Hybrid fluid-solid simulation

名工大：尾形修司

流体-弾性体連成問題: 古典的問題設定

設定

◉ 流体領域 :

!

"f

r ˙ v

f=# $

t %

f

◉ 固体領域 :

!

" S

r ˙ v S =# $

t %

s

◉ 境界 :

!

r v f

=r v s 速度一致(粘着条件)

!

t "

f# ˆ n

f+

t "

s# ˆ n

s= 0 応力のつりあい

!

"

!

"s

!

"f

!

"

→ Navier-Stokes方程式

→ 粗視化した弾性体

現実は様々な可能性あり(接触角，疎水性/親水性)

現実は塑性変形もありうる

!

"s!

"f

流体-弾性体連成問題: 数値解法例

直接数値シミュレーション(DNS)法

◉ 流体領域でのみ，Navier-Stokes方程式をメッシュ上で解く

◉ 流体-固体境界の移動・変形の取り扱いは，一般に困難である．

例えばArbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) methodにより弾性体の移動・変形に伴い，メッシュを動的に再構成する:あるときは留まって(Euler的)，またあるときは動いて(Lagrange的)，観測する

流体-弾性体連成問題: 数値解法例

Immersed boundary method (IBM)

◉ 流体は，全領域にNavier-Stokes方程式を適用し，Euler的に解く

C.S. Peskin, J. Comp. Phys. 25, 220 (1977)

◉ 境界上の粘着条件は，Navier-Stokes方程式の 外力項を通じてフィードバックループにより　反復的に実現する

◉ 境界上の固体点で流体に働く力を 流体格子点上で流体に対して働く力は

!

r F (

r X ,t)

!

r f (

r x ,t) =

r F (

r X (s,t),t)"(

r x #

r X (s,t))$ ds

として

実際の数値計算ではデルタ関数を離散化する

!

"(x,x ') =1# | x # x' |, for | x # x ' |< 1

0, otherwise

$ % &

!

"#r u

#t+

r u $ %

r u

&

' (

)

* + +%" = µ,

r u +

r f

…境界上の固体点の移動

!

"r X

"t=

r u =

r u (

r X (s,t), t# )$(

r x %

r X (s,t))ds

…外力を含むNS方程式◉

!

r X

!

r x

Boltzmann方程式からの流体方程式導出 (1)

数密度n,温度T, 平均速度uの条件での，速度vのMaxwell-Boltzmann分布

!

f"0

dr v = n …(1)

!

f0(v"# $ u" )d

r v = 0

!

f0(v"# $ u" )(v% $ u% )d

r v = nkBT&" ,%

!

f0(v"# $ u" )(v% $ u% )(v& $ u& )d

r v = 0

!

f0(v"# $ u" )(v% $ u% )(

r v $

r u )

2dr v = 5n(kBT)

2&" ,%

GaussIntegrals:

…(2)

…(3)…(4)

…(5)

!

f0

=n

(2"kBT)3 / 2exp #

(r v #

r u )

2

2kBT

$

% &

'

( )

Boltzmann方程式 (元は希薄ガスを想定)

!

"t +r v # "r

x +

r F # " r

v ( ) f = d $ v 1% d $ v

2dv

2( $ f

1$ f 2& f

1f

2)P

12' $ 1 $ 2

Bhatnagar-Gross-Krook近似 (単一緩和時間近似)

!

"t f +r v # " r

x f +

r F # "r

v f =

1

$( f

0% f )

!

" f # f0$ %(&t f

0+

r v ' & r

x f

0+

r F ' &r

v f

0) …(6)

↑外力:

!

r F

は， と のずれの程度

!

"

!

f

!

f0

↑2体散乱

を表していると見なせる

　程度での長波長極限の挙動をこれから考える

!

"1

Boltzmann方程式からの流体方程式導出 (2)

質量保存

!

"t dr v # f + "$ d

r v # fv$ + F$ d

r v "v$# f =

1

%dr v # ( f

0 & f )

!

" #tn + #$ (nu$ ) = 0

運動量保存

BGK-Boltzmann方程式の両辺を速度積分すると

BGK-Boltzmann方程式の両辺に をかけて積分すると

!

v"

!

"t dr v fv#$ + "% d

r v fv#$ v% + F% d

r v "v%$ fv# =

1

&dr v ( f

0 ' f )v#$

!

