Inhaltsverzeichnis

1 Elektrostatik 11.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Elektrische Ladung, Coulomb-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Der Gauß’sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Das elektrische Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Der elektrische Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Kapazität und Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

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1 Elektrostatik

1.1 Grundbegriffe

1.1.1 Elektrische Ladung, Coulomb-Gesetz

Definition 1 Die elektrische Ladung ist eine elementare , intrinsische Eigenschaft der sie tragendenElementarteilchen. Sie ist quantisiert; die kleinste1 Ladungseinheit ist die Elementarladung

e = 1.602 · 10−19C , mit SI-Einheit C = Coulomb . (1.1)

Alle frei vorkommenden Ladungen sind ganzzahlige Vielfache davon. Sie wurde erstmals gemessenvon Milikan 1910 über die Fallgeschwindigkeit von geladenen Öltröpfchen in einem Kondensator.

Sie ist erhalten; und kann kann nur von einem Körper zum anderen übertragen werden, nie jedochvernichtet werden.

Wir unterscheiden positive und negative Ladungen; diese stoßen sich ab, zwei gleiche ziehen sich an.

Zwei Ladungen üben aufeinander die Kraft

~F =1

4πε0

q1q2r2

~er (1.2)

aus. Dies ist das Coulomb-Gesetz mit der Dielektrizitätskonstante des Vakuums

ε0 = 8.854 · 10−12 A2 s4

kg m3,wobei

A2 s4

kg m3=

C2

N m2. (1.3)

Das Coulomb-Gesetz ähnelt strukturell dem Gravitationsgesetz und teilt mit diesem auch zwei we-sentlich Eigenschaften:

• Eine homogen geladene Kugel übt dieselbe Kraft aus wie eine sich in ihrer Mitte befindendePunktladung.

• Im Inneren einer homogen geladenen Kugelschale ist die Gesamtkraft = 0.

1.1.2 Das elektrische Feld

Definition 2 Ganz analog zu einer Masse baut auch eine Ladung ein Feld auf, das auf andere La-dungen wirkt. Man definiert dieses über die Kraft, die auf eine Testladung q wirkt:

~E =~F

q, [ ~E] = N C−1 = V m−1 . (1.4)

1Abgesehen von den konstituierenden Teilchen der Nukleonen, den Quarks, die drittelzahlige Werte von e besitzen,jedoch nicht frei in der Natur vorkommen.

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1 Elektrostatik

Abbildung 1.1: Feldlinien als Visualisierungshilfen.

Als Visualisierungshilfe dienen die Feldlinien (Abb.1.1), die aus positiven Ladungen austreten und innegative Ladungen münden. Die Dichte der Feldlinien repräsentiert die Stärke des Feldes. Da sowohldie elektrische Kraft als auch das elektrische Feld Vektorgrößen sind, gilt das lineare Additionsgesetz:

~F = ~F1 + ~F2 , ~E = ~E1 + ~E2 . (1.5)

Das ~E-Feld einer Punktladung der Größe q2 folgt unmittelbar aus dem Coulomb’schen Gesetz:

~E =~F

q1=

1

4πε0

q2r2~er . (1.6)

Jede Ladungsverteilung lässt sich als Ansammlung von Punktladungen ansehen, wobei aus der Li-nearität der Feldgleichungen (i.a. der Maxwellgleichungen) die Möglichkeit der Superposition folgt:

~E =1

4πε0

∫V

dV(~r − ~r′)|~r − ~r′|3

ρ(~r′) . (1.7)

Abbildung 1.2: Zu Superposition von Punktladungen.

Dies entspricht einer Überlagerung der Felder aller Punktladungen im Volumen V am Punkt ~r. ρ(~r)(mit Einheit C m−3) ist die Ladungsdichte am Ort ~r. Dies ist eine Volumenladungsdichte.

Analog:

• λ mit Einheit C m−1 ist Längenladungsdichte.

• σ mit Einheit C m−2 ist Flächenladungsdichte.

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1.1 Grundbegriffe

Praktische Implementierung: Auswählen der passenden Ladungsdichte und Berechnung einer infini-tesimalen Ladung dq.

Beispiel 1 ( ~E-Feld eines Rings entlang der Zentralachse) (siehe Abb.1.3)

Abbildung 1.3: Zu ~E-Feld eines Rings entlang der Zentralachse.

