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Seminarunterlagen Innsbruck

Brigitte Wessenberg

Kompetenzorientierte

Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung u. Analysis

mit TI82 stats

Inhalt

sRDP-Aufgabe: Statistik

mRP-Aufgabe: Regression + Kosten-Preistheorie; Bewegungsaufgaben

Schularbeit, ko: Wahrscheinlichkeitsrechnung

September 2013

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I SRDP-Aufgabe zur Statistik

1. Darstellung von Daten im Histogramm

Bei einer großen Menge von Kindern wurde die Körpergröße gemessen.

Eine große Menge n erfordert die Einteilung in Klassen. Die Wahl der Klassen ist üblicherweise so

festgelegt, dass man als Merkregel ungefähr die Wurzel aus n nimmt, aber nie mehr als max. 10 Klassen.

In unserem Fall sind 5 oder 6 Klassen günstig.

Wichtig! Ein Wert am oberen Rand des Balkens wird immer dem nächsten Balken rechts zugezählt.

Der untere Wert gehört zur Klasse, der obere nicht.

Klassen sind bei TI82 OBEN OFFENE INTERVALLE! [….)

Mit 7 Klassen von Zoom Stat 6 Klassen 5 Klassen

Mit trace und cursor kann man die einzelnen Werte erhalten:

usw

Musteraufgabe

Von 20 Kindern wurde die Körpergröße gemessen: Größe x in cm: 138; 137; 132,5; 134;137,5; 138; 132,5; 134; 142,5; 143; 131,5; 132; 130; 131;138; 140;137; 138;135; 136,5 a) Operieren Berechnen Sie Mittelwert und Standardabweichung und die Kenngrößen des Boxplots. b) Operieren, Argumentieren Stellen Sie die Werte grafisch als Häufigkeitsverteilung und in einem Boxplot dar. c)Interpretieren, Argumentieren Interpretieren Sie beide Boxplots bei der Messung in einer weiteren Kindergruppe in Hinblick auf die statistischen Kenngrößen. Vergleichen Sie die Aussage über die Messung bei Buben und Mädchen.

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Lösung zu a) STAT/EDIT/ enter/ L1: Daten x eingeben… STAT/CALC/1-Var Stats enter/ eingeben ins Fenster L1,L2/enter/ mit dem Cursor nach unten, dann erhält man die 2. Seite.

Lösung b1) Darstellung mit Säulendiagramm oder Histogramm

Es handelt sich um metrische und stetige Daten. Bei sehr vielen Daten

wird man eine Klasseneinteilung vornehmen. TI 82 stats macht das

automatisch (Histogramm). Ablesen der absoluten Häufigkeiten in den

einzelnen Klassen n mit TRACE.

Balken- oder Säulendiagramm gibt es in Ti82stats nicht.

Das Histogramm kann man zeichnen mit einer Balkenbreite, die durch

die Schrittweite in Window scl festgelegt werden kann.

Festlegung des Bildausschnitts mit Zoom stat und hinterher in window nachjustieren!

Unterschied Histogramm und Stab- oder Säulendiagramm: Ein Histogramm ist eine graphische Darstellung der Häufigkeitsverteilung metrisch skalierter Merkmale. Man muss immer - die Wertemenge in Klassen aufteilen = Breite der Rechtecke - absolute/relative Klassenhäufigkeit bestimmen (= Flächeninhalt der Rechtecke) - Häufigkeitsdichte bestimmen: Höhe der Rechtecke festlegen = relative oder absolute Häufigkeit dividiert durch die Breite der entsprechenden Klasse. - Diagramm darstellen Histogramme mit Klassenbreite 1 entsprechen einem Säulendiagramm mit Klassenbreite 1 Die Summe der Rechteckflächen = 1

Ein Säulendiagramm ist eine graphische Darstellung der Häufigkeitsverteilung metrisch skalierter Merkmale. Man kann, wenn zu viele Daten sind (muss nicht), - die Wertemenge in Klassen aufteilen = Breite der Säulen - absolute/relative Klassenhäufigkeit bestimmen (= Höhe der Säulen) ……………………… - Diagramm darstellen

Bei kontinuierlichen Zufallsvariablen liegen die Säulen dicht aneinander, wie beim Histogramm. Doch ist die Höhe und nicht die Fläche der Säulen maßgeblich. Säulen mit Klassenbreite 1 unterscheiden sich nicht von einem Histogramm mit dieser Klassenbreite. Die Summe der Säulenhöhen = 1

Punktdiagramm oder Liniendiagramm würde die Klassenmitten als 1. Liste und die Häufigkeiten als 2. Liste benötigen.

