Institut für Atmosphäre und Umwelt der J. W. Goethe-Universität Frankfurt/M

Institut für Atmosphäre und Umwelt der J. W. Goethe-Universität Frankfurt/M.

Arbeitsgruppe Klimaforschung

Jürgen Grieser*, Tim Staeger**, Christian-D. Shönwiese**

Zur Schätzung der Wiederkehrzeiten von Starkniederschlägen

* SDRN, Welternährungsorganisation (FAO) der Vereinten Nationen, Rom

** Institut für Atmosphäre und Umwelt der Universität Frankfurt am am Main

Datengrundlage: Tagesniederschläge an 1769 deutschen Stationen 1951 -2000

Maximale Tagesniederschläge pro Jahr 1951 - 2000 an der Station Ingolstadt.

Jahr

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

täg

lic

he

r M

ax

ima

l-N

ied

ers

ch

lag

[m

m]

0

20

40

60

80

0

20

40

60

80

Gumbels Methode:

Gegeben: Eine große Anzahl von Realisationen einer iid Zufallsvariablen.

Bildung von Teilkollektiven – Hier: einzelne Jahre – und deren Maxima.

Konvergiert die Verteilung der zugrundeliegenden Variable für sehr großeWerte gegen die Exponentialverteilung, so ist die Gumbel-Verteilung einegute Approximation für die Wahrscheinlichkeitsfunktion des Überschreitenseiner Schwelle S der Maxima der Teilkollektive:

b

aSSG expexp)(

Schätzung der relativen kumulativen Häufigkeit G(S) aus der Stichprobe:

1)(ˆ

M

kSG S

:Sk Anzahl der Teilkollektive mit einem maximalen Wert kleiner gleich S

:M Anzahl der Teilkollektive

Schwelle [mm]0 10 20 30 40 50 60 70 80

rela

tive

ku

mm

ula

tive

Hä

ufi

gk

eit

, G

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Beispiel Ingolstadt

b

aSSG expexp)(

zweimal logarithmieren:

Sbb

aG

1lnln

BSAZ bzw.

mit: GZ lnln undb

aA

bB

1

Schwelle [mm]0 10 20 30 40 50 60 70 80

Z=

ln(-

ln(G

))

-4

-3

-2

-1

0

1

-4

-3

-2

-1

0

1

Beispiel Ingolstadt

Schwelle [mm]0 10 20 30 40 50 60 70 80

Z=

ln(-

ln(G

))

-4

-3

-2

-1

0

1

-4

-3

-2

-1

0

1

r²=0.984

Beispiel Ingolstadt

Schwelle [mm]0 10 20 30 40 50 60 70 80

rela

tive

ku

mm

ula

tive

Hä

ufi

gke

it,

G

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Schwelle [mm]0 10 20 30 40 50 60 70 80

Z=

ln(-

ln(G

))

-4

-3

-2

-1

0

1

-4

-3

-2

-1

0

1

r²=0.984

Beispiel Ingolstadt

Erklärte Varianzen der Regression für 1769 Stationenam Beispiel der zweitägigen Niederschlags-Summen

erklärte Varianz r²

0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00

0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00

Häu

fig

keit

0,1

1

10

100

1000

0,1

1

10

100

1000

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gumbel-Verteilung

Parameter a der Gumbel-Verteilung für maximale Tagesniederschläge

25 m m

30 m m

35 m m

40 m m

45 m m

50 m m

55 m m

60 m m

65 m m

Parameter b der Gumbel-Verteilung für maximale Tagesniederschläge

6 m m

10 m m

14 m m

18 m m

22 m m

Wiederkehrzeit:

baSsGS

expexp1

1

)(1

1

Wiederkehrzeit-abhängige Schwellenwerte:

1lnlnbaS

Schwellenabhängige Wiederkehrzeiten am Beispiel Berlin-Lichterfelde(maximale tägliche Niederschlags-Summen)

Wiederkehrzeit in Jahren20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200S

ch

wel

le i

n m

m

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

Schwellen eines Jahrhundert-Ereignisses für max. Niederschlags-Summeninnerhalb eines Tages

60 m m

80 m m

100 m m

120 m m

140 m m

160 m m

180 m m

200 m m

Schwellen eines Jahrhundert-Ereignisses für max. Niederschlags-Summeninnerhalb von zwei Tagen

60 m m

80 m m

100 m m

120 m m

140 m m

160 m m

180 m m

200 m m

Schwellen eines Jahrhundert-Ereignisses für max. Niederschlags-Summeninnerhalb von drei Tagen

60 m m

80 m m

100 m m

120 m m

140 m m

160 m m

180 m m

200 m m

Wiederkehrzeit:

baSsGS

expexp1

1

)(1

1

Wiederkehrzeit-abhängige Schwellenwerte:

1lnlnbaS

b

aA

bB

1mit:

Konfidenz-Ellipse der linearen Regressionskoeffizienten am Beispiel Frankfurt /M.

