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Max Camenzind – Akademie Heidelberg - 2020
I. Einführung in die Physik
elektrischer Felder
Coulombgesetz, elektrisches Feld & Potenzial Faradayscher Käfig, Kondensatoren
Kurs: Maxwell Elektrodynamik
• I. Physik elektrischer Felder: Coulomb-Gesetz, Vektorfelder, Divergenz, Gaußscher Satz.
• II. Physik magnetischer Felder: Ampere-Gesetz, Dipolgeometrie, Rotation von Vektorfeldern, Stokes, Faraday-Induktion;
• III. Verschiebungsstrom und die 4 Maxwell-Gleichungen, elektromagnetische Wellen;
• IV. Die Lorentz-Invarianz der Wellen-Gleichung – Einstieg der Speziellen Relativität von Einstein 1905.
Zur Geschichte elektrischer Felder • Elektrische Erscheinungen (Bernstein) und
magnetische Wirkungen (Kompass) sind seit dem Altertum bekannt, doch bis zur 2. Hälfte des 18. Jahrhunderts waren sie Kuriosa geblieben, die für die Entwicklung der Physik keine Rolle spielten. Die großartigen Erfolge der Newtonschen Mechanik in der Naturerklärung brachten einen großen Aufschwung der Physik mit sich und inspirierten nun die Physiker dazu, die Elektrizität und den Magnetismus empirisch zu erforschen, und die im Rahmen der Mechanik geforderte mathematische Beschreibung der wirkenden Kräfte zu erarbeiten.
• Das wesentliche neue Konzept war die elektrische Ladung. Die atomistische Struktur der Ladung blieb allerdings lange Zeit unklar.
Materie besteht aus Ladungen Ladungstrennung mit Band-Generator
Das Elektron
Es gibt negative und positive Ladungen. Die Träger der negativen Ladung sind die Elektronen, die der positiven die Protonen.
Alle in der Natur vorkommenden Ladungen sind ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Ladung, der Elementarladung:
e = 1,6021773 10 -19 A s
Die Elementarladung e
Strom ist fließende Ladung
Die elektrische Stromstärke I ist ein Maß für die pro Zeiteinheit geflossene Ladung. Sie berech-net sich als Quotient aus Ladung und Zeit:
I = Q/t bzw. I = Q / t
Was ist Strom?
Die ersten Elemente des Periodensystems Elektronen sind durch el. Felder an Kern gebunden
Alle Stoffe, die wir kennen, sind aus Atomen aufgebaut. Jedes dieser Atome besteht wiederum aus noch kleineren Bestandteilen. Für die Elektrizität und den Magnetismus sind insbesondere die positiv geladenen Protonen des Atomkerns sowie die negativ geladenen Elektronen der Atomhülle von Bedeutung.
Gravitations- und Coulombkraft Zwei massive Körper ziehen sich mit der Gravitationskraft an, die von den Massen und Abständen
der beiden Körper abhängt. Die Kraft zeigt in Verbindungsrichtung.
Zwei elektrisch geladene Körper ziehen/stoßen sich mit der Coulombkraft an/ab. Die Kraft hängt von
den Ladungen und dem Abstand der beiden Körper ab und zeigt in Verbindungsrichtung.
Einheitsvektor, zeigt in Verbindungsrichtung
Die Coulombkraft Zwei elektrisch geladene Körper ziehen/stoßen sich mit der Coulombkraft an/ab.
Influenzkonstante e0 = 8,85 x 10-12 C2 / (Nm2)
In SI Einheiten ist Ladung über die
Elementarladung e des Elektrons definiert.
Es gibt positive und negative Ladungen.
Die Hauptbestandteile der kosmischen Materie sind Elektronen und
Protonen, die entgegengesetzt mit –e und +e
geladen sind (e = 1,6 x 10-19 A s ist die Elementarladung).
Insgesamt gibt es genauso viele positive wie negative Ladungen (Materie ist
im Allgemeinen neutral, nicht global geladen).
Die Ladung hängt nicht vom Bewegungszustand des Teilchens zusammen
(gilt auch in der Relativitätstheorie).