" #t (nu$ ) + #% dr v fv$v%& ' nF$ = 0

…(7)

…(8)

式(8)の第２項は，式(6)を適用して部分積分すると

!

dr v fv"# v$ % d

r v f

0# v"v$ & ' ((t dr v f

0# v"v$ + () dr v # f

0v"v$v) + nF"u$ + nu"F$ )

!

dr v " f

0v#v$ = d

r v " f

0u#u$ + nkBT%# ,$式(2),(3)より なので

!

" 0の項を集めると

!

"t(nu# ) +"$ (nu#u$ ) = %"# (nkBT) + nF#

↑Navier-Stokes方程式において粘性項をゼロとした，Euler方程式が得られた．

↑連続の式が得られる

…(10)

さらに式(7)を用いて，

!

"tu# + u$"$u# = %

1

n"# (nkBT) + F# …(11)

…(9)

式(1)と(2)を使うと

式(8)の

↓部分積分

(同一文字はsummation)

(微分は直後にのみかかる)

Boltzmann方程式からの流体方程式導出 (3)

!

"t ( dr v f

0v#$ v% ) = "t (nu#u% + nkBT&# ,% )

= "t (nu# )u% + nu#"tu% + "tnkBT&#,% + n"t (kBT)&# ,%

= '"( (nu#u( )u% '"# (nkBT)u% ' nF#u%

' nu#u("(u% ' u#"% (nkBT) ' nu#F%

'"( (nu( )kBT&#,% ' nu("( (kBT&#,% ) ' 2

3"(u(nkBT

= '"( (nu#u%u)) '"% (nkBT)u# '"# (nkBT)u%

' n(F#u% + u#F% ) '"( (nkBTu))&# ,% '2

3nkBT"(u(

!

"# dv$ f0v%v&v# = "& (nkBTu% ) + "% (nkBTu& ) + "# (nkBTu# )'%,& + "# (nu%u&u# )

↓式変形には，式(4)を使った

!

"t dr v f

0v#$ v% + "& d

r v f

0$ v#v%v& = nkBT("#u% + "%u# ) '2

3nkBT"&u&よって

!

n"tu# + nu$"$u# = %"# (nkBT) + nF# + "$ [&("$u# + "#u$ %

2

3"'u'(#,$ )]

!

with " # nkBT$ % consider as viscocity ↑有名なNavier-Stokes方程式(Newtonian)！

項中：

!

"1式(8)の

式変形には，式(10)と(11)を使い，さらにエネルギー保存から導ける

!

"t(k

BT) + u#"# (kBT) $ %

2

3"#u#kBT

を使った

←

式(8)の

!

"1項をまとめると

!

" 0項と

また

熱輸送方程式もBoltzmann方程式に を掛け積分して得られる

!

(r v "

r u )

2

粘性率，熱伝導度，音速は，現実とは関係無く互いに　　で結びついている!!

!

"

Lattice Boltzmann method (LBM) (1)

◉ コーディングが楽な流体計算法(非圧縮流体に適する)

◉ 常に格子点上のみに存在し，離散化速度(Δtで1 or 0格子点移動)をもつ， 多数の仮想粒子

◉ 空間に規則的な格子点を設定(LB方程式の粗視化に相当する)

◉ 仮想粒子は，移動 & 散乱で質量保存則，運動量保存則に従う

!

r e

i

!

fi(r x +

r c i"t, t + "t) # f i

*(r x ,t) = f i(

r x ,t) +$i({ f i(t)}) + Fi

!

fi(r x ,t)時刻t で離散化速度 を持つ粒子数

!

r c

i

衝突項

!

"i

外力項

!

Fi

左例(D2Q9)では速度0も入れて i={0,…,8}

参考: 蔦原等「格子気体法・格子ボルツマン法」 コロナ社(1999).

!

r x

◉ bounce-back rule等により，複雑境界へも，簡単に適用できる方法

!

"x(lattice spacing)

Lattice Boltzmann method (LBM) (2)

◉ 巨視的スケールでは，BGK-Bolzmann方程式と同様に，　LBMも連続の式，Navier-Stokes方程式を満たす

等温流体でのBGK衝突モデル

!

"i = #( fi # f ieq) /$

!

fi

eq= f j

j

"#

$ % %

&

' ( ( wi 1+

r c i )

r v

cs

2+(r c i )

r v )

2

2cs

4*

v2

2cs

2

+

, -

.

/ 0

温度:

!

T

仮想粒子質量:

!

m

!

"r v = m fi

r c i

i

#局所流速 :

!

r v

!

" = m fii

#局所密度: !

wi

重み:

!

wi=1

i

"#

$ %

&

' (

Maxwell-Boltzmann分布を，流速vの2次まで展開して得る平衡分布

緩和時間:

!

"#t

!

