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Hydrologie-Zusammenfassung – Daniel Ehrbar, D-BAUG

I – III Grundlagen der Hydrologie

1. Einführung ►Wasser: auf Erde/Atmosphäre regelt Zirkulation durch Eva-poration und Kondensation + regelt Wärme durch den Treib-hauseffekt + formt Oberfläche durch Erosions- und Sedimen-tationsprozesse. ►Hydrologie: Wissenschaft vom Wasser bzw. Wasserkreis-lauf: Veränderung in Raum, Zeit und Aggregatszustände; Was-serbeschaffenheit (physik., chemische und biologische Eigen-schaften) ►Ingenieur-Hydrologie: hydrologischen Verfahren zur Pla-nung von wasserbaulichen Anlagen (Trinkwasser, Entwässe-rung, Kraftwerke, Bewässerung); Vorhersage, Erschliessung und Bewirtschaftung des natürlichen Wasserangebots (→ Ent-scheidungen)

►Wasserkreislauf: beschreibt ständige Zustands – und Orts-veränderung des Wassers auf der Erde. Prozesse sind Wech-selwirkungen zwischen Sonnenenergie und Schwerkraft (also Energie und Masse); Mensch greift ein in biologische Selbst-regulation der physischen Umwelt. → Achtung bei Daten aus Vergangenheit (Siedlungsentwicklung) ►Hydrosphäre: reicht von Erdoberfläche in Atmosphäre (Niederschlag), 1 km in Boden (Lithosphäre, Speicher) ►Beschreibung der Prozesse: Prozesse theoretisch gut ver-standen, doch in Praxis Daten- bzw. Massstabproblem → ver-einfachte Modelle ►Systemgrenze definiert durch bestimmten Punkt am Fluss und ganzes Einzugsgebiet. Alles im EZG abfliessenden Was-sers fliesst an diesem best. Punkt ab ►Räumliche Skalabereiche: Mikroskala: Beschreibung der Prozesse mit physik. Gesetzen und einem einzigen Parametersatz.

Mesoskala: Grösse des EZG. Modell muss der Heterogenität gerecht werden. Da nicht genug Input-Werte für hohe Auflösung → konzeptionelle Modelle sind geeignet Makroskala: Details der Landoberfläche/Heterogenität unwich-tig → meist atmosphärische Zirkulationsmodelle, die Diskre-panz zwischen lokalen Messungen und kontinentalen Inter-pretationen überbrücken → geeignet für Klimamodelle. ►Regionalisierung: Übertragung von hydrol. Kenngrössen von einem Gebiet in ein anderes Gebiet ►Ausgangsdaten: Mittelwerte: für monatliche/ jährliche Vor-aussagen (Skala der Daten der Nutzungsdauer angepasst) Extremwerte: für Bemessung von Wasserbauwerken; Extrapo-lation über sehr grosse Zeiträume, da Wiederkehrperioden bis 103 Jahre Zeitreihen: für zeitliche Entwicklung hydrol. Variablen. Simu-lation → Stochastik ►Variablen: wichtig für Charakterisierung von EZG: Fluss-netze. Variabeln (Niederschlag, Temperatur, …) zeitabhängig; Parameter (Infiltrationskapazität) zeitunabhängig

►Modelle:

Realität)an Annäherung( AusgangEingang ationSystemoper →deterministisch: Physikalische: stützen sich auf Grundgesetze der Physik, bei Kenntnis aller Parameter + Impuls → voll-kommene Beschreibung Konzeptionelle: vereinfachte Näherung von physik. Gesetze durch empirische Parameter Black-Box: Ursache-Wirkungsbeziehungen zwischen Input + Output (ohne Grundgesetze) Stochastisch: System wird durch Variablen beschrieben, die wahrscheinlichkeitstheoretisch über Stichproben (Daten) be-stimmt wurden → Prognose hat Vertrauensintervalle. Unsicherheiten: interne Variabilität natürlicher Prozesse; Unfä-higkeit, alle Beziehungen zwischen Teilsystemen zu verstehen/ beschreiben; Datenmangel (quantitativ und qualitativ) ►Charakteristische Prozesse eines starken, langanhalten-den Regenereignisses: Ausgangslage: Zustand nach einer lan-gen Trockenperiode. Vor dem Regenereignis: Evaporation/ Transpiration/ Basisab-fluss findet statt, die obere Bodenzone ist ausgetrocknet. Zum Ende des Niederschlagereignisses: Vergrösserung des Abflusses, Sättigung der Bodenschichten, einsetzender Zwischenfluss Nach dem Ereignis: potentielle Evopotranspiration wird er-reicht, Abfluss erreicht maximum und sinkt langsam aber unmittelbar wieder ab, Oberflächenabfluss gestoppt.

2. Der Wasserhaushalt und Wasserwirtschaft ►Wasserressourcen: auf Erde (1.34·109 km3): 96.5% Ozeane, 3.5% Grundwasservorkommen, Oberflächengewässer, Eis,

Schnee. Jedoch in letzteren Wasserreservoiren nur 2.5% Süss-


wasser → nur 1/3 nutzbar. Süsswasser erneuerbar, aber nicht unbegrenzt (Transport unmöglich, da so grosse Mengen) Dynamik: mittlere Verweildauer des Wassers in Atmosphäre:

33.8/ == QVTr Tage.

►Schweiz: Verdunstung E kann nicht gemessen werden → Berechnung:

SQPE ∆±−=

In ∆t: )(: 1212 ttttt SSEQPtt −++=− ∆∆∆

mit: Niederschlag (P), Abfluss (Q), Verdunstung (E) und Speicheränderung (∆S, kurzfristig nicht bestimmbar: v.a. Schnee + Seen) Regimes: monatliche Schwankungen; Rücktage: Speicherung durch Schnee, Eis, Boden-, Grundwasser, (Stau-)Seen

3. Das Wasser in der Atmosphäre ►Wasser in Atmosphäre: ist Prozessen unterworfen wie Zu-standsänderung, Wärmeleitung (Einstrahlung + Konvektion), Wissenschaften dazu: Meteorologie (Naturwissenschaft), Kli-matologie (Geowissenschaft) Luftfeuchte: Wasserdampfgehalt in der Luft (in Prozent des ma-ximalen Gehalts: relative Luftfeuchte)

%100. ⋅=dampfdruckSättigungs

DampfdruckigkeitLuftfeuchtrel

►Niederschlagsbildung (NS): Wassermenge, welche die Luft enthalten kann, ohne dass Kondensation stattfindet, hängt haupt-sächlich von der Lufttemperatur ab: je höher die Temperatur, desto mehr Wasserdampf kann die Luft aufnehmen (exponentiel-le Kurve) → Bei Abkühlung wird ein Teil des Dampfes kon-densiert → Wassertropfen → Erdanziehungskraft greift an → Analog beim Schnee, dort gefriert der kondensierte Dampf ein-fach sofort. Die meisten Regentropfen sind so entstanden, dann aber wegen T > 0°C geschmolzen Warum kühlen Luftmassen ab? Warme Luft steigt auf. In der Höhe herrscht weniger Druck, darum sinkt die Temperatur (Kol-lisionswahrscheinlichkeit sinkt) und der Dampf kondensiert → es beginnt zu regnen; Staub- und Salzpartikel in der Atmosphäre vereinfachen diesen Prozess Kondensationsmechanismus: Kondensation findet statt, wenn der Taupunkt erreicht wird, d.h. wenn in der Luft Sättigungs-verhältnisse vorherrschen: Aktueller Dampfdruck > Sättigungs-dampfdruck (Temp.!). Zusätzlich müssen aber auch noch Kris-tallisationskeime vorhanden sein, wo sich Wassertröpfchen an-lagern und kondensieren können. Staub & Salz gibt’s überall in der Luft! ►Wassertropfengrösse: in der Wolke: 3-3000µm >>> im La-bor erzeugte Tropfen! Kommt daher, weil Tropfengeschw. von Tropfengrösse abhängig → Kollision + Vereinigung, wenn zu gross: Zerfall/Teilung. Koaleszenz: Vergrösserung durch Anla-gerung ►Niederschlagsarten: Konvektive Niederschläge: vertikal auf-steigende Luftmassen. Aufstieg durch Einengung (→ innertropi-sche Konvergenzzone (ITC) infolge Passatwinde) also durch Er-wärmung der Erdoberfläche → gibt meist Gewitter, kurze regio-

nale Regengüsse unterschiedlicher Intensität → Entwicklung in 3 Phasen: Bildung, Reifung & Auflösung. Aufwind muss mind. 10

m/s schnell sein → Wolke wärmer als Um-gebungsluft! ca. 10-15 min Wasserkonden-sationsanteil steigt, Tropfen aber zu klein → Turbulenzen nehmen zu → Koaleszenz! Die Reife ist dann erreicht, wenn die Fallgeschw. > Luftströmung. → gewaltige Niederschläge mit

grossen Tropfen & Hagel (10-30 min) → es entstehen Abwinde → am Boden Böen vom Zentrum weg → 3. Phase nur noch Abwinde und schwacher Regen Zyklonale Niederschläge: an Wetterfronten, darum „Frontnie-derschläge“. Warmfrontgebiete sind grösser. Grösster Anteil am Gesamtniederschlag in gemässigten Klimazonen

Zyklone: Warmfront stösst auf KF, warme Luft muss steigen → geschlossene Bedeckung mit Stratuswolke → lang anhaltender Landregen (Sprühregen)

Zyklone sind linksdrehende Luftwirbel. Warmfront wird von KF verfolgt, welche aber aufholt. Zuerst stossen, dann unterfahren → steiler Anstieg

& Einengung → Konvektion → Schauerartige Niederschläge/ Gewitter Orographischer Niederschläge:

durch Berge verursachte aufsteigende Bewegungen → NS vor allem auf Luv-Seite (Frontseite)

Spez. Niederschläge: Hagel (in Wolke auf und ab, starke Kon-vektion nötig), Tau (Luft über Boden kühlt ab → mit Pflanzen-transpiration gibt Wasser), Nebel (ganze Luftmasse kühlt unter Taupunkt → langsam, sehr kleine Tropfen bis Niesel), Boden-nebel (bei austauscharmen Wetterlagen = stabile Hochdruck-wetterlage im Spätherbst & Winter), Hochnebel (bei langen Austauschunterbindungen), Raureif (angefrorener Nebel (Wind-schattenseite))

IV Hydrologische Prozesse

1. Das Einzugsgebiet (EZG) und seine Eigenschaften ►Einzugsgebiet (EZG): Durch Wasserscheiden eingegrenztes Gebiet, Niederschlag, der innerhalb dieser Fläche fällt, fliesst einem definierten Punkt am Fluss zu, an dem das EZG ent-wässert wird, und verlässt dort EZG. Charakteristika: Vegeta-tionsbedeckung, Bodenart, Geologie, Topographie, Höhenlage (Gefälle, Bestimmung über „Verfahren der zufälligen Koor-dinaten“ oder „Quadratnetz bzw. Knotenpunktverfahren“, mitt-lere Höhe), Gewässernetzdichte, Gestalt (Form, Streckung, Kreisförmigkeit, Grösse)

►Flüsse: folgen dem Gefälle, bilden sich falls Niederschlag (P) den Gebietsrückhalt (S, Infiltration, Boden- und Grundwas-serspeicherung) und die Verdunstung (E) übersteigt, drei Hauptzonen: Produktionszone (Bildung von Abfluss und Fest-stoffen), Transferzone (Abtransport), Depositionszone (Sedi-mentation), Rückkopplung zwischen Produktion und Struktur des Flussnetzes ►Flusssystem: offenes, dynamisches System, Umwandlung von potentieller Energie in kinetische Energie, zwei wider-


sprüchliche Prinzipien (Natur geht Kompromiss zwischen Sta-bilität und Effizienz ein): minimale Varianz (Verlust an poten-tieller Energie auf ganzen Lauf verteilen) vs. Minimale Arbeit (Summe der Verluste an potentieller Energie so niedrig wie möglich halten)

►Flussnetzordnung: Quellflüsse (äussere Flussstrecken) er-halten Ordnung 1, zwei Flüsse der Ordnung n verbinden sich zu einem Fluss der Ordnung n + 1 ►Regionalisierung: Übertragen von Punktdaten (stichproben-artigen Messungen) auf eine homogene Fläche

2. Niederschlag (P, precipitation) ►Niederschlag: umfasst alle Prozesse, bei denen Wasser auf die Erde fällt (Schnee, Regen, Hagel usw.), sehr variabel in Raum und Zeit, Niederschlag örtlich stark variabel und in unterschiedlichen Formen möglich (→ problematische Mes-sung!) ►Aufsteigen der Luftmassen: Aufsteigen an Fronten (warme Front gleitet über kältere), orographisches Aufsteigen (Auf-steigen infolge Gebirge), konvektives Aufsteigen (Aufsteigen durch Konvektion), Aufsteigen führt zu Abkühlung und damit zu Niederschlag ►Punktniederschlag: fällt an bestimmter Stelle und wird lo-kal mit Messgerät erfasst, punktuelle Messung mit Auffang-gerät mit 200 cm2-Auffangfläche Gerätetypen: Tagessammler „Hellmann“ (täglich abgelesen und geleert, erfasst Variabilität nicht), Syphon-Schreiber (Schwimmer zeichnet Wasserspiegel auf, entleert sich auto-matisch), Kippwaage/Messwippe (Kammer wird gefüllt und kippt, dadurch Auslösung eines Impulses, 2 Kammern vorhan-den), Niederschlagswaage. An schlecht zugänglichen Stellen kommen Totalisatoren zum Einsatz Fehler: Grössenordnung systematischer Messfehler:

2-10% 10-50%

Verluste aufgrund der Deformation des Windfeldes und Schneedrift (oben: Regen, unten: Schnee)

2-10% Benetzungsverluste (vernachlässigbar bei Starkregen)

0-4% Verdunstungsverluste (vern. bei Starkregen) 1-2% Ein- und Ausspritzen ? Schneewehen und Drift 5-15% Total bei Regen 20-50% Total bei Schnee

Weitere Fehler: Verstopfen des Auffangbehälters (→ heizen!), Messung am Hang, Inhomogenität der Daten Korrektur der Niederschlagsmessungen: nach Sevruk gilt mit windbedingtem Umrechnungsfaktor k, gemessener Monats-summe des Niederschlags Ng [in mm], Haftwasserverlusten ∆N2+3, der Anzahl Niederschlagstage q und dem prozentualen Schneeanteil Q an der Monatssumme des Niederschlags

