Z angew. Math. Mech. Rd. 37 Nr. 7/8 Juli/Aug. 1957 C . Stromungslehre

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&(Z) und [(z) sind durch (18) bestimnit, wenn darin Z starr z eingefuhrt wird. Diesem Ergebnis entnimmt man folgende Aussage: Die Achsialkomponente setzt sich additiv aus zwei Bausteinen zusammen, der Querschnittstromung und einem lediglich von 5 abhangenden Term (,,Raumein- fluB"). Das entsprechende Resultat von O s w a t i t s c h und K e u n e , welche Y,, = const > 0 ansetzen [3], gewinnen wir aus unserem allgemeinen Ausdruck (22) als Sonderfall. Der Vergleich damit lehrt, die Berucksichtigung einer Koordinatenabhangigkeit von YZz gemail3 (8) bewirkt lediglich eine Anderung des Rauineinflusses.

Fur einen speziellen Halbkorper wird die numerische Auswertung der Formel (22) durcli- gefuhrt. Die willkiirlichen GroBen wurden so festgelegt, daI3 der Widerspruch zwischen der Ldsung und dem zugehorigen Ansatz in Form (8) in Korpernahe geglattet wird.

liche Schallstromung kann im Rahmen dieses Berichtes nicht eingegangen werden. 111 G. G u d e r l e v und H. Yoshihara : An axial svmmetric transonic flow pattern. Quarterly of Appl. Math.

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Auf eine Ausdehnung der Untersuchung sowohl auf ebene als auch auf allgemein r'i ' um-

I d _ - Vol. VIII N< 4, Jan. 1951.

anstromung. Jahrbuch 1955 der WGL. [2] F. K e u n e : Ubsr eine Methode zur Berechnung der auftriebslosen Stromung um Rotationskorper bei Schall

131 K. O s w a t i t s c h und F. K e u n e : The flow around bodies of revolution at Mach number one. Proc. of the L _

High Speed Conference at the Polytechnic Institmute, Brooklyn N. Y., Jan. 1955.

Neue Ergebnisse und Methoden in der theoretischen Gasdynamik Von R. Sauer in Miinchen

Der Vortrag beschrankte sich auf Stromungsvorgange, bei denen Reibung und Warme- iibergang vernachlassigt werden konnen. Es wurde nicht Vollstandigkeit angestrebt, sondern es sollte an einigen Beispielen die gegenwartige Situation der Forschung erlautert werden.

Der erste Teil des Vortrags behandelte die lineare Uberschallstromung um schlanke Korper. Das bekannte von K a r m a n sche Quell-Senken-Verfahren wird hierbei durch Hinzunahme hoherer Singularitaten auf der Korperachse derart verallgemeinert, dafi auch ' die Stromung um nicht drehsymmetrische Korper dargestellt werden kann (D. Sus c ho w k , J. Munch) . Fur die prak- tische Rechnung ist es zweckmaBig, ebenso wie im Fall der Drehkorper die Striimung aus koni- schen Stromungsfeldern aufzubauen. Man kommt dann zu einem System algebraischer li nearer Gleichungen, das blockweise gestaffelt ist.

Eine wichtige Anwendung des Verfahrens ist die Ermittlung der Wechselwirkung bei Humpf-Flugel-Anordnungen und zwar sowohl bei Unterschall- wie auch bei Uberschall-Vorder- kanten der Flugel.

Nach einer Zwischenbemerkung iiber den Distributionskalkiil ( L a u r e n t Schwar tz) fiir tlas Rechnen mit ,,uneigentlichen Funktionen", der bei Uberschallproblemen sich als auflerst niitzlich erweist, wurden im zweiten Teil des Vortrags Stromungsvorgange in Schallnahe (tran- sonic flow) besprochen. Fur die ,,direkte" rechnerische Behandlung solcher Stromungen hat K. 0 s w a t i t sc h im Uberschallbereich das Charakteristikenverfahren modifiziert upd im Unter- scliallbereicli eine ,,parabolische Methode" entwickelt, welche das Problem auf die Losung der Warmeleitungsgleichung reduziert. Fur die ,,indirekten" Hodographenmethoden hat F. P e n z 1 i n eine systematische Zusaiiimenstellung gegeben, welche fur die Einfiihrung von Fall zu Fall ge- eigneter, quadratisch approximierender Druck-Dichte-Beziehungen einen weiten Spielraum la13t.

