A r c h i v Archiv f~r Elektrotechnik 66 (~983) 43--48 f O r E l e k t r o t e c h n i k

�9 Springer-Verlag 1983

Induzierte Wirbelstromverteilung in zwei Zylindern hoher Permeabilitiit

L. Hannakam und H.-D. Stahlmann, Berlin

{3bersicht: Best imlnt werden die Wilbelstr61ne in zwei parallel zueinander angeordneten Zylindern hoher Permeabili- t&t, die in ein urspriinglich homogenes magnetisches Wechsel- feld eingebraeht werden. I)abei werden die beiden Zylinder in ihrer Wirkung durch eine neue Randbedingung drit ter Art far das VektorpotentiaI erfaf3t, so da6 die Feldgleichung nur far den umgebenden nicht leitenden Raum gel6st werden mul3. Damit ist es nicht notwendig, die in den verwendeten bipolaren Koord ina ten nicht separierbare Skingleichung aufzul6sen. Nach einer Kontrolle der allgemeinen Beziehungen Ifir die V~qrbelstromverteilung werden geschlossene Ausdriicke fur den Fall kleiner Zyliuderradien angegeben.

Induced E d d y Current D i s tr ibut ion on T w o High P e r m e a b l e Cyl inders

Contents : Two parallelly located high permeable cylinders are brought into an al ternat ing homogeneous magnetic field and the result ing induced eddy currents on the cylinders are calcuIated. The calculation is performed using the new bound- ary condition of the third kind for the vector-potential, so tha t the field equation nedds to be stu died only in the surroun- ding nonconduct ing medium. As a result, it is not necessary to seek solutions for the inseparable field equation in the bipolar coordinate sys tem used in the paper. After checking the general results for the eddy current distribution, closed equat ions are developed for the cases of small radii of both cylinders.

1 Problemstellung

Zwei leitende Zylinder der Radien b und der Leit- f/ihigkeit x 4 = 0 sind parallel zueinander im Aehsen- abstand 2a angeordnet und weisen die Permeabilit~tt # auf, die grol3 gegentiber der Permeabilitiit #0 des umgebenden Luftraumes ist. Die beiden Zylinder werden in ein urspriinglich homogenes magnetisches Wechselfeld der Feldst~irke H 0 cos o)t eingebracht, die senkrecht auf den Zylinderachsen steht und mit deren Verbindungslinie den Winkel v ~ einschliel3t. Zu bestimmen sind die in den beiden Zylindern induzierten Wirbelstr6me.

2 Einleitung und prinzipieller Gedankengang

Die beiden leitenden Zylinder werden gem~g Bild t in die bipolaren Koordinaten (u, v, z) verlegt, die mit den kartesisehen Koordinaten (x, y, z) tiber die Beziehungen

c sinh v c sin u x - - und y -

f(u, v) f(u, V) mit (1)

/ ( u , v ) = c o s h v - - c o s u

mit den Bereichen [ul =< az und 0 _< v _< oo verkntipft sind. Die beiden Zylinder werden dutch die F1/ichen v = + v 0 begrenzt, wobei die Koordinate v 0 und die Brennpunktsentfernung 2c mittels der Beziehungen cosh v 0 = a/b und c 2 = a 2 - b ~ aus den vorgegebe- nen Abmessungen (a, b) der Anordnung bestimmt werden.

Das magnetische Feld der vorliegenden ebenen Anordnung wird durch das z-gerichtete quellenfreie Vektorpotential A = A(u, v) beschrieben, dessen Wirbel die magnetische FluBdichte angeben und das im umgebenden Luftraum die Feldgleichung AA = 0 erffillen nml3. Mithin wird das Feld bei Ab- wesenheit der beiden leitenden Zylinder durch das

yi

#;#o u=~

54 ~ =

- O O : - - ~

_v=O/H o cos o#

......... ~ ) v o > O -V=O

Bi ld 1. Fest legung der 13ezeichnungen fi~r die beiden leitenden hochpermeablen Zylinder in den bipolaren I4oordlnaten

0o03-9039/83/0066/0043/$1.20

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erregende Vektorpotential

A,(u , v) = #oHo(- -x sin .9 + y cos *9) (2)

beschrieben, das die urspriinglich homogene magneti- sche Feldstgrke H 0 hervorruft.

