InhaltsverzeichnisKlassensituation.....................................................................................2

Sachanalyse............................................................................................2

Das Tabellenkalkulationsprogramm Excel..........................................2

Gleitkommazahlen und Gleitkommaarithmetik..................................4

Methodisch-didaktische Vorüberlegungen.............................................6

Verlaufsplanung.....................................................................................9

Nachbereitung:..................................................................................11

Anhang.................................................................................................11

Quellen.................................................................................................13

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Klassensituation

Die 9c besteht aus fünf Mädchen und acht Jungen. Das allgemeine Leistungsniveau der Klasse ist durchschnittlich. Die SchülerInnen sind allerdings häufig sehr unruhig und reden viel miteinander während des Unterrichts. Besonders die Schülerinnen G. und K. stören den Unterricht regelmäßig durch ihre Gespräche und können sich nicht dauerhaft auf den Unterricht konzentrieren. Der Schüler J. fällt vor allen Dingen dadurch auf, dass er seine Tischnachbarn häufig zu kleineren Streichen, wie z. B. Papierflugzeuge durch das Klassenzimmer zu werfen, animiert. Auf Nachfrage kann er jedoch stets Antworten liefern, die zum Erarbeiten des Unterrichtsstoffes beitragen.Die SchülerInnen sind im Rahmen des ITG-Unterrichts den Umgang mit Excel und Power Point gewohnt und haben vor allen Dingen Excel schon häufiger im Mathematikunterricht eingesetzt. Aufgrund der Probleme mit der Disziplin in dieser Klasse ist der Aufenthalt im PC-Pool allerdings sehr störanfällig. Vor allem der Schüler V. surft in diesen Stunden lieber im Internet, als sich mit dem Stundeninhalt zu beschäftigen.

Sachanalyse

Das Tabellenkalkulationsprogramm Excel

Als Tabellenkalkulationsprogramm arbeitet Excel mit Tabellen. Jede Zelle wird dabei durch ihre Zeilennummer und den Buchstaben ihrer Spalte bezeichnet. Die erste Zelle in der linken oberen Ecke einer jeden Excel-Tabelle trägt daher die Bezeichnung A1. Die Inhalte der Zellen variieren von ganzen Zahlen, über gebrochene Zahlen und Texten bis hin zu ganzen Formeln. Eine Formel wird in Excel stets durch ein „=“ eingeleitet. Dabei beherrschat Excel alle Grundrechenarten. Innerhalb einer Formel können wiederum andere Zellen bzw. deren Inhalt benutzt werden. Dabei unterscheidet man zwischen absoluten und relativen Bezügen auf Zellen. Ein absoluter Bezug wir dadurch gekennzeichnet, dass man jeweils vor den Spalten- und Zeilenbezeichner das „$“-Zeichen setzt. Statt „A1“ schreibt man also „$A$1“. Dies

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hat zur Folge, dass in der entsprechenden Formel der Wert welcher in der Zelle „A1“ steht für die Rechnung benutzt wird.Schreibt man hingegen in der Formel einfach „A1“, so liegt ein relativer Bezug vor. Diese sind vor allem dann wichtig, wenn man die gleiche Formel auf mehrere Zellen anwenden will. Als Beispiel betrachte man den Ausschnitt einer Excel-Tabelle in Abbildung 1. In den Spalten B bzw. C ist jeweils die Anzahl der Mädchen bzw. Jungen der einzelnen Klassen aufgeführt. In Spalte D soll nun für jede Klasse die Gesamtzahl der SchülerInnen durch Excel berechnet werden. Man könnte nun für jede Klasse diese Anzahl in jeder Zeile extra berechnen. Man müsste dann z. B. in Zelle „D2“ die Formel „= $A$2+$B$2“ eingeben und dies analog für die übrigen Zeilen. Einfacher ist es jedoch mit relativen Bezügen zu arbeiten und in „D2“ zu schreiben „= A2 + B2“. Die markierte Zelle „D2“ lässt sich mit der Maus an der rechten unteren Ecke anfassen und bis zur Zelle „D7“ ziehen. Excel füllt dann die betreffenden Zellen automatisch aus, da in „D2“ relative Bezüge benutzt wurden.Beim absoluten Bezug hingegen wird der Inhalt der Zelle auch beim Kopieren nicht verändert.

