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Jürgen Tietze
Einführung in die angewandteWirtschaftsmathematik
Jü rgen Tietze
Einführungin die angewandteWirtschaftsmathematikDas praxisnahe Lehrbuch - bewährtdurch seine bril lante Darste llung
15., überarbeitete und erweiterte Auflage
Mit 500 Abbildungen und 1300 Übungsaufgaben
STUDIUM
11VIEWEG+TEUBNER
Bibliografische Information der Deutschen NationalbibliothekDie DeutscheNationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in derDeutschen Nationalbibliograf ie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über<http.y/dnb.d-nb.de> abrufbar.
Prof. Dr. Jürgen TietzeFachbereich WirtschaftswissenschaftenFachhochschule AachenEupener Straße 7052066 Aachen
E-Mail: [email protected]
1. Auflage 19882., verbesserte Auflage 19903., verbesserte Auflage 199\4., verbesserteAuflage 19925., neubearbeitete und erweiterte Auflage 19956., verbesserte Auflage 19967., durchgesehene Auflage 19988., durchgesehene Auflage 19999., durchgesehene Auflage 200010.,verbesserteundaktualisierte Auflage200211., verbesserte Auflage 200312., vollständig überarbeitete Auflage 200513., verbesserte Auflage200614., aktualisierte Auflage 200815., überarbeitete und erweiterte Auflage 2010
Alle Rechte vorbehalten© Vieweg+Teubner Verlag IGVN FachverlageGmbH, Wiesbaden 2010
l ektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch I Nastassja Vanselow
Der Vieweg+TeubnerVerlagist ein Unternehmen von Springer Seience-BusinessMedia.www.viewegteubner.oe
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. JedeVerwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohneZustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere fürVervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherungund Verarbeitung in elektronischenSystemen,
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Handetsnarnen, Warenbezeichnungen usw. in diesemWerkberechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen imSinne der wareozetcnen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und dahervon jedermannbenutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: Künkell opka Medienentwicklung, HeidelbergDruck und buchbindensehe Verarbeitung: Ten Bnnk., MeppelGedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.Printed in the Netherlands
ISBN 978-3-8348-0976-6
v
"Mathematik = Höhere FaulMit:ständig honeArbeitauf der
Suche nach dem lrichteren Weg "
(Graffito auf einer H örsaalbank )
Vorwort zur 15. Auflage
Ein wirtschaftswissens chaftliches Studium ist heu tzutage ohne Mathematik (alsHüf~issenschaft) undenkbar, mathematischeBeschreibungs-,Erklärungs- undOptimierungs-ModellebeherrschengroßeTeile der ökonomischen Theorie und in zunehmendemMaße auch der ökonomischen Praxis.
Mathematik in diesem Zusanunenhang bedeutet einersei ts das Problem, mathematische Ideen zu verstehen, um die dazugehörigen Techniken zu beherrschen und andererseits, diese zunächst abstraktenTechniken zielgericbtet und sinnvoll für ökonomische Anwendungen nutzbar zu machen .
Das nun in 15. AuflagevorliegendeBuch - als Lehr-, Arbeits- und Übungsbuch vorrangig zumSelbsrstudium konzipiert - versucht , beide Aspekte zu berücks ich tigen durch
ausführliche Darstellung, plausible BegrOndung und EinObung mathematischer Grundelementeund ökonomisch relevan ter mathematischer Techni ken aus der Analysis (d.h. der Diff erential·und Integralrechnung) , der linearen Algebra undder linearen Optimierung sowie
ausführliche Demonstration der Anwendbarkeit ma thematischer Instrumente auf Beschreibung,Erk1ärung, Analyse und Optimierung ökonomisc her Vorgange. Situationen und Probleme.
Dieses Buch wendet sich daher sowohl an Studi erende der ersten Semester, die das notwendige mathemat ische Elementarrüstzeug von Grund eutversreten, wieder holen, einüben und ökonomisc h anwendenmöchten als auch an fortges chri ttene Studierende oder quan titativ orientiert e Wirtschaftspraktiker, diesich über die Füll e der Anwendungsmöglichkelten mathematischen Instrumen tariums auf ökonomischeSachverhalte informi eren möchten .