Der EinfluB eines leitenden K6rpers der Perme- abilitg.t #>~#0 auf ein erregendes magnetisches Wechselfeld der Kreisfrequenz o wurde in [t] all- gemein untersucht, u n d e s wurde zwischen der

Stromdichte G und der resultierenden magnetischen Feldst~irke H an der K6rperoberflgche der Zusam- menhang (s. Bem. zu [1])

gefunden. Dabei wird mit ~ die nach Augen weisende F1/ichennormale der Oberfl~tehe F des leitenden permeablen K6rpers bezeiehnet und unter c~ = = (t + j)/d ist die komplexe Skinkonstante mit der

Eindringtiefe 6 = ~ / 2 ~ # zu verstehen.

Innerhalb des leitenden permeablen K6rpers ruft das z-gerichtete quellenfreie Vektorpotential A k = = A~(u, v) als L6sung der station/iren Skingleichung /lAl~ = ogA k naeh dem Induktionsgesetz die z-gerieh fete Stromdichte G = - - j o J ~ A k hervor. Wird die Feldbeschreibung aus Symmetriegriinden auf den rechten Zylinder v = v 0 > 0 mit der naeh AuBen weisenden F1/ichennormalen 7 ; - - - - e ~ besehriinkt, so nimmt die Beziehung (3) fiir dessen Oberfl~iche mit dem angegebenen Ausdruck fiir die Stromdichte G die Form

[lem(% X e~) A1. 0 --7~ • (e~ x ~H)] F = 0

an. Da das Vektorpotential an der Leiteroberfl~iche stetig ist, trifff die Austge A~(F) = A ( F ) zu und mit

- +

der Flul3dichte #oH = rot A erh~tlt man dann ffir das feldbeschreibende Potential die Randbedingung

avv-t-,~A = 0 mit 2 (1 + 1)-6-/7-" (4)

Mithin besteht die L6sung des vorliegenden Rand- wertproblemes in der alleinigen Auffindung der- jenigen harmonischen Funktionen der Feldgleichung A A des umgebenden Luftraumes, die die Randbe- dingung (4) erfiillen.

Da man nur das Feld im umgebenden Luftraum betrachten muB, wird durch die vorliegende Be- trachtung ein bisher unl6sbares Randwertproblem der analytisehen Behandlung zug~tnglich gemacht, denn die Skingleichung ist in den zu verwendenden bipolaren Koordinaten (u, v, z) auch fiir ein z-ge- riehtetes Vektorpotential A(u , v) nicht separierbar. Da sich weiterhin die induzierten Wirbelstr6me wegen der kleinen Eindringtiefe $ als z-gerichtete Strombelgge K(u) an den Zylinderoberfl~tchen aus- bilden, sind sie aufgrund der Randbedingung (4)

dem resultierenden Vektorpotential des umgebenden Luftraumes wie folgt proportional:

/ \ 8A #~ = f (u ' v~ l~v l . . . . = - - 2 A ( u , Vo) . (5)

3 Bestimmung des magnetischen Feldes

Das sich im umgebenden Luftraum resultierend ein- stellende Vektorpotential A (u , v) besteht aus der erregenden Komponente (2) und einem St6ranteil As(u, v), der durch die in den Zylindern induzierten Wirbelstr6me hervorgerufen wird. Definiert man nun nach Festlegung der Z~thlung i = 1, 2, 3, ...

die Spaltenmatrix #(u) der Sinusfunktionen sin (iu), die Spaltenmatrix g*(u) der Kosinusfunktionen

cos (iu), die Diagonalmatrix R der Elemente i und die Spaltenmatrizen B und C zun/ichst unbekannter

komplexer Konstanten Be und C~,

so kann man mit einer weiteren unbekannten Kon- stanten C o fftr das St6rpotential als L0sung der Laplace-Gleichung den Iolgenden Ansatz aufstellen:

A,(u , v) -- ffocHo cos *9~T(u) Lcosh (Rvo)~ -1"

�9 cosh (Rv) B + I~ocHo sin ,9- (6)

