IT-Kompaktkurs in BR-Alpha Wirtschaftsmathematik Folge 5 Differentiation von Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Prof. Dr. Dieter Baums Fachhochschule

IT-Kompaktkurs in BR-Alpha Wirtschaftsmathematik Folge 5

Differentiation von Funktionen mit

einer unabhängigen Variablen

Prof. Dr. Dieter BaumsFachhochschule Gießen-Friedberg

Fachbereich IEM

©Prof.Dr.D.Baums 2002

Folie Nr. 3

1. Differenzenquotient und Differentialquotient

2. Differentiationsregeln 3. Höhere Ableitungen 4. Untersuchung von Funktionen mit

Hilfe der Differentialrechnung

Differentiation


Folie Nr. 4

1. Differenzenquotient und Differentialquotient 1. Lineare Funktionen 2. Nichtlineare Funktionen

Differentiation


Folie Nr. 5

Steigung der Linearen Funktion

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

y

P1

P2

x2-x1

f(x2)-f(x1)

m f x f xx x

tan ( ) ( ) 2 1

2 1


Folie Nr. 6

Steigung der Nichtlinearen Funktion

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6 7

x

y

P1

P 2

P 2 P2

m f x f xx xSekante

( ) ( )2 1

2 1

mf x f x

x xTangentex x

2 1

2 1

2 1

lim ( ) ( )

f xf x f x

x xx x( )

( ) ( )lim12 1

2 12 1


Folie Nr. 7

000

00

0

20

2

0

0 2)())(()()(limlimlimlim

000

xxxxx

xxxxxxxx

xxxfxf

xxxxxxxx

2)1(1

)1)(1(11

1)1()(

212

22

12

22

12

2

1limlimlimlim2222

xx

xxxx

xfxf

xxxx

nxxff )(: 1)(: nxnxff

2)(: xxff xxxff 22)(: 1

xexff )(: xexff )(:


Folie Nr. 8

2. Differentiationsregeln 1. Konstantenregel 2. Summenregel 3. Produktregel 4. Quotientenregel 5. Kettenregel 6. Umkehrfunktion

Differentiation


Folie Nr. 9

Konstantenregel

)()(: xfxhh )()(: xfxhh

23)(: xxhh xxxhh 623)(: 1

0127127)(: xxhh 00127)(: xhh


Folie Nr. 10

)()()(: xgxfxhh

)()()(: xgxfxhh

xxxh 715)( 2

73017215)( xxxh

Summenregel


Folie Nr. 11

Produktregel )()()(: xgxfxhh

)()()()()(: xgxfxgxfxhh

xexxh 6)(

)6(6)( 6565 xxeexexxh xxx


Folie Nr. 12

Quotientenregel

)()()(:

xgxfxhh

)()()()()()(: 2 xg

xgxfxgxfxhh

2)(xexh

x

34

2 )2(2)(xxe

xxexexh

xxx


Folie Nr. 13

Kettenregel ))(()(: xfgxhfgh

)())(()))((()( xfxfgxfgxh

1002 )3()( xxxh

)32()3(100)( 992 xxxxh

42

)( xexh xexexh xz 22)( 42


Folie Nr. 14

Umkehrfunktion

)(: 11 zff )(xfz )(

1)()( 1

xfzf

zzf ln)(1

xez zee

zfz xx

11)(1)()()(nl 1

zzf )(1

2xz zxx

zfz21

21

)(1)()( 2

1


Folie Nr. 15

3. Höhere Ableitungen 1. f‘ : f‘(x) erste Ableitung 2. f“ : f“(x) zweite Ableitung 3. f(n) : f(n)(x) n-te Ableitung

Differentiation


Folie Nr. 16

Höhere Ableitungen f‘ : f‘(x) erste Ableitung

• ist wieder eine Funktion • bedeutet graphisch die Steigung

f“ : f“(x) zweite Ableitung • ist die Ableitung der Ableitungsfunktion • bedeutet graphisch die Krümmung

f(n) : f(n)(x) n-te Ableitung • ist wieder eine Funktion


Folie Nr. 17

Steigung

• Linkskümmung, konvex f‘‘(x) > 0• Rechtskrümmung, konkav f‘‘(x) < 0

Krümmung

• monoton steigend f‘(x) > 0• monoton fallend f‘(x) < 0 • streng monoton steigend f‘(x) > 0 • streng monoton fallend f‘(x) < 0


Folie Nr. 18

4. Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung

1. Extrema 2. Sattel- und Wendepunkte 3. Kurvendiskussion

Differentiation


Folie Nr. 19

Lokale Extremwerte

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4

x

y

P1

P2

x1 x2

0)(0)()()(

1

1

1

xfxf

xfxf Lokales Maximum

0)(0)()()(

2

2

2

xfxf

xfxf

Lokales Minimum


Folie Nr. 20

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

y

P0

x0

Sattel- und Wendepunkte

0)(0)(0)(

0

0

0

xfxfxf

Sattelpunkt

0)(0)(0)(

0

0

0

xfxfxf

Wendepunkt


Folie Nr. 21

1. Bestimmung des Definitionsbereichs 2. Bestimmung der Definitionslücken 3. Untersuchung der Funktion für x 4. Bestimmung der Nullstellen f(x)=0 5. Bestimmung der Extremwerte und

Sattelpunkte f‘(x)=0 6. Bestimmung der Wendepunkte f“(x)=0 7. Untersuchung der Steigung f‘(x) und

der Krümmung f“(x) 8. Skizze

Kurvendiskussion


Folie Nr. 22

f(x) = x² (3x² - 8x + 6)

-2

0

2

4

6

8

10

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

x

yKurvendiskussion

1. Definitionsbereich: unbegrenzt 2. Definitionslücken: keine 3. x f(x)

x f(x)

4. Nullstellen: x1=0

5. lokale Extrema: f‘(x)=0 x1=0 , x3=1

5. lokale Extrema: f‘(x)=0 x1=0 , x3=1

6. Wendepunkte: f“(x)=0 x2=1/3 , x3=1

7. Krümmung und Steigung: x [ ; x1[ : f(x) streng monoton fallend, konvex x ]x1 ; x2] : f(x) streng monoton steigend, konvex x [x2 ; x3[ : f(x) streng monoton steigend, konkav x ] x3 ; [ : f(x) streng monoton steigend, konvex


Folie Nr. 23

Literatur 1. H.Holland und D.Holland: Mathematik

im Betrieb, 6. Aufl. Gabler 2001 2. J.W.Bishir und D.W.Drewes:

Mathematics in the Behavioural and Social Sciences, Harcourt, Brace & World 1970


Folie Nr. 24

Prof. Dr. Dieter Baums

Praktische Informatik, MedieninformatikFachhochschule Gießen-Friedberg Fachbereich Informationstechnik -

Elektrotechnik - Mechatronik Wilhelm-Leuschner-Straße 13 D-61169 Friedberg Tel.: +49 6031 604 247 Fax.: +49 6031 604 [email protected]

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