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Seminarunterlagen Salzburg, HLW Annahof

Brigitte Wessenberg

sRDP-orientierte Analysis

mit TI82 stats

Inhalt

Pausen individuell

grobe Zeiteinteilung

Funktionen allgemein: Differenzieren und Integrieren Anleitung und Training 1

9:00-10:30

Allgemeine Aufgaben, MRP 10:30-12:00

Training 2

Bewegungsaufgaben, sRDP Typ A Mittag

12:00-12:30

Training 3 13:30- 15:00

Preis- und Kostentheorie, sRDP TYP B 15:00 -16:30

Training 4

Anhang: Normalverteilung als Flächenintegral 16:30-17:00

September 2013

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Stoffumfang der Analysis Die Analysis beschränkt sich auf Ableitungen der Potenz- und Polynomfunktionen und f(x) = a ∙ ebx,

aber auch verkettete Funktionen und Produkte.

Wichtig: der Differenzenquotient muss häufig interpretiert werden.

Die üblichen Kurvenuntersuchungen kommen nicht vor, weder in A noch in B

ABER: Extremwerte, Wendepunkte, Krümmungsverhalten und die Gesetze für Ableitungen.

Keine Extremwertaufgaben mit 2 Variablen, weder in A noch in B-Teil.

Integralrechnung beschränkt sich auf Berechnen der Stammfunktion bei Potenz- und Polynomfunktionen

und auf Berechnen von Flächen mit TE. Hier können auch Volumen gefragt sein, deren Grund- und

Deckfläche mit Integral berechnet werden.

I Funktionen allgemein

Anleitung zur Technik des Differenzierens

Berechne den Anstieg der Tangente bei x = -1 am Graphen der Funktion f(x) = –2x² –3x + 1.

Ermittle und zeichne die Ableitungsfunktion.

Funktion in Y eingeben, Window passend einstellen, (Zoom Standard)

Y1 = - 2x^2 - 3x + 1

2nd CALC Menü wählen , 6: dy/dx … numerisches Differenzieren, Punktweise.

Steigung der Tangente an angegebenen Punkt zB x = -1

dy/dx findet die numerische Ableitung an einer Stelle k der Tangente!

Die Ableitungsfunktion f‘(x) kann man punktweise erstellen lassen, aber die Gleichung dazu kann man nicht ermitteln! Man kann die Ableitungsfunktion aber punktweise zeichnen lassen. Y2 = Math/ nDeriv(Y1,X,X) Y1 bekommt man über VARS, y-Vars, Funktion 1 mit nDeriv(Y2) bekommt man die 2. Ableitung. Die Ableitungskurven liegen nur grafisch vor, die Gleichung wird nicht angegeben. Man kann sie aber untersuchen…. Mit Cursor bekommt man die Werte an der Stelle x = -1 ebenfalls bei Y2, Y3!

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Aufgabe:

Extremwert, Wendepunkt und Wendetangente von y = 𝟐𝒙𝟑

𝟏𝟓− 𝟏, 𝟔𝒙 bestimmen

Tiefpunkt Y1: Funktion eingeben Window so einstellen, dass die Funktion gut sichtbar ist! 2nd CALC/ 3 minimum Suchgrenzen definieren: Left Bound 0/ Right Bound 3, Guess/ enter Hochpunkt 2nd CALC/4 maximum Suchgrenzen definieren: Left Bound -3/ Right Bound 0 / Guess/ enter

Wendepunkt= Extremwert der 1. Ableitung Y2= Math/ 8 nDeriv(Y1,X,X) Man sieht, dass die Kurve ein Minimum hat, daher Minimum bestimmen. Oder genauer: man zeichnet die Kurve der 2. Ableitung und bestimmt die Nullstelle. Man erhält sofort beide Koordinaten des Wendepunkts

x = 0

x = 0, y = 0

Tangente in einem bestimmten Punkt zB im Wendepunkt Stornieren des x-Werts: 2nd Quit/ X-Taste/ Sto /alpha U/enter Y2 deaktivieren Graph/ 2nd DRAW/ 5 tangent(Alpha U)

Tangentengleichung: y = -1,6x

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Technik des Integrierens und Flächenintegral

Mit 2nd CALC 7 kann man den Wert eines Flächenintegrals zwischen 2 Grenzen bestimmen

Aufgabe:

Integral ∫ −𝟐𝒙2 − 𝟑𝒙 + 𝟏𝟓

−𝟏 berechnen

Fläche zwischen f(x) und der x-Achse in diesen Grenzen berechnen.