• Ring der Gesamtladung q hat Längenladungsdichte λ ⇒ dq = λds und Radius R. Damit folgtzunächst:

d ~E =1

4πε0

(~r − ~r′)|~r − ~r′|3

λds . (1.8)

• Wähle geeignete Koordinaten⇒ hier Zylinderkoordinaten

• ds = Rdϕ′

• Der Ring liegt in der z = 0-Ebene:

(~r − ~r′) =

r cosϕ− r′ cosϕ′

r sinϕ− r′ sinϕ′z − z′

=

−R cosϕ′

−R sinϕ′

z

. (1.9)

• |~r − ~r′| =√R2 + z2

• damit ergibt sich:

~E =λR

4πε0

∫ 2π

0

dϕ′1√

R2 + z2

−R cosϕ′

−R sinϕ′

z

= ~ez2πλR

4πε0

z

(R2 + z2)3/2

= ~ez1

4πε0

qz

(R2 + z2)3/2(1.10)

Man sieht: das Ausrechnen des ~E-Feldes ist mühsam und meistens nur mit Vereinfachungen (beiVorhandensein von Symmetrien) möglich. In diesen Fällen ist der im nächsten Abschnitt behandelteSatz sehr hilfreich.

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1 Elektrostatik

1.2 Der Gauß’sche Satz

Bemerkung 1 (Integralschreibweise) Im Folgenden werden immer nur einfache Integralsymboleverwendet. Die Interpretation dieser sollte im Kontext allerdings ersichtlich sein.

Allgemein lautet der Gauß’sche Satz für ein Vektorfeld ~v innerhalb eines Gebietes V mit Rand ∂V :∮∂V

~v · d ~A =

∫V

dV div~v (1.11)

In Worten:

Der Fluss durch eine geschlossene Oberfläche entspricht der Summe der Quellen inner-halb der Oberfläche.

Dies lässt sich hier auf das elektrische Feld anwenden. Dafür benutzen wir die folgende

Abbildung 1.4: (siehe Text)

Definition 3 (Elektrischer Fluss)φE =

∫A

~E · d ~A , (1.12)

wobei die Orientierung der Fläche das Vorzeichen bestimmt. Für die folgenden geschlossenen Ober-flächenintegrale zeigt der entsprechende Normalenvektor stets vom umschlossenen Volumen nach au-ßen.

Benutzt man nun eine der Maxwellgleichungen,

div ~E =ρ

ε0

, (1.13)

so findet man: ∮A

~E · d ~A =Q

ε0

, Satz von Gauß . (1.14)

In Worten:

Das Volumenintegral über die Ladungsdichte entspricht gerade der im Volumen enthalte-nen Gesamtladung.

Der wesentliche Trick besteht darin, passende Oberflächen zu wählen, so dass sich das Flussintegralleicht auswerten lässt.

Beispiel 2 (Zylindersymmetrie) Zur Berechnung des ~E-Feldes eines unendlich langen, dünnenDrahtes mit Längenladungsdichte λ legt man eine Zylinderoberfläche um den Draht (siehe Abb.1.5).

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1.2 Der Gauß’sche Satz

Abbildung 1.5: (siehe Text)

• Die Deckel tragen nichts bei, da hier ~E⊥d ~A.

• ~E steht stets senkrecht auf den Mantelflächen, d.h. ~E · d ~A = E dA.

Dann geht’s schnell: ∮~E · d ~A =

∮E dA = E2πrh =

Q

ε0

=λh

ε0

(1.15)

Für einen unendlich langen Draht folgt somit:

=⇒ E =λ

2π r ε0

. (1.16)

Beispiel 3 (planare Symmetrie) Unendlich ausgedehnte Ebene mit Flächenladungsdichte σ.

Abbildung 1.6: (siehe Text)

• ~E kann nur eine Normalkomponente haben, denn Parallelkomponenten würden die Ladungenso lange verschieben, bis das Feld verschwindet.

• ~E ist also parallel zu den Normalenvektoren der Deckelflächen, davon gibt es zwei.

Es folgt zunächst: ∮~E · d ~A = 2E A =

Q

ε0

=σ A

ε0

(1.17)

und somit für eine unendlich ausgedehnte Fläche

=⇒ E =σ

2ε0

. (1.18)

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1 Elektrostatik

Aus dem Gauß’schen Satz folgt auch sofort:

• Eine homogen geladene Kugel sieht nach außen aus wie eine in ihrer Mitte befindliche Punkt-ladung.

