Annalen der Physik. 7. Folge, Band 41, Heft 4/5, 1984, S. 253-262 J. A. Barth, Leipzig

Hermite-Symmetrie und Super- Eich- lnvarianz

Von HANS-JURGEN TREDER

Einstein-Laboratorium der Akademie der Wissenschaften der DDR, Caputh

Fur Jurgen Kuczynski zum 80. Geburtstag

Je gr6Jer unser Wissen, desto adiiquater unsere Aneignung der Welt. Je grojer unser konkretes

Jiirgen Knczynski Unwissen, desto schneller unser Fortschritt in der adiiquaten Aneignung der Welt.

Inha l tsubersicht. In einer unitiiren allgemein-relativistischen Feldtheorie sind der metrische Fundamental-Tensor gik und die Affinitiiten Til dann als unabhiingige Feldvariable auffaBbar, wenn neben der Koordinaten-Kovarianz auch noch die Invarianz gegen die ,,den Parallelismus bewahren- den Transformationen“

r; = riz + &@,

besteht (Einsteinsche Super-Eich-Symmetrie der A-Gruppe). Im Falle eines (nicht-entarteten) Her- mite-symmetrischen Fundamental-Tensors glk = gtz fuhrt die Forderung der Super-Eich-Invarianz gleichzeitig zur Hermite-Symmetrie Til = T 2 der Affinitiiten und des Ricci-Tensors Rlk = RZ. Die Hermite-symmetrische Fortsetzung der Allgemeinen Relativitatstheorie ins Komplexe fuhrt damit eindeutig auf die Einstein-Schrodingerschen Feldgleichungen.

Hermite- Symmetry and Super-Gauge-Invariance

Abstract. We discuss the meaning of Einstein’s A-Gauge-Invariance for the deduction of the Einstein-Strans and the Einstein-Schrodinger equation with a non-degenerate hermitian funda- mental tensor gik = g&.

We prove that the postulates of the Hermiticity of the non-symmetrical Einstein equations are fulfilled a8 a consequence of the A-invariance. This super-gauge-invariance means that a “Kreisel- Kompass” is a genuine tool. Only the Hamilton principle

d5? = d5?* = 0 with 9 = gklRk,, 2’* = glkRR* kl

(with or without a cosmical term 1 fi), is possible.

In einer rein metrischen Feldtheorie, die allein davon ausgeht, da13 Normaluhren und NormalmaSstiibe als Meagerate existieren, muB die Lagrange-Funktion (bis auf divergenzartige Terme, die zu den Feldgleichungen nichts beitragen) eine skalare Dichte sein, so da13 Invarianz gegeniiber der Einstein-Gruppe der allgemeinen Koordinaten- Transformationen

X’i = X’i(q) , (i, I = 0, 1, 2, 3)

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besteht. Diese Forderung ist relativ schwach. Sie erlaubt grundsiitzlich, rnit Hive des metrischen Tensors gik und der Levi-Civitaschen Tensor-Dichte

p m = gyliklm

R ; ~ ~ = -ril,m + r&,l - rilr;m + rhr:l aus allen tensoriellen Concomitanten des Kriimmungstensors

und des Torsionstensors

ri1 = 1/2(rl1 - r l k ) , ri = r$ = Torsionsvektor

die Lagrange-Funktion zu bilden, so daB Feldgleichungen beliebiger Ordnung rnit einer beliebigen Anzahl von Kopplungskonstanten moglich wiiren. - Die Auswahl wird dann durch zusiitzliche Symmetrie-Forderungen getroffen und vor allem durch die Vorgabe der Ordnung der Differentialgleichungen.