�9 {CoY + t/Jr(u) [sinh (Rvo)] -1 sinh (Rv) C}

Weiterhin sind aus der Funktionentheorie ftir v ~ 0 die Beziehungen

sinh v __ I -}- 2 ~ e -i~ cos (iu) und f(u, v) i=1

sh~-,.~ _ 2 s e --~ sin (iv) ](u, v) i=1

bekannt, so dab man die kartesischen Koordinaten x und y entsprechend ihren Definitionen (1) in der

F o r I n

x I @ 2 t/*T(U) e -Rv T u n d y~ = 2~J~T(u) e-RV T C C

durch die eingefiihrten Spaltenmatrizen ~(u) und ~ (u ) ausdrt~cken kann, wenn man unter T eine Spaltenmatrix gleicher Elemente T i - - I versteht. Mithin folgt far das erregende Vektorpotential (2) die Darstdlung

A~(u, v) = #ocHo { - - s i n .9 + 2 [cos * 9 ~ r ( u ) - -

-- sin *gg*r(u)] e - ~ T} . (7)

Zwecks Bestimmung der unbekannten Konstanten B, C und D wird das resultierende Vektorpotential A = A~ + A s des umgebenden Luftraumes in die Randbedingung (4) eingesetzt, die mit dem erregen- den ITeld (7) und mit dem St6rpotential (6) die

L. H a n n a k a m u n d I t . -D . S t a h l m a n n : I n d u z i e r t e W i r b e l s t r o m v e r t e i l u n g in zwei Z y l i n d e r n h o h e r P e r m e a b i l i t ~ t 45

Gleichung

cos #q)r(u) ~f(u, Vo) R tanh (Rvo) + 2E] B +

+ sin OIpT(u) If(u, Vo) R coth (Rvo) + )~E] C =

= 2 (sinh v o -- 2) Lcos ~gq~T(u) -- -- sin ~9~pT(u)! e -R~" T +

-~- s i n z9 {()~ -w e -v~ - - CoE)~Vo + f ( u , v0)l} (8)

liefert, wobei mit E die Einheitsmatrix bezeichnet wird. Aus der Forderung nach einem gleichen Mittel- wert der beiden Seiten der G1. (8) erh/ilt man nach deren Integration yon u = 0 bis u = 2re ftir die Konstante C O die Beziehung

C O = U1C 1 @ V 1 mit 2U~(a +Abvo)= a b (9) c

Vl(a + 2bvo) = a -- c + 2b .

Im n/iebsten Rechenschrit t wird die G1. (8) mit den Spaltenmatrizen q~(u) und ~g(u) multipliziert und yon u : 0 bis u = 2~ integriert, wodurch man fiir die gesuchten Konstanten B und C die voneinander unabh/ingigen linearen Gleichungssysteme

IMR tanh (Rvo)+ 2E l B : 2 ( c ~/e-R~oT \ o / (to)

[MRcoth ( R v , )+ 2 E - - U ] C = V-- 2 (~- - - @ e-R~oT

erh~tlt. Die darin auftretende symmetrische Matrix M ist nur in der Hauptdiagonalen mit gleichen Ele- menten a/b und in den beiden anschlieBenden Neben- diagonalen mit gleichen Elementen (-- t /2) besetzt, w/ihrend die Elemente der Diagonalmatrix U und der Spaltenmatrix V ftir i 4= t verschwinden und f i i r i = ~ die in (9) angegebenen Werte U1 und V 1 aufweisen.

4 Der induzierte Wirbelstrombelag

N ach Aufl6sung der beiden linearen Gleichungs- sys teme nach den Konstanten B und C wird die Konstante C O nach (9) aus dem gefundenen Wert C 1 best immt, womit alle in dem Ansatz (6) fiir das ge- suchte St6rpotential auftretenden Gr6Ben bekannt sin& Aufgrund der in der Beziehung (5) enthaltenen Proportionalitfi t zwischen dem resultierenden Vek- torpotential des umgebenden Luftraumes und dem induzierten Wirbelstrombelag erh~tlt man ffir diesen die Abh~tngigkeit

