Kantonsschule FrauenfeldMathematik an der Handelsmittelschule

7. Juni 2005

1 Mengenlehre

1.1 Mengen, Aussagen und Aussageformen

1.1.1 Mengen

Der Begriff der „Menge“, welcher heute in der Mathematik sehr wichtig ist, wurde 1895 in ähnlicherWeise erstmals vom deutschen Mathematiker Georg Cantor (1845–1918) verwendet. Sie kennen wahr-scheinlich schon die Bezeichnung für die Menge der natürlichen Zahlen (N) oder der ganzen Zahlen(Z).

Definition 1 Eine Ansammlung von Elementen heisst Menge.

Mengen werden in der Regel mit grossen Buchstaben mit einem zusätzlichen Strich bezeichnet: A, B, Cund so weiter. Die Elemente einer Menge werden durch die Mengenklammern { und } eingeschlossen.Um zu zeigen, dass ein Element zu einer Menge gehört, schreiben wir das Zeichen ∈. Entsprechendschreiben wir /∈, wenn das Element nicht zur Menge gehört.

Beispiel 1 Wir betrachten M = {7, 9, 16}. Diese Menge besteht aus den drei Elementen 7, 9 und 16.Es gilt beispielsweise 9 ∈M oder 11 /∈M.

2

Die wohl bekanntesten Mengen sind die Zahlenmengen.

• N ist die Menge der natürlichen Zahlen. N = {1, 2, 3, 4, . . . }. Wenn die Zahl Null auch nochdazugenommen wird, schreibt man N0. N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }.

• Z ist die Menge der ganzen Zahlen. Hier kommen noch die den natürlichen Zahlen entsprechen-den negativen dazu. Z = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }.

• Q ist die Menge der rationalen Zahlen. Darunter versteht man die Menge aller Brüche pq , wobeip ∈ Z und q ∈ Z gelten muss.

• R ist die Menge der reellen Zahlen. R besteht aus den Zahlen aus Q und allen nichtrationalenZahlen (zum Beispiel π oder

√2).

Man kann einer Menge ein hochgestelltes Plus oder Minus beifügen. Dann meint man alle Zahlen derMenge, welche entsprechend grösser bzw. kleiner als Null sind: zum Beispiel Z+ = N. Wenn die Nullauch noch zur Menge gehören soll, so wird der Menge der Index 0 angehängt: R−0 ist beispielsweisedie Menge aller negativen reellen Zahlen inklusive der Null.

1.1.2 Aussagen und Aussageformen

Wir alle sprechen eine oder mehrere Sprachen: Deutsch, Französisch, Englisch, Griechisch usw. Mankann auch die Mathematik als eine Sprache auffassen; eine Sprache, in welcher zum Beispiel Physiker,Biologen oder Chemiker miteinander sprechen. Auch Wirtschaftswissenschafter verwenden gelegentlichdie „Sprache der Mathematik“. Darum ist es nicht verwunderlich, dass man in der Mathematik auchvon „Aussagen“ spricht.Ein Schweizer könnte die Aussage machen: „Hüt regnets!“. Dies ist entweder wahr oder falsch. EinFranzose könnte sagen: „La France est plus grande que la Suisse!“. Diese Aussage ist immer wahr.Eine typische mathematische Aussage wäre 3 · 3 < 10 (wahr) oder π = 3 (falsch).

Definition 2 Aussagen sind sinnvolle sprachliche Äusserungen beziehungsweise entsprechende Zei-chenketten, die entweder wahr oder falsch sind.

Es gibt auch Aussagen über Grössen, welche nicht klar bestimmt sind (Variable): Das Zehnfache einerZahl ist grösser als 50. Hier ist nicht klar, über welche Zahl man spricht. Wenn für sie 3 eingesetztwird, dann entsteht eine falsche Aussage, wenn man aber beispielsweise 9 einsetzt, so entsteht etwasWahres.

3

Definition 3 Eine Formulierung, welche eine Unbekannte (Variable) enthält, nennt man Aussageform.Wenn für diese Variable ein Wert eingesetzt wird, so entsteht eine Aussage. Die Menge, aus welcherdie Werte für die Variable stammen, heisst Grundmenge und wird mit G bezeichnet.

Aussageformen bezeichnet man meistens mit grossen kalligrafischen Buchstaben (A, B, C usw.).

Wenn nichts anderes angegeben ist, nehmen wir immer R als Grundmenge an.

Typische Aussageformen in der Mathematik sind Gleichungen: Beispielsweise x − 9 = 15− 2x . Wennman für die Variable x einen Wert einsetzt, entsteht eine Aussage, welche entweder wahr oder falsch ist:

...x = 6 =⇒ −3 = 3 (falsch)x = 6.1 =⇒ −2.9 = 2.8 (falsch)x = 7 =⇒ −2 = 1 (falsch)x = 8 =⇒ −1 = −1 (wahr)x = 8.75 =⇒ −0.25 = −2.5 (falsch)x = 9 =⇒ 0 = −3 (falsch)

...

Uns interessieren natürlich nur diejenigen Zahlen, welche aus der Aussageform eine wahre Aussagemachen, denn diese Zahlen „lösen die Gleichung“ (und sind somit Elemente der Lösungsmenge).

Definition 4 Alle x ∈ G, welche beim Einsetzen in eine Aussageform A eine wahre Aussage erzeugen,gehören zur Lösungsmenge LA.

Beispiel 2 Gegeben ist die Aussageform A = „x ist ein Teiler von 12“. Die Grundmenge G sei N.

In diesem Fall ist die Lösungsmenge

L = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

Dieser Form der Mengenangabe sagt man „aufzählende Form“. Eine Menge kann aber auch in „be-schreibender Form“ angegeben werden, indem man sie mithilfe ihrer Aussageform darstellt:

L = {x ∈ N | x ist ein Teiler von 12}.

(Lies: Die Menge aller x , für welche gilt: „x ist ein Teiler von 12.“)

4

1.2 Folgerungen (Implikationen) und Äquivalenzen

Wir beginnen mit einem Beispiel.

Beispiel 3 Gegeben sind die folgenden zwei Aussageformen A und B:

A = „x ist eine einstellige, ungerade Primzahl.“

B = „x ist ungerade, grösser als 2 und kleiner als 8.“

Die entsprechenden Lösungsmengen sind

LA = {3, 5, 7} und LB = {3, 5, 7}.

Sie sehen, dass diese Lösungsmengen identisch sind. In diesem Fall heissen die ursprünglichen Aussa-geformen äquivalent zueinander.

Definition 5 Aussageformen mit gleichen Lösungsmengen heissen äquivalent. Man schreibt A ⇐⇒ B.

Definition 6 Eine Menge M1 heisst Teilmenge von M2, wenn alle Elemente von M1 auch zu M2gehören. Man schreibt M1 ⊂M2.

Vorsicht: Verwechseln Sie nie die Zeichen ∈ (Element von) und ⊂ (Teilmenge von). ∈ steht zwischeneinem Element und einer Menge, wobei ⊂ immer zwischen zwei Mengen steht!

