Klausur und Vorlesungsbeginn Januar 2010 · Klausur und Vorlesungsbeginn Januar 2010 Die Klausur ﬁndet am 12.2.2010 von 08:15 - 09:15 im H¨orsaal 309, Leibnizstr.11 statt. Bitte

Klausur und Vorlesungsbeginn Januar 2010

Die Klausur findet am 12.2.2010 von 08:15 - 09:15 im Horsaal 309, Leibnizstr. 11statt.

Bitte erscheinen Sie ein paar Minuten fruher, damit wir punktlich beginnenkonnen.

Die Vorlesung beginnt im neuen Jahr am Mi. 13.1.2010 um 08:15 hier im Horsaal.

Physik fur Naturwissenschaftler - V14, Seite 1

Materie im Magnetfeld

I

I

~v

~v

I I

~B0

~B′

In der Elektrostatik hat sich die Kapa-zitat von Kondensatoren geandert, wennwir Dielektrika eingebracht haben. Waspassiert nun, wenn wir Materie in einMagnetfeld einbringen?

Dazu schauen wir uns das Verhalten vonElektronen und Protonen im Magnetfeldan. Sie erzeugen ein dem ursprunglichenMagnetfeld ~B0 entgegengesetztes Feld~B′.


Die magnetische Suszeptibilitat

Bringen wir in ein bestehendes Magnetfeld ~Ba Materie ein, so verandert sichdas Feld. Wir finden, dass (bei gleichbleibender Querschnittsflache) sich dermagnetische Fluss

Φm.=

∫

~B · d ~A

um einen Faktor µ, die relative Permeabilitat, verandert hat. Weil ja ~A gleichgeblieben ist, muss gelten

BMaterie = µBVakuum = µµ0HVakuum.

Ausgelost wird diese Feldveranderung durch die magnetische Polarisierung in derMaterie. Dabei werden die atomaren magnetischen Momente ~pm, die u. U. schonvorhanden sind oder sonst durch ~Ba erzeugt werden, durch ~Ba ausgerichtet.


Makroskopisch nennt man diesen Effekt Magnetisierung ~M

~M =1

V

∑

V

~pm.

Die Einheit von ~M

[M ] =Am2

m3=

A

m,

ist dieselbe wie die von ~H. Fur die Feldstarke ~B erhalten wir nun

~B = µ0

(

~H0 + ~M)

.

Experimentell stellt man fest, dass ~M bei nicht zu großen Feldstarken proportionalzu ~H ist,

~M = χ ~H,


wo der Proportionalitatsfaktor χ magnetische Suszeptibilitat heißt.

H

M

Ferro-

magnete

Paramagnete

Diamagnete

Weil

~B = µ0µ ~H = µ0(1 + χ) ~H,

⇒ µ = 1 + χ.

Je nach magnetischer Suszeptibilitat heißen Materialien• Ferromagnete (χ ≫ 1)• Anti-Ferromagnete (χ ≪ −1)• Paramagnete (O < χ ≪ 1)• Diamagnete (χ < 0; |χ| ≪ 1)


Das Bohrsche Magneton

Das Elektron oder ein anderes elementares Teilchen der Masse m und Ladung esoll sich mit einer Gechwindigkeit υ auf einem Kreis des Radius r bewegen. Esstellt damit einen Kreisstrom dar mit

I = q · ν =q · v

2πr, weil ν =

v

2πr

und das magnetische Moment lautet

~pm = I ~A = qν ~A =1

2qr2~ω , weil ω = 2πν und A = πr2,

wahrend der Drehimpuls des Teilchens lautet

~L = m · (~r × ~v) = mr2~ω.


Damit lautet der Zusammenhang zwischen Drehimpuls und magnetischem Mo-ment

~pm =q

2m~L.

Ist der Drehimpuls quantisiert, wie dies die Quantentheorie verlangt, so ist L = l·h,und folglich lautet das magnetische Moment eines Elektrons

~pm = −e

2me· ~L, bzw. |~pm| = −

elh

2me.