• Im Innern eines geladenen Leiters existiert kein elektrisches Feld. Wäre dies nicht der Fall, sowürde ein Strom im Innern des Leiters fließen; dies widerspricht unserer Erfahrung, d.h.

=⇒ Die Überschussladungen auf einem Leiter befinden sich auf dessen Oberfläche.

Abbildung 1.7: (siehe Text)

Daraus folgt für das ~E-Feld auf der Oberfläche eines Leiters:∮~E · d ~A = E A =

σA

ε0

,

=⇒ E =σ

ε0

auf der Oberfläche eines Leiters. (1.19)

1.3 Das elektrische Potential

Über rot ~E = 0 zeigt man, dass das ~E-Feld konservativ ist. Daher muss es ein Gradientenfeld seinund ein Potential besitzen. Zur “Herleitung” überlegt man sich folgendes:

Die Arbeit in einem konservativen Kraftfeld ist gerade

W =

∫ ~rf

~ri

~F · d~s ⇒ dW =

{> 0 ~F ↑↑ d~s,< 0 ~F ↑↓ d~s,

(1.20)

und das Potential ist dadurch definiert als

∆ϕ = ϕ~rf − ϕ~ri = −W = −∫ ~rf

~ri

~F · d~s . (1.21)

Dies ist die Potentialänderung, die an einer Ladung über die durch die Coulombkraft verrichteteArbeit hervorgerufen wird.

Wir wählen einen festen Referenzpunkt ~ri und setzen das Potential dort = 0; damit kann jedem Punktim Raum eine potentielle Energie zugeordnet werden:

ϕ(~r) = ϕ~rf − ϕ~ri︸︷︷︸=0

= −∫ ~rf

~ri

~F · d~s . (1.22)

Analog zur Definition des elektrischen Feldes als “Kraft pro Ladung” definiert man nun das elektro-statische Potential als “Potential pro Ladung”:

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1.3 Das elektrische Potential

φ(~r) =ϕ(~r)

q= −1

q

∫ ~rf

~ri

~F · d~s =

∫ ~rf

~ri

~E · d~s Elektrisches Potential. (1.23)

Daraus folgt:

=⇒ ~E = −~∇φ Das ~E-Feld ist das Gradientenfelddes elektrischen Potentials. (1.24)

Die elektrische Spannung entspricht dann gerade einer Potentialdifferenz:

U = φ~rf − φ~ri =ϕ~rf − ϕ~ri

q=−Wq

, [U ] =J

C≡ V (1.25)

also die “Arbeit pro Ladung”, die benötigt wird, um eine Ladung q von einem Ort an den anderen zuverschieben. Umgekehrt erhält man die Energie, die ein Teilchen bekommt, wenn es eine Potential-änderung durchläuft, also in einem elektrischen Feld beschleunigt wird:

W = −q U(

= −1

2mv2

). (1.26)

Äquipotentialflächen Punkte mit gleichem Potential bilden zusammen eine Äquipotentialfläche.Daher benötigt das Verschieben einer Ladung auf einer Äquipotentialfläche keine Arbeit. Gleicher-maßen ist jedes Integral über einen Weg in einem ~E-Feld, dessen Anfangs- und Endpunkt auf dergleichen Äquipotentialfläche liegen, gleich Null.

Abbildung 1.8: Äquipotentialflächen eines Monopols und eines Dipols (Definition weiter unten).

Wichtig:

• Das ~E-Feld steht immer senkrecht auf den Äquipotentialflächen!

• Die Oberfläche eines Leiters ist immer eine Äquipotentialfläche!

Das Potential einer Punktladung Zur Berechnung des Potentials einer Punktladung verschiebtman eine Testladung aus dem Feld einer Punktladung ins Unendliche (der umgekehrte Weg würdeein negatives Potential ergeben!):

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1 Elektrostatik

φ(~r) = −∫ ∞

0

~E · d~r~E||d~r= − q

4πε0

∫ ∞0

1

r′2dr′

=q

4πε0

Potential einer Punktladung. (1.27)

Das Potential ist eine skalare Größe und lässt sich einfach addieren. Für eine kontinuierliche Ladungs-verteilung ergibt sich

φ(~r) =1

4πε0

∫V

ρ(~r′)

|~r − ~r′|dV . (1.28)

Die Berechnung hierfür ist analog zum ~E-Feld (siehe Beispiel dazu), nur kann hier der Satz von Gaußnicht angewendet werden.