Wir haben oben den Begriff „äquivalent“ eingeführt. Wenn wir nun zwei Aussageformen gegeben haben,bei welchen die entsprechenden Lösungsmengen nicht gleich sind, dann kann es immer noch sein, dasseine die Teilmenge der anderen ist.

Definition 7 Wenn für die Lösungsmengen LA und LB der Aussageformen A bzw. B gilt, dass LA ⊂LB, dann schreibt man A =⇒ B (lies: „Aus A folgt B.“ oder „A impliziert B.“).

Hier einige Beispiele:

B „x ist Teiler von 12.“ =⇒ „x ist Teiler von 24.“

B x = 2 =⇒ x2 = 4 (Das Umgekehrte gilt nicht!)

B x > 7 =⇒ x > 3

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1.3 Mengenoperationen

Wie auch bei Zahlen, kann mit Mengen gerechnet werden. Man spricht von Mengenoperationen.

1.3.1 Schnittmenge

Definition 8 Gegeben sind zwei Mengen A und B. Die Schnittmenge A ∩ B ist die Menge allerElemente, welche zu A und zu B gehören.

Abbildung 1.1: Der schraffierte Bereich ist A ∩ B.

1.3.2 Vereinigungsmenge

Definition 9 Gegeben sind zwei Mengen A und B. Die Schnittmenge A ∪ B ist die Menge allerElemente, welche zu A oder zu B gehören.

Abbildung 1.2: Der gesamte schraffierte Bereich ist A ∪ B.

1.3.3 Ergänzungsmenge

Definition 10 Gegeben ist eine Grundmenge G =M. Die Menge A (lies: A quer) ist die Menge allerElemente aus M, welche nicht zu A gehören. A heisst Ergänzungsmenge bzw. Komplementärmengevon A bezüglich der Grundmenge M.

6

Abbildung 1.3: Der schraffierte Bereich ist A.

1.3.4 Differenzmenge

Definition 11 Die Differenzmenge A \ B (lies: A ohne B) ist die Menge aller Elemente, welche zu Aaber nicht zu B gehören. Es gilt: A \ B = A ∩ B.

Abbildung 1.4: Der schraffierte Bereich ist A \ B.

7

2 Algebraische Grundlagen

2.1 Faktorisieren

Das Ziel dieses Abschnittes ist es, zu lernen, wie man Terme in Faktoren zerlegt. Als Motivation solldas folgende Beispiel dienen.

Beispiel 4 Wir wollen die Gleichung x2 − x = 2 lösen. Das ist gar nicht so einfach, wie es aussieht!Versuchen Sie es einmal!Es gibt aber einen Trick, den wir in der Mathematik immer wieder antreffen werden: Die Gleichungwird so umgeschrieben, dass auf der einen Seite der Gleichung die Zahl 0 steht:

x2 − x − 2 = 0.

Nun zerlegt man den Term auf der linken Seite in ein Produkt aus den zwei Faktoren x +1 und x − 2.Somit ergibt sich:

(x + 1) · (x − 2) = 0.

Wie Sie wissen, ist ein Produkt genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. In unserem Beispiel istalso entweder x + 1 = 0 oder x − 2 = 0.Somit hat die Gleichung x2 − x = 2 die zwei Lösungen x = −1 und x = 2.

Es gibt hauptsächlich drei Methoden, wie Terme faktorisiert werden können:

• Ausklammern

• Faktorzerlegung mithilfe von Formeln

• Klammeransatz bei geeigneten Trinomen

Wichtig: Wenn ein Term faktorisiert werden soll, dann ist immer die Reihenfolge „Ausklammern, For-meln, Klammeransatz“ zu wählen!

8

2.1.1 Ausklammern

Enthalten alle Glieder einer Summe einen gemeinsamen Faktor, so erhält man aus dieser Summe einProdukt, indem man den gemeinsamen Faktor mit der Summe der übrigen Faktoren multipliziert. Hiereinige Beispiele:

B 3a − 3b2 = 3(a − b2)

B a2 − ab2 = a(a − b2)

B 3a2 − 3ab2 = 3a(a − b2)

Ein wichtiger Sonderfall ist das Ausklammern von −1, was allerdings zu keinem „echten“ Produktführt:

Beispiel 5 −a + b − c = (−1) · (a − b + c) = −(a − b + c).

2.1.2 Faktorzerlegung mithilfe von Formeln

In der Mathematik vereinfachen Formeln das Leben! So kennen Sie ja bestimmt die binomischen For-meln:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

(a + b)(a − b) = a2 − b2

Diese binomischen Formeln (vom Grad zwei) werden wir am häufigsten brauchen.

Wenn ein Term faktorisiert werden soll, dann klammert man zuerst immer soweit wie möglich aus undüberprüft dann, ob eine (binomische) Formel anwendbar ist.

Beispiel 6 12a4+3a2b2−12a3b = 3a2(4a2+b2−4ab) = 3a2[(2a)2 − 2 · 2a · b + b2

]= 3a2(2a−b)2

Beispiel 7 16x5 − 100x3 = 4x3(4x2 − 25

)= 4x3 (2x + 5) (2x − 5)

9

2.1.3 Klammeransatz bei geeigneten Trinomen

Betrachten Sie noch einmal das Beispiel 4 auf Seite 8. Dort haben wir den Term x2 − x − 2 in(x + 1) · (x − 2) umgeformt. Aber wie funktioniert das? Dazu berechnen wir einmal das Folgende:

(x + p) · (x + q) = x2 + px + qx + p · q = x2 + (p + q) · x + p · q.

Man bemerkt: Es entsteht ein Term, welcher mit x2 beginnt, dann folgt eine Zahl mal x und zuleztsteht eine Zahl. Weiter sieht man, dass die Zahl vor dem x die Summe und die Zahl am Schluss dasProdukt von p und q ist:

(x + p) · (x + q) = x2 + (p + q)︸ ︷︷ ︸Summe

·x + p · q︸︷︷︸Produkt

.

Wenn man also ein Trinom1 von der Form x2 + ax + b faktorisieren will, dann muss man zwei Zahlenp und q finden, für welche gilt, dass

a = p + q und b = p · q.

Beispiel 8 Wenn man das Trinom x2 − x − 2 faktorisieren will, sind zwei Zahlen zu finden, derenSumme −1 und deren Produkt −2 beträgt. Das wird von 1 und −2 erfüllt, denn 1 + (−2) = −1 und1 · (−2) = −2. Es gilt also, dass x2 − x − 2 = (x + 1) · (x − 2) ist.

Beispiel 9 Der Term 5x2 − 45x − 180 soll in Faktoren zerlegt werden. Als erstes kann man 5 aus-klammern:

5x2 − 45x − 180 = 5(x2 − 9x − 36

).

Jetzt sind noch zwei Zahlen zu finden, die addiert −9 und multipliziert −36 ergeben. 3 und −12 habendiese Eigenschaft. Somit kann der Term wie folgt umgeformt werden:

5(x2 − 9x − 36

)= 5 (x + 3) (x − 12) .