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2. Darstellung der Daten im Boxplot-Diagramm

Lösung zu b2)

2nd / STAT PLOT/ Plot1/enter/On/ enter/ mit Cursor Typ auswählen. Boxplot mit Mittellinie wählen,

Vorletzte Option enter / Xlist: L1/ Freq Vorsicht, der Cursor blinkt mit A, es ist Schreiben von Buchstaben

eingeschaltet, wir brauchen die Zahl 1, daher Alpha und dann 1

Window mit Zoom vorwählen: Zoom 9 / ZoomStat/ enter.

Der Boxplot wird relativ hoch oben gezeichnet. Eine weitere Messung könnte man ebenfalls zeichnen

lassen, die würde dann darunter platziert.

Man sieht, es handelt sich nicht um eine symmetrische sondern um eine linksschiefe Verteilung: die Werte

links vom Median streuen innerhalb des Rechteckes mehr, als rechts davon.

Lösung zu c) Interpretationen am Boxplot

Boxplots sind dazu geeignet, die Lage und Verteilung der Werte einer Stichprobe grafisch darzustellen

und sind insbesondere gut geeignet, die Verteilungen mehrerer (Teil-)Stichproben miteinander zu

vergleichen.

Ein Boxplot stellt die Quartile, extreme Werte sowie den größten und den kleinsten Wert dar. Extrem große

Werte bzw. Ausreißer nach oben sind dadurch gekennzeichnet, dass ihr Abstand zu Q3 größer ist als das

1,5fache des Abstands zwischen Q3 und Q1 (Q1Q2 = IQR Interquartilsabstand). Extrem kleine Werte bzw.

Ausreißer werden entsprechend an ihrem Abstand zu Q1 gemessen.

Die Rechteck-Box von Q1 zu Q3 repräsentiert den Bereich der 50 % mittleren Werte. Der Median, also das 50%-Perzentil, wird durch den Strich innerhalb der Box dargestellt. Die horizontal verlaufenden Striche über und unter der Box kennzeichnen den größten und den kleinsten Wert. 50 % aller Werte liegen im mittleren Bereich zwischen Q1 und Q3 (IQR) 25 % aller Werte liegen unterhalb von Q1 bzw. über Q3 75 % aller Werte liegen unterhalb von Q3 50 % aller Werte liegen unter bzw. über dem Median. Vergleich der beiden Boxplots bei der Untersuchung im Beispiel: Die mittlere Körpergröße bei Buben (134 cm) ist größer als bei Mädchen (129 cm). Die Streuung der Werte bei Mädchen (127 bis 137 cm) ist größer als bei Buben (131 bis 138 cm) 25 % der Mädchen unterhalb von 128 cm , bei Buben unter 132 cm 75 % der Mädchen unterhalb von 132 cm, bei Buben unter 137 cm. Beide Verteilungen sind rechtsschief.

Ablesen der Kenndaten mit TRACE.

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Übungsaufgaben zur SRDP

1.

6

2.

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II Regression und Wirtschaftsmathematik

1. Nichtlineare Regression Es gibt bei TI82 stats 10 verschiedene Regressionsverfahren.

Vorbereitung des Rechners:

-y1 ( oder ein anderes Y muss für die Gleichung der Kurve frei gemacht werden.

-Diagnostic on ( mit Catalog), damit das Bestimmtheitsmaß angezeigt wird.

Musteraufgabe:

Die Kostenfunktion bei der Herstellung eines Produkts wird anhand von Daten aus einer Untersuchung erstellt. x … Produktionsmenge in Mengeneinheiten (ME) K(x) … Gesamtkosten bei der Produktion von x ME in Geldeinheiten (GE)

x 20 30 40 60 80

K(x) 143 181 322 411 642

a) Zeichen Sie die Punktewolke. Legen Sie Polynomfunktionen Grad 2 bis 4 als Regressionslinien zugrunde Beurteilen Sie die Qualität und Eignung der Kurven. b) Mit den Daten der Tabelle wurden exponentielle, logarithmische, logistische Regression, sowie Power

Regression ( a ∙ xb) vorgenommen. Wählen Sie, welche davon am besten passt und begründen Sie Ihre Auswahl.

a)