)( 32+∆+⋅= NNkN gk

10015.0

10013.032

Qq

QqN ⋅⋅+

−⋅⋅=∆ +

Zeitliche Verteilung: Graph der Niederschlagshöhe oder –in-tensität in Funktion der Zeit heisst Hyetograph (= Nieder-schlagsganglinie), Aufsummieren der Regenhöhen ergibt ku-mulative Regenganlinie (= Regensummenkurve), Steigung der Registrierkurve des Regenschreibers entspricht der Nieder-schlagsintensität, digitale Niederschlagsregistrierung nötig falls Auflösung kleiner als 10 min ►Gebietsniederschlag: erfolgt aus der Regionalisierung der Punktmessdaten, grosse räumliche Invariabilität, flächenhafte Messung mit Radar heute möglich, Reichweite aber beschränkt, Eichung jeder Messung mit Bodenmessdaten, Satelliten liefern Infrarotdaten (Temperatur) und Bilder (Wolkenverteilung) Schwankungen: Einfluss von Relief (Luv/Lee), Richtung der Beregnung Praxis: Bei EZG < 10 km2 ist Punktmessung ungefähr gleich wie das Gebietsmittel ►Niederschlagsregime: verschiedene Haupttypen: 1. Tropentyp: äquatoriale Regenzone, doppelte Regenzeit (April & November), 2. Randtropentyp: nur eine Regenzeit, 3. Subtropen (Winterregentyp): Westwindzone, Mittelmeer, Som-mer im subtropischen Hochdruckgürtel, 4. Gemässigte Zone: Niederschlag in allen Jahreszeiten; regional starke Modi-fizierung durch Land-Meer-Verteilung, Gebirgsketten; global durch planetarische, atmosphärische Zirkulation bestimmt. ►Extremniederschlag: Extremniederschlag = Starkregen, we-sentliche Ursachen von Hochwässern entweder grosse Nieder-schlagshöhen (grosses EZG) oder starke Niederschlagshöhen (z.B. bei Gewitter), Schwellenwert für Starkregen (in Deutsch-land):

2

245

−=t

tP

P ist dabei Niederschlagshöhe [in mm] und t die Regendauer [in min] ►Schneefall: abhängig von Höhenlage, Bodenzustand, Land-schaftscharakter, weltweit ca. 50% der Landoberfläche perma-nent oder teilweise schneebedeckt, Schneemessung durch Auf-tauen und Messen des Wasseräquivalents, welches im Mittel um 42% vergrössert werden muss (Fehler durch Vegetation, Exposition zu Sonne, Wind, …) ►Niederschlag in der Schweiz: In der Schweiz fällt im Wallis und Tessin am wenigsten Niederschlag

3. Interzeption (I, interception) ►Interzeption: Verluste durch Benetzung der Vegetations-oberfläche, Benetzung geht über Verdunstung direkt in At-mosphäre zurück, in Mitteleuropa gehen ca. 10-20% des Niederschlags durch Interzeption verloren, I. abhängig von Vegetationsdichte und -typ ►Messung: Für Baumkronen gilt: P: Regenmenge auf freier Geländeoberfläche, Pst: Stammabfluss, PK: Kronendurchlass

)( KSt PPPI +−=

Für Sträucher gilt: P’: durch ein undurchlässiges Gartenbeet gesickerte Wassermenge, P: Regenmenge auf freier Geländeoberfläche:

'PPItot −=

►Zeitliche Invarianz: Gesamte Interzeption Itot wird asymptotisch erreicht, d.h. Interzeption hat zu Beginn des Regenereignisses P(t) grössten Einfluss

( )tottot ItPtot eItI /)(1)( −−=


4. Verdunstung ►Verdunstung: Übergang von Wasser flüssiger Phase in die Gasphase, Energiequellen: Sonnenstrahlung, Wärmetransport durch Wind (Advektion), Wärmespeicherung im Boden und im Wasser, klimatische Einflussfaktoren: Sonnenstrahlung, atmos-phärische Windzirkulation, relative Luftfeuchtigkeit, Luft-druck, morphologische Einflussfaktoren: Oberfläche, Höhe über Meer, Lufttemperatur ►Evaporation (E): Verdunstung ohne Mitwirkung der Pflan-zen Freie Wasseroberfläche: potentielle Evaporation wenn Wasser nicht limitierend (z.B. See), zusätzliche Einflussfaktoren: Form und Ausdehnung der Wasseroberfläche, Wassertiefe und Salz-gehalt (Salz senkt Evaporationsvermögen), E = EWasser Unbewachsener Boden: bodenabhängiger Faktor c (cSand = 1, cTon = 0.75 – 0.9):

WasserBoden EcE ⋅≅

Messung und Abschätzung: mittels Evaporationsbehältern („Verdunstungspfannen“), Perkolationsgerät, Piché-Evapori-

meter, indirekte Abschätzung durch Bilanzmethoden (Energie-bilanz, Wasserbilanz) ►Transpiration (T): über Wurzeln aufgenommenes Wasser wird über Blattöffnungen verdunstet ►Evapotranspiration (ET): Summenprozess aus Evaporation und Transpiration, potentielle Evapotranspiration, wenn Wasser nicht limitierend Messung: Evapotranspiration ET ergibt sich aus Zufluss P (na-türlicher oder künstlicher Regen), Abfluss Q und Speicher-änderung (Nassgewicht S’’ minus Trockengewicht S’, bei Langzeitbeobachtungen vernachlässigbar!):

)'''( SSQPET −−−=

Indirekte Schätzung: z.B. über Wasserbilanzmethode: Nieder-schlag P, Interzeption I, Grundwasserabfluss RG, Oberflächen-abfluss RO und Speicherung S (vernachlässigbar bei Langzeit-beobachtungen) [alle in mm/Zeit] ergibt:

SRRIPET OG ±−±−=

5. Infiltration und Boden ►Infiltration: Niederschlag wird abwärts durch die Bo-denoberfläche bewegt, sehr komplizierter Prozess aufgrund He-terogenität des Bodens, verschiedene Modelle (z.B. Richards, Philip) über Massen- und Impulserhaltung entwickelt ►Boden: Drei Phasen-System: Feste Partikel, Bodenwasser, Bodenluft, Porenvolumen von Korngrösse abhängig, Poren z.T. mit Wasser gefüllt (u.a. Kapillar- und Haftwasser)

Kapillarwasser: wird nach gravitativer Drainage infolge Kapillarkräften zurückgehalten (diese Wassermenge ist die Feldkapazität, kann zu Evapotranspiration gelangen) Haftwasser: ist durch Adhäsionskräfte gebunden ►Messung der Infiltration: z.B. durch Infiltrometerringe oder Bewegungsinfiltrometer

6. Abfluss ►Regenereignis: Am Anfang Muldenspeicherung, danach Infiltration und somit Bodenwasserspeicherung (Bodenreten-tion), zwei Arten der Speicherung: lang anhaltende S. (durch Verdunstung wieder abgebaut), kurzzeitige S. (durch Ausflies-sen wieder abgebaut), später ungesättigter Wasserfluss, Grund-wasserfluss, Oberflächenabfluss, Gerinneabfluss usw. Verzögerung des Abflusses: Niederschlag fällt als Schnee (muss erst Schmelzen…), Wasserkraftnutzung (Speicherung von Wasser im EZG) ►Abflussbildung: Oberflächenabfluss: oberflächlich abflies-sendes Wasser, da Infiltrationskapazität überschritten, vor al-lem bei starker Hangneigung, hoher Niederschlagsintensität und geringer Bodenmächtigkeit ausgeprägt, Grundwasser-abfluss: Wasser infiltriert und fliesst als Grundwasser zum Vorfluter, wo es exfiltriert, Zwischenabfluss (interflow): Was-ser infiltriert, stösst auf undurchlässige Schicht und fliesst hangparallel abwärts, ehe es austritt Horton’scher Oberflächenabfluss: Bodeninfiltrationskapazität f sei kleiner als Regenintensität i: Oberflächenabfluss tritt mit einer Rate i-f auf, der Boden wird von oben her durch Infiltration gesättigt, gilt v.a. für (semi)aride Landoberflächen und undurchlässige Siedlungsoberflächen, d.h. für kleines f und wenig Vegetation Unterirdischer Abfluss und gesättigter Oberflächenabfluss: un-terirdischer Abfluss sättigt den Boden von unten (!) her, sodass von oben kein Wasser mehr infiltrieren kann und gesättigter Oberflächenabfluss gebildet wird, Modell für humide Gebiete mit Vegetation, gesättigter Oberflächenabfluss meist am Hang-fuss / Uferböschung (auch: Dunn’scher Infiltrationsmechanis-mus?)

►Arten der Abflussmessung: Wasserstandmessungen (in Fliessgewässern): Wasserstand W gibt die Höhe des Wasser-spiegels über dem Pegelniveau an, nicht-registrierend: z.B. Pegellatte (täglich abzulesen, Genauigkeit 1 cm), registrierend: z.B. Schwimmerschreibpegel (zeichnen kontinuierliche Gang-linie auf) oder pneumatischer Pegel (Wasserstand übt hydro-statischen Druck auf Sensor aus) oder Pulsecholot/-radar (elek-tromagn. Wellen, berührungslos), Voraussetzungen: Pegelnull konstant, stetiges Gefälle, keine Wellen, kein Rückstau usw. Fliessgeschwindigkeitsmessungen: sind am genauesten (zufäl-liger Fehler ~5%), bei Flügelmessungen werden Fliessge-schwindigkeiten vi und Durchflussquerschnitte Ai (lotrechte Lamellen) bestimmt und der Gesamtdurchfluss gemäss

∑∑==

⋅==n

iii

n

ii vAQQ

11

ermittelt; unterschieden werden verschiedene Methoden für die Ermittlung der Fliessgeschwindigkeit, z.B. die 3-Punkte-Me-thode (h steht für die Wassertiefe über der S o h l e):

4

2 8.06.02.0 vvvvi

+⋅+=

Induktionsmessungen: fliessendes Wasser verursacht elektro-magnetische Induktion, Ultraschallmessungen: Schallsignal wird im Winkel α zur Strömung durch das Wasser geschickt, Länge der Laufstrecke L und Laufzeiten t1 und t2 ergeben

( ) fL

ffL

tt

Lv ∆=−=

−=

ααα cos2cos2

11

cos2 21

21


Tracermethoden: Vorteil: v und A müssen nicht bekannt sein, funktionieren auch in turbulenter Strömung, an Impfstelle wird Markierungsstoff (Tracer) zugesetzt und flussabwärts die Verdünnung gemessen, Momentaninjektion: Tracermenge K [kg] zugeben, flussabwärts Konzentration k [kg/m3] messen, ergibt:

∫ ⋅=

T

dtk

KQ

Kontinuierliche Einspeisung: konstante Injektion q der Kon-zentration k0, im Messquerschnitt Konzentration k1:

1

0

1

10 ..k

kqQhd

k

kkqQ ⋅≈

−⋅=

Radioaktive Tracer: konstante Menge pro Zeiteinheit q der rad. Substanz mit spez. Aktivität A1 an Impfstelle zugeben, fluss-aufwärts spez. Aktivität A0 und flussabwärts spez. Aktivität A2 messen, ergibt:

02

21

AA

AAqQ

−

−⋅=

Messwehre: über das hydraulische Verhalten von Bauwerken (Wehre, Kanäle) kann der Abfluss Q ermittelt werden, falls kein Geschiebe und nur geringe Durchflussmenge. Rechteck-überfälle: Zuflussgeschwindigkeit v0, Überfallbreite b, Über-fallhöhe h (Wehrkante – Wasserspiegel) und Überfallbeiwert µ:

−

+⋅⋅⋅=

2/32

0

2/32

0

222

3

2

g

v

g

vhgbQ µ

Dreiecksüberfälle: Überfallbeiwert µ, Überfallhöhe h (tiefster Punkt des Dreiecksausschnitts – Wasserspiegel), Öffnungswin-kel α (Winkel Dreiecksseite – Lotrechte):

2/5tan215

8hgQ ⋅⋅⋅= αµ

Pegelrelation: Kombination von W-Q-Messungen liefert für jeden Querschnitt die Beziehung W = f(Q) z.B. mit Potenz-ansatz Q = a(W-h)b Standortwahl: fehlerarme, gefahrlose und einfache Messungen Genauigkeit und Korrektur: Flügelmessungen am genauesten, Extrapolation auf Extremereignisse nicht möglich, da Ge-schiebe und instationäre Strömung, keine Korrekturformeln (wie bei NS), systematische Fehler nicht stationär (örtliche Gegebenheiten!) ►Zeitliche Charakterisierung: Hydrologisches Regime: Abflussregime = Gesamtverhalten eines Fliessgewässers, Ty-pen: ephemere Flüsse (nur bei Regen wasserführend, keinen Basisabfluss), intermittierende Flüsse (nur während Nieder-schlagsperiode wasserführend, mit Basisabfluss), perennieren-

de Flüsse (über das ganze Jahr wasserführend, Basisabfluss als wesentlichen Bestandteil), in der Schweiz: alpine Regimes (ein-gipflig, Alpennordseite ab ca. 1550 M.ü.M.), mittelländisch-jurassische Regimes (mehrgipflig) und südalpine Regimes (hydrologisch anders) Jahresganglinie: Jahresganglinie = täglicher Abfluss über Pe-riode eines bestimmten Jahres, Normaljahr (= Regeljahr, mitt-leres Jahr) weist mittleren Abfluss MQ im Bereich des lang-jährigen MQ auf, fortschreitende Summierung der Ganglinie über der Zeitachse ergibt Summenganglinie (= Summenlinie), Neigung der Abflussganglinie = Abfluss Q in m3/s, Wen-depunkt der Summenlinie entspricht Maximum oder Minimum der Ganglinie Dauerkurve: gibt die beobachtete Unter- oder Überschreitens-häufigkeit eines bestimmten Abflusses an, statistisches Hilfs-mittel, wird aus Jahresganglinie konstruiert ►Niederwasser: saisonales Abflussminimum (in humiden Ge-bieten während Monaten, in ariden Gebieten während Jahren), an Sonnenzyklus resp. regionale oder lokale Klimaeffekte gebunden, Dürre = sehr ausgedehnter Zeitabschnitt mit anor-mal trockenem Wetter mit stark unausgeglichener Wasserbi-lanz, Trockenheit = Niederschlag bleibt unter dem mittleren Niederschlag (für humide Gebiete z.B. < 0.25 mm/Tag während einem halben/ganzen Monat), Fehlmengen = Abfluss-defizit = Mindestabfluss minus tatsächlicher Abfluss ►Extremereignisse: Hochwasserganglinien zeigen zeitlichen Verlauf des Hochwassers und offenbaren Charakteristik des EZG (Morphologie, Vegetation, Boden etc.), tmax wenn Abfluss aus entferntestem Teil des EZG eintrifft (falls Niederschlag bis dahin andauert), ansteigender Konzentrationsteil, abfallender Rezessionsteil, schnelle Abflusskomponente = Direktabfluss (sofort nach Niederschlag), langsame Komponente = Basis-abfluss (gedämpft und verzögert), konzeptionelle Model-lierung: Direktabfluss = Oberflächenabfluss und schneller Zwischenabfluss (interflow), Basisabfluss = Grundwasserab-fluss und langsamer Zwischenabfluss

