d · PHYSIK B2Physik A/B1 SS 2017SS13SS14 1 Der elektrische Dipol Sind zwei unterschiedliche Ladungen in einem Abstand d angeordnet, dann liegt ein „elektrischer Dipol“ vor

PHYSIK B2 SS13SS14Physik A/B1 SS 2017

1

Der elektrische DipolSind zwei unterschiedliche Ladungenin einem Abstand d angeordnet, dannliegt ein „elektrischer Dipol“ vor.

Man definiert das Dipolmoment:

dqp

Das Diplomoment ist ein Vektor, der entlang der Verbindungslinie der beiden Ladungen zeigt.

+q

q

d

+

E

Ep

Ed

dep

Beispiele :(i) Das HCl Molekül:

H+ und Cl– Ion im Abstand d

d

(ii) Induziertes Dipolmoment:Ein äußeres Feld verschiebt den pos.und neg. Ladungsschwerpunkt, z.B. in

einem Xe-Atom.


2

Das Potential des elektrischen Dipolsfolgt einfach aus dem Potential der Einzelladungen. Für eine Punktladungq war:

rqrU

041)(

-q d

+q

1r

2r

U(r) = ?

r

(iii) Kompliziertere Ladungsvertei-lungen können in erster Näherung alsDipol angesehen werden:

dqp


3

-q d

+q

1r

2r

U(r) = ?

r

21

12

04)(

rrrrqrU

Das Potential soll nun für einen sehr großem Abstand r von dem Dipol bestimmt werden, d.h. es gilt:

drr 21,Dann gilt in guter Näherung (sieheZeichnung)

cos12 drrund 2

21 rrr Mit dem dem Superpositionsprinzip ergibt sich das Potential des Dipols zu:

21041)(

rq

rqUUrU qq

Also wird:

20

cos4

)(r

dqrU


4

Darprp cos

folgt für das Potential eines Dipolsin großem Abstand („Fernfeld“) von den beiden Ladungen:

304

1)(r

rprU

Das Potential eines Dipols nimmtmit der Entfernung wesentlichschneller ab als das einer Punkt-ladung. Für große Entfernungenvon den Ladungen gilt:

30

cos4

1)(r

rprU

2

1)( :Dipol

1)( :gPunktladun

rrU

rrU

rcosr

p

+

Potential fürconst.r

x

y2

cos)(r

prU

Winkelabhängigkeit:


5

Das Potential eines Dipols im 3DRaum sieht dann so aus:

-+

Das elektrische Feld des Dipols kann jetzt mit

)()( rUrE

berechnet werden. Für das „Fern-feld“ ergibt sich dann (nach einer recht mühsamen Rechnung):

rre

rpeep

er

dqer

dq

erUr

errUrE

rrr

r

r

mit 34

1

sin4

cos24

)(1)()(

30

30

30

Das Dipolfeld fällt also schneller mit dem Abstand ab als das Feld einer Punktladung.

Das Dipolfeld ist kein radiales Feld! Für große Abstände r vom Dipol giltim Vergleich zur Punktladung:

3

2

1)( :Dipol

1)( :gPunktladun

rrE

rrE


6

Das elektrische Feld eines Dipolsin zwei und drei Dimensionen:

p


7

E

EqF

1EqF

2

Die resultierende Kraft auf den Dipol ist:

021Dipol

EqEqFFF

Der Dipol ist aber nicht in Ruhe, denn es wirkt ein Drehmoment:

Errq

ErqErq

FrFrM

d

21

21

2211Dipol

Mit der Definition des Dipolmo-ments dqp

folgt für das Drehmoment:

EpM

Dipol

Der Dipol im elektrischen Feld

-q

+q

d

1r

2r

Beschränkung auf: Homogenes Feld

p


8


9

Maxwell-Gleichungen für das elektrostatische Feld

)()( (ii)

(i)0

ges

rUrE

qAdE

O

Wir hatten bisher die folgenden zweiwichtigen Eigenschaften des elektro-statischen Feldes kennengelernt:

Zunächst wollen wir die zweite Eigen-schaft auch in Integralform schreiben.Wir wissen bereits, dass die Existenzeines Potentials bedeutet, dass das Linienintegral über das Vektorfeld nicht vom Weg zwischen dem An-fangs- und Endpunkt abhängt.

