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Tutorium: Diskrete Mathematik
Vektoren
Vektoren
Definition I
© 2012 Steven Köhler 3
Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra untereinem Vektor ein Element eines Vektorraums, d.h. ein Objekt, daszu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die Skalare genanntwerden, multipliziert werden kann. (Quelle: Wikipedia)
Vektoren
Definition II
© 2012 Steven Köhler 4
In der analytischen Geometrie kann man einen Vektor als einObjekt au®assen, dass eine Parallelverschiebung in der Ebeneoder im Raum beschreibt.
Ein Vektor kann als Pfeil aufgefasst werden, der einen Ur-bildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet.
Vektoren
Definition III
© 2012 Steven Köhler 5
Jedem Punkt (x; y) 2 R2 bzw. (x; y; z) 2 R3 kann ein Vektorzugeordnet werden.
Analoges gilt auch fÄur alle Punkte (x1; x2; : : : ; xn) 2 Rn.
Vektoren
Schreibweise I
© 2012 Steven Köhler 6
Ein Vektor kann wie folgt dargestellt werden:
v =
0@xyz
1A :
Anstatt die einzelnen EintrÄage mit x, y oder z zu bezeichnen, istauch die folgende Notation sehr gebrÄauchlich:
v =
0@v1
v2
v3
1A :
Vektoren
Schreibweise II
© 2012 Steven Köhler 7
Bisher haben wir Vektoren immer als Spaltenvektoren betrachtet:
v =
0@v1
v2
v3
1A :
Alternativ kann man Vektoren aber auch als Zeilenvektoren be-trachten:
v =¡v1 v2 v3
¢:
Zur besseren ÄUbersicht dÄurfen zwischen den einzelnen EintrÄagenauch Trennzeichen { beispielsweise Kommas oder Semikolons {gesetzt werden:
v =¡v1; v2; v3
¢:
Vektoren
Nullvektor
© 2012 Steven Köhler 8
Als Nullvektor wird der folgende spezielle Vektor bezeichnet,dessen EintrÄage alle Null sind:
v =
1CA :
Oft wird der Nullvektor mit 0 oder o bezeichnet.
Vektoren
Transponieren von Vektoren
© 2012 Steven Köhler 9
Vektoren kÄonnen transponiert werden. Das bedeutet nichtsanderes, als einen Zeilenvektor als einen Spaltenvektoraufzuschreiben { und andersherum:
v =
0@v1
v2
v3
1A wird zu vT = (v1; v2; v3);
u = (u1; u2; u3) wird zu uT =
0@u1
u2
u3
1A :
Vektoren
Länge eines Vektors
© 2012 Steven Köhler 10
Die LÄange eines Vektors lÄasst sich leicht mit Hilfe des Skalarpro-dukts oder geometrisch Äuber den Satz des Pythagoras bestimmen.Es gilt ¯̄
v¯̄=
qv21 + v2
2 + v23:
Allgemein gilt ¯̄v¯̄=
qv21 + : : : + v2
n:
Vektoren
Normieren von Vektoren
© 2012 Steven Köhler 11
Unter einem normierten Vektor v0 zu einem Vektor v versteht maneinen Vektor der LÄange 1, der dieselbe Richtung wie v besitzt.Man erhÄalt den normierten Vektor v0 zu einem beliebigen Vektorv, indem man v mit dem Reziproken seiner LÄange multipliziert.
v0 =1
jvj ¢ v
Vektoren
Addition von Vektoren
© 2012 Steven Köhler 12
Die Addition von Vektoren erfolgt komponentenweise:
a + b =
0@ a1
a2
a3
1A +
0@ b1
b2
b3
1A =
0@ a1 + b1
a2 + b2
a3 + b3
1A :
Gra¯sch kann man die Vektoraddition als HintereinanderhÄangender Vektoren betrachten.
a
ab
b
a+b
Vektoren
Subtraktion von Vektoren
© 2012 Steven Köhler 13
Die Subtraktion von Vektoren erfolgt ebenfalls komponentenweise:
a¡ b =
0@ a1
a2
a3
1A¡
0@ b1
b2
b3
1A =
0@ a1 ¡ b1
a2 ¡ b2
a3 ¡ b3
1A :
Man kann die Subtraktion auch als Addition des Vektors ¡b zumVektor a betrachten. Gra¯sch sieht dies wie folgt aus:
ab
a-b
Vektoren
Skalare Multiplikation
© 2012 Steven Köhler 14
Ein Vektor kann mit einem konstanten Faktor ¸ 2 R multipliziertwerden. Den Wert ¸ nennt man Skalar.
¸a = ¸ ¢
0@ a1
a2
a3
1A =
0@ ¸ ¢ a1
¸ ¢ a2
¸ ¢ a3
1AMan kann die skalare Multiplikation als Strecken oder Stauchendes Vektors interpretieren.
a
2a½ a
-a
Vektoren
Aufgaben
© 2012 Steven Köhler 15
Aufgabe 1
a) Berechne die Summe und die Di®erenzen der beiden Vektorena = (5; 0; 23) und b = (4; 2;¡7).
b) Berechne die Summe und die Di®erenzen der beiden Vektorena = (47;¡8; 0) und b = (3; 42).