Jahr eJange Erfahrungen mit Teilnehmer(inne)n meiner Vorlesungen in Finanz- und Wirtschaftsmathemat ik bzw. Operations Research haben mich darin bestärkt, ein Buch fürden (zunächst) nicht so bewan derten Leser zu schreiben (und niduf ur den ma thematischen Experten) . Wenn daher auch in manchenP.i.llen die mathematischen Beweise nicht streng sind oder fehlen, so habe ich mich doch bemüht, jedenmathematischen Sachverhalt in einer das Verstehen erleichternden Weise zu begründen und plausibelherzuleit en . Die daraus resultierende relativ breite (weil auf Verstandnis abzielende) Darstellung dürfteallen den Leserinnen und Lesern entgegenkonunen, die sich im Selbstst udium die E lemente der Wirtschaftsma thema tik anei gnen wollen.
Weiterhin habe ich bewusst auf das eine oder andere Detail tradi tioneller Mathematikdarstellungen verzichtet, so auf die Theori e der Folgen und Reihen, auf die sog. Epsil ont ik oder auf die Theorie derDe terminanten, auf Stoffinhalte also, die zwar von prinzipiellem mathematischen Interes se sind, nichtaber im Vordergrund ökonomischer Anwendungen stehen und daher dem Studienanfänger (und erstrechtdem Praktiker) als unnöt iger theoretischer Ballast erscheinen können.
Die vorliegende 15. Auflage wurde sorgfältig durchgesehen, in vielen Details verbessert und mit einemwnfangreichen Lösungsanhang für ausgewählte Aufgaben versehen. Das bis zur 4. Auflage noch enthaltene Kapitel überFinanzmathematik ist in wesentli ch erweitert er Fonn als eigenständigesLehrbuch, Einführung indie Fmanzmathematik" im gleichen Verlag erschienen , siehe [66 ] im L iteraturverzeichnis.
Der Text en thäl t eine Vielzahl ergänzender Beispiele und Übungsaufgaben, die das Gefühlfürdießeherrschung und die Anwendbarkeit des mathematischen Kemstoffes stärken sollen. Für den wnfangreichen
VI Vorwort
Aufgabenteil (mitmehrau lJOOAufgabrn inilbc 300 ObungsrriJm) ist im gieichen Vc:rIagein separatesÜbungsbuch erschienen. das neben säm tlichen A ufgaben dieses Lehrbuchs auch deren L6sunp - mitz.T. ausflihrli chen LosUJ1&5WCgcn - sowie zehn Original-Klausuren mit Losungenenthalt:
Tietze.L: Übungsbuch zur anp'3Ddten Wutsehaftsmathematik- Aufgaben. TestIdausuren und Losungen - 7. AuflageVleWeg+Teubner.Wiesbaden2009.ISBN 978-3-8348~5 12-6
Zum Gebrauch des Boches : Um die Lesbarkeit des Textes zu verbessern, wurdedie äußere Fonn strukturiert:
Defi nition en, mathcmatischeSätze und I wicht ige E rgebnisse I sind jewcils eingerahmt.
Bemerkungen sind in kursiverSchrifttypegehauen.
Belspid e sind mit einem senkrechten Strichbal ken am linken Rand gekennzeichne t.
Definitionen (Ikf. ) •Sätze, Bemerkungen (Bem.), Formel n, Beispiele (Bsp.), Aufgaben (Aufg.) undAbbildungen (Abh.) sind in jedon ersts telligen Unterkapitel ohne Rocksicht auf denTyp fortlaufend durchnummeriert. So folgen etwa in Kap. 6.2nacbeinander Bsp.6.2.1S. Abb. 6.2.16, Ben, 6.2.17. Dcf. 6.2.18usw. Ein • an einet Aufgabe weist auf einen erwas erböbten Schwierigkeitsgrad hin. Zahlen in eckigenKIamman. LB. (66).beziehen sichaufdas LiteraturverzeichnisamSchlussdes Buches.
Die reproduktionsfähigeRohvorlage für denDruck hat in monatelanger unermüdlicher und sachkundigerWeise Herr cand. rer. pol.Norbert Breker gestaltet. H ilfreiche Unterstümmgerhielt ich von Hcnncand.rer. pol.Manfred Havenith (digilak Ikarlxitung duGraphikm) sowie von Harn cand. rer. pol.RolandHansen (Komktur). Ihnen allen danke ich herzlieb.