Insbesondere gilt für geschlosseneWege, d.h. für Wege mit gleichemAnfangs- und Endpunkt:

0)( Weggeschl.

rdrE

Dies ist bereits die 3. Maxwell‘scheGleichung für das elektrostatischeFeld in integraler Schreibweise.ACHTUNG: Die 3. Maxwell-Gleich-ung ist erst in der Elektrodynamikvollständig !Jetzt soll die differentielle Schreib-weise der Maxwell-Gleichungen einge-führt werden. Dies erfordert ein wenig Mathematik ......


10

Dafür werden zwei sog. „Integralsätze“ verwendet, die in der Zusatz-stunde ausführlicher erläutert werden. Es gilt für ein beliebiges Vektor-feld und für eine geschlossene Oberfläche O, die ein Volumen Vumschließt, sowie eine Fläche A mit der Randkurve :

E

ASatz von Gauß (Oberflächenintegral Volumenintegral):

)(OVO

dVEAdE

Carl-Friedrich Gauß(1777-1855)

AdErdEA A

Satz von Stokes (Wegintegral Flächenintegral):

George Gabrial Stoke(1819-1903)

Definitionen: zE

yE

xErE zyx

)(

DIVERGENZ

ROTATION

y

Ex

Ex

Ez

Ez

Ey

ErE xyzxyz)(


11

0

ges

q

AdEO

Die 1. Maxwell-Gleichung lautet:

Nun kann die im von der Oberfläche Oumschlossenen Volumen V enthalteneGesamtladung qges durch die Ladungs-dichte ausgedrückt werden:

)(

gesOV

dVq

Mit dem Gauß‘schen Satz folgt für dielinke Seite der 1. Maxwell-Gleichung:

)(OVO

dVEAdE

Wenn nun die rechte Seite durch die Ladungsdichte ausgedrückt wird ergibt sich:

)(0)(

1

OVOV

dVdVE

Da dies für jede Oberfläche, die dieGesamtladung qges umschließt, geltensoll, müssen die Integranden links undrechts übereinstimmen, also:

0

E

Dies ist die 1. Maxwell‘scheGleichung in differentieller Form.


12

Wir hatten schon in der Mechanik gesehen, dass die Existenz eines Poten-tials gleichbedeutend ist mit der Wirbelfreiheit des Vektorfeldes. Es gilt daher für das elektrostatische Feld:

0

EDies ist die 3. Maxwell‘sche Gleichung in differentieller Form. Für das elektrostatische Feld gilt daher zusammengefaßt:

00(iii)

(i)

A

00

ErdE

EqAdEO


13

Inhalt der Vorlesung B14. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik

EinleitungLadungen & Elektrostatische FelderElektrischer StromMagnetostatikZeitlich veränderliche Felder - ElektrodynamikWechselstromnetzwerkeDie Maxwell‘schen GleichungenElektromagnetische Wellen & StrahlungRelativität der Felder

5. OptikLicht als elektromagnetische WelleGeometrische OptikOptische AbbildungenWellenoptik


14

Der elektrische StromBewegte Ladungen in Feldern

Dadurch wird das Teilchen beschleu-nigt. Nach dem 2. Newton‘schen Gesetz gilt dann:

rmpF

Ein Teilchen mit der Ladung q er-fährt im elektrischen Feld die Kraft:

EqF

E

Die Beschleunigung erfolgt in dieRichtung der Feldlinien. Als Bewe-gungsgleichung ergibt sich dann:

Emqr

q, m E

Feldlinie

rTeilchen-

bahn


15

Kathode

Anode

Ablenk-platten Strahl

Leuchtschirm( z.B. ZnS )

Heizung

Beispiel: Die Oszillographenröhre („Braun‘sche Röhre“ 1897)

Ferdinand Braun(1850-1918)


16

Elektronenstrahlröhrevon J. J. Thomson (1897)


17

z

Up

Schirm

h

z

x

Epe-

v

Elektronen-strahl

e-

ve-

Ua

Kathode

Anode e-

d

Als Bewegungsgleichung der Elektronen zwischen Kathode und Anode ergibtsich:

dUEEevmamF a

aaeee mit

Die Ladung des Elektrons ist Qe = –e und seine Masse m = me .

le-


18

KathodeAnode

Ablenkplatten

Leuchtschirm Glaskolben

mit Ablenkung Up(t)

ohne AblenkungVersuch 1: Braun‘sche Röhre

Zahlenwerte: e =1.602·10-19 CUa = 100V, me = 9.1·10-31 kg v = 5.9·106 m/s

Up = 5 V, l = 5 cm, h = 1 cm z = 3.1 mm


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Vertikalablenkung:

Es wird eine Ablenk-spannung Ux(t) ange-legt, die proportionalzur Größe x(t) ist.