Wir schreiben mit EINSTEIN hier [2, 31

= A , = 1/2(Aik f A,.), Ack = -At. = 1/2(A, - Aki). - - Die Forderung der Symmetrie des metrischen Tensors

gik = g k i = gij (1) rnit Feldgleichungen zweiter Ordnung fiir die gik fiihrt dann auf die Einstein-Hilbertsche Lagrange-Dichte

- 2? = l / q ( g i k R i k f A ) = gikRik + A 1 - g ( 2 ) -

mit gik = I / - g g i k

(mit kosmologischer Konstante 2 ; von einem beliebigen divergenzartigen Zusatzterm abgesehen) .

Die Auswahl der Lagrange-Funktion wird - abgesehen von einem kosmologischen Term - eindeutig, wenn anstelle der rein metrischen eine ,,neutrale" Feldtheorie gemiil3 EDDINGTON, EINSTEIN und WEYL eingefiihrt wird, bei der man neben den ,,MaBstiiben" auch noch , ,Kreiselkompasse" (EDDINGTON [ 11) als unabhiingige Mefiinstrumente ein- fiihrt. Dies bedeutet, daB neben dem metrischen Tensor g i k auch die Koeffizienten des affinen Zusammenhanges Til als unabhiingige Feldvariablen betrachtet werden. Dabei wird beriicksichtigt, daB die Variationen

wil = ri1 - rjkl (3)

der r Tensoren sind, und daB fiir die Variation des Kriimmungstensors Rilm die Pala- tinische Formel gilt:

--6~i~, = (srj,),, - (wh),l + wg;m - sr:lrim --wirrLl - srLrjl + w;mrh + w p A . (4)

- Damit die Einfiihrung der ubertragungskoeffizienten I'il..als unabhiingige Feld- variablen physikalisch sinnvoll ist, d. h. : damit es physikalisch moglich ist, einen Kreisel- kompaB als unabhiingiges MeBinstrument einzufiihren, ist zu fordern, daB die Feld- gleichungen den Parallelismus und damit den Transport von Vektoren bestimmen, aber auch nicht mehr. Da der Parallelismus

H.-J. TREDER, Hermite-Symmetrie und Super-Eich-Invarianz 255

eines Vektors Ai liings einer Kurve d ( z ) invariant gegenuber dem den Parallelismus be- wahrenden Transformationen ist

j% kl -ri, - I1 +&j k 1 (5)

und die r die Koeffizienten des affinen Zusammenhanges sind, so miissen die Feldglei- ohungen gegeniiber den Transformationen (5) invariant sein ; das Hamiltonsche Integral also eine Invariante gegenuber Einsteins A-Gruppe sein (EINSTEIN [5], TREDER [13])

Bei diesen A-Transformationen transformiert sich der Kriimmungstensor gemiiB

(7) -.

R L m = R L m + %(@rn,t - @l,rn)

lTzkl = Rkl + @k,l - @l,k

und der Torsionstensor gemiiB -

(8) pi kl - - r!l f 1 / 2 ( d : @ l - d@k).

Hieraus ergibt sich (vom kosmologischen Term abgesehen) als einzig mogliche Lagrange- Funktion die Einstein-Hilbertsche Dichte -

y = gkl"GR' r kli = I / - g S""k1, (9)

wobei die Einstein-Bedingung (6)

fordert [5, 6, 13, 141. (10) ist fur symmetrische gik trivial erfiillt. Es gilt hier identisch

Q ~ ~ R , , = glkRk, = g k l R k l . P a ) Im' allgemeinen, d. h. fur unsymmetrische g i k , fuhrt die Variation von (9) nsch den gik zu den Euler-Lagrange-Gleichungen

Zur Darstellung der Variation nach dem I' benutzen wir die Einsteinschen Bezeichnun- gen

A: ; 1 = A:l + ArI'j1, A4 ; I = Afl + ArPjr und definieren hiermit

g y - ;1 = 9:; + pr;, + gi*rt - g i k r h und

i k g+ - ; I = %k,1 - g r k r s - *

Mit diesen Abkiinungen ergibt das Nullsetzen der Variation 49 nach den r

256 Ann. Phpik Leipzig 41 (1984) 415

Die Gleichungen (12a) sind nur 60 algebraisch unabhangige Gleichungen, weil die 4 Gleichungen ([3, 91)

