Höhere Mathematik 3 (vertieft)für Luft- und Raumfahrttechnik (LRT)

und Materialwissenschaft (MaWi)

Prof. Dr. Uwe Semmelmann

basierend auf dem Skript von Prof. Dr. Michael Eisermann

Institut für Geometrie und Topologie (IGT)

www.igt.uni-stuttgart.de/LstGeo/Semmelmann

Wintersemester 2018/19(Stand 16. Oktober 2018)

Für die Mitteilung von Unklarheiten und Fehlern aller Artsowie für Verbesserungsvorschläge bin ich stets dankbar!

Organisation der Vorlesung Höhere Mathematik 3

Wochenplan 003

Vorlesung:wöchentlich Di 08:00 – 09:30 V 57.03wöchentlich Fr 11:30 – 13:00 V 47.01

Vortrags- und Gruppenübung:wöchentlich Di 14:00 – 15:30 Vortragsübung, V 47.02wöchentlich Di 11:30 – 13:00 1 Übungsgruppewöchentlich Mi 08:00 – 09:30 3 Übungsgruppenwöchentlich Mi 11:30 – 13:00 4 Übungsgruppenwöchentlich Do 15:45 – 17:10 3 Übungsgruppenwöchentlich Fr 08:00 – 09:30 1 Übungsgruppe

Anmeldung Übungsgruppen: ab 16.10, 10:00 Uhr, über C@mpusOrganisation: Anda Degeratu, Tillmann Jentsch

Semesterplan 004

Vorlesung: ab Dienstag, 16.10.2018

Vortrags- und Gruppenübung: ab Dienstag 23.10.2018

Scheinklausur: 15.12.2018

Modulprüfung: voraussichtlich Ende Februar oder Anfang März

Der Übungsschein ist Voraussetzung für die Zulassung zurModulklausur. Kriterien für dessen Erwerb sind:

Anwesenheitspflicht in den Gruppenübungen: Sie dürfen maximalzweimal unentschuldigt fehlen, danach legen Sie Ihrem Tutor bitteeine offizielle Entschuldigung vor, z.B. ein ärztliches Attest50% der Punkte aus den schriftlichen AufgabenBestehen der Scheinklausur

Themen der HM1/2: Voraussetzung 005

Lineare Algebra:Reelle und komplexe Zahlen R ⊂ CEuklidische Vektorräume Rn, Cn

Matrizen & lineare Gleichungssysteme Ax = y

Eigenvektoren und Diagonalisierung Av = λv

Normalformen für Quadriken x2 − y2 = 1

Analysis:Konvergenz von Folgen und Reihen

∑∞k=0 ak

Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit limx→x0 f(x)

Differential- und Integralrechnung´ ba f

′(x) dx = f(b)− f(a)

Differentialrechnung mehrerer Variablen ∂x∂yf = ∂y∂xf

Vektorfelder, Wegintegrale und Potentiale rot grad f = 0

Themen der HM3 006

Mehrdimensionale Integration (3)´Rn f(x) dx

Integralsätze in Ebene und Raum (5)´B df =

´∂B f

Fourier–Analysis (4) f(t) ∼∑ ck eikt

Gewöhnliche Differentialgleichungen (5) u′(t) = f(t, u(t))

Partielle Differentialgleichungen (5) ∂t u(t, x) = ∂2x u(t, x)

Wahrscheinlichkeitsrechnung (6) P (A|B) =P (A ∩B)

P (B)

Ziele der HM3 laut Modulbeschreibung 007

Die Studierenden verfügen über grundlegende Kenntnisse

der Integralrechnung für Funktionen mehrerer Veränderlicher,gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen,Fourier–Reihen und Integraltransformationen, sowie Stochastik.

Die Studierenden

sind in der Lage, die behandelten Methoden selbstständig, sicher,kritisch, korrekt und kreativ anwenden.besitzen die mathematische Grundlage für das Verständnisquantitativer Modelle aus den Ingenieurwissenschaften.können sich mit Spezialisten aus dem ingenieurs- undnaturwissenschaftlichen Umfeld über die benutztenmathematischen Methoden verständigen.