Wir definieren mit l = 1 den Absolutbetrag als Bohrsches Magneton µB,

µB.=

eh

2me= 9, 28 · 10−24C J s

kg= 9, 28 · 10−24A m2.


Ubung: Magnetismus von NickelDie Sattigungsmagnetisierung von Nickel betragt 4, 7 · 105 A/m. Wie groß ist dasmagnetische Moment des Nickel-Atoms und aus wievielen Bohrschen Magnetonenist es zusammengesetzt?

Losung: Sattigungsmagnetisierung bedeutet, dass alle magnetischen Dipole aus-gerichtet sind. Also Msat = µn, wo n die Anzahl Atome pro Einheitsvolumen undµ das Dipolmoment eines Atoms seien.

n =ρ

Mmol· NA =

8, 9g/cm3

58, 71g/mol6, 02 · 1023mol−1 = 9, 13 · 1028/m3.

Damit haben wir µ = Msat/n gefunden:

µ =Msat

n=

4, 7 · 105A/m

9, 13 · 1028/m3= 5, 15 · 10−24A · m2, etwa

1

2µB


Diamagnetismus

Diamagnetische Stoffe haben kein permanentes magnetisches Dipolmoment. ImMagnetfeld entstehen induzierte Dipole, deren Feld dem außeren Feld entgegenge-setzt ist. Das resultierende Feld ist folglich kleiner als das angelegte Feld. Deshalbist die Magnetisierung ebenfalls dem angelegten Feld entgegengesetzt und es gilt

χ < 0.

Leider konnen wir wegen unvollendeter Bauarbeiten hier im Institut den Versuchnicht zeigen, in dem gezeigt wird, wie in einem inhomogenen Magnetfeld eindiamagnetischer Stoff aus dem Feld gedrangt wird. Der Grund dafur ist, dass dasDipolmoment eines Diamagneten antiparallel (entgegengerichtet) zu ~B ist.


Paramagnetismus

Paramagnetische Stoffe besitzen permanente magnetische Dipole, die aber imInneren des Korpers vollig ungeordnet sind. Die thermische Energie kT istgroßer als die magnetische Energie −~pm · ~B. Das Verhaltnis der beiden gibt denMagnetisierungsgrad an. Fur ~pm · ~B ≪ kT gilt mit N Dipolen pro Volumeneinheit

~M = N |~pm|~pm · ~B

3kT·

~B

B.

Damit ist die Suszeptibilitat temperaturabhangig:

χ = µ0M

B=

µ0Np2m

3kT.


Ferromagnetismus und Hysteresis

M

Ba

a

b

cMR

BK

Bei Ferromagneten hangt die Magnetisierung von derVorgeschichte des Materials ab. Ist es vollkommenentmagnetisiert (z. B. durch Ausgluhen), so nimmt Mzunachst linear mit dem angelegten Feld Ba zu (Kur-ve a), geht dann aber in Sattigung. Wird nun Ba

reduziert, so verschwindet M nicht mehr bei Ba = 0,es verbleibt ein Remanenzfeld MR. Um M zumVerschwinden zu bringen, muss ein Feld, die Koerzi-

tivkraft, BK angelegt werden. Die Flache zwischenden roten Kurven (b und c) gibt die aufzuwendende

Energie an, um einen gesamten Magnetisierungszyklus zu durchlaufen .


Weiss’sche Bezirke

M

Ba

a

b

cMR

BK

Misst man die Magnetisierungskurve eines Ferroma-gneten sehr genau aus, so findet man, dass sie ausvielen kleinen Barkhausen-Sprungen besteht. Dieseerklaren sich durch das Umklappen der magnetischenMomente von einzelnen sog.Weiss’schen Bezirken,die je zwischen 108 und 1012 Magnetone enthalten.Man kann dies horbar machen, indem man einen Ferro-magneten mit einer Spule ausliest und das (verstarkte)Signal auf einen Lautsprecher gibt. Beim Umklappendieser Bezirke steigt die Magnetisierung sprunghaft

an. Das fuhrt (siehe Freitag) zu kurze Spitzen in der Induktionsspannung, die imLautsprecher als Knacken zu horen sind.