7. Schnee und Eis ►Schneedecke: besteht aus Eiskristallen (10-40 Vol.%), Luft (60-90 Vol.%) und flüssigem Wasser (0-30 Vol.%), Mess-grössen sind Schneehöhe hS (lotrechte Schneemächtigkeit), Schneedichte ρS, Schneedauer (Anzahl Tage mit Schneedecke) und Wasseräquivalent Wä („Wassermenge in der Schnee-schicht“):

SSÄ hW ⋅= ρ100

1

Schneedichte ändert zeitlich und räumlich stark von 50 kg/m3 (lockerer Neuschnee bei Windstille) bis 850 kg/m3 (Firnschnee,

nasser Neuschnee), Mächtigkeit der Schneedecke hängt u.a. von geodätischer Höhe, Gefälle, Azimut, Topographie und klimatischen Faktoren (Wind, Temperatur usw.) ab ►Schneeschmelzprozess: Schneedecke unterliegt drei Pha-sen: Aufbau (Akkumulation), Umbau (Metamorphose) und Abbau (Ablation), die Schneedecke ist geschichtet, alle drei Phasen des Wassers sind nebeneinander anzutreffen, Schneeschmelze falls der im Schnee gespeicherte Wärmeinhalt HM ≥ 0


8. Messdaten ►Niederschlagsdaten: grosse räumliche Variabilität der Schweiz erfordert hohe Messnetzdichte: 72 ANETZ-Stationen, 3 Radar-Stationen, 356 Stationen mit täglicher Nieder-schlagserfassung, 11 ENET und rund 42 IMIS-Stationen, in der Schweiz 11 Niederschlagsmesser pro 1'000 km2, in Deutsch-land 14 Niederschlagsmesser pro 1'000 km2, die meisten Staaten weisen eine Netzdichte von 0.5 bis 2 Stationen auf

►Abflussdaten: heute 246 Abflusspegel, zusätzlich 198 kann-tonale Messstellen und 17 private, dazu 89 Hochwassergrenz-wertpegel ►Schneedaten: vier vom SLF (Eidgenössisches Institut für Schnee- und Lawinenforschung) betriebene Messnetze, in Zu-sammenarbeit mit der SMA (Schweizerischen Meteoro-logischen Anstalt) 11 ENET- und rund 42 IMIS-Stationen in Betrieb

V Wahrscheinlichkeit und Statistik in der Hydrologie

1. Grundlagen der Statistik, Dauerkurve und Q347 ►Grafische Statistik: Variationsbereich s, Anzahl Klassen k und Klassenbreite s/k. Unten beispielhafte tabellarische Aus-wertung, hinzu kommen Diagramme wie Histogramme und Häufigkeitskurven:

)min()max(11

iis xxn

i

n

i ==

−=

)(log3.31 10 nk ⋅+= (gerundet!)

Kla

sse

Klassengrenze abs.

Häufig-keit

rela-tive

Häufig-keit

abs. Summen-Häufig-

keit

kum. Prozent-Häufig-keit [%]

1 10.18 – 11.73 7 0.093 7 9.33 2 11.73 – 13.27 7 0.093 14 18.67 3 13.27 – 14.28 16 0.213 30 40.00 4 14.28 – 16.36 16 0.213 46 61.33 5 16.36 – 17.91 15 0.200 61 81.33 6 17.91 – 19.45 12 0.160 73 97.33 7 19.45 – 21.00 2 0.027 75 100.00

►Quantil: z.B. 0.9-Quantil (Q0.9): 90% aller Werte sind kleiner als dieser Wert ►Dauerkurve: die Dauer τ mit der ein Abfluss grösser oder gleich q* in der Zeitperiode T ist (P = Überschreitungs-wahrscheinlichkeit von q* in der Periode T, t0 = Beginn der Beobachtungsreihe):

PTT

Tq i ⋅=

⋅= ∑∗ τ

τ )(

[ ] )(1,)( ),(00 00

∗+

∗ −=+<<> qFTtttqtqP TttQ

►Q347: Abfluss mit x = 347 Tagen. Entspricht der Rest-wasssermenge, welche laut Gewässerschutz-Gesetz (GSchG) aus ökologischen Gründen vorhanden sein muss.

2. Statistische Messzahlen und Momente ►Mittelwerte: Median (Zentralwert): Wert in der Mitte der Messreihe (d.h. Q0.5), Modalwert (dichtester Wert): Häufigster Wert, Extremwert bei Häufigkeitskurve, Wendepunkt der Dauerkurve → nur sinnvoll bei eingipfliger Verteilung!, drei verschiedene Mittelwerte: arithmetisches Mittel x ≤ geo-metrisches Mittel xg ≤ harmonisches Mittel xh:

∑= ixn

xMittelchesarithmetis1

:

nig xxMittelhesgeometrisc ∏=:

∑=

i

h

x

nxMittelesharmonisch

1: (für xi ≠ 0)

►Streuungsmasse: Spannweite = Variationsbereich s, durch-schnittliche Streuung (lineare Streuung) um (beliebig ge-wählten) Wert b (z.B. Mittelwert):

∑ −= )(1

bxn

ibδ

Varianz s2 und empirische Varianz ŝ2 sowie Varianz um b (b = beliebige Konstante)

∑ ∑ −=−= 2222 1)(

1xx

nxx

ns ii

2222

11

1)(

1

1ˆ x

n

nx

nxx

ns ii ∑∑ −

−−

=−−

=

∑ −= 2)(1

bxn

s ib

Standardabweichung s, empirischer Variationskoeffizient und

Vx und Schiefekoeffizient γ (bei positiver Schiefe gilt D < x~ < x , sonst negative Schiefe):

∑ −−

== 22 )(1

1xx

nss i

==x

sVauchevtl

x

sV xx

ˆ:.

∑∑ −

−−=

⋅

−=

3

3

3

3

ˆ

)(

)2)(1(

)(

s

xx

nn

n

sn

xxiiγ

►Empirische Momente: 1. Moment um den Nullpunkt ent-spricht dem arithm. Mittel x , 1. Zentralmoment ist O, 2. Zen-tralmoment die empirische Varianz M2( x ) = s2, 3. Zentral-moment die empirische Schiefe γ; allgemein gilt:

n

bxbM

ri

r∑ −

=)(

)(


►Korrelation: falls x und y unabhängig sind, nimmt die empirische Kovarianz sxy den Wert 0 an, ansonsten ist sie < 0:

∑ −−−

= ))((1

1yyxx

ns iixy

Korrelationskoeffizient rxy gibt Stärke und Richtung des linearen Zusammenhanges an und variiert zwischen -1 und +1, falls Betrag von rxy kleiner als 0.3 ist der Zusammenhang

schwach bis zweifelhaft, falls der Betrag von rxy aber 0.7 übersteigt, ist der Zusammenhang sehr stark:

∑ ∑∑

−⋅−

−−=

⋅=

22 )()(

))((

yyxx

yyxx

ss

sr

ii

ii

yx

xyxy

3. Auszüge aus der klassische Wahrscheinlichkeitstheorie ►Theorem von Bayes: Wahrscheinlichkeit dass A eintritt unter der Voraussetzung, dass B schon eingetreten ist:

)(

)()|(

BP

BAPBAP

∩=

Theorem von Bayes besagt nun, dass:

∑ ⋅

⋅=

.)(.)|(Pr

.)(.)|(Pr)Pr|.(

EreigPEreignobeP

EreigPEreigobePobeEreigP

►Kenngrössen von Wahrscheinlichkeitsverteilun-gen und Momenten: Bezeichne Fx(x) = P(X ≤ x) als kumulative Verteilungsfunktion und fx(x) = P(X) als Dichtefunktion; damit ergeben sich Mittelwert, Varianz, Standardabweichung und Schiefekoeffizient zu:

∑

∫

⋅=

⋅=∞

∞−

)()(

)()(:

Falldiskreterxpx

FallstetigerdxxfxMittelwert

iix

xx

µ

µ

∑

∫

⋅−==

⋅−==∞

∞−

dxxpxXVar

dxxfxXVarVarianz

xxix

xxx

)()(][

)()(][:

22

22

µσ

µσ

2

xx σσweichung:Standardab =

33

3

3),()(

:x

x

x

i XM

n

xxffizientSchiefekoe

σµ

σγ =

⋅

−= ∑

4. Wahrscheinlichkeitsmodelle mit diskreten Zufallsvariablen ►Bernoulli-Ereignisse: „entweder-oder“-Ereignisse, d.h. zwei mögliche Versuchsausgänge (1 und 0), z.B. entweder ist der Abfluss grösser als Q* (= 1) oder kleiner (= 0), Wahr-scheinlichkeit p, Mittelwert E[X] und Varianz Var[X]:

=−

===−

sonst

xfürpppxXPXp

xx

x0

1,0)1(],[)(

1

pXE =][ ppXVar )1(][ −=

►Binomialverteilung: Serie von Bernoulli-Ereignissen, wel-che unabhängig sind und gleiche Auftretenswahrscheinlichkeit p haben: z.B. Wahrscheinlichkeit für k Hochwässer in n Jahren:

knkkkk pp

knk

npp

k

nkP −− −

−=−

= )1(

)!(!

!)1()( 1

pnkE ⋅=][ )1(][ ppnkVar −⋅=

►Geometrische Verteilung: „Wieviele Jahre vergehen, bis der Abfluss Q* erreicht oder überschritten wird?“, Hochwasser kann mit Wahrscheinlichkeit p jedes Jahr auftreten, Wahr-scheinlichkeit, dass 1 Hochwasser in n Jahren auftritt ist:

npnNP )1(1][ −−=≤

pNE

1][ =

2

1][

p

pNVar

−=

►Poisson-Verteilung: gilt, wenn durchschnittliche Anzahl der Ereignisse das Ergebnis einer sehr grossen Zahl von Ereig-nismöglichkeiten und einer sehr kleinen Ereigniswahrschein-lichkeit ist:

!),()(

x

exXPXp

x

x

λλλ

−⋅===

,...2,1,0!

)(0

=⋅

=∑=

−

kfürx

ekF

k

x

x

x

λλ

1)()0( =∞= −xx FundeF λ

λ=][XE λσ =2

x

5. Wahrscheinlichkeitsmodelle mit kontinuierlichen Zufallsvariablen ►Normal- oder Gaussverteilung: benötige Mittelwert µx und empirische Standardabweichung σx:

−−⋅

⋅=

2

2

1exp

2

1)(

x

x

x

x

xxf

σµ

πσ

∫∞

∞−

= dxxfxF xx )()(

xx =µ xx s=σ

Standardisierung der Normalverteilung:

x

xxz

σµ−

=

xxz xfzf σ⋅= )()( )()( xFzF xz =

Beispiel: Sei 15.46x = , 2.49s = und 100R = : R = 100 → F = 0.99

Aus Tabelle für F = 0.99: 33.2ˆ100 =−

==s

xxzR


26.21ˆ33.2100 =+⋅== xsxR

►Log-Normalverteilung: da Abfluss und Niederschlag nicht negativ werden können, ist die Log-Normalverteilung eine offensichtliche Näherung (y > 0):

−⋅⋅⋅

=

2

lnlnˆ

ln1

2

1exp

2

1)(

y

y

yyf

yy

y σσπ

)1ln()( 22ln += yy Vσ

y

yyV

µ

σ=

2lnln )(

2

1)ln( yyy σµµ −=

Standardisierung der Log-Normalverteilung:

y

yyz

ln

ln)ln(

σ

µ−=

►Exponentialverteilung: z.B. für Zeit zwischen zwei Ereig-nissen (für t ≥ 0):

tT etF λ−−= 1)(

tT etf λλ −⋅=)(

λµ

1][ == XEx

2

2 2][

λ=XE

2

2 1)(

λσ =x 1=V

Beispiel: Bauzeit einer Brücke: 14 Monate, alle 5 Jahre Hoch-wasserereignis; Wahrscheinlichkeit P für Hochwasser während Bauzeit (welches Bau gefährden würde):

a5

1=λ , 21.0

12

14

5

1exp1

12

14=

⋅−−=

≤ aa

aTP

►Gamma-Verteilung (Pearson-Typ-III-Vert.):

0)(0

1 >⋅=Γ ∫∞

−− rfürdtter rt

1!)1( ≥∈=+Γ INnfürnn

)()(

1

r

etxf

xrr

x Γ

⋅⋅=

−− λλ dx

x

exxF

x xrr

x ∫ Γ

⋅⋅=

−−

0

1

)()(

λλ

falls y = λx: )(

),()(

λλ

Γ

Γ=

yxF u

falls r > 1: λ

1−=

rD falls r = 1:

xexf λλ −⋅=)(

λµ

rXEx == ][

2][

λσ

rXVarx ==

xxxVss

x

⋅==

12λ 22

2 1

xx Vs

xr ==

r

2=γ

6. Extremwertverteilungen ►Gumbelverteilung (EV1-Verteilung): Verwendung insbe-sondere bei Hochwassermodellierung

−−−=

αux

xFx expexp)(max,

−−−

−−⋅=

αααuxux

xf x expexp1

)(max,

αµ 5772.0][ +== uXE 6

][22

2 απσ

⋅==XVar

sπ

α6

= απ

5772.06

5772.0 −=⋅−= msmu

q-Quantil ξq von X und Frequenzfaktor kR:

yuq

auq ⋅+=

⋅−= αξ

1lnln

αux

y−

=

−+−=

1lnln5772.0

6

R

RkR π

σµξ ⋅+= Rq k

►Fréchet-Verteilung (EV2-Verteilung): Verwende Skalen-parameter x0 und Formparameter υ:

−=ϑ

x

xxFx

0exp)( für x > 0, x0 > 0 und υ > 0

−Γ⋅=ϑr

xXMr

r 1)0,( 0

1)/11(

)/21(1

2

2

0 −−Γ

−Γ=⋅

−Γ⋅=ϑϑ

ϑµ xV

rx

−Γ−

−Γ=ϑϑ

σ1

12

1 22

02 x

)/11(0 ϑ−Γ=

mx

q-Quantil ξq von X:

⋅=−⋅=ϑ

ξ ϑ yxqxq exp)ln( 0

1

0

ϑξ

1

0 1ln

−⋅==

R

Rxx qR

►Weibull-Verteilung (EV3-Verteilung): x ≥ 0, Verwendung v.a bei der Niederwassermodellierung:

−−=β

λx

xFx exp1)(

−⋅

⋅=− ββ

λλλβ xx

xfx exp)(1

−Γ⋅=

βλ

rXM r

r 1)(

+Γ⋅=

βλ

11][XE

+Γ−

+Γ⋅=

ββλσ

11

21 222

1)/11(

)/21(2

2 −+Γ

+Γ=

ββ

xV

q-Quantil ξq von X (ε = Verschiebung, meist ε = 0):