Horizontalablenkung:

Es wird eine periodischeAblenkspannung U(t)angelegt, die linear mit der Zeit ansteigt („Sägezahnspannung“).

Prinzip des Oszillographen:


20

Braun‘scheRöhre

Modell einerder erstenBildempfängerunter Verwen-dung einerBraun‘schenRöhre

Modell einerder erstenBildempfängerunter Verwen-dung einerBraun‘schenRöhre


21

RGB-Farbbildröhre


22

Elektrische Felder um LeiterIn einem idealen Leiter können sichLadungen frei bewegen. Da sichgleichnamige Ladungen abstoßen,befinden sich bei einem Leiter alle Ladungen an seiner Oberfläche:

0innen

E

außenE

Im Inneren eines Leiters gilt daher

O

AdE 0

für jede geschlossene Oberfläche O.Dies ist nur erfüllt wenn:

0

EAn der Grenzfläche selbst muss das elek-trische Feld bestimmte Bedingungen er-füllen. Um sie zu bestimmen, teilen wirden Feldvektor in eine Komponentesenkrecht und eine Kompenenteparallel zur Oberfläche auf. Es wirddie folgende Leiteroberfläche betrachtet:

E

||E


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VZylA

||E

A

)(aE

+++ + ++

++

+++

+ + ++

++

++

++ + +

+

|| AQ

)(iE

A

0

)(

Symmetrie! 0,

Zyl||

0 wegen 0

)(

)(

)(

)(

QAE

AEAE

AEAdE

a

E

i

a

V

i

Mit der 1. Maxwell-Gleichung folgt:

00

)( 1

AQE a

An der Grenzfläche macht die senkrechte Komponente des elek-trischen Feldes also einen Sprung um 0 mit der Flächenladungs-dichte . Die parallele Kompo-nente verschwindet.


24

In Inneren eines Leiters ist kein elektrisches Potential und somit kein elektrisches Feld messbar.

Versuch 2: Der Faraday‘sche Käfig


25

Im Inneren desFaraday‘schen Käfigs ist einfeldfreier Raum.Die leitendenKuglen stoßen sich hier nicht ab.


26

Beispiel 1: Verhalten bei Blitzschlag


27

Beispiel 2: Radioempfang im Käfig


28

Berechnung von Feldern in der Nähe von LeiternAls Beispiel soll das elektrische Feld einer Punktladung +Q, die sich vor einer ideal leitenden, unendlich großen Wand befindet, berechnet werden. Dies istschwierig, da die Feldlinien senkrecht auf der Wand stehen müssen. Das Feldist also nicht einfach durch das elektrische Feld einer Punktladung gegeben.

+Q

r

h

b

o


29

Auf der leitenden Wand müssen sich die Ladungen also genau so verschieben, dass die Feldlinien immer senkrecht aus der Wand austreten. Dies kann durch Einführen der sog. „Spiegelladung –Q hinter der Wand erreicht werden. Diese Spiegelladung ersetzt die Nebenbedingungen, die durch die leitende Ebene eingeführt worden sind.

+Q

r

h

b

o-Q

'r

'h


30

leitendeWand

-Q +Q

Das Problem ist jetzt also äquivalent zur Berechnung des elektrischen Feldes zweier Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ( Dipol ).


31

r r+Q-Q

QE

-QE

gesE

||

Rh

Die senkrechten Komponenten der von der Ladung +Q und der gespiegeltenLadung -Q an der Wand erzeugten elektrischen Felder sind:

)cos(4

122

0

rh

QE

cos4

122

0 rhQE


32

Feldlinien: Punktladung vor einer leitenden, geerdeten Wand

+Q-Q

Ladung„Spiegelladung“


33

+Q

Elektrisches Feld einer Punktladung voreiner leitenden, geerdeten Kugel:

Das Phänomen, dass eine Ladung vor einem Leiter die Ladungen indiesem Leiter verschiebt, heißt Influenz.

Analog zum Fall der leitenden Ebene werden auf der Kugel auchwieder Ladungen verschoben.Man kann zeigen, dass die Kugelinsgesamt die Ladung -QR/Lerhält. Diese Ladung erhält sie aus dem „Reservoir“ der Erde.

Das elektrische Feld einer Punkt-ladung +Q vor einer leitenden,geerdeten Kugel läßt sich analog berechnen, wobei die Lage der Spiegelladung etwas schwierigerzu bestimmen ist.

Influenz-ladung

-QR/L

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