Curietemperatur

Substanz TC [K] C [K] θC [K]Co 1395 2,24 1415Fe 1033 2,22 1100Ni 627 0,59 650EuO 70 4,7 78

Erhitzt man einen Ferromagneten auf ei-ne bestimmte Temperatur, so verliert erseine Magnetisierung (Ausgluhen). Die-se Temperatur heißt Curie-Temperatur

TC. Bei Temperaturen oberhalb der Curie-Temperatur beobachtet man, dass die Ma-gnetisierung nicht vollstandig verschwin-

det, sondern dass der Ferromagnet paramagnetisch geworden ist. Oberhalb einerweiteren Temperatur, der sog.paramagnetischen Curie-Temperatur, findetman fur die Suszeptibilitat ein ahnliches Verhalten wie fur Paramagneten

χ(T ) =C

T − θC,

wo C eine eine Materialkonstante, die Curiekonstante ist.


Magnetismus von Supraleitern

T > Tc T < Tc

Supraleiter verhalten sich wie perfekte Diamagne-te. Unterhalb einer materialabhangigen kritischenTemperatur Tc wird ein außeres Magnetfeld ausdem Supraleiter herausgedrangt. Wie ein per-fekter Diamagnet wird der supraleitende Korperdabei aus dem Magnetfeld gedrangt, bzw. scheintdarin zu schweben - die Gravitationskraft wirddurch die entstandene Inhomogenitat des Fel-des und die daraus folgende “Gradientenkraft”kompensiert.

Allerdings ist die Erklarung fur das Verhalten eines Supraleiters nicht dieselbe, wiefur einen klassischen Diamagneten. Das Phanomen des Meißner-Ochsenfeld-

Effektes lasst sich klassisch nicht erklaren, es sind dazu Konzepte aus derQuantenphysik erforderlich, auf die wir hier nicht eingehen konnen.


Verknupfungen zwischen ~E und ~B

Ein Verstandnis fur die Verbindung von Elektrizitat und Magnetismus kam, wie wirschon festgestellt haben, erst sehr spat. Obwohl eine statische Ladungsverteilungein elektrisches Feld hervorruft, findet man damit kein magnetisches Feld. Eskam vollig unerwartet, als Oerstedt berichtete, dass der Strom ein Magnetfeldhervorruft!

ln Analogie zur elektrischen lnfluenz wurde nun vermutet, dass ein kontinuierlicherStrom in einem Leiter einen zweiten kontinuierlichen Strom in einem parallelenLeiter hervorrufen konnte. Dieser Strom wurde nie gefunden.

Wieder kam es vollig unerwartet, als Faraday am 29. August 1831 entdeckte,dass veranderliche Magnetfelder elektrische Strome hervorrufen konnen.


Das Faradaysche Induktionsgesetz

Joch

Spule

Messschleife

Galvano-meter

Die Entdeckung von Faraday ist heute eineSelbstverstandlichkeit, zu ihrer Zeit musssie fur enormen Wirbel gesorgt haben.Heute ist sie nicht wegzudenken. Dankihr ist es moglich, durch Bewegung Stromzu erzeugen, also mit Motoren potentielle,fossile, erneuerbare, Wind-, Gezeiten-, etc.Energie in Strom umzuwandeln.

Faraday entdeckte bei seinen Versuchen, dass beim Ein- und Ausschalten desSpulenstroms in der Messschleife ein Strom floss. Heute nennt man dieseAnordnung Transformator.


Das Faradaysche Induktionsgesetz IIHeute wissen wir, dass das veranderliche Magnetfeld in einem geschlossenenLeiter einen Strom hervorruft. Dies kann durch (im Nachhinein) sehr einfacheExperimente gezeigt werden.

A

B

SchleifeMagnet

Uind

Messgerat

Ein bewegter Magnet ruft in einer Leiterschleifekurzzeitig eine Spannung U(t) hervor, die propor-tional ist zu:

• v(t) Magnet,

• Anzahl Windungen mal Flache der Schleife,

• cos α (zw. Flachennormalen und ~B.)

