Hydrologie und Flussgebietsmanagement¤sentationen/VO101... · ln 1 ⎟ ⇒ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ... 3.556 3.549 6.08 5.146 4.817 4.643 4.532 4.455 4.397 4.353 4.317 4.287 4.263

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Hydrologie und Flussgebietsmanagement

o.Univ.Prof. DI Dr. H.P. Nachtnebel

Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau

Extremwertstatistik Seite 2

Wiederholung Statistische Grundlagen

Definitionen der statistischen Grundlagen• Grundgesamtheit / Stichprobe / Wahrscheinlichkeit• Absolute / relative Häufigkeit• Histogramm / Dichte- / Verteilungsfunktion• Summenlinie / Dauerlinie

Verteilungen• Parameter zur

Beschreibung• Normalverteilung• Standardisierung

Begriffe• Jährlichkeit • Wiederkehrintervall

Empirische Verteilung Theoretische Verteilung

Stichprobe, endlich Grundgesamtheit, unendlich

Häufigkeitsverteilung (Histogramm) Dichtefunktion f(x)

Summenhäufigkeit Verteilungsfunktion F(x)

Relative Häufigkeit Wahrscheinlichkeit

Empirische Wahrscheinlichkeiten = Häufigkeiten

Mittelwert … x Mittelwert … μ

Standardabweichung … s Standardabweichung … δ

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Generelle Vorgangsweise bei Extremwertanalyse

Auswahl der StichprobeAuswahl einer VerteilungAnpassung der Verteilung an StichprobeErmittlung von Schätzwerten (Bemessungsgrößen)Schätzung der Unsicherheit der Aussage


Was ist ein Extremwert / QT

ExtremwertEtwas, das selten auftritt

• Hochwasser• Niederwasser• Lange niederschlagsfreie Perioden• Hagel, Schnee (saisonales Auftreten)

Ermittlung von QT (Bemessungsgröße)• Quantil QT ist gesuchtes Extremereignis mit

Wiederkehrintervall T bzw. Wahrscheinlichkeit 1/T• Ermittlung:

1. Berechnung 2. Grafisch

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Beispiele

Wiederkehrinterval T= 100 Jahre bedeutet, dass ein Ereignis im Durchschnitt (Mittel) alle hundert Jahre einmal auftrittDie Auftrittswahrscheinlichkeit WA für ein Jahr ist daher 1/T = 0.01

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein HQ100 in hundert Jahren ?


Beispiele

Wiederkehrinterval T= 100 Jahre bedeutet, dass ein Ereignis im Durchschnitt (Mittel) alle hundert Jahre einmal auftrittDie Auftrittswahrscheinlichkeit WA für ein Jahr ist daher 1/T = 0.01

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein HQ100 in hundert Jahren ?

WA,1=1/100, WN,1=1-1/100WN,2=WN,1*WN,1= (1-1/100)*(1-1/100)WN,100=WN,1

100 =(1-1/100)100

WA,100=1-WN,100 = 1-(1-1/100)100= 63,4 %

Für derartige Fragen Anwendung des Binomialsatzes!!


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Jahresreihe

Der größte Wert eines Jahres wird ausgewählt


Partielle Reihe

Alle Werte über einem Schwellenwert werden ausgewähltwobei auf Unabhängigkeit zu achten ist

z.B. 1991 zeitlicher Abstand und Minimum dazwischen

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Hinweise

Frage: wo liegt Schwellenwert?

Faustformel: 3x soviel Werte als Beobachtungsjahre in der Stichprobe

Wann wählt man Jahresreihe oder partielle Reihe ?

Bei kurzen Beobachtungsreihen partielle ReiheBei saisonaler Auswertung auch

Vergleich Jahresreihe mit partieller Reihe


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Auswahl einer Verteilung

Log-NormalverteilungGumbelverteilungLog-GumbelverteilungPearson III-VerteilungLog-Pearson III VerteilungWeibull VerteilungWakeby VerteilungGamma Verteilung….


Quantil und Verteilung

Zusammenhang zwischen Q und P(Q>QT)

• F(Q) ist gewählte Verteilungsfunktion• f(Q) ist die Dichtefunktion

f(Q)

Q

Q0

1F(Q)

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Gumbelverteilung• Gewählte Verteilungsfunktion: Gumbel

2parametrig (Schätzung)Doppelt exponentiellLinksseitig mit 0 begrenzt, rechtsseitig unbegrenzt

Geradengleichung bei 2x logarithmieren der Gumbelverteilung

narithmiereT

exF cTxa

eT log11)( ⇒−==

+−

−

)1(*log11ln −⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−

+−

narithmiereT

e cxa T

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

+−Tc

xa T 11lnlnTx

cca

=+⇒1

Grafische Ermittlung von QT

Beachten:2 gleiche WertePartielle ReihenPlotting Positions

Korrektur mittels Weibull


Jahr Qmax Rang T Weib.1950 342 6 1,7 1,81951 415 4 2,5 2,81952 199 10 1 1,11953 278 8 1,3 1,41954 512 2 5 5,51955 333 7 1,4 1,61956 395 5 2 2,21957 607 1 10 111958 212 9 1,1 1,21959 437 3 3,3 3,7