( )[ ]

⋅−+=+−−+=

βελεελεξ β

yqq exp)(1ln)(

1


7. Modellwahl und Testverfahren ►Plotting Positions: drei gebräuchliche Ableitungen der all-gemeinen Formel:

bn

bixFxxP i 21)()(

−+

−==≥

1)()(:

+==≥

n

ixFxxPWeibull i

4/1

8/3)()(:

+

−==≥

n

ixFxxPBlom i

12.0

44.0)()(:

+

−==≥

n

ixFxxPGringorten i

►Wahrscheinlichkeitspapier: x = Abfluss, y = Normalstan-dardvariable z, für Lognormalwahrscheinlich-keitspapier: x = ln(Abfluss), y = Normalstandardva-riable z ►Testtheorie: Fehler 1. Art: Null-Hypothese H0 wird verwor-fen obwohl richtig (α), Fehler 2. Art: Null-Hypothese H0 wird angenommen obwohl falsch (β), α = Signifikanzniveau (= Irr-tumswahrscheinlichkeit) χ

2-Test (Chi-Quadrat-Test):

Inte

rval

l x j

(1)

Anz

ahl

Mes

s-w

erte

Nef

f (2)

The

oret

isch

e W

ahrs

chei

n-li

chke

it p

(xj)(

3)

The

oret

isch

e A

nzah

l W

erte

N

theo

= n

· p(

x j)

(4)

Prü

fgrö

ssen

εi2

(5)

0-30 5 0.274253 5.485061 0.042896 30-35 9 0.381169 7.623373 0.248591 35-∞ 6 0.344578 6.891566 0.115342

Summe n = 20 1.000000 n = 20 0.406829

(1) Unterteile die Messreihe in geeignete Intervalle (2) mind. fünf Messwerte sollten im Intervall liegen (3) Berechne die theoretische Wahrscheinlichkeit, dass ein

Messwert in diesem Intervall liegt (4) Multipliziere diese Wahrscheinlichkeit mit n (5) Berechne die Prüfgrösse εm

2 gemäss:

( )∑

=

−=

k

j theo

theoeffm

N

NN

1

22ε

Überprüfe mit εm2 ob gilt:

αε =∆≥ )( 2

mP (∆ aus Tabelle!)

Die Anzahl Freiheitsgrade f ist gleich der Anzahl Klassen k minus der Anzahl geschätzter Parameter r minus 1:

1−−= rkf

Kolmogorov-Smirnov-Test: (1) Ordne Datensatz aufsteigend (Ränge i von 1 bis n) (1) Annahme einer (theoretischen) kumulativen Verteilungs-

funktion Ftheo und deren Parameter (2) Aus den (beobachteten) Messwerten wird die kumulative

Verteilungsfunktion Feff aufgestellt:

n

ixF ieff =)(

i: Rang, n: Anzahl Messwerte (3) Berechne die maximale Abweichung der beiden Vertei-

lungsfunktionen:

[ ])()(max1

max itheoieff

n

ixFxF −=

=ε

(4) Überprüfe, ob für εmax gilt:

αε =∆≥ )( maxP (∆ aus Tabelle!)

8. Regression und Schätzverfahren ►Regression: einfache lineare Regression:

xaay ⋅+= 10 010

=∂

∂=

∂

∂

a

s

a

s

∑ ∑ ∑=⋅−−=−= 2210

2 )()( iii xaayyys ε

xaya ⋅−= 10 21

x

xy

s

sa = 21

y

xy

s

sa =∗

∗⋅= 11 aarxy

Nicht-lineare Regression und Transformation: Wähle Ansatz und bestimme ai durch:

0...10

=∂

∂==

∂

∂=

∂

∂

na

s

a

s

a

s

►Schätzverfahren: Methode der kleinsten Quadrate: Mini-miere die Abweichungen der Punkte von y:

∑ ∑ −== werdenminimalsolly)(yεs 2i

2

i

Momentenmethode: Bestimme die Parameter über die Mo-mente der Verteilungsfunktion:

∑= r

ir xn

XM1

)0,(

∑ −−

= rir xx

nxXM )(

1

1),(

Maximum-Likelihood-Methode:

∏ ⋅⋅== ),(...),()|();,...,( 11 γγγγ nxxixn xfxfxfxxL

auflösennachL

γγ

⇒=∂

∂0

Oft auch:

01)ln(

=∂

∂=

∂

∂

γγL

L

L

falls mehrere Parameter γi:

miL

i

,...,3,2,1,0)ln(

==∂

∂

γ


VI Hydrologische Modellierung von Einzugsgebieten

1. Niederschlag-Abfluss-Modelle ►Modelle: Ein „Modell“ ist eine vereinfachte Repräsentation eines Systems, welches als ein Set von physikalischen, chemischen und/oder biologischen Prozessen definiert ist, wel-che auf eine oder mehrere Eingangsvariablen reagieren, um diese in eine oder mehrere Ausgangsvariablen zu überführen deterministische Modelle: physikalischen Gesetzmässigkeiten, Beziehungen (viele Variablen, komplexe Interaktion) probabilistische Modelle: statistische Messungen untersuchter Variablen, Mittelwert, Varianz, Korrelation sind identisch (jedoch kein neuer Informationsgehalt) 3 verschiedene Modellstrukturen: Vollständige Prozess- und physikalisch begründete gegliederte Modelle: simulieren alle einzelnen hydrologischen Prozesse mit vollständigen Erhal-tungssätzen (Masse, Energie, Impuls) oder mit konzeptionellen bzw. empirischen Komponenten, welche die einzelnen Prozes-se vereinfacht beschreiben; Konzeptionelle Blockmodelle: ver-einfachte konzeptionelle Beziehungen mit der Massenbilanz des Systems. Voraussetzung: EZG lässt als ganzes charak-terisieren (vereinfachte math. Beziehungen zu einzelnen Prozessen); Input-Output oder black-box Modelle: setzen eine Eingangs- mit einer Ausgangsgrösse durch eine einzige Trans-formationsbeziehung miteinander in Verbindung 2 Kategorien: Modelle mit kontinuierlicher Simulation: simu-lieren den Wasserkreislauf als ganzes, ohne irgendein Prozess, der die Transformation in den Abfluss bewirkt zu vernach-lässigen; ereignisbasierte Modelle: sind für Anwendung wäh-rend bestimmter und begrenzter Zeitspanne konzipiert. Ver-nachlässigt unwichtige Prozesse. (z.B. für Hochwassereignisse) Niederschlag-Abfluss-Modelle: simulieren eine Einzugsgebiet-Antwort (Abfluss) als Funktion der Zeit, wenn der Nieder-schlag als Eingangsgrösse gegeben und das Einzugsgebiet be-schrieben ist Ziel: Variabilität des Wasserkreislaufes vorherzusagen und (mathematische) Methoden bereitzustellen, die Informationen über hydrologische Variabeln liefern. Die Datengenerierung ist wichtig bei der hydrologischen Modellierung ►Gegliederte Modelle und Blockmodelle: Blockmodelle set-zen voraus, dass die Heterogenitäten des Einzugsgebiets und die Variabilität der Prozesse durch Modelle simuliert werden können. Sie liefern nur für spezifische Ereignisse zufrieden stellende Ergebnisse Grundlegende Schritte für Modelierung: - Definition der Problemstellung, - Wahl der Klasse des hydrologischen Modells, - Wahl des Modell-Typs in der gewählten Klasse, - Kalibration des Modells (Parameterschätzung), - Beurteilung Anwendungsbereichs und der Leistungsfähigkeit

des Modells und - Anwendung des Modells. ►Punktniederschlag: Stochastische Modellierung des Niederschlags: Independent Poisson Mark (IPM) Modell: Beschreibt das Auftreten von Niederschlagsereignissen durch einen Poisson-Prozess, wobei jedem Poisson-Ereignis ein rechteckiger Blockregen zugeord-net wird, welcher sich durch eine zufällige Zeitdauer und Höhe auszeichnet:

Poisson Rectangular Pulses (PRP) Modell: Erlaubt die Über-lappung verschiedener Ereignisse, um die Beschreibung der Niederschlagsprofile dem realen Niederschlagsverlauf anzupas-sen. Die Dauer und die Regenhöhe sind voneinander unab-hängige und identisch exponentiell verteilte Zufallsvariabeln (gilt auch für IPM)

Neyman-Scott Rectangular Pulses (NSRP) Modell: basiert auf einem Poisson-Prozess, wobei jedem Auftreten ein Cluster von Rechteckimpulsen einer zufälligen Höhen und Dauer zugeordnet wird, welche zufällig um den Cluster-Ursprung herumgruppiert sind. Die Überlagerung dieser Impulse liefert die Beschreibung des Niederschlagprofils

►Gebietsniederschlag: Frage des Flächen-Mengen-Verhal-tens von Niederschlag. Gebietsniederschlag wird bei Analyse abgelaufener Hochwasser sowie als Eingangsgrösse für Ge-bietsbilanzen benötigt und muss anhand punktförmiger Mes-sungen bestimmt werden; kleine Einzugsgebiete (A ≤ 10km2): Punktmessung als Gebietsniederschlag; grosse Einzugsgebiete: mind. 3 Messstationen – durch arithmetisches Mittel, Polygon-methode, Isohyetenverfahren oder Rasterverfahren. Räumliche Verteilung ist von Niederschlagsart, vom Gebietsrelief und von Zeitintervalllänge abhängig.


Für das „wahre“ Flächenmittel des Niederschlags gilt bei einer Fläche A

P =1

AP(r)dr =

1

AP(x,y)dxdy∫∫∫

r: Radiusvektor, x,y: Koordinaten

P = ai ⋅ P(ri)i=1

n

∑ = ai ⋅i=1

n

∑ Pi

i: Anzahl i = 1, …, n; ai: Gewichtskoeffizient “wahrer“ Niederschlagswert P(ri)= Pi am Punkt i

Wichtige Hinweise aus subjektiven (Beobachtungs-), objektiv-bedingten und durch die Mittelungsmethode bedingten Fehlern Voraussetzung für die Anwendung ist das Vorhandensein der Strukturfunktionswerte. Für die Genauigkeit der Bestimmung des Gebietsniederschlags ist die Netzdichte massgebend Arithmetisches Mittel: Gebietsniederschlag für ein ebenes Ge-lände: Betrachte nur Stationen im Gebiet:

P =1

nPi

i=1

n

∑

P: Gebietsniederschlag n: Anzahl der Stationen Pi: Niederschlagssumme der Station i für ein gegebenes

Zeitintervall

Thiessen-Polygon-Methode: Bei ungleichförmiger Verteilung der Stationen: Punkte werden der nächstgelegenen Nieder-schlagsstation zugeordnet.

P = γ i ⋅ Pi

i=1

n

∑

P: Gebietsniederschlag n: Anzahl der Teilflächen γi: Flächengewicht der Station i

Isohyetenmethode: Geradlinige Interpolation der Nieder-schlagshöhen benachbarter Stationen ergibt Linien gleicher Niederschlagshöhe (Isohyeten):

P =1

A∆Ai ⋅ Pi

(*)

i=1

n

∑

P: Gebietsniederschlag A: Fläche des Einzugsgebiets in [km2]

∆Ai: Fläche zwischen zwei Isohyeten [km2] n: Anzahl der Isohyeten

Pi: mittlerer Niederschlag in ∆Ai [mm]

2. Modellierung der Einzugsgebietsverluste ►Interzeption:

Itot = ˆ S + c ⋅ E ⋅ tp

Itot: Interzeption [mm] tp: Regendauer [h] E: Evaporationsrate [mm/h]

S: maximale Speicherung [mm] c: Verhältnis der vegetationsbedeckten Fläche zur

Gesamtfläche [-] Typische Werte: E = 2.5*10-3 mm/h, S = 2-15 mm; Genereller Ansatz:

Itot = c ⋅ (a + b ⋅ Ptotn )

Ptot: kumulierte Regenmenge der Regendauer n: hängt von der Vegetation ab

a,b,c: Faktoren, abhängig vom Vegetationstyp ►Verdunstung: Evaporation (ET) und Evatranspiration (PET) sind zwei entscheidende Komponenten von komplexen Nie-derschlag-Abfluss-Modellen. Die Energiebilanzmethode bildet Grundlage für empirische Formeln, bei welchen einige Grössen vereinfacht oder vernachlässigt werden können Schätzung Evaporation: Die Wahl des Modells ist von der Da-tenverfügbarkeit abhängig. Es sollen empirische Formeln für annähernde Schätzungen und für grobe Zeitauflösungen (10 Tage – 1 Monat) verwendet werden. Ist eine tägliche Schätzung verlangt, muss eine Methode verwenden werden, die explizit die Sonnendauer und die Globalstrahlung berücksichtigt. (z.B. Penman-Formel) Empirische Formeln: Formel von Turc:

E =Ptot + a

1+Ptot + a

L

E: Evaporation in best. Zeitabschnitt [mm/Zeit] Ptot: Regenmenge in best. Zeitabschnitt [mm/Zeit]

a: maximale Wassermenge, die im Boden für die Evaporation verfügbar ist [mm/Zeit] (a=1: trocken; a=10: nass; für eine

Dekade)

L =1

16⋅ T + Rg( )

L: „Sonnenfaktor“ [-] T: mittlere Lufttemperatur [°C] Rg: Globalstrahlung [cal/cm2Tag]

Rg = RS ⋅ 0.18 + 0.62N

Nh ,pot

Rs: Strahlung ausserhalb der Atmosphäre N: effektive Sonnenscheindauer [h]

Nh,pot: potentielle Sonnenscheindauer [h] Schätzung potentielle Evapotranspiration PET: Die Verduns-tung von Landflächen ist gegenüber Wasserflächen viel kom-plexer. Die PET ist die Wassermenge, die das Einzugsgebiet (EZG) verliert, wenn das im EZG vorhandene Wasser keinen limitierenden Faktor darstellt. Sie wird mit empirischen For-meln geschätzt, wobei verschiedene Formlen mit Berücksich-tigung der folgenden Einflüsse existieren: der mittleren Tages-


temperatur, der mittleren Tagestemperatur, Sonnenstrahlung, der mittleren Tagestemperatur, Feuchtigkeit, der mittleren Ta-gestemperatur, Wind, relativer Feuchtigkeit, % Sonnenschein, etc. (sehr komplex). Da oft nur die mittlere Tagestemperatur zur Verfügung steht, werden die einfachen Methoden bevor-zugt. (z.B. Thornthwaite-Formel) Verfahren nach Thornthwaite: nur für grossräumige Abschät-zungen und Monatsummen geeignet:

PET =16 ⋅ b ⋅10 ⋅ T

I

a

PET : Potentielle Evapotranspiration [mm/Monat] b: Koeffizient, Funktion von Saison, Breitengrad