Abb. 1: Relative Bezüge in Excel

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Gleitkommazahlen und Gleitkommaarithmetik

Gleitkommazahlen (engl.: floating point number) oder auch Fließkommazahlen werden zur rechnerinternen Darstellung endlicher Dezimalbrüche verwendet. Im Gegensatz zu den so genannten Festkommazahlen, bei denen das Komma stets an einer festen Stelle innerhalb der Ziffernfolge steht, ist seine Position, wie der Name suggeriert, bei einer Gleitkommazahl verschiebbar. Ganz allgemein lässt sich eine Gleitkommazahl z in der Form z = −1 s·m·bedarstellen. Dabei dient s∈1,2 der Festlegung des Vorzeichens von z, m die Mantisse der Zahl mit 1≤m b und b die Basis bezeichnet. Da Computer im Binärcode rechnen, gilt hier meist b = 2. Die Zahl e heißt der Exponent der Zahl z. Mit der Speicherung der Zahlen s, m und e wird die Zahl z vollständig beschrieben, allerdings ist diese Darstellung nicht eindeutig, wie das folgende kleine dezimale Beispiel zeigt: 123·10012,3·1011,23·1020,123·103...Um dieses Problem zu beheben muss die obige Darstellung für z normalisiert werden. Setzt man voraus, dass die erste von 0 verschiedene Ziffer direkt links des Kommas steht, so erreicht man in obigen Beispiel die eindeutige Darstellung 1,23·102 . Im Dualsystem ist diese Zahl stets eine 1, so dass man die Vorkommastelle der Mantisse nicht extra speichern muss. Das dadurch beim Speichern „gesparte“ Bit wird auch als Hidden Bit bezeichnet. Damit kann jedoch die Zahl 0 nicht mehr in der Mantisse gespeichert werden, da wegen des Hidden Bits 1,0 = 1 gilt. Für die 0 wird daher ein spezielles Bitmuster, indem alle Bits des Exponenten gleich Null sind reserviert. Ähnlich verfährt man auch mit der Darstellung von ∞. In dem zugehörigen Bitmuster des Exponenten sind alle Bits auf 1 gesetzte. Die gebräuchlichste Norm für Gleitkommazahlen stellt der Standard IEEE 754 dar. Es existieren Darstellungen mit einfacher (32 Bit) und doppelter (64 Bit) Genauigkeit.

Einfache Genauigkeit: z−1 s·1,m·2e−127

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Doppelte Genauigkeit: z−1 s·1,m·2e−1023 .

Vorzeichen Exponent Mantisse

Der Exponenten e nimmt bei einfacher Genauigkeit Werte zwischen -126 und 127 bzw. zwischen -1022 und 1023 bei doppelter Genauigkeit an, ist damit also eine vorzeichenbehaftete Zahl. Da es technisch einfacher zu realisieren ist als die Darstellung im Zweierkomplement, wird eine nichtnegative Zahl E gespeichert. Den Wert des Exponenten erhält man dann, wie obiger Grafik zu entnehmen ist, durch Subtraktion des Bias-Wertes 127 bei einfacher bzw. 1023 bei doppelter Genauigkeit. Die Anzahl der Bits im Exponenten bestimmt die Anzahl der darstellbaren Dezimalstellen. So sind wegen 2−231,92·10−7 6 Dezimalstellen bei einfacher bzw. wegen 2−522,220·10−16 15 Dezimalstellen bei doppleter Genauigkeit darstellbar.

Die Arithmetik der Gleitkommazahlen weist einige Besonderheiten auf, wie z. B. das Nichtbeachten mathematischer Gesetze, wie etwa des Distributivgesetzes. Darüber hinaus tauchen immer wieder spezifische Fehler auf, die aus der Begrenztheit der Mantissenstellen resultieren. Die Repräsentation reeller Zahlen und unter diesen insbesondere die Darstellung irrationaler Zahlen oder periodischer Brüche, d. h. Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen ist nicht exakt möglich. Gleichgültig wie viele Bits man für die Mantisse reserviert, es bleiben doch immer nur endlich viele.Eine der wichtigsten Fehler im Zusammenhang mit der Gleitkommaarithmetik ist Phänomen der Auslöschung. Es tritt dann auf, wenn zwei fast gleichgroße Zahlen voneinander subtrahiert werden. Das Ergebnis ist dann meist zu klein um noch dargestellt werden zu können, so dass zum Unterlauf kommt und der Rechner als Ergebnis Null zurück gibt. Wie oben erwähnt können bei doppelter Genauigkeit nur 15 Dezimalstellen dargestellt werden, was zu Rundungs- bzw. Rechenfehlern führt. So suggeriert z. B. Excel1, dass der Wert in Zelle B12 bzw. C12 der gesuchte Wert für 2ist, da s1 - s2 = 0 gilt. Dies würde bedeuten, da es sich um einen endlichen Dezimalbruch handelt, dass 2 eine rationale Zahl ist, was natürlich nicht der Fall ist.

