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Zeitreihenanalyse

H.P. Nachtnebel

Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau

Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 2

Definitionen und AnwendungDefinition Zeitreihe

• zeitliche Abfolge von Messwerten, deren Auftreten statistischen Gesetzmäßigkeiten unterliegt

Anwendung: Zeitreihenanalyse und -synthese • Für die Dimensionierung, die Beurteilung der Zuverlässigkeit von Systemen

und die Vorhersage werden ZR.A. und Simulationen angewandt

Art der Messwerte• Kontinuierlich

Schreiber• Diskret

TerminwerteMittelwerte einer Zeitsp

)(tX

)( ii tX

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Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 3

Darstellung: Ganglinien

kontinuierlich

diskret

Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 4

Methodik

ZeitreihenanalyseZerlegung in wesentliche Anteile und quantitative Beschreibung

Trend …Beispiel: Rückläufige Abflüsse südlich des Alpenhauptkamms

Periode ...Beispiel: in Ö die Frühjahrshochwässer

Stochastischer Anteil …

)(tXT

)(tX P

)(tX R

)()()()( tXTXtXtX RPT ++=

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Methodik

Zweck der ZeitreihenanalyseErmittlung der einzelnen AnteileParametrisierung des Informationsgehaltes in einer Zeitreihe

Simulation (Generierung)• Dann können Reihen generiert werden, die den gleichen

Informationsgehalt (gleiche Auftrittswahrscheinlichkeit) wie beobachtete Reihe haben

Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 5

Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 6

Homogenität / Stationärität

Homogenität• Unterteilung einer Reihe in Teilreihen• Bestimmen der Parameter

MittelwertVarianzSchiefe

• Parameter der Teilreihen weichen nicht signifikant voneinander ab dieselbe Grundgesamtheit Homogen

Stationärität• Mittelwerte von Teilabschnitten weichen nicht signifikant

voneinander ab Stationärität 1. Ordnung• Mittelwerte und Kovarianz von Teilabschnitten weichen nicht

signifikant voneinander ab Stationärität 2. Ordnung

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Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 7

Beispiel für Trendanalyse:Extreme Niederschlagsereignisse in Wien

Zahl der Tage mit mehr als 30 mm Niederschlag in Wien Reihe 1961 - 2001

2

0

1

0

4

1

0

1 1

2

3

1

3

1

2

0

2

0

1

2

0 0

2

1 1

2

1

0

2

0

4

3

0

2 2 2

5

4

2 2

00

1

2

3

4

5

6

1961

1962

1963

1964

1965

1966

1967

1968

1969

1970

1971

1972

1973

1974

1975

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

Jahr

Tage

(Rudel, ZAMG 2002)

Ja !!!!

Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 8

Beispiel für Trendanalyse:Extreme Niederschlagsereignisse in Wien

Zahl der Tage mit mehr als 30 mm Niederschlag in Wien Reihe 1903 - 2001

3

2

1

2

3

1

2

3

1

5

1

3

44

00

22

33

0

2

4

2

1

0

2

4

2

11

2

1

3 3

4

22

5

22

3

0

11

00

44

0

222

11

3

5

0

2

0

1

0

4

1

0

11

2

3

1

3

1

2

0

2

0

1

2

00

2

1 1

2

1

0

2

0

4

3

0

22 2

5

4

2 2

00

1

2

3

4

5

6

1903

1905

1907

1909

1911

1913

1915

1917

1919

1921

1923

1925

1927

1929

1931

1933

1935

1937

1939

1941

1943

1945

1947

1949

1951

1953

1955

1957

1959

1961

1963

1965

1967

1969

1971

1973

1975

1977

1979

1981

1983

1985

1987

1989

1991

1993

1995

1997

1999

2001

Jahr

Tage

(Rudel, ZAMG 2002)

Nein !!!!