I((~V)Ho )~COS 0 [ b sin ~v + q~T(u)B] +

yon dem in Bild I eingezeichneten Peripheriewinkel q0, der mit der Koordinate u fiber die folgende Be-

ziehung verkniipft ist:

b+~cos~0 mit s ignu s ign9 (t2) COS ~ - - a + b c o s ~

Neben der gefundenen Abh~tngigkeit (11) des indu- zierten Wirbelstrombelages kann man ffir diesen bei Benutzung der ersten Beziehung yon (5) auch den Ausdruck

ff~(~t) __f(,• , V0 ) COS ~ 9 o T ( u ) RItanh (Rv0) B -- 2 e-RV~ Ho

+ f (u , ~o) sin ~ {C0 + ~ r ( u ) �9

�9 R[coth (Rvo) C + 2e -Rv~ T]} (13)

angeben, der aufgrund der Randbedingung (4) die gleiche Verteilung (11) liefert. Die Darstellung (t3) soll nun dem Grenztibergang 2 --> ec zugrunde gelegt werden, der perfekt leitenden Zylindern entspricht. Ffir den genannten Grenzfall liefern die GI. (9) und (t0) die Ergebnisse

C = 2e-R~oT = - - B und C o _ t (t4) 7Y 0

mit denen man ftir den gesuchten induzierten Wirbel- strombelag ohne Auswertung eines Gleichungs- systems die Beziehung

K(u} = f(u, So) [sin O' + Ho [ Vo

+ 2 X sin ~9 i cos (i~) cos 0 r sill (is) ]/ (t 5) i=1 s inh (iVo) cosh ( iv~J ] '

erh~tlt, auf deren geschlossene Darstellung durch Theta-Funktionen verzichtet wird. Herangezogen werden soll jedoch das Ergebnis (t5) zur Kontrolle, die man aus der Bedingung erh~ilt, dab in dem per- fekt leitenden Zylinder kein magnetischer FluB ein- dringen darf. Damit liegt die Forderung vor, dab die Summe aus dem erregenden Vektorpotential (7) und dem St6rpotential (6) der induzierten WirbelstrSme auf der Zylinderoberfl/iche v = v o verschwinden nmB. Wie man sich leicht fiberzeugen kann, fiihrt die eben ausgesprochene Forderung auf die in (14) gewonnenen Konstanten B, C und C O und iiefert damit den in (t5) angegebenen Strombelag.

5 Kontrolle fiir kleine Zylinderquerschnitte

Vor der praktischen Auswertung wird die allgemeine Beziehung (it) ffir den Wirbelstrombelag einer Kontrolle ffir Zylinderradien a/b = cosh v o >~ 1 unter- zogen. Bet dem WinkeI v ~ = 0 muB sie den Wirbel- strombelag ergeben, die sich in einem leitenden permeablen Zylinder bet alleiniger Anwesenheit im urspriinglich homogenen magnetischen Wechselfeld einstellt. Dieses Problem ist elementar 16sbar und mit konventionellen Mitteln findet man, dab das magnetische Feld in einem Abstand ~ yon der Zy-

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l inderachse durch die z-ger ichteten Vek to rpo ten t i a l e

2l, I1(~) sin A i(O, 9) = I*oHo b #I~(~b) + (~b)FoI[(~b) 9

fiir O ~ e < b

A~(~, ~o) : #oHob + ttI~(~b) + (~b) poli(~b) ~o

ftir , o ~ b

beschr ieben wird, wenn mi t I~(~) die modifizier te Besse l funkt ion ers ter Ar t und n- ter Ordnung des komplexen Argumentes ~ und mi t I~(~) deren Ab- le i tung nach dem A r g u m e n t ~ bezeichnet wird. Mithin wird sich in dem zyl indrischen Lei ter nach dem Induk t ionsgese tz eine z-gerichtete S t romdich te

G(e, q)) _ H o 2/Zo(eb)~ I,(eq) sin 9 b #Ii(ab) + (eb)#o I'a(eb)

ausbilden, die bei e inem Le i t e rma te r i a l hoher Permeabi l i t~ t # >~ #o die F o r m des S t rombelages

b

K(q)) : f G(O) do~ = 0

#o(~b) [[o(~b) -- 1] sin ~v (t6) = - - 2H~ ~I~(ab) + (eb)teoI;(eb)

auf der Leiteroberfl i tche (, ~ b aufweist . Da Itir die zut ref fenden Argumen t s I~bl >~ t I o ~ 11 ~ I'1 gilt, n i m m t der Ausdruck (t6) mi t dem in (4) definier ten Wer t 2 die F o r m

K(~) 22b Iq (1 7) - - ~ sin q) = - - sin ~o H o c + ~,b H o

an, in die die aufgestel l te Beziehung ( l l ) ffir 0 = 0 und a >~ b fibergehen muB.