Funktion in Y eingeben, Window passend einstellen, (Zoom Standard) Y1 = - 2x^2 - 3x + 1 2nd CALC Menü wählen , 7: … numerisches Integrieren, Intervallweise. Integration der „Rechtecke“ unter der Kurve zur x-Achse zB x = [-1; 5]

VORSICHT: Die Flächenstücke werden addiert, daher der negative Wert. Bei Berechnung des Flächeninhalts muss man den Absolutbetrag nehmen Y1: MATH NUM 1 abs(- 2x^2 - 3x + 1) und dann integrieren.

Das Schraffieren ist eine Zeichnung! Mit 2nd Draw/1 ClrDraw kann man die Schraffur löschen.

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Aufgabe: Fläche zwischen 2 Funktionsgraphen zu berechnen.

f(x) = -2x² - 3x + 1 und g(x) = x² -3

Schnittpunkte berechnen und speichern: Eingabe in Y: Y1 = -2x^2-3x+1 und Y2 = x^2-3 2nd Calc /5 intersect/enter… 2nd Quit x -> STO alpha R, und den zweiten unter alpha S Um die Fläche zwischen 2 Funktionen zu berechnen, nimmt man am besten wieder den Absolutbetrag Y3 = abs (Y1–Y2) 2nd CAL/7 Integral/ lower S, upper R Falls man die schraffierte Fläche zwischen den Funktionen benötigt:Y1 nach unten schraffieren, Y2 nach oben, oder auch verkehrt….

ODER: Oder mit Draw/ Shade (Y1, Y2, x1,x2) Y1 und Y2 bekommt man mit Vars/ y-Vars/ 1 Funktion/ Y1 bzw. Y2,

Training 1

a) Berechne den Anstieg der Tangente an der Stelle x = 1,5 von

f(x) =

b) Berechne und schraffiere die Fläche zwischen den beiden Funktionen zwischen den SCHNITTPUNKTEN f(x) = (3x-1)² und g(x) = 2x + 4

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II Allgemeine Aufgaben im Stil einer MRP

Training 2

Badeanlage

Ein Thermalbad soll ein 100 m langes und 10 m breites Schwimmbecken erhalten. Das Besondere an diesem Schwimmbecken soll sein, dass der Boden des Beckens einem Flussbett nachempfunden wird. Daher soll der Querschnitt wie in Abb.2 aussehen. Die Polynomfunktion

f(x) = -0,0098x³ + 0,22x² - 1,22x + 2 beschreibt im Intervall [0;10] annähernd den Verlauf des Bodens.

Schwimmbecken:

Querschnitt:

Abb.1 Abb.2

a) -Geben Sie eine Formel mit einem bestimmten Integral an, mit der man die Querschnittsfläche des Beckens berechnen kann. -Erklären Sie, wie man ein bestimmtes Integral ohne Stammfunktionen mit beliebiger Genauigkeit berechnen kann.

b) -Erklären Sie den Unterschied und den Zusammenhang zwischen bestimmten und unbestimmten Integral. -Erklären Sie, was man mit einem unbestimmten Integral berechnet.

c) -Berechnen Sie die Querschnittfläche und das gesamte Wasservolumen des geplanten Beckens (nach den Maßen in der Skizze, evt. auch mit Technologieeinsatz). -Beschreiben Sie Ihre Vorgangsweise.

d) Am Boden soll die Linie der tiefsten Stellen markiert werden. -Berechnen Sie, in welcher Tiefe und in welchem Abstand vom linken Beckenrand diese zu platzieren ist.

