Keplers Fassformel - Ebelt EDV & Unternehmensberatung · Für Polynome höchstens dritten Grades stellt die Keplersche Fassregel den exakten Integralwert dar, da die 4. Ableitung

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Keplers Fassformel

Von PETER FRANZKE in Berlin

Beim Einkauf von Weinfässern für seine zweite Hochzeit beobachtet Kepler zu seinem Miss-

fallen, dass die Weinhändler das Volumen eines Fasses bestimmen, indem sie eine geeichte

Messrute durch das Spundloch einführen, die Länge l bis zu den Rändern der Böden messen

und daraus das Volumen anhand der kubischen Teilungsmarken (1-8-27-64-125...), die in Ei-

mern angegeben sind, mit Hilfe der Formel 30,6FassV l berechnen, egal, welche Form die

Fässer haben.

Keplerfass1

1 Quelle: http://www.kepler-gesellschaft.de/images/keplerpreis/images/Fass_KM_Weil%20der%20Stadt.jpg

Keplers Fassformel von Peter Franzke in Berlin

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Aufgrund dieses Messverfahrens stößt Kepler auf zwei erstaunliche Eigenschaften:

Wenn man das Fass als Zylinder betrachtet, so hat es bei gleicher Visierstablänge den größten Inhalt von allen.

Eine kleine Abweichung der Form des Fasses bleibt ohne relevanten Einfluss auf sein Fassungsvermögen.

Die Ergebnisse seiner Überlegungen veröffentlicht Kepler 1615 in dem Büchlein „Nova stere-ometria doliorum vinariorum“.

Gleich zu Beginn beschreibt er, wie er auf das Problem stieß:

"Als ich im vergangenen November eine neue Gattin in mein Haus eingeführt hatte, gerade zu der Zeit, da nach einer reichen und ebenso vorzüglichen Weinernte viele Lastschiffe die Donau herauffuhren und Österreich die Fülle seiner Schätze an unser Norikum verteilte, so dass das ganze Ufer in Linz mit Weinfässern, die zu erträglichem Preis ausgeboten wurden, belagert war, da verlangte es meine Pflicht als Gatte und guter Familienvater, mein Haus mit dem not-wendigen Trunk zu versorgen. Ich ließ daher etliche Fässer in mein Haus schaffen und daselbst einlegen. Vier Tage hernach kam nun der Verkäufer mit einer Messrute, die er als einziges In-strument benutzte, um ohne Unterschied alle Fässer auszumessen, ohne Rücksicht auf ihre Form zu nehmen oder irgendwelche Berechnung anzustellen. Er steckte nämlich die Spitze des Eisenstabes in die Einfüllöffnung des vollen Fasses schief hin-ein bis zum unteren Rand der beiden kreisförmigen Holzdeckel, die wir in der heimischen Spra-che die Böden nennen. Wenn dann beiderseits diese Länge vom obersten Punkt des Fassrunds bis zum untersten Punkt der beiden kreisförmigen Bretter gleich erschien, dann gab er nach der Marke, die an der Stelle, wo diese Länge aufhörte, in den Stab eingezeichnet war, die Zahl der Eimer an, die das Fass hielt, und stellte dieser Zahl entsprechend den Preis fest. Mir schien es verwunderlich, ob es möglich sei, aus der durch den Körper des halben Fasses quer gezogenen Linie den Inhalt zu bestimmen, und ich zweifelte an der Zuverlässigkeit dieser Messung."


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1. Lehrsatz:

Die Transversale von einem Punkt der Grundkreislinie eines Kreiszylinders zum Mittelpunkt

der zu ihm diametral liegenden Mantellinie habe die Länge l. Dann gilt:

Unter allen Zylindern der festen Transversalenlänge l ist derjenige der größte, dessen Höhe

sich zum Basisdurchmesser wie 2 :1 verhält.

Beweis:

2 2 32 2 2 2 23 3 2 3

04 4 4 4 4 4 8 3

E

h d hl d V h hl V l h V h h l

6

3Ed l : 2 :1E Eh d und

3 330,605

9MaxV l l

.

2. Lehrsatz: (Keplersche Fassregel)

Ein rotationssymmetrisches Fass der Höhe h, dem Radius r am Boden und Deckel und dem

Radius R des Mittelschnittes und den zugehörigen Kreisumfängen u und U hat näherungs-

weise das Volumen

2 2 2 22 43 12

Fass

h hV r R u U

.