Den Ausgangspunk t fiir den zu ff lhrenden Be- weis bi ldet das erste Gle ichungssys tem yon (/0), das un te r der zut ref fenden Vorausse tzung b ~ a die Wer te B~ = 0 ffir i ~ I und ftir i t die somit allein verble ibende K o n s t a n t e B 1 zu

+ 2 B~ ~ 2 ~- - -2~ e-~~ ~ (~8) a a + i b

liefert. Setzt m a n diese in die Beziehung (11) ffir den induzier ten S t rombe lag im Falle 0 = 0 ein, so erh~tlt m a n mi t der nach (t 2) zut ref fenden Eigenschaf t

~ ~ das Ergebnis

K(9) ~ __ .~ . (b @ b c - - 2 b -Ho- a a ~-~- ] sin ~ =

_ _ ,~b a "a + c ~ + 2b(a -- c) sin 9), a c ( a + ~.b)

das mi t c---> a in den nachzuweisenden Ausdruck (17) fibergeht. Nach dem erfolgten Abschlug des zu t i ihrenden Beweises sei noch auf die komplexe

_-•/ ...... r /?~

"--.

I \ 1 2 3 o/b ]/~,8 In(2a/b}

~ t 4 (1-j}o/b 1

reell

Bild 2. Ortskurven der komplexen Amplituden und des komplexen Mittelwertes des induzlerten Wirbelstronlbelages far kleine Zylinderradien mit eingezeichnetcn Werten ffir /3= 0,2

Ampl i tude

K ~ _ 2/3E(~ +213)+j ] mi t / 3 - - b # (t9) H . (t + /3 )~ + / 3 2 ~ Fo

des induzier ten Strornbelages eingegangen, die in AbhSmgigkeit v o m P a r a m e t e r t3 den in Bild 2 dar- gestel l ten Kre i sbogen h 1 beschreibt . Dieser ve r lauf t durch die P u n k t e 0 ftir / 5 = 0 sowie A fiir f l = o0 und weist den lX{ittelpunkt M1 auf. Tr/ igt m a n wei terhin auf der durch die P u n k t e M1 und 0 ver-

laufenden Geraden g die Strecke 0 - i f = 2/2/5 auf, so schneidet die Verbindungsl inie der P u n k t e A und B den beschr iebenen Kreisbogen k 1 im P u n k t e PI,

der mi t 0P~ = K 1 / H " die dem P a r a m e t e r / 5 zugeord- nete komplexe Ampl i tude des induzier ten Wirbel- s t rombelages angibt . In der folgenden Tabelle sind die komplexen Ampl i tuden K 1 / H o gegeniibergestel l t , die einerseits nach der Beziehung (19) und anderer- seits als die Wer te K(z~/2) /H, fa r ~9 = 0 durch Aus- wer tung des Gle ichungssys tems (10) mi t 10 GIeiehun- gen bei e inem Abmessungsverh~tl tnis a/b = 10 ge- funden wurden :

komplexe Amplitude K1/H o

fl I(ontrot[rechnung Gleichungssystem

o,ol --0,0200 --j0,0t96 --0,0200 --j0,0197 0,02 --0,0400 --j0,0384 --0,0401 --]0,0385 0,05 -0,0995 --]0,0905 -0,o998 -]0,09o7 o, t0 -0,/967 -j0,1639 -0, t972 --j0,1642 o,2o -0,3784 -jo,2703 -o,379t --j0,27o4 o,5o -0,8ooo -]o,4ooo -0,8008 -]0,3994 t,oo - I ,2ooo --io,4oo0 --1,1998 --i0,3986 2,00 -I,5385 - jo ,3o77 -1,5366 --]o,3o61 5,00 -1,8o33 -jo,1639 --t,7998 --]0,1629