1Ein dreigliedriger Term heisst Trinom, entsprechend heisst ein zweigliedriger Term Binom und ein mehrgliedrigerPolynom.

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2.2 Bruchterme

Bruchterme sind mathematische Objekte mit einem Zähler und einem Nenner. Eigentlich handelt essich um nichts anderes als eine umgeschriebene Division. Zum Beispiel

(x3 − 3x2 + 2x − 1

):(x4 + x + 1

)=

Zähler︷ ︸︸ ︷x3 − 3x2 + 2x − 1x4 + x + 1︸ ︷︷ ︸

Nenner

.

Etwas Wichtiges ist noch zu bemerken: Der Nenner eines Bruches darf nie Null sein, denn sonst würdeman durch Null dividieren, was keinen Sinn ergibt!

2.2.1 Kürzen von Bruchtermen

Das Kürzen von Bruchtermen funktioniert genau gleich wie das Kürzen bei Brüchen mit Zahlen: Vordem Kürzen müssen Zähler und Nenner als Produkte vorliegen. Beim Kürzen wird der gemeinsameFaktor bzw. die gemeinsamen Faktoren weggelassen (rausgekürzt). Betrachten Sie dazu folgendeBeipsiele.

B2a

ab2=2

b2

Ba2 − ab2a − 2b =

a(a − b)2(a − b) =

a

2

Bx2 − 1x2 + x

=(x + 1)(x − 1)x(x + 1)

=x − 1x

2.2.2 Gleichnamigmachen von Bruchtermen (Erweitern)

Um Brüche gleichnamig zu machen, bestimmt man ein gemeinsames Vielfaches aller gegebenen Nen-ner. Um möglichst kleine Zahlen zu erhalten, ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) am ge-eignetsten. Das kgV aller Nenner heisst Hauptnenner. Wir können das kgV ermitteln, indem wir dieNenner in Primfaktoren zerlegen.

11

B Machen Sie die folgenden drei Brüche gleichnamig:

3

8,5

12und

7

18.

8 = 2 · 2 · 212 = 2 · 2 · 318 = 2 · 3 · 3

Hauptnenner: 2 · 2 · 2 · 3 · 3

3

8=

3

2 · 2 · 2 =3 · 3 · 3

2 · 2 · 2 · 3 · 3 =27

72

5

12=

5

2 · 2 · 3 =5 · 2 · 3

2 · 2 · 2 · 3 · 3 =30

72

7

18=

7

2 · 3 · 3 =7 · 2 · 2

2 · 2 · 2 · 3 · 3 =28

72

B Machen Sie die folgenden drei Brüche gleichnamig:

ab

ab − b2 ,b

a2 − b2 und3

a2b.

ab − b2 = b(a − b)a2 − b2 = (a + b)(a − b)a2b = a2b

Hauptnenner: a2b(a + b)(a − b)

ab

ab − b2 =ab

b(a − b) ·a2(a + b)

a2(a + b)=

a3b(a + b)

a2b(a + b)(a − b)

b

a2 − b2 =b

(a + b)(a − b) ·a2b

a2b=

a2b2

a2b(a + b)(a − b)

3

a2b=

3

a2b)·(a + b)(a − b)(a + b)(a − b) =

3(a + b)(a − b)a2b(a + b)(a − b)

2.2.3 Addition und Subtraktion von Bruchtermen

Ungleichnamige Bruchterme werden vor dem addieren oder Subtrahieren gleichnamig gemacht. Gleich-namige Brüche werden addiert beziehungsweise subtrahiert, indem man ihre Zähler addiert respektivesubtrahiert und den gemeinsamen Nenner beibehält. Am Schluss ist noch zu prüfen, ob gekürzt werden

12

kann.

Beispiel 10 Vereinfachen Sie den Term

2.5x − 0.52x2 − 2x −

x + 1

2x − 2 −1

4x.

2.5x − 0.52x2 − 2x −

x + 1

2x − 2 −1

4x=2.5x − 0.52x(x − 1) −

x + 1

2(x − 1) −1

2 · 2x

=2(2.5x − 0.5)2 · 2x(x − 1) −

2x(x + 1)

2 · 2x(x − 1) −x − 1

2 · 2x(x − 1) =2(2.5x − 0.5)− 2x(x + 1)− (x − 1)

2 · 2x(x − 1)

=5x − 1− 2x2 − 2x − x + 1

4x(x − 1) =−2x2 + 2x4x(x − 1) =

−2x(x − 1)4x(x − 1) = −

1

2

Beachten Sie: Wenn vor einem Bruch ein Minus steht, dann wird beim Subtrahieren das Minus vor denTerm im Zähler gesetzt, wobei dieser in Klammern eingeschlossen werden muss! So gilt zum Beispieldas Folgende:

7

x − 1 −x − 2x − 1 =

7− (x − 2)x − 1 =

7− x + 2x − 1 =

9− xx − 1 .

2.2.4 Multiplikation von Bruchtermen

Bruchterme werden multipliziert, indem man das Produkt der Zähler durch das Produkt der Nennerdividiert:

a

b·c

d=ac

bd.

Danach ist immer noch zu prüfen, ob der entstandene Bruch vereinfacht werden kann.

Beispiel 11

3a + 3b

2a − 2b ·2a

a + b=

(3a + 3b) · 2a(2a − 2b) · (a + b) =

3(a + b) · 2a2(a − b)(a + b) =

3a

a − b

2.2.5 Division von Bruchtermen

Definition 12 (Kehrbruch) Vertauscht man in einem Bruch den Zähler und den Nenner, so erhältman den so genannten Kehrbruch. Dem Kehrbruch sagt man auch reziproker Bruch.

13

Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert:

a

b:c

d=a

b·d

c=ad

bc.

Werden Brüche verschachtelt dargestellt, so spricht man von Doppelbrüchen:

abcd

=a

b:c

d.

14

3 Gleichungen und Ungleichungen

3.1 Gleichungen

Aufgabe 1 Von einer Zahl weiss man folgendes: Wird sie mit 3 multipliziert und dann 4 dazugezählt,so erhält man dasselbe, wie wenn man die Zahl mit 2 multipliziert und dann 5 dazuaddiert. Wie heisstdie Zahl?

Sie wissen natürlich, wie man dieses Problem löst. Für die Zahl setzt man eine Variable ein, zumBeispiel x , und stellt eine entsprechende Bedingung auf:

3x+4=2x+5

Somit entsteht eine Gleichung.

Definition 13 Wenn zwei Terme gleichgesetzt werden, dann entsteht eine Gleichung. Eine Gleichungist eine Aussageform.