Aufgabe 2
Gegeben seien die Vektoren v1 = (1; 2; 3), v2 = (7; 5;¡3) undv3 = (0; 2; 1). Berechne die LÄange des Vektors v = v1 ¡ v2 + 3v3.
Vektoren
Aufgaben
© 2012 Steven Köhler 16
Aufgabe 3
Kannst du entscheiden, ob die Vektoren v1 = (4;¡2; 5) undv2 = (¡2; 4; 0) orthogonal sind?
Vektoren
Skalarprodukt I
© 2012 Steven Köhler 17
Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) isteine weitere Art der Vektormultiplikation. Dabei werden die Vek-toren komponentenweise multipliziert und diese Produkte aufsum-miert:
a ¢ b =
0@ a1
a2
a3
1A ¢
0@ b1b2
b3
1A = a1b1 + a2b2 + a3b3:
Man nennt dies auch die Koordinatenform des Skalarprodukts.
Vektoren
Skalarprodukt II
© 2012 Steven Köhler 18
Anhand des Skalarprodukts zweier Vektoren a und b kann manRÄuckschlÄusse auf den Winkel zwischen diesen beiden Vektorenziehen.
Es gilta ¢ b = 0 () a?b:
In Worten: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann 0,wenn die beiden Vektoren senkrecht zueinander (orthogonal) sind.
Vektoren
Skalarprodukt III
© 2012 Steven Köhler 19
Eine andere Art, das Skalarprodukt zu de¯nieren, ist die folgende:
a ¢ b = jaj ¢ jbj ¢ cos®:
² jaj und jbj sind die LÄangen der Vektoren a und b;
² ® ist der zwischen den beiden Vektoren eingeschlosseneWinkel.
Vektoren
Skalarprodukt IV
© 2012 Steven Köhler 20
Aus der Formela ¢ b = jaj ¢ jbj ¢ cos®
kann man RÄuckschlÄusse auf den Winkel zwischen den beiden Vek-toren a und b ziehen:
cos® =a ¢ bjaj ¢ jbj :
Hieraus folgt
® = arccos
μa ¢ bjaj ¢ jbj
¶:
Vektoren
Skalarprodukt V
© 2012 Steven Köhler 21
Abschlie¼end sehen wir uns an, wie die bereits erwÄahnte Koordi-natenform des Skalarprodukts hergeleitet werden kann.
Gegeben seien die beiden Vektoren u = (u1; u2; u3) undv = (v1; v2; v3). ' sei der zwischen u und v eingeschlosseneWinkel.
Nach dem Kosinussatz gilt
jv ¡ uj2 = jvj2 + juj2 ¡ 2jujjvj cos':
Umformen ergibt
jujjvj cos' =1
2
³jvj2 + juj2 ¡ jv ¡ uj2
´:
Vektoren
Skalarprodukt VI
© 2012 Steven Köhler 22
Einsetzen der De¯nition des Skalarprodukt ergibt
u ¢ v =1
2
³jvj2 + juj2 ¡ jv ¡ uj2
´:
Mit der bekannten Formel fÄur den Betrag eines Vektors erhaltenwir:
u ¢ v =1
2
³u2
1 + u22 + u2
3 + v21 + v2
2 + v23
¡ (v1 ¡ u1)2 ¡ (v2 ¡ u2)
2 ¡ (v3 ¡ u3)2´
=1
2
³2u1v1 + 2u2v2 + 2u3v3
´= u1v1 + u2v2 + u3v3:
Vektoren
Kreuzprodukt
© 2012 Steven Köhler 23
Das Kreuzprodukt (auch Äau¼eres Produkt, vektorielles Produktoder Vektorprodukt) ist ebenfalls eine Art, zwei Vektoren a und bzu multiplizieren. Das Resultat ist ein neuer Vektor c, der sowohlsenkrecht zu a (d.h. a?c) als auch senkrecht zu b (d.h. b?c) steht:
c = a£ b =
0@ a1
a2
a3
1A£
0@ b1
b2b3
1A =
0@a2b3 ¡ a3b2a3b1 ¡ a1b3a1b2 ¡ a2b1
1A :
Wichtig: Das Kreuzprodukt ist nur im R3 de¯niert!
Vektoren
Aufgaben
© 2012 Steven Köhler 24
Aufgabe 4
Gegeben sind die folgenden Vektoren a, b und c:
a =
0@ 31¡1
1A ; b =
0@¡152
1A und c =
0@¡6¡22
1Aa) Bestimme a ¢ b, a ¢ c sowie b ¢ c. Welche der Vektoren a, b und
c sind senkrecht zueinander?
b) Bestimme einen Vektor, der sowohl senkrecht zu a als auchsenkrecht zu b ist. Gib diesen als normierten Vektor an.