Das Elektrische Feld einer Punktladung
Mit einer Testladung Q lässt sich das Kraftfeld, das von einer
Ladung erzeugt wird, ausmessen.
Es ist günstig, ein elektrisches Feld einzuführen,
das von der Größe der Testladung unabhängig ist.
Elektrisches Feld = ( Kraft auf Testladung) / Testladung
Elektrische Feldkonstante SI-Einheiten
1 V = 1 N m/(A s) = 1 kg m²/(A s³)
Im SI-Einheitensystem ist das Volt definiert als die Potentialdifferenz (Spannung), die anliegt, wenn bei einem Strom von einem Ampere die Leistung von einem Watt (1 W) abgegeben wird.
SI Einheiten
Max Camenzind - 2019
SI Einheiten ab 2019
Der Feldbegriff In der Physik beschreibt ein Feld die räumliche
Verteilung einer physikalischen Größe.
Dabei kann es sich um ein Skalarfeld (wie z.
B. das Gravitationspotenzial oder das
elektrostatische Potenzial), um ein Vektorfeld
(wie z. B. das Gravitationsfeld oder das
elektrische Feld) oder um ein
höherdimensionales Tensorfeld wie den
Energie-Impuls-Tensor handeln.
Der Wert eines Feldes an einem bestimmten
Ort wird Feldstärke genannt.
Die Lehre von den physikalischen Feldern nennt man Feldtheorie.
Zur Geschichte des Feldbegriffs Der Ursprung des Konzeptes des Feldes liegt im 18. Jahrhundert, als in der Kontinuumsmechanik und der Fluidmechanik die räumliche Verteilung bestimmter Größen thematisiert wurde. Es wurde nicht als eigenständige Entität angesehen und die Dynamik der Felder wurde mittels der Newtonschen Teilchen-Mechanik aus den Eigenschaften der dem Feld zugrundeliegenden Moleküle oder Volumenelemente abgeleitet. Eine ganz neue Bedeutung erhielt der Feldbegriff durch die aufkommende Elektrodynamik am Ende des 19. Jahrhunderts, da das elektromagnetische Feld nicht als makroskopischer Zustand aufgebaut aus mikroskopischen Untersystemen erklärt werden konnte. Das elektromagnetische Feld wurde zu einer neuen irreduziblen Entität. Michael Faraday und James Clerk Maxwell waren noch der Meinung, dass das elektromagnetische Feld nur ein angeregter Zustand des Äthers ist und führten damit das Feld auf Bewegung oder mechanische Spannungen in einer Materieform, dem Äther, zurück. Doch das Michelson-Morley-Experiment widersprach der Äthertheorie. Die Existenz des Äthers, der den leeren Raum ausfülle, wurde fortan in der Physik verworfen. Die Beobachtung, dass das elektromagnetische Feld auch im Vakuum, ohne Trägermaterie, ohne eine unsichtbare Trägersubstanz wie den Äther existiert, führte dazu, dass das elektrische Feld als eigenständiges physikalisches System aufgefasst wurde. Heute steht der Begriff des Feldes dem Begriff der Materie (mindestens) gleichberechtigt gegenüber. Der leere Raum kann sowohl Materie als auch Felder enthalten.
Charakterisierung von Feldern Ein Kriterium zur Charakterisierung von Feldern ist die physikalische Natur der Feldgröße: Dichtefeld, Temperaturfeld, Geschwindigkeitsfeld, Gravitationsfeld, Elektrisches Feld, Magnetfeld, (Konservatives) Kraftfeld und Schallfeld. Ein anderes Kriterium ist die mathematische Natur der Feldgröße: Skalarfelder haben Skalare als Funktionswerte, etwa die Massedichte oder die Temperatur. Ein wichtiges Skalarfeld ist das physikalische Potential. Vektorfelder haben Vektoren als Funktionswerte, etwa die Kraft oder die elektrische Feldstärke; Tensorfelder haben Tensoren als Funktionswerte, etwa die elastische Spannung; Spinorfelder haben Spinoren als Funktionswerte, etwa die Lösungen der Diracgleichung oder Weyl-Gleichung in der relativistischen Quantenmechanik. Für die Feldgröße der Vektorfelder ist der Name Feldstärke gebräuchlich.