Beim Umdrehen des Magneten wechselt auch das Vorzeichen von U(t).


Das Faradaysche Induktionsgesetz III

α

~A

α

~B

Wir konnen auch eine Leiterschleife in einem homo-genen Magnetfeld bewegen und finden, dass dabeiauch eine Spannung induziert wird. Es scheint also aufdie Relativbewegung zwischen Magnetfeld und Schleifeanzukommen. Drehen wir die Schleife rund um sichherum, so finden wir, dass sich das Vorzeichen derSpannung verandert, es entsteht eine Wechselspan-

nung.

Dies konnen wir auch verstehen, der Kosinus desWinkels α zwischen Schleifenflache und Magnetfeldandert sich ja!


Das Faradaysche Induktionsgesetz IV

Wir stellen fest, dass die induzierte Spannung gerade gleich der zeitlichenAnderung des magnetischen Flusses Φ ist, aber mit dem umgekehrten Vorzeichen.Je starker sich die Anzahl Feldlinien durch eine Leiterschleife pro Zeiteinheitandert, desto großer ist die induzierte Spannung. Diese Gesetzmaßigkeit heißtFaradaysches Induktionsgesetz

Uind = −dΦm

dt, wo Φm der magnetische Fluss ist,

Φm =

∫

~B · d ~A = B · N · A · cos(α(t)).

Der magnetische Feldfluss kann aufgefasst werden als die Anzahl Feldlinien, dieeine gegebene Flache durchstechen.


Induzierte Spannung – na und?

A

B

SchleifeMagnet

Uind

Messgerat

Wir haben gesehen, dass sich in der Konfigura-tion links zwischen den Punkten A und B eineSpannung Uind aufbaut.

Uind = −

∫

~B · d ~A.

Von fruher wissen wir aber, dass eine Spannungauf ein elektrisches Feld zuruckgefuhrt werdenkann,

U =

∮

~E · d~s und wegen Uind = U folgt

∮

~E · d~s = −

∫

~B · d ~A 6= 0.


Die Lenzsche Regel

Was bedeutet das negative Vorzeichen im Faradayschen InduktionsgesetzUind = −Φm ?

• Die induzierte Spannung Uind fuhrt zu einem Strom, der seinerseits wieder einMagnetfeld erzeugt.

• Uind ist positiv (negativ) fur negative (positive) Magnetfeldanderungen.

• Die induzierten Strome Iind = Uind/R auch .

• Das induzierte Magnetfeld ~Bind muss nach der rechte-Hand-Regel in dieumgekehrte Richtung der Feldanderung zeigen.

Die induzierten Großen behindern den induzierenden Vorgang.


Lenzsche Regel II

I

E~Bind ~Bind

~Bind

~Bind~Bind

~Bind

∆ ~B∆ ~B

∆ ~B∆ ~B

∆ ~BDie Richtung des induzierten Stroms I, derelektrischen Feldstarke ~E und des induziertenMagnetfeldes ~Bind wirken der Anderung desMagnetfeldes ∆ ~B entgegen. Sind die rotenPfeile umgekehrt (nimmt ~B zu), so zeigen I, ~E

und ~Bind in die andere Richtung. Zeigt ∆ ~B indie andere Richtung ( ~B nimmt zu), so drehensich alle Vorzeichen um (nach Induktionsgesetz)

und damit auch ~E, I und ~Bind. Das ist derInhalt der Lenzschen Regel.