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STAT/ CALC/ 5 QuadReg L1,L2, Y1 ( Vars/Y Vars/ 1Function 1 y1) enter

STAT/ CALC/ 6 CubicReg L1,L2, Y1 ( Vars/Y Vars/ 1Function 1 y1) enter

STAT/ CALC/ 5 QuartReg L1,L2, Y1 ( Vars/Y Vars/ 1Function 1 y1) enter

Die quadratische und die kubische Regression passen sich den Messwerten gut an. Die Gleichung 4. Grades

passt gar nicht, obwohl das Bestimmtheitsmaß hier = 1 ist.!

b)

Exp. Regression passt sich gut an. Von der Sache her wäre sie geeignet für Fixkosten von 94,6 GE.

Logarithmische Regression passt nicht, obwohl das Bestimmtheitsmaß und der Korrelationskoeffizient

nahe bei 1 liegen. Aber sie ist bei x = 0 nicht definiert und nahe 0 ergeben sich negative Kosten.

Power Regression passt sich gut an, hat eine hohe Korrelation. Von der Sache her passt sie nicht, dann die

Kosten bei x = 0 wären 0 > keine Fixkosten.

Die logistische Kurve passt sich auch gut an, sie hätte Fixkosten von ca. 84 GE. Die Kosten hätten allerdings

einen oberen Grenzwert von 1228,4 GE. Das ist nicht wahrscheinlich.

Am besten eignet sich die exponentielle Regression.

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2. Analysis:

Musterbeispiel sRDP B oder MRP

Die Gesamtkostenfunktion für die Herstellung eines Artikels kann beschrieben werden mit K(x) = 2x³ - 50 x² + 500x + 2000.

x … hergestellte, bzw. abgesetzte Menge in Mengeneinheit (ME) p(x) … Verkaufspreis pro ME in Geldeinheit pro Mengeneinheit GE/ME K(x) … Gesamte Herstellungskosten bei x ME in Geldeinheiten (GE)

a) Zeichnen Sie den Graphen der Kostenfunktion und interpretieren Sie den Verlauf (degressiv, progressiv), b) Berechnen Sie die Kostenkehre (=Wendepunkt), das Betriebsoptimum und das Betriebsminimum. c) Erstellen Sie die Gleichung der quadratischen Preisfunktion zur Nachfrage aus der Grafik.

Berechnen Sie die Fläche unter p(x) in den Grenzen 15 bis 35.

Interpretieren Sie, was diese Fläche aussagt.

Analysieren Sie den Gewinn nach Gewinnzone und Gewinnmaximum.

Lösung:

a) Eingabe der Gleichung in Y1

b) Wir suchen den Wendepunkt = die KOSTENKEHRE, die 2. Ableitung ist 0, daher zeichnen wir die Ableitungsfunktion und bestimmen an ihr das Minimum. Y2 = Math/ nDeriv(Y1,x,x), / 2nd CALC/ Minimum/ mit Cursor zu Y2/ links 0, rechts 20 enter. Kostenkehre liegt bei 8,33 ME

Die Fixkosten betragen 2 000 GE . Die Kosten steigen in

Abhängigkeit von der Herstellungsmenge zu Beginn degressiv und

bei ungefähr 8,4 ME beginnen sie progressiv anzusteigen.

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Betriebsoptimum: y1 und Y2 deaktivieren Y3 = y1/x, Minimum suchen

Betriebsoptimum:

xo = 14,79 ME langfristige Preisuntergrenze: 333,21 GE / ME

Betriebsminimum: Y4 = (Y1- 2000)/x / Minimum suchen

xm = 12,5 ME kurzfristige Preisuntergrenze: 187,5 GE / ME

c) p(x) = -0,04x² - 5,8x + 600

Mit 2nd Calc oder Math-menu

Fläche: ∫ ( )

8.573,33 GE

Die Fläche gibt den gesamten Erlös an, den man beim Verkauf ab 15 bis 35 ME macht.