1Die Ausführungen beziehen sich auf die Abbildung 2 der Excel-Tabelle im Anhang.

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Methodisch-didaktische Vorüberlegungen

Die Schüler/innen benutzen wie eingangs erwähnt (siehe Klassenbeschreibung) regelmäßig Excell im Mathematikunterricht. Darüber hinaus werden sie vor allen Dingen in der Oberstufe immer häufiger auf Computeralgebrasysteme (CAS) als Rechenhiilfsmittel auf Computeralgebrasysteme (CAS) zurückgreifen. Damit wird der Computer auch ohne, dass die Schüler/innen einen Informatikkurs Besuchen zu einem ständigen Begleiter in ihrem Unterrichtsalltag. Aus diesem ist es wichtig für die Schüler/innen zu erkennen, dass Computer bzw. Berechnungen mit dem Computer Grenzen aufweisen, zu lernen wo diese Grenzen liegen und vor allen Dingen ein Bewusstsein dafür zu entwickeln, dass man den Ergebnissen einer Computerrechnung niemals unkritisch gegenüberstehen sollte. Gerade die Tatsache, dass Computer keine reellen Zahlen darstellen können bzw. nur mit begrenzter Genauigkeit und dass hieraus Rundungsfehler entstehen können, bietet dafür ein gutes Beispiel. Die Existenz irrationaler Zahlen wird meist exemplarisch durch die die Irrationalität der Wurzel aus zwei bewiesen.2 Das Heron-Verfahren, welches der Quadratwurzelbestimmung dient, ist ein Algorithmus, der sich relativ einfach in Excel zu implementieren ist. Er ist besonders deshalb geeignet, weil er aufgrund der Probleme, die Excel (und andere Tabellenkalkulationsprogramme) mit der Gleitkommaarithmetik hat, zu falschen Ergebnissen führt bzw. in einer Art „Endlosschleife“ hängen bleibt, da sich 2 nicht beliebig genau approximieren lässt.

Im Rahmenplan für Mathematik der Sekundarstufe I wird erwähnt, dass die Schülerinnen und Schüler alle relevanten Hilfsmittel wie Computer nutzen. Ausdrücklich wird darauf hingewiesen, dass die Schüler/innen dabei „erfahren, wann der Einsatz sinnvoll ist und wo die Grenzen des Medieneinsatzes liegen.“ 3 Solche Grenzen des Computereinsatzes werden besonders bei der vorliegenden Implementierung des Heron-Verfahrens deutlich, da sie Schüler/innen hier erkennen können, dass der Computer offensichtlich falsche Ergebnisse liefert und daher nicht „allwissend“ ist, wie es Schüler/innen oft glauben. Sie werden dadurch dazu animiert kritisch mit diesem Werkzeug umzugehen.

Die Schüler/innen haben in den Stunden zuvor die irrationalen Zahlen kennen gelernt. Sie wissen, dass eine irrationale Zahl durch eine nichtperiodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Nachkommastellen darstellen lässt und dass diese Zahl durch das

2Vgl. Rahmenplan Mathematik, S. 44.3 Ebd., S. 13.

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Intervallschachtelungsverfahren beliebig genau eingegrenzt werden kann. In dieser Stunde lernen die Schüler/innen ein weiteres Verfahren zur Quadratwurzelbestimmung kennen, das Heron-Verfahren. Es soll mit Hilfe von Excel implementiert werden, um relativ schnell Zahlen mit 10 und mehr Nachkommastellen betrachten zu können. In der Nachfolgenden Stunde sollen die spezifischen Probleme der Gleitkommaarithmetik besprochen werden. Vor allen Dingen das Phänomen der Auslöschung soll behandelt werden. Der Exkurs in die Gleitkommaarithmetik muss dabei nicht unbedingt im Dualsystem erfolgen, sondern kann prinzipiell auch im Dezimalsystem besprochen werden. Es sollte vermieden werden Schüler/innen, die keinen Informatikkurs besuchen mit dem Dualsystem zu überfordern. Wesentlich ist bei der Behandlung lediglich die Sensibilisierung der Schüler für die Grenzen der Rechengenauigkeit des Computers.

