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Klassen von Flächen

Costa-Fläche

Benedikt Türk, Lukas Bäcker - 7.1.2015

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• Regelflächen• Minimalfläch

en• Drehflächen• Röhrenfläche

n

Klassen von Flächen

Für das Rechnen mit Flächen (hier vor allem Minimalflächen)wichtig: Integration von Funktionen auf S

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Integration

Def (integrierbar): Eine Funktion mit

heißt (Lebesgue-) integrierbar, falls die Funktion

(Lebesgue-) integrierbar ist. Der Wert des Integrals ist

, wobei man den folgenden formalen Ausdruck als Flächenelement bezeichnet:

Integration

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Integration

„Punkt auf der Karte“ ( ∈ U )

F: U → S ∩ Vf: S → R(f ist skalar)

Verzerrungsfaktor

Beispiel: Flächeninhalt der Sphäre

Integration

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Regelflächen

Idee: Sei I R ein offenes Intervall und sei eine parametrisierte Raumkurve. Hefte nun an jedem Punkt dieser Kurve eine Gerade an, um so eine Fläche zu erhalten. Sei dazu eine glatte Abbildungmit für alle t ∈ I.Sei J R ein weiteres offenes Intervall. Wir setzen mit

Regelflächen

Def(Regelfläche): Eine reguläre Fläche S R³, die durch obige Parametrisierungüberdeckt werden kann, heißt Regelfläche .

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Regelflächen

Beispiele

Zylinder? JA

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Regelflächen

Beispiele

Kegel? JA

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Regelflächen

Beispiele

EinschaligesHyperboloid?

JA

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Regelflächen

Satz (Gauß-Krümmung): Sei S R³ eine Regelfläche. Dann gilt für die Gauß-Krümmung

Satz

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Minimalflächen

MinimalflächenErinnerung (Diverse Krümmungsbegriffe): Sei S R³ eine reguläre Fläche.Für einen Punkt p ∈ S nennt man

Gauß-Krümmung und

Mittlere Krümmung von S in p. Häufig betrachtet man das mittlere Krümmungsfeld,das folgendermaßen definiert ist (N ist Normalenfeld):

Sätze

!

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Minimalflächen

MinimalflächenDef (Minimalfläche): Eine reguläre Fläche S R³ heißt Minimalfläche, falls

(entspricht der Bedingung H , falls S orientierbar )

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Minimalflächen

Beispiele

Ebene? JA

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Minimalflächen

Beispiele

Helikoid? Beispiel

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Minimalflächen

Satz

Satz (Krümmungen): Für jede reguläre Fläche gilt

Insbesondere gilt für die Gaußkrümmung von Minimalflächen

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Minimalflächen

Beispiele - Enneperfläche

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Minimalflächen

Beispiele – Flächen aus Enneper-Flächen

Richmond-Minimalfläche

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Minimalflächen

Beispiele – Flächen aus Enneper-Flächen

Chen-Gackstatter-Minimalfläche

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Minimalflächen

Beispiele – Katenoid

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Minimalflächen

Beispiele

Mischung aus Helikoid und Katenoid

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Drehflächen

Idee: Wähle eine ebene Kurve in der x-z-Ebene und lasse diese um die z-AchseRotieren. Ist r(t) eine ebene Kurve, so erhalten wir eine lokale Parametrisierung derZugehörigen Drehfläche durch

Drehflächen

Wählt man z.B. einmal und einmal , so erhält man zwei lokaleParametrisierungen, die die ganze Drehfläche überdecken

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Drehflächen

Durch die Darstellung

Lassen sich explizit die beiden Fundamentalformen (in Abhängigkeit von r(t)) bestimmen undman erhält für die Weingarten-Abbildung:

In weiterer Folge ließen sich die Gauß-Krümmung H sowie die mittlere Krümmung K explizitDarstellen.

Bemerkung

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Drehflächen

Beispiele – Katenoid „zum Zweiten“

Das Katenoid ist die einzige Fläche, die zugleichMinimalfläche UND Drehfläche ist.

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Drehflächen

Beispiele

Rotationsparaboloid

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Drehflächen

Beispiele

Traktrix

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Röhrenflächen

RöhrenflächenIdee: Sei eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit nicht verschwindenderKrümmung, für alle . Dann sind die Windung und dasFrenet-Dreibein definiert. Sei , dann betrachten wir folgende Parametrisierung:

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Röhrenflächen

Beispiele

Torus