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III Bewegungsaufgaben im Stile sRDP, TYP A als Unterrichtsaufgabe

Musterbeispiel

Die Messdaten zur Geschwindigkeit eines Dampfers sind in der Tabelle aufgelistet: t … Zeit in Sekunden (s) v(t) … Geschwindigkeit nach t s in Meter/Sekunde (m/s)

t in s 0 500 800 1200 1400 1500 ab 1500

v(t) in m/s 0 1,8 3,8 6 6,7 6,75 konstant 6,75

a) Erstellen Sie die Funktionsgleichung v(t) im Definitionsbereich [0; 1500] mittels Regression (Polynom 3. Grades) und zeichne die gesamte zusammengesetzte Funktion. b) Berechnen Sie das Maximum der Funktion v. Interpretiere im Zusammenhang mit dem Maximum die angegebene Definitionsmenge von v. c) Ordnen Sie der Geschwindigkeitsfunktion v den richtigen Graphen A bis C der Beschleunigungsfunktion a zu und begründen Si e Ihre Wahl. Erklären Sie, warum die anderen Darstellungen nicht in Frage kommen.

A B C

d) Berechnen Sie die momentane Beschleunigung bei 1 400 Sekunden Fahrtzeit. Interpretieren Sie den erhaltenen Wert im Hinblick auf die in der Tabelle angegebene gleichförmige Weiterfahrt nach 1 500 Sekunden. e) Geben Sie jenen Zeitpunkt an, an dem die Beschleunigung den höchsten Wert erreicht.

f) Erklären Sie, was das Ergebnis des bestimmten Integrals ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡1500

500 bedeutet.

Überprüfen Sie die Erklärung mithilfe einer Berechnung. g) Berechnen Sie die Fläche unter dem Funktionsgraphen von v im Intervall [500; 1500]. Deuten Sie die Maßzahl der Fläche im Zusammenhang mit der Bewegung des Schiffes. h) Erstellen Sie die Funktionsgleichung s(t) für den zurückgelegten Weg des Schiffes in Abhängigkeit von der Zeit. Stelle einen Zusammenhang mit der Teilaufgabe g) her.

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Lösung:

a) Punkte zeichnen, Verbindungslinie wählen

Polynom 3. Ordnung passt im angegebenen Definitionsbereich ziemlich genau.

Werte in STAT, L1 und L2 Liste eingeben/ STAT CALC/ Cubic REG L1,L2, Y1

v(t) = -3,754 ∙ 10 -9 t³ + 8,361∙ 10-6 t² + 4,137 ∙ 10-4 t – 0,00329

in Y2 = 6.75 (x> 1500)

Y1 ist ausgeblendet

b) Plot ausblenden, Y1 aktivieren

2nd Calc 4 Maximum/ Grenzen eingeben/ 1400; 1600

t = 1509 m; v(1491) = 6,76 m/s

c) B beschreibt den Verlauf der Beschleunigung korrekt. Die Beschleunigung (= Anstieg der Tangente an die

Funktion v) ist im Definitionsbereich durchwegs positiv. Bis zum Wendepunkt wächst der

Tangentenanstieg, ab dem Wendepunkt nimmt er ab. Nach 1 500 s ist die Beschleunigung = 0

A ist falsch, es liegt keine negative Beschleunigung vor.

C ist falsch. Das Maximum der Funktion a müsste weiter vorne liegen (Wendepunkt bei v(t)). Außerdem

würde laut dieser Grafik die Beschleunigung bei 1 500 s abrupt auf 0 gehen. Das ist aus dem Graphen der

Funktion v nicht ersichtlich.

d) 2nd Calc/ dy/dx/ 1400

a(1400) = 0,00175m/s².

Die Beschleunigung ist an diesem Zeitpunkt sehr klein, das Schiff hat die Geschwindigkeit, mit dem es ab

1 500 Sekunden konstant weiterfährt, nahezu erreicht.

e) Die Beschleunigung hat den höchsten Wert am Wendepunkt der

Geschwindigkeitsfunktion.

Alles deaktivieren/ Y3 = Math9/ nDerive(Y1, x, x)

2nd Calc Maximum Y3 / 0 ZoomFIT

man berechnet das Maximum der Beschleunigungsfunktion.

𝑑𝑎(𝑡)

𝑑𝑡= =-22,524 ∙ 10 -9 t + 16,722∙ 10-6 = 0 t ≈ 742,5 s,

Beschleunigung beträgt 0,0066 m/s²

f) Das Integral ergibt die gesamte Zunahme der Geschwindigkeit

zwischen der 500. und der 1500. Sekunde.