1.4 Der elektrische Dipol

Definition 4 Zwei entgegengesetzt geladene Teilchen im Abstand d bilden einen elektrischen Dipol.Der Abstandsvektor ~d zeigt hier entgegen der Feldlinienrichtung, also von “−” nach “+”.

Der elektrische Dipol ist ein wichtiges Modell zur Beschreibung und Untersuchung von Molekülen,die Dipolverhalten zeigen, z.B. H2O (siehe Abb.1.9).

Abbildung 1.9: Das Wassermolekül als elektrischer Dipol.

Wir wollen das Fernfeld des elektrischen Dipols berechnen, also eine Näherung für große Abständer � d finden.

• Das Potential des Dipols (siehe Abb.1.10) ergibt sich mit den Näherungen 2∆r ≈ d cos θ und∆r2 ≈ 0 zu:

φ(~r) =q

4πε0

(1

r −∆r− 1

r + ∆r

)=

q

4πε0

2∆r

r2 −∆r2

=q

4πε0

d cos θ

r2. (1.29)

Beachtenswert ist, dass das Dipolfeld mit 1r2

abfällt, nicht wie bei einer Punktladung mit 1r.

• Einem Dipol wird das Dipolmoment ~p zugewiesen:

~p = q~d Dipolmoment. (1.30)

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1.4 Der elektrische Dipol

Abbildung 1.10: (siehe Text)

Mit ~p ·~r = qdr cos θ schreibt sich dann das Dipolpotential als:

φ(~r) =1

4πε0

~p ·~rr3

Dipolpotential. (1.31)

• Das ~E-Feld des Dipols ist dann:

~E = −~∇φ(~r) = − 1

4πε0

(1

r3~∇(~p ·~r) + ~p ·~r~∇ 1

r3

)=

1

4πε0

(3(~p ·~r)~rr5

− ~p

r3

)Dipolfeld. (1.32)

Das Dipolfeld fällt mich 1r3

ab; Punktladungsfeld war 1r2

.

Das zeigt: Im Fernfeld kompensieren sich die Ladungen teilweise und das Feld und Potential sinddadurch schwächer.

Entlang der z-Achse ist das Feld wesentlich stärker als entlang der x- oder y-Achse, wo sich dieWirkungen stärker aufheben.

Dipol im homogenen elektrischen Feld Wird ein Dipol in einem homogenen ~E-Feld platziert(z.B. Plattenkondensator), so wirkt auf die beiden Punktladungen eine entgegengesetzt gerichtete,gleich große Kraft, die ein Drehmoment um den Schwerpunkt bewirkt (siehe Abb.1.11).

Für den Fall des perfekten Dipols ergibt sich (Schwerpunkt bei d2):

| ~M | =d

2|~F⊥|+

d

2| − ~F⊥|

= qd| ~E| cos(θ − 90◦) = |~p|| ~E| sin θ= |~p× ~E| (1.33)

also vektoriell:

=⇒ ~M = ~p× ~E Drehmoment auf einen Dipol im ~E-Feld. (1.34)

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1 Elektrostatik

Abbildung 1.11: Zum Drehmoment auf einen Dipol im ~E-Feld.

Aufgrund dieser Fähigkeit, Arbeit verrichten zu lassen, weist man dem Dipol im ~E-Feld ein Potentialzu. Der Nullpunkt wird auf θ = 90◦ gesetzt (Grund wird unten klar). Die Arbeit ist dann:

W =

∫ 90◦

θ

~M · d~θ′ = pE

∫ 90◦

θ

sin θ′dθ′ = pE cos θ = |~p · ~E| . (1.35)

Da Upot = −W folgt

=⇒ Upot = −~p · ~E Potentielle Energie des Dipols im ~E-Feld. (1.36)

Diese Betrachtungen gelten auch für Dipole, deren Schwerpunkt nicht bei d2

liegt.

1.5 Kapazität und Kondensator

Idee des Kondensators: Strom und damit Energie schneller und bei größerer Stärke zu liefern als eineBatterie, mithin also mehr Leistung: Kamerablitz, etc., oder einfach nur die Speicherung von Energie.