T: mittlere Monatstemperatur [°C] I: thermaler Jahresindex a: Koeffizient

I = ∑ ij ,mit Monatsindex ij = (Ti/5)1.514 a= 1.6/100⋅I + 0.5

Verfahren nach Blaney-Criddle:

PET = 8.128 + 0.457 ⋅ T( )⋅S0 ⋅100

SJahr

T: Tagesmittel der Lufttemperatur [°C] S0: tägl. astronom. mögl. Sonnenscheindauer

SJahr: Summe der jährlichen Tagesstunden (Jahressumme der astronomisch möglichen Sonnenscheindauer)

Mitteleuropa: PET = -1.55 + 0.96⋅PETBlaney-Criddle

Verfahren nach Penman: basiert auf Kopplung von Massen-transfer und Energiebilanzmethode (= energy balance):

PET = fcrop ⋅ E

E: Evaporation freie grasbedeckte Oberfläche Der Korrekturfaktor fcrop ist ein saisonaler Anbaukoeffizient, der Getreide-, Vegetationsentwicklung berücksichtigt und de-ren Transpirationswerte korrigiert Schätzung aktuelle Evapotranspiration AET: Aus den Verfah-ren zur Ermittlung der PET von un- und bewachsenen Land-flächen können, ohne direkte Messungen, Aussagen über die AET abgeleiten werden. In Zeitabschnitten mit ausreichender Wasserversorgung der Pflanzen aus dem Bodenwasservorrat oder über Niederschläge gibt die PET die AET an. Die AET ist von der vorhandenen Energie zur Evaporation und von der ver-fügbaren Wassermenge abhängig. Über offenen Wasserflächen gilt AET = PET Hydrologisches Defizit: Die Wasserbilanz dient dazu die Was-serspeicherung zu quantifizieren und Defizite im Wasserhaus-halt zu ermitteln. Sie sieht wie folgt aus:

P = Q + ET + (S’’ – S’) + I P: Niederschlag während der Dauer t bis t + ∆t

Q: Abfluss (entspricht Effektivniederschlag) ET: Evapotranspiration S’’- S’: Speicherung

S’: Speichervolumen zur Zeit t S’’: Speichervolumen zur Zeit t+ ∆t

I: Interzeption (ist im Normalfall vernachlässigt)

P < PET → AET ≤ PET ; Q = 0 ; ∆S ≤ 0 P > PET → AET = PET ; Q ≥ 0 ; ∆S ≥ 0

(gilt nur für Bodenspeicher, nicht für Schneespeicher) Als Hydrologisches Defizit D wird die Differenz zwischen PET und AET bezeichnet:

D = PET – AET Die Speicheränderung hängt von der Bodencharakteristik, spe-ziell von der Fähigkeit Wasser für die Evapotranspiration frei-zugeben ab. Potentielle Freigabe von Wasser L(t) während der Trockensaison (P < EP):

L(t) = P(t) – PET(t) L(t): ist dabei negativ

P(t): Niederschlagsmenge von Beginn der Trockenzeit (t=0) bis zum Zeitpunkt t

PET(t): potentielle Evapotranspiration während derselben Zeitspanne

Effektiver Freigabe von Wasser B(t) während der Trocken-saison (P < EP):

B(t) = Smax – S(t) = AET(t) – P(t) B(t): ist stets positiv Smax: maximale Speicherung

S(t): Speicherung nach Zeit t (Trockenperiode) AET(t): AET in derselben Zeitspanne

Zu Beginn einer Trockenperiode ist AET = PET, solange der Wasserspeicherungsvorgang anhält. ►Infiltration: Gleichung von Philip: Infiltrationsrate:

f t( )=1

2⋅ s ⋅ t−1 2 + k f

umgeformt:

f t( )=1

2⋅ s ⋅ t−1 2 + A

s: Sorptionsvermögen A: Parameter, beschreibt Sickergeschwindigkeit

A =1

2⋅ k 1( )⋅ 1+ δi

c[ ]

δi: anfänglicher effektiver Sättigungsgrad c: wird als Funktion der Porosität berechnet

Gleichung von Horton: Veränderung der Infiltrationsrate mit der Zeit:

−df

dt= k f − fc( )

k: Rezessionskonstante [T-1]

f t( )= f c + f0 − fc( )⋅ e−kt

Die Infiltrationsrate startet mit einer Rate f0 und nimmt exponentiell ab, bis eine Endrate fc erreicht. Die kumulative Infiltration ergibt sich zu:

F(t) = f c ⋅ t +f0 − fc

k⋅ 1− e−kt( )

Konzeptionelle und empirische Methoden: CN-Methode – kon-zeptionell:

Das Curve Number Modell parametrisiert die Infiltration als Funktion der Bodencharakteristik und –nutzung und schätzt den Direktabfluss anstelle der Infiltration ab. Aus

Pe t( )P t( )− Ia

=F t( )

ˆ S

F(t): kumulierte unfiltrierte Wassermenge bis t Ŝ: maximal möglich infiltrierbare Wassermenge

Pe(t): kumulierter Nettoniederschlags bis t P(t): kumulierter Gesamtsniederschlags bis t


Ia: Anfangsverluste der Interzeption und der

Oberflächenspeicherung

und P(t) = Pe(t) + F(t) +Ia

Pe t( )=P t( )− Ia[ ]2

P t( )− Ia + ˆ S [ ] für P(t) > Ia

Pe t( )= 0 für P(t) < Ia

Pe(t): „rainfall excess“ kum. Niederschlagsüberschuss Modell nur von Schätzung des CN-Wert abhängig: 1. hydro-logische Bodengruppe identifizieren, 2. Landnutzung bestim-men → CN-Wert. Hoher CN-Wert → wenig durchlässigen Flä-chen, tiefer CN-Wert → durchlässiger Boden

−= 1100ˆ

0CN

SS S0 = 254 mm

Die kumulierte Nettoniederschlagshöhe QD [mm] (Direktab-fluss) für sämtliche Zeitpunkte (∆t bis n∆t=T, T: Dauer des Re-genereigniss) berechnen. Hinweise: Die CN-Werte sind für normale Vorfeuchthebedingungen antecedent moisture condi-tions (AMC) anwendbar und werden auch als „AMC II“-Klasse bezeichnet. Die CN-Methode benötigt kein Direktabfluss, um den Nettoniederschlag zu berechnen. Der Nettoniederschlag Pe wird anhand der Bodeneigenschaft und somit der Infiltrations-eigenschaften bestimmt Sättigungszeit: Die Zeit bis Sättigungsbedingungen erreicht sind, wird als Sättigungszeit tp bezeichnet. Nettoniederschlag tritt erst nach tp auf. Man überprüft, ob

i t( )dto

t p∫ = f t − t*( )t*

t p∫ dt

Nettoniederschlag tritt also dann auf, wenn

i tp( )= f tp − t*( )

Lösen der beiden Gleichungen liefert t* und tp.

„Φ-Index“-Methode – empirisch: Annahme: Infiltrationseigen-schaften konstant. Eine Gerade wird auf dem Hyetograph pa-rallel zur x-Achse mit dem Y-Wert = Φ [mm] gelegt. Nieder-schlagsmenge, über Geraden entspricht dem bestimmten Di-rektabfluss. Regenmenge, unter der Geraden entspricht Nie-derschlagsmenge, die durch Infiltration, Oberflächenspeiche-rung und Evapotranspiration verloren ging:

QD = Pi −Φ( ), falls Φ < Pi

Pi( ), falls Φ > Pi

i=1

M

∑i=1

M

∑

QD: Direktabfluss Pi: Niederschlag im Zeitintervall i

∆t: Dauer des Zeitintervalls M: Anzahl Zeitintervalle

Prozentwert-Methode – empirisch: Berechnet Nettonieder-schlag im Zeitintervall ∆t als prozentualer Anteil des Gesamt-niederschlags. Der Prozentwert ist zeitkonstant oder variabel. Falls der Prozentwert c zeitkonstant ist:

QD = Pi −c

100⋅ Pi

i=1

M

∑ = 1−c

100

Pi

i=1

M

∑

QD: Direktabfluss Pi: Niederschlag im Zeitintervall i M: Anzahl Zeitintervalle

c: Prozentanteil des Niederschlags, der je Zeitschritt infiltriert ►Abflussganglinie von Extremereignissen: Bei der Analyse von Hochwasserereignissen unterscheidet man verschiedene Abflusskomponenten aufgrund der Laufzeit: Oberflächen-abfluss (Direktabfluss), schneller Bodenmatrixabfluss (Zwi-schenabfluss) und Grundwasser (Basisabfluss). Beim Hoch-wasserabfluss werden nur der Direkt- und der Basisabfluss unterschieden - Grössen mit Separation der Abflussganglinie bestimmen. Auf einer halblogarithmischen Graphik kann eine einfache Ganglinie des Hochwasserabflusses in 3 Abschnitte unterteilt werden: Konzentrationsteil (Anstiegsteil), Rezessions-teil Direktabfluss (abfallender Ast), Rezessionsteil Basisabfluss (abfallender Ast) Vorgehen zur Separation der einzelnen Abflusskomponenten: Start- und Endpunkt des Oberflächenabflusses und Form des Hochwasserabfluss zwischen diesen zwei Punkten identifizieren. Anstiegspunkt: Nach Niederschlagsbeginn steigt Abfluss an. Form des Hydrographen und Ende des Oberflächenabflusses sind schwieriger.

−−⋅=

k

ttQQ 0

0 exp

k: Speicherkoeffizient [T-1] Q0: Ausfluss aus Speicher zur Zeit t0 [L3T-1] Q: Ausfluss aus Speicher zur Zeit t [L3T-1]

Abtrennung des Basisabflusses: Horizontale Geradenmethode:

Eine horizontale Gerade wird vom Anstiegspunkt, also vom Beginn des Direktabflusses, aufgetragen. Geradenmethode: Je eine Tangente an Abfluss-menge vor und nach Regen-ereignis. Wo sich Tangenten

und Hydrograph trennen ist Anfangs- bzw. Endpunkt. Gerade vom Anstiegspunkt bis Beginn Basisabfluss.

Die Geradenmethode ist akzeptabel, falls der Basisabfluss we-niger als 10% des maximalen Abflusses beträgt. Die halb-logarithmische Darstellung ist nötig, um die charakteristischen Punkte wie Anfangs- und Endpunkt des Oberflächenabflusses zu detektieren. Haben wir diese Punkte identifiziert, erfolgt die weitere Verarbeitung in der metrischen Skala, insbesondere die Berechnung des Oberflächenabflusses. Oberflächenabfluss-menge ist gleich der Fläche zwischen Gerade und Abflussganglinie.


3. Die Abflusskonzentration im Einzugsgebiet: Übertragungsfunktion und Einheitsganglinie ►Vom Nettoniederschlag zum Direktabfluss: Die Abfluss-konzentration: Die Transformation vom Nettoniederschlag zum Direktabfluss heisst Abflusskonzentration. Das Ziel einer ereignisbasierten Niederschlag-Abfluss-Modellierung ist aus dieser Nettoniederschlags- eine Direktabflussganglinie zu erzeugen. Gesucht ist die Übertragungsfunktion. Sie beinhaltet den oberflächlichen Abfluss sowie den Transport des Wassers bis zum Gebietsauslass. Es handelt sich um eine Retention und eine Translation der Nettoniederschlagsganglinie. Retention: Speicherung, wodurch Verformung der Eingabe-funktion auftritt, mit Verzögerung. Translation: reine zeitliche Verschiebung Je grösser das Einzugsgebiet ist, desto stärker ist die Ab-flachung und die zeitliche Verzögerung zwischen Nieder-schlagsinput und Abflussoutput. Gebietscharakteristika spielen eine grosse Rolle. lineare Modelle (Einheitsganglinie): relativ einfach zu bes-chreiben sind. Voraussetzung ist ein lineares Verhalten des Systems. Linearität beinhaltet sowohl die Proportionalität als auch die Superposition. Die Einheitsganglinie ist ausserdem zeitinvariant. Im Wesentlichen unterscheidet man zwischen zwei linearen Modellkonzepten, die auf den beiden Vorstellun-gen der Retention und Translation beruhen. Der Einzellinears-peicher und die lineare Speicherkaskade sind Vertreter des An-satzes der Retention. Reine Translationsvorgänge, welche sich nicht gegenseitig beeinflussen, werden mit dem linearen Trans-lationsglied (englisch: linear channel) beschrieben. Bei der Isochronenmethode wird dieses Konzept dazu verwendet, um daraus eine Einheitsganglinie zu erstellen. Abflusskonzentration: beschreibt die Transformation des Netto-, bzw. Effektiv-Niederschlags zum Abfluss am Auslass eines EZG (Abflusspegel). Hierbei bilden die verschiedenen Fliess-wege des Wassers unterschiedliche Prozesse ab. ►Einzellinearspeicher: Ausfluss ist direkt proportional zur Füllungshöhe:

q t( )=1

k⋅ S t( )

q(t): zeitabhängiger Ausfluss [L3T-1] S(t): zeitabhängiger Speicherinhalt [L3T-1]

k: Speicherkonstante (Verzögerungszeit) [T] mittlere Verweilzeit des Wassers im Speicher

Kontinuitätsgleichung gilt:

p t( )− q t( )=dS t( )

dt

p(t): zeitabhängiger Zufluss [L3T-1] q(t): zeitabhängiger Ausfluss [L3T-1]

S(t): zeitabhängiger Speicherinhalt [L3T-1] k: peicherkonstante

Für Einzellinearspeicher ergibt sich DGL:

p = q + k ⋅dq

dt

allgemeine Lösung:

q t( )= q t0( )⋅ e− t− t0( ) k + p τ( )t0

t

∫1

ke− t−τ( ) k( )dτ

1. Summand:Leerlaufterm, 2. Faltungsintegral. Ausfluss q(t) (nach t0 kein Zufluss mehr):

q t( )= q t0( )⋅ e− t− t0( ) k

Wenn man den Speicher den leeren Speicher zur Zeit t = t0 mit einem Momentaneinheitsimpuls füllt, dann gilt: S(t0) = 1. Daraus folgt q(t0) = 1/k. Leerlaufterm liefert Impulsantwort-funktion für Einzellinearspeicher:

h t( )=1

k⋅ e− t− t0( ) k

Nullpunkt so dass t0 = 0 ist:

h t( )=1

k⋅ e− t k

Impulsantwortfunktion beschreibt Leerlaufen des Speichers

diskretisierter Form:

h i ⋅ ∆t( )=1

k⋅ e− i−0.5( )∆t k mit i =1,2,3,...