Y4 = abs (nDeriv (Y3,x,x)), 0 Zoom FIT, alles andere deaktivieren

2nd Calc 7 Int/ Grenzen eingeben

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g) Die Fläche mit Technologieeinsatz : 2nd Calc/ Y1 aktiviert, alles andere aus./ 7 Int/ Grenzen eingeben/

ergibt A = 4 776,24 FE

Die Maßzahl der Fläche gibt die Zunahme der Weglänge, die das Schiff zwischen der 500. und 1500.

Sekunde erreicht hat. Zwischen der 500. bis zur 1500. Sekunde legt das Schiff 4,77 km zurück.

h) s(t) = ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 = −0,9385 ∙ 10−9𝑡4 + 2,787 ∙ 10−6𝑡3 + 2,0683 ∙ 10−4𝑡2 − 0,00329𝑡𝑡

0

Man kann die Aussage von g) mit dieser Funktion überprüfen.

s(1 500) – s (500) = 5 116,04 – 339,797 ≈ 4 776, 24 m

Die Fläche unter der Kurve v(t) in einem bestimmten Intervall ergibt die Änderung der Weglänge in

dieser Zeitspanne.

Training 3

Ein Gegenstand wird senkrecht nach oben geworfen. Die vom Gegenstand dabei erreichte Geschwindigkeit in den einzelnenn Punkten über dem Erdboden ist in der folgenden Grafik dargestellt. a) Interpretieren Sie die Grafik hinsichtlich der folgenden Fragestellungen:

Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit wurde der Gegenstand geworfen? Wann hat er die höchste Höhe erreicht? Was bedeuten die negativen Funktionswerte? Wann trifft der Körper auf dem Erdboden auf?

b) Lesen Sie die Gleichung der Funktion v aus der gegebenen Grafik ab.

Erstellen Sie durch Integration die Gleichung der Funktion, die die erreichte Höhe h in Meter(m) in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden (s) bei einem Wurf nach oben aus 1,7 m Höhe beschreibt.

c) Die Funktion s beschreibt den Weg, den ein zweiter nach oben geworfener Gegenstand im Laufe der Zeit zurücklegt. Sie lautet: s(t) = 2,4 t – 5 t² t … Zeit in Sekunden (s) s(t) … Weg nach t s im Meter (m). Berechnen Sie, wann der größte Weg zurückgelegt wurde und erkläre, mit welchen Rechenschritten man das berechnet. Gib das erreichte Wegstück an. Berechnen Sie die 1. Ableitung bei t = 0,2 s und erklären Sie, was man mit diesem Ausdruck berechnet.

Berechnen 𝐒𝐢𝐞 ∫ 𝑠(𝑡)𝑑𝑡 0,3

0,1 und erkläre Sie, was man mit diesem Ausdruck ermittelt.

Argumentieren Sie, welche Aussagen s(0) und s = 0 ermöglichen. (Kann man auf die anfängliche Wurfhöhe oder über die Ankunftszeit auf dem Erdboden schließen?)

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IV Kosten- und Preistheorie, sRDP TYP B

Musterbeispiel

Die Gesamtkostenfunktion für die Herstellung eines Artikels kann mit K(x) = 2x³ - 50 x² + 500x + 2000.

x … hergestellte, bzw. abgesetzte Menge in Mengeneinheit (ME) p(x) … Verkaufspreis pro ME in Geldeinheit pro Mengeneinheit GE/ME K(x) … Gesamte Herstellungskosten bei x ME in Geldeinheiten (GE)

a) Zeichnen Sie den Graphen der Kostenfunktion und interpretieren Sie den Verlauf (degressiv, progressiv), b) Berechnen Sie die Kostenkehre (=Wendepunkt), das Betriebsoptimum und das Betriebsminimum. c) Erstellen Sie die Preisfunktion der Nachfrage aus der Grafik. Analysieren Sie den Gewinn nach Gewinnzone und Gewinnmaximum .