Die 3·D-Darstdlungen in Kapitel 3 wurden mit der Grnphiksoftware GRAPHDAT. einer Entwicklungdes Institu ts fürGeometrie und Prak tis<:beMathematik der RwnI Aachen erst ellt . Für seinediesbezügliehe Unterstützungdanke ich Herrn Prof. Dr. Reinhard Wodicka vielmals.
Dieses Buch hätt e nicht entst ehen können ohne Herma, die mir in vielen kritiscbenSituationcn ihre Kraftzwn Weitermachen lieh.
Z um Schluss gebührt mein Dank dem Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden und hier besonders FrauUlrike Schmickjer-H irzcb ruch für die jahrelange gute und verständnisvolle Zusammenarbeil .
Die H inweise vieler leserinnen und Lese r auf Fehler und Vcrbcsserungsmöglichkeitcn in den vorhergehenden Auflagen waren für mich und - so hoffe ich - auch für diese Neuauflage sehr wertvoll. Da ichallerdings damit rechne, das s trotz aller Sorgfalt der Fehlcrteufd (brw. die Fthlmeuf tlin) nicht untätiggeb lieben sind, danke ich schon je tzt allen l...eserinnen WK.I Lesern für entsprechende KorrekturhinweiseoderVerbe:ssen.mgsvorschl1ge,z.B. perE-Mail(tim~-aachm.tk) . Ichwerde jede lbrer Rückme!dun·genbeantworten und in allen Fallen auch um eineschnelle Antwort bemilht sein.
Aachen. imSeptember 2009 Jiu'gm TlLtU
VII
Inhaltsverzeichnis
Vorwort . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . V
Symbolverzeichnis xvAbkürzungen, Variablennamen, griechisches Alphabet . . . . . . . . XVI
1 Grundlagen und Hilfsmittel .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.l Mengen und Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I
1.1.1 Mengenbegriff 11.1.2 Spezielle Zahlenmengen . 31.1.3 Aussagen und Aussagefo rmen 41.1.4 Verknüpfungen von Aussagen und Aussageformen R
1.1.4.1 Konjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.4.2 Disjunkt ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.4.3 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1 .4.4 Zusammengesetzte Aussagen . . . . . . . . . . . lO
1.1.5 Folgeru ng (Implikat ion) und Äquivalenz . . . . . . . . . 131.1.5.1 Folgerung (Implikation) 131.1.5.2 Äquiva lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.6 Relat ionen zwischen Mengen 151.1.6.1 Gleichheit zweier Mengen 151.1.6.2 Teilmengen 15
1.1 .7 Verknüpfungen (Operationen) mit Mengen 161.1.7.1 Durchschnittsmenge 161.1.7.2 Vereinigungsmenge 171.1.7.3 Restmenge (Differenzmenge) 17
1.1.8 Paarmengen, Produktmengen 201.2 Arithmetik im Bereich der ree llen Zahlen . 21
1.2.1 Gr undregeln (Axiome) und elementare Rechenregelnin IR . . . .. . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.1.1 Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.1.2 Elementa re Rechenregeln für reelle Zahl en 241.2.1.3 Betrag einer Zahl . . . . . . . . . 291.2.1.4 Das Summenzeichen 291.2.1.5 Das Produktzeichen 311.2.1.6 Fakultät und Binomialkoeffizient 32
1.2.2 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.2.2.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten 341.2.2.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten . . . . . . . 361.2.2.3 Potenzen mit rationalen (gebrochenen)
Exponenten ;Wurzeln 37
VIII Inhalrsverzeichnis
1.2.2.4 Potenzen mit reellen Exponenten 401.2.3 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.2.3.1 Begriff des Logarithmus 421.2.3.2 Logarithmenbasen 431.2.3.3 Rechenregeln für Logarithmen 441.2.3.4 Logarithmen zu beliebiger Basis 46
1.2.4 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.2.4.1 Allgemeines über Gleichungen und