►Lineare Speicherkaskade: Anfangs alle Speicher leer, in Speicher 1 einen Momentaneinheitsimpuls eingeben, Ausfluss-funktion aus Speicher n ist die Impulsantwortfunktion der Spei-cherkaskade. Die Form wird flacher, je grösser die Anzahl der Speicher ist. Alle n Speicher haben dieselbe Zeitkonstante k=k1=k2=…=kn. Mittlere Verweilzeit (auch Schwerpunktslauf-zeit tL):

tL = n·k n und k sind die einzigen Parameter. Eingabe des Einheitsimpulses in Speicher 1 zur Zeit t = 0, ist Impulsantwortfunktion:

hn t( )=1

k n −1( )!⋅

t

k

n−1

⋅ e− t k

Für den allgemeinen Fall der Einheitsganglinie:

hn t( )=1

k ⋅ Γ n( )⋅

t

k

n−1

⋅ e− t k

In diskretisierter Form:

h j =j − 0.5( )⋅ ∆t[ ]n−1

k n ⋅ Γ n( )⋅ e− j−0.5( )⋅∆t k

j·∆t bedeuten die einzelnen Zeitintervalle Kenngrössen der linearen Speicherkaskade:

Scheitelzeit tS: Zeit vom Nullpunkt bis Erreichen des Scheitels

tS = k·(n−1) Schwerpunktszeit, Laufzeit, Lag-Time tL: Abstand Schwerpunkt S0 vom Nullpunkt, ist das erste Moment M1 und mittlere Verweildauer:

tL = k·n = M1 Zentrales 2. Moment M2: Mass für Streuung der Impulsant-wortfunktion um S0

M2 = k2·n Form der Einheitsganglinie:


Schätzung der Parameter n und k: Grundlage zur Berechnung

Mhm

Mh0

=MQm

MQ0

−MI m

MIO

M: Moment h: Antwortfunktion Q: Direktabfluss I: Nettoniederschlag

0,m: Ordnung des Momentes

1max

0

max

0

max

0

1

'

5.0''

1

==== ∑∑∑===

j

jjh

j

jjI

j

jjQ hMIMQM

Parameter j (Zeitschritt): Abfluss zur Zeit j Parameter j’ mit Nettoniederschlag

Niederschlag & Abfluss um halbes ∆t verschoben Mh1 = k ⋅ n = TL

Mh 2 = k 2 ⋅ n = k ⋅ TL

Mh1: Ursprungsmoment 1. Ordnung Mh2: zentrales Moment 2. Ordnung (Streuung oder Varianz

der Impulsantwort)

k = Mh 2 Mh1 = Mh 2 TL

n = Mh12 Mh 2 = TL

2 Mh 2

0

2

0

2

0

1

0

1

21

I

I

Q

Qh

I

I

Q

Qh

M

M

M

MM

M

M

M

MM −=−=

Für m = 1:

MQ1= Q j

j=1

jmax

∑ ⋅ j ⋅ ∆t = jSQ ⋅ ∆t ⋅ MQ0

MI1= I j '

j '= 0.5

j ' max

∑ ⋅ j'⋅∆t = j 'SI ⋅∆t ⋅ M I 0

Mh1= h j

j=1

jmax

∑ ⋅ j ⋅ ∆t = jSh ⋅ ∆t ⋅ Mh0

jSQ: Σ j*Qj dividiert durch Σ Qj jSI: Σ j*Ij dividiert durch Σ Ij

jSh : Σ j*hj dividiert durch Σ hj

Für m ≠ 1:

MQm= Q j

j=1

jmax

∑ ⋅ j − jSQ( )m

⋅ ∆tm

M I m= I j '

j '= 0.5

j 'max

∑ ⋅ j'− j'SI( )m⋅ ∆tm

Mhm= h j

j=1

jmax

∑ ⋅ j − jSh( )m⋅ ∆t m

Empfehlenswert: Zeitintervall ∆t eins setzen. Abfluss:

h t( )=t n−1( )

k n ⋅ n −1( )!⋅ e

−t

k

Vereinfachung:

h j = h0 ⋅ ( j − 0.5)n−1 ⋅ e− j−0.5( ) k

h0: Normierungsparameter ►Lineares Translationsglied: Eingabe wird ohne Verfor-mung, aber mit konstanten zeitlichen Versatz in Ausgabe überführt. Die Translationszeit T (Laufzeit) ist die Zeit, die zum Durchlaufen des Translationsgliedes benötigt wird. Die Ausflussfunktion:

q(T) = p·(t − T) p(t): Zufluss

T: Systemparameter eines reinen Translationssystems ►Einheitsganglinie: Funktionsweise und Anwendung: Eigen-schaften eines Einzugsgebiets spiegeln sich in der Form der Einheitsganglinie wider. Sie beschreibt wie ein „momentaner Input“ in einen Output überführt wird. Ermittlung der Gang-linie des Direktabflusses bei bekannter Einheitsganglinie und gegebenem Verlauf des Nettoniederschlags: Form (Funktion) der Einheitsganglinie ist gegeben: 1. kontinuierliche Ganglinie mit Treppenfunktion mit konstantem Zeitschritt (z.B 1 Stunde) annähern, 2. Niederschlag in der Blockmitte der Treppenfunk-tion vereinigen → Momentanimpulse. Einheitsganglinie h(t) entspricht der Ganglinie des Direktabfluss bei einem Momentaneinheitsimpuls z.B. drei Momentanimpulse p1, p2 und p3, die nicht gleich gross sind. Für jeden Impuls wird die Direktabflussganglinie separat berechnet, dabei gilt qi = pi·h(t). Werte von qi so auf der Zeitachse platzieren, dass der Anfang der Einheitsganglinie gleich dem des Nettoniederschlags-impuls. Der totale Direktabfluss qD,ges ergibt sich mit der zeit-lichen Aufsummierung der einzelnen qi:

qD,ges t( )= qi t( )i=1

n

∑

Die zeitliche Länge der Direktabflussganglinie ist m·∆t, wenn m die Anzahl Zeitschritte bezeichnet, für die qD ≠ 0. Wenn k die Anzahl der Nettoniederschlagsimpulse bezeichnet, ist

m = k + l – 1. unterschiedliche Einheiten: Werte des Nettoniederschlags mit ∆t und EZG-Fläche multiplizieren. Einheitsganglinie liefert nur den schnell reagierenden Direktabfluss. Grenzen der Anwend-barkeit: Annahmen der linearen Zeitinvarianz, wo unveränder-liche Gebietseigenschaften die Abflusskonzentrationen steu-ern, versagt bei Extremereignissen ►Verfahren zur Erstellung Einheitsganglinie: Allgemeine Vorbemerkungen: mind. 4 - 5 Hochwasserganglinien benötigt um die Impulsantworten zu ermitteln; Erstellung einer Einheitsganglinie: setzt Messung des Niederschlags und des Abflusses mehrerer repräsentativer Ereignisse voraus. Nach


Bestimmung des abflusswirksamen Niederschlags und des Direktabflusses, nun eine Transferfunktion (Einheitsganglinie) gefunden werden. 1. Vorgabe eines mathematischen Funktions-typ, 2. Parameterschätzung (Methode der kleinsten Quadrate, die Momentenmethode oder die Maximum-Likelihood-Metho-de) lineare Speicherkaskade / Nash-Modell: EZG durch mehrere, hintereinander geschaltete Speicher beschrieben. Anwendung führt zu Verflachung und zeitlicher Verzögerung der Eingabefunktion. Der Nettoniederschlag ist der Input in Speicher 1, dessen Abfluss (linear abhängig vom Füllungsgrad) ist der Input in Speicher 2. EZG durch n Speichern modelliert. Isochronenmethode: Baut auf Prinzip des linearen Translations-gliedes. Reihe linearer Translationsglieder wird kombiniert. Anwendung & Herleitung Isochronenmethode: Auch Zeit-Flächen-Verfahren genannt und eignet sich für EZG, mi sehr geringen Speichereffekten. Jedem Punkt wird Laufzeit zugeordnet, Verbinden aller Punkte mit gleicher Laufzeit → Isochronen. (Zeitpunkt 3∆t: Q3∆t = i3∆t · A1+ i2∆t · A2+ i∆t · A3). Abflussmenge je Zeiteinheit:

qi = ie ⋅dAi

dt

i(t): Intensität des Momentanregens AE: Fläche des Einzugsgebiets ie(t): Effektivniederschlagshöhe

ie(t)·dAi: Gesamtabfluss Darstellung der qi(t) über der Laufzeit heisst Zeit-Flächen-Histogramm, mit Ausflussganglinie des EZG identisch, die aus Impulsregen mit Abfluss ie(t) resultiert. Darstellung der

beitragenden Fläche A(t) über Laufzeit heisst Zeit-Flächen-Diagramm. Für nur aus Translationsgleider bestehendes EZG:

h t( )=qi

ie t( )⋅ AE

=1

AE

dA t( )dt

Einheitsimpuls = Momentanregen der Höhe 1/AE Ausflussfunktion von Momentanregen der Höhe ie:

►Abfluss aus Schneeschmelze: Für viele wasserwirtschaft-liche Fragen ist die Erfassung des Abflusses aus einer schmel-zenden Schneedecke bedeutsam. Die Schneedecke ist nämlich ein saisonaler Wasserspeicher, in voralpinen und alpinen Ein-zugsgebieten spielt sie eine erhebliche Rolle für den Wasserhaushalt. Der als Schnee gefallene Niederschlag gelangt erst nach dem Schmelzen, also Wochen oder Monate später zum Abfluss. Die alpine Schneedecke bestimmt deshalb mass-geblich das sommerliche Abflussregime in der Schweiz. Die Summe aus Regen und Schneeschmelze wird Wasserdargebot genannt, beide Grössen sind abflusswirksam. Modell: Abflusses aus Schneeschmelze: Temperatur-Index-, Grad-Tag-Verfahren: potentiellen Schmelzrate Md:

Md = ad·(TL−Tb) Md: Schmelzrate [mm/d]

ad: Grad-Tag-Faktor (Schmelz-) [mm/(°C·d)] Tb: Basistemperatur (in der Regel 0°C)

TL: Lufttemperatur [°C] d.h. Mittel der Lufttemperatur über die Tagesabschnitte, die positive Temperaturen aufweisen.

potentielle tägliche Abflusshöhe aus der Schneedecke Md:

Md = ad·TL ad: Grad-Tag-Faktor (Schmelz-) [mm/(°C·d)]

TL: Tagesmittel der positiven Werte der Lufttemperatur [°C]

VII Modellierung von Extremereignissen

1. Starkniederschläge ►Definition von Starkniederschlägen: NS mit hoher Intensi-tät (im Verhältnis zur Dauer) und daher selten auftritt, Unter-scheidung nach Höhe, Dauer (Dauerstufen von Minuten – Tagen), Intensitätsverlauf und Wahrscheinlichkeit. Gemessene NS-Daten dienen der Kulturtechnik und Wasserbau zur Vorher-sage & Nachberechnung von Starkniederschlägen Dimensionierung: Wahrscheinlichkeit sehr wichtig Niederschlagsregime der Schweiz: ist geprägt durch die Alpen (Nord/inneralpin/Süd, wenig bedeutend: West/Mitte/Ost).

►Punkt- und Gebietsniederschlag Die Generalisierung der Abnahme des Niederschlages vom Zentrum mit zunehmender Fläche (die sogenannten Flächenreduktionsfaktoren) ►Messnetz CH: (von SMA und Privaten) Tages-NS-Mess-netz: flächendeckend, standardisiert (Pluviometer). ANETZ-Sta-tionen: 10min-Intervalle (Pluviographen) Das Wetterradar-netz in der Schweiz besteht aus drei Wetterradarstationen, somit sind kurzfristige Vorhersagen möglich (1-2 Stunden).

2. Das Datenmaterial ►Wiederkehrperiode (Jährlichkeit R): gibt an, in wie vie-len Jahren im Durchschnitt eine bestimmte Regenhöhe erreicht oder überschritten wird ►Risikoniveau: Die mittlere Anzahl Werte, die gemessen werden müssen, bevor ein Wert w überschritten wird, nennt man Wiederkehrperiode R(w). (F = Unterschreitungswahr-scheinlichkeit )

)(1

1)(

wFwR

−= →

R

RF

1−=

►Daten: Auswahl der Datenserien: zeitbezogen: nur Maxi-malwert pro Dauerstufe (z.B. Jahreshöchstwerte) Vorzüge: praktische und Unabhängigkeit der Ereignisse (bei langen Messreihen [R > 1Jahr] gleichwertig)

mengenbezogen: nur Werte oberhalb Schwellenwert (partielle Serien: Daten geordnet) (bei langen Messreihen [R > 1Jahr] gleichwertig) Als Verteilungsfunktion wird die Exponentialverteilung oder die Paretoverteilung verwendet Die Starkregencharakteristiken, die am meisten interessieren, sind die Höhe, Dauer, Intensität sowie die Wahrscheinlichkeit der Niederschläge ►IDF (Intensity-Duration-Frequency-Curve): Regen-In-tensitäts-Diagramm → je länger Ereignis, desto weniger häu-figer sind hohe Intensitäten


►DDF (Depth-Duration-Frequency-Curve): Regenhöhe-Dauer-Häufigkeits-Kurve → je länger NS desto wahrschein-licher sind grosse (kumulierte) Regenhöhen

DDF für eine bestimmte Wiederkehrperiode

►Methoden, um eine DDF zu erstellen: Quantile Regres-sion Methode: relativ einfach zu verstehen und schnell, auf be-liebige Verteilungsfunktion anwendbar (d.h. theoretisch im-mer anwendbar!), Methode muss allerdings für jede Zeitdauer T neu angewendet werden, ausserdem sind viele Parameter zu schätzen; Simple und Multi-scaling: werden im allgemeinen alternativ angewendet, weniger Parameter zum schätzen, DDF als direkte Funktion für jede Zeitdauer T, grosser Rechenauf-wand, schwierig, auf bestimmte Verteilungen beschränkt; In-terpolationsmethode mit hydrologischem Atlas der Schweiz

►Definitionen:

∫+

−

=2/

2/

)()(Tt

Tt

T dXtZ ξξ

tttZMaxH TT ∆<<= 0)],([

X(t): Zufallsvariable für das Regenereignis (Regenintensität)

[ ] [ ] [ ] 1−⋅≡ TLS , z.B. [mm/h]

t: die Zeit (üblicherweise 1 Jahr) Z(t): Wert des Integrals (Regenhöhe)

T: Regendauer

TH : maximale Regenmenge von Z(t)

Die Wahrscheinlichkeit, dass Z(t) eine vorbestimmte Regen-höhe h in einer Zeitperiode ∆T nicht überschreitet, ist:

]0,)([)( tthtZMaxPhF T ∆≤<≤=

Das ist die sogenannte Vertrauensfunktion, die eine Beziehung zwischen Niederschlagshöhe h, Dauer T und Unterschrei-tungswahrscheinlichkeitswert F (oder Wiederkehrperiode R festlegt → DDF) Quantil: bezeichnet den Wert (z.B. die Regenhöhe h), welchen wir mir der Vertrauensfunktion für eine bestimmte Wieder-kehrperiode und Regendauer bestimmen ►Voraussetzung für die statistische Analyse: Statistiken müssen aus einer Stichprobe ermittelt werden, welche re-präsentativ ist: 1. Zeitliche Repräsentanz, 2. Räumliche Reprä-sentanz (Übertragbarkeit der statistischen Punktergebnisse auf die Fläche), 3. Ausreisserprobleme und richtige Zuordnung der Häufigkeit der gemessenen Ereignisse: Analyse der Gültigkeit der angewendeten Auswerteverfahren, Ermittlung von Toleranzbereichen. ►Messfehler und -korrektur bei Starkniederschlägen: Niederschlag unterschätzt bei Starkregen; fast nur Wind (< 10%).