to,oo - / ,9oo5 -jo,o9o5 --1,8962 -j0,0899

L. IEannakam und t-I.-D. Stahlmann: Induziertc Wirbelstromverteilung in zwei Zylindern holier Permcabilidit 47

6 Praktische Auswertung

Dieser wurde die allgemeine 13eziehung ('1t) fiir den induzierten Wirbelstrombelag K(@ zugrunde gelegt, wobei die Konstanten B und G durch AuflOsung der Gleichungssysteme (10) gefunden wurden. Als Zy- l indermaterial wurde Eisen genommen, dessen Leit- f~higkeit viermal schlechter als die des betriebs- warmen Kupfers ist, dem bei einer erregenden Fre- quenz von 50 Hz eine Eindringtiefe von t c m zu- geordnet ist. Mit diesen Zahlenwerten folgt dann nach (4) ftir den komplexen Parameter ). bei einer relativen Permeabili t~t #/#o = 900 die ]3eziehung 2 = (t q- j ) (c /60) , wobei die Abmessung c in [cm] einzufiihren ist. Bild 3 zeigt den Betrag des so be- rechneten induzierten Wirbelstrombelages fiir. die Lage # = ~/2 des erregenden Feldes. Aus der Dar- stellung ist deutlich der Mittelwert der Stromdiehte zu entnehmen, der den Ringstrom zwischen den beiden Zylindern bildet und in den AuBenfasern der beiden Zylinder vers tgrkt wird, wS.hrend in den ein- ander zugewandten Part ien der Zylinder kleinere Stromdiehten ~nduziert werden.

Eingegangen sei noch auf die approximat ive J3estimmung der resultierenden Stromvertei lung Itir den FatI kleiner Zylinderradien b ~ a, der bereits bei der vorausgehenden Kontrollrechnung betrachtet wurde. Zu untersuchen wire somit noch der Fall O = 7c/2, fiir den die zweite Gleichung des Systems (10) zust/indig ist. In diese k6nnen unter den voraus- gesetzten Bedingungen die Matrizen U und V weg- gelassen werden, so dab man im Vergleich mit tier ersten Gleichung des genannten Systems zu dem Ergebnis Cr = 0 fiir i ~ I und C i = - - B i mi t dem in (18) angegebenen Wert B 1 gelangt. Mit d iesen liefert dann die ]3eziehung (9) Iiir die Konstante C O den nachstehend angegebenen Ausdruek, der sich bei Vernachl~issigung der in (b/a) quadratischen Glieder

po,g

1.5 ..~

1.0 "'-..

0.5

[ _ _ [ I " / 450 9D o 1350 180'

Bild 3. Abh/ingigkeit des berechneten Betrages der indu- zierten \Virbelstromverteilung fflr 0 = ~/2, a = 100 cm und #{,u o = 900 mit dem Abmessungsverh~ltnis b]a als Parameter

Zll b2(c - - ,~b) a - - c + ,~b )~b

Co ~ - - 2c(a + Zbvo) (~ + ~b) + a + 2~bv o *" a--+ ~v o

vereinfacht. Mithin werden die beiden Zylinder auf- grund der allgemeinen Beziehung (11) einen vom Orte F unabh~ingigen Strombelag

- - ( ~ ) 2 a(a+'bv~176 K~ ~ 2 -- Covo H o c (a + t b % )

aufweisen, ftir den man mit a ~ c und % = in (2a/b) den Ausdruek

h" o a (1 + j)/3 (20) H o b I + (1 + j ) flln(2a/b)

erh/ilt. Mithin beschreibt der Zeiger (20) als Funktion des Parameters /3 den in Bild 2 dargestellten Kreis- bogen k2, der durch die Punkte 0 ftir/3 = 0 sowie C ftir /3 = oo verl/iuft und den Mittelpunkt M 2 auf- weist. Tr~gt man somit auf der definierten Geraden

g die Strecke 0D = V213a/b ab, so schneidet die Ver- bindungslinie der Punkte C und D den Kreis ko. im