Festlegung der Jährlichkeit T (Wiederkehrintervall)

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Grafische Ermittlung von QT

Wahrscheinlichkeitspapier für Gumbel-Verteilung

0

20

40

60

80

100

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

reduzierte Variable yT

X

1.001 1.01 1.1 1.2 31.5 2 4 5 10 25 50 100 200 300 400 500 1000Wiederkehrintervall

0.1 1 50 75 80 90 96 98 99 99.8 99.9Unterschreitungswahrscheinlichkeit [%]

Mod

us

Mitt

el

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

925

??Q(m3/s)


Allgemeine Aussagen

1. T soll nicht größer sein als die 3-fache Beobachtungsdauer

2. Erwartungswert und Unsicherheit angeben

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Rechnerische Ermittlung von QT bzw. xT

Schätzwerte

• Parameter a (Maßstabsparameter)c (Lageparameter)

• Hydrologische Grundgleichung

• Entsprechung bei NV

TexF c

Txa

eT

11)( −==+−

−

xsc

6π

=

cxa *5772,0−=

xT sTuxx *)(+=

xT sTKxx *)(+=


Rechnerische Ermittlung von QT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

1lnln

TT

yT

yT sTKyy *)(+=

sm /³9283,128*323,4373

=+=

=+= xsTKxx *)(100

Häufigkeitsfaktor KT

n Wiederholungszeitspanne in Jahren T

1.053 1.111 1.25 2 5 10 20 50 100

5101520253035404550556065707580859095100

-1.963-1.677-1.578-1.525-1.492-1.468-1.451-1.438-1.427-1.418-1.41-1.404-1.398-1.394-1.389-1.386-1.382-1.379-1.376-1.374

-1.631-1.4-1.32-1.277-1.251-1.232-1.218-1.207-1.198-1.191-1.185-1.18-1.176-1.172-1.168-1.165-1.162-1.16-1.158-1.155

-1.179-1.023-0.969-0.94-0.922-0.91-0.901-0.893-0.887-0.883-0.879-0.875-0.872-0.869-0.867-0.865-0.863-0.862-0.86-0.859

-0.116-0.136-0.143-0.148-0.151-0.153-0.154-0.155-0.156-0.157-0.157-0.158-0.158-0.159-0.159-0.159-0.16-0.16-0.16-0.16

1.3131.0580.9670.9190.8880.8660.850.8380.8280.820.8130.8070.8020.7970.7930.790.7870.7840.7810.779

2.261.8481.7031.6251.5751.5411.5151.4951.4791.4661.4551.4461.4381.431.4241.4191.4131.4091.4051.401

3.1682.6062.4082.3022.2352.1882.1532.1262.1042.0862.0712.0592.0472.0382.0292.0212.0152.0082.0031.998

4.3433.5873.3213.1793.0893.0262.9792.9432.9132.8892.8692.8522.8372.8242.8122.8022.7932.7842.7772.77

5.2244.3234.0053.8363.7283.6533.5983.5543.5193.4913.4673.4463.4283.4133.3993.3873.3763.3663.3573.349

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Bemessungswert und Schätzfehler

Annahme: die Messungen sind perfektaber man weiß nicht die Jährlichkeit der Beobachtungen

Annahme: das Modell ist korrektSchätzfehler: nimmt ab mit Beobachtungslänge

nimmt zu mit Extrapolation T

(aus Yevjevich, 1973)


Berücksichtigung des Schätzfehlers

Annahme: die Messungen sind perfektaber man weiß nicht die Jährlichkeit der Beobachtungen

Annahme: das Modell ist korrektSchätzfehler: nimmt ab mit Beobachtungslänge

nimmt zu mit Extrapolation Tist NV verteilt

nsuxsux x

TTTT δαα *)(*)( ±=±

2*1,1*14,11 TTT KK ++=δ

KT, δT und u(α) aus Tabellen

smsm /³409/³92810/3,128146,5960,1928 ±=⋅⋅±

146,5323,4*1,1323,4*14,11 2 =++=Tδ

u(α)

n Wiederholungszeitspanne in Jahren

1.053 1.111 1.25 2 5 10 20 50 100

5101520253035404550556065707580859095100

1.7321.4771.3931.3491.3221.3031.2891.2791.271.2631.2571.2521.2481.2441.2411.2381.2351.2331.2311.229

1.4381.2491.1881.1571.1381.1251.1151.1081.1021.0971.0931.0891.0861.0841.0821.081.0781.0761.0751.073

1.0890.9920.9640.9490.9410.9350.930.9270.9250.9230.9210.9190.9180.9170.9160.9150.9140.9140.9130.912

0.9390.930.9270.9250.9240.9230.9220.9220.9210.9210.9210.9210.920.920.920.920.920.920.920.92

2.0961.8541.771.7251.6971.6771.6631.6511.6421.6351.6291.6241.6191.6151.6111.6081.6051.6031.6011.599

3.0322.622.4762.3992.3512.3172.2922.2722.2572.2442.2332.2242.2162.2092.2032.1982.1932.1882.1842.181