Literatur zur Höheren Mathematik 008

Empfohlene Literatur:M. Eisermann: Höhere Mathematik 3 (vertieft) - FoliensatzE. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. WileyK. Meyberg, P. Vachenauer: Höhere Mathematik 1 & 2. Springer

Weitere Literatur:G. Bärwolff: Höhere Mathematik. Spektrum Verlag

Zur Wiederholung mathematischer Grundlagen:H. Heuser: Analysis 1 & 2 und Differentialgleichungen. TeubnerW. Kimmerle, M. Stroppel: Lineare Algebra und Analysis.Mathematik Online: www.mathematik-online.org(umfangreiche Übungsaufgaben, Tests, Skripte)

Weitere Hinweise und Links auf der Vorlesungsseite.

Was ist zu tun? 009

Sie müssen in kurzer Zeit sehr viel Stoff lernen. Die drei Grundregelnzum Bestehen der Klausuren sind:

Arbeiten Sie regelmäßig den Stoff der Vorlesung nach. Eine guteVorbereitung erleichtert das Verständnis in der Vorlesung und denÜbungen.

Bearbeiten Sie die Übungsaufgaben und rechnen Sie die Lösungenselbstständig durch. Die Klausuraufgaben leiten sich aus denÜbungsaufgaben ab.

Nutzen Sie die Vorlesungen, Vortragsübungen undGruppenübungen, um Fragen zu stellen.

Mathematische Modellierung

Ein hoher Turm braucht eine breite Basis. 101

r

x

LastG0

r(x)

Der

Eiff

eltu

rmin

Par

isam

Abe

ndde

s14

.08.

2013

,Höh

e32

4m

Der

Bur

jKha

lifa

inD

ubai

,Höh

e83

0m,B

ildqu

elle

:wik

iped

ia.o

rg

#Aufgabe: Konstruieren Sie eine Säule aus einem Material konstanterDichte %, so dass der Druck (Last pro Fläche) überall konstant p ist.

Ein hoher Turm braucht eine breite Basis. 102

#Lösung:Die Fläche ist A(x) = πr(x)2, das Volumen V (x) =

´ xh=0 πr(h)2 dh,

das Gewicht G(x) = g%V (x), der Druck G(x)/A(x)!

= p. Insgesamt:

g% ·ˆ x

h=0πr(h)2 dh

!= p · πr(x)2

Ableiten dieser Integralgleichung ergibt unsere Differentialgleichung:

g% πr(x)2 = 2p πr(x) r′(x).

Diese ist elementar lösbar. Wir trennen die Variablen und integrieren:

r′(x)

r(x)=g%

2p⇒ˆ x

h=0

r′(h)

r(h)dh =

ˆ x

h=0

g%

2pdh ⇒ ln r(x)− ln r0 = x

g%

2p

Wir erhalten somit r(x) = r0 exg%/2p. Der Radius wächst exponentiell!

Modellierungskreislauf 103

Dieses Beispiel illustriert bereits das Wechselspiel zwischentechnischen Problemen aus der Praxis und deren Lösung durchmathematische Werkzeuge.

1 Grundlegendes Verständnis der vorliegenden Situation2 Mathematische Modellierung der vorliegenden Situation3 Lösung durch geeignete mathematische Werkzeuge4 Anpassung und Überprüfung anhand gegebener Daten

Diese Vorlesung konzentriert sich auf Lösungsmethoden (Schritt 3).

Maxwells Elektrodynamik 106

Bild

quel

le:w

ikip

edia

.org

Michael Faraday(1791–1867)

Bild

quel

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.org

James Clerk Maxwell(1831–1879)

Bild

quel

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ikip

edia

.org

Heinrich Hertz(1857–1894)

Gleichungen der Elektrodynamik

∇ · ~E = 4π%, ∇× ~E +1

c

∂ ~B

∂t= 0,

∇ · ~B = 0, ∇× ~B − 1

c

∂ ~E

∂t=

4π

c~J.