(12b) ail - D1k - 0

g,; = 0.

k -

identisch erfullt sind. Zusiitzlich gelten noch die 4 weiteren Gleichungen (10) :

(12c) t l

(12c) ist die Bedingung dafur, daB die Variation von (9) nach dem Torsionsvektor I', verschwindet :

6 9 t l -- - 291 = 0 sr, und besagt die A-Invarianz von (9) (EINSTEIN und KAUFMAN [5, 61, TREDER [13]).

Da die Gleichungen (12 a) (von Entartungsfallen abgesehen) 60 algebraisch unab- hiingige Gleichungen fur die 64 Ti, sind, bleiben die 4 Eich-Vektoren -.Ti der Einstein- schen A-Gruppe unbestimmt, so da8 mit einer Losung Til auch alle anderen Koeffizien- ten des affinen Zusammenhanges

(14) - ri1 = ril +- as:r,

Losungen von (12a) sind. Fur symmetrische gik ist die allgemeine Losung von (12a) durch [9]

F;. = {:,) + .sp, gegeben, wobei

(15)

{h) = ($1 = 1/2gir(-g,l,r + Ylr,, + qrtJ (15 a) die Christoffelschen Symbole der Riemannschen Geometrie sind. In diesem Falle er- halten wir aus (9) also die Allgemeine Relativitatstheorie; denn wegen der Symmetrie der gik geht der schief-symmetrische Term des Ricci-Tensors zu (15)

R, - R , ~ = &(ri,, - r,,i) (16) in die Feldgleichungen nicht ein. Es gelten die Einsteinschen Gravitationsgleichungen :

Eine Theorie mit unsymmetrischen gik $: gti ist physikalisch nur dann interpretierbar, wenn die Riemannsche Symmetrie-Bedingung durch die Forderung der Hermite-Sym- metrie (EINSTEIN [3], EINSTEIN u n d S m ~ ~ s [7], SCHRODINGER [lo], vgl. TREDER [12,14])

gia = qi!i (17)

ersetzt wird. Gleichzeitig ist dann mit Einstein zu verlangen, dab diese Hermite-Sym- metrie auf Grund der Feldgleichungen auch zu der Hermite-Symmetrie des affinen Zusammenhanges

ri - (18) - rg und zu einer Hermite-Symmetrie des Feldtensors

Ril = Rl,

H.-J. TREDEB, Hermite-Symmetrie und Super-Eich-Invarianz 25 7

gelten muB.

gleichzeitig die Hamiltonsche Principe Die Einsteinsche Forderung der Hermite-Symmetrie ist genau dann erfiillt, wenn

f%? = d ( g i k R ; k ) = 0

649* = G(g*ikR$) = S(gkiRi*,) = 0

(2la)

(21b)

und

gelten, wobei in (21b) der Kriimmungstensor gemiiB RE; = -rgk + rg,l - r;rrg + r*+* k m r1

om kl - - B+- kl ;m - smO+- kr ;r + prm - s k g k r r , I

9,l = 0

gebildet ist. Es gelten dann gleichzeitig die 60 + 4 + 16 Gleichungen

i k

und R i k = 0

und die 60 + 4 + 16 konjugierten Gleichungen bgkl = (gF"m)* - ~1 ( *kr )* - pr * - s L g * k * p = 0 m 9 t - : r . m

lk g;" = gJ = 0 und

RZ = 0.

In (23 a) bedeutet : (grfi;m)* = gg + g * k r r g + g * r l r * k - p l r * r r m .

Wegen der Hermitezitat des Fundamental-Tensors g i k besagt (23 a) damit -

b g k i = sf& + g k r : + g1rr2,k - g l k r * r rm

-sg(g; + prz + g v r , * , k - g v * r r.9 1 - g l k r z - skprr: = 0.