3.9563.3833.1813.0753.0072.962.9252.8972.8762.8582.8432.832.8192.8092.82.7932.7862.782.7742.769

5.1674.3874.1133.9673.8753.813.7623.7253.6953.6713.653.6333.6173.6043.5923.5823.5723.5643.5563.549

6.085.1464.8174.6434.5324.4554.3974.3534.3174.2874.2634.2424.2234.2074.1934.1814.1694.1594.154.141

Tabelle δT

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δT – Wert / Red. Zufallsvariable der Gumbel VT

δT - Wert der Gumbel-Verteilung in Abhängigkeit von Jährlichkeit und Stichprobenumfang

Reduzierte Zufallsvariable yT = -ln ln (TR/TR-1) als Funktion des Wiederkehrintervalls(Gumbelverteilung)


Schätzwert und Schätzfehler

http://www.uni-konstanz.de

Abflussgeschehen MaximaBad SchallerbachWiederkehrintervall (Jahre) 2 5 10 25 50 100

Verteilung

Gumbel 23,46 43,74 57,44 74,57 87,19 99,81

Vertrauensbereich +/- 4,32 7,85 11,20 14,90 18,45 21,62

Log Pearson III 20,87 35,95 48,95 64,14 87,56 108,90

HQ m³/s

(Nachtnebel und Vollhofer, 1980)

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Vergleich verschiedener Verteilungen


HQ Statistik Ill - VandansJährliche Reihe

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

50048.8 68.8 88.8 108.8 128.8 148.8 168.8 188.8 208.8 228.8 248.8 268.8 288.8 308.8 328.8

Q sortiert nach WEIBULLP III95% Konfidenzintervall P IIIGumbel95% Konfidenzintervall GumbelLP III95% Konfidenzintervall LP IIIAEV95% Konfidenzintervall AEV

500200100503010521.51.05 T0.9980.9950.990.980.9660.90.80.50.330.05 Pu

HQ[m³/s]

3000.997

(((Nachtnebel und Stanzel, 2007)

Ausreisser ?


HQ Statistik Lutz - GarsellaJährliche Reihe

0

40

80

120

160

200

240

2808.6 28.6 48.6 68.6 88.6 108.6 128.6 148.6 168.6 188.6

Q sortiert nach WEIBULLP III95% Konfidenzintervall P IIIGumbel95% Konfidenzintervall GumbelLP III95% Konfidenzintervall LP IIIAEV95% Konfidenzintervall AEVUG AEV

500200100503010521.51.05 T0.9980.9950.990.980.9660.90.80.50.330.05 Pu

HQ[m³/s]

3000.997

(((Nachtnebel und Stanzel, 2007)

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Verteilungen Übersicht 1

Normalverteilung• 2-parametrig• Symmetrisch• Beidseitig unbegrenzt

Gumbel-Verteilung• 2parametrig• Doppelt exponentiell• Asymmetrisch mit fester Schiefe

• Parameter a – Lageparameter, Modalwert

• Parameter c - Maßstabsparameter• Rechtsseitig unbegrenzt

JahresniederschlagJahrestemperatur

1396,1=sc

cxa

eexF+

−−=)(

cxa *5772,0−=

xsc 28255,1=

Extremwerte:HochwasserNiederwasserStarkregen


Verteilungen Übersicht 2

Weibull-Verteilung• Sonderfall der Kritsky-Menkel

Verteilung• 3-parametrig• Asymmetrisch ohne fester Schiefe• Rechtsseitig unbegrenzt

Extremereignisse

Welche Verteilung ist nun die beste zur Berechnung eines Hochwasserereignisses?

• Keine eindeutige Aussage – aber Empfehlung:GumbelWeibullPearsonGammaVerteilung

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Ergebnisinterpretation

Verschiedene Verteilungen – verschiedene Ergebnisse

x

f(x)

IMMER:Angabe des Ergebnisses mit • Erwartungswert• und Konfidenzintervall

• 2parametrig vs. 3parametrig

• Auswirkung der Verteilungswahl auf Kriterium:

Gumbel liefert für kleine Jährlichkeiten höhere WertePearson liefert dies für große Jährlichkeiten

2parametrig

3parametrig


Niederwasserstatistik

Anwendung:• Wasserentnahme• Einleitung in Vorfluter – Beispiel: thermische Belastung

T

α

• KEIN negativer Abfluss

• Für Österreich:Log PearsonLog Gumbel

xT sgTKxx *),(+=

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Zusammenfassung Extremwertstatistik

Jahresreihe vs. partielle ReiheGrafische und rechnerische Ermittlung eines Extremereignisses

Grafisch – WahrscheinlichkeitspapierRechnerisch

Hydrologische GrundgleichungAngabe des Ergebnisses mit

Erwartungswertund Konfidenzintervall

Überblick über VerteilungenAnwendung der Verteilungen

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Hydrologie und Flussgebietsmanagement¤sentationen/VO101... · ln 1 ⎟ ⇒ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ... 3.556 3.549 6.08 5.146 4.817 4.643 4.532 4.455 4.397 4.353 4.317 4.287 4.263