Orientierung im Raum ?
Cartesisches Koordinatensystem
F(x)
Euklidischer Raum R³
x
Vektorfeld
Geschwindigkeitsfeld eines Planeten V(P) variiert von Punkt zu Punkt
V(P)
Kraft- oder Vektorfelder Ein Kraft- oder Vektorfeld ordnet jedem Ortsvektor x = (x1; x2; x3) eines Punktes des Raumes R3 einen Vektor
Bsp.: Geschwindigkeitsfeld
Wir
be
lfe
ld -
Ro
tati
on
sfe
ld
Divergenz eines Vektorfeldes Divergenz eines Vektorfeldes - ist eine skalare Funktion, die angibt, ob das Vektorfeld an einem bestimmten Ort (x,y,z) eine Quelle oder eine Senke des Vektorfeldes ist und wie groß sie ist.
Die Divergenz ist eine skalare Funktion, d.h. keine vektorielle Größe mehr. Wird also ein konkreter Ort für eingesetzt, dann ergibt die skalare Funktion eine gewöhnliche Zahl. Diese Zahl ist ein Maß für die Divergenz des Vektorfeldes an dem betrachteten Ort . Es kann hierbei eine positive oder negative Zahl herauskommen oder sogar Null. Je nachdem, ob die Zahl positiv, negativ oder Null ist, bedeutet Divergenz etwas unterschiedliches.
Geometrische Interpretation
Divergenz ist ein Maß für die Spreizung eines Vektors am gewählten Punkt. Werfen Sie Sägemehl in einen See. Wenn sich das Material ausbreitet, dann ist die Divergenz des Strömungsfeldes positiv. Sammelt sich das Material jedoch an einem Punkt, dann ist die Divergenz negativ. Positive Divergenz
Das betrachtete Vektorfeld hat eine an jedem Ort konstante positive Divergenz . Das heißt, egal welcher Ort eingesetzt wird, jeder Ort hat eine positive Divergenz mit dem Wert 3. Jeder Ort stellt eine Quelle des Vektorfeldes dar. Das Vektorfeld 'fließt' an jedem Punkt heraus. Das könnte z.B. ein Raumbereich mit positiven elektrischen Ladungen sein.
Integralsatz von
Gauß --------------- Summiere
alle Flächen-elemente
auf F = rV
Gesamtmenge an Flüssigkeit
Maxwell 1: Gauß Gesetz
Gesetz von
Gauß --------------- Summiere
alle Flächen-elemente
auf F = E
Gesamtladung im Volumen
Elektromagnetische Felder
In der Elektrostatik wird das elektrische Feld als eine Hilfsgröße eingeführt.
In der Elektrodynamik erhalten die Felder eine Dynamik, sie können sich von den Ladungen loslösen.
Der größte Teil von Maxwells Lebenswerk war der Erforschung der Elektrizität
gewidmet. Maxwells wichtigster Beitrag war die Ausarbeitung und mathematische
Formulierung von früheren Forschungen über Elektrizität und Magnetismus durch
Michael Faraday (1791-1867), André-Marie Ampère und anderen in einem System
miteinander verknüpfter Differentialgleichungen. Hiermit untermauerte er die seit
Beginn des 19. Jahrhunderts verbreitete Hypothese der Identität der Elektrizität und
des Magnetismus durch ein plausibles mathematisches Modell.
Faradays Laboratorium an der Royal Institution in London um 1819 [Foto: Wikipedia]
Lithografie von Alexander Blaikley (1816-1903), die Michael Faraday am 27. Dezember 1855 bei einer seiner Weihnachtsvorlesungen zeigt [Quelle: Wikipedia]
Maxwell-Gleichungen
Die Maxwellgleichungen beschreiben, wie elektrische und magnetische Felder
durch elektrische Ladungen und Ströme erzeugt werden, und wie sie sich im
Laufe der Zeit ändern (Dynamik).
Die fundamentalen Gleichungen der Elektrodynamik
sind die Maxwell-Gleichungen.