deren Lösungen 471.2.4.2 Äquivalenzumformungen 501.2.4.3 Lineare Gleichungen ax + b = cx + d 541.2.4.4 Lineare Gleichungssysteme (LGS ) 551.2.4.5 Quadrat ische Gleichungen ax' + bx + C = 0 591.2.4.6 Gleichungen höheren als zweiten Grades 621.2.4.7 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.2.4.8 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.2.4.9 Logarithmengleichungen .. 671.2.4.10 ß ruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.2.5 Ungleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.2.6 Wo steckt der Fehler ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.2.6.1 Fehler bei Termumformungen 731.2.6.2 Fehler bei der Lösung von Gleichungen . . . . . . . 741.2.6.3 Fehler bei der Lösung von Ungleichungen . . . . . 76
2 Funktionen einer unabhängigen Variahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.1 Begriff und Darstellung von Funktionen 77
2.1.1 Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.1.2 Graphische Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 822.1.3 Abschnittsweise definier te Funktionen 872.1.4 Umkehrfunktionen 892.1.5 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.1.6 Verkettete Funktionen 95
2.2 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.2.1 Beschränk te Funkt ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 962.2.2 Monotone Funktionen 972.2.3 Symmetrische Funktionen 992.2.4 NullstelIen von Funktionen 100
2.3 Elementare Typen von Funktionen 1002.3.1 Ganzrat ionale Funktionen (Polynome) 100
2.3.1.1 Grundbegriffe. Homer-Schema lül2.3.1.2 Konstante und lineare Funktionen 1022.3.1.3 Quadratische Funkt ionen . . . . . .. 1092.:U .4 NullstelIen von Polynomen und
Polynomzerlegung 1112.3.2 Gebrochen-rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Inhaltsverzeichnis IX
2.3.3 Algebraische Funktionen (Wurzelfunktionen) 1162.3.4 Exponentialfunktionen . .. .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 1182.3.5 Logarithmusfunktionen 1202.3.6 Trigonometrische Funktionen
(Kreisfunktionen,Winkelfunktionen) 1212.4 Iterat ive Gleichungslösung und Nullstellenbestimmung
(Regula falsi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272.5 Beispiele ökonomischer Funktionen 131
3 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen.. . . . . . . 1533.1 Begriff von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen . 1533.2 Darstellung einer Funktion mit mehreren unabhängigen
Variablen 1543.3 Homogenität von Funktionen mit mehreren unabhängigen
Variablen 163
4 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 1674.1 Der Grenzwertbegriff . 167
4.1.1 Grenzwerte von Funktionen für X-t XjI 1684.1.2 Grenzwerte von Funktionen für x --+ Xl (bzw. x -t - w ) 172
4.2 Grenzwerte spezieller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.3 Die Grenzwertsätze und ihre Anwendungen . . . . . . 1814.4 Der Stetigkeitsbegriff . . . IR54.5 Unstetigkeitstypen 1874.6 Stetigkeitsanalyse 1894.7 Stetigkeit ökonomischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1924.8 Asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5 Differeutialrechnung für Funktionen mit einerunabhängigeu Variableu - Grundlageu und Technik . . . . . . . 1995.1 Grundlagen der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.1.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.1.2 Durchschnittliche Funktionssteigung
(Sekantensteigung) und Differenzenquot ient 1995.1.3 Steigung und Ableitung einer Funktion
(Differentialquotient ) 2015.1.4 Differenzierbarkeit und Stetigkeit 205
5.2 Technik des Differenzierens 2065.2.1 Die Ableitung der Grundfunktionen 207
5.2.1.1 Ableit ung der konstanten Funktion f(x) = C 2075.2.1.2 Ableitung der Potenzfunktion f(x) = x" 2075.2.1.3 Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = e' .. . 2085.2.1.4 Ableitung der Logarithmusfunkt ion f(x) = In x . 209
5.2.2 Ableit ungsregeln 2115.2.2.1 Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
x InhaItsverzeichnis