Beweis:

Den Flächeninhalt eines durch den Graphen einer Funktion f(x) begrenzten Flächenstückes

auf dem Intervall ,a b berechnet man näherungsweise, indem man den Graphen durch ei-

nen Parabelbogen durch die drei Punkte 1 2( , ( )), ,2 2

a b a bP a f a P f

und 3(b, (b))P f

approximiert.


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Mit dem Näherungspolynom 2( )p x x x erhält man

3 3 2 2( ) p( ) ( )3 2

b b

a a

f x dx x dx b a b a b a

2 2 ( )3 2

b a b ab a b a a b b a

2 22 2 2 3 3 6 ( ) 4 ( )6 6 2

b a b a a ba b ab a b p a p p b

f( ) 4 ( )6 2

b a a ba f f b

(sog. Keplersche Fassformel)

Hieraus ergibt sich die folgende Näherungsformel für das Volumen eines Rotationskörpers,

der durch die Rotation des Graphen von f, der Meridianlinie, um die x-Achse entsteht.

2

2 2 2[ ( )] [f(a)] 4 [f(b)]6 2

b

a

b a a bV f x dx f

Für ein Fass mit der Höhe h, dem Radius ( ) ( )r f a f b an Boden und Deckel und dem Ra-

dius R des Mittelschnitts folgt daraus die Näherungsformel

2 2 2 22 4 .3 12

Fass

h hV r R u U


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Zu jeder Näherungsformel gehört eine Möglichkeit, den bei der Anwendung der Formel be-

gangenen Fehler abzuschätzen, d. h. eine obere Schranke für die Abweichung anzugeben.

3. Lehrsatz: (Fehler F der Keplerschen Fassregel):

Die exakte Keplersche Formel lautet

5( )( ) f( ) 4 ( ) ( )

6 2 2880

b

IV

a

b a a b b af x dx a f f b f

,

wobei ein unbekannter Zwischenwert mit a b ist.

Sei S eine obere Schranke für ( )IVf x , so dass ( )IVf x S ist für alle [ , ]x a b .

Dann gilt

5( ): ( ) f( ) 4 ( )

6 2 2880

b

a

b a a b b aF f x dx a f f b S

.

Beweis:

Sei f(x) sooft stetig differenzierbar, als es jeweils erforderlich ist.

Mit :2

b ak

und

1 1K : f( ) 4 ( ) f( ) 4 (a 2k)

6 2 6

a ba f f b a f a k f

2 3 41 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6 6 2! 3! 4!

IVk k kf a f a kf a f a f a f a

2 3 41 4 8 16( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )

6 2! 3! 4!

IVk k kf a kf a f a f a f a

2 3 42 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 36

IVk k kf a kf a f a f a f a und dem bestimmten Integral

1 111 2

( ) ( )1 1

b n nn n

a

kx a dx b a

n n

erhält man

( ) ( ) ( )

b b

a a

f x dx b a K f x K dx

2 3 4( ) ( ) ( )f(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2! 3! 4!

b

IV

a

x a x a x ax a f a f a f a f a K dx


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2 3 4

2 3 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2! 3! 4!

2 5( ) ( ) ( ) ( )

3 3 36

IV

b

a IV

x a x a x ax a f a f a f a f a

dxk k k

kf a f a f a f a

2 3 4 5

2 3 4 5

4 2 42 ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 15

4 2 12 ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 90

IV

IV

k f a k f a k f a k f a

k f a k f a k f a k f a

55 51 1 ( )

( ) ( ) ( )90 90 2880

IV IV IVb ak f a k f f

mit a b .

Folgerungen:

Für Polynome höchstens dritten Grades stellt die Keplersche Fassregel den exakten

Integralwert dar, da die 4. Ableitung identisch verschwindet.

Für ein Polynom 4 3 2

4 3 2 1 0( )p x a x a x a x a x a ist 4( ) 4!IVp x a , so dass exakt

5

4

( )( ) f( ) 4 ( )

6 2 120

b

a

b a a b b af x dx a f f b a

gilt.

Beispiele:

Für Kreiszylinder ( )R r ist die Näherungsformel exakt (s. o.), also gilt 2

ZylinderV r h .

Parabolischer Tonnenkörper: Ist die Meridianlinie des Fasses der Höhe h ein achsen-

symmetrisches Bogenstück einer quadratischen Parabel 2( )p x u x q mit

2

4( )R ru

h

, (0)q R p und ( / 2) ( / 2) rp h p h , so erhält man exakt (Achtung!

Der Integrand ist ein Polynom 4. Grades)

/2 /2 5

22 2 2 2 2

/2 /2

(x)dx 23 210

h h

Fass

h h

hV p R ux dx h R r u

2 2 2 2 2 2 222 ( ) 8 4 3 8 4 3

3 5 15 60

h h hR r R r R rR r U uU u

.