Da die Schüler/innen, wie oben erwähnt, sehr unruhig und unkonzentriert sind, ist von relativ offenen Sozialformen, wie etwa der Gruppenarbeit abzusehen. Die Selbsterarbeitung des Heron-Verfahrens mit Hilfe der PowerPoint Präsentation wurde zum einen ausgewählt, um die Schüler/innen nach der ersten Unruhe nach der Pause wieder zu beruhigen, denn sie müssen sich auf den Inhalt konzentrieren, um ihn zu verstehen.

Andererseits sollen die Schüler/innen auch lernen sich Lerninhalte in begrenztem Umfang selbst anzueignen und dabei lernen auch Fragen zu stellen, wenn sie etwas nicht verstanden haben. Außerdem hat die Lehrkraft während dieser Phase des Unterrichts die Möglichkeit zu kontrollieren, dass keiner der Schüler/innen im Internet surft. Sollten die Schüler/innen mit der Präsentation nicht zurechtkommen, d. h. Verständnisprobleme haben, sollen sie sich zunächst mit ihrem Tischnachbarn besprechen und falls dies zu größerer Unruhe führt, abgebrochen werden. In diesem Fall muss die Herleitung des Heron-Verfahrens durch die Lehrkraft übernommen werden.Der Rest der Stunde läuft sehr lehrergesteuert ab, um die Schüler durch fragenentwickelten Unterricht davon abzuhalten zuviel miteinander zu über unterrichtsfremde Themen zu sprechen.

Lernziele

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Grobziel: Die Schüler sollen lernen den Computer als Hilfsmittel, dessen Ergebnisse kritisch hinterfragt werden müssen, zu erkennen.

Feinziele:

1. Die Schüler beschreiben den Aufbau des Heronverfahrens mit eigenen Worten.

2. Die Schüler stellen den Heron-Algorithmus in Excel für beliebige Quadratwurzeln dar.

3. Die Schüler wissen, dass Computer relle Zahlen nur näherungsweise darstellen können.

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Verlaufsplanung

Zeit Stundenphase Geplantes Lehrerverhalten Erwartetes Schülerverhalten Medien Bemerkungen

5Min. Einstieg L. bittet einen S. das Prinzip des in der vorherigen Stunde behandelten Intervallschachtelungsverfahrens zur Berechnung von 2 zu erläuterm.

L. erklärt, wie lange es bei diesem Verfahren dauert, eine große Anzahl von Nachkommastellen auszurechnen und schlägt den Heron-Algortihmus als Alternative vor. Fordert S. auf, die PowerPoint Präsentation auf ihren Rechnern zu starten und zu versuchen, Verfahren zu verstehen.

S. erläutert, dass man stets untersucht, zwischen welchen Zahlen 2 liegt und die Intervalle so schrittweise verfeinert.

Tafel

15 Min. Erarbeitung

L. fragt nach der Grundidee des Algorithmus.

L. fragt nach den Seitenlängen dieses Rechtecks und notiert die Antwort an der Tafel.

S. erarbeiten sich in Partnerarbeit anschließend am Bsp. für 7 an den Rechnern das Heron-Verfahren

„Wir suchen ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 7 cm², statt eines Quadrats und formen dies nach und nach in ein Quadrat um.“

„7 und 1.“

PC/Tafel Dazu steht ihnen eine PowerPoint Präsentation4 zur Verfügung.

4Nach „Babylonisches Wurzelziehen (sog. Heronverfahren)“: Internet: http://semik.bildung-rp.de/Mathematik/Klasse9/Heron/Babyloni.ppt.

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L. fragt nun danach, wie man die Seitenlängen des „neuen“ Rechtecks erhält.

L.schlägt vor, den Algorithmus in einer Tabelle aufzuschreiben

„Wir nehmen für die eine Seite des Mittelwert der beiden alten Seitenlängen und erhalten die andere, indem wir 7 durch die erste Seitenlänge teilen."

S. schreiben die Tabelle in ihre Hefte ab.

Es ist an dieser Stelle wichtig, dass die Schüler erkennen, dass ein und dieselbe Rechnung immer wieder wiederholt wird, um so den Einsatz des Rechners zu rechtfertigen.