5.2.2.2 Summenregel 2115.2.2.3 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125.2.2.4 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.2.2.5 Kettenregel 215
5.2.3 Ergänzungen zur Ab leit ungstechnik .. 2185.2.3.1 Ab leitung der Umkehrfunktion 2185.2.3.2 Ableitung allgemeiner Exponential- und
Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2205.2.3.3 Logar ithmische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.2.4 Höhere Ab leitungen 2235.2.5 Zusammen fassung der wichtigsten Different iationsregeln 225
5.3 G renzwert e bei unbestimmt en Ausdrücken - Regelnvon de L'Höspital . . 226
5.4 Newton-Verfahren zur näheru ngsweisen Ermitt lungvon Nullstellen einer Funktion . 233
6 Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionenmit einer unabhängigen Variablen 2376.1 Zur ökonomischen Interpretation der ersten Ab leitung . . . . . . . . 237
6.1.1 Das Differential einer Funkt ion 2376.1.2 Die Interpretation der 1. Ableitung als (ökonomische )
Grenzfunktio n 2406,1 .2.1 Grenzkosten 2426.1.2.2 Grenzerlös (G renzumsatz, G renzausgaben) . . . . 2436.1.2.3 Grenzproduk tivitä t (G renze rtrag) 2446.1.2.4 Grenzgewinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.1.2.5 Marginale Konsumquote 2476.1.2.6 Marginale Spa rquote . . . . . . . . . . . . . . . . 2476.1.2.7 Grenzrate der Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.1.2.8 Grenzfunktio n und Durchschnittsfunkt ion .... 249
6.2 Anwendu ng der Differentialrechnung auf d ie Untersuchungvon Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.2.1 Monotonie- und Krümmungsverhalten 2536.2.2 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2566.2.3 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2606.2.4 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2626.2.5 Ext remwer te bei nichtdifferenzierbaren Funktionen . . . . 268
6.3 Die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomischeProbleme 2706.3.1 Beschreibung ökonomischer Prozesse mit Hilfe
von Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2706.3.1.1 Beschreibung des Wachstumsverhalten s
ökonomischer Funktionen 2716.3.1.2 Konstruktion ökonomischer Funktionen
mit vorgegebene n Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . 274
Inhaltsverzeichnis XI
6.3.2 Analyse und Optimierung ökonomischer Funktionen . . . 2766.3.2.1 Fahrstrahlanalyse 2776.3.2.2 Diskussion ökonomischer Funktionen 2806.3.2.3 Gewinnmaximierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2826.3.2.4 Gewinnmaximierung bei doppelt-geknickter
Preis-Absatz-Funkt ion 2896.3.2.5 Optimale Lagerhaltung . . . . . . . . . . . . . 291
6.3.3 Die Elastizität ökonomischer Funktionen 3016.3.3.1 Änderungen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 3016.3.3.2 Begriff. Bedeutung und Berechnung
der Elastizität von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 3036.3.3.3 Elastizität ökonomischer Funktionen 3086.3.3.4 Graphische Ermittlung der Elastizität 314
6.3.4 Überprüfung ökonomischer Gesetzmäßigkeitenmit Hilfe der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehrerenunabhängigen Variableu 3257.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
7.1.1 Begriff und Berechnung von partiellen Ableit ungen . . . , 3257.1.2 Ökonomische Interpretation partieller Ableitungen . . . . 3307.1.3 Partielle Ableit ung höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 3317.1.4 Kennzeichnung von Monotonie und Krümmung
durch partielle Ableitungen 3337.1.5 Partielles und vollständiges (totales) Differential . . . . . . . 3357.1.6 Kettenregel. totale Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3377.1.7 Ableit ung impliziter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