Uns interessiert nun natürlich, welchen Wert x hat. Dazu formen wir die Gleichung so um, dass sichdie Lösungsmenge nicht verändert (Äquivalenzumformung). Zum Beispiel kann auf beiden Seiten derGleichung dasselbe dazugezählt bzw. abgezählt werden. Ebenso kann auf beiden Seiten mit der glei-chen Zahl multipliziert oder durch die selbe Zahl dividiert werden (sofern diese Zahl nicht 0 ist).Vorsicht: Es gibt viele Operationen, welche nicht zu einer äquivalenten Gleichung führen. Beim Qua-drieren entsteht zum Beispiel in der Regel eine Gleichung, die zur ursprünglichen nicht äquivalent ist!x = 4 hat die Lösungsmenge L = {4}, wobei x2 = 16 die Lösungsmenge L = {−4, 4} besitzt.

Wir wollen jetzt noch unsere Gleichung lösen.

15

3x + 4 = 2x + 5 | −2xx + 4 = 5 | −4x = 1

Somit ist die Lösungsmenge L = {1}.Bei schwierigeren Gleichungen werden, wenn möglich, beide Seiten zuerst soweit wie möglich verein-facht.

B Lösen Sie die Gleichung 2(x + 3)− (3− 2x) = 9x + 2− (6x + 1).

2(x + 3)− (3− 2x) = 9x + 2− (6x + 1)2x + 6− 3 + 2x) = 9x + 2− 6x − 1

4x + 3 = 3x + 1 | −3xx + 3 = 1 | −3x = −2

Es gibt auch Gleichungen, bei welchen man für x einstzen kann, was man will, und es entsteht immereine wahre Aussage. Eine solche Gleichung heisst „allgemeingültig“. x + 4 = 4 + x ist zum Beispielimmer richtig. Somit gilt, L = R.

Im Gegensatz dazu kann eine Gleichung auch unerfüllbar sein, nämlich dann, wenn für jedes mög-liche x eine falsche Aussage entsteht. Ein Beispiel dafür ist x + 4 = 7 + x . Hier ist L = ∅.

3.2 Bruchgleichungen

Wenn in einer Gleichung das x in einem Nenner vorkommt, so spricht man von einer Bruchgleichung.Eine solche Gleichung löst man, indem man zuerst mit dem kgV aller Nenner (Hauptnenner) multi-pliziert. Damit wird erreicht, dass alle Brüche verschwinden. Zu beachten ist bei Bruchungleichungen,dass die Nenner der Brüche nie Null werden dürfen, da sonst eine Nulldivision entsteht.

Einige Beispiele dazu:

16

B1

x + 3+2

x − 3 =3

x+

21

x3 − 9x

1

x + 3+2

x − 3 =3

x+

21

x(x − 3)(x + 3) | ·x(x − 3)(x + 3)

x(x − 3) + 2x(x + 3) = 3(x − 3)(x + 3) + 21

x2 − 3x + 2x2 + 6x = 3(x2 − 9) + 21

3x2 + 3x = 3x2 − 6 | −3x2

3x = −6 |: 3

x = −2

Die Lösung muss noch in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden (Überprüfung Nulldivision).In diesem Beispiel ist x = −2 eine Lösung.

B1

x − 3 −6

x2 − 9 = 0 | ·(x − 3)(x + 3)

x + 3− 6 = 0

x − 3 = 0 | +3

x = 3

Wenn man in diesem Beispiel x = 3 oben einsetzt, so entsteht eine Nulldivision. Somit ist L = ∅.

B3x

2x − 6 −3

2=

4.5

x − 3 | ·2(x − 3)

3x − 3(x − 3) = 2 · 4.5

3x − 3x + 9 = 9

9 = 9 | −9

0 = 0

Diese Bruchgleichung ist also äquivalent zu einer wahren Aussage.Somit können alle Zahlen eingesetzt werden, welche nicht auf eine Nulldivision führen. L = R \ {3}.

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3.3 Bruchungleichungen

3.3.1 Intervallschreibweise

Sobald man es mit Ungleichungen zu tun hat (zum Beispiel x < 9 oder 5x ≤ 7), bestehen die Lösungs-mengen in der Regel nicht mehr aus nur einem Element, sondern aus unendlich vielen (zum Beispielalle Zahlen aus R, welche grösser als 9 sind).

Dazu führen wir Schreibweisen ein:

[a; b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall(alle Zahlen zwischen a und b inklusive a und b)

[a; b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b} halboffenes Intervall(alle Zahlen zwischen a und b inklusive a aber ohne b)

]a; b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} halboffenes Intervall(alle Zahlen zwischen a und b ohne a aber inklusive b)

]a; b[ = {x ∈ R | a < x < b} offenes Intervall(alle Zahlen zwischen a und b aber ohne die Randwerte a und b)

[a;∞[ = {x ∈ R | a ≤ x} nach rechts unbegrenztes, abgeschlossenes Intervall(alle Zahlen, welche grösser oder gleich sind wie a)

]a;∞[ = {x ∈ R | a < x} nach rechts unbegrenztes, offenes Intervall(alle Zahlen, welche grösser sind wie a)

]−∞; b] = {x ∈ R | x ≤ b} nach links unbegrenztes, abgeschlossenes Intervall(alle Zahlen, welche kleiner oder gleich sind wie b)

]−∞; b[ = {x ∈ R | x < b} nach links unbegrenztes, offenes Intervall(alle Zahlen, welche kleiner sind wie b)

3.3.2 Bruchungleichungen

Wir wollen nun Bruchungleichungen lösen, beispielsweisex − 1x − 2 < 2.

Beim Umformen einer solchen Aussageform entstehen dann Probleme, wenn auf beiden Seiten miteiner Zahl multipliziert wird, von der nicht bekannt ist, ob sie positiv oder negativ ist. Denn wir erinnernuns:

Man erhält zu einer Ungleichung eine äquivalente Ungleichung, wenn man

• auf beiden Seiten dieselbe Zahl addiert bzw. subtrahiert,

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• beide Seiten mit derselben positiven Zahl multipliziert bzw. durch dieselbe positive Zahl dividiert,

• beide Seiten mit derselben negativen Zahl multipliziert bzw. durch dieselbe Zahl dividiert undgleichzeitig das Vergleichszeichen umkehrt (< zu > bzw. umgekehrt).

Wenn man also auf beiden Seiten mit einem Term multipliziert, der zum Beispiel ein x enthält, sokann man nicht entscheiden, ob dieser positiv oder negativ ist, wenn der Wert von x nicht bekanntist. Dieses Problem löst man durch Fallunterscheidungen.

Beispiel 12 Zu lösen ist die Ungleichungx − 1x − 2 < 2.

Um den Nenner wegzubringen multiplizieren wir beide Seiten mit (x − 2). Dieser Term ist positivfür x > 2 (1. Fall) und negativ für x < 2 (2. Fall). Im ersten Fall bleibt das Vergleichszeichen derursprünglichen Ungleichung (<) stehen. Im zweiten Fall wird aus dem Zeichen < das umgekehrteZeichen >.

