orthogonale Matrizen

(a) Seien v und w reelle Eigenvektoren von A ∈ Rn×n zu den reellen Eigenwerten λ bzw.µ . Drucken Sie 〈Av |Aw〉 in Abhangigkeit von 〈v |w〉 aus.

(b) Zeigen Sie: Fur jeden Eigenwert λ ∈ R einer orthogonalen Matrix A ∈ Rn×n giltλ = 1 oder λ = −1 .

(c) Zeigen Sie: Ist A ∈ R4×4 uneigentlich orthogonal, so sind 1 , −1 Eigenwerte von A .

(d) Geben Sie eine eigentlich orthogonale Matrix B ∈ R4×4 an, die keine reellen Eigenwertehat.

Aufgabe H 43. Schiefsymmetrische Matrizen

Fur t ∈ R sei At ∈ R4×4 die schiefsymmetrische Matrix

At =

0 0 1 −10 0 0 0−1 0 0 t1 0 −t 0

.

(a) Bestimmen Sie zu jedem t ∈ R das charakteristische Polynom, samtliche Eigenwertevon At sowie deren geometrische und algebraische Vielfachheit.

(b) Fur welche t gibt es eine symmetrische Matrix B ∈ R4×4 , die zu At konjugiert ist?

Aufgabe H 44. Symmetrische Matrizen

Fur jede reelle Zahl t definieren wir die reelle symmetrische Matrix

At :=

t 0 −10 t 1−1 1 t

.

(a) Sei t ∈ R beliebig gewahlt. Geben Sie eine orthogonale Matrix T ∈ R3×3 an, furwelche T−1AtT Diagonalgestalt besitzt.

(b) Fur welche t ∈ R ist At zu A0 konjugiert?

Online-Aufgabe.











Prasenzubungen

Aufgabe P 43. Matrixdarstellung von Quadriken

Es sei α ∈ R ein Parameter.

(a) Beschreiben Sie die quadratische Form

qα : R3 → R : x = (x1, x2, x3)

⊺ 7→ 3(x21 + x22 + x23) + 2αx1x2 + 2x2x3

durch eine symmetrische Matrix Aα als qα(x) = x⊺Aα x .

(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von Aα in Abhangigkeit von α .

(c) Fur welche Werte des Parameters α ist die quadratische Form qα positiv definit, negativdefinit oder indefinit?

Aufgabe P 44. 2D-Ausschnitte von 3D-Quadriken

(a) Skizzieren Sie fur c ∈ {−1, 0, 1} jeweils die Losungsmengen der folgenden Gleichungen:

(i) fur c2 − 4x23 + x2 = 0 in der x2x3 -Ebene,

(ii) fur x21 − 4x23 + c = 0 in der x1x3 -Ebene,

(iii) fur x21 − 4c2 + x2 = 0 in der x1x2 -Ebene

(b) Bestimmen Sie eine euklidische Normalform und die Gestalt der Quadrik Q = {x ∈R3 | x21 − 4x23 + x2 = 0} .

(c) Gehen Sie vor wie in (a) und (b), aber ersetzen Sie den Koeffizienten −4 durch +4 .

Aufgabe P 45. Euklidische Normalform – der Teufel im Detail

Von den folgenden Gleichungen fur x = (x1, x2, x3) ∈ R3 ist keine in euklidischer Normal-form. Wo liegt jeweils der Fehler und wie musste die zugehorige Normalform aussehen?

(a) 9x21 + 3x22 + x23 = 16 ,

(b) x21 − 2x23 + 2x2 = 0 ,

(c) x21 − 2x22 + x3 = 0

Aufgabe P 46. Elemente der Hauptachsentransformation

Bestimmen Sie jeweils eine euklidische Normalform fur die folgenden Quadriken.

(a) Q1 = {x ∈ R2 | x21 − 4x1x2 + x22 + 4 = 0} ,(b) Q2 = {x ∈ R3 | x21 − x22 + 2x2 + 9x3 = 17} ,(c) Q3 = {x ∈ R

3 | x21 − x22 + 9x23 + 2x2 + 18x3 = 0} .




Aufgabe H 45. Typbestimmung von Quadriken

Gegeben seien die Quadriken

Q1 = {x ∈ R3 | x21 + 2x1x2 + x22 − x23 + 9 = 0} ,

Q2 = {x ∈ R3 | −3x21 + 2x1x3 + 19x22 − 1

7x2x3 + 6x1 − 2x3 − 3 = 0} .