3. Quantil Regression Methode ►Frequenzanalyse: Alle Methoden, mit denen eine statis-tische Bearbeitung der Starkniederschlagsdaten durchgeführt wird. Ziel davon ist die Bestimmung eines eindeutigen Zusam-menhangs zwischen einer (gemessenen oder vorgegebenen) Niederschlagsmenge (Dauer und Höhe), der Wiederkehrpe-riode und der entsprechenden Überschreitungswahrschein-lichkeit. Die Quantil Regression Methode wird weltweit häufig zur Erstellung einer DDF-Kurve angewendet. Annahme: Messdaten verschiedener Dauerstufen werden statistisch unabhängig betrachtet ►Datenverarbeitung: Zur Erarbeitung müssen die Daten kontinuierlicher, bzw. quasi kont. Aufzeichnung entstammen. Für jedes Jahr und für verschiedene Regendauern werden die Maximalwerte der Regenhöhe h bestimmt und der Grösse nach geordnet; so erhält man für jede Regendauer eine Anzahl N geordneter Werte. → DDF

Niederschlagsdatenverarbeitung (schwarze Punkte: grösste Regenhöhen in einer Messreihe für verschiedene

Regendauern, weisse Punkte: zweitgrösste Regenhöhen in einer Messreihe)

Einpassung in Potenzgesetz: naTh = (a und n müssen für

jede Kurve geschätzt werden) ►Verteilungsfunktion: Bestmögliche Anpassung; Häufig verwendete Verteilungsfunktionen: EV1, EV2, Pearson-III-Verteilung. EV = Extrem Value [Type] Beispiel: Verteilungsfunktion EV1 (Gumbel):

∞≤≤∞−

−−−= x

uxxFx α

expexp)(

)(xFx : Verteilungsfunktion

u, α: Parameter der Verteilung mit Momentenmethode geschätzt

Gleichung der Frequenzgeraden:

yux α+= und ))ln(ln( Fy −−=

y: standardisierte Variable der 1. Extremalverteilung

[ ])exp(exp)( yyF −−= und α

uxy

−=

Zusammenhang zwischen Verteilungsfunktion und Jährlich-keit:

)(

11)(

xRxF −=


►Verteilungstest: Kolmogorov-Test: richtet sich nach der maximalen Abweichung der theoretischen von der empi-rischen Verteilungsfunktion:

[ ])()(max 01

max ipi

n

ixFxF −=

=ε , αε ≤∆> )( maxP

Geg: Signifikanzniveau α, Ges: ∆ aus Tabelle nω2-Kriterium: zeigt sich besonders geeignet für Phänomene wie den Niederschlag, der Test ist klassenfrei und eignet sich deshalb vor allem bei kleinen Stichprobeumfängen. Von-Montfort-Verfahren: bildet einen Entscheidungstest zwi-schen den verschiedenen Extremalverteilungen. Wenn die Stichprobenwerte im Gumbel-Wahrscheinlichkeitspapier stark von einer Gerade abweichen, ist zu vermuten, dass die Stich-probe besser mit einer anderen Verteilungsfunktion beschrie-ben werden kann ►Annahme: Für jede Regendauer dasselbe Wahrscheinlich-keitsmodel, aber unterschiedliche Parameter

Gleichung: DDF:)()()( Rn

R TRaTh ⋅=

IDF: 1)()()( −⋅= Rn

R TRaTi

Vorgehen an einem Beispiel: Für das Beispiel wurde die 1. Extremalverteilung (Gumbelverteilung) gewählt. Zur Berech-nung der DDF werden folgende Schritte ausgeführt: a. Niederschlagsdaten sortieren: Maximale Jahreswerte für verschiedene Regendauern T:

[ ]

↓

→

→

=

.........

......

...

...

......

...

...

21

12212

11211

Jahr

Dauer

hhh

hhh

hhh

h

NMNN

M

M

ij

b. Verteilung EV1-Gumbel:

∞≤≤∞−

−−−= x

uxxFx α

expexp)(

Für jede Dauer T:

Mittelwert: ∑=

=N

iiTT h

Nm

1,

1

Standardabweichung: 2

1

1

2, )(

1

1

−

−= ∑

=

N

iTiTT mh

Ns

TT sπ

α6

= und TTT mu α⋅−= 5772.0

Für verschiedene Wiederkehrperioden R berechnet man die Regenhöhen mit den entsprechenden theoretischen Vertei-lungen für die unterschiedlichen Regendauern T:

−⋅−=

1lnln)(

R

RuTh TTR α mit

R

RF

1−=

c. Schätzung der Parameter a(R), n(R) für die DDF Kurve:

Graphisches Verfahren zur Schätzung der Parameter a und n einer DDF-Kurve beliebiger Wiederkehrperiode

)()()( RnR TRaTh ⋅=

Durch logarithmieren:

TRnRaThR log)()(log)(log ⋅+=

Quantil (Unterschreitungswahrscheinlichkeit) berechnen:

12.0

44.0

+

−=

N

iF (Gringorten),

)1(1 += NF (Weibull)

Die Regenhöhe Th einer Wiederkehrperiode R können in Ab-

hängigkeit die Regendauer T doppellogarithmisch dargestellt und die gesuchten Parameter bestimmt werden Probleme: Viele Parameter (siehe unten) und Extrapolation von kurzen Intervallen, v.a. auf Alpensüdseite gekrümmt

Gesamtzahl der geschätzten Parameter für 5 verschiedene

Regendauern und 3 verschiedene Wiederkehrperioden ►Genauigkeit des Niederschlags-Intensitäts-Diagramms

Fehlerquelle Fehlerart

grob syste-

matisch zufäl-

lig Betrag

Messstandort * * (*) Messgerät * *

- 5%

Beobachter * (*) * Übertragung auf Datenträger

*

Ermittlung der Extremwerte

*

Erfassung auf Datenträger

*

Wahl der Vertei-lungsfunktion

* ± 30%

Parameterschätz-verfahren

* ± 10%

Parameterschät-zung (zufällige F.)

* + 10%

Klimaschwan-kung

* ± 10%

Beobachtungs-dauer

* ± 10%

Übersicht über die wichtigsten bei der Frequenzanalyse auftretenden Fehlerquellen.

Bei der Konstruktion des Niederschlags-Intensitäts-Dia-gramms kommen zusätzliche Fehler hinzu: die verschiedenen Korrekturfaktoren, die die Umrechnung von kalendarischen Daten erlauben, oder die Kombination von Daten ver-schiedener Geräte, Standorte und Beobachtungsdauer.


4. Dimensionierungsniederschlag ►Dimensionierungsereignis (=Bemessungs-NS): bezeich-net das Regenereignis, welches zum Dimensionierungsabfluss führt. Ein Dimensionierungshochwasserabfluss ist das Hoch-wasser, welches ein Bauwerk noch ohne Schaden ertragen kann. Bemessungswert in Siedlungsgebiet ist HQ 100 und Hochwasserentlastungsanlagen HQ > 1000 → Grundlage: DDF / IDF ►Zeitliche Verteilung des Punktniederschlags: Der zeit-liche Verlauf eines Regenereignisses kann einen wesentlichen Einfluss auf das Abflussverhalten haben (z.B. Vorregen füllt Retentionsspeicher auf und sättigt Boden, sodass Abfluss-spitze grösser bei Starkregen/ Hauptregen). Ein Regen kon-stanter Intensität nennt man Blockregen. Diese Intensität kann mit der Regenintensitäts-Dauer-Kurve für eine bestimmte Jährlichkeit und Regendauer bestimmt werden.

Bestimmung eines Blockregens für die Regendauer t1 und

Wiederkehrintervall 10 Jahre SCS-Methode: Synthetischen Regenganglinie für Regen-dauern von 6 und 24 Stunden werden vier Typen unterschie-den. Methode von Huff: Huff dividiert die Regenereignisse in Viertel und unterscheidet vier Typen, je nachdem, welcher Viertel der gesamten Regendauer die höchste Intensität auf-weist. Die heftigsten Regen weisen im ersten Zeitviertel der gesamten Regenintensität auf. Das 90-Prozent Histogramm kann als kumulative Regenverteilung interpretiert werden, welche nur in 10 Prozent der Fälle übertroffen wird. Dreiecksmethode: Die einfachste Methode stellt der Dreiecks-regen dar. Die Fläche des Dreiecks mit der Regendauer T ist gleich gross wie der entsprechende Blockregen mit gleicher Regendauer und Wiederkehrperiode.

Die Lage der Intensitätsspitze Ts/T bewegt sich vorwiegend im Bereich 0.3 bis 0.48. Dieses Verhältnis r = Ts/T nennt man

„Storm Advancement Coefficient“. bt = Rezessionszeit

Chicago (Instantaneous Intensity) Methode: → speziell für Entwässerungssystem von Chicago entwickelt. Regenintensi-tätsverlauf durch 2 Kurven dargestellt, Voraussetzung: IDF, herauslesen:

dTiP ⋅=

Falls Regen eingipflig, 2 Zeitspannen:

bad ttT += z.B. mit da Tt 83=

Annahme, dass )()( ab tftf = ist, erhält man:

11 )1()()( −⋅+⋅=== n

Rba TVkmntftfdt

dP

Für die Berechnung der Kurven wird angenommen, dass die Regenintensitätsspitze im Nullpunkt liegt. Alternierende-Block-Methode: Die Dauer T eines Regenereig-nisses wird in Zeitabschnitte ∆t unterteilt. Für die Regen-intensität i für best. R aus IDF gelesen:

)(;; 213331222111 PPTiPPTiPTiP +−⋅=−⋅=⋅=

∑−

=

−⋅=1

1

n

iinnn PTiP

Einzelblöcke alternierend um grösste Regenhöhe (im Mittel) angeordnet. Regenhöhe des gesamten Ereignisses mit Regen-

dauer dT ist dann gleich der Regenhöhe eines Blockregens

mit derselben Regendauer dT .

5. Methoden zur Hochwasserabschätzung ►Allgemeines: Bei der Planung und dem Entwurf einer wasserwirtschaftlichen Anlage ist ein Hochwasser festzulegen, das die Anlage schadlos abführen soll: es wird als Bemes-sungs- oder Dimensionierungshochwasser bezeichnet. Dabei soll der Bemessungswert ökonomisch und ökologisch vertret-bar sein (z.B. Siedlung R = 100 a, Talsperre R = 10'000 a).

3 Gruppen von Methoden (Entscheidung über Wahl der Mo-dellstruktur: Grösse + Eigenschaften des EZG, gewünschte Jährlichkeit, vorhandene Daten): a) empirische Formeln: einfache Abschätzung von Abfluss mit EZG-Parametern. Keine Info über Häufigkeit. → deter-ministisch (best. Wert) basiert auf max. gemessenen Wert


dxx

xqF

u

q

HQ

−−= ∫

2

ln

ln

02ln

ln

2

1exp

2

1)(

48476

σµ

πσ

u

b) Frequenzanalyse: Abflüsse ab best. Schwellenwert wird Verteilung zugeordnet → Parameterschätzung. Übertragung auf andere Gebiete: Regionalisierung. Eine Alternative zur Regionalisierung für die Hochwasserabschätzung ist der sogenannte „derived distribution approach“ c) Niederschlags-Abfluss-Modelle: Abfluss wird aufgrund ein-zelner NS-Ereignisse modelliert. → evt. nur Parameter der Verteilungsfunktion interessant. Zwei Untergruppen: mit definierten Eingangsgrössen: liefert schon definiertes Resultat

/ also NS-Daten schon vorliegend (nicht für kleine EZG) → zusätzlicher Grössen wie Dauer und Volumen eines Hoch-wassers möglich, was mit den anderen Methoden nicht mög-lich ist; mit probabilistischen Eingangsgrössen (Niederschlag oder Einzugsgebietsgrössen); so dass die Abflüsse ebenfalls probabilistischer Natur sind Je grösser das Einzugsgebiet ist, desto komplexer ist normalerweise das Modell.

6. Deterministische und von der Frequenzanalyse unabhängige Methoden ►Empirische Formeln: Historisch gesehen sind empirische Formeln die ältesten Methoden und basieren auf Beobach-tungen Formeln mit Einbezug der Einzugsfläche als einzigem Ge-bietsparameter: Einzugsgebietsfläche A als einzige veränder-liche Eingangsgrösse hat. Mögliche Funktionsformen sind:

[ ])( 23 kmsmdbA

cHq ⋅+

+= oder

bAaHq ⋅=

Wobei a, b, c und d empirische Parameter sind. Formeln mit weiteren Gebietsparameter mit Ausnahme des Regens

Formeln mit Einbezug des Regens Formeln mit Einbezug der Fläche und weiteren, rein empi-rischen Parametern ►Vermutlich maximales Hochwasser (vmHW): Die vmHW-Methoden bestimmen einen einzigen Hochwasser-abflusswert, welcher als maximaler wahrscheinlicher Wert definiert wird. Methode der Umhüllenden: Umhüllende von max. Abflüssen in homogener Gegend (nur für grosse Flächen):

[ ]23 /ˆ kmsmAbqq v ⋅⋅+= −

7. Frequenzanalyse

►Frequenzanalyse: wichtigste Methode zur Abschätzung von Hochwässern. Aus Daten bestimmen: Dichtefunktion

(PDF) )( js xf und die Verteilungsfunktion )( js xF .