Zum SchluR wurde uber die moderne Weiterentwicklung der ,,area rule" durch K. Oswa- t i t sch und F. K e u n e berichtet, die insbesondere in Schallnahe gute Approximationen liefert, und auf die Bedeutung des Einsatzes elektronischer Rechenautomaten in der Gasdynamik (3-13- niensionale Charakteristiken-Verfahren, transonic-Probleme) hingewiesen. Bei der Verwendung solcher Automaten werden die direkten Methoden gegenuber den indirekten den Vorzug haben.

Herleitung und Genauigkeit eines Invarianzkriteriums fur die Stromungszusammenhange an vergleichbaren Korpern

Von Werner Schmidt") in Aachen Fur die Berechnung der Stromung am dicken Kiirper kleiner Streckung in Unter- und

Uberschallstromung hat F. K e u n e [l] eine Theorie aufgestellt, in der die Randbedingungen auf der Korperoberflache z = h(z, y) durch Annahme von Zusatzquellvrrtrilungen erfullt werden.

*) AUS rlem Institut fiir angcwandte Gasdynamik der DVL.

C. Stromungslehre 309 %. angew. Xath. Yeoh. M. 37 Nr. 7/S Juli/Aug. 1U57 _ _ ~ - - . _ _ _ _ _ ~ - ~

Man erhalt riiit ihnen eine Storgeschwindigkeit auf der Oberflache des Korpers, die im Prinzip folgenden Aufbau hat (Anblasrichtung parallel zur II', z-Ebene; Korpertiefe in Richtung dcr r-Achse) :

fl@)JI,<I =I=.f1(.)Mm.-1 . . * + * . * * - . . * (la).

I Iierin sind die Funktionen g,, g,, f,, fz von der M a c h zahl M , unabhangig, f l jedoch im IJnter- und Uberschallgebiet verschieden. Insbesondere gibt g,(x, y) den Unterschied zwischen der Stromung auf z = h(x, y) und derjenigen auf z = 0, welcher zur nurnerischen Berechnung t.inen erheblichen Aufwand benotigt.

1st einem nun beispielsweise durch eine Messung bei einer M a c h zahl M,, an einem Korper- punkt die Storgeschwindigkeit bekannt, so kann man sich leicht die Storgeschwindigkeit am selhen Korperpunkt bei einer andercn M a c h zahl AIWA berechnen :

Uies folgt einfach durch Differenzbildung von (1) bei zwei verschicdenen RI a c h zahlen ,If m2

Liegen dazu noch beide N a c h zahlen ;21,6 und JIml ini Unterschall- oder beide im Ubcr- lint1 M,, (vgl. auch [ 3 ] ) .

schallgebiet, so ist : - /l(.r)A,IWl = 0 . . . . . . . . . . . . . (3) .

Betrachtet nian allgeriieine Korperquerschnitte x = const, die endliche Nasenradien be- sitzen (z. B. Ellipsenflachen), so ist es zweckmaBig, nach F. K e u n e [l] eine Aufteilung der Ge- schwindigkeit an der Korperoberflache in Koinponenten IV, und W, in Quer- und Langsschnitten auf der I<orperoberflache vorzunehmen :

wobri bid1 TV, und TV, mit Hilfe des sphiir. Cosinussatzes zu IV zusamiiiensetzen : 11'2(z, y, h) = \VE(r, y, h) + IVi(x, y, h) + 2 W, - IV, * sin 6, * sin 0, . . . . . (ti).

1)ifferenzbildung bei 2 verscliiedcnen RI a c 11 zahlen von (4) und (5) fuhrt zu

Uetrachtet man nun 2 aquivalente Korper I und I 1 (das sind Korper iiiit gleicher Quer- schnittsflachenverteilung in gleicher Tiefe) unter demselben Anstellwinkel 8, SO folgt aus (7), (8) mit (6) das I n v a r i a n z k r i t e r i u m 131:

1 Fiir schwache .Korperneigungen ist ~- rn 1. cos BL Geht man dariiber hinaus zu Korpern groBerer Spannweite iiber, so bekommen die G1. (1)

und (6 ) inachzahlbehaftete Zusatze hoherer Ordnung. Diese Zusatze haben ahnlichen Aufbau wie die Stromungsanteile der ersten Naherung [2 ] . Sie sind bis auf die sogenannte Q u e r s c h n i l l - 5 t r 6 in u n g gl(x, y) relativ einfach zu berechnen.