1. Fall: x > 2 2. Fall: x < 2

x − 1 < 2(x − 2) x − 1 > 2(x − 2)x − 1 < 2x − 4 | −2x + 1 x − 1 > 2x − 4 | −2x + 1−x < −3 | ·(−1) −x > −3 | ·(−1)x > 3 x < 3

Da in diesem Fall x > 2 gilt, Da in diesem Fall x < 2 gilt,ist die Lösungsmenge ist die Lösungsmenge

L1.F al l =]3;∞[ L2.F al l =]−∞; 2[

Zusammenfassend erhält man die Lösungsmenge L = L1.F al l ∪ L2.F al l =]−∞; 2[∪ ]3;∞[.

19

4 Lineare Funktionen

4.1 Funktionsbegriff

Beispiel 13 In den USA wird für Temperaturangaben nicht die Celsius-Gradskala sondern die Fahrenheit-Gradskala verwendet. Benannt ist sie nach Gabriel Daniel Fahrenheit aus Danzig, der 1714 das erstebrauchbare Quecksilberthermometer entwickelte. Folgende Werte entsprechen sich:

◦C ◦F

30 86

20 68

10 50

0 32

−10 14

−20 −4

Mathematisch gesprochen sagt man, dass dem Wert 30 ◦C der Wert 86 ◦F zugeordnet wird, demWert 20 ◦C der Wert 68 ◦F usw. Wenn dem Wert x ◦C der Wert y ◦F zugeordnet wird, so schreibtman x 7−→ y (dem x wird das y zugeordnet). Die Tabelle sieht dann wie folgt aus:

30 7−→ 86

20 7−→ 68

10 7−→ 50

0 7−→ 32

−10 7−→ 14

−20 7−→ −4

Die Frage stellt sich nun natürlich, wie man ein allgemeines y berechnet, wenn das x bekannt ist.Haben Sie eine Idee?

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Die Gleichung, welche die Abhängigkeit zwischen x und y beschreibt, lautet y = 95 ·x+32. Überprüfen

Sie die Richtigkeit dieses Zusammenhangs.

Wenn das Thermometer also in der Schweiz 16.5 ◦C anzeigt und ich diese Temperatur einem Kollegenin Amerika mitteilen will, so muss ich sie wie oben beschrieben umrechnen:

y = 95 · 16.5 + 32 = 61.7

Die Temperatur zu besagtem Zeitpunkt ist also 61.7 ◦F.

Solche Zuordnungen, durch welche einem Wert (im Beispiel: x) eindeutig ein Wert (hier: y) zugeordnetwird, werden als „Funktionen“ bezeichnet.

Definition 14 Wenn einer Zahl x ∈ D eindeutig eine Zahl y ∈W zugeordnet wird, dann spricht manvon einer Funktion.

Funktionen werden meistens mit kleinen Buchstaben bezeichnet (f , g, h usw.). Häufig verwendet manfolgende Schreibweise:

f : x 7−→ y

D −→ W

x heisst Argument oder Stelle der Funktion f und das y Funktionswert oder schlicht Wert der Funktion.D nennt man Definitionsmenge und W Wertemenge.

Es gibt noch andere Möglichkeiten, eine Funktion darzustellen:Statt f : x 7−→ y schreibt man zuweilen auch x 7−→ f (x) (lies: „Dem x wird f von x zugeordnet.“)oder y = f (x).

Häufig dient es dem Verständnis, wenn man eine Funktion grafisch darstellt. Betrachten wir nocheinmal das Beispiel 13 auf Seite 20. Wenn wir die x-Werte und die entsprechenden y -Werte aus derTabelle (welche übrigens Wertetabelle genannt wird) als Punkte (x, y) in einem Koordinatensysteminterpretieren, dann entsteht folgendes Bild (Abbildung 4.1). Die gestrichelte Linie zeigt an, dass inunserem Beispiel alle Punkte auf einer Geraden liegen.

21

x

y

5

5

Abbildung 4.1: Zusammenhang zwischen x◦C und y◦F

Diese Darstellung nennt man den Graphen der Funktion.

Definition 15 Die Menge aller Punkte (x, f (x)) heisst Graph der Funktion f .

Wir betrachten noch ein weiteres Beispiel.

Beispiel 14 Gegeben ist die folgende Funktion f .

f : x 7−→ x2

R −→ R+0

Einer Zahl wird also immer ihr Quadrat zugeordnet. Da dabei nur positive Zahlen oder die Null entste-hen können, ist die WertemengeW = R+0 . Tabellieren wir nun einige Zuordnungen in der Wertetabelle:

x −2 −1 0 1 1.5 2 3

f (x) 4 1 0 1 2.25 4 9

Beim Eintragen aller Punkte in einem Koordinatensystem sieht man, dass alle Punkte auf einer Kurveliegen. Die Kurve, welche durch die Funktion y = x2 entsteht, nennt man Stammparabel (Abbildung4.2).

22

x

y

1

1

Abbildung 4.2: Graph der Funktion f (x) = x2

In der Abbildung 4.2 sind die Punkte aus unserer Wertetabelle der Funktion eingetragen: (−2, 4),(−1, 1), (0, 0), (1, 1), (1.5, 2.25), (2, 4) und (3, 9).

4.2 Proportionalitäten

Wir betrachten in diesem Abschnitt einen ersten Funktionstyp: die (direkte) Proportionalität. Dazuein Beispiel:

Beispiel 15 Ein Salat kostet 3 Fr. x Salate kosten y Franken.Durch diese Zuordnung ist eine Funktion definiert. Wir erstellen eine Wertetabelle.

x 1 2 3 4 5 6 7

f (x) 3 6 9 12 15 18 21

Die Funktionsgleichung lautet in diesem Fall y = 3·x . Bei der Darstellung der Punkte in einem Graphenstellt man fest, dass diese auf einer Geraden durch den Nullpunkt liegen (Abbildung 4.3).

Definition 16 Eine Proportionalität ist eine Funktion f : y = m · x . m ∈ R heisst Proportionali-tätskonstante bzw. -faktor. Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade durch den Nullpunkt mit derSteigung m.

23

x

y

1

3

Abbildung 4.3: Darstellung der Funktion y = 3 · x

x

y

1

m

Abbildung 4.4: Graph der Proportionalität f (x) = m · x

4.3 Lineare Funktionen

Wir wollen nun natürlich nicht nur Funktionen betrachten, welche als Graph eine Gerade durch denNullpunkt darstellen. Im Folgenden kümmern wir uns um Geraden, die beliebig im zweidimensionalenRaum liegen können.Als Grundlage betrachten wir wiederum die Proportionalität y = mx . Wir verschieben nun dieseGerade parallel um eine Zahl q ∈ R in Richtung der y -Achse (Abbildung 4.5). Dann entsteht alsFunktionsgleichung y = mx + q.

Definition 17 Eine lineare Funktion hat die Form f : y = mx + q, wobei m ∈ R und q ∈ R.Der Graph ist eine allgemeine Gerade. m heisst Steigung und q nennt man y -Achsenabschnitt oderOrdinatenabschnitt.