- -

Die Hermitezitkit (18) der Affinitaten besteht dann, wenn (22s) und (24) durch In- dex-Transposition ineinander iibergehen. Dies ist ersichtlich dann der Fall, wenn in beiden Gleichungen die Torsionsvektoren verschwinden :

ri = rf = 0.

S+-;m = g+-im == 0

(25)

(26)

Mit (25) werden also (22a) und (23a) identisch und ergeben die Plus-Minus-Relationen

aus der

kl *lk

r C k . 1 - - r',m = 0, - = r,*,. - (26a)

g ik & = gerr = 0

und

(26b)

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folgen. Damit gilt gemiid (20) Rik = R;i.

Insgesamt erhalten wir damit aus der Forderung der Hermite-Symmetrie die Einstein- Strausschen Gleichungen (EINSTEIN-STRAUS [ 71 und EINSTEIN [ 31)

R,, = 0 (2fW mit

rjl = r Z i und Rlk = RZ. Unter Verzicht auf die A-Invarianz hat EINSTEIN [3] ein a priori Hermite-symmetrisches Hamilton-Prinzip eingefiihrt

Wird aber die Hermitezitat der r in (29) nicht vorausgesetzt, so ist nach den P u n d nach den F* unabhangig zu variieren. Es entstehen so die Gleichungen

6(Y + 9*) = d(gklRkl + g*klR* l k ) = 0. (29)

und

= tly = 0. (30b) Diese Gleichungen ergeben zusammen mit der HermiteziGts-Bedingung (23) fur die r wieder das System der Einstein-Strausschen Gleichungen (28).

(28 a) ist (von Entartungsfkllen abgesehen) ein System von 64 algebraisch unabhan- gigen Gleichungen fur die 64.27 Die Gleichungen (28 b) und (28 c) sind 4 + 16 algebraisch unabhiingige Gleichungen fur die 16gik. Zwischen diesen bestehen noch Differential- Identitaten, niimlich die triviale Identitiit

( 314

(31b)

ik - 0 gyi -

und die 4 Bianchi-Identitaten (EINSTEIN [4], TREDER [ll])

(gER&),n - 1/2/g~Rrnn,, - 1 1/2gmn x (R?n,l + RFl,rn + R1F.n) * Damit ergibt die Forderung der Hermite-Symmetrie scheinbar eine Ubereinstimmung der FeldgroBen gik (EINSTEIN und KAUFMAN [6]). Die Gleichungen enthalten d a m phy- sikalisch nicht vielmehr als die Gleichungen der Allgemeinen Relativitatstheorie : Bei symmetrischen gik gibt es naturlich keine Uberbestimmung. Die Gleichungen (28 b) sind dann identisch erfullt (s. TREDER [ l l ] ) .

EINSTEIN hat seinerzeit etwas anders argumentiert [3]. Er ging bei der Variation der Lagrange-Dichten 9' und 8* a priori von den Symmetrie-Bedingungen

ri - p i gik = g& kl - lk

aus; d. h., er bildete die Lagrange-Dichten

8 = gkLR,l (324

H.-J. TREDER, Hermite-Symmetrie und Super-Eich-Invarianz

Dann folgen bereits aus der Forderung der Kompatibilitiit der Gleichungen

und

259

wjl = o

die 64 f 4 Bedingungen (28 a und 28 b) : kl g+-;, = 0, r, = 0.

Aus unserer Darstellung entnimmt man aber, daB die uberbestimmung der g& vermeid- bar ist. Sie entspricht einer ,,speziellen Eichung des Kreiselkompasses", die darin be- steht, daB man den Eichvektor als Gradienten einfuhrt (wie das EINSTEIN [3] 1955 getan hat; siehe auch W. PAULI [8]):

@i = @,i,

denn fur @, = @,i ist ja RLlm = Rilm.