Der Praktiker mochte nun gerne schnell einen Uberblick uber den Fehler bekommen, der entsteht, wenn man in (9) nicht mehr Korper kleiner Streckung betrachtet. Aus diesem Grunde wird eine Naherung des am schwierigsten zu berechnenden 'Teiles, nainlich der Querschnitt-

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stromung 11. Ordnung q:I(x, y, 0) fur Anstellung Null (W, = V,) gegeben: I s(a)

a2 q(x977) ax . u, M , 2 1 : g;l(x, y, 01 = (AIL - - 1) - K * \ _ _ ~ . (y - 1112 . In jy - 71 d q

--Y(J)

entsteht :

Q(z) ist hierin dieQuerschnittsflache; MII(x) und MIV (z) sind Momente hoherer Ordnung [2]. Betrachtet man schlieljlich die Abweichung der ersten Naherung (1) gegenuber der nachsten

Naherungin Abhangigkeit von der Mac hzahl, so ergibt sich, daB diese Abweichung mit zunehmen- der Ma c h zahl im Unterschallbereich absolut genommen abnimmt, im uberschallbereich an- wachst. Bei M a c hzahl 1 ist sie theoretisch Null. Bildet man also im Unterschall- ode r im Uber- schallbereich Geschwindigkeitsdifferenzen bei zwei verschiedenen M a c h zahlen, so ist stets die absolute Fehlerdifferenz kleiner als der absolute Wert des Fehlers D, der einen der beiden An- stromgeschwindigkeiten, d. h.

Vergleicht man jedoch eine vorgegebene Unterschallgeschwindigkeit mit einer Uberschall- geschwindigkeit, so konnen sich die jeweiligen Fehler addieren. Das erkennt man mathematisch aus den machzahlbehafteten Zusatzen zweiter Ordnung, die fur Unter- und Uberschall verschie- denes Vorzeichen haben (vgl. Gl. (10)).

Eine Betrachtung des Fehlergliedes fuhrt zur Festlegung von ill a c hzahl-Bereichen, in denen die Fehlerdifferenz des Invarianzkriteriums sehr klein bleibt. Die Bereichsbreite hangt von der Korperform ab.

[1] F. K e u n e , KTH-Aero TN 28, Stockholm 1953. 121 F. Keune , ZFW 1957, Heft 4. [3] F. Keune-W. S c h m i d t , Jahrbuch der WGL 1956, 8.150/155.

Uber die Stromung von Bingham Plastiken Von P. R. Paslay und A . Slibar

E. C. Binghaml) hat ein Verformungsgesetz angegeben, welches fur die Beschreibung der stationaren eindimensionalen Stromung einer groBen Gruppe technisch wichtiger Stoffe geeignet ist. H. H e n c k y , K. H o h e n e m s e r und W. Prager2) haben diesesVerformungskriterium fur die dreidimensionale Stromung solcher Stoffe erweitert und J. G. Oldr o y d3) hat verschie'dene all- gemeine Betrachtungen der charakteristischen Erscheinungen bei solchen Stoffen durchgefuhrt. W. P r a g er*) hat ein Eindeutigkeitstheorem und Extremalprinzipien fur den FlieBvorgang solcher Materialien angegeben. Von P. R. P a s l a y und A. Slibar5) wurden mit Anwendung der dreidimen-

l ) E. C. Bingham, Fluidity and Plasticity, Mc-Graw Hill, N. P., 1922. 2, H. H e n c k y , uber langsame stationare Stromungen in plastischen Massen mit' Riicksicht auf die l'or-

gange beim Walzqn, Pressen und Ziehen von Metallen, Z. angew. Math. Mech. 5 (1925); K. Hohenemser und W. Prager , Uber die Ansatze der Xechanik der Kontinua, Z. angew. Math. Mech. 12 (1932).

3, J. G. Oldroyd, Two dimensional plastic flow of a Bingham Solid, Proc. Cambr. Phil. SOC. 43 (1947); Rectilinear plastic flow of a Bingham Solid, Proc. Cambr. Phil. SOC. 43 (1947); 44 (1948).

4, W. Prager , On Slow Visco-Plastic Flow, Studies in Math. and Mech. presented to R. v. Mises, Acad. Press, N. Y. (1945).

5 , A. S l i b a r und P. R. P a s l a y , On the Theory of Grease-Lubricated Thrust Bearings, Trans. ASME (1956), paper No. 56-1 ; Die FlieObedingung und das Verformungsgesetz viskoser plastischer Stoffe, Ost. Ing. Arch. X (1956).

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