1. Maxwellsches Gesetz (Gaußsches Gesetz)
Ladungen sind die Quellen und Senken von elektrischen Feldern.
Gaußsches Gesetz für Punktladung
Durchfluss von elektrischem Feld durch Kugel
Elektrisches Feld in Radialrichtung Kugeloberfläche
Gauß-Gesetz & Elektrischer Fluss
Das Gaußsche Gesetz Das Gaußsche Gesetz lässt sich für beliebe Ladungsverteilungen und für den Durchfluss
durch beliebige Oberflächen verallgemeinern.
Der Durchfluss des elektrischen Feldes durch eine
geschlossene Fläche ist proportional zur darin
eingeschlossenen Ladung
Für eine Punktladung dünnt der Fluss des elektrischen Feldes mit dem Abstand wie 1/r2 aus,
gleichzeitig nimmt die Fläche, durch die das Feld fließt, wie r2 zu.
Nur für ein Kraftgesetz der Form 1/r2 (Coulomb, Gravitation) bleibt der Gesamtfluss erhalten
Feldlinien
Feldlinie ist ein Begriff der Physik. Feldlinien sind gedachte oder gezeichnete Linien, die die von einem Feld auf einen Probekörper ausgeübte Kraft veranschaulichen. Die an eine Feldlinie gelegte Tangente gibt die Kraftrichtung im jeweiligen Berührungspunkt an; die Dichte der Feldlinien gibt die Stärke des Feldes an.
Beispiel 1: Elektrisches Feld eines langen Drahtes
Elektrisches Feld eines langen Drahtes
Bsp. 2: Der Kondensator
Flächenladung und Kondensator
Dielektrikum im Kondensator Ein Kondensator (von lateinisch condensare ‚verdichten‘) ist ein
passives elektrisches Bauelement mit der Fähigkeit, elektrische Ladung
und damit zusammenhängend Energie zu speichern. Die Fähigkeit,
Ladung zu speichern, wird als elektrische Kapazität bezeichnet und in
der Einheit Farad gemessen.
Um in einem Kondensator möglichst viel Energie speichern zu können,
führt man ein Dielektrikum ein, das das innere Feld schwächt.
Arbeit im elektrischen Feld
Wird die positive Probeladung von A entlang einer Feldlinie nach B gebracht, so ist die dazu nötige Arbeit gleich dem Produkt aus Kraft und Weg.
Elektrische Felder enthalten Energie
WAB = Fel d = E d q
Die Arbeit ist also proportional zu q,
d.h. WAB / q = konstant
Ladung
ArbeitPlattendenzwischenSpannung
Dies gibt Anlass zu folgender Definition:
Arbeit im elektrischen Feld
Elektrische Felder enthalten Energie
Ladung
ArbeitPlattendenzwischenSpannung
q
WU
bzw. W = q · U diese Energie nennt man auch potentielle Energie des elektrischen Feldes
Arbeit im elektrischen Feld
Spannung im elektrischen Feld
WAB = Fel d = E d q WAB = UAB q Setzt man beide Gleichungen gleich, so erhält man, wenn man nach E auflöst:
q
WU AB
AB
d
UE AB
Arbeit im elektrischen Feld
Einheit der elektrischen Feldestärke
d
UE AB
Im homogenen Feld eines Plattenkondensators gilt:
C
N
m
V11 Die Einheit der elektri-
schen Feldstärke ist:
Verschiedene elektrische Felder
Elektr. Feld der Erde am Erdboden 130 N/C
Bei Gewitter vor Blitzeinschlag ca. 105 N/C
380 kV-Leitung, auf freiem Feld darunter ca. 2103 N/C
An der Leiteroberfläche ca. 15103 N/C
Im Umspannwerk im Aufenthaltsraum ca. 5103 N/C
Durchschlagfeldstärke für trockene Luft ca. 3106 N/C
Durchschlagfeldstärke für Glas ca. 2106 N/C
Durchschlagfeldstärke für Transformatoröl ca. 5106 N/C
Im Gas einer Leuchtstofflampe ca. 70 N/C
Beispiele elektrische Feldstärke
Der Kondensator
Kapazität eines Kondensators
Aufladen: Die Ladung Q ist der ange-
legten Spannung proportional: Q U
Unter der Kapazität C eines Konden-sators versteht man den Quotienten aus der Ladung Q und der Spannung U
U
QC Die Einheit ist: FFarad
V
C111
Der Kondensator
Kapazität eines Kondensators
Die Kapazität eines Kondensators berechnet sich wie folgt:
d
AC 0e bzw.