7.2 Extrema bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 3447.2.1 Relative Extrema ohne Nebenbedingungen 3447.2.2 Extremwerte unter Nebenbedingungen .. 346
7.2.2.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3467.2.2.2 Variablensubstitution . 3487.2.2.3 Lagrange-Melhode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
7.3 Beispiele für die Anwendung der Differentialrechnungauf ökonomische Funktionen mit mehreren unabhängigenVariablen 3527.3.1 Partielle Elastizitäten 352
7.3.1.1 Begriff der part iellen Elastizität . . . . . . . . . . . . .. 3527.3.1.2 Die Eulersche Homogenitätsrelat ion 3537.3.1.3 Elastizität homogener Funktionen 3547.3.1.4 Faktorentlohnung und Verteilung
des Produktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3577.3.2 Ökonomische Beispiele für relative Extrema
(ohne Nebenbedingungen) . . 3627.3.2.1 Optimaler Fakto reinsatz in der Produk tion . . . . 362
XII JnhaItsverzeichnls
7.3.2.2 Gewinnmaximierungvon Meh rpro dukt unternehm ungen 366
7.3.2.3 Gewinnmaximierungbei räumlicher Preisdifferenzierung 371
7.3.2.4 Die Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . 3747.3.3 Ökonomische Beispiele für Extrema
unter Nebenbedingungen .. 3777.3.3.1 Minimalkostenkombination 3777.3.3.2 Expansionspfad, f akto rnachfrage- und
Gesamtkostenfunktion 3837.3.3.3 Nutzenmaximierung und Haushaltsoptimum 3877.3.3.4 Nutzenmaximale Güternachfrage- und
Konsumfunkt ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
8 Einführung in die Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4018.1 Das unbestimmte Integral . . . . . 401
8.1.1 Stammfunktion und unbestimmtes Integral . . . . . . . . 4018.1.2 Grundintegrale 4048.1.3 Elementare Rechenregeln für das unbestimmte
Integral 4058.2 Das bestimmte Integral 407
8.2.1 Das Flächeninhaltsproblem und der Begriffdes bestimmten Integrals 407
8.2.2 Beispiel zur elementaren Berechnung eines bestimmtenIntegrals 409
8.2.3 Elementare Eigenschaften des bestimmten Integrals . . . . 4108.3 Beziehungen zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral 412
8.3.1 Integralfunktion 4128.3.2 Der 1.Haup tsatz der Differential- und Integralrechnung 4138.3.3 Der 2. Haup tsatz der Differential- und Integralrechnung 4158.3.4 Flächeninhaltsberechnung 416
8.4 Spezielle Integrat ionstechniken 4188.4.1 Partielle Integration 4198.4.2 Integration durch Substit ution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
8.5 Ökonomische Anwendu ngen der Integralrechnung 4228.5.1 Kosten-, Er lös- und Gewinnfunktionen 4228.5.2 Die Konsumentenrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4258.5.3 Die Produzentenrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4268.5.4 Kontinuierliche Zahlungsströme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4288.5.5 Kapitalstock und Investitionen einer Volkswirtschaft 4328.5.6 Opti male Nutzungsdauer von Investitionen 433
8.6 Elementare Differentialgleichungen 4378.6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4378.6.2 Lösung von Differentialgleichungen durch Trennung
der Variablen 438
Inhaltsverzelchnis XIII
8.6.3 Ökonomische Anwendungen separablerDifferentialgleichungen 4418.6.3.1 Exponent ielles Wachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4418.6.3.2 Funktionen mit vorgegebene r Elastizität . . . . . . 4418.6.3.3 Neoklassisches Wachstumsmodell nach Solow . . 443
9 Einführung in die Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4499.1 Matrizen und Vekto ren 449
9.1.1 Grundbegriffe der Matrize nrechnung. .. . . . . . . . . . .. . . . 4499.1 .2 Spezielle Mat rizen und Vektoren 4539.1.3 Opera tionen mit Matrize n 454
9.1.3.1 Addit ion von Mat rizen 4549.1.3.2 Multiplikation einer Matrix mit einem
Skalarfaktor 4569.1.3.3 Die skalare Multiplikat ion zweier Vektoren
(Skalarprodukt) 4589.1.3.4 Multipl ikat ion von Matrizen . . . . .. 459