Aber wegen der Feldgleichungen transformierten Lagrange-Dichten

und

= 99 = 0 sind mit 9 und 9* auch die A-

9' = gikRik + 2g?@i,k (33a)

9'* = g"Ri*, - 2g<kAi,k (33b)

einfuhrbar, wobei ai und Ai willkurliche Vektoren sind. Die Variation von (33a) und (33 b) nach diesen Vektoren verschwinaet wegen der Feldgleichungen (28s) von selbst. Die Variation nach den r bzw. r* wird durch die Zusatzterme nicht beeinfluBt. Die Variation nach den gik bzw. gki liefert hingegen die Feldgleichungen

Rik f @i,k - @k,i = 0 (344

Bei vorausgesetzter Hermite-Symmetrie der I'sz gelten also fur die gik die Gleichungen

RZ = Rik - = 0

R$ = = @i,k - @ k,i * (35b)

g%&, k = 0 (36a) Ri, 1 0 (36b)

(35a) - und

Diese konnen wir als das Einstein-Schrodingersche Gleichungssystem mit 16 algebraisch unabhiingigen Gleichungen fur die 16gik

und

R<k,l + R$l,i i- Rlj,k =

echreiben (EINSTEIN [3], SCHRODJNGER [lo]).

260 AM. Phyaik Leipzig 41 (1984) 4/5

Zwischen diesen Gleichungen bestehen die Bianchi-Identitiiten (29 b) und die beiden trivialen Identitiiten

g i k . = 0 ,kz

und 7 iklmRkl,im = 0.

Wiihrend in der Allgemeinen Relativitiitstheorie wegen der Symmetrie der gik die A- Invarianz trivialerweise besteht, ist in der Hermite-symmetrischen Relativitiitstheorie die A-Invarianz eine Konsequenz der Feldgleichungen. Unter Beriicksichtigung dieser A-Invarianz in den Lagrange-Dichten 9 und Y* entsteht aus der Forderung der gleich- zeitigen Gultigkeit von

und

nicht das uberbestimmte (Einstein-Straussche), sondern das eindeutige (Einstein-Schro- dingersche) Gleichungssystem. Die Einstein-Strausschen Gleichungen resultieren aus dem Einstein-Schrodingerschen einfach daraus, da13 man den Eichvektor als Gradienten ansetzt ; sie sind damit eine spezielle Losung der Einstein-Schrodingerschen Gleichung.

(37a)

gkl = g;l'k, r;l = rgi

Rik = R:!

SCHRODINGERS Eich-Transformationen [ 101

r;.l = rjl + 2/3s:r1

Damit ist R ; ~ = R ~ , + 213( r~ ,~ - r,,i)

9 = gikRik = gik(Rik - 2/3[ri,k - rk,J)

dp* = g*ikRg - g"(RIz - 2/3[r& - r&]).

und die Lagrange-Funktionen dp und 9* lauten

(39a)

(39b) bzw.

Es wird nun nach den gik, den r;: und den T, (bzw. nach den g*kl = gtk, den rLfi und den I';) variiert. Damit entsteht das Hermite-symmetrische Hamiltonsche Prinzip

das die Einstein-Schrodingerschen Feldgleichungen in der Form 6 8 = 6 9 * = 0, (40)

(41%) (41b)

gik.1 - grkri[ - girr;l =

g:k ik - - o f+ r; = o und

Rik = 2/3(& - r k , i ) (41c) ergibt. Die Hermitezitiitsforderng

giE = g:i, r;j = rgi (43 Rik =

ist hierbei von selbst erfullt.