24

x

y

1

m

q

Abbildung 4.5: Parallelverschiebung der Geraden y = mx um q in y -Richtung

1

m

x

y

q

Abbildung 4.6: Die Gerade y = mx + q mit Steigungsdreieck

Die Steigung einer Geraden stellt man gerne mithilfe eines sogenannten Steigungsdreiecks dar. EineGerade der Form y = mx + q steigt nämlich pro Einheit um m nach oben (bzw. nach unten, wenndas m negativ ist). Vergleichen Sie dazu die Abbildung 4.6.

25

5 Lineare Gleichungssysteme

5.1 Lineare Gleichungssysteme

Sie wissen, dass der Graph einer linearen Funktion eine Gerade ist. Aus der Geometrie ist ebenfallsbekannt, dass sich zwei Geraden in der Regel in einem Punkt schneiden.Überträgt man diese Idee auf die Algebra, so kann dieser Schnittpunkt also durch zwei Funktionsglei-chungen von linearen Funktionen dargestellt werden. Betrachten Sie dazu das folgende Beispiel.

Beispiel 16 Gegeben sind zwei Funktionen in impliziter Darstellung: 3x + 6y = 15 und 2x − y = 0.Diese zwei Geraden schneiden sich im Punkt (1, 2).

x

y

1

1

Abbildung 5.1: Die Geraden 3x + 6y = 15 und 2x − y = 0 schneiden sich im Punkt (1, 2).

Anders gesagt bedeutet dies, dass x = 1 und y = 2 beide Gleichungen erfüllt. Wenn zwei (odermehr) Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein sollen, spricht man von einem Gleichungssystem. In unseremBeispiel schreiben wir:

3x + 6y = 15

2x − y = 0

Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems ist L = {(1, 2)}.

26

Definition 18 Die Verknüpfung von zwei (oder mehr) linearen Gleichungen durch „und“1 nennt manlineares Gleichungssystem.

Wir betrachten vorerst lineare Gleichungssysteme aus zwei Gleichungen (und zwei Variablen2). Da dieentsprechendnen Geraden auch parallel sein können, besteht die Lösungsmenge eines Gleichungssy-stems nicht immer aus genau einem Element. Es gibt drei mögliche Fälle:

Der Graph besteht aus ... Die Lösungsmenge ...

... zwei Geraden, welche sich schneiden. ... besteht aus genau einem Zahlenpaar.

... zwei echt parallelen Geraden. ... ist leer.

... zwei identischen Geraden. ... besteht aus unendlich vielen Elementen(aus allen Punkten der Gerade).

Beispiel 17 Der Graph des folgenden Gleichungssystems besteht aus zwei parallelen Geraden.

2x + y = 4

2x + y = 3

Somit ist die Lösungsmenge L = ∅.

Beispiel 18 Im folgenden Gleichungssystem ist die obere Gleichung zur unteren äquivalent. Somitwird eigentlich nur eine Gerade beschrieben.

x + y = 4

3x + 3y = 12

Somit ist die Lösungsmenge L = {(x, y) | x + y = 4}.

1Eine Verknüpfung mit „und“ bedeutet, dass die Lösungsmengen geschnitten werden.2Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen können nur dann eine eindeutige Lösung haben, wenn sie auch mehr

als zwei Variable beinhalten.

27

5.2 Lösungsverfahren

Für Gleichungssysteme gibt es verschiedene Lösungsverfahren. Je nach Fall führt das eine oder andereschneller zur Lösung. Häufig werden die Verfahren auch vermischt.

5.2.1 Substitutionsmethode

Bei der Substitutionmethode3 wird eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst. DenLösungsterm setzt man in die andere Gleichung ein und löst diese auf.

Beispiel 19 Im folgenden System lösen wir die zweite Gleichung nach x auf und setzen den Term indie erste Gleichung ein.

(I) 4x + 3y = 15

(II) 6x − 5y = 13

Es entsteht eine zu (II) äquivalente Gleichung (II’): x = 56 · y +

136 .

Beim Einsetzen in die Gleichung (I) ensteht die Gleichung 4 ·(56 · y +

136

)+ 3y = 15. Also gilt,

dass 103 · y + 3y = 15−263 .

Somit ist 193 · y =193 =⇒ y = 1.

Durch Einsetzen in (II’) ergibt sich dann x = 3.

Somit ist die Lösungsmenge L = {(3, 1)}.

5.2.2 Additionsmethode

Bei der Additionsmethode wird zuerst eine Variable eliminiert, indem beide Gleichungen addiert werden.Die Lösung kann danach in eine Gleichung eingesetzt werden. Dadurch erhält man noch die zweiteLösung.

Beispiel 20 Im folgenden System werden beide Gleichungen addiert. Dadurch fällt das y raus.

3Die Substitutionsmethode wird auch Einsetzverfahren genannt.

28

(I) x + y = 17

(II) x − y = 5

Bei der Addition von (I) und (II) entsteht 2x = 22. Das heisst, x = 11.

Durch Einsetzen von x in die Gleichung (I) entsteht die Gleichung 11 + y = 17.

Daraus folgt, dass y = 6.

Somit ist die Lösungsmenge L = {(11, 6)}.

Beispiel 21 Im Allgemeinen müssen vor der Addition beide Gleichungen des Systems mit je einemFaktor multipliziert werden.

(I) 4x + 3y = 15 | ·5(II) 6x − 5y = 13 | ·3

(I’) 20x + 15y = 75

(II’) 18x − 15y = 39

Bei der Addition von (I) und (II) entsteht 38x = 114. Das heisst, x = 3.

Durch Einsetzen von x in die Gleichung (I) entsteht die Gleichung 12 + 3y = 15.

Daraus folgt, dass y = 1.

Somit ist die Lösungsmenge L = {(3, 1)}.

29

6 Quadratische Gleichungen

Definition 19 Eine Gleichung der Form ax2 + bx + c = 0, wobei a ∈ R \ {0} und b, c ∈ R heisstquadratische Gleichung.

Wir betrachten zuerst einige Beispiele, um eine Methode kennenzulernen, quadratische Gleichungenzu lösen.

Beispiel 22 Lösen Sie die Gleichung x2 + 6x − 20 = 0.

Damit man auf beiden Seiten die Wurzel ziehen kann, muss die Gleichung in eine Form gebrachtwerden, wo auf der einen Seite ein ausmultipliziertes Binom und auf der anderen Seite eine Zahl steht.

x2 + 6x − 20 = 0 quadratisches Ergänzenx2 + 6x + 9︸ ︷︷ ︸ −29 = 0

(x + 3)2 −29 = 0

(x + 3)2 = 29

x + 3 = ±√29

x = −3±√29

Die Gleichung besitzt also zwei Lösungen. Somit ist die Lösungsmenge L ={−3 +

√29,−3−

√29

}.

Beispiel 23 Lösen Sie die Gleichung x2 − 4x + 1 = 0.

x2 − 4x + 1 = 0 quadratisches Ergänzenx2 − 4x + 4︸ ︷︷ ︸ −3 = 0

(x − 2)2 −3 = 0

(x − 2)2 = 3

x − 2 = ±√3

x = 2±√3

30

Die Lösungsmenge ist also L ={2 +√3, 2−

√3}.