G = E - K = px - K = -0,04x³ - 5,8x² + 600x - (2x³ - 50 x² + 500x + 2000) Y5 = -0,04x³ - 5,8x² + 600x - Y1/ evtl. Window nachstellen/ 2nd CALC Zero 2 mal

und 2nd CALC

MAX. neu

Gewinnzone: G = 0 --> 2nd CALC Zero von 6,6 ME bis 21, 85 ME

Gewinnmaximum: x ≈ 15,5 ME, Gmax = 2.572,35 GE

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IV Bewegungsaufgaben im Stile sRDP, TYP A als Unterrichtsaufgabe

Prinzipielles zur Bewegung:

gleichbleibende Geschwindigkeit geradeaus: Weg s, Geschwindigkeit v, Zeit t s = v · t

gleichbleibende Geschwindigkeit geradeaus mit Anfangsweg s = s0 + v · t

Geschwindigkeit nimmt gleichmäßig während der Bewegung zu oder ab

… konstante Beschleunigung a v = a · t

konstante Beschleunigung mit Anfangsgeschwindigkeit v = v0 + a t

Der dazu gehörige Weg ist das Integral ∫( ) dt = v0 t

+ c

Der Weg mit einem Anfangsweg ist daher s = so + v0 t

Zusammenfassung:

Weg s in m Geschwindigkeit v in m/s Beschleunigung a in m/s²

s = v · t v =

0

s =

v =

a =

Differenzieren

s = ∫

v = ∫ a = const

Integrieren

Musterbeispiel

Die Messdaten zur Geschwindigkeit eines Dampfers sind in der Tabelle aufgelistet: t … Zeit in Sekunden (s) v(t) … Geschwindigkeit nach t s in Meter/Sekunde (m/s)

t in s 0 500 800 1200 1400 1500 ab 1500

v(t) in m/s 0 1,8 3,8 6 6,7 6,75 konstant 6,75

a) Erstellen Sie die Funktionsgleichung v(t) im Definitionsbereich [0; 1500] mittels Regression (Polynom

3. Grades) und zeichne die gesamte zusammengesetzte Funktion. b) Berechnen Sie das Maximum der Geschwindigkeit. Interpretieren Sie im Zusammenhang mit dem Maximum die angegebene Definitionsmenge von v. c) Ordnen Sie der Geschwindigkeitsfunktion v den richtigen Graphen A bis C der

Beschleunigungsfunktion a zu und begründen Sie Ihre Wahl. Erklären Sie, warum die anderen Darstellungen nicht in Frage kommen.

A B C

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d) Berechnen Sie die momentane Beschleunigung bei 1 400 Sekunden Fahrtzeit. Interpretieren Sie den erhaltenen Wert im Hinblick auf die in der Tabelle angegebene gleichförmige Weiterfahrt nach 1 500 Sekunden.

e) Geben Sie jenen Zeitpunkt an, an dem die Beschleunigung den höchsten Wert erreicht.

f) Erklären Sie, was das Ergebnis des bestimmten Integrals ∫ ( )

bedeutet.

Überprüfen Sie die Erklärung mithilfe einer Berechnung. g) Berechnen Sie die Fläche unter dem Funktionsgraphen von v im Intervall [500; 1500]. Deuten Sie die Maßzahl der Fläche im Zusammenhang mit der Bewegung des Schiffes. h) Erstellen Sie die Funktionsgleichung s(t) für den zurückgelegten Weg des Schiffes in Abhängigkeit von

der Zeit. Stellen Sie einen Zusammenhang mit der Teilaufgabe g) her.

Lösung:

a) Punkte zeichnen,

Polynom 3. Ordnung passt im angegebenen Definitionsbereich ziemlich genau.

Werte in STAT, L1 und L2 Liste eingeben/ STAT CALC/ Cubic REG L1,L2, Y1 Verbindungslinie wählen

v(t) = -3,754 ∙ 10 -9 t³ + 8,361∙ 10-6 t² + 4,137 ∙ 10-4 t – 0,00329

in Y2 = 6.75 (x> 1500)

Y1 ist ausgeblendet

b) Plot ausblenden, Y1 aktivieren

2nd Calc 4 Maximum/ Grenzen eingeben/ 1400; 1600

t = 1509 m; v(1491) = 6,76 m/s

(Mit Geogebra den Befehl MAX an der Funktion v verwenden)

Die obere Grenze 1 500 s in der Definitionsmenge liegt in der Nähe des Maximums der

Polynomfunktion. Man beschreibt daher die Entwicklung der Geschwindigkeit bis zu diesem Zeitpunkt als

monoton steigend. Würde man diese Funktion weiter darüber hinaus benützen, dann würde das

bedeuten, dass die Geschwindigkeit wieder abnimmt. Der weitere Verlauf wird daher durch diese

Funktion nicht mehr beschrieben.

c) B beschreibt den Verlauf der Beschleunigung korrekt. Die Beschleunigung (= Anstieg der Tangente an die

Funktion v) ist im Definitionsbereich durchwegs positiv. Bis zum Wendepunkt wächst der

Tangentenanstieg, ab dem Wendepunkt nimmt er ab. Nach 1 500 s ist die Beschleunigung = 0.