d
AC r ee0
Energie des elektrischen Feldes
Energiedichte elektrisches Feld
Die Energiedichte rel an einem Ort eines elektrischen Feldes ist der Quotient aus der Energie ∆W, die das Feld an diesem Ort in einem umgebenden Volumen ∆V enthält, und dem Volumen ∆V
V
Wel
r
Energie des elektrischen Feldes
Energiedichte elektrisches Feld
Für ein homogenes Feld darf man die Energiedichte als konstant annehmen. Man kann für den Plattenkondensator daher die gesamte Energie des Feldes durch das einge-schlossene Volumen V = A d dividieren.
20r
20r
2
elel Eεε
dA2
d)(Eεε
dA
UC
V
Wρ
2
1d
A
2
1
Energie des elektrischen Feldes
Energiedichte elektrisches Feld
Den für das homogene Feld hergeleiteten Ausdruck der Energiedichte kann man auf allgemeine Felder übertragen, da sie in genügend kleinen Bereichen als (nahezu) homogen betrachtet werden dürfen
20rel Eεερ
2
1
Die Energiedichte eines (beliebigen) elektrischen Feldes an einem Ort mit der Feldstärke E ist gegeben durch
Was sind Dielektrika ?
Oft kann man Ladungsverteilungen durch ihre Gesamtladung, Dipolmoment und höhere Momente
charakterisieren.
Dielektrika sind Materialien, bei denen sich die Ladungsträger
nicht frei bewegen können, sondern nur gegeneinander
verschoben werden.
In einem elektrischen Feld werden Dipole induziert, die sich so
ausrichten, dass sie dem angelegten Feld entgegenwirken – sie
schwächen es.
Feldlinien sichtbar machen
Bringt man dielektrische Körper (z.B. Grieskörner) in ein genügend
starkes elektrisches Feld, so richten sie sich entlang der elektrischen
Feldlinien aus.
Elektrische Leiter In einem elektrischen Leiter (z.B. Metall) befinden sich freie Ladungsträger
(z.B. Elektronen), die durch äußere Kräfte verschoben werden können. Die
Ladungsträger werden so lange verschoben, bis alle freien Ladungsträger
an der Oberfläche sind und der Kraftvektor senkrecht auf die Oberfläche
steht.
Äquipotentialfläche Die Oberfläche eines Leiters ist eine Äquipotentialfläche (ansonsten
würde eine Kraft in Richtung der Oberfläche wirken, die die freien
Ladungsträger verschieben würde). Innerhalb eines Leiters
verschwindet das elektrische Feld. Andernfalls gäbe es eine Kraft auf
die freien Ladungsträger, die zu einem Ladungstransport führen würde.
Faradayscher Käfig Das Verdrängen des elektrischen Feldes aus einem Leiter erfolgt auch
in hohem Grad bei zeit-veränderlichen (nicht statischen) Feldern.
Ein bekanntes Beispiel ist der Faradaysche Käfig.
Das Elmsfeuer Am Ende von spitzen Leitern gibt es eine hohe Ladungsträgerdichte und
hohe Feldstärken. Bei genügend hohen Feldstärken kommt es zur
Feldemission und es können Ladungsträger austreten.
Zum Nachdenken
• Was versteht man unter einem Skalarfeld? • Was versteht man unter einem Vektorfeld?
Beispiele aus der Physik? • Was besagt der Gauß`sche Integralsatz? • Wie lautet das Gauß`sche Gesetz der
Maxwell-Theorie in Integral- und Differentialform?
• Wie berechnet sich die Divergenz eines Vektorfeldes V? Was bedeutet eine positive Divergenz? Eine negative Divergenz?
• Berechne die Divergenz des Ortsvektors r = (x,y,z) und des Vektorfeldes F = (0,0,1).