Die Approximation 2( ) 0R r , d. h. 2 22Rr R r liefert

2 2 2 28 4 3 215 3

Fass

h hV R rR r R r

,

also den Näherungswert nach Kepler.

Für 3R , 2,5r und 8h findet man 202,318...FassV (genau) und

203,156...FassV , also einen nur 0,4% zu großen Näherungswert.


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Elliptischer Tonnenkörper: Die Meridianlinien eines Fasses der Höhe h seien Ellipsen.

Die Randkreise haben die Radien r, der Mittelkreis den Radius R.

Die Meridianellipse des Fasses hat daher in y-Richtung die Halbachse :b R und in x-

Richtung 2 2

:2

Rha

R r

.

Aus der Ellipsengleichung

2 2

2 21

x y

a R folgt für

2

hx sofort

2 2

2 21

4

h r

a R , also

2 2 2 22 2

2 21

4

h r R ra a

R R

, d. h.

2 2:

2

Rha

R r

.

Ein in 2 2

h hx gelegter Querschnitt des Fasses ist ein Kreis mit dem Inhalt

22 2

2( ) 1

xq x y R

a

, der eine quadratische Funktion von x ist. Also gilt die

Keplersche Fassregel exakt (s. o.).

Mit 2( / 2) ( / 2)q h q h r und 2(0)q R erhält man dann

/2

22 2 2 2

/2

( ) [q( / 2)] 4 0 [q(h/ 2)] 26 3

h

Fass

h

h hV q x dx h q r R

.

Sonderfall: Für 0r , 2h a und R b erhält man das Volumen 24

3V ab des ver-

längerten Rotationsellipsoids.


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Trivialerweise gilt dann die Fassformel auch für den Fall exakt, dass die Meridianlinie

des Fasses ein symmetrischer Kreisbogen des Kreises 2 2 2x y R ist.

Für das Kugelvolumen ergibt sich unmittelbar 34

3KugelV R .

Kreistonnenkörper: Die Meridianlinien des Fasses der Höhe h seien Kreisbögen eines

Kreises mit dem Radius R* und dem Mittelpunkt (0, (R* ))M R mit * 0R R .

Die Randkreise haben die Radien r, der Mittelkreis den Radius R.

Die zugehörige Kreisgleichung hat die Form 2 2 2( ) ( )x y m R mit :m R R .

Daraus folgt 2 2( )y m R x , so dass gilt:

/2 /2

2 2 2 2 2 2

0 0

2 ( ) 2 2 ( ) ( )

h h

FassV y x dx m m R x R x dx

2 32 2 2 22 ( ) ( ) arcsin ( )

2 2 4 2 2 24

h h h h h hm m R R R

R

/2 /2

2 2 2 2 2 2

0 0

2 ( ) 2 2 ( ) ( )

h h

FassV y x dx m m R x R x dx


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2 32 2 2 22 ( ) ( ) arcsin ( )

2 2 4 2 2 24

h h h h h hm m R R R

R

23

22 2 2( ) ( ) 2( ) arcsin

12 4 2

h h hh R R R R R h R R

R

mit

22( )

4

2( )

hR r

RR r

.

Für 4R , 2r und 8h erhält man 5R , das heißt 298,352...FassV (genau).

Die Keplersche Fassformel liefert den Näherungswert 96 301,6FassV ,

also einen nur 1% zu großen Näherungswert.

Um die Approximation für den numerischen Wert des Integrals ( )

b

a

f x dx zu verbessern, er-

setzt man die Funktion f(x) durch ein Polynom p(x) 4. Grades, dessen Graph außer den drei

Stützpunkten 1( | ( ))P a f a , 2(( ) / 2 | (( ) / 2))P a b f a b und

3( | ( ))P b f b auch noch die Tangentensteigungen ( )f a und (b)f in den Randpunkten 1P und

3P berücksichtigt. Die Bedingungen für die 5 Koeffizienten des Polynoms lauten demnach:

( ) ( )p a f a , ((a b) / 2)) ((a b) / 2))p f , (b) (b)p f , ( ) ( )p a f a und (b) (b)p f .


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Führt man die Beweisschritte analog zu denen des 2. Lehrsatzes (Keplersche Fassregel) durch,

erhält man den

4. Lehrsatz (randverbesserte Keplersche Formel):

Der Flächeninhalt eines durch den Graphen einer stetig differenzierbaren Funktion f(x) be-

grenzten Flächenstückes auf dem Intervall ,a b ist näherungsweise bestimmt durch

2( )

( ) 7 ( ) 16 7 ( ) ( ) (b)30 2 60

b

a

b a a b b af x dx f a f f b f a f

.