A ist falsch, es liegt keine negative Beschleunigung vor.

C ist falsch. Das Maximum der Funktion a müsste weiter vorne liegen (Wendepunkt bei v(t)). Außerdem

würde laut dieser Grafik die Beschleunigung bei 1 500 s abrupt auf 0 gehen. Das ist aus dem Graphen der

Funktion v nicht ersichtlich.

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d) 2nd Calc/ dy/dx/ 1400

a(1400) = 0,00175m/s².

Die Beschleunigung ist an diesem Zeitpunkt sehr klein, das Schiff hat die Geschwindigkeit, mit dem es ab

1 500 Sekunden konstant weiterfährt, nahezu erreicht.

e) Die Beschleunigung hat den höchsten Wert am Wendepunkt der

Geschwindigkeitsfunktion.

Alles deaktivieren/ Y3 = Math9/ nDerive(Y1, x, x)

2nd Calc Maximum Y3 / 0 ZoomFIT

man berechnet das Maximum der Beschleunigungsfunktion.

( )

= =-22,524 ∙ 10 -9 t + 16,722∙ 10-6 = 0 t ≈ 742,5 s,

Beschleunigung beträgt 0,0066 m/s²

f) Das Integral ergibt die gesamte Zunahme der Geschwindigkeit zwischen der 500. und der 1500. Sekunde.

Y4 = abs (nDeriv (Y3,x,x)), 0 Zoom FIT, alles andere deaktivieren

2nd Calc 7 Int/ Grenzen eingeben

Die Berechnung des Integrals ergibt∫ (

11,262 ∙ 10 -9 t2 + 16,722∙ 10-6 t + 4,137 ∙ 10-4)dt = 4,94 m/s

Probe:

Aus der Funktion v erhalten wir v(1500) – v(500) = 6,7612 – 1,8246 ≈ 4,94 m/s

g) Die Fläche mit Technologieeinsatz : 2nd Calc/ Y1 aktiviert, alles andere aus./ 7 Int/ Grenzen eingeben/

ergibt A = 4 776,24 FE

A = ∫ ( – )

A = 4 776,24 Flächeneinheiten FE

1FE ist m/s ∙ s = 1 m.

Die Maßzahl der Fläche gibt die Zunahme der Weglänge, die das Schiff zwischen der 500. und 1500.

Sekunde erreicht hat. Zwischen der 500. bis zur 1500. Sekunde legt das Schiff 4,77 km zurück.

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h) s(t) = ∫ ( )

Man kann die Aussage von g) mit dieser Funktion überprüfen.

s(1 500) – s (500) = 5 116,04 – 339,797 ≈ 4 776, 24 m

Die Fläche unter der Kurve v(t) in einem bestimmten Intervall ergibt die Änderung der Weglänge in

dieser Zeitspanne.

Übungsaufgabe Ein Gegenstand wird senkrecht nach oben geworfen. Die vom Gegenstand dabei erreichte Geschwindigkeit in den einzelnenn Punkten über dem Erdboden ist in der folgenden Grafik dargestellt.

a) Interpretieren Sie die Grafik hinsichtlich der folgenden Fragestellungen:

Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit wurde der Gegenstand geworfen? Wann hat er die höchste Höhe erreicht? Was bedeuten die negativen Funktionswerte? Wann trifft der Körper auf dem Erdboden auf?

b) Lesen Sie die Gleichung der Funktion v aus der gegebenen Grafik ab.

Erstellen Sie durch Integration die Gleichung der Funktion, die die erreichte Höhe h in Meter(m) in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden (s) bei einem Wurf nach oben aus 1,7 m Höhe beschreibt.

c) Die Funktion s beschreibt den Weg, den ein zweiter nach oben geworfener Gegenstand im Laufe der Zeit zurücklegt. Sie lautet: s(t) = 2,4 t – 5 t² t … Zeit in Sekunden (s) s(t) … Weg nach t s im Meter (m). Berechnen Sie, wann der größte Weg zurückgelegt wurde und erkläre, mit welchen Rechenschritten man das berechnet. Gib das erreichte Wegstück an. Berechnen Sie die 1. Ableitung bei t = 0,2 s und erklären Sie, was man mit diesem Ausdruck berechnet.