Beispiel 24 Lösen Sie die Gleichung 3x2 − 4x − 4 = 0.

Hier stellt sich zusätzlich das Problem, dass vor dem x2 noch eine Zahl steht. Die Lösung ist natürlicheinfach, denn man braucht nur auf beiden Seiten durch diese Zahl zu dividieren.

3x2 − 4x − 4 = 0 |: 3

x2 − 43x −43 = 0 quadratisches Ergänzen

x2 − 43x +49︸ ︷︷ ︸ −169 = 0(

x − 23)2 −169 = 0(x − 23

)2= 16

9

x − 23 = ±√169 =

43

x = 23 ±

43

Somit ist die Lösungsmenge L ={−23 , 2

}.

Um das Auflösen von quadratischen Gelichungen zu vereinfachen, wollen wir nun eine allgemeine Lö-sungsformel herleiten.

ax2 + bx + c = 0 |: a

x2 + bax +ca = 0 quadratisches Ergänzen

x2 + bax +(b2a

)2︸ ︷︷ ︸ −(b2a

)2+ ca = 0(

x + b2a

)2 − b24a2+ ca = 0(

x + b2a

)2= b2

4a2− ca(

x + b2a

)2= b2−4ac

4a2

x + b2a = ±

√b2−4ac4a2

x + b2a = ±

√b2−4ac2a

x = −b2a ±

√b2−4ac2a

31

Somit gilt für eine quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit a 6= 0 die folgende Lösungsformel.

x =−b ±

√b2 − 4ac2a

Der Term b2 − 4ac , welcher unter der Wurzel steht, heisst Diskriminante1. Wenn die Diskriminantenegativ ist, so ist die Wurzel nicht definiert und die Gleichung hat dann keine Lösung. Im Fall, inwelchem b2 − 4ac = 0 ist, gibt es genau eine Lösung, denn ob man Null addiert oder subtrahiertmacht keinen Unterschied.Zusammenfassend kann man das Folgende aussagen:

Diskriminante D = b2 − 4ac > 0 zwei Lösungen L =

{−b +

√b2 − 4ac2a

,−b −

√b2 − 4ac2a

}

Diskriminante D = b2 − 4ac = 0 eine Lösung L ={−b2a

}

Diskriminante D = b2 − 4ac < 0 keine Lösung L = ∅

1Dieses Wort stammt vom lateinischen Wort discriminare, was soviel heisst wie trennen.

32

7 Potenzen

7.1 Potenzen mit Exponenten aus N

Wie Sie wissen, kann man gewisse Terme zusammenfassen. Niemand schreibt a + a + a + a + a + a.Dafür wurde die Multiplikations-Schreibweise 6 · a eingeführt.Ebenso kann beispielsweise der Term a · a · a · a · a · a als a6 (sprich: „a hoch 6“) geschrieben werden.Man spricht hier von der sogenannten Potenz-Schreibweise.

Definition 20 Die Multiplikation von n identischen Faktoren a ∈ R kürzt man mit an ab.an = a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸

n-mal

. an heisst Potenz, a Basis und n Hochzahl oder Exponent der Potenz.

Für das Rechnen mit Potenzen können einfache Regeln aufgestellt werden (Potenzgesetze):

am · an = am+n

am : an = am−n, falls m > nan · bn = (ab)n

an : bn = (a : b)n

(an)m = anm

Vorsicht: Im letzten der oben erwähnten Gesetze dürfen die Klammern nicht weggelassen werden.Wenn man zum Beispiel 23

4berechnen will, ist nicht klar, ob zuerst 23 oder 34 gerechnet werden

muss. Es gilt

(23

)4= 84 = 4096, aber

2(34) = 281 = 2417 851 639 229 258 349 412 352.

Im Folgenden sind die Beweise dieser fünf Gesetze dargestellt:

33

B am · an = a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸m-mal

· a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸n-mal︸ ︷︷ ︸

(m+n)-mal

= am+n

B am : an =am

an=

m-mal︷ ︸︸ ︷a · a · a · a · . . . · aa · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸

n-mal

= a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸(m−n)-mal

= am−n

B an · bn = a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸n-mal

· b · b · . . . · b︸ ︷︷ ︸n-mal

= ab · ab · ab · . . . · ab︸ ︷︷ ︸n-mal

= (ab)n

B an : bn =an

bn=

n-mal︷ ︸︸ ︷a · a · . . . · ab · b · . . . · b︸ ︷︷ ︸

n-mal

=a

b·a

b· . . . ·

a

b︸ ︷︷ ︸n-mal

=(ab

)n

B (am)n = a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸m-mal

· a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸m-mal

· . . . · a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸m-mal︸ ︷︷ ︸

n-mal

= a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸(n·m)-mal

= an·m

Hier einige Beispiele für die Anwendung der Potenzgesetze:

B a3 · a7 = a3+7 = a10

Bx9

x6= x9−6 = x3

B (xy)4 = x4y4

B64

34=

(6

3

)4= 24 = 16

B(z3

)2= z6

Bx5 · x3

x2=x8

x2= x6

7.2 Potenzen mit Exponenten aus Z

Wir wollen im Folgenden untersuchen, was geschieht, wenn wir als Hochzahlen bei Potenzen auchnegative ganze Zahlen zulassen. Wir setzen voraus, dass die Potenzgesetze weiterhin gelten.Zuerst beantworten wir die Frage, was a0 gibt.

34

Unter der Voraussetzung, dass die Potenzgesetze weiterhin gültig sind, giltan

an= an−n = a0. Da aber

an

an= 1 ist, gilt a0 = 1.

Weiter fragen wir uns, was a−n ergibt: Wir stellen dazu eine Gleichung auf.

a−n · an = a0 = 1

Wenn wir auf beiden Seiten durch an dividieren, erhalten wir

a−n =1

an.

Unter der Voraussetzung, dass die Potenzgesetze weiterhin gelten, gilt also

a0 = 1

unda−n =

1

an.

Auch hierzu einige Beispiele:

B 2−3 =1

23=1

8

B 7−1 =1

71=1

7

B

(1

4

)−3=1(14

)3 = 1143

= 43 = 64

35

7.3 Der allgemeine Wurzelbegriff

Bevor der Potenzbegriff auch für Exponenten aus Q definiert werden kann, müssen wir den Wurzel-begriff erweitern:

Wir wollen dazu die Gleichung xn = a mit a ∈ R+0 und n ∈ N lösen. Wenn n = 2 ist (x2 = a), sinddie Lösungen dieser Gleichung x = ±

√a. Wenn das n nun eine beliebige natürliche Zahl ist, führt das

auf den allgemeinen Wurzelbegriff.

Beispiel 25 Die Lösung der Gleichung x3 = 7 ist ungefähr x ≈ 1.913. Wir führen für diese Zahl dieBezeichnung 3

√7 ein.