Ausblick auf Inhalt und Anwendungen der HM3

Newtons Himmelsmechanik 109

#Aufgabe: Formulieren Sie die Bewegungsgleichungen von n Körpernmit Masse mk > 0, Position uk(t) ∈ R3 und Geschwindigkeit vk(t) ∈ R3.

#Lösung: Newtons Gravitationsgesetz ergibt die Differentialgleichungen

uk = vk, vk = fk(u) :=∑

j 6=kγ mj

uj − uk|uj − uk|3

.

Vorgegeben sind die Anfangssdaten uk(0) und vk(0) zur Zeit t = 0.Als Lösung gesucht ist die Bewegung (u1, v1, . . . , un, vn) : [0, T [→ R6n.

Den Fall n = 2 lösen Kegelschnitte: Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln.Für n ≥ 3 lässt sich dieses DGSystem i.A. nicht geschlossen lösen!Euler–Verfahren: diskrete Zeitschritte 0 = t0 < t1 < t2 < t3 < . . . ,

uk(ti+1) ≈ uk(ti) + vk(ti) · (ti+1 − ti)vk(ti+1) ≈ vk(ti) + fk(u) · (ti+1 − ti)

Die Kontinuitätsgleichung der Strömungslehre 112

#Ziel: Wie verhalten sich Strömungen?

Betrachte eine Strömung in einem Gebiet Ω ⊂ R3 über ein ZeitintervallI = [t0, t1]. Hierbei sei ~v : I × Ω→ R3 das Geschwindigkeitsfeld und% : I × Ω→ R die Massendichte. Die Massenstromdichte%~v : I × Ω→ R3 beschreibt den Massenfluss. Im Strömungsbereich Ωwerde Masse weder erzeugt noch vernichtet.

Die Kontinuitätsgleichung der Strömungslehre 114

#Aufgabe: Welche Beziehung folgt aus der Massenerhaltung?(1) Sei K ⊂ Ω ⊂ R3 kompakt, etwa ein Würfel. Formulieren Siedie Massenbilanz für K in Worten und als Volumen-/Flussintegrale.(2) Formen Sie dies um zu einem einzigen Volumenintegral.(3) Folgern Sie hieraus die zugehörige Differentialgleichung.(4) Was folgt für inkompressible Strömungen, also für %(t, x) = const(x)?

#Lösung: (1) Die über die Randfläche S = ∂K ausströmende Massegeht der Gesamtmasse in K verloren. Als Integralgleichung formuliert:

d

dt

˚K%dK +

‹S=∂K

(%~v ~n) dS = 0

(2) Wir dürfen die Ableitung unters Integral ziehen dank Kompaktheitdes Integrationsbereichs K und Stetigkeit der Ableitung ∂%/∂t:

d

dt

˚K%dK

Kpkt=D3C

˚K

∂%

∂tdK

Die Kontinuitätsgleichung der Strömungslehre 115

Wir wollen beide Integrale auf dieselbe Form bringen, um siezusammenfassen zu können. Dies gelingt mit dem Satz von Gauß:‹

S=∂K(%~v ~n) dS

Gauß=G2H

˚K

div(%~v) dK

Wir erhalten zusammenfassend ein einziges Volumenintegral:˚

K

[∂%

∂t+ div(%~v)

]dK = 0

(3) Diese lokale Massenbilanz gilt für jedes Kompaktum K ⊂ Ω.Das gilt genau dann, wenn der (stetige!) Integrand verschwindet:

∂%

∂t+ div(%~v) = 0

(4) Für inkompressible Strömungen gilt % = const und somit div~v = 0.

Fouriers Wärmeleitungsgleichung 116

#Ziel: Wie berechnet man den Wärmefluss in einem Körper?

Bild

-und

Wär

meq

uelle

:Mom

o

Wir betrachten ein Gebiet Ω ⊂ R3 und ein Zeitintervall I = [t0, t1] undsuchen eine Beziehung zwischen Wärmeleistungsdichte q : I×Ω→ R,Wärmedichte u : I × Ω→ R und Wärmefluss ~f : I × Ω→ R3.