Für ein Fass mit der Höhe h, dem Radius ( ) ( )r f a f b an Boden und Deckel und dem Ra-

dius R des Mittelschnitts folgt daraus die Näherungsformel

2 2 2[ ( )] 7 8 ( )15

b

Fass

a

hV f x dx r R hrf a

,

wobei ( )f a die 1. Ableitung der achsensymmetrischen Meridiankurve am linken Randpunkt

ist.

Wendet man die randverbesserte Keplersche Formel auf den oben angegebenen Kreistonnen-

körper an, erhält man den Näherungswert

8 47 4 8 16 8 2 297,352

15 3FassV

, also einen nur 0,4% zu kleinen Näherungswert.

Analog zum 3. Lehrsatz zeigt man den

5. Lehrsatz (exakte randverbesserte Keplersche Formel):

Sei f(x) sooft stetig differenzierbar, als es jeweils erforderlich ist. Dann gilt

2 7( ) ( )

( ) 7 ( ) 16 7 ( ) ( ) (b) ( )30 2 60 604800

b

VI

a

b a a b b a b af x dx f a f f b f a f f

,

wobei ein unbekannter Zwischenwert mit a b ist.

Folgerung: Die randverbesserte Keplersche Formel ist auch noch für Polynome 5. Grades

exakt.


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Fassmessung mit der Rute

Bei standfesten Fässern kann man den Flüssigkeitsspiegel und damit den Flüssigkeitsinhalt mit

Hilfe einer kommunizierenden Röhre sichtbar machen und die Röhre kalibrieren, indem man

sie mit einer geeichten, den Inhalt anzeigenden Skala versieht. Bei beweglichen Fässern be-

dient man sich einer Messrute (vgl. Seite 1 dieser Arbeit). Dabei wird an einem Stab AC, der

durch das Spundloch C in das Fass eingeführt wird, an dem von der Flüssigkeit benetzten Teil

AB einer mit Marken versehenden Skala der momentane Fassinhalt abgelesen.

Hier soll allein die Kalibrierung der Messrute AC bei kreiszylindrischen Fässern, den sog. öster-

reichischen Fässern, bei denen die Fasshöhe 2h und der Durchmesser 2r der Böden im Ver-

hältnis 2 : 2 2 :1h r stehen, betrachtet werden (vgl. Seite 3 dieser Arbeit).

Die Gesamtlänge d der eingeführten Messrute erhält man aus 2 2 2 2(2 ) 6h r r d , so dass

6d r gilt. Der Gesamtinhalt des vollen zylindrischen Fasses beträgt 22V r h .

Benetzt die Flüssigkeit nur das zum Mittelpunktswinkel 2 gehörige gelb markierte Kreisseg-

ment mit dem Flächeninhalt

2 2 22 sin cos 2 sin 2f r r r mit 0 ,

so enthält das Fass die Flüssigkeitsmenge mit dem Volumen

2 3( ) 2 sin 2 2 2 sin 2V r h r .


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Das dabei benetzte Stück x=AB der Messrute hat dann die Länge

( ) 1 coscos cos

AD rx

,

wobei den Neigungswinkel der Messrute gegen die Randkreisebene bezeichnet.

Mit 2 2 6

36

r rco

d r erhält man dann

6

( ) 1 cos2

rx .

Mit Hilfe der beiden Schaubilder kann man nun mühelos die Messrute eichen. Den Winkel

gewinnt man mit Hilfe des zweiten Graphen aus dem auf der Messrute gemessenen x-Wert

(als Maßeinheit wähle man / cosr ). Das erste Schaubild liefert anschließend das zugehörige

Volumen ( )V (als Maßeinheit wähle man 2r h ).


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Will man die Funktionsgleichung ( )V V x der Eichkurve (in den genannten Einheiten) herlei-

ten, muss man die Gleichung für ( )x nach auflösen und das Ergebnis in ( )V a einsetzen.

Man erhält:

cos 1 cos :x

zr

,

so dass arccos z gilt. Aus

2sin 2 2sin cos 2 1z z

folgt

2 2( ) 2 arccos 1V z r h z z z ,

so dass sich schließlich die folgende Volumenformel ergibt:

2( ) 2 arccos 1 cos 1 cos 2 cos cosx x x x

V x r hr r r r

.

Mit den gewählten Einheiten / cos 1xr E und 2 1Vr h E erhält man die stark verein-

facht transzendente Gleichung der Eichkurve

( ) 2 arccos 1 1 2V x x x x x .

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