9.1.4 Die inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4669.1.5 Ökonomisches Anwendungsbeispiel
(Input-Output-Analyse) 4689.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) 473
9.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4739.2.2 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme -
Gaußscher Algorithmus 4759.2.3 Pivotisieren . . .. 4819.2.4 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme 4869.2.5 Berechnu ng der Inversen einer Mat rix . . .. 4919.2.6 Ökonomische Anwendungsbeispiele für lineare
Gleichungssysteme 4939.2.6.1 Teilebedarfsrechnung. Stücklistenaufl ösung . . . . 4939.2.6.2 Innerbetrieb liche Leistungsverrechnung 495
10 Lineare Optimierung (LO) 49910.1 Grundlagen und graphische Lösungsmethode 499
10.1.1 Ein Problem der Produkt ionsplanung 49910.1.2 Graphische Lösung des Produktionsplanungsproblems .. 50010.1.3 Ein Diät-Problem 50210.1.4 Graphische Lösung des Diät-Problems . . . . . . . . . . . . . . . 50310.1.5 Sonderfä lle bei graphischer Lösung 50510.1.6 Graphische Lösung von LO-Problemen -
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50810.2 Simplexverfahren 510
10.2.1 Math ematisches Modell des allgemeinen LO-P roblems . 51010.2.2 Grundidee des Simplexverfahrens 51210.2.3 Ein führung von Schlupfvariablen 512
XIV Inhaltsverzeichnis
10.2.4 Eckpu nkte und Basislösungen . 51310.2.5 Optimalitätskriter ium 51510.2.6 Engpassbedingung . 51610.2.7 Simplexverfahre n im Sta ndard-Max imum-Fall -
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51810.2.8 Beisp iel zum Simplexverfahren
(Standard-Maximum-Problem) 51910.3 Zweiphasenmethode zur Lösung beliebiger LO-Probleme 52110.4 Sonde rfälle bei LO-Problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
10.4.1 Keine zulässige Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52810.4.2 Keine endliche optimale Lösung
(unbeschränkte Lösung) . . . 52910.4.3 Degenerat ion (Entartung) 52910.4.4 Meh rdeutige opt imale Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53110.4.5 Fehlen von Nichtnegativitätsbedingungen 53310.4.6 Ablaufdiagramm des Simp lexverfahren s
im allgemeinen Fall 53410.5 Die ökonomische Interpre tation des optimalen Simplextableaus 535
10.5.1 Produktion splanungsp rob lem 53510.5.1.1 Problemformulierung, Einführung
von Einheiten 53510.5.1.2 Optimaltab leau und optimale Basislösung . . 53710.5.1.3 Deutung der Zielfunktio nskoe ffizien ten 53710.5.1.4 Deut ung der inneren Koeffizienten . . . . . . . . . . . 53810.5.1.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
10.5.2 Diät problem . . . 54110.6 Dualität 542
10.6.1 Das d uale L04Probiem . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 54210.6.2 Dualitätssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
10.7 Ökonomi sche Inte rpretation des Dualprobl ems 54810.7.1 Dual e ines Produktionsplan ungsproblems 54810.7.2 Dual e ines Diätp rob lems 550
11 Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben . . . . 553
12 Literaturverzeichnis . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
13 Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
Symbc lverzelchnis(auf den angtgtlHnm Sritm [Uldm sidl nahm Erlduldtmgrn :u dm j~d/jgm S)mbolm )
xv
e ( ll) in (kein) Ekmcnl von, I lim f(x) Grenzy.mvmf. 167ff{>. MI···} Mengenklammer. 2f .-- für. z gcgc:D. ueD4lidI
' -lI tu,., ~&C&Q~N. Z. O. R spezielle Zahleruncngcn.3 .-. rech lSSeitigcr 1'1
C I. \l leereMcn~ 2z_ -.; ~.... GreatWen
[LbJ; [a.b ] M Differenzc:nquotientInteoaue. a '"
(5ekantcJlSlclgung) • 200[a,b[; )LbJ< ; s kleiner. kleiner Oller gleich f'(x). ~~
Diffcrentlalquotlcnt 201r1. Ableitung ,
> ; • größer; großer oder gleich ,w . , wahr, falsch. 4 di Diffcrcntlalopcrator.jäl!