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Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 9

Trends in Niederschlag und Abfluss

Moser et al., 2003

Annual precipitation

Abfluss

Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 10

Schätzung Trendanteil XT(t) 1

Annahme• Linearer Trend

Schätzung von A und B durch Regressionsrechnung

)(tXT

tBAtXT *)( +=

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Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 11

Trendanteil XT(t) 2

Annahme• Nichtlineares Verhalten

Beispiel: Nachfragefunktion – zuerst stark ansteigend mit anschließender Sättigung

• Sprungstellen

X(t)

tIx IIx

2**)( tCtBAtXT ++=

Ix

IIx

T

T

Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 12

Trends in der Streuung

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Trendeliminierung

X‘(t) = X(t)-XT(t) = XP(t)+XR(t)Oder nicht parametrisch durch numerisches DifferenzierenX‘(t) = (X(t+1)-X(t))/1 bei linearem Trend

Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 13

Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 14

Periodische Komponente

Hintergrund der Periodizität• Meist klimatische Faktoren

Tagesschwankungen von Abflussmengen jährliche Schwankungen durch saisonale Klimabedingungen

zuvor wichtig ist Elimination des TrendanteilsBestimmung des Periodenanteils

• bei bekannter PeriodenlängeFourieranalyse Mittelungsmethode

• bei unbekannten PeriodenlängeAutokorrelation

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Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 15

Fourieranalyse

Approximation einer beliebigen Funktion durch eine Überlagerung von Sinus- und Cosinus-Funktionen

Amplitude bzw. AjFrequenzPhasenwinkelXt Messwerte

Tf j /1=

( )jjP tjAAtX ϕω +Σ+= sin2

)( 0

jϕ

( ) ( )( ))sincos(

**2sin**2cos)(

tjDtjC

tfDtfCtX

jj

jjjjP

ωω

ππ

+

=+=

∑∑

Cj, Dj

Tπω 2

=

tjxn

Ct

tj ωcos20∑=

⋅⋅= ∑=

⋅=0

sin2t

tj tjxn

D ω

Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 16

Autokorrelation

Definition• Vergleich der Reihe mit sich selbst• Feststellen von Zusammenhängen innerhalb der Reihe

AnwendungFeststellung eines periodischen VerhaltenszB Jahresgang

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Berechnung der Autokorrelation

Analog zu Kapitel 3 Korrelation und Regression

Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 17

Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 18

Autokorrelationskoeffizient / PeriodogrammAutokorrelationskoeffizient:

Korrelationskoeffizient als Funktion der Verschiebung τKann auch direkt aus denFourierkomponentenberechnet werden

PeriodogrammAblesen der Amplituden-quadrate bei den FrequenzenStrichlierte Linie = Signifikanz-niveau

F²/2=

ff1 f2 f3 f4 fjf6f5

( ) ( )( )∑ += tfDtfCtX jjjjP **2sin**2cos)( ππ

( ) ( )( )∑

∑

=

=

+

+=

1

221

22 **2cos

jjj

ijjj

DC

fDCr

τπτ

( ) 2/22jj DC +

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Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 19

• … Random = zufällige Größe

Ursache• zumeist durch kurzfristige, zufällige Witterungserscheinungen

Überlegung• Zeitreihenwert ist vom vorhergehenden Wert abhängig• plus einer zufälligen Schwankung

• r1 … Autokorrelationskoeffizient• … Zufallsanteil

Stochastischer Anteil

)()()()()('' tXtXtXtXtX RPT =−−=

)(tX R

)()1(*)( 1 ttXrtX RR ε+−=

)(tε

Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 20

Zeitreihensynthese

Anwendung auf Zeitreihensynthese• Bei gegebenen Parametern kann eine Zeitreihe generiert

werden• Parameter

Trendanteil A,BJahresgang C,DStochastischer Anteil r1, σε

• Die generierte Zeitreihe hat die gleiche statistische Wahrscheinlichkeit wie die beobachtete Reihe, aber eine andere zeitliche Abfolge

• Trockenjahre / Nassjahre • Man kann damit Wasserwirtschaftssysteme testen

VersorgungsanlagenSpeicherHochwasserrückhaltebecken …

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Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 21

Beispiel Simulation Zeitreihe

Anwendung der Synthese

Simulation für BemessungszweckeSimulation zur Prüfung der Funktionsweise von BauwerkenSimulation liefert keine neue Information, aber generiert Reihen, die gleich wahrscheinlich sind wie beobachtete ReiheEs können daher Nassjahre, Trockenjahre, Extremereignisse etc. in der Simulation auftreten

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Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 23

Zusammenfassung Zeitreihenanalyse

Definitionen• Zeitreihe und ihre Anwendung in der Hydrologie• Art der Messwerte• Grafische Darstellung der Zeitreihe = Ganglinie

ZeitreihenanalyseWesentliche Anteile

• Trend• Periode

FourieranalyseAutokorrelation - Periodogramm

• Stochastischer Anteil

Zeitreihensynthese• Beispiel

LinearNichtlinearSprungstellen