20 Min. Vertiefung L. erklärt, dass man solche „Tabellenberechnungen“ sehr gut auch von Excel durchführen lassen kann. Fordert S. auf das Verfahren in Excel zu implementieren.

L. erklärt, dass es, um andere Quadratwurzeln zu berechnen sinnvoll ist, die Startwerte in separaten Feldern zu speichern und mit absoluten Bezügen zu arbeiten.

S. stellen den Heron-Algorithmus in Excel dar.

S. probieren anschließend mit der veränderten Excel-Datei das Heron-Verfahren für verschiedene Quadratwurzeln aus.

PC

Der Begriff „absoluter Bezug“ taucht nur in dieser Planung auf und soll, um den Schüler nicht zu verwirren nicht im Unterricht genannt werden, jedoch sollte die Wirkung im Algorithmus erkennbar sein.

5 Min. Sicherung L. bittet einen S. das Heronverfahren mit eigenen Worten zu beschreiben.

L. teilt die Hausaufgabe aus (siehe Anhang).

S. führt aus, dass die Seitenlängen eines zum Quadrat flächengleichen Rechtecks bestimmt und dies durch Mittelwertbildung in ein Quadrat verwandelt.

Arbeitsblatt mit Hausaufgabe

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Nachbereitung:

Die Stunde verlief kaum nach Plan und die Stundenziele konnten nicht alle erreicht werden. Ursache dafür war sicherlich zum Einen die Unruhe in der Klasse und die daraus resultierende Verzögerung des Unterrichtsablaufs, zum Anderen erscheint die Stunde von der Planung her auch zu überladen. Die SchülerInnen sollen sich zunächst das Heron-Verfahren selbst erarbeiten und es dann sofort in Excel implementieren. Dieser wäre vielleicht mit einer sehr leistungsstarken und konzentriert arbeitenden Klasse möglich gewesen, was jedoch bei dieser Klasse (siehe Klassenbeschreibung) nicht zu erwarten war.Auch die Verlagerung von Stundenzielen in die Hausaufgaben ist zu kritisieren, diese sollten der Wiederholung oder wenigstens der Festigung dienen, aber nicht unbedingt dem Erwerb völlig neuen Inhalts. Das Heron-Verfahren hätte besser in den Mathestunden zuvor behandelt werden sollen, so dass dann in der hier geplanten Stunde seine Implementierung in Excel hätte stattfinden können und man gegen Ende der Stunde Zeit genug gehabt hätte, die Fehler in der Rechnung zu thematisieren.

Anhang

Tafelbild:

Heronverfahren zur Bestimmung von 7

Idee: Finden Rechteck mit Flächeninhalt Aa·b7cm2 .

1. Schritt: a17cm , b11cm

2. Schritt: a27 1

2cm4cm , b2

74cm1,75cm

3. Schritt: a35,75

2cm2,875 cm , b3

72,875

cm2,435cm

usw.

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Hausaufgabe: Die Abbildung zeigt eine Excel – Tabelle zur Berechnung von 2nach dem Heron – Verfahren. In der äußersten Spalte rechts, ist jeweils die absolute Differenz zwischen dem Näherungswert s1 und dem exakten Wert von 2 angegeben.

● Beschreibe kurz, wie sich die absolute Differenz ändert, je mehr Schritte man im Heron – Verfahren anwendet (nehmen die Werte ab/zu?). Was kannst du mithilfe dieser Werte über die einzelnen Werte von s1 aussagen?

● Was fällt dir auf, wenn du die letzten neun Zeilen der Tabelle betrachtest?

● Recherchiere im Internet, was man unter dem Begriff der „Auslöschung“ versteht.

Abb. 2: Excel-Tabelle zum Heron-Verfahren für 2 .

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Quellen

Babylonisches Wurzelziehen (sog. Heronverfahren): Internet:http://semik.bildung-rp.de/Mathematik/Klasse9/Heron/Babyloni.ppt [12.07.06].

Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Berlin (Hrsg.): Rahmenplan für Unterricht und Erziehung in der Berliner Schule. Mathematik. Sekundarstufe I. Internet: http://www.senbjs.berlin.de/schule/rahmenplaene/pdf/sek1_mathematik.pdf [09.07.06].

Wikipedia: Gleitkommazahl. Internet: http://de.wikipedia.org/wiki/Gleitkommazahl#Darstellung [12.07.06].

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