Definition 21 Die nichtnegative Lösung der Gleichung xn = a (a ∈ R+0 und n ∈ N) heisst n-te Wurzelaus a. Wir schreiben für diese Lösung n

√a. a heisst Radikand und n heisst Wurzelexpnonent.

Beispiel 26 3√8 = 2, 10

√1024 = 2, 4

√1

16=1

2

7.4 Potenzen mit Exponenten aus Q

Wir setzen weiterhin voraus, dass die Potenzgesetze gültig sind. Wir betrachten – wie im letzten Ab-schnitt – die Lösung der Gleichung xn = a mit a ∈ R+0 .

xn = a

Wir rechnen nun auf beiden Seiten hoch 1n .

(xn)1n = a

1n

Gemäss den Potenzgesetzen gilt (xn)1n = x1 = x . Somit ist

36

x = a1n .

Es gilt also

a1n = n√a

amn =

(a1n

)m=

(n√a)m

amn = (am)

1n = n√am

a−mn = 1

amn= 1

n√am .

37

8 Logarithmen

Bei der Einführung des allgemeinen Wurzelbegriffes haben wir die Gleichung xn = a betrachtet. Inder Praxis können aber auch Gleichungen auftreten, in welchen das x im Exponenten der Potenz undnicht in der Basis steht.Für das Lösen solcher Gleichungen der Form ax = b muss ein neuer Begriff eingeführt werden: derLogarithmus.

8.1 Definition des Logarithmus

Definition 22 Der Logarithmus zur Basis a ∈ R+ \ {1} einer Zahl b ∈ R+ (man schreibt: loga (b))ist derjenige Exponent x , für welchen gilt, dass ax = b. Somit ist x = loga (b).

Beim Logarithmus handelt es sich um eine Funktion: Einem Wert x wird eindeutig ein Wert loga (x) zu-geordnet. Wenn keine Zweideutigkeiten entstehen, kann die Klammer weggelassen werden: loga (x) =loga x .

Hier einige Beispiele:

B Die Lösung der Gleichung 10x = 100 ist x = log10 100 = 2.

B Die Lösung der Gleichung 10x = 150 ist x = log10 150 ≈ 2.176.Dieser Wert ist nicht mehr exakt angebbar.

B Die Lösung der Gleichung 2x = 9 ist x = log2 9 ≈ 3.170.Auch hier ist nur ein Näherungswert anzugeben.

Für drei Logarithmen zu speziellen Basen haben sich eigene Bezeichnungen durchgesetzt:

38

B log10 x = lg x

Den Logarithmus zur Basis 10 nennt man auch den dekadischen Logarithmus.

B log2 x = lb xDen Logarithmus zur Basis 2 nennt man auch den binären Logarithmus.Er spielt in der theoretischen Informatik eine wichtige Rolle.

B loge x = ln x

Den Logarithmus zur Basis e nennt man den natürlichen Logarithmus.e ist eine konstante Zahl (ähnlich wie die Kreiszahl π). e ≈ 2.71828182846.

Weitere Beispiele:

B 10x = 9 x = lg 9 ≈ 0.9542

B 3x = 7 x = log3 7 ≈ 1.7712

B ex = 16 x = ln 16 ≈ 2.7726

B 2x = 19 x = lb 19 ≈ 4.2479

8.2 Logarithmengesetze

Die Gesetze für den Logarithmus folgen direkt aus den Potenzgesetzen:

loga (x · y) = loga x + loga y

loga (x : y) = loga x − loga yloga (x

n) = n · loga x

8.3 Basiswecheselsatz

Für das Berechnen von Logarithmen (zum Beispiel mit einem Taschenrechner) ist der folgende Satzvon grosser Wichtigkeit. Der sogenannte Basiswechselsatz wandelt einen Logarithmus in einen Bruchum, welcher zwei Logarithmen zu einer beliebigen Basis enthält.

Satz 1 (Basiswechselsatz) Für eine beliebige Basis c gilt, loga b =logc b

logc a.

39

Für den Beweis dieses Satzes löst man die Gleichung ax = b auf zwei Arten:

1. Art (Definition): x = loga b

2. Art (Umformungen): ax = b | logc ()

logc (ax) = logc (b)

x · logc (a) = logc (b) |: logc (a)

x =logc (b)

logc (a)

�

Beispiel 27 log3 7 =lg 7

lg 3=ln 7

ln 3≈ 1.7712

40

Index

Äquivalenz, 5

Achsenabschnitt, 24Additionsmethode, 28Argument, 21Ausklammern, 9Aussage, 3Aussageform, 3

Basiswechselsatz, 39binomische Formeln, 9Bruchgleichung, 16Bruchterm, 11

Addition, 12Division, 13Erweitern, 11gleichnamig machen, 11Multiplikation, 13Subtraktion, 12

Bruchungleichung, 18

Definitionsmenge, 21Diskriminante, 32Doppelbruch, 14

Faktorisieren, 8Funktion, 20

Definition, 21lineare, 24

Funktionswert, 21

Gleichung, 15Definition, 15

Graph, 22

Implikation, 5Intervall, 18

lineare Gleichungssysteme, 26Logarithmengesetze, 39

Logarithmus, 38Definition, 38

Menge, 2aufzählende Form, 4beschreibende Form, 4Differenzmenge, 7Ergänzungsmenge, 6Komplementärmenge, 6Lösungsmenge, 4Mengenoperationen, 6Schnittmenge, 6Teilmenge, 5Vereinigungsmenge, 6Zahlenmenge, 3

Ordinatenabschnitt, 24

Potenzen, 33Potenzgesetze, 33Proportionalität, 23

Definition, 23

quadratische Gleichung, 30

Stammparabel, 22Steigungsdreieck, 25Stelle, 21Substitutionsmethode, 28

Trinom, 10

Wertemenge, 21Wertetabelle, 21Wurzeln, 36

41

Inhaltsverzeichnis

1 Mengenlehre 21.1 Mengen, Aussagen und Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Aussagen und Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Folgerungen (Implikationen) und Äquivalenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Schnittmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Vereinigungsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.3 Ergänzungsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.4 Differenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Algebraische Grundlagen 82.1 Faktorisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Ausklammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Faktorzerlegung mithilfe von Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.3 Klammeransatz bei geeigneten Trinomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Bruchterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1 Kürzen von Bruchtermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Gleichnamigmachen von Bruchtermen (Erweitern) . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.3 Addition und Subtraktion von Bruchtermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.4 Multiplikation von Bruchtermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.5 Division von Bruchtermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Gleichungen und Ungleichungen 153.1 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Bruchungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.1 Intervallschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.2 Bruchungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Lineare Funktionen 204.1 Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Proportionalitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Lineare Gleichungssysteme 265.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2.1 Substitutionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

42

5.2.2 Additionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6 Quadratische Gleichungen 30

7 Potenzen 337.1 Potenzen mit Exponenten aus N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2 Potenzen mit Exponenten aus Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.3 Der allgemeine Wurzelbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.4 Potenzen mit Exponenten aus Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

8 Logarithmen 388.1 Definition des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.2 Logarithmengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.3 Basiswecheselsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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