Ein Kondensator besteht immer aus zwei Platten, unabhängig von der Geometrie. Diese werden ent-gegengesetzt gleich aufgeladen, wenn eine Spannung angelegt wird. Die Ladung auf den Platten istdann gegeben durch den linearen Zusammenhang der Spannung und einer Konstanten, in die dieGeometrie des Kondensators einfließt; die Kapazität.

q = C U Ladung am Kondensator ,[C] = C V−1 = F Farad (1F ist ziemlich viel!) (1.37)

Der Plattenkondensator (Standard-Beispiel und bekanntester Vertreter.)

Wir stellen uns einen Plattenkondensator vor. beide Platten tragen die Ladung q mit unterschiedlichemVorzeichen. Unter Vernachlässigung von Randeffekten nehmen wir an, dass das Feld im Kondensatorvollständig homogen ist und außerhalb verschwindet.

Zur Bestimmung der Kapazität nach C = q/U bestimmen wir zunächst die Ladung über denGauß’schen Satz: Wir legen eine Gauß’sche Fläche um die positiv geladene Platte und integrieren.

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1.5 Kapazität und Kondensator

Das Feld geht nur durch die innere Fläche und ist dort parallel zu d ~A, wir erhalten:

q = ε0

∫A

~E · d ~A = ε0E A . (1.38)

Zur Bestimmung der Spannung integrieren wir entlang der Feldlinien von der negativen zur positivenPlatte - also entgegen der Feldrichtung:

U =

∫ +

−

~E · d~s = E d . (1.39)

Somit folgt einfach:

C =q

U= ε0

A

dKapazität eines Plattenkondensators. (1.40)

Wichtige Eigenschaften:

• Außerhalb eines Kondensators ist kein ~E-Feld.

• Die Kapazität ist nur von der Geometrie abhängig.

• Die Platten eines Kondensators sind Äquipotentialflächen.

• Wird bei gleicher Spannung die Kapazität vergrößert oder verkleinert (z.B. beim Plattenkon-densator: Abstand kleiner bzw. größer), so steigt oder sinkt auch die gespeicherte Ladung.

• Wird umgekehrt bei gleicher Ladung (Spannungsquelle abgetrennt) die Kapazität vergrößertoder verkleinert, so sinkt bzw. steigt die Spannung.

Reihen- und Parallelschaltung von Kondensatoren

• Parallelschaltung: In einer Parallelschaltung fällt über jeden Kondensator dieselbe Spannungab, also ist die Summe der Kapazitäten gleich der Gesamtkapazität. Dementsprechend gilt:

qges = q1 + q2 + q3 + . . . = C1U + C2U + C3U + . . . = U

(∑i

Ci

), (1.41)

und somitCges =

qges

U=∑i

Ci Parallelschaltung (1.42)

• Reihenschaltung: Bei einer Reihenschaltung müssen alle Kondensatoren dieselbe Ladung tra-gen, da Elektronen, die von einer Platte abfließen zur Platte des nächsten Kondensators fließen.Die Gesamtspannung ist dann die Summe aller Spannungen:

Uges = U1 + U2 + U3 + . . . =q

C1

+q

C2

+q

C2

. . . = q

(∑i

1

Ci

), (1.43)

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1 Elektrostatik

sodass für die Kapazität gilt:

Cges =q

Uges=

(∑i

1

Ci

)−1

,

1

Cges=∑i

1

CiReihenschaltung (1.44)

Energie des ~E-Feldes im Kondensator Beim Aufladen eines Kondensators wird Arbeit auf-gewandt, um die Ladungen voneinander zu trennen. Dies macht sich in der Spannung bemerkbar, diezugehörige potentielle Energie ist im elektrischen Feld gespeichert.

Zur Berechnung überlegt man sich die Arbeit, die benötigt wird, um einen Ladungsträger von einerKondensatorplatte zur anderen zu bringen, nämlich

dW = U dq =q

Cdq . (1.45)

Um die Gesamtarbeit zu erhalten, integriert man diesen Ausdruck bis zur Endladung Q:

W =∫ Q

0qCdq = Q2

2C= 1

2CU2 Energie des ~E-Feldes

(im Kondensator) (1.46)

Die Energiedichte ist einfach die Energie geteilt durch das Volumen des Kondensators; hier am Bsp.des Plattenkondensators, aber für alle gültig:

w = 12VCU2 = 1

2

ε0AdE2d2

Ad= 1

2ε0E

2 Energiedichte des ~E-Feldes(allgemein) (1.47)

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