Fouriers Wärmeleitungsgleichung 117

#Aufgabe: (1) Sei K ⊂ Ω ⊂ R3 kompakt, etwa ein Würfel. FormulierenSie die Wärmebilanz für K in Worten und als Volumen-/Flussintegrale.(2) Formen Sie dies um zu einem einzigen Volumenintegral.(3) Folgern Sie hieraus die zugehörige Differentialgleichung.(4) Vereinfachen Sie schließlich durch die Annahme ~f = −κ∇u.

#Lösung: (1) Für jedes Kompaktum K ⊂ Ω gilt die Wärmebilanz:

Von den Wärmequellen in K zugeführte Energie= Zuwachs der in K enthaltenen Wärmeenergie+ Wärmefluss über den Rand von K nach außen

Als Integralgleichung formuliert bedeutet dies:˚

Kq(t, x) dx =

d

dt

˚Ku(t, x) dx+

‹S=∂K

~f(t, x) ~ndS

Fouriers Wärmeleitungsgleichung 118

(2) Mit Gauß (G2H) verwandeln wir Flussintegrale in Volumenintegrale:‹S=∂K

~f(t, x) ~ndSGauß=G2H

˚K∇ ~f(t, x) dx

Die Ableitung darf man unters Integral ziehen (K kompakt, ∂tu stetig):

d

dt

˚Ku(t, x) dx

Kpkt=D3C

˚K

∂

∂tu(t, x) dx

Wir erhalten zusammenfassend ein einziges Volumenintegral:˚

K

[∂

∂tu(t, x) +∇ ~f(t, x)− q(t, x)

]dx = 0.

(3) Diese lokale Wärmebilanz gilt für jedes Kompaktum K ⊂ Ω ⊂ R3.Das gilt genau dann, wenn der (stetige!) Integrand verschwindet:

∂tu(t, x) +∇ ~f(t, x) = q(t, x)

Fouriers Wärmeleitungsgleichung 119

(4) Wärme fließt von warm nach kalt, also ~f = −κ∇u. Einsetzen:

∂tu(t, x) +∇[−κ∇u(t, x)

]= q(t, x)

Mit dem Laplace–Operator ∆ = ∇ ∇ schreiben wir dies kurz

∂tu− κ∆u = q mit ∆ = ∂21 + ∂22 + ∂23 .

Wir erhalten so Fouriers berühmte #Wärmeleitungsgleichung:

∂u

∂t− κ∆u = q mit ∆ =

∂2

∂x21+

∂2

∂x22+

∂2

∂x23

Mars & Venus Express 120

Missionen der ESAStart Jun. 2003 in BaikonurMars-Orbit ab Jan. 2004Start Nov. 2005 in BaikonurVenus-Orbit ab Apr. 2006

Orbiter: Masse 633kg plusTreibstoff (MMH+NTO)Acht Steuertriebwerkemit jeweils 10N SchubFortsetzung oder Ende:Wie lange reicht der Sprit?

Venus Express: Wieviel Treibstoff ist im Tank? 122

Aus Steuermanövern errechnete Masse für 366 Tage bis 31.12.2012.

unplausibel: leichter als leer

unplausibel: schwerer als voll

Tag

Masse/kg

−350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0

600

620

640

660

680

700

720

740

760

Mathematische Statistik: Konfidenzintervalle 124

Jahresmittelwert der Gesamtmasse mit 3σ–Konfidenzintervall.

Tag

Masse/kg

−350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0

600

620

640

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680

700

720

740

760

Mathematische Statistik: lineare Regression 126

Regressionsgerade mit Konfidenzintervallen: 1σ, 2σ, 3σ.

Tag

Masse/kg

−350 −300 −250 −200 −150 −100 −50 0

600

620

640

660

680

700

720

740

760

Viel Erfolg! 128

If people do not believe that mathematics is simple,it is only because they do not realize how complicated life is.

(John von Neumann)