Punkte Po, der mit 0P 0 = Ko/H o den homogenen Strombelag (20) angibt. In der folgenden TabelIe sind die komplexen Amplituden Ko/H o gegeniiber- gestellt, die einerseits nach der Beziehung (20) und andererseits als die Werte K(zc/2)/H o fiir # = 0z/2 durch Auswertung des Gleiehungssystems (10) mit t0 Gleichungen bei einem Abmessungsverh~ittnis a/b = 10 gefunden wurden:

Mittelwert K o / H o des Strombelages

/3 Ngherung Gleichungssystem

o,ol 0,0998 + j0,0942 0,i003 + j0,0946 0,02 0 ,1987+j0 , t775 0,t997 +jOA782 0,05 0,4833 + j 0 , 3 7 t 9 0,4856+j0,3732 0,10 0,899t + j0,5622 0,9o29 + j0,5632 0,20 1,5076 + j0,6858 t,5t23 + j0,6847 0,50 2 ,3552+ j0,5894 2,3558 +j0 ,5832 1,00 2,8o33 + jo,4010 2,7963 -t- j0,3923 2,00 3,0628 + j0,2359 3,0472 + j0,2278 5,00 3,2269 + j0,t042 3,2034 + j0,0992

t0,00 3,2824 + j0,0539 3,2557 + jo,0510

Zusammenfassen kann man also aussagen, dab bei kleinen Zylinderradien b ~ a die allgemeine Be- ziehung (11) fiir den induzierten Wirbelstrombelag mit den komplexen Werten (19) und (20) die einfache Form

K(~v) -- K o sin z9 q- K i sin (~ - - 0) fib- b ~ a

annimmt. Diese strebt fiir /5 ---> oo richtig dem glei- then Grenzwert

K(q?) __ a/b sin ~9 + 2 sin (~9 -- ~) Ho I~ (2,qb)

zu, den man aus der Beziehung (15) fiir a > ~ b erhi l t .

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7 Zusammenfas sung

Fttr die analytische Best immung der induzierten Wirbeistromverteilung werden die beiden leitenden Zylinder hoher Permeabiti t~t in ein bipolares Koor- dinatensystem verlegt, in denen die Skingleichung bekanntlich nicht separierbar ist. Wegen der hohen Permeabilit~tt des Zylindermaterials ist es jedoch m6glich, die Wirkung der Zylinder durch eine neue Randbedingung drit ter Art far das feldbeschreibende Vektorpotential zu erfassen. Dieses muB somit aus harmonischen Funktionen bestehen, die an den Zylinderoberfl~tchen tiber eine komplexe Konstante mit deren Normalableitungen verkniipft sin&

Die analytische Behandlung des vorliegenden Randwertproblemes des station~iren Skineffektes fiihrt auf ein lineares Gleichungssystem far die unbe- kannten Konstanten des aufgestellten Potential- ansatzes, wobei die symmetrische Koeffizienten- matr ix nur in der Hauptdiagonale und in den beiden Nebendiagonalen besetzt ist. Nach Aufl6suag des Gteichungssystems ist tier auf den Zylinderoberfl~t- chen induzierte Wirbelstrombelag bekannt, da dieser dem resultierenden Vektorpoteniial proportional ist

Die aufgestellten allgemeinen Beziehungen werden mehreren Kontrollen unterzogen und dann ausge- wertet. Ftir den Fall kleiner ZyIinderradien wird eine geschlossene N~iherungsbeziehung ftir den in- duzierten Wirbelstrombelag angegeben.

Literatur

1. Hannakam, L.; Albach, M.: L6sung des Randwertproble- mes bet Anwesenheit leitender IK6rper hoher Permeabilit/~t im erregenden magnetischen Wechselfeld. Arch. Elektro- tech. 65 (1982) 117--t22

Als Ausgangsbeziehung (3) dieser 13etrachtung wurde die G1. (6) yon Ell verwendet, da die sich dort anschlief3ende Rechnung nur ft/r konstante FHichennormalen gilt.

Eingegangen am 21. ~Vlai 1982

Prof. Dr.-Ing. habil. L. Hannakam Dipl.-Ing. H.-D. Stahlmann Instis fiir Theoretische Eiektroteehnik der Technischen Uni~ersitgt Berlin

E~nsteinufer 25 D-1000 Berlin t0