H.-J. BIDER, Hermite-Symmetrie und Super-Eich-Invarianz 261

Der Ricci-Tensor (20) ist von selbst hermitesch, d. h. transpositionsinvariant in bezug a d die unteren Indizes der Tik, wenn der Torsionsvektor Ti versohwindet und des Koordinatensystem so gewiihlt ist, daB

(mJ= IS% = 0 (43) gilt. Damit lautet dann der Ricci-Tensor einfach

Rkl = - G t f ritr;z

-r;l,t + ritril = o

g;; + g 8 k r j 1 + gi*rr,k, = o

r:l = 0.

und das Hamilton-Prinzip (21) egibt die Gleichungen

und

mit der Nebenbedingung

(44)

Des sind die Einstein-Strausschen Feldgleichungen in einem Koordinatensystem mit 1-S = const.

EINSTEIN und KAUFW [15] (siehe EINSTEIN [3], P a m [8]) fuhrten im Sinne einer ,,Pseudo-Hermitezitit" anstelle der r i k den Pseudo-Tensor

q k = r i k - 6'r' k it

rik = uik - 1136:~:~.

(46)

(46a)

als Feldvariable ein; dieser ist aber keine Affinitiit :

Mit den Uik lautet der Ricci-Tensor

und g;y + fl"(u:, - 1/36fU;,)

+ g"( ui - 1/2s,ku;*) = 0.

Diese Gleichungen sind nicht kovariant, wie man aus (46a) abliest. Die Einstein-Kaufmanschen Gleichungen sind die hermiteschen Feldgleichungen in

Koordinatensystemen mit g = const. und mit einer speziellen Eichung der Affinitat. Sie entsprechen, wenn in (46) beliebige r i k eingefuhrt werden, den Einstein-Strausschen Gleichungen. Wird dagegen mit Schrodingers Affinitiit

gebildet, so entstehen die Einstein-Schrodingerschen Gleichungen. Jeweils gilt die Ko- ordinatenbedingung gS = 0.

I ' u; = rd - s;r;; = r;;

Literaturverzeiehnis [l] EDDINGTON, A. S. : Relativitiitstheorie in mathematischer Behandlung. Berlin : Springer-Verlag

[2] EINSTEIN, A.: Sitzungsberichte der AdW, Berlin 1926, S. 114. [3] EINSTEIN, A.: The Meaning of Relativity. App. 11. Princeton: University Prees, 3. ed. 1950. 4.

1923.

ed. 1953, 5. ed. 1955.

262 Ann. Physik Leipzig 41 (1984) 4/5

[4] EINSTEIN, A.: Canad. J. Math. 2 (1950) 120. [5] E I N S T E ~ , A.: Extension du group relativiste. In: DE BROOLIE, L.: Physicien et Penseur. Paris:

Michel1953. pp. 337-342. [S] EINSTEIN, A.; KAUFMAN, B.: Sdr l’etat actdel de la th6orie gbnbrale de la gravitation. In:

DE BROGLUE, L.: Physicien et Penseur. Paris: Michel 1953. pp. 321-336. [7] EINSTEIN, A.; STBAUS, E. G.: Ann. Math. 4 6 (1945) 578; 47 (1946) 731. [8] PAULI, W.: Theory of Relativity. New York-London: Pergamon Press 1958. [9] SCH~ODINQER, E.: Proc. R. Irish Acad. 51 (1948) 147.

[lo] SCEBODINGER, E. : Space-Time Structure. Cambridge : University Press 1950. [ll] TREDER, H.-J.: Ann. Phyaik (Leipz.) 19 (1957) 369. [12] TREDER, H.-J.: Tensor 21 (1972) 75. [13] TREDER, H.-J.: Ann. Physik (Leipz.) 32 (1975) 376. [14] T E E D ~ , H.-J.: Ann. Physik (Leipz.) 40 (1983) 81. [15] EINSTEIN, A.; KAUFMAN, B.: Ann. Math. 62 (1955) 128.

Bei der Redaktion eingegangen am 9. Mglrz 1984.

Anschr. d. Verf.: Prof. Dr. Dr. H.-J. TREDEB Einstein-Laboratorium fur Theoretische Physik der Akademie der Wissenschaften der DDR DDR-1502 Potsdam-Babelsberg Rosa-Luxemburg-Str. 17a