Berechnen ∫ ( )

und erkläre Sie, was man mit diesem Ausdruck ermittelt.

Argumentieren Sie, welche Aussagen s(0) und s = 0 ermöglichen. (Kann man auf die anfängliche Wurfhöhe oder über die Ankunftszeit auf dem Erdboden schließen?)

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V Schularbeit-Beispiel-Wahrscheinlichkeitsrechnung

Musteraufgabe nach Art der sRDP für eine Schularbeit im 5. JG.

Die Fertigung von Bauteilen erfolgt mit einem konstanten Ausschussanteil von p = 4 %. a) -Stellen Sie die Situation für die Entnahme von 3 Bauteilen in einem Baumdiagramm dar.

-Markieren Sie jene Äste, die die Wahrscheinlichkeit beschreiben, dass mindestens 2 von 3 Bauteilen in Ordnung sind. b) -Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Entnahme von n = 50Teilen

genau 2 Teile defekt sind mindestens 2 Teile defekt sind

höchstens 1 Teil defekt ist c) -Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für 0 bis 6 defekte Teile bei n = 50 grafisch als Säulendiagramm dar. d) -Interpretieren Sie, was die folgende Gleichung für n = 50 aussagt.

P(X x) = 0,86 -Lösen Sie die Gleichung.

e) Die Längen der Bauteile haben einen Erwartungswert von 12 cm ± 2 mm. -Erstellen ein ungefähres grafisches Modell für die Toleranzgrenzen mit dem oben angegebenen Ausschussanteil. - Erklären Sie Ihre Vorgangsweise zum Auffinden der Grenzen. - Berechnen Sie die Grenzen

Binomialverteilung

a) Modellieren und Interpretieren. Markierung in blau sind die 4 Äste mit dem gefragten Merkmal.

b) Operieren

2 Teile genau: 2nd DISTR / alpha A binompdf (n,p,k) …pdf,

wenn man einen Wert k genau haben möchte.

mindestens 2 Teile = 2 und alle darüber oder alle weniger 0 und 1 = 1- P(0,1)

1- binomcdf ( n,p,k) cdf für kumuliert bis k k = 1

Höchstens 2 Teile: P(0,1,2) = binomcdf(n,p,k) k = 2

Bauteile

+

+ +

-

- +

-

-

+ +

-

- +

-

0,96

0,96

0,96

0,96

0,96

0,96

0,96 0,04

0,04

0,04

0,04

0,04

0,04

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c) Modellieren, Operieren

In Listen eingeben:

L1: 0 bis 6, L2in den Kopf: binompdf (50,0.04,L1)

STAT PLOT/on/ Histogramm/ L1/ L2 Zoom 9 und in window nachjustieren. Mit trace kann man die

einzelnen Werte abtasten…

d)Interpretieren; operieren

Mithilfe der Gleichung wird die Zahl von Bauteilen gesucht, die mit der Wahrscheinlichkeit

von 86 % defekt sind.

P(X ≤ x) = 0,86

Formel: binomcdf(50, 0.04, x) = 0,86

Für die Berechnung gibt man die Gleichung mit dieser Formel in den Solver ein, Ergebnis:

x = ungefähr bei 3

e) Modellieren, Argumentieren und Operieren mit Normalverteilung

µ = 120 mm, = 2 mm

4 % Ausschuss heißt, dass 2 % zu lang sind und 2 % zu kurz. Die Toleranzgrenze links und rechts von µ liegt

so, dass um den Erwartungswert eine Fläche von 96 % an Wahrscheinlichkeit für tolerierte Längen entsteht.

Der 2σ-Bereich schließt ca. 95,4 % ein, das heißt, man hat es ungefähr mit dem 2σ-Bereich zu tun, setzt

demnach die Grenzen im Abstand von ca. 4,1 mm links und rechts von µ.

Man zeichnet die Normalverteilung mit

2nd DISTR/Draw/1 shadeNorm (Untere Grenze, obere Grenze, µ, σ)

Window vorher einstellen! sonst nochmals eingeben im Hauptfenster mit 2nd entry /enter

Löschen mit 2nd DRAW/1 Clr draw.

Jede Zeichnung wieder löschen, weil sie sonst beim nächsten BSP unterlegt ist!

InvNorm(0.02, 120, 2) = untere Grenze.