Lösung:

a) Eingabe der Gleichung in Y1

Die Fixkosten betragen 2 000 GE . Die Kosten steigen in Abhängigkeit von der

Herstellungsmenge zu Beginn degressiv und bei ungefähr 8,4 ME beginnen sie

progressiv anzusteigen.

b) Wir suchen den Wendepunkt = die KOSTENKEHRE, die 2. Ableitung ist 0, daher zeichnen wir die Ableitungsfunktion und bestimmen an ihr das Minimum. Y2 = Math/ nDeriv(Y1,x,x), / 2nd CALC/ Minimum/ mit Cursor zu Y2/ links 0, rechts 20 enter. Kostenkehre liegt bei 8,33 ME

Betriebsoptimum: y1 und Y2 deaktivieren Y3 = y1/x, Minimum suchen Betriebsoptimum: xo = 14,79 ME langfristige Preisuntergrenze: 333,21 GE/ME

Betriebsminimum:

Y4 = (Y1- 2000)/x / Minimum suchen xm = 12,5 ME kurzfristige Preisuntergrenze: 187,5 GE/ME

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c) p(x) = 600 - 8 x (k = -600/75) G = E - K = px - K = -8x² + 600x - (2x³ - 50 x² + 500x + 2000) Y5 = 600x -8x² - Y1/ evtl. Window nachstellen/ 2nd CALC Zero 2 mal und 2nd CALC MAX.

Gewinnzone: G = 0 --> 2nd CALC Zero

Gewinnmaximum: x = 15,1 ME, Gmax = 2200,52 GE

Die Gewinnzone des untersuchten Produkts liegt bei einem Verkauf von 6,82 Mengeneinheiten bis etwa 21,12 ME. Den maximal möglichen Gewinn ergibt der Verkauf von 15,1 Mengeneinheiten. In diesem Falle beträgt der Gewinn 2200,52 Geldeinheiten.

Training 4, MRP B-Kompetenzen

Malfarbenproduktion Ein Unternehmen produziert Malfarben. Alle in der Aufgabe genannten Daten beziehen sich auf einen Produktionszeitraum von einem Monat. a) Aus den Daten einer Marktanalyse ist bekannt, dass der erzielbare Preis in Abhängigkeit von der

verkauften Menge x durch die folgende Funktion p beschrieben werden kann: 62 4092p x x

x … verkaufte Menge in Mengeneinheiten ME p(x) … Preis von x ME in Geldeinheiten (GE/L)

Bestimmen Sie die Gleichung der Erlösfunktion E. Interpretieren Sie den Verlauf der Erlösfunktion bezüglich der Erlösgrenzen und des Erlösmaximums.

b) Die Gesamtkosten für die Herstellung der Malfarben hängen von der Produktionsmenge x ab und werden beschrieben durch eine Kostenfunktion 3. Grades. 3 22 147 3792 3375K x x x x

x … Produktionsmenge in ME K(x) … Gesamtkosten in GE, bei x verkauften ME

Zeigen Sie, dass K keine Extremstellen besitzt. Interpretieren Sie, was über den Verlauf des Graphen von K ausgesagt werden kann, wenn man weiß, dass es keine Extremstellen gibt.

c) Abb.1 zeigt die Graphen der Funktionen für den Erlös E und die Gesamtkosten K einer bestimmten Lackfarbe. Zeichnen Sie in diese Abbildung die ungefähre Gewinnfunktion ein, indem Sie an mehreren Stellen aus der Grafik einzelne Punkte für den Gewinn abschätzen. Erklären Sie Ihre Vorgangsweise.

d) Die Gewinnfunktion für Öllasur-Farben verläuft nach der in Abb. 2 dargestellten Funktion. Argumentieren Sie, inwiefern sich eine Steigerung der Fixkosten auf die Gewinnzone oder auf das Gewinn- maximum auswirkt.

Abb 2

Abb 1

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V Anhang

Aufgabe:

Zeichnen Sie die Kurve f(x) = 1

√2𝜋· 𝑒(−

𝑥2

2) im Intervall [-4; 4]

Berechnen Sie das Integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥1

−2 .

Deuten Sie das Integral im Zusammenhang mit der Normalverteilung.

Sie können dieses Integral normal berechnen, wie bisher gezeigt:

In Y1 die Funktion eingeben / 2nd CALC/ 7 integral/ Grenzen

eingeben….

Die Interpretation führt auf die Standard-Normalverteilung. Die Variable x entspricht dem z = 𝑥−µ

𝜎

Die Wahrscheinlichkeit dass z zwischen -1 und 2 liegt entspricht der berechneten Fläche:

rund 82 %

Die Berechnung kann man daher auch über die Stochastik machen:

Berechnung zB mit DISTR/ normalcdf (-2,1,0,1)

Grafisch und rechnerisch mit dem Befehl

DISTR/ DRAW/ ShadeNorm(-2,1,0,1)