Regressionskoeffizient A

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8

Reg

ress

ion

sko

effi

zien

t B

-0,095

-0,090

-0,085

-0,080

-0,075

-0,070

-0,095

-0,090

-0,085

-0,080

-0,075

-0,070



1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8

Reg

ress

ion

sko

effi

zien

t B

-0,095

-0,090

-0,085

-0,080

-0,075

-0,070

-0,095

-0,090

-0,085

-0,080

-0,075

-0,070

Si=95%



1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8

Reg

ress

ion

sko

effi

zien

t B

-0,095

-0,090

-0,085

-0,080

-0,075

-0,070

-0,095

-0,090

-0,085

-0,080

-0,075

-0,070

Si=95%



1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8

Reg

ress

ion

sko

effi

zien

t B

-0,095

-0,090

-0,085

-0,080

-0,075

-0,070

-0,095

-0,090

-0,085

-0,080

-0,075

-0,070

Si=95%



1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8

1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8

Reg

ress

ion

sko

effi

zien

t B

-0,095

-0,090

-0,085

-0,080

-0,075

-0,070

-0,095

-0,090

-0,085

-0,080

-0,075

-0,070

Si=90%Si=95%Si=99%

Schwellenabhängige Wiederkehrzeiten und ihre Fehler am Beispiel Berlin-Lichterfelde


20 40 60 80 100 120 140 160 180 200S

chw

elle

in

mm

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130



20 40 60 80 100 120 140 160 180 200S

chw

elle

in

mm

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

Si: 95%



20 40 60 80 100 120 140 160 180 200S

chw

elle

in

mm

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

Si: 95%



20 40 60 80 100 120 140 160 180 200S

chw

elle

in

mm

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

Si: 95%

Relativer prozentualer Fehler (Sig. 95%) der geschätzten Schwellen einesJahrhundert-Ereignisses für zweitägige max. Niederschlagssummen

0 %

5 %

10 %

15 %

20 %

Relativer prozentualer Fehler (Sig. 95%) der geschätzten Schwellen einesJahrtausend-Ereignisses für zweitägige max. Niederschlagssummen

0 %

5 %

10 %

15 %

20 %

Relativer prozentualer Fehler (Sig. 95%) der geschätzten Wiederkehrzeiten einesJahrhundert-Ereignisses für zweitägige max. Niederschlagssummen

0 %

30 %

60 %

90 %

120 %

150 %

Relativer prozentualer Fehler (Sig. 95%) der geschätzten Wiederkehrzeiten einesJahrtausend-Ereignisses für zweitägige max. Niederschlagssummen

0 %

30 %

60 %

90 %

120 %

150 %

Maximal schätzbare Wiederkehrzeiten unter Vorgabe des relativen Fehlersin Abhängigkeit der Anpassungsgüte (Sig.: 95%)

erklärte Varianz r²

0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99

ln(l

n(t

au))

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

= 20%

= 50%

= 100%

5

10

20

50

100

20050010³

104

105

106

= 3 yr

Zusammenfassung:

Die Anpassung der Gumbel-Verteilung gelingt in den allermeisten Fällensehr gut (r² > 0,95 in 90% der untersuchten Stationen).

Es besteht eine Höhenabhängigkeit des Parameters a.

Durch Konfidenzellipsen der Parameterpaare A – B der linearen Regressionwerden Fehler in tau und s abgeschätzt.

Die relativen Fehler für S sind gering (etwa 5% - 10%) und nehmen beisteigendem S nur langsam zu.

Die relativen Fehler für tau wachsen für hohe Wiederkehrzeiten schnell an.Maximal schätzbare Wiederkehrzeiten für gegebene relative Fehlerhängen sehr stark von der Anpassungsgüte ab.

http://user.uni-frankfurt.de/~grieser/downloads/ExPrec/ExPrec.htm













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