Ubungsaufgabe: Linearmotor

U0

m

~B

l =10

cm

Ein leitender Stab (R = 0, 1 Ω) liege auf zweileitenden, parallelen Schienen (R ≃ 0) mit 10 cmAbstand, an welchen eine Spannung U0 = 15 Vliegt. Der Stab ist uber ein Seil mit einerMasse m = 1, 2 kg verbunden. Berechnen Siedie Geschwindigkeit v0 des Stabs, mit welcherer sich stationar bewegt, wenn ein homogenesMagnetfeld B0 = 10 kGauß senkrecht durch dieSchienenebene tritt. [v0 = 32, 3 m/s]


Losung

Induzierte Spannung Uind = −dΦm/dt = −BdA/dt = −Bldx/dt. Bewegung

dx/dt fuhrt zu Lorentzkraft auf Ladungstrager, ~Fel = I∫

d~l × ~B = I · l · B. Imstationaren Zustand ist v = 0, d. h. Fel = FG, also

I · l · B = m · g

Strom: I =U0 + Uind

R=

U0 − B · l · v

R=

m · g

l · B

und folglich

v =1

l · B

(

U0 −m · g · R

l · B

)

.


Wirbelstrome

~υ

II ~B

Die in ausgedehnten Leitern induzierten Strome nenntman Wirbelstrome. Sie fließen, wie wir jetzt gesehenhaben, immer entgegengesetzt zu den induzierendenGroßen. Damit kann man Wirbelstrome sehr gut alsBremse verwenden. Die Strome entstehen durch dieauf die Leiterelektronen wirkende Lorentzkraft. Dieentstehende Joulsche Warme entzieht der BewegungEnergie.

Eine Abbremsung lasst sich genau so schon auch mit einem Permanentmagnetenund einem Rohr aus leitendem Material nachweisen. Lasst man den Magnetenz. B. durch ein Aluminiumrohr fallen, so fallt er wesentlich langsamer, als einenicht-magnetische Testmasse. Die Erwarmung aufgrund der Wirbelstrome istallerdings sehr klein, wie man leicht abschatzen kann.


Selbstinduktion

GB

S

L

Fließt durch eine Spule ein Strom, so liegt dieVermutung nahe, dass das dadurch entstehendeMagnetfeld bei Veranderung eine Spannung in-duzieren konnte. Diese Spannung ist nach derLenzschen Regel entgegengesetzt zur Anderung inder angelegten Spannung. In der Anordnung linkswird die Gluhbirne G kurz aufleuchten, wenn der

Stromkreis unterbrochen wird (Schalter S geoffnet). Die Proportionalitatskon-stante L im Ausdruck

Uind = −LdI

dt

heißt einleuchtend Selbstinduktionskoeffizient oder Induktivitat.


Ein- und Ausschalten eines Schaltkreises mit Spule

GRGL

U0

L

S2

S1

RRRL

Wir betrachten nun den Einschaltvorgang bei der An-ordnung links, S1 wird geschlossen, S2 bleibt je nachGeschmack offen oder geschlossen. Nach Kirchhoff habenwir

U0 = I · R − Uind = I · R + L ·dI

dt,

U0

R= I +

L

R

dI

dt,

wo 1/R = 1/RL + 1/RR gilt, wobei RL der Ohmsche Widerstand der Spule undRR derjenige des Widerstands ist (fur geschlossenen Schalter S2).

Die Losung dieser linearen, inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung istI(t) = U0

R

(

1 − e−(R/L)t)

.


0 1 2 3 4 5Zeit [R/L]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Str

om [U

0/R]

Der Strom steigt rasch an undschmiegt sich asymptotisch anden Wert U0/R. Die Zeitverzoge-rung gegenuber der rein ohm-schen Situation kann qualitativsichtbar gemacht werden, indemzu Beginn auch der Schalter S2

geschlossen wird. Dann leuchtetGluhbirne GL erst nach GR auf.Uber die Spule fließt der StromIL = U0/RL, uber den Wider-stand IR = U0/RR.

Nach genugend langer Zeit fließt durch die Spule derselbe Strom wie durch denWiderstand, beide Widerstande sind gleich und beide Gluhbirnen leuchten gleichhell.


Ausschalten des Schaltkreises

GR

U0

L

S2

S1

RRRL

GL

Nun wird der Schalter S1 geoffnet, d. h. U0(t = 0) =0 und IL(t = 0) = IL(t < 0) = I0. Dann gilt nachder Maschenregel und Lenzschen Regel

IL(t)·(RR+RL)−Uind = IL(t)·(RR+RL)+LdIL(t)

dt= 0.