A(.}.,
Aussageformen. .5 ' ''( ) ~ 2. Ableitung, 223fA(x,' ....) " , d )(2
T(. ).Terme, .5 " .'( ) , "f n- te Ableitung, 2Z3fT(x,' ....) x 'dxll
DA' Dei DeIinilionsmcngc. 6,47 df Differential, 237ft1., LA' ~ Lösungsmenge. 6ff.48f
t" x-Elastjzn ät von r, 303ff,= ; = ddini l ion.~t.-e:rnaß gleich. 3- identisch gleich IABI
Länge der (gmduf'tm) Strecke
• ungrlähr gleich von A nach B. 3141ar
" ent spricht äi . r, I. partieJleAbleitung. 327ftI\ ,V ,-. und. oder. nicht. 8ff , partieller Differential·~. ~ ~olgerung, l3f äi operator, 327~ AquivaJcnz. 14fC li t Teilmenge von. 15f .',n.u Durchschni tt.Vereinigung. 16f ax1 ' ('" 2. partielle Ableitung. 331f
\ Mcngcndiffercnz, 17f df. partielles Ditfcrennal, 335fA x B x ... Produktmengc. 20f df totales Differential, 336R' n-dimensionajer Rawn, 21 f'(·)'"1. 1 abso luter Betrag, 29 unbestimmtes Integral. 403
r .n Summe. Produkt. 29ffi~(X )dxnl Fakultät, 32 bestimmtes Integral, 408
( ~) Binomialkoeffizient, 32f F(·) I: F(b) - F(. ). 415an, ex Potenz, 34ff , y'(t), *'437· ,Vi". a ii Wurzel, 37ff A.B•...11lg..X, Inx, Igx Logarithmus, 42ff Am,. Matrizen. 449ft~ unendlich, 4,43,167ff (~. )
f.f(.~f(x,y...) Funktionen. 77ff.l53ff 3,k' bl1 • •.. Matrix-Elemente, 450Oe .Wf Deflranons-, Wertebereich, 78 AT transponierte ~ta [rix. 451x _ f(x) Zuordnungsvorschrift. 77ft
i .b,... Spahenvektoren, 45Jf,-, Umkehrfunknon, 89ff
' (g(. )) verkettete Funktion. 95f.215 äT.bT, ••• Zeilenvektoren. 45U'I . fI f sleigt bzw. fällt, 97f,6· 18( 0,0 Nullmalrix. xunvestor, 453stn. ccs trigonomet ri.~he Funkrio- Einheitsmatrix,tau, rot neu, 12 lff E. "1; Einheusvektor. 453
• Vektor, 154,451f A- I inverse Matrix, 466.1." '" uneigentliche Terme, IBO.226ft rg A Rang derMatrixA. 486"- · 0+
XVI Abkürzungen
Abkürzungen
BL Basislösung ME Mengen-Einheit Abkürz ungen fürBV Basisvariable NB Ncbcnbcdingung Rerh engesetze:CD Cobb-Douglas NBV Nichtbasisvariablec.p. cctcns paribus NNB Nichtncgativitätsbc- AI -A5 Axiome für "+"DB Deckungsbeit rag dingung D Distributivgesetzd.h . das heißt p.a. pro Jahr MI -M5 Axiome für "."€ Euro s. siehe Ll - L3 Logarithmengesetzef falsch T€ tausend Euro PI - P7 PotenzgesetzeFE Faktoreinkommen u.v.a und vieles andere Rl - RB Rechenregeln in IRGE Ge ldeinheu u.v.a.m. und vieles andere mehr \VI - W5 WurzelgesetzeLE Leistungseinheit vgl. vergleicheLas Lineares Gleichungs- w wahr
system WE Währungseinhei tLO Lineare Opt imierung w.z.b.w, was zu beweisen warm.a.W. mit anderen Wor ten ZE Zeiteinheit
HäufigverwendeteVa riablennamen
a., a(l) Auszahlung d. Periode t K, Barwert {eines Kapitals]A . A (!) Annuitä t; A rbeitsinput (in t) K, Zeitwert (tines KapitalsB Bestand; (zulii ssigrr) Bereich im Zeitpunkt t)C Konsum, Konsumsununc k" stückvariable Kosten
Co Kapitalwert K. variable Kostene Eulerache Zahl L Lösungsmenge. Lagrange-Cl' c(t) Einzahlung d. Periode t Funktio n; Liquidat ionserlö sE Erlös, Umsatz, Ausgaben; A Lagrange-Multiplikator
Einhcitsmatrix p Preis; Zinsfuß, Ela stizit ät q Zinsfaktor (:: ]+i)g Stückgewinn r Input; Homogenüätsgrad:gD Stückdeckungsbeitrag (stetiger) Zinssatz; Rang einerMatrixG Gewinn R Ra te ; Zahlun gsstrom
GD Deckungsbettrag R. Renten-Endwerth Slum.lc(n) S Sparen, Sparsummei Zinssatz (::: pIl OO) t ZeitI. 1(') Investition (im Z('itpunkr t) T Laufzeitk Stückkosten U Nutzen(inda ) ; UmsatzK Kosten; Kapital x Nachfrage; Angebot;k, stückfixeKosten Output; MengeK, Fixkosten Y Einkommen;SozialproduktK" Endwen (eines Kapuals] Z Zic1funktion
Griechisches Alphabet
a, A Alpha t , ! Jota P, P Rhop, B Be," " K "'PI" G, r Sigmay, r Gamma A, A Lambda " T T,u
d, " Delta ,u, M My v, Y Ypsilone, E Epsilon v, N Ny .,'" Phi(. Z Zc," I, , Xi X, X Chi
" H E'a 0, 0 Omikron ~, 'J' Psiß, e Theta .'1", n Pi w,R Omega