"x

"t

2# $ 0.5

3◉ 動粘性率：

!

cs

2

="x

2

3"t2

音速cs:

単一時間緩和係数

…単一時間緩和係数に関係する

!

fieq

= ni

"

!

fieq(vi," # u" ) = 0

i

$

!

fieq(vi," # u" )(vi,$ # u$ ) = nkBT%" ,$

i

&

等を満たすように決める

LBMでの複雑境界の取り扱い法

Bounce-back rule

擬似摩擦力

◉ 仮想粒子の移動後に，固体内部での流れを打ち消す速度分布を追加する

◉ 壁の移動速度 (UB)を反映させる

e.g., Buxton et al, Phys. Rev. E 71, 56707 (2005)

Ahlrichs and Dunwerg，J. Chem. Phys. 111, 8225 (1999)

◉ 流体点と固体点の速度差に比例して，摩擦力を互いに働かせる

!

r F s = "# (

r v s "

r v f )

!

r F f

= "r F s

…固体への摩擦力

…流体への摩擦力

◉ 固体の内部に流体は侵入しない

◉ 注意：固体の内部に流体が侵入する

!

fi(r x i,t) = f i(

r x i,t) + "f i(

r x i,t,

r U B)

v UB

−(v −UB)+UB= −v+2UB

UB

!

m << MB

(反発係数1)

Preliminary problem

固定壁に挟まれたポアズイユ流内に，rodを置いておく．

Rod=粗視化粒子(CGP)法で作られた粒子群

LBM–CGP interaction in 2D (1)

◉ Immersed boundary methodの考え方を援用する

… 3rd-order Lagrange interpolation

◉ LBM流体速度分布の固体壁での反射 (局所的な固体面方向の情報を用いない簡単な手法)

… bounce back with CG velocity (assuming “heavy” solid)

◉ LBM流体からCG固体への運動量移行 (at X)

LBM–CGP interaction in 2D (2)

!

r F (

r x ,t) =

r g (

r X (s,t), t)"(

r x #

r X (s,t))ds

$S%

!

fi(r X ,t) = "(

r X ,

r x #,$

#,$

% ) f i(r x # ,$ ,t)

… 固体から　　流体への力

!

f j (r X ,t + "t) = f i

*(r X ,t) # 2 fk

*

k$( )wi

r c i %

r U CG(r X )

cs

2

!

2mfi

*(X,t) " 2m( fk

*

k# )wi

r c i $

r U CG(

r X )

cs

2

%

& '

(

) *

i

collision

#r c i

X(s,t)g(X,t)

x

!

redistribute : f i(r X ,t + "t)# f i(

r x ,t + "t) … to LBM points

!

"S

[方向jは，方向iの逆向き]

Conservation of total energy

10 CGP

20 CGP

= Ar (atom)× 1024 21 CG particle

Dynamics of CG particles alone

collision

streaming

CG-dynamics

apply force ufluid +F Δt/ρ

boundary condition on the wall

fluid force on CG particles

get macro fields

CG-evolution

velocity and position of CG particles

Lagrange interp.

scaling to CG world

rescaling to LBM world

Time advancing algorithm

!

r U

CG[LBM unit] =

vatomic unit

unit

3cs

t M

"1r P

CG[atomic unit]

!

FCG,ext

=3"c

s

2#x

fatomic unit

unitf [LBM unit]

Scaling of velocity:

Scaling of force:

400

= Ar (atom)× 102421 CG particle

1 dX[CGP] = (0.8 or 1.2)dx[LBM]

dX

dx

20 (10) CGP

50 CGP

H=100Umax

Characteristics of fluid-solid system

!

Re =U

max

µH = 400 or 500

!

Umax = (0.1 or 0.15) 3cs

Re = 400

Hybrid LBM-CGP simulation

Hard rod

Internalstressof rod

Re = 500

Hybrid LBM-CGP simulation

Soft rod

Internalstressof rod

Re=500Re=400

Energy in the solid body

Discussion: Scaling of time

MD計算: Ar atom (Lennard-Jones potential)

CGP計算

LBM計算

TCG

τ

理論値 : 400 ps v.s. 1ps (Air) Too far!採用値: Divide 1 LBM step into 5 CGP steps

Time scale!

c" = dx(LBM) = 3cs"

!

" =dx

3cs

~ 400ps for air, 100ps for liquid

~ 400#tCG for air, 100#tCG for liquid

今回は，現実の気体より1-2桁程度早い音速に設定した.[つまり，現実の固体より特性振動時間が1-2桁程度長い，柔らかい固体を設定したことに相当するとも言える]

d＝空間次元