(a) Bestimmen Sie fur j ∈ {1, 2} jeweils eine symmetrische Matrix Aj ∈ R3×3 , aj ∈ R3

und cj ∈ R so, dass gilt

Qj = {x ∈ R3 | x⊺Ajx+ 2a

⊺

j x+ cj = 0} .(b) Geben Sie fur j ∈ {1, 2} jeweils Aj,erw an und prufen Sie damit, ob es sich bei Qj um

eine kegelige, parabolische oder eine Mittelpunktsquadrik handelt.

Aufgabe H 46. Hauptachsentransformation

Gegeben sei die Quadrik

Q ={

x ∈ R3∣

∣

∣ x21 + 4x22 + x23 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 + 2√2 x1 + 2

√2 x3 = 0

}

.

Bestimmen Sie ein kartesisches Koordinatensystem, bezuglich dem Q euklidische Normalformbesitzt und geben Sie die zugehorige euklidische Normalform an.

Aufgabe H 47. Schnitt von Ebene und Quadrik

Gegeben seien die Ebene E = {x ∈ R3 | x1 + x2 + x3 = 0} und der Kreiszylinder Q ={x ∈ R3 | x21 + x22 − 2x1 + 4x2 + 1 = 0} . Der Schnitt S = E ∩ Q ist eine Ellipse, derenHalbachsenlangen im Folgenden bestimmt werden sollen. Gehen Sie dabei wie folgt vor:

(a) Fuhren Sie ein kartesisches Koordinatensystem F so ein, dass E = {x ∈ R3 | y3 = 0} ,wobei y =

Fx .

(b) Stellen Sie die Gleichung auf, die Q in Koordinaten y =Fx bezuglich F beschreibt.

(c) Wenn Sie in der Gleichung aus (b) y3 = 0 setzen, ergibt sich eine beschreibendeGleichung (in zwei Variablen) fur die gesuchte Ellipse S . Fuhren Sie nun eine Haupt-achsentransformation fur diese Quadrikgleichung durch, um die Halbachsenlangen vonS zu bestimmen.

Aufgabe H 48. Hauptachsentransformation und Skizzen

Bestimmen Sie fur die folgenden Quadriken jeweils eine euklidische Normalform und einKoordinatensystem, bezuglich dem die Quadrik Normalform hat. Skizzieren Sie die Quadrikenim Standardkoordinatensystem.

(a) Q1 ={

x ∈ R2∣

∣ x21 + 4x22 − 8x2 + 3 = 0}

(b) Q2 ={

x ∈ R2∣

∣ x21 + x22 + 2x1x2 + x1 − x2 = 0}

(c) Q3 ={

x ∈ R2∣

∣ x1x2 + x1 + x2 + 1 = 0}

(d) Q4 ={

x ∈ R2∣

∣ x1x2 + x1 + x2 = 0}

Online-Aufgabe.











Prasenzubungen

Aufgabe P 47. Modell: Einschaliges Hyperboloid

Die Quadrik Q sei gegeben durch

Q :={

z ∈ R3∣

∣ z21 + 2z22 − z23 − 2 = 0}

mit den Koordinatenebenen E2,3 : z1 = 0 , E1,3 : z2 = 0 und E1,2 : z3 = 0 , welche imModell farbig dargestellt sind. Eine Darstellung von Q bezuglich des Koordinatensystemsmit den drei unterschiedlich grau gefarbten Koordinatenachsen finden Sie in Aufgabe H49.

(a) Stellen Sie Q in euklidischer Normalform dar.Welcher Typ liegt vor? Welche Gestalt liegt vor?

(b) Bestimmen Sie die Schnitte von Q mit den Koordinatenebenen E2,3 , E1,3 und E1,2 .Geben Sie die Gestalten dieser Schnitte an.

(c) Identifizieren Sie mit Hilfe von (b) die z1 -Achse, die z2 -Achse und die z3 -Achse, sowiedie Koordinatenebenen E2,3 , E1,3 und E1,2 im Modell.