Der Strom sinkt langsam (asymptotisch) auf Null abmit der Zeitkonstante τ = L/R, wo R = RR + RL.Wegen des sich andernden Stroms entsteht uber der

Spule eine Induktionsspannung welche wesentlich großer sein kann als U0. Jetztkann durch die Gluhbirne GR ein großerer Strom IR = −IL als vor demAusschalten in umgekehrter Richtung fließen. Dieser Effekt wird zum Zunden vonLeuchtstoffrohren verwendet.


Induktivitat einer zylindrischen Spule

Das Magnetfeld im Innern einer mit einem Strom I durchflossenen Spule derLange l mit n Windungen pro Meter und Querschnittsflache A ist B = µ0 · n · Iund folglich Φm = B · A = µ0 · n · A · I.

Andert sich der Strom dI/dt, so andert sich auch Φm, und es wird eine Spannungzwischen den beiden Enden der Spule induziert.

Uind = −n · ldΦm

dt, weil n · l Windungen

= −µ0 · n2 · l · A ·

dI

dt= −L

dI

dt.

Damit lautet die Induktivitat der Spule mit Volumen V = A · l

L = µ0 · n2 · V.


Gegenseitige Induktion

r12ds1 ds2

~BA2A1

Wie beeinflussen sich zwei Stromkreise gegenseitig? NachBiot-Savart erzeugt der stromdurchflossene Stromkreis1 im Punkt P(r12) ein Magnetfeld welches einen ma-gnetischen Fluss durch die durch die Leiterschleife s2

aufgespannte Flache A2 bewirkt

Φm2 = L12I1.

Der Proportionalitatsfaktor L12 heißt gegenseitige Induktivitat und ist in derRegel schwierig auszurechnen. Umgekehrt wird auch der Strom in Stromkreis 2im Stromkreis 1 einen magnetischen Fluss bewirken,

Φm1 = L21I2.


Die Energie des magnetischen Feldes

Beim Ausschalten der Spannung uber Spule und Widerstand stand die Gluhbirnenoch eine Weile unter Spannung und leuchtete zunachst noch wesentlich hellerals vorher. Die dazu erforderliche Energie muss im Magnetfeld der Spule gesteckthaben, wo denn sonst? Damit muss die Energie des Magnetfeldes gegeben seindurch

Wmag =

∫

∞

0

U · I · dt =

∫

∞

0

R · I2 · dt.

Setzen wir den Ausdruck fur den Strom I(t) ein,

Wmag = I20R

∫

∞

0

e−(2R/L)·t · dt =1

2LI2

0 .

Setzen wir noch den Ausdruck L = µ0n2 · V fur die Induktivitat einer Spule ein,


so erhalten wir fur die Energiedichte des magnetischen Feldes

wmag =Wmag

V=

1

2µ0 · n

2 · I20 =

1

2

B2

µ0=

B2

2µ0

denn das Feld einer Spule ist ja bekanntlich B = µ0 · n · I. Zusammenfassend giltfur elektrische und magnetische Felder

Wel =1

2CU2 Wmag =

1

2LI2

wel =1

2ε0E

2 wmag =1

2µ0H

2 =1

2µ0B2.


Unter Verwendung von ε0 · µ0 = 1/c2 erhalten wir einen Ausdruck fur dieEnergiedichte des elektromagnetischen Feldes:

welm =1

2ε0

(

E2 + c2B2)

.


Vergleich elektrischer und magnetischer Großen

elektr. Feld magn. Feld

Kraft ~F = q ~E N ~F = q(

~v × ~B)

N

Dipolmoment ~p = q~l Asm ~m = Φ~l Vsmrel. Permit. ǫr 1 Permeab. µr 1Kapazitat C = Q/U F Induktivitat L = U/(dI/dt) H

Energiedichte we = 12ǫ

~E2 J/m3 wm = 12µ

~B2 J/m3

Energie Kond. We = 12CU2 J Spule Wm = 1

2LI2 J


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