Unterschreitungswahrscheinlichkeit:

∫ ∞−=⋅=≤

w

wFdxxfwXP )()()( [d/a]

Überschreitungswahrscheinlichkeit:

∫∞

−==≥w

wFdxxfwXP )(1)()( [d/a]

Beträgt die Überschreitungswahrscheinlichkeit z.B. 10%, wird der Wert IM DURCHSCHNITT von jedem 10-ten X überschritten. Wiederkehrperiode R(w): → Hochwasserrisiko wird so abge-schätzt

)(1

1)(

wFwR

−=

HQ: Hochwasserspitzenabfluss (Jahresmax.) → hydrol. Va-riable ►Abflüsse über einem Schwellenwert: Poisson-Prozess:

Wahrscheinlichkeit, genau n Überschreitungen der Grenze 0q

im Zeitintervall [0,t):

[ )[ ] !/,0 ntnetntNP λλ −==

mit λt: mittlere Überschreitungszahl im Intervall

atλ=Λ : Jahresintervall

Wahrscheinlichkeitsverteilung:

0)](1[][)( qxfürexXPxF xF

XZ ≥=≤= −Λ−

Wobei (.)ZF die Verteilungsfunktion der Verteilung

{ }),0[1,max1

tNiZXHQ t ≤≤==

►Jährliche Maximalabflüsse: Analyse der jährlichen Maxi-ma: → kontinuierlichen Parameter Q(t):

{ }iTtTitQX i <<−= )1(),(max

Intervall T >> Dauer des Ereignisses → Unabhängigkeit der Ereignisse! → math. Verteilungsfunktion (z.B. Lognormal, Gumbel) ►Direkte statistische Bearbeitung: (Aussage über den Ab-fluss an der Messstelle selbst)

[ ]qHQPFHQ ≤=

Zusammenhang zwischen Scheitelabfluss HQ und seiner Wie-derkehrperiode

( ) ]1[ 1−−= HQFR RRFHQ )1( −=

Vorgehen: - aus jedem Jahr max. Abflüsse nehmen - sortieren

- Häufigkeiten zuordnen ( )1( += niFemp ,

Weibull) - Vert.fkt. zuordnen & Parameter schätzen Gumbel:

−⋅−=

1lnln)(

R

RuRHQ α

α5772.0−= mu ; s779.0=α s: Standardabweichung m: Mittelwert

Lognormal:

( )2ln 1ln HQV+=σ

2lnln 5.0ln σµ −= m

wobei der Variationskoeffizient msVHQ =

( )lnlnexp)( µσ +⋅= uRHQ

Wobei HQu FuP =)( und u aus Tabelle


►Hochwasserrisiko: Diskrete Verteilung (z.B. Binominal), da R nur Durchschnittswert. Risiko r, dass R-jährliches Ereignis in L Jahren (Lebensdauer des Bauwerks) auftritt:

qHQPr >= [ mindestens einmal in L Jahren] L

HQL qFRr )]([1]/11[1 −=−−=

►Regionalisierungstechniken: Kombination von Abfluss-messungen innerhalb homogener Region (mehr Infos, keine direkte Messung nötig). Schritte der Regionalisierung: 1) Definition der homogenen Region (subjektiv) 2) Die Beschreibung der Homogenität durch geeignete Para-

meter und Variablen 3) Beziehung Hochwasserabfluss-Gebietsfläche: Index-Ab-

fluss E[HQ]: Mittelwert der höchsten jährlichen Abflüsse Ansatz Potenzgesetz:

[ ] 1

1nAcHQE = →

AncHQE loglog])[log( 11 ⋅+=

A: Fläche, Parameter 1c und 1n durch lineare Regression

geschätzt (aus Gerade ablesen) 4) Beziehung Hochwasserabfluss-Frequenz durch dimen-

sionslose regionale Verteilung:

][/* HQEHQHQ =

Schätzung des Indexwertes aus Gebietsparametern

durch Regression

→ alle *HQ zu einer Messreihe zusammennehmen!

5) Parameter der Regionalverteilung schätzen

6)

*HQ für ungemessenes Gebiet berechnen:

[ ] 1

1nAcHQE =

7) Schätzung des Hochwasserscheitelabfluss RHQ mit

Wiederkehrperiode )1/(1 HQFR −= :

**][][ RHQHQEHQE ⋅=

8. Hochwasserabschätzung aus Niederschlagsdaten (Indirekte Methoden) ►Ziel: Aussage über Abfluss-Jährlichkeit ohne Abflussdaten ►Rational Method (Laufzeitverfahren): Diese relativ alte Methode wird vor allem in der Siedlungshydrologie und in kleinen hydrologischen Einzugsgebieten angewendet. Ursprüngliche Form:

iACQ ⋅⋅=

Direkte Proportionalität zu NS-Intensität & Fläche wobei: Q: Abfluss

C: fester Abflusskoeffizient (Infiltration) A: Einzugsgebietsfläche

i: Niederschlagsintensität oder: Jährlichkeit von NS und Abfluss gleich (Realität nicht linear → Vereinfachung) → Grosses Problem: Annahme der Linearität der N-A-Transformation

iACcQ ⋅⋅⋅=

c: Korrekturfaktor (Interzeption, „routing“ des Flusses) → evt. Funktion von i und Bodenfeuchte

Für Extremereignisse:

RR iACHQ ⋅⋅=

ct : Antwortzeit des Gebietes

Ri : Intensität als Fkt. von R und ct

ψφ ⋅⋅= kC

k: Reduktion von Punkt auf Gebiets-NS

φ : Infiltrationsprozess

ψ : Antwortzeit des Flussnetzes (Speicherkonstante,

Linearspeicher)

1) DDF schätzen, 2) ct definieren → Ri , 3) Koeff. k, φ ,

ψ schätzen,

oder:

)( cc

kR tA

thHQ ψφ ⋅⋅⋅= ↓

( )ψφ ⋅⋅⋅= AthHQ

c

kmaxmax mit ktce−−= 1ψ

→ viele versch. Erweiterungen der „rational method“ vorhanden (ereignisbasierte NS-Abfluss-Modelle)

→ ET wird vernachlässigt → Abflussbildung mit Infiltrationsmethoden (CN, Horton) → physikalisch basierte Modelle wären besser, Problem: Zu

viele Parameter für kleine Datenreihen


VIII Schnell- und Hausübungen, alte Prüfungen

1. Übungsbeispiele, zusammengestellt durch Thomas Marty ►Erstellung einer DDF/IDF-Kurve: 1. Mittelwert & Standartabweichung der Messreihe bestimmen 2. α und u der Gumbelverteilung bestimmen 3. Verteilung mit Gumbelwahrscheinlichkeitpapier testen (x-

Achse: –ln(–ln[Femp]), y-Achse: Regenhöhe [mm])

12.0

44.0

+

−=

n

iFemp

4. DDF erstellen für R = 2.53a, 10a, 50a, 100a

Regenhöhe = uyh i +⋅= α

)/1ln(ln( Fyi = ; )/1(1 RF −=

1h 3h 6h 12h 24h a n 2.33a13.9 24.9 34.3 47.0 63.4 14.293 0.477

10a20.8 33.8 43.7 59.3 87.7 20.507 0.443 50a27.7 42.5 53.0 71.5 111.7 26.593 0.424

100a30.7 46.2 56.9 76.6 121.9 29.158 0.418

max. Niederschlagshöhen h Parameter

5. DDF-Kurve nTah ⋅=

►Ganglinienseparation und Infiltration: Prozentwertmethode: 1. Basis- und Direktabfluss trennen 2. Gesamtvolumen berechnen → Nettoniederschlag 3. c berechnen: c = (1 – (NettoNS/GesamtNS))

4. 100/)100( ie PcPi

⋅−= → Diagramm

SCS-CN-Methode: 1. CN-Wert mittels Tabelle und Flächen gewichtet bestimmen

Zeit

[h]

P(t)

[mm]

∑ P(t)

[mm]

Pe(t) ∑ Pe(t) P(t)-Pe(t) =

Infiltration [mm]

1 1.0 1.0 0 0 0 2 1.6 2.6 0 0 0 3 0.9 3.5 0 0 0 4 0.8 4.3 0 0 0 5 1.0 5.3 0 0 0 6 2.6 7.9 0 0 0 7 4.9 12.8 0.21 0.21 4.69 8 4.7 17.5 0.66 0.86 4.04 9 2.6 20.1 0.53 1.39 2.07

10 4.4 24.5 1.14 2.54 3.26 11 1.8 26.3 0.55 3.08 1.25 12 0.2 26.5 0.06 3.15 0.14

SItP

ItPtP

a

ae ˆ)(

))(()(

2

+−

−=∑∑∑

−= 1100ˆ

0CN

SS

%205 −≈c 2540 =S mm

ScIaˆ⋅= ,

ae ItPfürtPe ≤= )(0)(

2. Diagramm: Anfangsverluste spielen grosse Rolle → Vorsicht bei Ia, CN-Schätzung → Fehlerquelle

►Einheitsganglinie (EGL): für Gamma-Funktion Γ(n) Diskrete

Zeit-

schritte

Diskrete

EGL (hj)

Summe Diskrete

Zeit-

schritte

Diskrete

EGL (hj)

Summe

0 0 0 13 0.020 0.914 1 0.11784 0.117 14 0.017 0.931 2 0.128 0.246 15 0.014 0.945 3 0.118 0.365 16 0.012 0.957 4 0.104 0.469 17 0.009 0.966 5 0.090 0.560 18 0.007 0.974 6 0.076 0.636 19 0.006 0.980 7 0.064 0.701 20 0.005 0.985 8 0.053 0.755 21 0.004 0.989 9 0.044 0.800 22 0.003 0.992

10 0.037 0.837 23 0.002 0.995 11 0.030 0.868 24 0.002 0.997 12 0.025 0.893 25 0.001 0.999

)(

])5.0[( 1

nk

tjh

n

n

j Γ⋅

∆⋅−=

−

für n = 1.28, k = 4.57 h

knTL ⋅== h 83.5

Anwendung: ∑=

∆⋅∆⋅=n

iimm thtptq

1

)()(

→ z.B. Summe aus: 13.74·0.11784 + 6.39·0.128 + 7.88·0.118 + 2.9·0.104 NettoNS:

/smin 3

0:25...13

76.0:12

59.6:11

74.13:10

39.6:9

88.7:8

9.2:7

0:6...1

Umrechnung:

]2m[10003600

[mm/h]AiP

⋅⋅

►Hochwasserhäufigkeitsanalyse: Regionalisierung: alle max. Abflussdaten sortieren, von jeder Reihe Mittelwert berechnen:

][/* HQEHQHQ = → eine grosse Reihe (sortiert) →

*][HQE und Standardabweichung von HQ* berechnen →

µln und σln; über nAcHQE ⋅=][ E[HQ] berechnen, c & n

aus anderen Flüssen berechnen

**][][ RHQHQEHQE ⋅= ;

lnln)(exp(* µσ +⋅= RFHQR


►Thiessen-Polygon-Methode:

►Prozentwertmethode: Zeit [h] Niederschlag I Infiltration =

I·(1-c)

1 2 1.2 2 5 3 Direktabfluss = 3 13 7.8 23'000 m3 4 11 6.6 5 14 8.4 EZG: 6 8 4.8 1 km2 7 3 1.8 8 2 1.2

Gebiets-Niederschlag: 326

hmm m 58000m 10h 8 25.7 =⋅⋅=⋅⋅= FtIV

Abflussbeiwert 4.058000/23000 ==c ►Niederschlagabfluss-Transformation:

∆t = 10 min, A1 = 0.5 km2, A2 = 1.2 km2, A3 = 2.0 km2, A4 = 1.3 km2

Direktabflussganlinie zu verschiedenen Zeitpunkten:

78.2: 1 =⋅=∆ ∆∆ AiQt tt

61.13:2 2122 =⋅+⋅=∆ ∆∆∆ AiAiQt ttt

25.31:3 322133 =⋅+⋅+⋅=∆ ∆∆∆∆ AiAiAiQt tttt

33.43:4 432234 =⋅+⋅+⋅=∆ ∆∆∆∆ AiAiAiQt tttt

94.31)(:5 542335 =⋅+⋅+⋅=∆ ∆∆∆∆ AiAiAiQt tttt

2. Beispiele aus Hausübungen ►Regionale statistische Bearbeitung: Gegeben sind die jährlichen Höchstabflusswerte dreier Flüsse in einem Gebiet. Diese HQ-Werte werden dimensionslos (standardisiert), indem man jeden Wert durch den Mittelwert der jeweiligen Serie dividiert; so erhält man die HQ*. Für den Mittelwert des Jahreshochwasser E[HQ] wählt man den Ansatz:

n

ii AcHQE ⋅=][

wobei Ai die Fläche der Einzugsgebiete darstellt. E[HQ]i ist hierbei nichts anderes als die Mittelwerte der vorliegenden Datenreihen! Die Parameter c und n können nun z.B. durch Logarithmieren geschätzt werden. Für einen Fluss mit bekanntem Einzugsgebiet A kann nun der E[HQ]-Wert (Mittelwert des Jahresabflusses) einfach berech-net werden gemäss der Formel:

nAcHQE ⋅=][

Nun erstellt man aus den dimensionslosen HQ*-Werten der anderen drei Flüssen einen einzigen (!) Datensatz und schätzt damit die Parameter für den regionalisierten Datensatz für eine frei gewählte Verteilungsfunktion (z.B. Gumbel- oder Lognor-malverteilung). Hier am Beispiel für die Gumbelverteilung:

−⋅−=

1lnln**)(*

R

RuRHQ α

Für den Fluss mit bekanntem Einzugsgebiet ergibt sich damit einen (nicht mehr dimensionlosen!) Hochwasserabfluss HQ von:

)(*][)( RHQHQERHQ ⋅=

Man hat also den Hochwasserabfluss HQ eines Flusses da-durch berechnet, dass man die Beziehung zwischen Einzugs-gebietfläche und Hochwasserabfluss anderer homogener Flüs-se formuliert hat und damit mit der bekannten Einzugs-gebietfläche des interessierenden Flusses den Hochwasserab-fluss ermitteln konnte.

3. Beispiele aus alten Prüfungen ►Pegelrelation: einfachster Ansatz: Beziehung zwischen Wasserstand W, d.h. Pegelhöhe h und Abfluss Q lautet:

bQaWh ⋅==

Nach Normalgleichungen (d.h. mit der Methode der kleinsten Quadrate) werden die Parameter a und b folgendermassen berechnet:

∑ ∑ =−⋅+⋅ 0)ln()ln(ln ii hbQan

[ ] [ ] 0)ln()ln()ln(ln)ln(2

=⋅−⋅+⋅∑ ∑ iiii hqbQaQ

►Abflusskoeffizient: Abflusskoeffizient c ist definiert als:

cAPQ totaltotaltotal ⋅⋅=

mm 31.51.)( =⋅∑∑= GewPP


►Kleines Glossar: Hydrograph = Abflussganglinie, Hyeto-graph = Niederschlagsganglinie, Isohypsen = Linien gleicher geodätischer Höhe (= Höhenlinien), Isochronen = Linien mit

gleicher Laufzeit zum Gebietsausfluss, Nettoniederschlag = abflusswirksamer Niederschlag oder Effektivniederschlag (be-wirkt in kurzer Zeit Veränderung des Pegelstandes)

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I – III Grundlagen der Hydrologie - n.ethz.chn.ethz.ch/~dehrbar/download/Zusammenfassung Hydrologie I - Daniel... · Hydrologie-Zusammenfassung – Daniel Ehrbar, D-BAUG wasser