(d) Welche der folgenden Konfigurationen konnen als Schnitt von Q mit einer Ebene durchden Ursprung entstehen?• ein Punkt • die leere Menge • ein schneidendes Geradenpaar• eine Ellipse • eine Hyperbel • ein paralleles Geradenpaar

Aufgabe P 48. Ebene Quadrik

In R2 sei bezuglich des Standardkoordinatensystems E die folgende Quadrik gegeben:

Q :={

x ∈ R2∣

∣

∣ x21 + 2x2(2x1 − 5√5)− 5 + 4x22 = 0

}

.

(a) Geben Sie die Matrixbeschreibung fur Q an.

(b) Bestimmen Sie eine euklidische Normalform und die Gestalt von Q .

(c) Geben Sie ein kartesisches Koordinatensystem H an, in welchem diese euklidischeNormalform angenommen wird.

(d) Skizzieren Sie das Koordinatensystem H sowie Q in das Standardkoordinatensystem.

Aufgabe P 49. Monotonie und Beschranktheit

Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschranktheit. Geben Sie, falls moglich, eineobere Schranke an. Geben Sie, falls moglich, eine untere Schranke an.

(a) (5)n∈N (b) (5n)n∈N (c) (5−n)n∈N

(d)(

(−15)n)

n∈N (e)(

8 cos(−πn3))

n∈N (f)(

12n2 − 20n+ 1

)

n∈N




Aufgabe H 49. Modell: Einschaliges Hyperboloid

Die Quadrik Q in R3 sei bezuglich des Standarkoordinatensystems E gegeben durch

Q : x21+4x22+x23−2x1x2+8x1x3−2x2x3+(3

√2−

√6)x1−2

√6x2−(3

√2+

√6)x3−6 = 0.

Ein Modell von Q hatten Sie in den Ubungen in den Handen. Sie finden dies auch unter:http://info.mathematik.uni-stuttgart.de/HM-Stroppel-Material/3D-Modelle/03/.Im Modell ist die x1 -Achse weiß, die x2 -Achse grau und die x3 -Achse ist schwarz dargestellt.Sei zudem F = (S; f1, f2, f3) ein kartesisches Koordinatensystem so, dass

EκF: R3 → R

3 : v 7→ 1√6

−√3 1 −

√2

0 2√2√

3 1 −√2

v − 1√6

1 +√3

2

1−√3

.

(a) Geben Sie eine Gleichung von Q in Koordinaten y1 , y2 , y3 bezuglich F an.

(b) Bestimmen Sie eine euklidische Normalform von Q , sowie ein KoordinatensystemG = (P ; f1, f2, f3) , bezuglich dem Q diese Normalform annimmt.

(c) Vergleichen Sie das Koordinatensystem G mit dem farbigen Koordinatensystem zurDarstellung von Q in P47 und beantworten Sie, ob F im Modell sichtbar ist?

(d) Sei α ∈ R ein Parameter. Die Ebene Eα sei bezuglich des Koordinatensystems G

beschrieben durch die Gleichung z1 = α . Kann α ∈ R so gewahlt werden, dassQ ∩ Eα eine Ellipse beschreibt, welche eine Halbachse der Lange 2 besitzt?

Aufgabe H 50. Quadrik mit Parameter

Sei α ∈ R . Bestimmen Sie fur die folgende parameterabhangige Quadrik Qα die Matrixform,eine euklidische Normalform, sowie den Typ und die Gestalt in Abhangigkeit von α .

Qα :={

x ∈ R3∣

∣

∣ α(2αx1 + 1) + (x2 − 2x3)2 + 6(

√5 x2 − x23) + 19 + 8αx1 = 0

}

.

Aufgabe H 51. Rekursive Folge

Fur das Parameterpaar (s, t) ∈ R× R sei die Folge(

an)n∈N rekursiv definiert durcha1 := s , a2 := t und an+1 := −4an + 5an−1 fur n ≧ 2 .

(a) Zeigen Sie, dass die folgenden Gleichungen mit A := ( −4 51 0 ) fur alle n ∈ N gelten:

A

(

an+1

an

)

=

(

an+2

an+1

)

und An

(

ts

)

=

(

an+2

an+1

)

.

(b) Bestimmen Sie An fur n ∈ N durch Diagonalisieren von A . Benutzen Sie (a) um einenAusdruck fur an anzugeben, der nicht rekursiv von anderen Folgengliedern abhangt.

(c) Bestimmen Sie alle Paare (s, t) so, dass(

an)n∈N eine konstante Folge ist.

Aufgabe H 52. Monotonie und Beschranktheit

Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschranktheit. Geben Sie, falls moglich, eineobere Schranke an. Geben Sie, falls moglich, eine untere Schranke an.

(a)(

(n+ 2)3 · 3−n2

)

n∈N(b)

(

1√5n+10−

√5n

)

n∈N(c)

(

n∑

k=0

(−1)k

(2k)!

)

n∈N(d)

(∣

∣(−1)n + cos(

πn2

)n − sin(

π2(n+ 4)

)n∣∣

)

n∈N

Online-Aufgabe.

Sie finden Ihre Online-Aufgabe (Bearbeitungszeit 31.01.–06.02.) auf folgenderWebseite: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/tests/test431/


http://info.mathematik.uni-stuttgart.de/HM-Stroppel-Material/3D-Modelle/03/








Prasenzubungen

Aufgabe P 50. Sandwiches

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte

(a) limn→∞

2n+ sin(n)√n

n+ 1(b) lim

n→∞n√2n + 3n

Aufgabe P 51. Limes inferior und Limes superior

Geben Sie jeweils Beispiele fur beschrankte Folgen (an)n∈N , (bn)n∈N an, fur die gilt

(a) limn→∞

an = limn→∞

an (b) limn→∞

(an + bn) 6= limn→∞

an + limn→∞

bn

Aufgabe P 52. Konstruktion von Folgen I

Finden Sie zwei Folgen (an)n∈N , (bn)n∈N , fur die die folgenden Bedingungen gleichzeitigerfullt sind:

1. Die Folge (an + bn)n∈N konvergiert.

2. Die Folge (an · bn)n∈N konvergiert.

3. Die Folge (an − bn)n∈N divergiert.

Aufgabe P 53. Konstruktion von Folgen II

Entscheiden Sie jeweils, ob es moglich ist, dass eine Folge die angefuhrten Eigenschaften hat.Geben Sie in diesem Fall eine Folge mit dieser Eigenschaft an.

(a) Die Folge ist beschrankt und monoton fallend.

(b) Die Folge ist monoton fallend und nach oben unbeschrankt.

(c) Die Folge ist konvergent und nicht monoton.

(d) Die Folge hat drei verschiedene Haufungspunkte.

(e) Die Folge hat drei verschiedene Haufungspunkte und konvergiert.

(f) Die Folge hat die Haufungspunkte 1 und +∞ .

(g) Die Folge hat genau zwei verschiedene Haufungspunkte und besitzt eine Teilfolge mitdrei verschiedenen Haufungspunkten.

(h) Die Folge hat zwei verschiedene Haufungspunkte und keine konstante Teilfolge.




Aufgabe H 53. ε-Kriterium

Berechnen Sie jeweils den Grenzwert a der nachstehenden Folgen (an)n∈N und geben Siejeweils speziell fur ε = 10−15 ein nε ∈ N an mit |an − a| < ε fur n ≧ nε .

(a) an =n∑

k=0

9

(

1

10

)k

(b) an =n2 − 4

3n2

Aufgabe H 54. Haufungspunkte

Bestimmen Sie alle Haufungspunkte der nachstehenden Folgen (an)n∈N , wobei

(a) an = Re

(

(√2

2(1 + i)

)n)

(b) an = min{

(−1)n, sin(π

2n)}

Aufgabe H 55. Grenzwerte

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte

(a) limn→∞

1

n+ 1

√

(

n

2

)

(b) limn→∞

√

n2 + 2n−√n−

√n2 + 3n+ 14

(c) limn→∞

n

√

7n + n7

4n + 3n

(d) limn→∞

2n∑

k=n

1

k2

Aufgabe H 56. Heron-Verfahren

Zu c > 1 sei die rekursiv definierte Folge (an)n∈N gegeben mit

a1 = c, an+1 =1

2

(

an +c

an

)

.

(a) Zeigen Sie mit vollstandiger Induktion, dass fur alle n ∈ N gilt√c ≦ an ≦ c .

(b) Folgern Sie mit Hilfe von (a), dass (an)n∈N monoton fallend ist.

(c) Begrunden Sie, dass die Folge (an)n∈N konvergent ist.

(d) Berechnen Sie den Grenzwert a von (an)n∈N .

Online-Aufgabe.

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